F U N C I Ó N L I N E A L

FUNCIÓNFUNCIÓN LINEALLINEAL

ECUACIÓN GENERALECUACIÓN GENERAL

Y = m X + bY = m X + bSignificado:Significado: Y ………. Variable dependienteY ………. Variable dependiente X …........ Variable independienteX …........ Variable independiente m ……… pendientem ……… pendiente b ……… interceptob ……… intercepto

Variable independiente xVariable independiente x(y = m (y = m X X + b )+ b )

Representada por Representada por todos los números todos los números reales que puede reales que puede tomar la variable tomar la variable (X) en el dominio.(X) en el dominio.

En el plano En el plano cartesiano esta cartesiano esta representada por el representada por el eje de las ( x )eje de las ( x )

- X X

Dominio

Variable dependienteVariable dependiente YY ((yy = m x + b ) = m x + b )

Representada por Representada por todos los números todos los números reales que puede reales que puede tomar la variable (Y) tomar la variable (Y) en el codominio.en el codominio.

En el plano En el plano cartesiano esta cartesiano esta representada por el representada por el eje de las ( Y ).eje de las ( Y ).

Y

-Y

codom

inio

Pendiente (m) (y = m x + b )

Representa el grado de inclinación que posee la línea recta en su presentación gráfica.

-x x

y

-y

-x x

y

-y

Pendiente positiva (y = m x + b )

Representa las funciones crecientes, van en aumento.

-x x

y

-y

-x x

y

-y

m = 1/2

m = 2

m = 3

Función idéntica (+)

m = 1

Pendiente negativa (y = m x + b )

Representa las funciones decrecientes, van disminuyendo.

-x x

y

-y

-x x

y

-y

Función idéntica (-)

m = -3

m = - 1/2

m = - 1/3

m = -1

Intercepto ( b ) (y = m x + b )

Es el punto de corte de la función con el eje Y

-x x

y

-y

(0,b)-x x

y

-y

(0, -b)

positiva

Positiva Negativa

Gráfica de una función lineal f (x)= y = m x + b

Se elabora una tabla asignando valores cualesquiera a la variable (x).

Posteriormente se representan los puntos (x , y) así conformados en un plano cartesiano.

f (x)

(x)

Ejemplof(x) = Y = -2x + 3

-4 0 3

11 3 -3

f(-4) = -2( -4 )+3 = 8+3 = 11

f(0) = -2( 0 )+ 3 = 0+3 = 3f(3) = -2( 3 )+3 = -6+3 = -3

-x x

y

-y

24

Y = -2x + 3

Determinación ecuación y = m x + b

Sean: P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2), dos puntosPendiente (m) Intercepto (b).

P1( -2, - 6)

P2( 3 , 4)

m =Y2 – ( Y1 )

X2 – ( X 1 )

m = = 24 – ( - 6 )3 – ( - 2 )

Y = 2. X + b

Tomar P2( 3 , 4)

Como: Y = 2. X + b

4 = 2. ( 3 ) + b

b = 4 – (2 . 3)

b = -2

Y = 2 X - 2

Representación gráfica

Y = 2X - 2Y = 2X - 2XY

-3 0 2

-x x

y

-y

-2-2

-8 2-2

Rectas paralelasSean: Y1 = m1.X + b1 ; Y2 = m2. X + b2Si m1 = m2 entonces Y1 II y2 (paralelas).Ejemplo: Y1 = -3X +5 Y2 = -3X

-4

X -1 0 2 X 0-2 1Y1 8 5 -1 Y2

-x x

y

-y

-2

2

2 -4 -7

Rectas perpendicularesRectas perpendicularesSean: Y1 = m1.X + b1 ; Y2 = m2. X + b2Si m1 . m2 = -1 entonces Y1 ⊥ Y2,

Ejm: Y1 = -2.X + 5 Y2 = +1/2 . X - 4

X

Y2X-2 0 1 -2 0 2

Y1 9 -3

-x x

y

-y

2

-2

35 -5 -4

Rectas equivalentesSean: Y1 = m1.X + b1 ; Y2 = m2. X + b2Y1 es equivalente a Y2, si Y2 = (K/K).Y1 Ejm: Y1 = -3.X +2 Y2 = -

