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06 – Introduction et propriétés des optionsLectures :Chapitre 9, 10Hull, 8th edition
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Plan de la Séance
• Définitions• Type d’options• Type de positions• Valeurs intrinsèques et fonctions de profits• Spécifications des options• Les marchés et autres options• Spécificités des options sur actions• Bornes et valeurs• Parité Put-Call• Arbitrage et Dividendes
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Définitions et Caractéristiques
• Une option donne le droit à son détenteur d’acheter ou de vendre un actif donné (sous-jacent) sur une période de temps ou à une date donnée et à un prix prédéterminé.
• Celui qui achète une option se nomme le «détenteur» et celui qui vend une option se nomme le «signataire».
• Le signataire a l’obligation de d’acheter ou de vendre le sous-jacent selon la décision du détenteur d’exercer son option.
• Contrairement aux contrats à terme, l’acquisition d’une option nécessite un déboursé d’argent appelé le prix de l’option
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Types d’options
• Option d’achat (call)• Option de vente (put)
• Option européenne:– Option qui ne peut être exercée qu’à la date d’exercice.
• Option américaine:– Option qui peut être exercée à tout instant jusqu’à la
date d’exercice
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Types d’options – Option d’achat - Call
• Soit un investisseur qui achète un call européen pour acquérir 100 actions de Alcan– Prix d’exercice (K): 40 $– Prix actuel (S): 38 $– Date d’expiration: 4 mois (T=4/12)– Prix de l’option: 5 $
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Types d’options – Option d’achat - Call
• ST est le prix du sous-jacent S à l’échéance du contrat (t=T).
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Types d’options – Option de vente - Put
• Soit un investisseur qui achète un put européen sur 100 actions de Nortel Network – Prix d’exercice (K): 15 $– Prix actuel (S): 12 $– Date d’expiration: 3 mois (T=3/12)– Prix de l’option: 2 $
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Types d’options – Option de vente - Put
• ST est le prix du sous-jacent S à l’échéance du contrat (t=T).
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Types de positions• Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un call
• aujourd’hui (t=0)– acheteur doit payer la prime de l’option– vendeur encaisse la prime de l’option
• à l’expiration (t=T)– Si ST > K, exerce l’option; Payoff acheteur = ST - K
– Si ST < K, n’exerce pas l’option; Payoff acheteur = 0
– Ainsi, Payoff acheteur = max {ST - K, 0}
• Profit acheteur = max {ST - K, 0} - Prix
• Profit vendeur = Prix - max {ST - K, 0}
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Types de positions• Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un Put
• aujourd’hui (t=0)– acheteur doit payer le prix de l’option– vendeur encaisse le prix de l’option
• à l’expiration (t=T)– Si ST < K, exerce l’option; Payoff acheteur = K - ST
– Si ST > K, n’exerce pas l’option; Payoff acheteur = 0
– Ainsi, Payoff acheteur = max {K - ST, 0}
• Profit acheteur = max {K - ST, 0} - Prix
• Profit vendeur = Prix - max {K - ST, 0}
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Valeurs intrinsèques et fonctions de profits
• Valeur intrinsèque de la position longue– Détenteur d’un call: Max {0, ST – K}– Détenteur d’un put: Max {0, K – ST}
• Valeur intrinsèque de la Position courte– Signataire d’un call: - Max {0, ST – K}– Signataire d’un put: - Max {0, K – ST}
• Attention au signe « moins »
• K est le prix d’exercice et ST est le prix de l’actif sous-jacent au moment de l’exercice de l’option
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Valeurs intrinsèques et fonctions de profits
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Profit Profit
ST STK
K
Profit Profit
ST STK
K
Position longue put Position courte put
Position longue call Position courte call
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Spécifications des Options• Les actifs sous-jacents aux options échangées en bourse
– Les actions
– Les devises étrangères
– Les indices boursiers
– Les Futures
– Les obligations
– Les swaps (swaptions)
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Spécifications des Options
• Plus spécifiquement pour les options sur actions
• Date d’expiration : T
• Prix d’exercice: K
• Option européenne ou américaine , CE, CA, PE PA
• Classe d’option
• Série d’option
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Spécifications des Options
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Hors jeu À parité En jeuCall S<X S=X S>X
Put S>X S=X S<X
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Spécifications des Options
• Ajustements au contrat d’option pour les dividendes en actions et les fractionnement des actions (splits)
• Soit N options de prix d’exercice K:– Il n’y a pas d’ajustement en cas de versement de dividendes
en argent.• Quand survient un fractionnement n-pour-m de
l’action,– le prix d’exercice est réduit de mK / n – le nombre d’options augmente de nN / m
• Les dividendes en actions sont considérés de la même façon que les splits.
