Applications en Finance

Algebre lineaireRegressions

….A quoi cela peut il me servir?

Utilisation

1) Permet de simplifier l’ecriture de systemes lineaires

• Interpretation geometrique?

253

2422

13

zyx

zyx

zyx

2

2

1

531

422

311

z

y

x

11 1 3 1 0.375

2 2 4 2 0.125

1 3 5 2 0.25

x

y

z

2) Covariance d’un Portefeuille

• Variance

• Covariance: Comment deux variables different l’une par rapport a l’autre

cov(X,Y) = 0: Independance

)1(

)(1

2

2

n

XXs

n

ii

)1(

))((),cov( 1

n

YYXXYX

n

iii

Terminologie

Exemple 3 actifs (x,y,z):

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

C

cov(x,x) variance des rendements de l’actif x

Covariance d’un Portefeuille

]1.03.04.0[w

Ecart Type CorrelationS&P 500 15.50 1.00 0.90 0.75S&P MidCap 400 18.50 0.90 1.00 0.80U.S. Small Stk 22.50 0.75 0.80 1.00

CovarianceS&P 500 0.02 0.026 0.026156S&P MidCap 400 0.03 0.034 0.0333U.S. Small Stk 0.03 0.033 0.050625

Poids

Variance du Portfeuille

0177.0

1.0

3.0

4.0

0.0506250.03303.0

0.03330.03403.0

0.0261560.02602.0

1.03.04.0'

ww

3) Optimisation

• Markowitz

'2

)(

)(

wwRwEEU

EUArgMaxw

• Solution en absence de contraintes

')(0 wRE

w

EU

1)(1

' REw opt

4) Optimisation sous ContrainteMinimisation du risqueSous contraintes:Sigma(poids)=100%Objectif de rendement

Markowitz(1952)

4) Modeles a facteurs

Gestionnaire de portefeuille actions• Comment calculer l’inverse d’Omega en

presence d’un nombre important d’actions• Covariance historique?

– Nbre d’observations temporelles– Nbre d’actions– Pb: Si N>T, la matrice est singuliere non-inversible

• Avons nous un echantillon temporel representatif?

• Solution: Modele a Facteur– Reduire les dimensions du probleme– Capturer neanmoins la structure du risque parmi les N actions

• Modele a une facteur: CAPM (k=1)• Modele multifacteur: APT

– Arbitrage Pricing Theory

• BARRA: k=68• B=sensitivite de chaque actif pour une source de risque• F= rendement associe a une exposition a ce risque

R=BF+E

Facteurs1) Methode statistique

– Considerer l’ensemble des actions– Decomposition en valeurs principales– Retenir les k premiers vecteurs propres

• Probleme– Pas d’intuition economique / Financiere– Sur 2 periodes, aucune garantie que le meme facteur represente la

meme source de risque• 2) Facteurs “economiques”

– Chen, Roll and Ross (JofF, 1986)– Taux d’interet, croissance, inflation, tx de change

• 3) Facteurs Specifiques– Size and Style (Fama-French)– Autres: Croissance des ventes, profitabilite, revisions des profits..– Industries

Source: Dor Jagannathan Meier (2003, Journal of Invt Mngt)UNDERSTANDING MUTUAL FUND AND HEDGE FUND STYLESUSING RETURN-BASED STYLE ANALYSIS

5) Classification: Styles d’Investissement

• Question: Les gestionnaires de portefeuille et investisseurs utilisent des classifications diverses pour caracteriser le style d’un fond– Value / Growth– Large, mid et small cap– Style de gestion des hedge funds

• Macro, event driven, stat arb…

• Ces classifications sont elles robustes?– Utilisation de decomposition en composantes principales pour

obtenir des indices “purs” (Amenc, Martellini, Edhec)– Modele a facteur (Fung Hsieh, Dor Jagannathan Meier)

Univers des Hedge Funds (7000)

Sous univers / Base de données EACM

Sous univers / Base de données HFR

Sous Univers / Base de données MAR

Sous univers / Base de données ZurichSous univers / Base de données MSCI

Sous univers / Base de données S&P

Sous univers / Base de données HF Net

Sous univers / Base de données Van Hedge

Sous univers / Base de données Altvest

Dans l’univers alternatif, la non-représentativité des indices de style est exacerbée (la logique de représentativité par les capitalisations boursières ne peut s’appliquer)

Source: Amenc, Vaissie (EDHEC)

Echantillon des hedge funds contenus dans la base de données utilisée par l’indice

Population des hedge funds suivant une stratégie donnée

Manque de représentativité

Biais

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00% 16.00% 18.00%

CSFB HFR Van Hedge Hennessee HF net S&P + Lehman Edhec Fix. Inc. Arbitrage

100% S&P 500

100% Lehman US aggregate

Source: Amenc, Vaissie (EDHEC)

Frontieres d’efficience selon l’indice de fonds alternatifs

Brown, Goetzman: Hedge Funds with StyleApplication derivee d’un modele a facteur pour analyser le styleD’investissement dans la base de donnees TASS

1) Modele multifacteur

Chaque indice de style “pur” est exprime comme une combinaisonD’indices existants

2) Approche: Maximiser la proportion de variance expliquee parmiX indices appartenant a un style juge commun