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Una aproximacion a la estadıstica bidimensionalmediante el concepto de regresion lineal para estudiantes

de Educacion Media

Yuly del Pilar Garzon BarbosaLicenciada en Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Bogota, D.C.5 de julio de 2013

Una aproximacion a la estadıstica bidimensionalmediante el concepto de regresion lineal para estudiantes

de Educacion Media

Yuly del Pilar Garzon BarbosaLicenciada en Matematicas

Trabajo de grado para optar al tıtulo deMagister en Ensenanza de las Ciencias Exactas y Naturales

DirectorPedro Nel Pacheco Duran

Profesor Asociado

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Bogota, D.C.5 de julio de 2013

Tıtulo en espanol

Una aproximacion a la estadıstica bidimensional mediante el concepto de regresion linealpara estudiantes de Educacion Media.

Title in English

An approach to bidimensional statistic through the concept of lineal regression to MediaEducation students

Resumen: En la educacion Media los conceptos de regresion lineal y correlacion puedencontribuir al desarrollo de criterios y habilidades que permitan a los estudiantes participaren la conceptualizacion, analisis y explicacion de situaciones de contexto cientıfico ysocial que involucren dos variables. Se presenta en este trabajo una revision de algunosaspectos historico epistemologicos, pedagogicos y didacticos que sustentan las actividadesque podran ser utiles en el trabajo de aula, para que de manera conjunta docentes yestudiantes lleven a cabo el proceso de ensenanza aprendizaje de la regresion lineal simple.

Abstract: In the Media education the concepts of lineal regression and correlation cancontribute to the development of criteria and skills that enable students to participatein the conceptualization, analysis and explanation of situations of scientific and socialcontext involving two variables. In this paper presents a review of some epistemological,pedagogical and didactic support the activities that may be useful in classroom work, sothat teachers and students jointly carried out the process of teaching learning of simplelineal regression.

Palabras clave: Relacion entre variables, Correlacion, Regresion lineal, Aprendizaje Sig-nificativo, Obstaculos de Aprendizaje, Resolucion de problemas, Actividades de ensenanza

Keywords: relation between variables, correlation, regression, meaningful learning, lear-ning constraints, problem solving, teaching activities.

Nota de aceptacion

Trabajo de tesis

Aprobado

“Mencion ”

Jurado

Jurado

Jurado

DirectorPedro Nel Pacheco Duran

Bogota, D.C., 5 de julio de 2013

Dedicado a

A mis padres y tıa, que con su amor, confianza y apoyo han motivado cada uno de lostriunfos alcanzados en mi vida.

A Dios por darme tranquilidad y sabidurıa en el desarrollo de este proyecto.

A mi sobrinito(a) que viene en camino a alegrar mi vida con su ternura.

Agradecimientos

Al profesor Pedro Nel Pacheco por el tiempo y la asesorıa brindada en la elaboracionde este trabajo.

A Claudia Mancipe por la lectura y ayuda en la presentacion de la propuesta.

A Diego Villada por su colaboracion en ensenarme a utilizar el programa Latex yCamilo Cuitiva por la revision de los textos en ingles.

Indice general

Indice general I

Indice de tablas III

Indice de figuras IV

Introduccion V

1. MARCOS DE REFERENCIA TEORICOS 1

1.1. MARCO HISTORICO EPISTEMOLOGICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Regresion y Correlacion. Desarrollo historico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. MARCO PEDAGOGICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Sobre el Aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Sobre la Teorıa de Aprendizaje:‘Aprendizaje Significativo ’ . . . . . . . 3

1.2.3. Sobre la ensenanza de la Estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4. Analisis de la ensenanza de la estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5. Resolucion de problemas como alternativa metodologica . . . . . . . . . 7

1.2.6. Aprendizaje Activo como esquema de las actividades . . . . . . . . . . . 8

1.3. MARCO DISCIPLINAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. ¿Cuando existe correlacion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3. Analisis de Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4. Analisis de Regresion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. DIDACTICA DE LOS CONCEPTOS: REGRESION LINEAL Y CO-RRELACION 16

2.1. Analisis Didactico: Regresion y Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I

INDICE GENERAL II

2.1.1. Contextos Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2. Contenido Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3. Tipo de Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4. Tipo de Covariacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.5. Tipo de intensidad de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Obstaculos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Obstaculos del aprendizaje de regresion y correlacion . . . . . . . . . . . 19

3. SECUENCIA DIDACTICA 21

3.1. UNIDAD 1. RELACION ENTRE VARIABLES NOMINALES . . . . . . . . . 21

3.1.1. Actividad No. 1 Relacion entre Variables de Escala Nominal . . . . . . 22

3.1.2. Actividad No. 2 Relacion entre una Variable de Escala Nominal yVariable de Escala Razon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Unidad 2. CORRELACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Actividad No. 3 Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Unidad 3. REGRESION LINEAL SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1. Actividad No. 4 Regresion Lineal Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A. Formatos de las actividades de relacion entre Variables 30

A.1. Relacion entre Variables de Escala Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.2. Relacion entre Variable de Escala Nominal y Variable de Escala Razon . . . . 33

B. Formatos para actividad de Correlacion 36

C. Formatos para actividad de Regresion Lineal 41

Conclusiones 46

Trabajo futuro 48

Bibliografıa 49

Indice de tablas

A.1. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.1 . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.1 . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.4. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.2 . . . . . . . . . . . . . . . 33

A.5. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.6. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.2 . . . . . . . . . . . . . . . 35

B.1. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.3 . . . . . . . . . . . . . . . 36

B.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.3 . . . . . . . . . . . . . . . 38

B.4. Caso Especial de Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

B.5. Ayuda para hacer calculos en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

C.1. Hoja de predicciones individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

C.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

C.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.4 . . . . . . . . . . . . . . . 43

C.4. Ayuda para hacer calculos en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

C.5. Esquema de recapitulacion de regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III

Indice de figuras

1.1. Aprendizaje Activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Proceso de metodologıa de resolucion de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Tipos de relacion entre dos variables X y Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Representacion grafica de los coeficientes de regresion . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Diagrama de dispersion y posibles rectas que pueden pasar por los puntos.Recta de regresion con distancias minimizadas ajustando por el metodo demınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV

Introduccion

La estadıstica se ha desarrollado cuantiosamente y se ha proyectado sobre diversosambitos del conocimiento humano, lo que Sanchez[26], en su trabajo de analisis de laexposicion teorica y ejercicios de correlacion y regresion en los textos de bachillerato,senala que para Barnett V. ‘La estadıstica es una disciplina practica para comprender elmundo no determinista en el que vivimos y para resolver problemas reales de la sociedaddesde la agricultura hasta la meteorologıa o la zoologıa- de la A a la Z.’. Razon por la cualnecesitamos tener mas contacto con situaciones que requieran de mayor formacion en estaciencia y que a su vez ejerciten y desarrollen el razonamiento estadıstico; de esto serıanresponsables la educacion Media y Superior.

El razonamiento estadıstico implica mas que la comprension de conceptos y proce-dimientos; la modelacion, la valoracion de los modelos a la realidad, la formulacion depreguntas, la interpretacion y sıntesis de los resultados, son tambien componentes esen-ciales de las capacidades que se quieren desarrollar en los estudiantes de secundaria.[6]

Segun Shaughnessy, Garfield y Greer(1997) el trabajo con otros conceptos y estrategiasdidacticas refuerza los objetivos sugeridos para la educacion matematica, como el trabajocon problemas que generen datos experimentales, el uso de diferentes metodos de repre-sentacion, la introduccion al trabajo con software o calculadoras y la integracion de lasmatematicas con otras areas del currıculo.

El desarrollo de pensamiento aleatorio en estudiantes de grado 10o y 11o se puedecentrar en aspectos relacionados con el analisis de datos y procesos de razonamiento es-tadıstico que permitan proyectarse hacia una estadıstica bidimensional y donde se enfaticeuna construccion de conocimiento activa y significativa por medio de actividades de apren-dizaje que impulsen la toma de decisiones y emision de inferencias en un conjunto de datos.

Entonces, surge el proposito de elaborar una propuesta didactica que apoye los aspectosmencionados y promuevan un acercamiento a la estadıstica bidimensional cumpliendo conlos estandares propuestos para el pensamiento aleatorio de los grados de la educacion mediacomo lo son: describir tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadasy usar comprensivamente algunas medidas de centralizacion, localizacion, dispersion ycorrelacion. Esta propuesta incluye tres unidades didacticas con actividades dirigidas a:relacion entre variables nominales, correlacion y regresion lineal.

A partir de la construccion del marco teorico en aspectos historico, epistemologico,pedagogico y disciplinar del concepto de regresion, se realiza un planteamiento sobre ladidactica en la ensenanza a partir de un analisis de los obstaculos de aprendizaje, que

V

INTRODUCCION VI

serviran como sustento en el planteamiento de la propuesta. Para esto se ha tenido comoreferencia la clasificacion de los obstaculos segun Brousseau.

Para la elaboracion de las unidades didacticas se seguira el modelo de taller de apren-dizaje activo.

Unidad 1: Relacion entre variables. Se plantearan dos actividades, en una de ellas sepropondra registrar datos acerca del color de cojos y color de pelo, y en la otra estatura porgenero (hombres y mujeres). Se elaboraran tablas bivariadas de frecuencias observadas,frecuencias esperadas y se definiran las condiciones de relacion en cada una.

Unidad 2: Correlacion. Se realizara un ejercicio en el que se asocie una representacionverbal con una representacion grafica. Luego, un ejercicio en el que se presentara da-tos de variables para representarlas graficamente, se hallaran los valores de covarianza ycoeficiente de correlacion. Se analizara la existencia, tipo y grado de relacion entre dosvariables.

Unidad 3: Regresion lineal simple. Se registraran datos acerca del peso para estudiantesde edades especıficas. Se construiran el diagrama de dispersion, recta de regresion, calculoe interpretacion de los coeficientes β0 y β1. Esto se hara en dos momentos: intuitiva ymatematicamente.

No se pretende que los estudiantes realicen calculos complejos. En todas las unidadesdidacticas los analisis se realizaran utilizando calculadoras y hojas de calculo Excel.

Los estudiantes a traves de estas unidades obtendran aprendizajes que les permitirancomprender y analizar situaciones de diferentes contextos que involucren variables relacio-nadas, ademas tendran contacto con mecanismos que amplıen procesos de razonamientopara ser mas reflexivos y crıticos frente a la informacion de diferentes contextos, ası comola extension del beneficio y utilidad de tecnologıas de informacion y comunicacion masalla de redes sociales y chat.

