Post on 10-Mar-2015
transcript
CCFFDD CCOODDEESS
((iinn FFoorrttrraann))
2
INDEX
1. Steady State Heat Conduction Equation (Poisson and Laplace Equations)
5-136
• 1-D - Finite Difference Method - Dirichlet BC - Solver:
TDMA � 6
• 1-D - Finite Difference Method - Dirichlet & Neumann BCs -
Solver: TDMA 11
• 1-D - Finite Difference Method - Dirichlet BC - Solver:
Gauss-Seidel(SOR) 16
• 1-D - Finite Difference Method - Dirichlet & Neumann BCs -
Solver: Gauss-Seidel(SOR) 22
• 1-D - Finite Volume Method - Dirichlet BC - Solver: TDMA 28
• First Order Approximation of Flux at Boundaries 1-D - Finite Volume Method - Dirichlet BC - Solver: TDMA 34
• Second Order Approximation of Flux at Boundaries
1-D - Finite Volume Method - Dirichlet & Neumann BCs -
Solver: TDMA 40
• 1-D - Finite Volume Method - Neumann BC - Solver: Gauss-
Seidel(SOR) 46
3
• 2-D - Finite Volume Method - Dirichlet BC - Solvers: PSOR,
LSOR, ADISOR 52
• 2-D - Finite Volume Method - Neumann BC - Solvers: PSOR,
LSOR, ADISOR 69
• 3-D - Finite Volume Method - Dirichlet BC - Solver: PSOR 87
• 3-D - Finite Volume Method - Neumann BC - Solver: PSOR 112
2. Unsteady Heat Conduction Equation (Diffusion Equation)
137-186
• 1-D - FVM - Explicit Euler Scheme - Dirichlet BC � 138
• 1-D - FVM - General Implicit Scheme - Dirichlet BC -
Solver: TDMA 147
• 1-D - FDM - Adam-Bashforth time stepping - Dirichlet BC � 159
• 2-D - FVM - Crank-Nicolson Scheme - Dirichlet BC - Solver:
PSOR 167
3. Steady Convection-Diffusion Equation 187-225
• 1-D - FVM - Central Differencing Scheme - Dirichlet BC -
Solver: TDMA � 188
• 1-D - FVM - Central and Upwind Differencing Scheme -
Dirichlet BC - Solver: TDMA 195
• 2-D - FVM - Central and Upwind Differencing - Dirichlet BC
- Solvers: PSOR, ADISOR 206
4
4. Unsteady Convection-Diffusion Equation 226-249
• 1-D - FVM - Euler Implicit - Central Differencing - Dirichlet
BC - Solver: TDMA � 227
• 1-D - FVM - MacCormack Explicit Method - Central
Differencing - Dirichlet BC 236
• 1-D - FVM - Adam-Bashforth time stepping - Central
Differencing - Dirichlet BC 244
5. Burger's Equations (Hyperbolic) 250 - 272
• 1-D - Linear Advection Equation - FTS, Upwind, Lax-
Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, and Godunov
Schemes 251
• 1-D - Non-linear Advection Equation - FTS, Upwind, Lax-
Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, and Godunov
Schemes 261
6. Navier-Stoke's Equation 273 - 318
• 2-D - Navier-Stokes code for incompressible flows. The MAC Method. 274
5
&+$37(5�� �Steady State Heat Conduction
Equation (Poisson and Laplace Equations)
6
1(a): 1-D FINITE DIFFERENCE METHOD (Drichlet BC – SOLVER: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25��� �
��',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,21�86,1*�),1,7(�',))(5(1&(�0(7+2'�
�81,)250��� �
�������*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�
180(5,&$/������� �
�� ���������������������$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21��������������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�/�QG��'�QG ��8�QG��&�QG��7�QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7��7Q�[�G[�T��TQ �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ �
�
������ZULWH��� �������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�*5,'�32,176� �
������UHDG� � ��Q �
������QP�� �Q� ��� �
������QP�� �Q� ��� �
7
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��7��� �
����� �7�� �7��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��7�Q� �
������7Q� �7�Q� �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� �����G�� ���G���QP� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI� (OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
���������/�L�� ���G� �
���������'�L�� � ���G��
���������8�L�� ���G� �
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[� G[ ��
������ FRQWLQXH�
������&������ �&���� ��/��� 7��� �
������&�QP��� �&�QP��� ��8�QP�� 7�Q� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
������&$//�7'0$�QP��/�'�8�&�7� �
������7���� �7� �
8
������7�Q�� �7Q �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZUL WH��� ��
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[ �7��7Q�7��
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[HV �
������T�� � ���7������� 7���� ��� 7��������� G[� �
������TQ� � ��� 7�Q�� ��� 7�QP�����7�QP�������� G[� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�/()7�%RXQGDU\�LV��T� �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�5,*+7�% RXQGDU\�LV��TQ �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7��7Q�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
9
������GRXE OHSUHFLVLRQ�[�G[�7��7Q�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�7��7Q�� �7�����7Q� ��7�������G�����G�� [� ��[ �����G� �
������ �
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[� ��G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�7��7Q��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZU LWH��� ��
������ZULWH��������7$1/�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
F�����ZULWH��� � �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����ZULWH��������(�L��L ��Q� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L� �JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
10
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
68%5287,1(��7'0$ �
�
����� �VXEURXWLQH�7'0$�QP��/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�QP��� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���QP� �
���������WHPS� �'�L���� /�L� 3�L����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �QP���� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
11
1(b): 1-D FINITE DIFFERENCE METHOD (Drichlet & Neumann BC – SOLVER: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25��� �
��',5,&+/(7���1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�
',))(5(1&(�0(7+2'� �
���81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�
180(5,&$/��� �
����������������������� ��$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21������������������������� �
�����'LULFKOHW�%&�LV�6SHFLILHG�RQ�WKH�/()7�%RXQGDU\�DQG�1HXPDQQ�%&�LV���� �
����������������������6SHFLILHG�RQ�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��7�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7��T��TQ�[�G[��� �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ� HTXDWLRQ��
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ �
�
������ZULWH��� �������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�*5,'�32,176� �
������UHDG� � ��Q �
12
������QP�� �Q� ��� �
������QP�� �Q� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��7��� �
������7�� �7��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�WKH�'HULYDWLYH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
������H�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\� �
������UHD G� � ��TQ �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� �����G�� ���G���QP� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
���������/�L�� ���G� �
���������'�L�� � ���G��
���������8�L�� ���G� �
���� ��FRQWLQXH �
������'�QP��� � ���G��
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[� G[ ��
������FRQWLQXH �
������&������ �&���� ��/��� 7��� �
������&�QP��� �&�QP�����TQ G[ �
������/������ ��G� �
������8�QP��� ��G� �
13
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
������&$//�7'0$�QP��/�'�8�&�7� �
�
������7���� �7� �
������7�Q�� �7�QP��� ��TQ G[ �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&������&$//�$1$/<7�Q�G[�7��TQ�7� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[ �
������T�� � ���7������� 7���� ��� 7����� ���� G[��
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��T� �
������ZULWH��� ��7KH�6SHFLILHG�+HDW�)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TQ �
������VWRS �
������HQG �
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7��TQ�7� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
14
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�7��TQ�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G �����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQ GV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�7��TQ�� �7����� �TQ������G�����G�� [�� ��[ �����G� �
�
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�7��TQ��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7 $1/�L�� ��7�L�� ����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F���� �ZULWH��������(�L��L ��Q� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
15
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UU RU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�QP��/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3 �QG��4�QG��WHPS�
�
������/���� ��G� �
������8�QP��� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���QP� �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L � �QP���� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
16
1(c): 1-D FINITE DIFFERENCE METHOD (Drichlet BC – SOLVER: Gauss- Siedel(SOR))
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25��� �
��',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,21�86,1*�),1,7(�',))(5(1&(�0(7+2'�
�81,)250��� �
�������*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$ 5,1*�7+(�
180(5,&$/������� �
�����������������������$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21��������������������������� �
�������������������������6ROYHU��*DXVV �6HLGHO���������������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP��LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��7�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7��7Q�[�G[�WRO�Z�T��TQ�� �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ �
�
������ZULWH��� �������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�*5,'�32,176� �
������UHDG� � ��Q �
������QP�� �Q� ��� �
17
������QP� � �Q� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��7��� �
������7�� �7��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��7�Q� �
������7Q� �7�Q� �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� ����G�� ���G���QP� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
���������/�L�� ���G� �
���������'�L�� � ���G��
���������8�L�� ���G� �
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[� G[ ��
������FRQWLQXH �
������&���� �&���� ��/��� 7��� �
������&�QP��� �&�QP��� ��8�QP�� 7�Q� �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3RLQW�*8$66 �6(,'(/�0HWKRG �
���� ��Z� ����G� �
18
������WRO� ����G ����
������ZULWH��� ��(QWHU�PD[LPXP�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR����L� ���QP� �
���������7�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
������&$//�6257'��Q�LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�7� �
�
������7���� �7� �
������7�Q�� �7Q �
�
������ZUL WH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UH PRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
&������&$//�$1$/<7�Q�G[�7��7Q�7� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[ �
������T�� � ���7������� 7���� ��� 7��������� G[� �
������TQ� � ��� 7�Q�� ��� 7�QP�����7�QP�������� G[� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW �WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��T� �
������ZULWH��� ��7KH�6SHFLILHG�+HDW�)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TQ �
������VWRS �
������HQG �
19
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7��7Q�7� �
������LQWHJHU�QG�L� Q�
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�7��7Q�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�7��7Q�� �[� ��[ ������ G��
������ �
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�7��7Q��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH� � ��
������ZULWH� � ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH� ������7$1/�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
F�����ZULWH� � � �
F�����ZULWH� � ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����ZULWH� ������(�L��L ��Q� �
20
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�( UURU�
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH� � � �
������ZULWH� � ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��625�)2 5�75,',$*21$/�0$75,; �
�
������VXEURXWLQH�6257'��Q�LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�UHVLG�[ROG�[ QHZ�WHUP�WRO�Z�
�
������QP���� �Q� ��� �
������LWHU�� �� �
������UHVLG� ���G� �
������ZULWH� � �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������/������ ��G� �
���������8�QP��� ��G� �
���������GR����L� ���QP� �
������������[ROG� �;�L� �
21
������������[QHZ� ��&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L�������'�L� �
������������;�L�� �Z [QHZ������G�� ��Z� [ROG �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG�� ��G� �
���������/������ ��G� �
���������8�QP��� ��G� �
���������GR����L� ���QP� �
������������WH UP�� �&�L�� ���/�L� ;�L ������'�L� ;�L����8�L� ;�L���� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��QP� �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������ZULWH� �����LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
����� �HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH� � ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
22
1(d): 1-D FINITE DIFFERENCE METHOD (Drichlet & Neumann BC – SOLVER: Gauss-Siedel(SOR))
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
���7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25�� �
��1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�$7�%27+�%281'$5,(6�86,1*�),1,7(�
',))(5(1&(� �
���������������������������0(7+2'�81,)250�*5,'�������������������� ������� �
�������������������������6ROYHU��*DXVV �6HLGHO�625������������������������ �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP��LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUH FLVLRQ�6�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��7�QG��T��TQ�[�G[�WRO�Z� �
������UKV�VXP �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ � �
�
������ZULWH��� �� ������������ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�*5,'�32,176� �
������UHDG� � ��Q �
������QP�� �Q� ��� �
������QP�� �Q� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�WKH�'HULYDWLYH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
23
������H�DW�WKH�/()7�%RXQ GDU\��
������UHDG� � ��T� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�WKH�'HULYDWLYH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
������H�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\� �
������UHDG� � ��TQ �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� �����G�� �����G���QP� �
�
��&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