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Spécifications des Options• Exemples
• Considérons une option d’achat de 100 actions pour:– K = 30 $ / action
• Quel est l’effet d’un fractionnement de 3-pour-1?– K devient 10$ et l’option porte sur 300 actions
• Soit une option de vente portant sur 100 actions pour:– K = 15 $ / action
• Quel est l’effet d’un versement de dividendes en actions de 25%?– K devient 12, et l’option porte sur 125 actions
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Le marché boursier des options• La chambre de compensation
• Les types d’échangeurs– Spécialistes du marché (market makers)– Courtiers sur le parquet (floor brokers)
• Limites de position et d’exercice (position and exercise limits)
• Ordre de fermeture (offsetting orders)– Comme avec les futures, on peut garder des options temporairement et les vendre
avant échéance pour arriver net 0
• Commissions– Parfois importantes relatives au prix de l’option
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Le marché boursier des options
• Writing naked options– Une naked option est une option pour laquelle le signataire ne
détient pas le titre sous-jacent.– La marge requise est le plus grand des deux montants suivants:
• 100% du montant de la vente + 20% du prix du sous-jacent moins le montant par lequel l’option est hors-jeu.
• 100% du montant de la vente + 10% du prix du sous-jacent
• Writing covered calls– Dans ce cas, le signataire détient également le titre sous-jacent,
de sorte que le risque est moindre.– Il n’y a pas de marge requise avec un «covered call».
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Le marché boursier des options
• Mise en garde contre les cotations dans les journaux• Ex.: Amazon.com
• Il y a apparence d’arbitrage, mais que ce n’est pas réel. • les prix affichés (11$ pour AMZ et 33.75$ pour le put)
correspondent à la dernière transaction pour chaque titre • Mais cette dernière transaction n’a probablement pas eu
lieu au même moment
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Call PutAmazon Strike Exp Vol Last Vol Last
11 45 Mar --- --- 1347 33.75
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Autres Options
• Les warrants (bons de souscription)• Les warrants sont des options émises (ou signées) par
une entreprise ou une institution financière.– Attention au risque de crédit !
• Tout comme l’option, il confère à son détenteur le droit d’acheter des actions à un prix convenu durant une période déterminée.
• Lorsque les warrants sont exercés, la compagnie doit émettre de nouvelles actions.
• Alors qu’avec les options boursières, si exercées, on vend ou achète des actions qui ont déjà été émises
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Autres Options
• Les marchés au comptoir(Over-the-Counter Markets)
• Les options sont fréquemment négociées sur le marché au comptoir – souvent pour caractéristiques non-standard
• Le prix d’exercice et la maturité des options transigées sur ces marchés ne correspondent pas nécessairement à ceux de la bourse.
• Pour contrebalancer le risque de crédit, une garantie («collateral») sera exigée
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Autres Options
• Les options pour dirigeants(employee stock options)
• Options d’achat émises pour encourager les dirigeants à travailler pour les intérêts des actionnaires.
• Habituellement émises à parité.
• Elles ne peuvent être vendues.
• Lorsqu’elles sont exercées, la compagnie doit émettre de nouvelles actions.