CAPITULO 1

MARCOS DE REFERENCIA TEORICOS

‘Conocer si los sucesos se relacionan y, con que intensidad lo hacen, facilita a laspersonas explicar el pasado, controlar el presente y predecir el futuro’(Crocker, 1981)

1.1. MARCO HISTORICO EPISTEMOLOGICO

De las palabras anteriores, se puede desglosar el valor que tiene las nociones de corre-lacion y regresion en los ciudadanos, en particular en los estudiantes. La relacion entre lasciencias experimentales y ciencias humanas se nota desde el surgimiento de cada uno delos conceptos, y que a partir de la ciencia se da respuesta a preguntas eticas que inevi-tablemente surgen en relacion con la experimentacion genetica, con la biologıa, fısica,astronomıa, etc.

1.1.1. Regresion y Correlacion. Desarrollo historico

Los inicios de los conceptos de correlacion y regresion se atanen a estudios relaciona-dos en Biologıa, Biometrıa y Eugenesia. En su desarrollo participaron varios actores queplantearon aportes desde su area y objeto de estudio. Uno de ellos fue Adolphe Quetelet(1796-1874) quien hizo aportes desde la aplicacion a fenomenos sociales como el estu-dio sobre el hombre medio, profundizando en las medidas antropometricas que suponıadependıan de variables independientes tales como el sexo, edad, profesion o nivel de edu-cacion.[9]

Lavalle, Michel y Rubio[24] en su artıculo senalan que los primeros trabajos que com-peten con el estudio de la regresion se remontan en el siglo XIX, cuando Francis Galton(1822-1917) unio sus dos grandes aficiones: el estudio de la herencia y la expresion ma-tematica de los fenomenos vinculados a ella. El fue el primero en trabajar con un conjuntode variables y asignar a la relacion entre dos variables un numero para ası obtener unamedida tocante a su grado de relacion, a esto se le conoce como el concepto de correlacionque fue publicado en su libro ”Hereditary Genius”(1869).

Galton sustentaba que los padres con estaturas altas solıan tener hijos de estaturamenor, mientras que padres muy bajos solıan tener hijos mas altos; hecho que fue enunciado

1

CAPITULO 1. MARCOS DE REFERENCIA TEORICOS 2

por el como la reversion a la media. La idea de estudiar las caracterısticas fısicas de los hijoscon la de sus padres surgio de la propuesta que le hizo Charles Darwin para que el pudieradar soporte a su teorıa de la evolucion. Estas conclusiones se lograron mediante el disenode un experimento con semillas de guisantes para estudiar la distribucion de los pesos delas semillas en dos generaciones debido a que no tenıa suficientes datos humanos.[15]

Segun Estepa, Gea, Canadas y Contreras [9], algunas conclusiones importantes quesurgieron de su estudio con las semillas fueron: el peso medio de las semillas filiales erafuncion lineal del peso de las semillas padres con una pendiente menor que la unidad, elpeso de cada grupo de semillas se distribuıa normalmente y la desviacion probable delpeso de las semillas filiales es la misma para todos los grupos y mas pequena que la delas semillas padres; esta ultima propiedad que Galton escribio es lo que hoy se conocecomo Homocedasticidad. Con el desarrollo de continuos estudios, se acerca a la nocionde correlacion donde experimento la influencia de las caracterısticas de los padres y otrosantepasados en los hijos. La aproximacion de cualquier parentesco especıfico puede serhallada y expresada con un termino unico, el ındice de co-relacion r, que relaciona con elmayor acercamiento cada valor de la desviacion por parte del individuo con el promediode todas las desviaciones asociadas del pariente. Cuando no hay relacion alguna, r = 0 ycuando es tan cercana es igual a 1, es decir, a esta fecha Galton consideraba que el ındicede co-relacion estaba entre 0 y 1. En conclusion, el fue pionero en el uso de reversion, loque despues se llamo regresion lineal simple; su interpretacion del concepto de correlacionfue limitada a un coeficiente que mide el grado de asociacion entre el comportamiento dedos variables, la idea que el desarrollo fue la de correlacion positiva.

Continuaron con el estudio de estos conceptos a mayor profundidad, Francis YsidroEdgeworth, Karl Pearson y George Udny Yule. Edgeworth se dedico a aplicar los metodosestadısticos aplicados en Astronomıa y Geodesia, Economıa y Sociologıa, contribuyendo aldesarrollo de regresion y correlacion. Karl Pearson continuo con el trabajo de Galton en laBiometrıa, quien fue el primero en publicar el significado de un coeficiente de correlacionnegativo, donde era posible determinar una razon cuyo valor se convierte en ± 1 y 0cuando las variables son independientes. Pearson defendio que el metodo cientıfico esbasicamente estadıstico, porque sus inferencias se basan en la asociacion entre antecedentesy consecuentes. Ademas generalizo la idea de regresion de Galton a varias variables, porlo tanto se podıa aplicar la regresion multiple.[9]

Estepa[9] nombran que las ideas de regresion se originaron con Legendre y Gauss sobreel metodo de mınimos cuadrados para ajustar los datos relacionados con las orbitas delos cuerpos celestes. Adrien Marie Legendre matematico frances dio a conocer un sistemapara determinar las orbitas de los cometas, que involucra una descripcion de este metodo,que consiste en encontrar la funcion que mejor se ajuste a datos bivariantes de acuerdocon el criterio de mınimo error cuadratico y los datos sean independientes. Se conocıanlas funciones de las orbitas, pero los errores de medida hacıan que los calculos fuesenaproximados y se ajustaran a ciertas familias de funciones, usando la teorıa de errores.

Karl Friederich Gauss matematico aleman, se dedico al mismo estudio de las orbitas,aporto al metodo de mınimos cuadrados llegando a la probabilidad normal o curva deGauss. Ademas, establecio la razon por la cual este procedimiento es adecuado desdeel punto de vista estadıstico, su Teorema de Gauss-Markov como se conoce hoy en dıamuestra que los estimadores obtenidos con este metodo son insesgados.

George Yule colaborador de Pearson trabajo sobre correlacion y relaciono la regresioncon el metodo de los mınimos cuadrados, proporcionando un gran conjunto de algoritmos


para la solucion de las ecuaciones normales, asociadas al calculo de la regresion. Su estudiofue dirigido a fenomenos sociales, como las causas de pobreza alrededor de 1899. Tambienintroduce la notacion e ideas para la correlacion parcial de dos variables fijando una tercera.La inferencia estadıstica toma fuerza en el siglo XIX a partir de la creacion de la EscuelaBiometrica del University College de Londres bajo la direccion de Pearson

1.2. MARCO PEDAGOGICO

‘La teorıa del aprendizaje explica el proceso que sigue el sujeto que aprende; es decir,supone una dinamica del aprendizaje. Esta aportacion es de capital importancia para lateorıa didactica porque descubrir el proceso de aprendizaje implica una cierta normatividadpara la ensenanza. Esto es lo que facilita una intervencion pedagogica precisamente en eldesarrollo mismo del proceso de ensenanza-aprendizaje.’(Gimeno Sacristan)

1.2.1. Sobre el Aprendizaje

El aprendizaje se asocia con elementos importantes como la construccion activa, desa-rrollo del pensamiento, procesamiento de informacion, asociacion con conceptos previos,conocimiento como interpretacion de la realidad que la persona realiza. Piaget postula queel aprendizaje humano implica un conocimiento y este se lleva a cabo por medio de lasinteracciones con experiencias fısica y sociales; especıficamente las bases que determinanel aprendizaje son la experiencia, la actividad y el conocimiento previo. El sujeto activo esel estudiante,es el mayor responsable en encontrar significado a lo que aprende alejandosede una tendencia memorıstica. Es importante que el docente promueva que los estudiantestengan contacto con practicas concretas, con el medio fısico y social y una reflexion apartir de estas.

Para orientar adecuadamente el aprendizaje se consideran las fases propuestas porRobert Gagne, lo que el llamo fases de instruccion: motivacion, aprehension, adquisiciony retencion. Con la motivacion se intenta establecer expectativas hacia lo que se va aaprender, la aprehension es dirigir y orientar la atencion para facilitar el aprendizaje, laadquisicion es promover el almacenamiento de la informacion y la retencion es ampliar laadquisicion y eliminar interferencias en el aprendizaje.

1.2.2. Sobre la Teorıa de Aprendizaje:‘Aprendizaje Significativo ’

Para Ausubel, el aprendizaje significativo es un proceso por el cual se relaciona nuevainformacion con algun aspecto ya existente en la estructura cognitiva de un individuo yque sea relevante para el material que se intenta aprender. Dicho aprendizaje incorporael material que se presenta al alumno relacionandolo con el ya existente en la estructuracognitiva del alumno, modificandolo o ampliandolo. La estructura cognitiva esta formadapor lo que el alumno ya sabe, bien o mal, pero que tiene en su memoria. Esto que ya sabepuede consistir en un sistema de conceptos organizados jerarquicamente mediante con-ceptos mas amplios, que Ausubel llama inclusores; puede ser un conjunto de preconceptoso prejuicios que dificultan el aprendizaje y puede ser un sistema de destrezas, valores yaptitudes.


Cuando no existen conceptos inclusores relevantes para el nuevo material que se pre-senta al alumno, la informacion nueva tiene que adquirirse de memoria, es decir, cadaconocimiento se almacena arbitrariamente en la estructura cognitiva produciendose enun aprendizaje memorıstico que se olvida con facilidad. Por lo tanto lo primero que hayque hacer para producir aprendizaje significativo es averiguar lo que el alumno ya sabey como lo sabe, o en palabras de Ausubel ıdentificar los conceptos inclusores pertinentesque existen en la estructura cognitiva del alumno.”[20]

En resumen, Ausubel[1] sintetiza: ”Si tuviese que reducir toda la psicologıa educativaa un solo principio, enunciarıa este: El factor mas importante que influye en el aprendizajees lo que el alumno ya sabe. Averıguese eso y ensenese consecuentemente”

La figura 1.1 presenta de manera concreta los aspectos mas relevantes del aprendizajesignificativo. Segun Ausubel para que se produzca un aprendizaje significativo es precisoque tanto el material que debe aprenderse como el sujeto que debe aprenderlo cumplanciertas condiciones. En relacion al material, es preciso que posea significado en sı mismo,es decir, que sus elementos estan organizados en una estructura. Pero no solo dependedel material, para ello es necesario que la persona cumpla otras condiciones. Es necesariauna predisposicion para el aprendizaje significativo, por lo que la persona debe teneralgun motivo para aprender. Ademas, es necesario que la estructura cognitiva del alumnocontenga ideas inclusoras, esto es decir, ideas con las que pueda ser relacionado el nuevomaterial.