6/2 . X + 4/2X

Y1-3 0 1 11 2 -1

X

Y1-2 0 4 8 2 -10

-x x

y

-y

2

-2

Funciones fraccionarias Una función lineal fraccionaria es de la Forma: ej: f(x)= X -

X

Y-3 0 2

f ( X ) = a/b X + c/d 5

342

5 4f(-3) = Y= ---- ( -3 ) – ----- 3 2

--= 15-- 3

4

2

=-30 - 12

6

-42

6= = -7

-7

--= 5 4f(0) = Y= ---- ( 0 ) – ----- 3 2

0 4

2=

-2

= -- 5 4f(2) = Y= ---- ( 2 ) – ----- 3 2

10+ 3

4

2=

1,3

Representación gráfica

5 4f(X) = Y= ---- ( X ) – ----- 3 2

-x x

y

-y

X Y

-3 0 2

-7 -2 1,3

-2-2

Sistema de ecuaciones lineales S.E.L

Están formadas por un conjunto de números y variables,

de acuerdo a su número determinan su orden 2X2 ; 3X3 …

Orden 2X2 Orden 3X3

a1 X + b1 Y = c1 a1 X + b1 Y + c1 Z = d1 a2 X + b2 Y = c2 a2 X + b2 Y + c2 Z= d2 a3 X + b3 Y + c3 Z= d3ejemplo 4 X - Y = -2 9 X + 3 Y - 5 Z = 4 -6X + 2 Y = 4 6 X - 8 Y - 3 Z = 7 -4 X + 6 Y - 9 Z = -5

Representación gráfica S.E.L

Para su representación se despeja la variabledependiente (Y), de cada una de las ecuaciones y se representa en forma gráfica.

4 X - Y = -2 6X + 2 Y = 4 Y = 4 X + 2 Y = -3 X + 2

X

Y-3 0 4

-10 2 18X

Y-3 0 2

11 2 -4

Gráfica S.E.L

.

-x x

y

-y

X

Y-3 0 4

-10 2 18X

Y-3 0 2

11 2 -4

+1

+4

-4-1

PUNTO SOLUCIÓNPs ( 0 , 2)

Punto Solución Ps (x,y)

El punto solución Ps (x , y), es aquel cuyas coordenadas X, Y al ser reemplazadas en

cada una de las ecuaciones que conforman el

sistemalas satisfacen y verifican plenamente. Ejm. 4 X - Y = -2 6X + 2 Y = 4 Ps ( 0 , 2 ) 4(0) - (2) = -2 6(0) + 2(2) = 4 0 - 2 = -2 0 + 4 = 4 - 2 = -2 4 = 4

Determinación Ps(x,y) de un sistema de ecuaciones lineales gráficamente

Sean: 2x + 3y = 13 ; 4x – y = 5 un s.e.l Despejar la variable (y) de cada ecuación 3y = -2x + 13 -y = - 4x + 5

-2 x + 13 4 x - 5

Y = --------- Y = -------- 3 1 Tabla de valores

X

Y-2 0 4

5,7 4,3 1,7X

Y-4 0 2

-21 -5 3

Representación gráfica Ps(x,Y)

X

Y-2 0 4

5,7 4,3 1,7X

Y-4 0 2

-21 -5 3

-x x

y

-y

+2

+4

-4-2

Punto soluciónPs ( 2, 3)

4x - 5Y = ----------- 1

-2x + 13Y = ----------- 3

Prueba de la soluciónSean: 2x + 3y = 13 4x – y = 5 Ps ( 2 , 3 ) 2(2)+3(3) = 13 4(2)-(3)= 5 4 + 9 = 13 8 - 3 = 5 13 = 13 5 = 5

Ps ( 2 , 3 ), es solución del sistema de ecuaciones lineales:

2x + 3y = 13 ( 1 ) ecuación 1 4x – y = 5 (2) ecuación 2

Métodos solución S.E.LLa determinación del punto solución Ps(x,y) de un Sistema de ecuaciones lineales, no siempre Se

puede determinar en forma exacta aplicando el método gráfico; por esta razón es necesario emplear

modelos analíticos para su determinación. Entre los más conocidos, Se tienen Método igualación Método sustitución Método reducción Método determinantes

Método igualaciónDespejar la misma variable en cada

una de las ecuaciones para posteriormente igualarlas.

