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Aproximacion por mınimos cuadrados
Jose Vicente Romero Bauset
ETSIT-curso 2009/2010
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 1
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 2
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 2
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
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Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 3
Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
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Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
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Introduccion
Se minimiza6
∑i=1
(yi −a−bti −g
2t2i )2
Se obtiene g2 = 4.5217
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Introduccion
Se minimiza6
∑i=1
(yi −a−bti −g
2t2i )2
Se obtiene g2 = 4.5217
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 4
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible
→ b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de A
ww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de A
ww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.
ww�< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�
AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0
⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0
⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0
ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
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Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
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Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
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Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
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Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
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Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2,
y =1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
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Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
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Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
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Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
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Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
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Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
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Ajuste de datos
Ejemplo
El nivel del agua en el mar del Norte esta principalmentedeterminado por la marea. Se han tomado las siguientes mediciones
t 0 2 4 6 8 10
h(t) 1 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8
con t medido en horas.
a) Ajuste a los datos anteriores una recta. Para ello escriba lasecuaciones normales y resuelva dicho sistema por el metodode Gauss-Jordan. ¿Tiene sentido la solucion obtenida paratiempos grandes?
b Ajuste por mınimos cuadrados los datos anteriores a unafuncion del tipo
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 10
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
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Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
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Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
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Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd
⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
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Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)
(6 30 5.6
30 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
Ajuste de datos
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 12
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd
⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
Ajuste de datos
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