Figura 1.1. Aprendizaje Activo

Ventajas

Algunas ventajas puntuales del aprendizaje significativo en esta propuesta son:

• Los conceptos aprendidos pueden servir mas tarde como inclusores para un apren-dizaje posterior de conceptos relacionados.

• Los conocimientos que son aprendidos significativamente por una persona puedenextender el conocimiento de conceptos relacionados. Pueden tener relevancia conexperiencias de aprendizajes posteriores.

• La informacion aprendida significativamente sera retenida mas tiempo.

• Relacionan materiales de estudio.


• Integran elementos del nuevo conocimiento con el conocimiento ya existente.

1.2.3. Sobre la ensenanza de la Estadıstica

Cuando se habla de la ensenanza de la estadıstica en la mayorıa de veces se centraen la ensenanza de tecnicas y procedimientos, pero ha faltado promover el razonamientoestadıstico. La solucion de problemas reales, proyectos estadısticos y analisis de datosreales pueden ser herramientas utiles para mejorar la comprension dentro de un contextoparticular utilizando adecuadamente el lenguaje estadıstico.[29]

Rocha[21]menciona que los elementos del pensamiento o razonamiento estadıstico pue-den resumirse en cinco componentes basicos, segun Wild y Pfannkuch (1998)

1. Reconocimiento de la necesidad de los datos: en el pensamiento estadıstico unahipotesis basica e importante es que muchas situaciones reales solo pueden ser en-tendidas a partir de un apropiado analisis de los datos recolectados. La experienciapersonal o evidencia informal producen juicios erroneos o decisiones equivocadas.

2. Transnumeracion: esto se utiliza para indicar que la comprension aparece cuando losdatos representados son cambiados. Se definen tres tipos de transnumeracion:

• Cuando se salta de las medidas observadas, al registro de cualidades o carac-terısticas

• Cuando se trasforman los datos sin procesar a graficas tabulares o representa-ciones. (Determinar tendencias y patrones)

• Cuando se comunican los significados atribuidos a los datos que sean entendiblespara los demas.

3. Percepcion de la variacion: la recoleccion de datos y los juicios correctos a partir delos mismos requieren la comprension de que la variacion existe y es transmitida alos datos, tambien como la incertidumbre por variacion inexplicada.

4. Razonamiento con modelos estadısticos: cualquier herramienta estadıstica, aun unagrafica, una lınea de regresion o un resumen estadıstico es un modelo, si es utilizadopara representar la realidad. Es importante diferenciar los datos del modelo y almismo tiempo relacionar el modelo con los datos.

5. Integrar la estadıstica con el contexto: este es el principal componente del razo-namiento estadıstico que resulta de las implicaciones y conjeturas originadas porel conocimiento estadıstico en un contexto determinado, el pensamiento estadısticollega a ser significativo cuando involucra el contexto.

A parte estos elementos tambien existen modelos de ensenanza de la estadıstica enlos que predomina el interes de promover el razonamiento estadıstico y la comprensionconceptual por encima del aprendizaje de procedimientos y formulas. Estos modelos sonnombrados por Zapata[29], uno de ellos es el PPDAC que fue creado por Mackay y Oldforden 1994 pero quienes lo dieron a conocer fueron Wild y Pfannkuch(1998-2000). Un objetivode este modelo es estimular el acercamiento a la estadıstica desde contextos reales, sussiglas PPDAC significa problemas (preguntas de investigacion), plan (procedimientos paradesarrollar el estudio), datos (recoleccion de datos), analisis (resumenes estadısticos y


analisis) y conclusiones (declaraciones acerca de lo que se ha aprendido). Cada una deestas etapas conlleva a la otra.

El modelo GAISE (guıa para la evaluacion y la instruccion en educacion estadıstica)plantea la ensenanza de la estadıstica con cuatro etapas: Formulacion de preguntas, reco-leccion de datos, analisis de datos e interpretacion de resultados. Son muy similares a laspropuestas por el modelo PPDAC pero segun Aliaga, Cobb, Cuff & Garfield (citado porZapata[29]) GAISE agrega las siguientes recomendaciones:

1. Enfatizar alfabetizacion estadıstica y desarrollar razonamiento estadıstico

2. Usar datos reales

3. Enfatizar la comprension conceptual mas que el aprendizaje de procedimientos

4. Promover el aprendizaje activo en el salon de clase

5. Usar tecnologıa para analizar datos

6. Usar la evaluacion para mejorar el aprendizaje.

1.2.4. Analisis de la ensenanza de la estadıstica

Este analisis surge del enfoque propuesto por Fernandez, Monroy y Rodrıguez en ellibro Diseno, desarrollo y evaluacion de situaciones problematicas de estadıstica, donderealizan un estudio desde tres perspectivas (contenido, ensenanza y aprendizaje), que paraeste caso particular se tendra en cuenta lo relacionado con el analisis de la ensenanza.

Se puede reafirmar lo significativo que es desarrollar procesos de innovacion curricularen educacion estadıstica que esten basados en ideas constructivistas y que giren alrededorde la resolucion de problemas. Ası como plantear situaciones donde se perciba:

• El papel que juega la resolucion de problemas.

• Uso mas generalizado de recursos tecnologicos.

• Mayor compromiso de los docentes en generar situaciones problematicas y ponerlasen practica.

• Motivacion del estudiante para mejorar su compresion.

Es importante considerar el analisis a nivel de la interaccion social en la resolucionde problemas, este debe aportar esquemas conceptuales y metodologicos que permitanobservar, analizar y describir la manera como un grupo de estudiantes desarrollan indivi-dualmente y dan validez conjuntamente al conocimiento matematico relacionado con losconceptos objetos de estudio que constituyen socialmente .

Uso de la tecnologıa

Las calculadoras y computadores son componentes muy importantes que se relacionancon el trabajo que se puede realizar en la ensenanza de la estadıstica. Permiten accedercon mas rapidez a representaciones graficas que hacen mas interesante y efectivo el analisisde datos para los estudiantes. El estudiante se concentrarıa mas en el significado de los


resultados que en los procesos de calculo; el uso de estas herramientas debe ser sumo decuidado, buena parte del tiempo la podrıan invertir en trabajos con datos antes de lanzarsea interpretar los resultados que se pueden obtener cuando se utilizan los computadores opaquetes estadısticos.[22]

1.2.5. Resolucion de problemas como alternativa metodologica

El termino problema se suele reservar a veces para designar actividades en el curso dela clase en el cual el alumno debe buscar, establecer relaciones y hacer frente a situacionesnuevas. Para C. Gaulin (1982) ‘la diferencia entre un ejercicio ’y ‘un verdadero problema’es relativa. ‘Lo que para una persona es un problema no rutinario, puede ser un sim-ple ejercicio para otra: todo depende de los conocimientos y experiencias anteriores delalumno.’

La diferencia entre realizar un ejercicio y enfrentarse a una situacion problema, esla parte afectiva, ya que ella juega un papel muy importante. Existen sentimientos quese experimentan a lo largo de las etapas que siguen la resolucion a un problema. Estossentimientos pueden actuar como el motor que impulse la busqueda de una solucion o, porel contrario bloquear dicho proceso, debido al peso de las emociones negativas. Durante lafamiliarizacion se suele experimentar una tension en la busqueda de un plan de resolucion,tension que en algunos puede desembocar en interes y en otros en ansiedad; cuando seproduce la inspiracion se tienen sentimientos positivos que cobran mas o menos intensidadsegun las expectativas que se tengan sobre el exito de dicho plan; por ultimo en el momentode la verificacion de la solucion se puede sentir placer o frustracion, segun la validacion deun plan previsto.

Las nociones matematicas sean vistas por el alumno como herramientas para resolverproblemas o para hacer que los conocimientos ensenados tengan sentido para el alumno.[3]

Figura 1.2. Proceso de metodologıa de resolucion de problemas


1.2.6. Aprendizaje Activo como esquema de las actividades

El aprendizaje activo estimula la construccion del conocimiento a traves del compro-miso y participacion en el trabajo en equipo, esta construccion se hace por medio de laobservacion directa del mundo real. En este aprendizaje se resaltan varios momentos:

• Exploracion y predicciones

• Actividad experimental

• Resultados y discusion

• Ampliacion y sıntesis

El aprendizaje activo se relaciona con el aprendizaje significativo en el uso de co-nocimientos previos para incorporar el nuevo conocimiento a sus esquemas cognitivos,apoyandose con la experimentacion o la resolucion de problemas. En el desarrollo de unaactividad con el modelo de aprendizaje activo los estudiantes comunican (verbal y noverbal), experimentan y trabajan en equipo.

En el estudiante se busca promover mayor independencia, autonomıa, responsabilidadcapacidad de analisis y sıntesis; en este caso se requiere que intervenga como agente activo.

El papel del docente en este modelo cambia de ser el protagonista a ser mediador ymotivador, es decir, sus funciones estarıan enfocadas a guiar el aprendizaje, resolver dudas,disenar nuevas actividades, orientar y acompanar.

El aprendizaje activo se debe introducir poco a poco debido a que esto podrıa generarrechazo si los estudiantes estan acostumbrados a otras formas de trabajo, esto no quieredecir que sea imposible plantear otro tipo de actividades, por el contrario pueden ayudara adquirir conocimiento por vıas alternas.

