Programación Lineal

Programación Entera

Programacion lineal

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Universidad del CEMALDE 700

Teoría de la Decisión

Alejandro Bustamante

Ariadna Berger

Programación LinealLa PL es un método matemático de

resolución de problemas donde el objetivo es optimizar (maximizar o minimizar) un resultado a partir de seleccionar los valores de un conjunto de variables de decisión, respetando restricciones correspondientes a disponibilidad de recursos, especificaciones técnicas, u otras condicionantes que limiten la libertad de elección.

En PL un sistema de producción se representa mediante un modelo o matriz en el que se incluyen:

costos e ingresos generados por unidad de actividad (función objetivo).

aportes y requerimientos de insumos y productos por unidad de cada actividad considerada (coeficientes insumo/producto).

disponibilidad de recursos, especificaciones técnicas y empresariales a respetar (RHS).

Representación matemática de un problema de PL

Función objetivoZ = c1X1 + c2X2 + ... + cnXn

Relaciones entre Requerimientos y Disponibilidad de Recursosa11X1 + a12X2 + ..... + a1nXn <= b1

............................................. <= ..

am1X1 + am2X2 + ..... + amnXn <= bm

Xj = variables de decisión

cj = costos o ingresos por unidad

aij = coeficientes insumo producto

bi = disponibilidad de recursos

Supuestos

Proporcionalidad Las actividades se pueden representar

mediante funciones de producción lineales. Esto implica asumir retornos constantes a escala. Por consiguiente:

el uso de recursos por parte de una actividad es proporcional al nivel de la actividad.

Supuestos (cont.)

Aditividad El uso total de recursos es la suma de los

recursos empleados por las actividades individuales.

El valor de la función objetivo es la suma de las contribuciones de las actividades individuales.

La contribución de una variable de decisión a la función objetivo o al uso de recursos es independiente de los valores que se asignen a otras variables de decisión.

Supuestos (cont.)

Divisibilidad Es posible que las variables tomen

valores no enteros.

Certeza Se asume que no hay aleatoreidad en los

coeficientes que definen a las variables de decisión del problema.

Campo de Factibilidad

Es el conjunto de posibilidades de producción que cumple con la condición de respetar todas las restricciones de un problema de decisión.

De todas las alternativas técnicamente factibles, hay una sola que es óptima desde el punto de vista de la función a optimizar.

Hay una serie de soluciones subóptimas que vale la pena explorar.

Tasa Marginal de Sustitución Técnica

Es la relación técnica que define el reemplazo de dos actividades entre sí manteniendo constante el uso de un determinado recurso.

Ingreso Marginal

Es el incremento en el resultado provocado por el ingreso en la solución de una unidad adicional de una actividad.

Costo de Oportunidad (Precio Sombra) Cuando el objetivo es maximizar el resultado,

el Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja de percibir por no contar con una unidad adicional de un recurso.

El Costo de Oportunidad de un recurso se determina en base al mejor uso alternativo. En términos económicos, es equivalente al Valor del Producto Marginal del recurso.

Los recursos escasos se asignan a aquellas actividades en las que el valor del producto marginal de cada recurso sea mayor.

Costo de Oportunidad (cont.) El valor de los recursos obtenido de acuerdo

al criterio de VPMg es “interno”, propio de cada situación evaluada en función de las alternativas consideradas tanto en sus aspectos de mercado (costos y precios) como técnicos (funciones de producción asociadas a cada alternativa), y de la abundancia o escasez relativa de los recursos disponibles.

Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno de un recurso puede diferir de su valor de mercado.

Costo Marginal

En un problema de maximización, el Costo Marginal es el incremento en el costo total resultante de agregar una unidad de actividad en la solución.

En PL, el Costo Marginal de una actividad se calcula valuando los recursos consumidos por cada actividad según el Costo de Oportunidad Interno de los recursos.

Principio de Optimización (Simplex) En un problema de maximización, conviene

incrementar la participación de una actividad en el plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor que el Costo Marginal que se incurra.

Se llega a una solución óptima siguiendo un mecanismo iterativo, en la que cada solución mejora sobre la previa a partir de incluír actividades que aportan más que lo que “cuestan”.

Se llega a una solución óptima cuando no hay sustituciones factibles que permitan lograr un resultado mayor. Para todas las actividades incluídas en el óptimo se cumple el principio:

Ingreso Marginal = Costo Marginal

Costo de Sustitución (Costo Reducido) Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y

el Costo Marginal para cada actividad. En una solución óptima, las actividades

incluídas en el plan cumplen con la condición Ingreso Marginal = Costo Marginal, por lo que el Costo de Sustitución de las mismas es igual a 0.

Las actividades no incluídas en el plan tienen un Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal. El Costo de Sustitución indica la magnitud de esta diferencia.

Solución óptima

Una solución es óptima para una situación determinada en relación a precios relativos, funciones de producción, disponibilidad de recursos y restricciones empresariales especificadas.

Cualquier alteración en los supuestos empleados va a tener un impacto cierto en el resultado obtenido y eventualmente en el nivel o composición de las actividades incluídas en la solución.