Se resuelve la ecuación resultante traspasando las variables a la izquierda y los números a la derecha. Se reemplaza el valor de la variable obtenido en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.

Resolver: x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)

1. Despejar de la ecuación (1) , (2) la variable (Y).

(3) (4)

2. Se igualan las expresiones (3) y

(4)

27 – x

Y=------------

6

7x -9

Y=------------

3

27 – x

------------

6

7x -9

= ------------

33( 27 – x ) = 6( 7x - 9 )

81 – 3x = 42 x – 54 -3x – 42x = -54 – 81 -45x = - 135 -135 x = ---- -45 x = 33. Determinación de la variable (y),

reemplazando x=3, en la ecuación (3)

27 – (3)

Y= ------------

6

24 = ---- = 4 6

PUNTO SOLUCIÓN Ps ( 3 ; 4 )

Comprobación gráfica 27 - x Y= --------- 6

7x - 9 Y= --------- 3

X

Y-3 3 9

5 4 3X

Y-3 0 3

-10 -3 4

-x x

y

-y

-4

+4

PUNTO SOLUCIÓNPs ( 3 , 4 )

Prueba de la soluciónSistema de ecuaciones: x + 6y = 27 (1)

7x - 3y = 9 (2)Punto solución: Ps ( 3, 4 )

x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)

3 + 6(4) = 27 7(3) – 3(4) = 9 3 + 24 = 27 21 – 12 = 9 27 = 27 9 = 9

PUNTO SOLUCIÓNPs ( 3 , 4 )

Método de sustituciónDespejar una de las variables (X o Y) en una de las ecuaciones por ejemplo (Y) en ecuación (1), para posteriormente sustituirla en la ecuación (2). Se resuelve la ecuación resultante traspasando las variables a la izquierda y los números a la derecha. Se reemplaza el valor de la variable obtenido en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.

Resolver: x + 3y = 6 (1)5x – 2y = 13 (2)

1. Despejar de la ecuación (1) la variable (Y)

2. Sustituir (3) en (2) 5x – 2 ( ) = 13

– = 13

6 - xY = -------- (3) 3

6 - x-------- 3

(12-2x)---------- 3

5x----1

3(5x) – 1(12-2x)----------------------- = 13 315x – 12 + 2x = 3.13

15x – 12 + 2x = 39

15x + 2x = 39 + 12 17x = 51 x = 3

3. Determinación de la variable (y), reemplazando x=3, en la ecuación (3)

6 – ( 3 ) 3Y = ------------- = ------- = 1 3 3

6 - xY = -------- (3) 3

PUNTO SOLUCIÓN Ps ( 3 ; 1 )

Comprobación gráfica

6 - xY = -------- (3) 3

5x - 13Y = ----------- ( 4) 2

X

Y-3 0 3

3 2 1X

Y-1 0 1

-9 -6.5 - 4

-x x

y

-y

-2

+4

PUNTO SOLUCIÓNPs ( 3 , 1)

Prueba de la soluciónSistema de ecuaciones: x + 3y = 6 (1)

5x - 2y = 13 (2)

Punto solución: Ps ( 3, 1 ) x + 3y = 6 (1) 5x - 2y = 13

(2)

(3) + 3(1) = 6 5(3) – 2(1) = 13

3 + 3 = 6 15 – 2 = 13 6 = 6 13 = 13

PUNTO SOLUCIÓNPs ( 3 , 1 )

Método reducción Determinar la variable que se desea eliminar por ejemplo, la variable (x). Se determina el m.c.m de los coeficientes de la variable a eliminar en este caso (x). Se Igualan los coeficientes de la variable (x), multiplicando cada ecuación por el coeficiente adecuado.Cambiar todos los signos de una ecuación.Sumar miembro a miembro los términos de las ecuaciones.