1.3. MARCO DISCIPLINAR

1.3.1. Introduccion

Una buena porcion de la actividad matematica se puede describir como un proceso demodelacion de situaciones relacionadas con la ciencia, economıa, entre otras. Segun Henry[16] ‘un modelo es una interpretacion abstracta, simplificada e idealizada de un objetodel mundo real, de un sistema de relaciones o de un proceso evolutivo que surge de unadescripcion de la realidad. ’

Con la modelacion se descubren patrones de comportamiento sistematico para datosobtenidos en un experimento que contienen una componente aleatoria y explica la va-riabilidad de una caracterıstica observada. Si bien en rigor no se puede pensar que unmodelo sea real, en el sentido que sea una fiel representacion de un fenomeno o sistema, enestadıstica las inferencias estan basadas en que el fenomeno se rige por un modelo deter-minado y la variacion de datos se debe a otras causas, o a la misma naturaleza aleatoriadel fenomeno. Las situaciones en las que se interesa por encontrar un modelo se generana partir del interes que existe en explicar la variabilidad de una caracterıstica observadasobre unidades observacionales independientes y homogeneas, esta caracterıstica se conoce


como variable respuesta. En esta situacion se habla de un modelo que es una distribucionde probabilidad, pero se encuentran otras situaciones, en las que no hay homogeneidad yse requiere algo mas que una distribucion de probabilidad para explicar la variacion de losdatos, la respuesta cambiarıa cuando algunas de estas condiciones medibles operan sobrelas unidades experimentales, a estas condiciones se le llaman variables explicativas. [13].

En muchos problemas practicos ha sido de interes encontrar la relacion entre dos o masvariables y medir el grado de tal relacion. Cuando se supone que entre dos variables existeuna relacion lineal, se utiliza el metodo de los mınimos cuadrados para obtener la lınea deregresion que mejor pronostica los valores de una variable a partir de la otra y se empleael coeficiente de correlacion para medir la fuerza de la relacion entre las dos variables.

1.3.2. ¿Cuando existe correlacion?

De forma general, para determinar si dos variables estan o no relacionadas(X variableindependiente o explicativa y Y variable dependiente o respuesta), se toman algunos datos,donde para cada individuo se estudie las dos caracterısticas de modo que se obtenga unpar de valores (xi, yi) con i = 1, 2,...,n

Consecutivamente se representa dichos valores en el plano cartesiano obteniendo elDiagrama de Dispersion o Nube de Puntos, cada individuo sera representado por unapareja ordenada (xi, yi).

Figura 1.3. Tipos de relacion entre dos variables X y Y

Al analizar el diagrama de dispersion se puede encontrar los casos de relacion presenta-dos en la figura 1.3(tomada de [12]). Es importante distinguir entre dependencia funcionaly dependencia aleatoria. En la dependencia funcional (figura 1.3 (d y e)) la relacion esperfecta y = f(x), pero lo que suele suceder es que no existe una dependencia funcional,sino otra dependencia menos rigurosa llamada aleatoria (figura1.3 (b y c)), esta relacion


se podrıa escribir de la forma y = f(x) + ε. Donde ε es una variable aleatoria que to-ma valores positivos y negativos, esta se puede considerar como una variable sustitutivade las variables que faltaron incluir en el modelo, o tambien se debe a errores de medi-da en la muestra. En el caso de la figura 1.3(a) corresponde a la ausencia de relacion oindependencia.[12]

En la dependencia aleatoria, se distinguen dos tipos de analisis:

• Analisis de correlacion: responderıa a las siguientes preguntas ¿Existe dependenciaentra las variables? ¿Cual es el grado de la dependencia?

• Analisis de regresion: tiene como fin dar respuesta a las siguientes preguntas ¿Cuales el tipo de dependencia entre las variables? ¿Pueden estimarse los valores de Y apartir de los de X?

1.3.3. Analisis de Correlacion

La covarianza es una medida que habla de la dependencia entre las dos variables, sinembargo la covarianza tiene el inconveniente que se trata de una medida dimensional, ypor lo tanto es necesario conocer el grado o fuerza de la relacion. Como viene medida enunidades de la variable X por unidades de la variable Y se divide entre las correspondientesdesviaciones tıpicas obteniendo el conocido Coeficiente de correlacion lineal de Pearson yse denota ası:

ρ =cov(X,Y )√V [X]

√V [Y ]

=σxyσxσy

Este coeficiente es valido para analizar si la fuerza entre las dos variables es de tipolineal.[12]

El analisis de correlacion intenta medir la fuerza de las relaciones entre dos variablespor medio de un numero, a continuacion se presentan algunas de sus propiedades:

• El coeficiente de correlacion es un indicador sin unidades

• El valor de ρ esta entre -1 y 1, −1 < ρ < 1

• Si ρ = 0 existe correlacion lineal nula entre X y Y, aunque puede haber una corre-lacion no lineal

• Cuando mas se aproxime ρ a 1 o -1, la relacion sera mas intensa. Sera mas debil, encambio, cuanto mas se aproxime a cero.

• El signo de ρ depende del signo de la covarianza o de la pendiente β1

• El signo de ρ indica la direccion de la relacion entre las dos variables X y Y. Si existeuna relacion inversa, esto es, si Y disminuye al aumentar X, entonces ρ caera entre-1 y 0. De manera similar, si existe una relacion directa entonces ρ sera un valor enel intervalo de 0 a 1.

• ρ es de naturaleza simetrica; esto implica que el coeficiente de correlacion entre X yY ρxy es igual al coeficiente de correlacion entre Y y X ρyx


El coeficiente de correlacion tambien se puede entender como el coseno del angulo entreX, Y

ρ = cosα =〈X,Y 〉‖X‖‖Y ‖

=

∑xiyi√∑

x2√∑

y2=

σxyσxσy

Este coeficiente no implica causalidad, para establecer una relacion de causa efectoentre dos variables es preciso que la variable causal preceda a la variable causada y cumpliruna serie de condiciones (reversibilidad, fortaleza, respuesta de la exposicion) contenidasen el llamado Modelo de Rubin/Bradford Hill.

Con frecuencia, el analisis de correlacion se utiliza junto con el analisis de regresionpara medir que tan bien explica la lınea de regresion los cambios de la variable respuestaY.

Segun Sanchez [26] en el analisis del concepto de regresion y correlacion presentado endiferentes textos en Espana, hace una clasificacion de las propiedades del coeficiente decorrelacion en tres secciones:

1. Aquellas que hacen referencia a alguna caracterıstica de la correlacion

2. Aquellas que hacen referencia a alguna caracterıstica de la regresion

3. Aquellas que aluden a alguna cualidad del coeficiente de correlacion

En el primer grupo ubica las propiedades que se utilizan para definir algun tipo decorrelacion, bien sea correlacion directa fuerte, correlacion inversa fuerte, perfecta o noexiste, en base a un determinado valor que alcanza el coeficiente de correlacion. Una deestas podrıa ser si el coeficiente esta entre 0 y 1 la correlacion sera mas intensa a medidaque se aproxime a 1, y mas debil a medida que se aproxime a cero.

En el segundo grupo se incluyen las que a partir de ciertos valores del coeficiente decorrelacion ofrecen informacion acerca de las rectas de regresion. Hace referencia a si elcoeficiente es 1 se deduce que todos los puntos de la variable bidimensional (X,Y ) seencuentran sobre la recta de regresion y si es 0 las rectas de regresion son perpendicularesy la correlacion es mınima.

Y por ultimo, el grupo tercero abarca aquellas propiedades que hacen referencia acaracterısticas intrınsecas al coeficiente de correlacion, si ρ es el coeficiente de correlacionlineal, se verifica −1 ≤ ρ ≤ 1.

Una vez que el estudio de la correlacion indica la existencia de una relacion suficien-temente intensa, se observa que el diagrama de dispersion se distribuye alrededor de unalınea o tendencia. El objetivo de la regresion es encontrar una lınea, que represente lo mejorposible la relacion que hay entre las variables; las soluciones a este problema son multi-ples, pues es posible ajustar a la distribucion conjunta de diferentes funciones matematicassiguiendo distintos criterios de ”bondad de ajuste”.


1.3.4. Analisis de Regresion Lineal

El analisis de regresion consiste en emplear metodos que permitan ajustar una ecuacional conjunto de datos de estudio, esta ecuacion va a describir el comportamiento de lavariable respuesta Y, dados los valores de la variable de prediccion o explicativa X. Cuandoen un modelo de regresion existe una unica variable X, se denomina modelo de regresionlineal simple, en el caso donde hay mas de una variable X se le llama modelo de regresionlineal multiple.

Dos variables estan asociadas en la medida en que una de ellas es un buen predictorfuncional de la otra. En diversas situaciones el interes radica en buscar explicaciones paralos valores de las variables respuestas, en termino de las variables de prediccion, estoquiere decir buscar explicaciones de tipo causal. La variacion conjunta o sincronizada dedos variables se puede entender como la covarianza y es el punto de partida en el estudiode la correlacion.

A menudo se encuentra una relacion causal entre variables, esto es, que cambios in-tencionales en la variable explicativa X ocasionan que la variable respuesta Y cambie.Existen otros factores que producen los cambios tanto en las variables respuestas como enlas explicativas. Por esta razon, es importante considerar las relaciones encontradas porla regresion como relaciones de asociacion pero no necesariamente de causa y efecto. Amenos que se tenga razones especıficas para creer que los valores de la variable respuestason ocasionados por los valores de las variables explicativas, no infiera causalidad de lasrelaciones que encuentra mediante la regresion.

Para el estudio de la regresion lineal es importante tener en cuenta la diferencia entredependencia funcional y aleatoria; la dependencia aleatoria extiende la dependencia fun-cional, ya que esta es un caso particular de la primera, cuando la correlacion es perfecta.En el analisis entre la relacion entre dos variables existen situaciones en que el valor de unavariable determina exactamente el valor de la otra. Sin embargo, hay situaciones en las queuna variable depende mas o menos intensamente de la otra, pero sin que esa dependenciallegue a ser determinıstica.

Pueden distinguirse los siguientes tipos:

Relacion directa cuando existe una influencia directa entre las variables. Aquı se consi-deran dos casos: unilateral que es cuando la ocurrencia de una variable X influye enla ocurrencia de Y, pero no a la inversa. Y la directa bilateral cuando la ocurrenciade una variable X influye en la ocurrencia de Y, y viceversa.

Relacion inversa cuando la variable respuesta decrece al aumentar la variable explica-tiva.

La covarianza proporciona un primer coeficiente para variables cuantitativas, el signode la covarianza indica el tipo de asociacion (directa o indirecta) y en el caso de indepen-dencia toma un valor nulo.

cov(X,Y ) =1

N

∑(xi − x)(yi − y)

El primer paso en la determinacion de la relacion entre dos variables es examinar lagrafica de los datos observados. Este grafico se conoce como diagrama de dispersion odiagrama de puntos, en el cual el patron de puntos resulta de que cada pareja de datos de


la tabla se registre como un punto, en donde, en el eje de las abscisas se ubica la variableexplicativa y en el de las ordenadas la respuesta. Este grafico puede brindar informacion,visualmente se puede buscar patrones que indiquen que las variables estan relacionadas,entonces si esto sucede, se puede ver el tipo de lınea o ecuacion de estimacion que describeesta relacion.