Información obtenida Resultado (óptimo) Dimensión de cada actividad en la solución Costo de Sustitución de las actividades Uso de cada recurso Costo de Oportunidad de cada recurso Rango de precios dentro del cual no se

modifica la dimensión de las actividades en la solución (ceteris paribus)

Rango dentro del cual se mantiene el Costo de Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)

Soluciones degeneradas

Cuando en la solución hay menos variables con valores positivos que cantidad de restricciones, la solución es degenerada.

En general la degeneración no es un problema, pero a veces puede ocurrir que haya soluciones óptimas alternativas que no son fáciles de identificar.

Costos de sustitución igual a 0 o costos de oportunidad igual a 0 son indicadores de soluciones degeneradas.

Soluciones fallidasSolución no factible Posibles causas: error en la formulación (p.ej. una

desigualdad con signo equivocado), o problema con restricciones incompatibles.

Solución no limitada El modelo fue formulado de tal modo que la

función objetivo puede aumentar (en un problema de maximización) o disminuír (en un problema de minimización) sin límites.

Posibles causas: falta incluír alguna restricción esencial o se introdujo algún coeficiente con signo equivocado.

Problemas de Transporte Hay un conjunto de m puntos de origen desde

los que se envía una mercadería. Cada punto de origen i tiene una capacidad

máxima de abastecimiento. Hay un conjunto de n puntos de demanda

hacia los que se destina mercadería. Cada punto de demanda j debe ser abastecido

con un mínimo de mercadería. Cada unidad producida en un punto de origen i

y enviada a un punto de demanda j incurre en un costo cij

Balanceo de un problema de transporte Si la oferta excede a la demanda, se puede

balancear el problema creando un punto de demanda ficticia que absorba el exceso de oferta.

Si la demanda excede a la oferta, para que el problema se vuelva factible se puede permitir no satisfacer parte de la demanda pagando una penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se agrega un punto de abastecimiento ficticio con una capacidad igual a la demanda insatisfecha, y una penalidad asociada a cada punto demanda.

Problemas de Asignación: son problemas balanceados de transporte en los cuales todas las ofertas y todas las demandas son iguales a 1.

Problemas de Transbordo: son problemas de transporte en los que se agregan puntos de transbordo. Los puntos de transbordo son puntos que pueden tanto recibir mercadería de otros puntos como enviar mercadería a otros puntos.

Programación Entera / Mixta

Los problemas de programación con enteros se formulan de la misma manera que los problemas de programación lineal, pero agregando la condición de que al menos alguna de las variables de decisión debe tomar valores enteros.

Una variable de decisión binaria sólo puede tomar valores 0 o 1. Una variable entera puede tomar cualquier valor, en tanto éste sea entero.

Factores a considerar al incluír variables de decisión enteras en un problema.

El procedimiento de resolución es bastante más trabajoso que el método Simplex.

Se pierde la posibilidad de contar con información sobre el costo de oportunidad de los recursos y el costo de sustitución de las actividades.

Resolución de problemas enteros por el método de Ramificar y Podar

En un problema con enteros existe un número finito de soluciones posibles (no todas son factibles) que pueden representarse mediante un diagrama de árbol.

No hace falta enumerar todas las soluciones posibles si se pueden eliminar “ramas dominadas”.

Una rama puede eliminarse si puede demostrarse que no contiene una solución factible que sea mejor que una ya obtenida.

Pasos en el método de Ramificar y Podar

1. Comenzar: resolver el problema como si fuera un problema ordinario de PL (relajación de enteros). La solución obtenida se toma como cota máxima y base para el procedimiento de búsqueda de una solución factible.

2. Ramificar: a partir de la solución de PL designar una variable como entera y seleccionar, a partir de los posibles valores enteros que pueda tomar, una rama para investigarla.

Ramificar y Podar (cont.)

3. Limitar: encontrar un límite para el problema definido por la rama seleccionada. El límite está dado por el valor de la mejor solución factible de enteros encontrada hasta el momento, y domina a todos los otros posibles resultados de una rama.

Ramificar y Podar (cont.) 4. Comparar: comparar la solución obtenida en la

rama con el límite de referencia vigente.– Si el valor de la solución es menor que el límite vigente,

se elimina de consideración toda la nueva rama. Se continúa con las ramas que no hayan sido evaluadas aún.

– Si el valor de la solución es mejor que el límite vigente y si la solución es entera (factible), entonces se convierte en el nuevo límite de referencia. Se examinan las ramas que aún no se han considerado en relación al nuevo límite.

– Si el valor de la solución es mayor que el límite vigente, pero la solución no es entera (factible) deben explorarse las ramificaciones de nivel inferior en la misma rama.

Ramificar y Podar (cont.)

5. Terminar: quedarse con la mejor solución factible obtenida una vez examinadas todas las ramificaciones.

Problemas con Variables Binarias Estibaje: son problemas con una sola restricción de

capacidad.

Cargo Fijo: hay un costo asociado con desarrollar una actividad que no depende del nivel de la actividad.

Cobertura: cada elemento de un conjunto debe ser “cubierto” por un elemento aceptable de otro conjunto. El objetivo del problema es minimizar el número de elementos del segundo conjunto requerido para cubrir todos los elementos del primer conjunto.

Escala mínima de operación