Resolver la ecuación resultante y determinar el valor de la variable

(y). Sustituir dicho valor en la ecuación (1) o (2), para determinar la otra variable. Determinar el punto solución Ps (x,y).Comprobar la solución.

Resolver: 5x + 6y = 20 (1)

4x – 3y = -23 (2) Eliminar (x), m.c.m( 5, 4 ) = 20 (4). (5x + 6y = 20 ) 20x + 24y = 80 (-5). (4x – 3y = -23) -20x + 15y =

115 Sumar 39y = 195 Determinar variable Y, Y = 5 5x + 6 (5) = 20 5x = 20 -30

5x = -10 x = -5 Punto solución: Ps ( -2 , 5 )

Prueba de la solución

Sistema de ecuaciones: 5x + 6y = 20 (1) 4x - 3y = -23 (2)

Punto solución: Ps ( -2, 5 ) 5x + 6y = 20 (1) 4x - 3y = -23 (2)

5(-2) + 6(5) = 20 4(-2) – 3(5) = -23

-10 + 30 = 20 -8 – 15 = -23 20 = 20 -23 = -23

PUNTO SOLUCIÓNPs ( -2 , 5 )

. Comprobación gráfica

20 – 5xY = ----------- (3) 6

4x +23Y = ----------- ( 4) 3

XY

-1 0 2 4.1 3.7 1.7

XY

-3 0 1

3.7 7.6 9

-x x

y

-y

+1

-2

PUNTO SOLUCIÓNPs ( -2 , 5 )

METODO DE DETERMINANTESDEFINICIÓN DETERMINANTE:

Sea: a1 X + b1 Y = c1. a2 X + b2 Y = c2.

a1 b1 det = W = = a1 . b2 – ( a2 .

b1) a2 b2

W = a1 . b2 – ( a2 . b1)

EJEMPLO DE DETERMINANTESCALCULO DEL DETERMINANTE:

Sea: 5 X - 8 Y = 6.

-4 X + 3 Y = 2.

5 -8 det = W = = 5 . 3 – ( -

4 . (-8)) -4 3 W = 15 – (32)= - 17 W = - 17

a1 C1

a2 C2

SOLUCIÓN S.E.L POR DETERMINANTES

Sea: a1 X + b1 Y = c1. a2 X + b2 Y = c2.

X = Y =

X = Y =

C1 b1

C2 b2W W

W W

c1 . b2- (c2 . b1)

a1 . c2- (a2 . c1)

RESOLVER x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)1. Hallar el determinante del sistema

1 6

7 -3Det = w = = 1 . (-3) – ( 7. 6) = - 3 - 42

W = -45

X = =

2. DETERMINAR EL VALOR DE ( X )

C1 b1

C2 b2

W

x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)

a1 X + b1 Y = c1. a2 X + b2 Y = c2. 27

6

9 -3

-45

X = = =27 . (-3) – ( 9 . 6 )

-45

-81 - 54

-45

-135

-45

X = 3

3. DETERMINAR EL VALOR DE ( Y )

Y = =

a1 C1

a2 C2

W

1 27

7 9

-45

Y = = =1 . (9) – ( 7 . 27 )

-45

9 - 189

-45

-180

-45

Y = 4

x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)

a1 X + b1 Y = c1. a2 X + b2 Y = c2.

4. Punto solución

Ps ( 3 , 4 )

5. Prueba • Sistema de ecuaciones: x + 6y = 27 (1)

7x - 3y = 9 (2)• Punto solución: Ps ( 3, 4 )

x + 6y = 27 (1) 7x - 3y = 9 (2)

3 + 6(4) = 27 7(3) – 3(4) = 9 3 + 24 = 27 21 – 12 = 9 27 = 27 9 = 9