Una funcion de regresion es la union de los promedios condicionales de la variabledependiente Y para los valores de fijos de la variable independiente o explicativa X, ası quepara este caso es una funcion lineal de la siguiente forma:

E(Y ) = β0 + β1Xi

Esto indica que el valor promedio de Y varıa con X. Los coeficientes de regresion sonβ0 y β1, el coeficiente β1 es la pendiente de la recta e indica cuantas unidades varıa Y porcada unidad que aumenta X, llamado coeficiente de regresion y β0 es el punto de corte dela recta con el eje y e indica cuanto es el valor de la variable Y cuando X toma el valorcero, tambien llamado coeficiente de interseccion. Esto se puede ver de manera grafica enla figura1.4)

Figura 1.4. Representacion grafica de los coeficientes de regresion

Es conveniente definir la variable aleatoria Y por medio del modelo estadıstico (depen-dencia aleatoria), en el que para un valor de Xi, los valores de Y se concentran alrededordel promedio de Y,

Yi = β0 + β1Xi + ui

donde ui es una variable aleatoria que corresponde al error aleatorio de la i observaciontambien llamado error aleatorio.

De manera similar, se plantea una ecuacion que permita ajustar los valores de Yi,

Yi = β0 + β1Xi + εi

donde Yi =Valor de Y ajustado

β0 =Coeficiente de interseccion

β1 =Pendiente de la funcion


εi=Residuo

Interpretacion de los coeficientes de regresion β0 y β1

En esta parte se va a referir a la interpretacion propuesta por Ordonez[19] de cada unode estos coeficientes:

β0 Es el valor promedio de la variable respuesta Y cuando la explicativa X vale cero.

β1 La relacion entre las variables es directa y mide el incremento de la variable respuestaY por cada aumento de una unidad en la variable explicativa X, si β1 > 0. Si β1 < 0la relacion es inversa y mide el decremento de la variable respuesta por cada aumentode una unidad en la explicativa.

Metodo de mınimos cuadrados

Dado el diagrama de dispersion de las variables X y Y, las parejas de observaciones(xi, yi), se pueden pasar infinitas rectas que representen los puntos, pero ¿como elegir laque mejor se ajuste a los datos?

La recta que se elija debe ser la mejor de todas en algun sentido. La recta de regresiondebe ajustarse a la mayorıa de observaciones, es decir, pasar lo mas cerca posible de cadauno de los puntos del diagrama. En este caso, se necesita buscar un metodo o criterio quehaga mınima la diferencia entre los valores observados y los estimados, a este metodo sele llama Mınimos Cuadrados, esto significa que la suma de los cuadrados de las distanciasverticales de los puntos a la recta debe ser lo mas pequena posible.

Figura 1.5. Diagrama de dispersion y posibles rectas que pueden pasar por los puntos. Recta deregresion con distancias minimizadas ajustando por el metodo de mınimos cuadrados

Segun Canavos [5] el metodo de mınimos cuadrados considera la desviacion de laobservacion Yi de su valor medio y determinar los valores de β0 y β1 que minimizan lasuma de cuadrados, a esta se le llama suma de cuadrados de los errores y se denota conSCE.

εi = Yi − (β0 + β1xi)

SCE =∑

ε2i =

∑(Yi − Y )2 =

∑(Yi − β0 − β1xi)

2


se diferencia SCE con respecto a β0 y β1 y despues de comprobar que el determinantede la matriz de segundas derivadas es mayor que cero, entonces

∂(∑ε2i )

∂β0= −2

∑(Yi − β0 − β1xi) = 0

∂(∑ε2i )

∂β1= −2

∑(Yi − β0 − β1xi)xi = 0

Al simplificar y reacomodar, se obtienen las ecuaciones normales:∑Yi = nβ0 + β1

∑xi∑

xiYi = β0

∑xi + βi

∑x2i

Estas ecuaciones se resuelven y se obtiene las formulas para la solucion de los parame-tros

β1 =n∑xiyi − (

∑xi)(

∑yi)

n∑x2i − (

∑xi)2

=

∑(xi − x)(yi − y)∑

(xi − x)2

β0 =

∑yi − β1

∑xi

n= Y − β1X

Coeficiente de determinacion

Luego de elegir la recta de regresion se necesita encontrar una medida que tenga encuenta la dispersion de cada observacion con la recta, es decir, se debe evaluar las distanciasverticales a la recta, lo que recibe el nombre de errores o residuales.

Cuanto menos dispersos sean los residuos mejor sera la bondad del ajuste de la regre-sion. En consecuencia, una medida de la bondad del ajuste de regresion es el coeficientede determinacion:

R2 = 1− SCESCT ,con SCE < SCT , toma valores entre [0, 1],

Donde SCE es la suma de los cuadrado de los errores y SCT la suma de cuadradototales

R2 =V [Y ]

V [Y ]

Con V [Y ] varianza de los valores ajustados y V [Y ] varianza de los datos de la variableY.

• Si R2 = 1, la dependencia es funcional perfecta. Cuando el coeficiente de determina-cion se acerca a 1 mayor poder explicativo tendra el modelo de regresion, en otraspalabras el ajuste es bueno.

• Si R2 = 0, X no explica ninguna de las variaciones de la variable Y, se podrıa decirque el modelo es inadecuado. Cuando el coeficiente se acerca a cero, menor poderexplicativo tiene el modelo.

CAPITULO 2

DIDACTICA DE LOS CONCEPTOS:

REGRESION LINEAL Y CORRELACION

El eje fundamental de la educacion estadıstica es identificar en los estudiantes aquellospuntos difıciles y errores que permanecen al finalizar la ensenanza de un concepto, paraası poder crear situaciones que solventen dichas dificultades. Son pocos los obstaculos delos alumnos que se conocen aun en muchos conceptos. Quizas se deba a que la estadısticacomo ciencia, atraviesa un periodo de notable expansion, siendo cada vez mas numerososlos procedimientos disponibles, alejandose cada vez mas de la matematica pura y convir-tiendose en una ‘ciencia de los datos’, lo que implica que la dificultad de ensenar un temaen continuo cambio y crecimiento. Ası como el hecho que la sociedad cada vez es mascomputarizada y va en busca de comprension de las tecnicas basicas de analisis de datosy su interpretacion adecuada son cada dıa mas importantes.

La ensenanza formal parece insuficiente para superar los errores que se puedan presen-tar por inadecuados razonamientos intuitivos, ası que los estudiantes necesitan experienciasobre los fenomenos aleatorios. Es importante dar a los estudiantes la oportunidad de ex-perimentar calculos y representaciones graficas utilizando computadores y calculadoras;ası como con la simulacion que puede contribuir a mejorar la comprension del estudiantede las ideas de variabilidad muestral, estadıstico y distribucion.

2.1. Analisis Didactico: Regresion y Correlacion

Los estudiantes deben el aprendizaje de una nocion, en parte, a la calidad de actividadesque resuelven, adquiriendo con la practica una experiencia acumulada que les ayudara aformar el conocimiento de tal concepto.

Para el tema especıfico de esta propuesta: Regresion y correlacion, se propone unanalisis didactico a partir del planteamiento de actividades o ejercicios que se encuentranen algunos libros que son utilizados como material didactico de apoyo, en relacion conlos contextos utilizados, contenido matematico, tipo de tarea, tipo de covariacion, tipoe intensidad de dependencia y otras variables, segun Sanchez [26]. Se describen algunasobservaciones frente a como se ensena el concepto, que estrategias y ayudas se podrıantener en cuenta para el proceso ensenanza-aprendizaje.

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CAPITULO 2. DIDACTICA DE LOS CONCEPTOS: REGRESION LINEAL Y CORRELACION 17

2.1.1. Contextos Utilizados

Desde el punto de vista didactico las actividades que se proponen a los estudiantesdeben estar contextualizadas en campos de interes del estudiante. A partir de los trabajosde Tukey se considera la Estadıstica como ciencia de los datos y el dato no como un nume-ro, sino como informacion situada dentro de un contexto. Segun Willet y Singer (1992)(citado en [26] ) cada conjunto de datos que se proporcione al alumno debe ir acompanadode suficiente informacion sobre el contexto e incluso sobre los objetivos planteados al re-coger estos datos. Los datos deben ser interesantes a ellos para permitirles un aprendizajesignificativo.

Si falta el contexto serıa imposible realizar interpretacion de los resultados obteni-dos, simplemente existirıa el calculo de estadısticos, con el fin de llegar a dominar dichasformulas. Pero esto ya esta superado porque las calculadoras, hojas de calculo y demaslo resuelven con precision, mientras que lo que deberıa fomentarse es la interpretacion ymodelacion.

Para el tema de regresion los contextos mas utilizados son los relacionados con fenome-nos fısico-quımicos, biologicos y especıficamente estatura de padres e hijos (problema quegenero el estudio de este concepto por Galton) y peso y altura de personas.

2.1.2. Contenido Matematico

De todas las ideas o contenidos teoricos asociados a la regresion lineal, ¿cuales se ponenen juego al momento de plantear las actividades o unidades didacticas?

Se podrıa evitar caer en la trampa de presentar nociones teoricas que se van a excluiren los ejercicios propuestos. O exclusivamente solicitar a los estudiantes el calculo o inter-pretacion del coeficiente de correlacion y la recta de regresion de Y sobre X, dando toda laprioridad a estas nociones y dejando por fuera los diagramas de dispersion y la covarianza.El estudio aislado del coeficiente de regresion, elaboracion de tablas, representacion graficaprestarıa poca atencion a situaciones interpretativas.

2.1.3. Tipo de Tarea

Los tipos de tarea que se considera, son: (El orden en el que se nombran carece deimportancia en esta propuesta)

1. Calculo: cuando se limita al calculo numerico de estadısticos, su finalidad es pura-mente algorıtmica.

2. Interpretacion: cuando se pide interpretar los valores de estadısticos o coeficientespara deducir el tipo de relacion entre las variables.

3. Representacion grafica de la distribucion bidimensional mediante diagramas de dis-persion: es un aspecto muy importante porque da una vision de lo que es una relacionentre variables y son usados con frecuencias en diferentes medios.