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Autres Options• Les obligations convertibles
• Les obligations convertibles sont des instruments de dette avec une option émise par l’entreprise.
• Le détenteur a le droit d’échanger les obligations contre des actions.
• Équivalent à une obligation avec un « embedded call » sur les actions.
• En général, ces obligations sont également rachetables.
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Spécificités des options sur actions
• Notations
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• CE : prix d’un call européen
• PE : prix d’un put européen
• S0 : prix de l’action• K : prix d ’exercice• T : maturité de
l’option• σ : volatilité du
prix de l’action
• CA : prix d’un call américain
• PA : prix d’un put américain
• ST : prix de l’action à T• D ou I0 : valeur
présente des dividendes durant la vie de l’option
• r : taux d’intérêt sans risque pour la maturité T
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Spécificités des options sur actions
• Le flux monétaire d’une option d’achat (call) estMax{0, S – K}.
• Plus S augmente, plus le flux monétaire possible augmente, ce qui augmente la valeur de l’option, et donc son prix.
• Plus K augmente, plus le flux monétaire possible diminue, ce qui diminue la valeur de l’option.
• L’effet d’un dividende D est de diminuer le prix de l’action. Une augmentation du dividende diminue donc le flux monétaire de l’option, ainsi que sa valeur.
• Note: Toutes ces relations sont inversées dans le cas d’une option de vente
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Spécificités des options sur actions
• Lorsque l’échéance T augmente, la probabilité que le prix de l’option ait suffisamment monté pour que l’option soit exercée augmente également, ce qui augmente la valeur de l’option.
• Le raisonnement est le même pour la volatilité σ. Ainsi, plus le prix de l’action est volatile, plus il est possible que l’option soit exercée avec profit.
• Note: L’augmentation de l’échéance et de la volatilité a le même effet sur le prix d’une option de vente, i.e. de l’augmenter
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Spécificités des options sur actions
• Le flux monétaire d’une option d’achat à l’échéance est Max{0, ST – K}.
• Le prix de l’option est évalué à t=0. La valeur des flux monétaires à l’échéance évalués à t=0 est
Max{0, S0 – K e-rT}.• Plus le taux sans risque r augmente, plus la valeur présente
de K diminue et plus le flux monétaire net (S0 – k e-rT) augmente.
• Note: Cette relation est inversée dans le cas d’une option de vente
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Spécificités des options sur actions
• Options américaines vs options européennes
• La valeur d’une option américaine est au moins égale à celle d’une option européenne correspondante
CA ≥ CE
PA ≥ PE
• Vous pouvez attendre jusqu’à la toute fin avant de d’utiliser l’option américaine
• Les options américaines étant plus flexibles, elles doivent valoir plus!
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Spécificités des options sur actions
• Facteurs affectant le prix des options
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Variable CE PE CA PA
↑ S0 + - + -
↑ X - + - +
↑ σ + + + +
↑ r + - + -
↑ D - + - +
↑ T ? ? + +
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Bornes et valeurs
• Bornes supérieures en absence de dividendes• Call
• CE ≤ S0
• CA ≤ S0
• Put• PA ≤ K
• PE ≤ K e-rT
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Bornes et valeurs
• Bornes Inférieures en absence de dividendes• Call
• CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT}• CA ≥ Max {0, S0 – K }
• Put• PE ≥ Max {0, K e-rT – S0}
• PA ≥ Max {0, K – S0}
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Bornes et valeurs• Pour montrer que CE ≥ S0 – K e-rT, Considérons deux portefeuilles:
– (A) Un call et une somme d’argent K e-rT investie sans risque– (B) Une action S
• À l’échéance, deux possibilités pour le portefeuille (A):– L’option est en-jeu: nous avons K + (ST – K) = ST
– L’option est hors-jeu: nous avons K + 0 = K– Ainsi (A) vaudra à l’échéance max{ST, K}
• Alors que (B) vaudra ST en tous les cas
• Comme max{ST, K} ≥ ST alors (A) est meilleur que (B) • Donc à t=0, il faut que c + K e-rT ≥ S0
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Bornes et valeurs
• S0 ≥ CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT} et S0 ≥ CA ≥ Max {0, S0 – K}
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Bornes et valeurs
• K e-rT ≥ PE ≥ Max {0, X e-rT – S0} et K ≥ PA ≥ Max {0, X – S0}
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Bornes et valeurs• Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Call• Exemple :
– Le prix actuel de l’action est de 50$.– Le prix d’exercice de l’option est de 40$.– L’échéance de l’option est d’un mois.