4. Prediccion: cuando se predice valores de una de las variables conocida la otra, em-pleando los resultados sobre la regresion y correlacion.


5. Comprobacion de propiedades de los coeficientes o estadısticos: en este aspecto desa-rrollarıan capacidad de reconstruir demostraciones matematicas sencillas.

6. Comparar los grados de asociacion o los valores de los coeficientes en diferentesconjuntos de datos

7. Recoger y analizar datos: cuando se requiere que el estudiante recolecte datos yrealice un estudio estadıstico.

2.1.4. Tipo de Covariacion

Con objeto de hacer ver al estudiante que la correlacion y la causalidad solo algunasveces coinciden, conviene presentarles los diferentes tipos de covariacion.

2.1.5. Tipo de intensidad de dependencia

El uso de unicamente dependencia directa puede contribuir a que el estudiante man-tenga una nocion de correlacion erronea y le incite a creer que la mayorıa de las vecesque resuelve problemas de correlacion, debe existir correlacion directa y que la correlacioninversa y la independencia son casos excepcionales.

2.2. Obstaculos de aprendizaje

La nocion de obstaculo se puede constituir como la herramienta didactica que permiteexplicar la existencia de errores y dificultades especiales, (Brosseau, 1983) define algunascaracterısticas del obstaculo pero aquı se destacan: ‘Un obstaculo es un conocimiento, nouna falta de conocimiento’y ‘El alumno no es consciente del obstaculo’.

Algunas dificultades experimentadas por los estudiantes se deben a una falta del cono-cimiento basico necesario para una comprension correcta de un concepto o procedimientodado. El proposito de la caracterizacion de concepciones y obstaculos es que ello permitedelimitar los distintos componentes implicados en la comprension de un concepto.

Brousseau[3] en sus investigaciones ha identificado tres tipos de obstaculos:

• Obstaculos ontogenicos (a veces llamados obstaculos psicogeneticos): son debidos alas caracterısticas del desarrollo del nino y que se refleja en las concepciones que vandesarrollando los estudiantes durante su aprendizaje.

• Obstaculos didacticos: resultan de las elecciones didacticas hechas para establecer lospropositos de ensenanza. Estos obstaculos deben evitarse para lo cual es necesarioidentificarlos y analizar sus consecuencias.

• Obstaculos epistemologicos: Relacionados intrınsecamente con el propio concepto,su naturaleza y conteniendo parte delgnificado del mismo.


2.2.1. Obstaculos del aprendizaje de regresion y correlacion

Se describen algunos obstaculos que se pueden presentar en el aprendizaje del conceptode regresion lineal en estudiantes de la educacion media, esto con el animo de ser tenidosen cuenta en el trabajo de aula.

Obstaculos Ontogenicos

• Un obstaculo puede ser la confusion entre azar y causalidad por parte de los estu-diantes.

• Falta de motivacion, de atencion y comprension del tema.

• Conocimientos previos insuficientes: realizacion de graficos, calculo e interpretacionde las medidas de tendencia central y dispersion, construccion de tablas.

Obstaculos Didacticos

• Los alumnos pueden llegar a una falta de interes hacia la estadıstica, porque se lesha ensenado en forma muy abstracta en edades tempranas.

• Gran parte de los conceptos estadısticos han tenido su origen fuera del campo dela matematica. La Estadıstica ha sido desde sus comienzos una ciencia interdisci-plinar y las grandes etapas de su progreso han estado marcadas por aportacionesoriginadas a partir de la necesidad de resolver problemas en campos diversos. Lalimitacion didactica en la ensenanza de los conceptos es que se presentan aislados delas aplicaciones originales.

• Agnell [13] consideran que el uso de metodos determinısticos opera como un obstacu-lo para el abordaje de problemas de naturaleza aleatoria. Desde este punto de vistaellos reafirman que comprender la modelacion de un proceso estocastico en la educa-cion media, en especial regresion, debe abordarse mostrando los lımites de aplicacionde la funcion lineal y de los procedimientos determinısticos. Un obstaculo podrıa ser,la introduccion de una manera inadecuada de regresion lineal y promover una iden-tificacion de este modelo con el de la funcion lineal.

• El hecho que unicamente se les presente ejercicios sobre el tipo de asociacion de de-pendencia causal unilateral puede influir en que los alumnos conserven la concepcioncausalista de la asociacion estadıstica.

• Otra concepcion incorrecta que se identifica es que estrictamente se les presenta a losestudiantes actividades donde exista asociacion de dependencia directa, considerandola dependencia inversa como independencia entre variables.

• Finalmente, se encuentran dificultades y errores en lo relacionado con el uso dellenguaje: diferencia existente entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje estadısticopuede ser obstaculo para la construccion del conocimiento, confusion de terminos yun tratamiento inadecuado de la forma de contextualizar y referencias objetos.


Obstaculos Epistemologicos

• Algunos conceptos estocasticos, tales como el de probabilidad, correlacion, necesitandel razonamiento proporcional, que ha demostrado ser un topico difıcil en diversasinvestigaciones.

• Lavalle [24] en su investigacion nombran algunos posibles errores o dificultades dela ensenanza de regresion: calculo de los coeficientes de la recta y coeficiente decorrelacion, representaciones graficas, lectura crıtica de los datos, interpretacion dela correlacion y frente a los conceptos previos la comprension de variacion.

• La comprension inadecuada de las situaciones de incertidumbre en relacion con elsignificado de causa-efecto.

• La limitacion relacionada con el lenguaje se puede definir como dificultad en com-prender la simbologıa involucrada en el tema de regresion y correlacion.

• Otros obstaculos se atribuyen a la concepcion unidireccional de la asociacion dondelos estudiantes solo perciben dependencia cuando es positiva y consideran la inversacomo independencia, y la concepcion causal cuando solamente se considera la exis-tencia de asociacion entre variables si se refiere a una relacion causal entre ellas.El hecho de no distinguir entre la variable explicativa y la variable respuesta en laregresion impide que el estudiante descubra que se pueden calcular dos lıneas deregresion diferentes.[6]

• La principal limitacion que tiene el coeficiente de correlacion es la mala interpretacioncomo demostracion de causalidad. Cuando dos variables tienen un coeficiente decorrelacion alto implica en modo alguno que algunas veces una sea causa de la otra.En ocasiones se califica de ‘espurea’la alta correlacion sin explicacion.

CAPITULO 3

SECUENCIA DIDACTICA

La secuencia didactica disenada consta de tres unidades, orientadas hacia el procesode ensenanza aprendizaje de la relacion entre variables, correlacion y regresion lineal.

3.1. UNIDAD 1. RELACION ENTRE VARIABLES NOMI-NALES

Objetivo: Ilustrar el procedimiento de construccion de tablas bivariadas y graficos,segun el tipo de variable analizada identificando la existencia de relacion entre las variables,con el fin que el estudiante analice informacion, tome decisiones y verifique resultados.

Conceptos previos: Tablas de frecuencia (Absoluta y Relativa), Media Aritmetica yGraficos, Puntos en el plano y Variable.

Conceptos a estudiar:

• Variables: Cualitativa y cuantitativas, variable dependiente e independiente. Calcularla media aritmetica.

• Datos: Valores de las variables como pares ordenados, Grafica de nube de puntos.

• Tablas:Tablas de contingencia y bivariadas

Materiales: Computadores y calculadoras, plano, figuras (siluetas de hombres y mu-jeres), regla, hojas, lapiz.

Indicadores:

• Organiza los datos en tablas de bivariadas y graficos

• Interpreta graficos y tablas para definir la existencia de relacion entre las variables

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CAPITULO 3. SECUENCIA DIDACTICA 22

3.1.1. Actividad No. 1 Relacion entre Variables de Escala Nominal

Desarrollo de las actividad:

1. Entregar hojas de predicciones individual y grupal de la actividad No. 1 para quesean solucionadas por los estudiantes en el tiempo estipulado. (ver Apendice A.1)

2. Socializar las decisiones grupales descritas en la hoja de predicciones.

Trabajo Experimental

3. Organizar el salon para la recoleccion de datos: Elaborar una lista de las caracterısti-cas de genero, deporte, color de ojos, color de pelo, peso y estatura; informacion quesera empleada para desarrollar la unidad.

4. Disenar una tabla colectiva, ubicada en el salon donde esten identificadas las va-riables color de pelo y color de ojos en sus categorıas: claro y oscuro. Entregar acada estudiante una figura (hombre o mujer) para que la situen en la tabla seguncorresponda a sus caracterısticas.

5. Realizar el conteo de los datos obtenidos (pelo claro-ojos claros, pelo oscuro-ojosclaros, pelo claro-ojos oscuros y pelo oscuro- ojos oscuros) para regıstralos en unatabla ampliada en el tablero, consolidando los resultados y poder realizar preguntassobre lo observado.

• ¿Cuantos estudiantes tienen pelo claro? ¿Cuantos tienen ojos oscuros?

• ¿Cual es la proporcion de estudiantes con ojos claros entre los que tiene peloclaro?

• ¿Cual es la proporcion de alumnos con pelo claro entre los que tienen ojosclaros?

• ¿Hay la misma proporcion de alumnos con ojos claros si se tiene el pelo claroque si se tiene oscuro?

6. Elaborar en Excel el grafico de las frecuencias de la tabla ampliada. En este momentoel trabajo empieza a ser orientado e ilustrado por el docente, donde los estudiantestengan acceso a la hoja de calculo Excel.

7. Encontrar las frecuencias esperadas de color de ojos y color de pelo, para responderel supuesto de no relacion entre las variables y graficarlas.

8. Diferenciar entre las frecuencias observadas y las esperadas. Para esto se diligenciauna nueva tabla con el mismo estilo de las trabajadas anteriormente. El docenteinterviene para sintetizar las condiciones para que dos variables estan relacionadas.

Socializacion y Sıntesis: Este la proceso se va a iniciar a partir de las preguntasguiadas por el docente y las que surjan de los estudiantes frente a la experiencia, esto conel animo de reunir y concretar las ideas sobre relacion entre variables nominales a partirde graficos y tablas de contingencia. Para ayudar a esta puesta en comun, un estudiantede cada grupo asumira la relatorıa y comentara de manera general fortalezas, dificultades,obstaculos en el desarrollo de las actividades propuestas.


Ampliacion y Evaluacion Recordando que la evaluacion implica diferentes procesospara identificar la efectividad de la actividad, se propone tener en cuenta la auto y coeva-luacion para hacer a una idea del nivel de motivacion y la actitud de los estudiantes encda una de las fases de trabajo: individual, grupal y colectivo.

Como actividad de evaluacion y ampliacion se plantea: El estudiante podra responderla siguiente pregunta: ¿Existe relacion entre el deporte que practica y el genero del estu-diante? (ver Apendice A.1) Organizan los datos en una tabla de contingencia, obtienenlas tablas de frecuencias esperadas y la de la diferencia de las frecuencias observadas yesperadas para concluir la existencia o no de relacion entre variables.

3.1.2. Actividad No. 2 Relacion entre una Variable de Escala Nominaly Variable de Escala Razon

Desarrollo de las actividad:

1. Entregar hojas de predicciones individual y grupal de la actividad 2 para que seanresueltas por los estudiantes en el tiempo estipulado. (ver Apendice A.2)



3. Registrar los datos de estatura por genero en la tabla. Para esto es necesario teneren cuenta el listado que se realizo en la actividad anterior.

4. Calcular los valores de promedio y varianza de la estatura para hombres y mujeres.En este momento el trabajo empieza a ser orientado e ilustrado por el docente, dondelos estudiantes tengan acceso a la hoja de calculo de Excel. Y responder las siguientespreguntas:

(a) ¿Encuentra diferencia entre el promedio de la estatura de hombres y mujeres?

(b) ¿Quienes presentan mayor variabilidad, hombres o mujeres?

(c) ¿Con respecto al promedio total, ¿hay diferencia significativa con la media delos hombres? Y ¿con el promedio de las mujeres?

5. Bajo la condicion de no relacion entre las variables, encontrar las frecuencias es-peradas de las estaturas de hombres y mujeres, para este caso son los valores delpromedio de estatura de cada genero.

6. Completar una tercera tabla con la diferencia entre las frecuencias observadas y lasesperadas, llamada residuo. El docente define las condiciones para que dos variablesesten relacionadas. Realizar preguntas acerca de los resultados obtenidos y concluir:¿Existe relacion entre el genero y la estatura?

7. Comprobar que la varianza de los datos observados sea igual a la suma de la varianzadel residuo y la varianza de las frecuencias esperadas. V (Y ) = V (Y ) + V (R)

Socializacion y Sıntesis: Es de gran importancia hacer una retroalimentacion cons-tante, dar respuestas a cada una de las preguntas, tablas o graficas realizadas; con el finde reunir y concretar ideas, conceptos y palabras vinculadas a la relacion entre variables.


Para ayudar a esta puesta en comun, un estudiante de cada grupo asumira la relatorıa ycomentara de manera general fortalezas, dificultades, obstaculos en esta actividad.

Ampliacion y Evaluacion Se continua con el proceso de auto y coevaluacion, ası co-mo una reflexion acerca de los elementos que cada uno aporta al trabajo en grupo y enespecıfico a la construccion del concepto de relacion entre variables a partir de su propiaexperiencia.

Como actividad de ampliacion y evaluacion se propone que: El estudiante podra respon-der la siguiente pregunta: ¿Existe relacion entre el color del pelo y el peso del estudiante?(ver Apendice A.2) Organizan los datos en una tabla. Concluir la existencia de relacionentre variables.

3.2. Unidad 2. CORRELACION

Objetivo: Identificar el tipo y grado de relacion entre variables por medio del anali-sis de diagramas de dispersion, interpretacion del coeficiente de correlacion; a traves deenunciados que le permitan al estudiante determinar la dependencia de las variables.

Conceptos previos: Tablas de contingencia, representacion grafica de dos variablesen el plano cartesiano, medidas de tendencia central y dispersion, construccion de tablasy graficos en hoja de calculo Excel


• Variables: Cualitativas y Cuantitativas, variable respuesta y una explicativa (depen-diente e independiente)

• Datos: Grafico de Dispersion

• Relacion entre variables a partir de un grafico

• Covarianza

• Coeficiente de correlacion (formula e interpretacion)

Materiales: Computadores y calculadoras, pliegos de papel o cartulina, marcadores,regla, hojas, lapiz, metro

Indicadores:

• Realiza graficos y encuentra el coeficiente de correlacion para identificar la relacionentre las variables en estudio.

• Interpreta el grafico de dispersion, el valor y signo de la covarianza y el coeficientede correlacion para determinar el tipo de relacion entre las dos variables.

• Utiliza la hoja de calculo Excel como herramienta en la solucion de problemas rela-cionados con correlacion.

3.2.1. Actividad No. 3 Correlacion

Descripcion de la actividad:


1. Entregar hojas de predicciones individual y grupal de la actividad 3 para que seanresueltas por los estudiantes en el tiempo estipulado. (ver Apendice B)



3. Disponer el salon con carteles que tengan las tres afirmaciones vinculadas a lasconclusiones de un estudio acerca de las tasas de nacimiento, suicidio, crecimiento yproductividad y los tres graficos de dispersion.

4. Discutir y decidir como quedarıan asociadas correctamente esas parejas, identifican-do que tienen en comun, que comparten, cual es la variable dependiente e indepen-diente, ajustados a la situacion real.

5. Estudiar por medio de graficos la relacion entre variables de escala razon: Se constru-yen tres graficos de dispersion en los cuales la variable nota actue como independientey cada una de las tres variables restantes (horas de estudio, horas de ver televisiony peso) como dependiente. Para iniciar se realizan de manera manual y luego en lahoja de calculo de Excel.

6. Decorar el salon con las graficas realizadas por los grupos haciendo una ‘galerıa grafi-ca’donde los estudiantes elegiran la que ellos consideren la mejor para compararlacon la obtenida por medio de la hoja de calculo.

7. Elaborar en Excel los graficos de la variable nota del examen con las otras tres varia-bles. En este momento el trabajo empieza a ser orientado e ilustrado por el docente,donde los estudiantes tengan acceso a la hoja de calculo de Excel. Al terminarla seles hacer las siguientes preguntas guiadas:

• ¿Que puede decir acerca del grafico obtenido?

• ¿Se parece el grafico con el que eligieron de la galerıa?

• ¿Que puede decir sobre la relacion entre las variables consideradas? ¿Hay o nohay?

• ¿Cual es el promedio de horas de estudio? Indıquelo en el grafico

8. Responder las preguntas teniendo como referencia los tres graficos:

• ¿Que se podrıa decir de la distribucion de los puntos en el diagrama de nota vshoras de estudio con respecto a su promedio?

• ¿Que se podrıa decir de la distribucion de los puntos en el diagrama de nota vshoras de ver TV con respecto a su promedio?

• Nombrar las diferencias que encuentra entre la distribucion de los puntos en elgrafico de horas de estudio y horas de tv

• A la vista de la nube de puntos ¿En cuales de ellos puede decirse que existerelacion entre las variables?

• Si existe una relacion, ¿Como se podrıa llamar?

• ¿En alguno de los graficos encuentra dependencia entre las variables?

9. Encontrar el valor de los coeficientes que permiten analizar e interpretar la rela-cion y dependencia entre las variables: covarianza y coeficiente de correlacion. Losestudiantes deben analizarlos y dar sentido a los mismos.


• ¿Que informacion se puede extraer del valor de la covarianza en esta situacion?

• ¿Que se puede decir de la relacion entre las variables de acuerdo al valor obte-nido? Interprete valor y signo del coeficiente de correlacion.

10. Plantear una discusion en relacion a los tres graficos realizados, puede referirse a lagalerıa o a los realizados en Excel. La discusion se podra iniciar con las siguientespreguntas, cada respuesta debe ser justificada:

• ¿Cree que cada una de las variables esta causando la nota de cada estudiante?

• ¿Las horas de estudio para el examen esta generando la nota del mismo?

• ¿El peso de cada estudiante esta generando la nota del examen?

Caso Especial

Estudiar datos de un caso particular de correlacion espurea. Se presentan datos rela-cionados con el numero de hermanos y el numero de tıos de 22 personas.(Ver ApendiceB)

1. Transcribir los datos en una hoja de calculo, del numero de hermanos y numero detıos.

2. Elaborar el diagrama de dispersion y hallar el coeficiente de correlacion; con laherramienta de Excel. Se deben interpretar y describir la relacion entre las variablesnumero de hermanos y numero de tıos. Explicar si el numero de hermanos tieneuna dependencia con el numero de tıos. ¿Se podrıa hablar de una relacion causal?Observar en el diagrama de dispersion si existe un punto muy alejado de los otros,es decir, un dato atıpico en la distribucion. Se podrıa decidir no tomarlo y mirar quesucede con la distribucion de los demas puntos.

3. Retirar el punto atıpico y realizar el mismo analisis anterior. Encontrar el coeficientede correlacion e interpretelo Describir la relacion entre las variables ¿Que sucedio alretirar de la distribucion de puntos el dato atıpico (15, 30)?

Socializacion y Sıntesis Se hace necesario en esta unidad hacer una retroalimenta-cion constante, dar respuestas a cada una de las preguntas guiadas y manifestadas, tablaso graficas obtenidas; con el fin de sintetizar ideas, nociones, propiedades, interpretacionde correlacion y su coeficiente en el desarrollo de las actividades y el caso especial. Pa-ra ayudar a esta puesta en comun, un estudiante de cada grupo asumira la relatorıa ycomentara de manera general fortalezas, dificultades, obstaculos en el desarrollo de lasactividades propuestas.

Ampliacion y Evaluacion Como esta unidad es algo extensa es necesario hacerunas pausas para dialogar acerca del proceso individual y grupal que estan llevando, susdificultades, dudas y fortalezas.

Como actividad de ampliacion y evaluacion se propone una practica que inicia desdela recoleccion de datos hasta un analisis de correlacion. En la actividad de estatura yla extension de los brazos (ver Apendice B) los estudiantes podran recolectar las datosy hacer todo el analisis de correlacion para identificar si existe, el tipo y el grado de larelacion entre dichas variables.


3.3. Unidad 3. REGRESION LINEAL SIMPLE

Objetivo: Buscar rectas que se ajusten a las distribuciones bidimensionales para quelos estudiantes realicen predicciones de algunos valores de las variables, hallen la recta deregresion e interpreten el coeficiente de correlacion.