• Si l’objectif est de détenir l’action pour plus d’un mois, alors il est préférable d’attendre pour deux raisons:
1) on peut payer plus tard2) le prix de l’action peut baisser sous 40$ d’ici un mois.
• Si l’action est surévaluée, alors il est préférable de vendre l’option plutôt que d’exercer et de vendre l’action.
• Alors, en l’absence de dividende, il n’est jamais optimal d’exercer un call américain avant l’échéance, car une option call vaut toujours plus en vie qu’exercée
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Bornes et valeurs
• Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Call
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Profit si exercée
Profit si l’option est vendue
S
Valeur de l’option
Flux monétaire de l’option si exercée
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Bornes et valeurs• Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Put
– Intuition du Call : Avec le passage du temps, le prix d’exercice X devient relativement moins cher : Mieux vaut payer $100 dans 6 mois qu’aujourd’hui, donc exercer le Call plus tard
• Exercice d’un put : Il y a un gain d’intérêt car on obtient X plus tôt.– mieux vaut recevoir $100 aujourd’hui que le recevoir dans 6 mois
• À un certain point, la probabilité que S diminue davantage devient plus faible, de sorte qu’il est préférable d’exercer.
• Donc, il est parfois optimal d’exercer un put américain avant l’échéance.
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Parité Put-Call
• Parité Put-Call : Options européennes sans dividende
CE + K e-rT = PE + S0
• Considérons les deux portefeuilles– Un call et une obligation qui paye K : CE + K e-rT – Un Put et une action : PE + S0
• S’ils ont le même payoff et qu’ils sont sans risque, alors le coût initial doit être le même
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Parité Put-Call• Parité Put-Call : Options européennes sans dividende• On arrange : CE - PE = S0- K e-rT
• Les deux fonctions de profit sont équivalentes, donc leur prix aujourd’hui doit être le même
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S0 – K e-rTCE - PE
STST
Profit Profit
K K
Portefeuille A Portefeuille B
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Parité Put-Call
• Parité Put-Call : Options européennes sans dividende
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Portefeuille Composition ST < X ST > X
A
1 call 0 ST - X
1 X e-rT X X
Flux net X ST
B
1 put X - ST 0
1 action ST ST
Flux net X ST
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Arbitrage
• Parité Put-Call et opportunité d’arbitrage• Supposons
– CE= 3.00$– S0 = 31$ – T = 3 mois– r = 10% – K = 30$– D = 0
• Quelles sont les possibilités d’arbitrage quand : – PE = 2.25$ ?– PE = 1.00$ ?
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Parité Put-Call
• Parité put-call: options américaines sans dividende
S0 - K ≤ CA - PA ≤ S0 - K e-rT
• Quand les options sont américaines, la parité n’est plus une égalité, mais un intervalle
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Dividendes
• Effet des dividendes
• Le dividende fait baisser la valeur de S.• On remplace donc S0 par (S0 – I0)
– où I0 est la valeur présente du dividende sur la durée de l’option
Sans dividende Avec dividendeCE > S0 – K e-rT CE > S0 – I0 – K e-rT
PE > K e-rT – S0 PE > K e-rT – (S0 – I0)PE + S0 = CE + K e-rT PE + S0 – I0 = CE + K e-rT
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