Conceptos previos: Tablas de contingencia, diagrama de dispersion, medidas detendencia central y dispersion, construccion de tablas y graficos en hoja de calculo Excel,covarianza y coeficiente de correlacion.


1. Variables: explicativa y respuesta

2. Relacion entre variables a partir de un grafico

3. Covarianza

4. Coeficiente de correlacion (formula e interpretacion)

5. Coeficiente de Determinacion

6. Ajuste de la recta de regresion lineal

7. Interpretacion de β1 y β0 del modelo de regresion

8. Regresion lineal simple

Materiales: Computadores y calculadoras, pliegos de papel o cartulina, marcadores,regla, hojas, lapiz, colores, metro.

Indicadores:

• Utiliza procesos estadısticos de regresion y correlacion para determinar la dependen-cia lineal entre dos variables

• Calcula y representa graficamente las rectas de regresion que representan los datos

• Utiliza hojas de calculos para determinar valores de tendencia, rectas de regresion ycoeficientes.

3.3.1. Actividad No. 4 Regresion Lineal Simple

Descripcion de la actividad:

1. Entregar hojas de predicciones individual y grupal de la actividad 4 para que seanresueltas por los estudiantes en el tiempo estipulado. (ver Apendice C)

2. Socializar las decisiones grupales descritas en la hoja de predicciones


3. Recoger la informacion de los pesos de ninos con edades de 10, 11, 12, 13 y 14 anos, esdecir, estudiantes de grado sexto a octavo. Organizar los datos en la tabla propuesta.


4. Construir un diagrama de dispersion en uno o dos pliegos de papel o cartulina, conla informacion relacionada del peso de los estudiantes de una edad especıfica. Seutilizaran cırculos pequenos para ubicarlos en el plano que representaran el peso enkilogramos y la edad de los estudiantes. Preguntas guiadas:

• ¿Cual es la variable explicativa? ¿Y cual la respuesta?

• ¿Existe relacion entre las variables edad y peso?

5. Estirar una madeja o una tira larga de lana o hilo, que sera el objeto recta, yrepresentara los puntos de la mejor manera. Esta ‘recta ’se alargara hasta que corteal eje y (β0), ademas se buscara la pendiente (β1) de la recta figurada por la lana.Esto se podra realizar varias veces, registrando cada vez los valores de β0 y β1.Preguntas guiadas:

• ¿Siempre se obtuvieron los mismos valores para β0 y β1?

• Describir una forma que permita seleccionar una de esas rectas como la mejor.

• Cuando se habla de punto de corte en el eje y y de pendiente, ¿con que modelode funcion lo puede asociar?

• Escribir alguno de los resultados de β0 y β1 de las rectas anteriores en terminosde la funcion elegida

• ¿Se podrıa dar un posible numero para el peso de un estudiante de 14 anos?¿Cual serıa?

6. Elaborar en Excel el diagrama de dispersion de las variables Edad y Peso. En estemomento el trabajo empieza a ser orientado e ilustrado por el docente. A la vista dela nube de puntos, ¿existe relacion entre las variables? ¿Que tipo de relacion es?

Cabe anotar que la eleccion de la recta que mejor represente los datos, puede estardada por un metodo llamado mınimos cuadrados que ayuda a hacer mınima la dife-rencia entre las valores observados y los ajustados, es decir, la suma de los cuadradosde las distancias verticales de los puntos a la recta debe ser la mas pequena posible.Este metodo fue matematizado de tal manera que se facilitara encontrar β0 y β1 ası:

β1 =

∑(xi − x)(yi − y)∑

(xi − x)2=σxy

σ2x

β0 = Y − β1X

7. Encontrar los valores de β0y β1 con la ayuda de Excel. En este primer acercamientose realizaran los calculos y enfatizar en el significado de cada uno de ellos.

8. Expresar la ecuacion que modele esta situacion. Estos datos representan una ten-dencia lineal, la forma de su expresion es Y = β0 + β1X

9. Completar una tabla con los datos de las edades su correspondientes pesos y en unatercera columna los resultados de la regresion para cada edad estudiada.

10. Trazar la recta de regresion. Es necesario identificar que tan ajustada esta la rectaa los datos, por esto se hace importante encontrar e interpretar el coeficiente dedeterminacion que tiene en cuenta la dispersion de las observaciones con la recta.


Socializacion y Sıntesis Como unidad didactica final es clave que en este proceso desocializacion se disponga de tiempo suficiente para dar respuestas a las preguntas guiadasy manifestadas por los estudiantes, con el fin de culminar exitosamente este proceso deensenanza aprendizaje de regresion lineal.Para esto se puede proponer lluvia de ideas, foro,plenaria,entre otras.

Para ayudar a esta puesta en comun, un estudiante de cada grupo asumira la relatorıay comentara de manera general fortalezas, dificultades, obstaculos en el desarrollo delas actividades propuestas. La socializacion es una herramienta clave y decisiva para eldesarrollo de las actividades.

Ampliacion y Evaluacion Se continua con el proceso de auto y coevaluacion, ası co-mo una reflexion acerca de los elementos que cada uno aporta al trabajo en grupo y enespecıfico a la construccion de su conocimiento en regresion lineal.

Como actividad de ampliacion y evaluacion se presenta el tiempo que gasta un atletaen una carrera de 100 metros y el tiempo de entrenamiento semanal para la competencia,realice el analisis de regresion para obtener la recta que se ajuste a los datos y su ecuacion.

APENDICE A

Formatos de las actividades de relacion entre

Variables

A.1. Relacion entre Variables de Escala Nominal

Tabla A.1. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.1

30

APENDICE A. FORMATOS DE LAS ACTIVIDADES DE RELACION ENTRE VARIABLES 31

Tabla A.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.1


Tabla A.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.1


A.2. Relacion entre Variable de Escala Nominal y Variablede Escala Razon

Tabla A.4. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.2


Tabla A.5. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.2


Tabla A.6. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.2

APENDICE B

Formatos para actividad de Correlacion

Tabla B.1. Hoja de predicciones individuales de la actividad No.3

36

APENDICE B. FORMATOS PARA ACTIVIDAD DE CORRELACION 37

Tabla B.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.3


Tabla B.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.3


Tabla B.4. Caso Especial de Correlacion


Tabla B.5. Ayuda para hacer calculos en Excel

APENDICE C

Formatos para actividad de Regresion Lineal

Tabla C.1. Hoja de predicciones individuales

41

APENDICE C. FORMATOS PARA ACTIVIDAD DE REGRESION LINEAL 42

Tabla C.2. Hoja de predicciones grupales de la actividad No.4


Tabla C.3. Hoja de resultados experimentales de la actividad No.4


Tabla C.4. Ayuda para hacer calculos en Excel


Esquema del tema de regresion lineal, complementelo y agregue un resumen de lospuntos que considere mas relevantes.

Tabla C.5. Esquema de recapitulacion de regresion lineal

Conclusiones

• La ensenanza de la estadıstica en estudiantes de la educacion Media puede apro-piarse por diferentes didacticas, una de ellas puede ser la planteada en este trabajoque busca que el estudiante adquiera su conocimiento por medio de situaciones concontexto, que le exijan asociacion con conceptos previos, que le brinden herramien-tas de comunicacion para moverse en un ambiente donde el lenguaje estadıstico sepresenta por diferentes medios y que puede ser apoyado por las tecnologıas de in-formacion y comunicacion. En particular, se destaca la importancia de la ensenanzade correlacion y regresion lineal para modelar e investigar la relacion entre variablesencontradas en situaciones sociales, cientıfica, economicas, etc.

• Una reflexion sobre el planteamiento de las unidades es la referida a la secuenciacionde los conceptos de correlacion o regresion, se considera que el orden logico-matemati-co es el de primero abordar correlacion y posteriormente regresion, dado que ajustaruna recta de regresion en un conjunto de datos carece de interes si estos no estancorrelacionados.

• El uso de calculadoras y hojas de calculos se convierte en un apoyo fundamental parala ensenanza y el aprendizaje de la estadıstica porque permite flexibilizar el proceso,para dedicar mas tiempo a interpretar los conceptos que a los procedimientos decalculos largos y complejos.

• El estudio de la ensenanza de correlacion y regresion que se realiza puede actuarcomo punto de partida para el analisis de como funcionan las actividades propuestasen la practica y sus consecuencias didacticas, queriendo poner en alto el interes degenerar procesos de ensenanza que favorezcan un aprendizaje significativo para losestudiantes. Esto se logra estableciendo un enlace entre el planteamiento que se haceen el analisis de ensenanza y el didactico, como los son los obstaculos de aprendizajey la resolucion de problemas.

• La participacion activa del estudiante se hace mas efectiva cuando existe motiva-cion, en este sentido, el papel del docente es muy importante pues en sus manosesta la orientacion del proceso, la presentacion de situaciones problemas pertinentesy la determinacion de tiempos necesarios para el proceso de ensenanza aprendizaje,ası como el desarrollo de manera hilada y coherente de los conceptos estadısticos enasociacion con otras areas o situaciones cercanas al estudiante.

• La secuencia didactica necesita de tiempos y espacios que permitan un adecuadodesarrollo de la misma, el no contar con ellos serıa de ante mano el primer obstaculo

46

CONCLUSIONES 47

de aprendizaje que se podrıa encontrar. Para alcanzar el objetivo se debe respetarlos tiempos de prediccion, socializacion, reflexion y experimentacion, alejandonosdel afan de llenar al estudiante de conceptos y algoritmos que va memorizando yolvidando rapidamente.

• El esquema propuesto en cada una de las actividades permite detectar en la parte detrabajo individual y grupal aquellos conceptos previos que no estan solidificados o queen algunas veces son erroneos y muy debiles. Pero en el momento de la socializacionse genera un espacio para intervenir y hacer uso de los que estan bien estructuradospara iniciar el proceso de ensenanza consecuentemente.

Trabajo futuro

• Aplicar las actividades propuestas a estudiantes de grados decimo y undecimo paraobservar, tomar nota y analizar cada momento del desarrollo de estas para identificarfalencias o fortalezas y realizarle ajustes.

• Buscar espacios de discusion donde docentes de diferentes areas propongamos acti-vidades para la ensenanza de la correlacion y regresion en contextos de las cienciasnaturales (fısica y quımica) y ciencias economicas. Luego se podrıa extenderse a otrostemas de la estadıstica como distribuciones de probabilidad, estimacion e intervalosde confianza y pruebas de hipotesis.

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