��������/�L�� ����G� �
��������'�L�� � ����G��
��������8�L�� ����G� �
������FRQWLQXH �
������'������ � ����G��
������'�QP��� � ����G��
�
��&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� ��G� �
������GR��� �L� ���QP� �
��������[� �[���G[ �
��������&�L�� � �6�[� G[ ��
������FRQWLQXH �
������&������ �&���� ��T� G[ �
������&�QP��� �&�QP�����TQ G[ �
�
��&DOFXODWLRQ�RI�680�RI�5+6 �
������VXP� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
��������VXP� �VXP���&�L� �
24
������FRQWLQXH �
������UKV� �VXP �
�
��6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3RLQW�*8$66 �6(,'(/�625��0HWKRG �
������Z��� ����G� �
������WRO� ����G ���
������ZULWH��� ��(QWHU�PD[LPXP�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR����L� ���QP� �
��������7�L�� ����G� �
������FRQWLQXH �
������&$//�6257'��Q� LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�7��
�
������7���� �7������T� G[ �
������7�Q�� �7�QP��� ��TQ G[ �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
��&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[�7� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�5+6�LV��UKV �
������VWRS �
������HQG �
25
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,1 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG��[�G[ �
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�� �[� ��[ ������G��
������ �
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������7$1/�L�� �7$�[ �G[��
��������(�L����� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH� � � �
������ZULWH� � ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH� ������7$1/�L��L ��Q� �
������I RUPDW�����[�H�������
������ZULWH� � � �
������ZULWH� � ��7KH�'LIIHUHQFH�%HWZHHQ�WKH�$QDO\WLFDO�DQG�1XPHULFDO�6 �
������ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH� ������(�L��L ��Q� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
26
�
68%5287,1(��625�)25�75,',$*21$/�0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��6257'��Q�LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�Q�QP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��WRO�Z�UHVLG�[ROG� �
������[QHZ�WHUP �
�
������QP���� �Q� ��� �
������LWHU�� �� �
������UHVLG � �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
��������/������ ��G� �
��������8�QP��� ��G� �
��������GR����L� ���QP� �
����������[ROG� �;�L� �
����������[QHZ� ��&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L�������'�L� �
�������� ��;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG �
��������FRQWLQXH �
�
��&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
��������UHVLG�� ��G� �
��������/������ ��G� �
��������8�QP��� ��G� �
��������GR����L� ���QP� �
����������WHUP�� �&�L�� ���/�L� ;�L ������'�L� ;�L����8�L� ;�L���� �
����������UHVLG� �UHVL G���WHUP � �
��������FRQWLQXH �
27
��������UHVLG� �6457�UHVLG��QP� �
��������LWHU�� �LWHU���� �
��������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
��������IRUPDW���[�L���[�H����� �
��������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW� PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
28
1(e): 1-D FINITE VOLUME METHOD (Drichlet BC – SOLVER: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$, 1�
��[���)25��� �
�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�
�81,)250�*5,'�� �
����������$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�180(5,&$/����������
�
�������������������������$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21������������������������� �
����������� �� �)LUVW�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�%RXQGDULHV ������������ �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�$:�QG��$3�QG��$(�QG��&�QG�� 7���QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WZ�WH�[�G[�TZ�TH �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ �����[ �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
29
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WK H�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� �����G�� �����G���Q �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
�� ����GR����L� ���Q ���
���������$:�L�� ����G��G[ �
���������$(�L�� ����G��G[ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
������$:���� ����G��G[ �
������$(���� ����G��G[ �
������$3���� � ��$:������$(���� �
������$:�Q�� ����G��G[ �
������$(�Q�� ����G��G[ �
������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q��� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[���� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
������&����� �&���� ��$:��� WZ �
30
������$:���� ��G� �
������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� WH �
������$(�Q�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q��� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLF DO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[�WZ�WH�7� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[HV �
������TZ� � ��7���� ��WZ�����G[����G�� �
������TH� � ��WH� ��7�Q������G[����G�� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��TZ �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TH �
������VWRS �
������HQG �
�
�
�
31
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
�VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7���QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�WZ�WH�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GH SHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�WZ�WH�� �WZ����WH� ��WZ������G������G�� [� ��[ ������G� �
����� �
������(������ ��G� �
������(�Q���� ��G� �
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[������� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�WZ�WH��
���������(�L�� ��� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��Q��� �
������IRUPDW�����[� H�������
F�����ZULWH��� �� �
32
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����ZULWH��������(�L��L ��Q��� �
�
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q�� �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHW HU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;���QG��3���QG��4���QG�� �
������WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
33
���������4�L�� ��& �L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
34
1(f): 1-D FINITE VOLUME METHOD (Drichlet BC – SOLVER: TDMA)
First Order Approximation of Flux at Boundaries
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �G
�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+ ,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25��� �
�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�
�81,)250�*5,'�� �
����������$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�180(5,&$/����������
�
�������������������������$1'�$1$ /<7,&$/�62/87,21������������������������� �
������������ �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�%RXQGDULHV ������������ �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG �� ����
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�$:�QG��$3�QG��$(�QG��&�QG��7���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WZ�WH�[�G[�TZ�TH �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6 �[�� ��G� �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
35
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� �����G�� ���G���Q �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q ���
���������$:�L�� ����G��G[ �
���������$(�L�� ����G��G[ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
������$:���� ����G������G� G[� �
������$(���� ����G������G� G[� �
������$3���� � ��$:������$( �����
������$:�Q�� ����G������G� G[� �
������$(�Q�� ����G������G� G[� �
������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q�� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[���� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
36
������&����� �&���� ��$:��� WZ�
������$:���� ��G� �
������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� WH �
������$(�Q�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULW H��������7�L��L ��Q��� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[�WZ�WH�7� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[HV �
������TZ� � ��7���� ��WZ�����G[����G�� �
������TH� � ��WH� ��7�Q������G[����G�� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��TZ �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TH �
������VWRS �
����� �HQG �
�
�
37
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7���QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�WZ�WH� PD[HUU�
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV �
DQG�WKH�VRXUFH�WHUP�� �
������7$�[�WZ�WH�� �WZ����WH� ��WZ� [ �
����� �
������(���� ��G� �
������(�Q���� ��G� �
�
������[� �G[��� �
������GR����L� ���Q �
���� �����[� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�WZ�WH��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�L V��
������ZULWH��������7$1/�L��L ��Q��� �
38
������IRUPDW�����[�H������ �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����ZULWH��������(�L��L ��Q��� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q�� �
���������LI��(�L� �JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������ VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;���QG��3���QG��4���QG�� �
������WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
39
���������WHPS� �'�L�� ��/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
40
1(g): 1-D FINITE VOLUME METHOD (Drichlet & Neumann BC – SOLVER: TDMA)
Second Order Approximation of Flux at Boundaries
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �G
�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25��� �
��',5,&+/(7���1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�
0(7+2'����� �
���81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/ �(5525�%<�&203$5,1*�7+(�
180(5,&$/��� �
�������������������������$1'�$1$/<7,&$/��62/87,21������������������������ �
����'LULFKOHW�%&�LV�6SHFLILHG�RQ�WKH�/()7�%RXQGDU\�DQG�1HXPDQQ�%&�LV����� �
����������������������6SHFLILHG�RQ�WKH�5,*+7�%RXQGDU\������������ �������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�$:�QG��$3�QG��$(�QG��&�QG��7�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7��T��TQ�[�G[��� �
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[ �
�
������ZULWH��� ������ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XP EHU�RI�&21752/�92/80(6� �
41
������UHDG� � ��QP� �
������Q��� �QP����� �
������QP�� �Q� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��7��� �
������7�� �7��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�WKH�'HULYDWLY H�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
������H�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\� �
������UHDG� � ��TQ �
������ZULWH��� ������ �
������G[� �����G�� �����G���QP� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
���������$: �L�� ����G��G[ �
���������$(�L�� ����G��G[ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
������$:������ ����G������G� G[� �
������$:�QP��� ����G��G[ �
������$(������ ����G������G� G[� �
������$(�QP��� ��G� �
������$3������ � ��$:������$(���� �
������$3�QP��� � ��$:�QP�����$(�QP��� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[���� �[���G[ �
42
���������&�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
������&������ �&���� ��$:��� 7� �
������$:����� ��G� �
������&�QP��� �&�QP�����TQ �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ �8VLQJ�7'0$ �
������&$//�7'0$�QP��$:�$3�$(�&�7� �
�
������7���� �7� �
������7�Q�� �� 7�QP��� ��7�QP��� ��TQ � G[�����G� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�R I�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[�7��TQ�7� �
�
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[ �
������T�� � ���7������� 7���� ��� 7��������� G[� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ���7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��T� �
������ZULWH��� ���7KH�6SHFLILHG�+HDW�)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TQ �
������VWRS �
43
������HQG �
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
���� ��VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7��TQ�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�7��TQ�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���H ����
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSH QGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�7��TQ�� �7����� �TQ������G�����G�� [� ��[ �����G�� �
����� �
������QP�� �Q ���
������QP�� �Q ��� �
�
������(���� ��G� �
������(�Q�� ��G� �
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[�7��TQ��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
44
������ZULWH��������7$1/�L��L ��Q� �
������ IRUPDW�����[�H�������
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����ZULWH��������(�L��L ��Q� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
������� ��HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�QP��/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG� L�QP��
������SDUDPHWHU��QG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�QP��� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
45
������GR����L� ���QP� �
��������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
��������3�L�� � �8�L����WHPS �
��������4�L �� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �QP���� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
46
1(h): 1-D FINITE VOLUME METHOD (Neumann BC – SOLVER: Gauss- Siedel (SOR))
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
G�
7�G[�
� � ��6�[�� �
�
�
���7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621� (48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25�� �
��1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�$7�%27+�%281'$5,(6�86,1*�),1,7(�
',))(5(1&(� �
���������������������������0(7+2'�81,)250�*5,'��������������������������� �
�������������������������6ROYHU��*DXVV �6HLGHO�625�������������� ���������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�QP��QP��LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��7�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�T��TQ�[�G[�W RO�Z�UKV�VXP�
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�� �[���[ � �
�
������ZULWH��� ��������� �
������ ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�*5,'�32,176� �
������UHDG� � ��Q �
������QP�� �Q� ��� �
������QP�� �Q� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�WKH�'HULYDWLYH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
47
������H�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\� �
������UHDG� � ��T� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH �RI�WKH�'HULYDWLYH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEO �
������H�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\� �
������UHDG� � ��TQ �
������ZULWH��� ��������� �
������G[� �����G�� ���G���QP� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���QP� �
���������/�L�� ����G� �
���������'�L�� � ����G��
���������8�L�� ����G� �
������FRQWLQXH �
������'������ � ����G��
������'�QP��� � ����G��
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
���������[� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[� G[ ��
������FRQ WLQXH�
������&������ �&���� ��T� G[ �
������&�QP��� �&�QP�����TQ G[ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�680�RI�5+6 �
������VXP� ��G� �
������GR����L� ���QP� �
���������VXP� �VXP���&�L� �
48
������FRQWLQXH �
������UKV� �VXP �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3RLQW�*8$66 �6(,'(/�625��0HWKRG �
������ Z��� ����G� �
������WRO� ����G ����
������ZULWH��� ��(QWHU�PD[LPXP�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR����L� ���QP� �
���������7�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
������&$//�6257'��Q�LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�7� �
�
������7���� �7������T� G[ �
������7�Q�� �7�QP ��� ��TQ G[ �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
���� ��WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�Q�G[�7� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�5+6�LV��UKV �
������VWRS �
������HQG �
49
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,1 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�G[�7� �
������LQWHJHU�Q G�L�Q�
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG��[�G[ �
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV� �
������7$�[�� �[� ��[ �����G� �
������ �
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������[������� �[���G[ �
���������7$1/�L�� �7$�[ �G[��
���������(�L����� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH� � � �
������ZULWH� � ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH� ������7$1/�L��L ��Q� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH� � � �
������ZULWH� � ��7KH�'L IIHUHQFH�%HWZHHQ�WKH�$QDO\WLFDO�DQG�1XPHULFDO�6 �
������ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH� ������(�L��L ��Q� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
�
50
68%7287,1(��625�)25�75,',$*21$/�0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��6257'��Q�LWHUP[�WRO�Z�/�'�8�&�;� �
������L QWHJHU�QG�Q�QP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������QP���� �Q� ��� �
������LWHU�� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������/���� ����G� �
���������8�QP��� ����G� �
���������GR����L� ���QP� �
������������[ROG� �;�L� �
������������[QHZ� ��&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L�������'�L� �
������������;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG �
���� �����FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG�� ��G� �
���������/������ ��G� �
���������8�QP��� ��G� �
���������GR����L� ���QP� �
������������WHUP�� �&�L�� ���/�L� ;�L ������'�L� ;�L����8�L� ;�L���� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
�� �������UHVLG� �6457�UHVLG��QP� �
51
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI� LWHU�
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG �
�
�
52
1(i): 2-D FINITE VOLUME METHOD (Drichlet BC – SOLVERS: PSOR, LSOR, ADIDOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
�
7��[
��� �
7��\�
� � �6�[�\�� �
�
�
���7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�$�
5(&7$1*8/$5�'20$,1� �
����:,7+�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�21�$//�%281'$5,(6�86,1*�
),1,7(��� �
�����������������������92/80(�0(7+2'�81,)250�*5,'����������������������� �
�������������������6ROYHU�2SWLRQV���3625��/625��$',625������������������ �
�
�
������SURJUDP�SJ� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�P�Q�PQ�S�N�LWHUP[�FRXQW �
�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�)6�)1�):�)(�$3�QG��$:�QG��$(�QG��$6�QG��$1�QG�� �
������&�QG��7�QG��76�P G��71�PG��7:�PG��7(�PG��
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�O[�O\�G[�G\�K[�K\�WRO�Z�ZO�ZD �
�
������FRPPRQ�FRHI�$3�$6�$:�$(�$1 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�7 �
53
�
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FK DQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�\�� � �� �[�\�����G������G� �
�
'HILQLQJ�WKH�%RXQGDU\�&RQGLWLRQV �
������)6�[�� �[ ����[ �
������)1�[�� �[ ����O\ ����[ � O\���[ O\ ����[ O\���[���O\ �
������):�\�� �\ ����\ �
������)(�\�� �\ ����O[ � ���\ � O[���\ O[ ����\ O[���\���O[ �
�
F�����)6�[�� ��G� �
F�����)1�[�� ��G� �
F�����):�\�� ����G� �
F�����)(�\�� ����G� �
�
������ZULWH��� ��������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������U HDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� �������� �
�
������PQ� �P Q �
������G[� ��O[� ���G���P �
������G\� ��O\� ���G���Q �
54
������K[� �G\�G[ �
������K\� �G[�G\ �
�
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV �
6RXWK�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���P �
�������� �[� �[���G[ �
���������76�L�� �)6�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�(DVW������ �
������\� �G\����G� �
������GR����L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7(�L�� �)(�\ �G\��
������FRQWLQXH �
�1RUWK������ �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���P �
���������[� �[���G[ �
���������71�L�� � )1�[�G[��
������FRQWLQXH �
�:HVW������ �
������\� �G\����G� �
������GR����L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7:�L�� �):�\ �G\��
������FRQWLQXH������ �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
55
������GR����L� ���PQ �
���������$6�L�� �K\ �
���������$:�L�� �K[ �
���������$(�L�� �K[ �
���������$1�L�� �K\ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
������GR����L� ���P ���
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
�������� �$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
������GR����L� �PQ �P���PQ���
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
��� ������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
������GR����L� �P���PQ �� P���P�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(� L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
56
������GR����L� �� P�PQ �P�P�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWL QXH�
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
������$6����� �����G�����G�� K\ �
������$:����� �����G�����G�� K[ �
������$(����� �����G�����G�� K[ �
������$1����� �����G�����G�� K\ �
������$3����� � ��$:������$(������$6������$1���� �
������$6�P��� �����G�����G� � K\�
������$:�P��� �����G�����G�� K[ �
������$(�P��� �����G�����G�� K[ �
������$1�P��� �����G�����G�� K\ �
������$3�P��� � ��$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
������S� �PQ �P���
������$6�S��� �����G�����G�� K\ �
������$:�S��� �����G�����G�� K[ �
������$(�S��� �����G�����G �� K[�
������$1�S��� �����G�����G�� K\ �
������$3�S��� � ��$:�S����$(�S����$6�S����$1�S�� �
������$6�PQ�� �����G�����G�� K\ �
������$:�PQ�� �����G�����G�� K[ �
������$(�PQ�� �����G�����G�� K[ �
������$1�PQ�� �����G�����G�� K\ �
������$3�PQ�� � ��$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ�� ��$1�PQ�� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
57
������N� �� �
������\� � �G\����G��
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N�� �
���������GR�����L� �M�N P �
������������[� �[���G[ �
������������&�L�� � �6�[�\� G[ G\�
���������FRQWL QXH�
������FRQWLQXH� �
�
��0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
6RXWK�
������GR�����L� ���P ���
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K\ 76�L� �
���������$6�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
(DVW�
������FRXQW� �� �
������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
���������FRXQW� �FRXQW���� �
���������&�L�� � �&�L�� ������G�����G�� K[ 7(�FRXQW� �
���������$(�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
1RUWK�
������FRXQW� �� �
������GR�����L� �PQ �P���PQ���
���������FRXQW� �FRXQW���� �
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K\ 71�FRXQW� �
58
���������$1�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
:HVW�
������FRXQW � �� �
������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
���������FRXQW� �FRXQW���� �
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�FRXQW� �
���������$:�L�� ��G� �
������FRQWLQXH������ �
������&������ �&���� �������G�����G�� K\ 76���� ������G�����G�� K[ 7:��� �
������$6����� ��G� �
������$:� ���� ��G� �
������&�P���� �&�P�� �������G�����G�� K\ 76�P�� ������G�����G�� K[ 7(��� �
������$6�P��� ��G� �
������$(�P��� ��G� �
������&�PQ��� �&�PQ�� ������G�����G�� K[ 7(�Q�� ������G�����G�� K\ 71�P� �
������$(�PQ�� ��G� �
������$1�PQ�� ��G� �
������S� �PQ �P���
������&�S�� �� �&�S�� �������G�����G�� K[ 7:�Q�� ������G�����G�� K\ 71��� �
������$:�S��� ��G� �
������$1�S��� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3625��/625��RU�$',625�0HWKRG �
������Z��� �����G� �
������ZO�� ����G� �
������ZD�� ����G� �
������WRO� ����G ���
������ZULWH��� ��(QWHU� 0D[LPXP�1XPEHU�RI�,WHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
59
������GR�����L� ���PQ �
���������7�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
������RSHQ�XQLW ��ILOH� �F�RXW� �
�
F�����&$//�3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z�������3RLQW�6XFFHVVLYH�2YHU �5HOD[DWLRQ�
F�����&$//�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZO����� �/LQH�6XFFHVVLYH�2YHU �5HOD[DWLRQ�
������&$//�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZD����$OWHUQDWLQJ�'LUHFWLRQ�,PSOLFLW �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH���������7�L��L ��PQ� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�( UURU� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
F�����&$//�$1$/<7�P�Q�G[�G\� �
�
������IRUPDW�����[�H������ �
������VWRS �
������HQG������� �
������ �
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�P�Q�G[�G\� �
������LQWHJHU�QG�L�M�P�Q�PQ�N �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�\�G[�G\�PD[HUU �
60
������SDUDPHWHU��HSV ���G �����
������FRPPRQ�WHPS �7�
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV�� �
������7$�[�\�� �[ ����\ ����[ � \���[ \ ����[ \���[���\ �
����� �
������PQ� �P Q �
�
������N� �� �
������\� �G\����G� �
������GR����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� �G[����G� �
���������N� �N�� �
���������GR����L� �M�N P �
������������[� �[���G[ �
������������7$1/�L�� �7$�[ �G[�\�G\��
������������(�L������ ��G� �
������������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
���������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
������������HQGLI �
��� ������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��PQ� �
������IRUPDW�����[�H������ �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
61
F�����ZULWH��������(�L��L ��PQ� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���PQ �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�L�P�Q�PQ�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG�� ;�QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ� �P Q �
������LWHU�� �� �
62
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�O W�LWHUP[���WKHQ �
���������GR����L� ���PQ �
������������[ROG� �;�L� �
������������[QHZ� ��&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
������������������������� ��88�L� ;�L�P�����'�L� �
������������;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
�����������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� � 6457�UHVLG��PQ�
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHU�HT�LWHUP[��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQ V��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
63
������HQG������ �
��������� �
�
68%5287,1(��/,1(�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������L QWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
������/2�PG��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�Z�UHVLG�WHUP�WRO �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ���� �P Q �
������PP���� �P ���
������LWHU�� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������N� �� �
���������GR����M� ���PQ �PP��P�
��� ���������N�� �N���� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
��������������NN� �NN���� �
��������������/2�NN�� �Z /�L� �
64
��������������',�NN�� �'�L� �
��������������83�NN�� �Z 8�L� �
��������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P��� �
������������ �������������������������G� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
��������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �64 57�UHVLG��PQ�
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHU�HT�LWHUP[��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV� �,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
65
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������ �
��������� �
�
68%5287,1(��$',625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������ LQWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�Q�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
������/2�PG��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�UHVLG�WHUP�Z�WRO �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8 �88�
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ���� �P Q �
������PP���� �P ���
������LWHU�� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
��������N� �� �
�
6ZHHS�E\�5RZV �
��������GR���� M� ���PQ �PP��P�
66
�����������N�� �N���� �
�����������NN� �� �
�����������GR����L� �M�N P �
��������������NN� �NN���� �
��������������/2�NN�� �Z /�L� �
��������������',�NN�� �'�L� �
��������������83�NN�� �Z 8�L� �
��������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P� �� �
�������������������������������������G� �Z� '�L� ;�L��
�����������FRQWLQXH �
�����������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
�����������NN� �� �
�����������GR����L� �M�N P �
��������������NN� �NN���� �
��������������;�L�� �;;�NN� �
�����������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
6ZHHS�E\�&ROXPQV �
���������GR����M� ���P �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN� �NN���� �
���������������/2�NN�� �Z //�L� �
���������������',�NN�� �'�L� �
���������������83�NN�� �Z 88�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
������������������������������������� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�Q�/2�',�83�&2�;;� �
67
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQW LQXH�
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L� �
�����������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLW K�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������ �
��������� �
�
68
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXW LQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
����� ����3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
69
1(j): 2-D FINITE VOLUME METHOD (Neumann BC – SOLVERS: PSOR, LSOR, ADISOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
��
7��[�
��� ��
7��\�
� � �6�[�\�� �
�
�
���7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�$�
5(&7$1*8/$5�'20$,1� �
�����:,7+�1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�21�$//�%281'$5,(6�86,1*�
),1,7(���� �
�����������������������92/80(�0(7+2'�81,)250�*5,'����������������������� �
�������������������6ROYHU�2SW LRQV���3625��/625��$',625������������������ �
�
���������������������������������������������������������������������� �
������SURJUDP�SJ�� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�P�Q�PQ�PS��PP��PP�� P��LWHUP[�
�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�)46�)41�)4:�)4(�$3�QG��$:�QG��$(�QG��$6�QG�� �
������$1�QG��&�QG��7�QG��46�PG��41�PG��4:�PG��4(�PG� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�O[�O\�G[�G\�K[�K\�WRO�Z�ZO�ZD�UKV�UKV��VXP �
�
������FRPPRQ�FRHI� $3�$6�$:�$(�$1�
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�7 �
70
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�\�� � �� �[�\�����G��
'HILQLQJ�WKH�%RXQGDU\� &RQGLWLRQV�
������)46�[�� � ��[ ����[������ �
������)41�[�� � ��[ ����[���������� O\ [����� O\� �
������)4:�\�� � ��\ ����\������ �
������)4(�\�� � ��\ ����\���������� O[ \����� O[� �
�
������ZULWH��� �������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��( QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� �������� �
�
������PQ�� �P Q �
������PP�� �P ���
������PP�� �P ���
������PS�� �P�� �
������P��� �� P �
������G[�� ��O[� ���G���P �
������G\�� ��O\� ���G�� �Q�
������K[�� �G\�G[ �
������K\�� �G[�G\ �
�
71
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV �
�6RXWK �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���P �
���������[� �[���G[ �
���������46�L�� �)46�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�(DVW������ �
������\� �G\����G� �
������GR����L� �P�PQ�P �
���������\� �\��� G\�
���������4(�L�� �)4(�\ �G\��
������FRQWLQXH �
�1RUWK �
������[� �G[����G� �
������GR����L� �PQ �PP��PQ�
���������[� �[���G[ �
���������41�L�� �)41�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�:HVW������ �
������\� �G\����G� �
������GR����L� ���PQ �PP��P�
���������\� �\���G\ �
���������4:�L�� � )4:�\�G\��
������FRQWLQXH������ �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
������GR����L� ���PQ �
���������$6�L�� �K\ �
���������$:�L�� �K[ �
72
���������$(�L�� �K[ �
���������$1�L�� �K\ �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
������GR����L� ���PP� �
���������$6�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
������GR����L� � PQ�PP��PQ���
���������$1�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
������GR����L� �PS��PQ �P����P�
���������$:�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
������GR����L� �P��PQ �P�P�
���������$(�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
73
������$6��������� ��G ��
������$Z��������� ��G� �
������$3��������� � ��$:������$(������$6������$1���� �
������$6�P������� ��G� �
������$(�P������� ��G� �
������$3�P������� � ��$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
������$:�PQ �PP��� ��G� �
������$1�PQ �PP��� ��G� �
������$3�PQ �PP��� � ��$:�PQ�PP�����$ (�PQ�PP�����$6�PQ �PP�����$1�PQ �PP����
������$(�PQ������ ��G� �
������$1�PQ������ ��G� �
������$3�PQ������ � ��$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������\� �G\����G� �
������GR�����M� ���PQ �PP��P�
���������\� �\���G\ �
���������[� �G[����G ��
���������GR�����L� �M�M�P ���
������������[� �[���G[ �
������������&�L�� � �6�[�G[�\�G\� G[ G\�
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH� �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������GR�����L� ���PP� �
���������&�L�� �&�L�� ��46�L� G[ �
������FRQWLQXH �
������GR�����L� �P��PQ �P�P�
��� ������&�L�� �&�L����4(�L� G\ �
74
������FRQWLQXH �
������GR�����L� �PQ �PP��PQ���
���������&�L�� �&�L����41�L� G[ �
������FRQWLQXH �
������GR�����L� �PS��PQ �P����P�
���������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\ �
������FRQWLQXH������ �
������&��������� �&���� ��46��� G[� ��4:��� G\ �
������& �P������� �&�P�� ��46�P� G[���4(�P� G\ �
������&�PQ������ �&�PQ����4(�PQ� G\���41�PQ� G[ �
������&�PQ �PP��� �&�PQ �PP��� ��4:�PQ �PP�� G\���41�PQ �PP�� G[�
�
&DOFXODWLRQ�RI�5+6 �
������VXP� ��G� �
������GR�����L� ���PQ �
���������VXP� �VXP���&�L� �
������FRQWLQXH������� �
�� ����UKV� �VXP �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3625��/625�RU�$',625�0HWKRG �
������Z��� ����G� �
������ZO�� ����G� �
������ZD�� ����G� �
������WRO� ����G ����
������ZULWH��� ��(QWHU�0D[LPXP�1XPEHU�RI�,WHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR�����L� ���PQ �
��������7 �L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
F�����&$//�3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z�������3RLQW�6XFFHVVLYH�2YHU �5HOD[DWLRQ� �
75
F�����&$//�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZO������/LQH�6XFFHVVLYH�2YHU �5HOD[DWLRQ�
������&$//�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZD����$OWHUQDWLQJ�'LUHFWLRQ�,PSOLFLW �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH���������7�L��L ��PQ� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ ��
�
&�����&$//�$1$/<7�P�Q�G[�G\�7� �
� �
&DOFXODWLRQ�RI�680�RI�5+6�$IWHU�5HSODFLQJ�6SG[G\�E\�JH �JZ�JQ�JV�
������&$//�*68%�P�Q�G[�G\�46�4(�41�4:�UKV�� �
�
������ZULWH��� ��7KH�680�RI�5+6�LV��UKV �
������ZULWH��� ��7KH�680�RI�5+6��LV��UKV� �
������VWRS �
������HQG�� ����� �
������ �
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�P�Q�G[�G\� �
������LQWHJHU�QG�L�M�P�Q�PQ�PP� �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7�QG��7$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[ �\�G[�G\�
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
76
�
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV�� �
������7$�[�\�� �[ ����\ ����[ � \���[ \ ����[ \���[���\ �
����� �
������PQ� �P Q �
������PP�� �P ���
�
������\� �G\����G� �
������GR����M� ���PQ �PP��P�
���������\� �\���G\ �
���������[� �G[����G� �
���������GR����L� �M�M�P ���
������������[� �[���G[ �
������������7$1/�L�� �7$�[ �G[�\�G\��
������������(�L����� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
��� ���ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��PQ� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�$QDO\WLFDO�DQG�1XPHULFDO�6ROXWLR �
������Q�LV� �
������ZULWH��������(�L��L ��PQ� �
������UHWX UQ�
������HQG �
77
�
�
68%5287,1(��&$/&8/$7,21�2)�5+6 �
�
������VXEURXWLQH�*68%�P�Q�G[�G\�46�4(�41�4:�UKV�������� �
������LQWHJHU�QG�PG�P�Q�PQ�PP��L�M�N �
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�')';�')'<�5+�QG ��46�PG��4(�PG��41�PG��4:�PG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�G[�G\�VSG[\�VXP�VXPV�VXPH�VXPQ�VXPZ�UKV� �
��� �
�
������')';�[�\�� �\ ����\���������� [ \����� [� �
������')'<�[�\�� �[ ����[���������� \ [����� \� �
�� �
������PQ� �P Q �
������PP�� �P ���
�
������N� �� �
������ \� ��G� �
������GR����M� ���PQ �PP��P�
���������\� �\���G\ �
���������[� ��� �
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�N P �
������������[� �[���G[ �
������������VSG[\� � ���')';�[�\ �G\����G�� G\� ��')';�[ �G[�\�G\����G�� G\�
����������������������')'<�[ �G[����G��\� G[� ��')'<�[�G[����G��\�G\� G[��
������������5+�L�� � �VSG[\������� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
78
�
������VXP� ��G� �
������GR����L� ���PQ �
���������VXP� �VXP���5+�L� �
������FRQWLQXH �
�
������VXPV� ��G� �
������GR����L� ���P �
���������VXPV� �VXPV���46�L� G[ �
������FRQWL QXH����� �
�
������VXPH� ��G� �
������GR����L� �P�PQ�P �
���������VXPH� �VXPH���4(�L� G\ �
������FRQWLQXH �
����� �
������VXPQ� ��G� �
������GR����L� �PQ �PP��PQ�
���������VXPQ� �VXPQ���41�L� G[ �
������FRQWLQXH �
����� �
������VXPZ� ��G� �
������GR����L� ���PQ �PP��P�
���������V XPZ� �VXPZ���4:�L� G\ �
������FRQWLQXH����� �
�
������UKV�� �VXP� ���VXPV� ��VXPQ���VXPZ� ��VXPQ� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
79
�
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�L�P� Q�PQ�LWHU�LWHUP[�
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ� �P Q �
������L WHU� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������GR����L� ���PQ �
������������[ROG� �;�L� �
������������[QHZ� ��&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
������������������� ������ ��88�L� ;�L�P�����'�L� �
������������;�L�� �Z [QHZ�������� ��Z� [ROG �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
80
�������������������������� �8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[ �OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������ �
��������� �
�
68%5287,1(��/,1(�625�) 25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
������/2�P G��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�Z�UHVLG�WHUP�WRO �
�
�
81
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ� �P Q �
������PP�� �P ���
������LWHU� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
����� �LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������N� �� �
���������GR����M� ���PQ �PP��P�
������������N� �N���� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN� �NN���� �
���������������/2�NN�� �Z /�L� �
���������������',�NN�� �'�L� �
�������� �������83�NN�� �Z 8�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P�� �
�������������������������������������� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������� �����NN� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
82
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
�����������������������������8 �L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�O H�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������ �
��������� �
�
68%5287,1(��$',625�)25�1 21$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�Q�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
83
������/2 �PG��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�UHVLG�WHUP�Z�WRO �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
�
������PQ� �P Q �
������PP�� �P ���
������LWHU� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
��� ���LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������N� �� �
�
6ZHHS�E\�5RZV �
���������GR����M� ���PQ �PP��P�
������������N� �N���� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN� �NN���� �
���������������/2�NN�� �Z /�L� �
���������������',� NN�� �'�L� �
���������������83�NN�� �Z 8�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P�� �
������������������������������������� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
84
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
6ZHHS�E\�&ROXPQV �
���������GR����M� ���P �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN� �NN���� �
���������������/2�NN�� �Z //� L��
���������������',�NN�� �'�L� �
���������������83�NN�� �Z 88�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
������������������������������������� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�Q�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ���� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
���������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
85
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
������ ���JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG� ����� �
��������� �
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
�
�
86
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
87
1(k): 3-D FINITE VOLUME METHOD (Drichlet BC – SOLVER: PSOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�I RUP��
�
7��[
��� �
7��\
��� �
7��]�
� � �6�[�\�]�� �
�
�
�����7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$7,21�:,7+,1�$�
5(&7$1*8/$5������ �
����3$5$//(/(3,3('�'20$,1�:,7+�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7, 216�21�
$//����� �
�����������%281'$5,(6�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�81,)250�*5,'����������� �
������������������������������6ROYHU��3625������������������������������ �
�
������������� ����������������������������������������������������������� �
������SURJUDP�SJ�� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�P�Q�S�PQS�PQ�PS�QS�N�NN�LWHUP[�E �
�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ����� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�) �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�$3�QG��$:�QG��$(�QG��$6�QG��$1�QG ��$)�QG��$5�QG���
������&�QG��7� �PG�QG��7)�QG��75�QG��76�QG��71�QG��7:�QG��7(�QG��
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�]�O[�O\�O]�G[�G\�G]�K[�K\�K]�WRO�Z �
�
������FRPPRQ�FRHI�$3�$)�$6�$:�$(�$1�$5 �
88
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ �WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�\�]�� � �� ����G����� [���� \���� ]���� [ ����� \ ����� ] �� �
����������������� ��� �[ ����\ ����] �� �
F�����6�[�\�]�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�)XQFWLRQ�IRU�%RXQGDU\�&RQGLWLRQV �
������)�[�\�]�� �[ � �����\���]���\ ����] ����� �
�����������������\ � �����[���]���[ ����] ���� �
�����������������] � �����[���\���[ ����\ ��� �
F�����)�[�\�]�� ����G� �
�
������ZULWH��� �������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�= �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O] �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�= �GLUHFWLRQ��
���� ��UHDG� � ��S �
������ZULWH��� �������� �
�
������PQS� �P Q S �
89
������PQ�� �P Q �
������PS�� �P S �
������QS�� �Q S �
�
������G[� ��O[� ���G����P� �
������G\� ��O\� ���G����Q� �
������G]� ��O]� ���G����S� �
������K[� �G\ G]�G[ �
������K\� �G] G[�G\ �
������K]� �G[ G\�G] �
�
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV �
�)URQW �
������N� �� �
������\� �G\����G� �
������GR����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� �G[����G� �
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�N P �
������������[� �[���G[ �
������������7) �L�� �)�[ �G[�\�G\����
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�5HDU �
������N� � ���
������\� �G\����G� �
������GR����M� �PQS �PQ���PQS�P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� �G[����G� �
90
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M��PQS �PQ�P��N P�
������������[� �[���G[ �
�������� ����75�L�� �)�[ �G[�\�G\�O]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�6RXWK �
������N� � ���
������]� �G]����G� �
������GR����M� ���PQS �PQ���PQ�
���������]� �]���G] �
���������[� �G[����G� �
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�P�N PQ �
������������[� �[���G[ �
������������7 6�L�� �)�[ �G[���]�G]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�1RUWK �
������N� � ���
������]� �G]����G� �
������GR����M� �PQ �P���PQS�P���PQ�
���������]� �]���G] �
���������[� �G[����G� �
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�PQ�N PQ �
������������[� �[���G[ �
������������71 �L�� �)�[ �G[�O\�]�G]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
91
�:HVW �
������N� � ���
������\� �G\����G� �
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������]� �G]����G� �
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M��PQS �PQ����N P�PQ�
������������]� �]���G] �
����������� �7:�L�� �)���\ �G\�]�G]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�(DVW �
������N� � ���
������\� �G\����G� �
������GR�����M� �P�PQ�P �
���������\� �\���G\ �
���������]� �G]����G� �
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�P��N P�PQ�
������������]� �]���G] �
������������ 7(�L�� �)�O[�\ �G\�]�G]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
������GR�����L� ���PQS �
���������$)�L�� �K] �
���������$5�L�� �K] �
���������$:�L�� �K[ �
92
���������$(�L�� �K[ �
���������$6�L�� �K\ �
��� ������$1�L�� �K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$)�DQG�$5�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �P���PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� P ����N P�
�����������$)�L�� �����G�����G�� K] �
�����������$5�L�� �����G�����G�� K] �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$)�DQG�$5�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�5($5�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�� P����N P�
�����������$5�L�� �����G�����G�� K] �
�����������$)�L�� �����G�����G�� K] �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQW LQXH�
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
������N� � ���
93
������GR�����M� �PQ�P���� PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�P����N P�PQ�
�����������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
�����������$(�L�� ��� ��G�����G�� K[�
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH�������� �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�� P�� PQ �P�P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�� P��N P�PQ�
�����������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
�����������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV� $GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQ�P ����N PQ�
�����������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
�����������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L���� $6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
94
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� PQ ����N PQ�
�����������$1�L�� �����G�����G�� K\�
�����������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� ���P ���
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L � �PQ �P���PQ���
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV �$GMDFHQW�WR�5($5 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ���PQS�PQ�P���
95
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L��� �$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�5($5 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �P���PQS���
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �)5217�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$)�L�� ��� ��G�����G�� K]�
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �5($5�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[�
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
96
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �)5217�%RXQGDU\ �
������GR���� �L� �� P�PQ �P�P�
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGH V�$GMDFHQW�WR�($67 �5($5�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ�� P�PQS�P�P�
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$5�L�� �����G�����G�� K] �
���������$)�L�� �����G�����G�� K] �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L���� $6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\�
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
������� ��$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
97
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQ�P�PQS �� PQ�P�PQ�
���������$(�L�� ����� G�����G�� K[�
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �1257+�%RXQGDU\ �
��� ���GR�����L� �� PQ�PQS �PQ�PQ�
���������$(�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$:�L�� �����G�����G�� K[ �
���������$1�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$6�L�� �����G�����G�� K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�&251(5�1RGHV �
�6RXWK �:HVW�)URQW�
������$6���� �����G�����G�� K\ �
������$:���� �����G�����G�� K[ �
������$)���� �����G�����G�� K] �
������$1���� �����G�����G�� K\ �
������$(���� �����G�����G�� K[ �
������$5���� �����G�����G�� K] �
������$3���� � ��$)������$5��� ���$:������$(������$6������$1���� �
�6RXWK �)URQW�(DVW�
������$6�P�� �����G�����G�� K\ �
98
������$)�P�� �����G�����G�� K] �
������$(�P�� �����G�����G�� K[ �
������$1�P�� �����G�����G�� K\ �
������$5�P�� �����G�����G�� K] �
������$:�P�� �����G�����G�� K[ �
������$3�P�� � ��$)�P����$5�P����$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�6RXWK �(DVW�5HDU�
������E� �PQS� ��PQ���P �
������$6�E�� �����G�����G�� K\ �
������$(�E�� �����G�����G�� K[ �
������$5�E�� �����G�����G�� K] �
������$1�E�� �����G�����G�� K\ �
������$:�E�� �����G�����G�� K[ �
������$)�E�� � ����G�����G�� K]�
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�6RXWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��PQ���� �
������$6�E�� �����G�����G�� K\ �
������$5�E�� �����G�����G�� K] �
������$:�E�� �����G�����G�� K[ �
������$1�E�� �����G�����G�� K\ �
������$)�E� � �����G�����G�� K] �
������$(�E�� �����G�����G�� K[ �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�1RUWK �:HVW�)URQW�
������E� �PQ� ��P���� �
������$1�E�� �����G�����G�� K\ �
������$:�E�� �����G�����G�� K[ �
������$)�E�� �����G�����G�� K] �
������$6� E�� �����G�����G�� K\ �
99
������$(�E�� �����G�����G�� K[ �
������$5�E�� �����G�����G�� K] �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�1RUWK �)URQW�(DVW�
������$1�PQ�� �����G�����G�� K\ �
������$)�PQ�� �����G�����G�� K] �
������$(�PQ�� �����G�����G �� K[�
������$6�PQ�� �����G�����G�� K\ �
������$5�PQ�� �����G�����G�� K] �
������$:�PQ�� �����G�����G�� K[ �
������$3�PQ�� � ��$)�PQ����$5�PQ����$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�1RUWK �(DVW�5HDU�
������$1�PQS�� �����G�����G�� K\ �
������$(�PQS�� �����G�����G�� K[ �
������$5�PQS�� �����G�����G�� K] �
������$6�PQS�� �����G�����G�� K\ �
������$:�PQS�� �����G�����G�� K[ �
������$)�PQS�� �����G�����G�� K] �
������$3�PQS�� � ��$)�PQS����$5�PQS����$:�PQS����$(�PQS����$6�PQS����$1� �
������PQS�� �
�1RUWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��P���� �
������$1�E�� �����G�����G�� K\ �
������$5�E�� �����G�����G�� K] �
������$:�E�� �����G�����G�� K[ �
������$6�E�� �����G�����G�� K\ �
������$)�E�� �����G�����G�� K] �
������$(�E�� �����G�����G�� K[ �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�
100
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������N� �� �
������NN� � ���
������]� �G]����G� �
������GR�����MM� ���PQS �PQ���PQ�
���������]� �]���G] �
���������\� �G\����G� �
���������NN� �NN�� �
���������GR�����M� MM��PQ �P����NN PQ�P�
�����������\� �\���G\ �
�����������[� �G[����G� �
���������� �N� �N�� �
�����������GR�����L� �M�N P �
�������������[� �[���G[ �
�������������&�L�� � �6�[�G[�\�G\�]�G]� G[ G\ G]�
�����������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH� �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
�)5217 �
������N� � ���
������GR�����M� �P���PQ �� P���P�
���������N � �N���� �
���������GR�����L� �M��� P ����N P�
�����������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 7)�L� �
�����������$)�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�5($5 �
101
������N� � ���
������GR�����M� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�� P����N P�
�����������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 75�L� �
�����������$5�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�6287+ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQ�P ����N PQ�
�����������&�L��� �&�L�� ��� ���G�����G�� K\ 76�L��
�����������$6�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�1257+ �
������N� � ���
������GR�����M� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� PQ ����N PQ�
�����������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K\ 71�L� �
�����������$1 �L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�:(67 �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�P���� PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
102
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�P����N P�PQ�
�����������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�L� �
�����������$:�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�($67 �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�� P�� PQ �P�P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�� P��N P�PQ�
�����������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7(�L� �
�����������$(�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�)5217 �6287+�
������G R�����L� ���P ���
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 7)�L�� ������G�����G�� K\ 76�L� �
���������$)�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�)5217 �1257+� �
������GR�����L� �PQ �P���PQ���
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 7)�L�� ������G�����G�� K\ 71�L��
���������$)�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�5($5 �6287+� �
������GR�����L� �PQS �PQ���PQS�PQ�P���
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 75�L�� ������G�����G�� K\ 76�L� �
103
���������$5�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�5($5 �1257+�
������GR�����L� �PQS �P���PQS���
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K] 75�L�� ������G�����G�� K\ 71�L� �
���������$5�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�:(67 �)5217�
������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�L�� ����� �G�����G�� K] 7)�L��
���������$:�L�� ��G� �
���������$)�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�:(67 �5($5�
������GR�����L� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�L�� ������G�����G�� K] 75�L� �
���������$:�L�� ��G� �
���������$5�L�� ��G� �
������FRQWLQX H�
�($67 �)5217�
������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7(�L�� ������G�����G�� K] 7)�L� �
���������$(�L�� ��G� �
���������$)�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�($67 �5($5�
������GR�����L� �PQS �PQ�� P�PQS�P�P�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G� � K[ 7(�L�� ������G�����G�� K] 75�L� �
104
���������$(�L�� ��G� �
���������$5�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�:(67 �6287+�
������GR�����L� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�L�� ������G�����G�� K\ 76�L� �
���������$:�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�:(67 �1257+� �
������GR�����L� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7:�L�� ������G�����G�� K\ 71�L� �
���������$:�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�($67 �6287+�
������GR�����L� �PQ�P�PQS �� PQ�P�PQ�
��������� &�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7(�L�� ������G�����G�� K\ 76�L� �
���������$(�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�($67 �1257+� �
������GR�����L� �� PQ�PQS �PQ�PQ�
���������&�L��� �&�L�� ������G�����G�� K[ 7(�L�� ������G�����G�� K\ 71�L� �
���������$(�L�� �� G��
���������$1�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�
�6RXWK �:HVW�)URQW�
������&����� �&���� ������G�����G�� K\ 76���� ������G�����G�� K[ 7:��� �
105
������������������� ��������� K] 7)��� �
������$6���� ��G� �
������$:���� ��G� �
������$)���� ��G� �
�6RXWK �)URQW�(DVW�
������&�P��� �&� P�� ������G�����G�� K\ 76�P�� ������G�����G�� K] 7)�P� �
������������������� ��������� K[ 7(�P� �
������$6�P�� ��G� �
������$)�P�� ��G� �
������$(�P�� ��G� �
�6RXWK �(DVW�5HDU�
������E� �PQS� ��PQ���P �
������&�E��� �&�E�� ������G�����G�� K\ 76�E�� ������G�����G�� K[ 7(�E� �
������������������� ��������� K] 75�E� �
������$6�E�� ��G� �
������$(�E�� ��G� �
������$5�E�� ��G� �
�6RXWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��PQ���� �
������&�E��� �&�E�� ������G�����G�� K\ 76�E�� ������G�����G�� K] 75�E� �
������������������� ������G�����G�� K[ 7:�E� �
������$6�E� � ��G� �
������$5�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
�1RUWK �:HVW�)URQW�
������E� �PQ� ��P���� �
������&�E��� �&�E�� ������G�����G�� K\ 71�E�� ������G�����G�� K[ 7:�E� �
������������������� ������G�����G�� K] 7)�E� �
������$1�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
106
������$)�E�� ��G� �
�1RUW K�)URQW�(DVW�
������&�PQ��� &�PQ�� ������G�����G�� K\ 71�PQ� �����G�����G�� K] 7)�PQ��
�������������������� ������G�����G�� K[ 7(�PQ� �
������$1�PQ�� ��G� �
������$)�PQ�� ��G� �
������$(�PQ�� ��G� �
�1RUWK �(DVW�5HDU�
������&�PQS��� �&�PQS�� ������G�����G�� K\ 71�PQS� �
�� ��������������������� ������G�����G�� K[ 7(�PQS� �
����������������������� ������G�����G�� K] 75�PQS� �
������$1�PQS�� ��G� �
������$(�PQS�� ��G� �
������$5�PQS�� ��G� �
�1RUWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��P���� �
������&�E��� �&�E�� ������G�����G�� K\ 71�E� �
�������������� ����� ������G�����G�� K] 75�E� �
������������������� ������G�����G�� K[ 7:�E� �
������$1�E�� ��G� �
������$5�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3625�0HWKRG �
������Z��� �����G� �
������WRO� ����G ����
������ZULWH��� ��(QWHU�0D[LPXP�1XPEHU�RI�,WHU DWLRQV��
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR�����L� � ��PQ����PQS�PQ�
���������7�L�� ����G� �
107
������FRQWLQXH �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH� �F�RXW� �
�
������&$//�3625�'�P�Q�S�LWHUP[�WRO�Z������3RLQW�6XFFHVVLYH�2YHU �5HOD[DWLRQ�� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� �� 7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH���������7�L��L ��PQS� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
&�����&$//�$1$/<7�P�Q�S�G[�G\� G]��
�
������IRUPDW�����[�H������ �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�7$1$�P�Q�S�G[�G\�G]� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�MM�P�Q�S�PQS�PQ�N�NN �
�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ����� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7� �PG�QG��7$1/�QG��(�QG��
108
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�\�]�G[�G\�G]�PD[HUU �
�
������SDUDPHWHU��HSV ���G �����
�
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ��VROXWLRQ�GHSHQGV�RQ�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV�� �
������7$�[�\�]�� �[ � ���� �\���]���\ ����] ����� �
������������������\ � �����[���]���[ ����] ���� �
������������������] � �����[���\���[ ����\ ��� �
����� �
������PQS� �P Q S �
������PQ�� �P Q �
�
������N� �� �
������NN� � ���
������]� �G]����G� �
������GR����MM� ���PQS �PQ���PQ�
���������]� � �]���G] �
���������\�� �G\����G� �
���������NN� �NN�� �
���������GR����M� �MM��PQ �P����NN PQ�P�
������������\� �\���G\ �
������������[� �G[����G� �
������������N� �N�� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������[� �[���G[ �
���������������7$1/�L�� �7$�[ �G[�\�G\�]�G]��
���������������(�L����� ��G� �
109
���������������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������������HQGLI �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO \WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��PQS� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
������ZULWH��������(�L��L ��PQS� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���PQS �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
�����������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�6(9(1�',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�'�P�Q�S�LWHUP[�WRO�Z� �
110
������LQWHJHU�QG�PG�L�P�Q�S�PQS�PQ�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��///�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��888�QG�� �
������&�QG��;� �PG�QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ �WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
������FRPPRQ�FRHI�'�///�//�/�8�88�888 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQS��� �P Q S �
������PQ���� �P Q �
������LWHU�� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWH U�OW�LWHUP[���WKHQ �
��������GR����L� ���PQS �
����������[ROG� �;�L� �
����������[QHZ� ��&�L�� ��///�L� ;�L �PQ�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��
��������������������8�L� ;�L���� ��88�L� ;�L�P�� ��888�L� ;�L�PQ����'�L� �
����������;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG �
������ ��FRQWLQXH �
�
��&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
��������UHVLG� ��G� �
��������GR����L� ���PQS �
����������WHUP� �&�L�� ���///�L� ;�L �PQ����//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ����� �
��������������'�L� ;�L����8�L� ;�L������88�L� ;�L�P����888�L� ;�L�PQ�� �
����������UHVLG� �UHVLG���WHU P ��
��������FRQWLQXH �
��������UHVLG� �6457�UHVLG��PQS �
111
��������LWHU� �LWHU���� �
��������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
��������IRUPDW���[�L���[�H����� �
��������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK �LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
������ �
�
112
1(l): 3-D FINITE VOLUME METHOD (Neumann BC – SOLVER: PSOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
��
7��[�
��� ��
7��\�
��� ��
7��]�
� � �6�[�\�]�� �
�
�
�����7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�32,6621�(48$ 7,21�:,7+,1�$�
5(&7$1*8/$5������ �
�����3$5$//(/(3,3('�'20$,1�:,7+�1(80$11�%281'$5<�&21',7,216�21�
$//������ �
�����������%281'$5,(6�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�81,)250�*5,'����������� �
������������������������������6ROYHU��3625������������������������������ �
�
������������������������������������������������������������������������ �
������SURJUDP�SJ�� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�P�Q�S�PQS�PQ�PS�QS�N�NN�LWHUP[�E �
�
������SDUDPHWHU��QG ������ PG ������
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�')';�')'<�')'= �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�$3�QG��$:�QG��$(�QG��$6�QG��$1�QG��$)�QG��$5�QG�� �
������&�QG��7� �PG�QG��4)�QG��45�QG��46�QG��41�QG��4:�QG��4(�QG��
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�]�O[�O\�O]�G[�G\�G]�G[G\�G[G]�G\G]�K[�K\�K] ��
������WRO�Z�ZD�UKV�VXP �
����� �
113
������FRPPRQ�FRHI�$3�$)�$6�$:�$(�$1�$5 �
������FRPPRQ�IOX[�4)�45�46�41�4:�4( �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�RQ�WKH�5LJKW �+DQG�6LGH�RI�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ� �
6HWWLQJ�6� ���ZLOO�FKDQJH�WKH� 3RLVVRQ�HTXDWLRQ�LQWR�/DSODFH�HTXDWLRQ� �
������6�[�\�]�� � �� ����G����� [���� \���� ]���� [ ����� \ ����� ] �� �
����������������� �� �[ ����\ ����] �� �
�
'HILQLQJ�WKH�'HULYDWLYHV�RI�WKH�)XQFWLRQ�IRU�%RXQGDU\�)OX[HV �
������')';�[�\�]�� �� [ ����\���]���\ ����] ������\ ��] �� ������ [�� �
������')'<�[�\�]�� �� \ ����[���]���[ ����] ������[ ��] �� ������ \�� �
������')'=�[�\�]�� �� ] ����[���\���[ ����\ ������[ ��\ �� ������ ]�� �
������ �
������ZULWH��� �������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�= �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O] �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�= �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��S �
������Z ULWH��� ��������������� �
�
114
������PQS� �P Q S �
������PQ�� �P Q �
������PS�� �P S �
������QS�� �Q S �
�
������G[��� ��O[� ���G����P� �
������G\��� ��O\� ���G����Q� �
������G]��� ��O]� ���G����S� �
������K[��� �G\ G]�G[ �
������K\��� �G ] G[�G\�
������K]��� �G[ G\�G] �
������G[G\� �G[ G\ �
������G[G]� �G[ G] �
������G\G]� �G\ G] �
�
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV�RI�WKH�)OX[ �
�)URQW �
������\� � �G\����G��
������GR����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������GR����L� �M�M� P���
�����������[� �[���G[ �
�����������4)�L�� � �')'=�[�\����
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�5HDU �
������N� � ���
������\� � �G\����G��
������GR����M� �PQS �PQ���PQS�P���P�
115
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M��PQS �PQ�P��N P�
�����������[� �[���G[ �
�����������45�L�� � �')'=�[�\�O]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�6RXWK �
������N� � ���
������]� � �G]����G��
������GR����M� ���PQS �PQ���PQ�
���������]� �]���G] �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�P�N PQ �
�����������[� �[���G[ �
�����������46�L�� � �')'<�[���]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�1RUWK �
������N� � ���
������]� � �G]����G��
������GR����M� �PQ �P���PQS�P���PQ�
���������]� �]���G] �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�PQ�N PQ �
�� ���������[� �[���G[ �
�����������41�L�� � �')'<�[�O\�]��
116
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�:HVW �
������N� � ���
������\� � �G\����G��
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������]� � �G]����G��
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M��PQS �PQ����N P�PQ�
�����������]� �]���G] �
�����������4:�L�� � �')';���\�]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�(DVW �
������N� � ���
������\� � �G\����G��
������GR�����M� �P�PQ�P �
���������\� �\���G\ �
���������]� � �G]����G��
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�P��N P�PQ�
���� �������]� �]���G] �
�����������4(�L�� � �')';�O[�\�]��
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
������GR�����L� ���PQS �
���������$)�L�� �K] �
117
���������$5�L�� �K] �
���������$:�L�� �K[ �
���������$(�L�� �K[ �
���������$6�L�� �K\ �
���������$1�L�� �K\ �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$)�DQG�$5�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �P���PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� P ����N P�
�����������$)�L�� ��G� �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$)�DQG�$5�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�5($5�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ S�PQ�P���PQS�� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�� P����N P�
�����������$5�L�� ��G� �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR �:(67�%RXQGDU\ �
������N� � ���
118
������GR�����M� �PQ�P���� PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�P����N P�PQ�
�����������$:�L�� ��G� �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH�������� �
������FRQWL QXH�
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�� P�� PQ �P�P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�� P��N P�PQ�
�����������$(�L�� ��G� �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$ 6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQ�P ����N PQ�
�����������$6�L�� ��G� �
�����������$3�L �� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
������N� � ���
119
������GR�����M� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� PQ ����N PQ�
�����������$1�L�� ��G� �
�����������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� ���P ���
���������$)�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
�� �������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�)5217 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQ �P���PQ���
���������$)�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L� ���$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�5($5 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ���PQS�PQ�P���
���������$5�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGL ILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�5($5 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �P���PQS���
���������$5�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
120
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �)5217�%RX QGDU\�
������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
���������$:�L�� ��G� �
���������$)�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �5($5�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������$:�L�� ��G� �
���������$5�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �)5217�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
���������$(�L�� ��G� �
���������$)�L�� ��G� �
����� ����$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �5($5�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQS �PQ�� P�PQS�P�P�
���������$(�L�� ��G� �
���������$5�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(� L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������$:�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
121
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RG LILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������$:�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �6287+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �PQ�P�PQS �� PQ�P�PQ�
���������$(�L�� ��G� �
���������$6�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�0RGLILFDWLRQ�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67 �1257+�%RXQGDU\ �
������GR�����L� �� PQ�PQ S�PQ�PQ�
���������$(�L�� ��G� �
���������$1�L�� ��G� �
���������$3�L�� � ��$)�L����$5�L����$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�&251(5�1RGHV �
�6RXWK �:HVW�)URQW�
������$6���� ��G� �
������$:���� ��G� �
������$)���� ��G� �
������$3���� � ��$)������$5������$:������$(������$6������$1���� �
�6RXWK �)URQW�(DVW�
������$6�P�� ��G� �
������$)�P�� ��G� �
122
������$(�P�� ��G� �
������$3�P�� � ��$)�P����$5�P����$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�6RXWK �(DVW�5HDU�
������E� �PQS� ��PQ���P �
������$6�E�� ��G� �
������$(�E�� ��G� �
������$5�E�� ��G� �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�6RXWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��PQ���� �
������$6�E�� ��G� �
������$5�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�1RUWK �:HVW�)URQW�
������E� �PQ� ��P���� �
������$1�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
������$)�E�� ��G� �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�1RUWK �)URQW�(DVW�
������$1�PQ�� ��G� �
������$)�PQ�� ��G� �
������$(�PQ�� ��G� �
������$3�PQ�� � ��$)�PQ����$5�PQ����$:�PQ ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�1RUWK �(DVW�5HDU�
������$1�PQS�� ��G� �
������$(�PQS�� ��G� �
������$5�PQS�� ��G� �
������$3�PQS�� � ��$)�PQS����$5�PQS����$:�PQS����$(�PQS����$6�PQS����$1� �
123
������PQS�� �
�1RUWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��P���� �
������$1�E�� ��G� �
������ $5�E�� ��G� �
������$:�E�� ��G� �
������$3�E�� � ��$)�E����$5�E����$:�E����$(�E����$6�E����$1�E�� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������N� �� �
������NN� � ���
������]� �G]����G� �
������GR�����MM� ���PQS �PQ���PQ�
���������]� �]���G] �
���������\� �G\����G� �
���������NN� � NN���
���������GR�����M� MM��PQ �P����NN PQ�P�
�����������\� �\���G\ �
�����������[� �G[����G� �
�����������N� �N�� �
�����������GR�����L� �M�N P �
�������������[� �[���G[ �
�������������&�L�� � �6�[�G[�\�G\�]�G]� G[ G\ G]�
�����������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
������FRQ WLQXH� �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
�)5217 �
������N� � ���
124
������GR�����M� �P���PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� P ����N P�
������������&�L�� �&�L�� ��4)�L� G[G\ �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�5($5 �
������N� � ���
������GR�����M� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�� P����N P�
������������&�L�� �&�L����45�L� G[G\ �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�6287+ �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQ�P ����N PQ�
������������&�L�� �&�L�� ��46�L� G[G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�1257+ �
������N� � ���
������GR�����M� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��� PQ ����N PQ�
������������&�L�� �&�L����41�L� G[G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQ XH�
125
�:(67 �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�P���� PQ �� P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�P����N P�PQ�
������������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�($67 �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ�� P�� PQ �P�P�
���������N � �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �� PQ�� P��N P�PQ�
������������&�L�� �&�L����4(�L� G\G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
�)5217 �6287+�
������GR�����L� ���P ���
���������&�L�� �&�L�� ��4)�L� G[G\� ��46�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�)5217 �1257+� �
������GR�����L� � PQ�P���PQ���
���������&�L�� �&�L�� ��4)�L� G[G\���41�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�5($5 �6287+� �
������GR�����L� �PQS �PQ���PQS�PQ�P���
���������&�L�� �&�L����45�L� G[G\� ��46�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�
126
�5($5 �1257+�
������GR�����L� �PQS �P���PQS���
���������&�L�� �&�L����4 5�L� G[G\���41�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�:(67 �)5217�
������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
���������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\G]� ��4)�L� G[G\ �
������FRQWLQXH �
�:(67 �5($5�
������GR�����L� �PQS �PQ�P���PQS�� P���P�
���������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\G]���45�L� G[G\ �
������FRQWLQ XH�
�($67 �)5217�
������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
���������&�L�� �&�L����4(�L� G\G]� ��4)�L� G[G\ �
������FRQWLQXH �
�($67 �5($5�
������GR�����L� �PQS �PQ�� P�PQS�P�P�
���������&�L�� �&�L����4(�L� G\G]���45�L� G[G\ �
������FRQWLQXH �
�:(67 �6287+�
������GR�����L� �PQ���PQS �� PQ���PQ�
���������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\G]� ��46�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�:(67 �1257+� �
������GR�����L� �� PQ �P���PQS�PQ�P���PQ�
���������&�L�� �&�L�� ��4:�L� G\G]���41�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�
�
127
�($67 �6287+�
������GR�����L� �PQ�P�PQS �� PQ�P�PQ�
���������&�L�� �&� L����4(�L� G\G]� ��46�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�($67 �1257+� �
������GR�����L� �� PQ�PQS �PQ�PQ�
���������&�L�� �&�L����4(�L� G\G]���41�L� G[G] �
������FRQWLQXH �
�
�6RXWK �:HVW�)URQW�
������&���� �&���� ��46��� G[G]� ��4:��� G\G]� ��4)��� G[G\ �
�6RXWK �)URQW�(DVW�
������& �P�� �&�P�� ��46�P� G[G]� ��4)�P� G[G\���4(�P� G\G] �
�6RXWK �(DVW�5HDU�
������E� �PQS� ��PQ���P �
������&�E�� �&�E�� ��46�E� G[G]���4(�E� G\G]���45�E� G[G\ �
�6RXWK �5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��PQ���� �
������&�E�� �&�E�� ��46�E� G[G]���45�E� G[G\� ��4:�E� G\G] �
�1RUWK �:HVW�)URQW�
������E� �PQ� ��P���� �
������&�E�� �&�E����41�E� G[G]� ��4:�E� G\G]� ��4)�E� G[G\ �
�1RUWK �)URQW�(DVW�
������&�PQ�� &�PQ����41�PQ� G[G]� ��4)�PQ� G[G\���4(�PQ� G\G] �
�1RUWK �(DVW�5HDU�
������&�PQS�� �&�PQS����41�PQS� G[G]���4(�PQS� G\G]���45�PQS� G[G\ �
�1R UWK�5HDU�:HVW�
������E� �PQS� ��P���� �
������&�E�� �&�E����41�E� G[G]���45�E� G[G\� ��4:�E� G\G] �
�
128
&DOFXODWLRQ�RI�5+6 �
������VXP� ��G� �
������GR�����L� ���PQS �
���������VXP� �VXP���&�L� �
������FRQWLQXH������� �
������UKV� �VXP �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3625�DQ G�$',625�0HWKRG �
������Z��� �����G� �
������ZD�� �����G� �
������WRO� ����G ����
������ZULWH��� ��(QWHU�0D[LPXP�1XPEHU�RI�,WHUDWLRQV� �
������UHDG� � ��LWHUP[ �
������GR�����L� � ��PQ����PQS�
���������7�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH� �F�RXW� �
�
�� ����&$//�3625�'�P�Q�S�LWHUP[�WRO�Z� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH���������7�L��L ��PQS� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQ W�FDQ�EH�UHPRYHG� �
������IURP�WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
129
&������&$//�7$1$�P�Q�S�G[�G\�G]� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�680�RI�5+6�$IWHU�5HSODFLQJ�6SG[G\�E\�JH �JZ�JQ�JV�
������&$//�*68%�P�Q�S�G[�G\�G]�UKV�� �
�
������ZULWH��� ������ �
������ZULWH��� ��7KH�680�RI�5+6�LV ��UKV�
������ZULWH��� ��7KH�680�RI�5+6��LV��UKV� �
������VWRS �
������HQG������� �
������ �
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�7$1$�P�Q�S�G[�G\�G]� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�MM�P�Q�S�PQS�PQ�N�NN �
����� �
��� ���SDUDPHWHU��QG ������PG ����� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7� �PG�QG��7$1/�QG��(�QG��
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�\�]�G[�G\�G] �
�
������SDUDPHWHU��HSV ���G �����
�
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������7$�[�\�]�� �[ � �����\���]���\ ���� ] ����� �
������������������\ � �����[���]���[ ����] ���� �
130
������������������] � �����[���\���[ ����\ ��� �
����� �
������PQS� �P Q S �
������PQ�� �P Q �
�
������N�� �� �
������NN� � ���
������]�� �G]����G� �
������GR����MM� ���PQS �PQ���PQ�
���������]�� �]���G] �
���� �����\�� �G\����G� �
���������NN� �NN�� �
���������GR����M� �MM��PQ �P����NN PQ�P�
�����������\� �\���G\ �
�����������[� �G[����G� �
�����������N� �N�� �
�����������GR����L� �M�N P �
�������������[� �[���G[ �
�������������7$1/�L�� �7$�[ �G[�\�G\�]�G]��
�������������(�L����� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �
�����������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7$1/�L��L ��PQS� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�'LIIH UHQFH�LQ�WKH�$QDO\WLFDO�DQG�1XPHULFDO�6ROXWLR �
131
������Q�LV� �
������ZULWH��������(�L��L ��PQS� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��&$/&8/$7,21�2)�5+6 �
�
������VXEURXWLQH�*68%�P�Q�S�G[�G\�G]�UKV�� �
����� �
������LQWHJH U�QG�P�Q�S�PQS�PQ�L�M�MM�N�NN �
�
������SDUDPHWHU��QG ������ �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�')';�')'<�')'= �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�5+�QG��4)�QG��45�QG��46�QG��4(�QG��41�QG��4:�QG� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�]�G[�G\�G]�G[G\�G[G]�G\G]�VSG[\]�VXP�VXPV� �
������VXPH�VXPQ�VX PZ�VXPI�VXPU�UKV��
�
������FRPPRQ�IOX[�4)�45�46�41�4:�4( �
�
������')';�[�\�]�� �� [ ����\���]���\ ����] ������\ ��] �� ������ [�� �
������')'<�[�\�]�� �� \ ����[���]���[ ����] ������[ ��] �� ������ \�� �
������')'=�[�\�]�� �� ] ����[���\���[ ����\ ����� �[ ��\ �� ������ ]�� �
�� �
������PQS�� �P Q S �
������PQ��� �P Q �
������G[G\� �G[ G\ �
132
������G[G]� �G[ G] �
������G\G]� �G\ G] �
�
������N�� �� �
������NN� � ���
������]�� ��G� �
������GR����MM� ���PQS �PQ���PQ�
���������]�� �]���G] �
���������\�� ��G� �
���������NN� �NN���� �
���������GR����M� �MM��PQ �P����NN PQ�P�
������������\� �\���G\ �
������������[� ��G� �
������������N� �N���� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������[� �[���G[ �
���������������VSG[\]� � ���')';�[�\ �G\����G��]�G]����G�� G\G]� ���
���������������������������')';�[ �G[�\�G\����G��]�G]����G�� G\G]��� �
���������������������������')'<�[ �G[����G��\�]�G]����G�� G[G]� ���
���������������������������')'<�[ �G[����G��\�G\�]�G]����G�� G[G]� ���
���������������������������')'=�[ �G[����G��\�G\����G��]� G[G\� ���
������������������������ ���')'=�[ �G[����G��\�G\����G��]�G]� G[G\��
���������������5+�L�� � �VSG[\]������� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������VXP� ��� �
������GR����L� ���PQS �
���������VXP� �VXP���5+�L� �
133
������FRQWLQXH �
�
������VXPI� ��� �
������GR����L� ���PQ �
�� �������VXPI� �VXPI���4)�L� G[G\ �
������FRQWLQXH �
�
������VXPU� ��� �
������GR����L� �PQS �PQ���PQS�
���������VXPU� �VXPU���45�L� G[G\ �
������FRQWLQXH �
�
������VXPV� ��� �
������N� �� �
������GR����M� ���PQS �PQ���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�N P �
��������� ���VXPV� �VXPV���46�L� G[G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH����� �
����� �
������VXPQ� ��� �
������N� � ���
������GR�����M� �PQ �P���PQS�P���PQ�
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�PQ�N PQ �
������������VXPQ� �VXPQ���41�L� G[G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
����� �
134
������VXPZ� ��� �
������N� �� �
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������N� �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ����N P�PQ�
������������VXPZ� �VXPZ���4:�L� G\G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������VXPH� ��� �
������N� � ���
������GR�����M� �P�PQ�P �
���������N � �N���� �
���������GR�����L� �M��PQS �PQ�P��N P�PQ�
������������VXPH� �VXPH���4(�L� G\G] �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������UKV�� �VXP� ���VXPV� ��VXPQ���VXPZ� ��VXPQ���VXPI� ��VXPU� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�6(9(1�',$ *21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�'�P�Q�S�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�PG�L�P�Q�S�PQS�PQ�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ������PG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��///�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��888�QG�� �
������&�QG��;� �PG�QG��
135
������GRX EOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�///�//�/�8�88�888 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQS��� �P Q S �
������PQ���� �P Q �
������LWHU�� �� �
������UHVLG� ����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�W RO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
��������GR����L� ���PQS �
����������[ROG� �;�L� �
����������[QHZ� ��&�L�� ��///�L� ;�L �PQ�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��
������������������8�L� ;�L���� ��88�L� ;�L�P�� ��888�L� ;�L�PQ����'�L� �
����������;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG�
��������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
��������UHVLG� ��G� �
��������GR����L� ���PQS �
����������WHUP� �&�L�� ���///�L� ;�L �PQ����//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ����� �
����������������'�L� ;�L����8�L� ;�L������88�L� ;�L�P����888�L� ;�L�PQ�� �
����������UHVLG� �U HVLG���WHUP � �
��������FRQWLQXH �
��������UHVLG� �6457�UHVLG��PQS �
��������LWHU� �LWHU���� �
��������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
��������IRUPDW���[�L���[�H����� �
136
��������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QR W�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������ �
�
137
&+$37(5�� �Unsteady Heat Conduction
Equation (Diffusion Equation)
138
2(a): 1-D FINITE VOLUME METHOD Explicit Euler Scheme
(Drichlet BC)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
ÏF � �7��W� �N��
7��[�
���6�[�� �
�
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�+($7�(48$7,21�:,7+,1�7+(�
'20$,1���[���)25� �
���',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�
�81,)250�*5,'��� �
������������ �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�) OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ����������� �
����������������������� �([SOLFLW�)RUZDUG�(XOHU�0HWKRG ����������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG � �����
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�8, �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�SL�DOSKD�UKR�FS�XZ�XH�[�G[�GW�IR�FRHII �
'HILQLQJ�WKH�)XQFWLRQ�6�IRU�WKH�6RXUFH�WHUP�RI�+HDW�HTXDWLRQ� �
������6�[�� ��G� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������8,�[�� �VLQ�SL [� �
�
������SL� ����G� DWDQ����G�� �
139
�
�
������DOSKD� ����G ���
������UKR��� ����G� �
������FS���� ����G� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ� �
������GDU\� �
������UHDG� � ��XZ �
������8���� �XZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��XH �
������8�Q���� �XH �
������ZULWH��� �� �
������G[� �����G�� ���G���Q �
�
2SWLRQ�IRU�7UDQVLHQW�DQG�6WHDG\�6WDWH�&RQGLWLRQV �
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���75$16,(17�
������ZULWH��� ������� ���������>�@ ���67($'<�67$7( �
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
���������VWRS �
������HQGLI �
140
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS �
������GW� ����G �� G[ ��DOSKD�
������ZULWH��� ��7KH�0D[LP XP�$OORZDEOH�7,0(�67(3�LV��GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
������IR���� �DOSKD GW�G[ �����*ULG�)RXULHU�1XPEHU �
������FRHII� �GW��UKR FS� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[� ��G[ �
���������8�L�� �8,�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�6RXUFH�7HUP�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������62�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
�
������LI��VHO�HT����WKHQ �
���������&$//�75$16�Q�G[�XZ�XH�IR�FRHII�GW� 62�8�� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
���������&$//�67($'<�Q�G[�XZ�XH�IR�FRHII�GW�62�8� �
������HQGLI �
�
���&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU� �
141
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW �EHORZ� �
�
F�����&$//�8$1$�Q�G[�XZ�XH�8� �
������ZULWH��� �� �
������VWRS �
������HQG �
�
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�G[�XZ�XH�IR�FRHII�GW�62�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�N�WQXP �
������SDUDPHWHU��Q G ������
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�XZ�XH�IR�FRHII�W�GW�G[ �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
������ZULWH��� ��1XPEHU�RI�7LPH�6WHS�IRU�:KLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������� �
������UHDG� � ��WQXP �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F� RXW��
������ZULWH��� ��7KH�7UDQVLHQW�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��7LPH� ��W��6HF �
������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8� �
�
&RPSXWDWLRQ�RI�7HPSHUDWXUH�'LVWULEXWLRQ�E\�([SOLFLW�7LPH�0DUFKLQJ �
������W� ��G� �
������GR����N� ���WQXP �
142
���������8��� � �8������IR � ����G� 8����������G�����G�� 8���� �
���������������������������G�����G�� XZ����FRHII 62��� �
���������GR����L� ���Q ���
�����������8�L�� �8�L����IR �8�L ���� �����G� 8�L����8�L�������FRHII 62�L� �
���������FRQWLQXH �
���������8�Q�� �8�Q����IR � ����G� 8�Q��������G�����G�� 8�Q ����
���������������������������G�����G�� XH����FRHII 62�Q� �
���������W� �W���GW �
���������ZULWH��� � �
���������ZULWH��� ��7LPH� ��W��6HF �
���������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8� �
������FRQWLQXH��� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��67($'<�67$7(�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�67($'<�Q�G[�XZ�XH�IR�FRHII�GW�62�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG��82/'���QG��'���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�XZ�XH�IR� FRHII�W�GW�G[�PD[GLI�WRO�
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
������WRO���� ����G ����
������LWHUP[� ������ �
������LWHU��� �� �
������PD[GLI� �����G� �
������W� ��G� �
143
������LI���PD[GLI�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������82/'���� �8��� �
���������8���� �8���� ��IR � ����G� 8����������G�����G�� 8���� �
���������������������������G�����G�� XZ����FRHII 62��� �
���������GR����L� ���Q ���
������������82/'�L�� �8�L� �
������������8�L�� �8�L����IR �8�L ���� �����G� 8�L����8�L���� �
��������������������������FRHII 62�L� �
���������FR QWLQXH�
���������82/'�Q�� �8�Q� �
���������8�Q�� �8�Q����IR � ����G� 8�Q��������G�����G�� 8�Q ����
���������������������������G�����G�� XH����FRHII 62�Q� �
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR�&RQVHFXWLYH� �
7LPH�6WHS� �
���������GR����L� �� �Q�
������������'�L�� �DEV�8�L�� ��82/'�L�� �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�3HUFHQWDJH�'LIIHUHQFH �
���������PD[GLI� ��G� �
���������GR����L� ���Q �
������������LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
���������������PD[GLI� �'�L� �
������������HQGLI �
���������FRQWLQXH �
���������W� �W���GW �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
144
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�6WHDG\�6WDWH�6ROXWLRQ�LV� �
������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8� �
������ZULWH��� �� �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�������QXPEHU�RI�WLPH� �
������VWHSV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPE �HU�RI�WLPH�VWHS�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�WR �
������OHUDQFH� �
������HOVH �
��������ZULWH��� ��7LPH�5HTXLUHG�W R�$FKLHYH�6WHDG\�6WDWH�:LWKLQ�WKH�5HT �
������XLUHG�$FFXUDF\� ��W��6HF �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�8$1$�Q�G[�XZ�XH�8� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU ��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8$�8�QG��8$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�XZ�XH�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������8$�[�XZ�XH�� �XZ����XH� ��XZ������G�����G�� [� ��[ �����G� �
����� �
������(���� ��G� �
�� ����(�Q���� ��G� �
145
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������8$1/�L�� �8$�[ �G[�XZ�XH��
���������(�L�� ��G� �
���������LI��8$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�8$1/�L�� ��8�L�� �����G����8$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8$1/� �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�(� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR�� ��L� ���Q�� �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
146
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7���QG��[�G[�WZ�WH �
�
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
�
������L� ��� �
������[� ��G� �
������ZULWH������[�7 �
������IRUPDW ��D��D����
������ZULWH�������[�7�L� �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH�������[�7�L� �
������FRQWLQXH �
������L� �Q�� �
������[� ����G� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
147
2(b): 1-D FINITE VOLUME METHOD General Implicit Scheme
(Drichlet BC- Solver: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
ÏF � �7��W� �N��
7��[�
���6�[�� �
�
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�+($7�(48$7,21�:,7+,1�7+(�
'20$,1���[���)25� �
���',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�0(7+2'�
�81,)250�*5,'��� �
������������ �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ����������� �
������������������������� �*HQHUDO�,PSOLFLW�0HWKRG ��������������������������� �
�
������SU RJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�8, �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�SL�DOSKD�UKR�FS�XZ�XH�[�G[�GW�EHWD�IR�FRHII �
'HILQLQJ�WKH�)XQFWLRQ�6�IRU�WKH�6RXUFH�WHUP�RI�+HDW�HTXDWLRQ� �
�� ����6�[�� ��G� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������8,�[�� ��G� �
�
������SL� ����G� DWDQ����G�� �
148
�
�
������DOSKD� ����G ���
������UKR��� ����G� �
������FS���� ����G� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU �RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��XZ �
������8���� �XZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UH DG� � ��XH �
������8�Q���� �XH �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�:HLJKWLQJ�)DFWRU�%HWD� �
������UHDG� � ��EHWD �
������G[� �����G�� ���G���Q �
������ZULWH��� �� �
�
2SWLRQ�IRU�7UDQVLHQW�DQG�6WHDG\�6WDWH�&RQGLWLRQV �
������ ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���75$16,(17�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���67($'<�67$7( �
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$F FHSWDEOH�(QWU\ �
149
���������VWRS �
������HQGLI �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�PHWKRG �
������GW� �����G �� G[ ��DOSKD�
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�0HWKRG�LV� �
�������GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
������IR���� �DOSKD GW�G[ � �
������FRHII� �GW��UKR FS� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������8�L�� �8,�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�6RXUFH�7HUP�9HFWRU �
������[� �G[ ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������62�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
�
������LI��VHO�HT����WKHQ �
���������&$//�75$16�Q�G[�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�GW�62�8�� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
���������&$//�67($'<�Q�G[�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�GW�62�8� �
150
������HQGLI �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU� �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
F�����&$//�8$1$�Q�G[�XZ�XH�8� �
������ZULWH��� �� �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�G[�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�GW�62�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�N�WQXP �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG��82/'���QG��$3�QG��$:�QG��$(�QG�� �
�� ����&�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�W�GW�G[ �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
������ZULWH��� ��1XPEHU�RI�7LPH�6WHS�IRU�:KLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������� �
������UHDG� � ��WQXP �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPH QWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q �
151
���������$:�L�� � �EHWD IR�
���������$(�L�� � �EHWD IR�
���������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�7UDQVLHQW�6ROXWL RQ�LV� �
������ZULWH��� � �
������W� ��G� �
������GR����N� ���WQXP �
0RGLILFDWLRQ�RI�$3�DQG�$QE�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������$:���� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$(���� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$3���� ����G�� ���$:������$(���� �
��������$:�Q�� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$(�Q�� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$3�Q�� ����G� ���$:�Q����$(�Q�� �
6WRULQJ�WKH�7HPSHUDWXUHV��DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
��������GR����L� ���Q �
�����������82/'�L�� �8�L� �
��������FRQWLQXH �
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
��������GR����L� ���Q �
�� ���������&�L�� �82/'�L��������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'�L��
����������������������������82/'�L ������82/'�L�������FRHII 62�L� �
��������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������&����� �82/'����������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'����
����������� ����������G�����G�� 82/'����������G�����G�� XZ����FRHII 62��� �
��������&����� �&���� ��$:��� XZ �
152
��������$:���� ��G� �
��������&�Q��� �82/'�Q��������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'�Q��
�������������������G�����G�� 82/'�Q ����������G�����G�� XH����FRHII 62�Q� �
��������&� Q��� �&�Q�� ��$(�Q� XH �
��������$(�Q�� ��G� �
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
��������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�8� �
�
��������W� �W���GW �
��������ZULWH��� ��7LPH� ��W��6HF �
��������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8� �
������FRQWLQXH �
��������UHWXUQ �
��������HQG �
�
68%5287,1(��67($'<�67$7(�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�67($'<�Q�G[�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�GW�62�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��8���QG��82/'���QG��'���QG��$3�QG��$:�QG� ��
������$(�QG��&�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�XZ�XH�EHWD�IR�FRHII�W�GW�G[�PD[GLI�WRO �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
������WRO���� ����G ���
������LWHUP[� ������ �
������LWHU��� �� �
������PD[GLI� �����G� �
153
������W������ ��G� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7U LGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q �
���������$:�L�� � �EHWD IR�
���������$(�L�� � �EHWD IR�
���������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
������W� ���� �
������LI���PD[GLI�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
0RGLILFDWLRQ�RI�$3�DQG�$QE�IRU�%RXQGDU\�1RG HV�
��������$:���� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$(���� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$3���� ����G� ���$:������$(���� �
��������$:�Q�� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$(�Q�� � �����G�����G�� EHWD IR�
��������$3�Q�� ����G�� ���$:�Q����$(�Q�� �
6WRULQJ�WKH�7HPSH UDWXUHV��DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
��������GR����L� ���Q �
�����������82/'�L�� �8�L� �
��������FRQWLQXH �
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
��������GR����L� ���Q �
�����������&�L�� �82/'�L��������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'�L����82/'�L ���� �
����������������������������82/'�L �������FRHII 62�L� �
��������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������&����� �82/'����������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'����
���������������������G�����G�� 82/'����������G�����G�� XZ����FRHII 62��� �
��������&����� �&���� ��$:��� XZ �
154
��������$:� ��� ��G� �
��������&�Q��� �82/'�Q��������G� ��EHWD� IR � ����G� 82/'�Q��
�������������������G�����G�� 82/'�Q ����������G�����G�� XH����FRHII 62�Q� �
��������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� XH �
��������$(�Q�� ���� �
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
��������&$//�7'0$�Q�$:�$3� $(�&�8��
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR�&RQVHFXWLYH� �
7LPH�6WHS� �
��������GR����L� ���Q �
�����������'�L�� �DEV�8�L�� ��82/'�L�� �
��������FRQWLQXH������� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�3HUFHQWDJH�'LIIHUHQFH �
��������PD[GLI� ��G� �
������� �GR����L� ���Q �
�����������LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
��������������PD[GLI� �'�L� �
�����������HQGLI �
��������FRQWLQXH �
��������W� �W���GW �
��������LWHU� �LWHU���� �
��������JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH�� � ��7KH�6WHDG\�6WDWH�6ROXWLRQ�LV� �
������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8� �
������ZULWH��� �� �
�
155
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�������QXPEHU�RI�WLPH� �
������VWHSV��,QFUHDVLQJ� WKH�QXPE �HU�RI�WLPH�VWHS�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�WR �
������OHUDQFH� �
������HOVH �
��������ZULWH��� ��7LPH�5HTXLUHG�WR�$FKLHYH�6WHDG\�6WDWH�:LWKLQ�WKH�5HT �
������XLUHG�$FFXUDF\� ��W��6HF �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�8$1$�Q�G[�XZ�XH�8� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8$�8�QG��8$1/�QG��(�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�[�G[�XZ�XH�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
'HILQLQJ�WKH �$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������8$�[�XZ�XH�� �XZ����XH� ��XZ������G�����G�� [� ��[ �����G� �
����� �
������(������ ��G� �
������(�Q���� ��G� �
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������8$1/�L�� �8$�[ �G[�XZ�XH��
���������(�L�� ��G� �
156
���������LI ��8$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�8$1/�L�� ��8�L�� �����G����8$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�8$1/� �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH� *OREDO�(UURU� �
F�����&$//�287387�Q�G[�XZ�XH�(� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q�� �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH �0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG�� &�QG��;���QG��3���QG��4���QG���
������WHPS �
157
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEV WLWXWLRQ�
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDP HWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7���QG��[�G[�WZ�WH �
������ �
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
�
������L� ��� �
158
������[� ��G� �
������ZULWH������[�7 �
������IRUPDW��D��D��� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[ ���G[ �
���������ZULWH�������[�7�L� �
������FRQWLQXH �
������L� �Q�� �
������[� ����G� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
159
2(c): 1-D FINITE DIFFERENCE METHOD Adam-Bashforth Time Stepping
(Drichlet BC)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
ÏF � �7��W� �N� � 7��[ � ���6�[�� ��
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167( $'<�+($7�(48$7,21�:,7+,1�7+(�'20$,1�
��[���)25� �
�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�',))(5(1&(�0(7+2'�
�81,)250�*5,'� �
����������������������������� �$GDPB%DVKIRUWK�0HWKRG ������������������������� �
������������ ��6WDELOLW\�RI�WKH�0HWKRG�FDQ�EH�6WXG LHG�E\�$SSURSULDWHO\������� �
�����������������������&RPPHQWLQJ�RXW�WKH�:ULWH�6WDWHPHQWV ������������������ �
�
������������������������������������������������������������������������
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�SL�DOSKD�O[�G[�GW�WILQDO�IR �
�
�
������SL���� ���� �DWDQ����G��� �
������DOSKD� ����G ���
�
�
160
,QSXWWLQJ�WKH�'DWD �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH� /HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�; �GLUHFWLRQ��
F�����UHDG� � ��O[ �
������O[� ����G� �
������ZULWH��� ���/HQJWK�RI�'RPDLQ� �O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�JULG�SRLQWV�LQFOXGLQJ�ERXQGDU\�QRG �
������HV� �
F�����UHDG� � ��Q �
������Q� ���� �
������ZULWH��� ���Q� ��Q �
������G[� ��O[� ���G����Q ����
������ZULWH��� ���G[� ��G[ �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
F�����UHDG� � ��8��� �
������8���� ���� �
������ZULWH��� ���8�RQ�/HIW�%RXQGDU\� �8��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH� 9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
F�����UHDG� � ��8�Q� �
������8�Q�� ��G� �
������ZULWH��� ���8�RQ�5LJKW�%RXQGDU\� �8�Q� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS �
������GW� ����G �� G[ ��DOSKD�
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7,0(�6 7(3�LV��GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
������IR� �DOSKD GW�G[ �������������*ULG�)RXULHU�1XPEHU �
161
�
(QWHU�)LQDO�7LPH �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7,0(�DW�ZKLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������UHDG� � ��WILQDO �
F�����WILQDO� ��� �G��
������ZULWH��� ���WILQDO� �WILQDO �
������LI��WILQDO�OW�GW��WKHQ �
���������ZULWH��� ��� )LQDO�7LPH�&DQQRW�EH�/HVV�7KDQ�7LPH�6WHS �
���������VWRS �
������HQGLI� �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������&$//�,1,7,$�Q�G[�SL �8��
F�����&$//�287387�Q�G[�8� �
�
1XPHULFDO�6ROXWLRQ �
���������&$//�75$16�Q�G[�GW�WILQDO�IR�8� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
������&$//�7$1$�Q�G[�GW�DOSKD�WILQDO�SL�8� �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��75$16,(17�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�G[�GW�WILQDO�IR�81� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
162
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�81���QG��813/86���QG��810,186���QG��82/'���QG�� �
������'���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�GW�WLPH�WILQDO �IR�WRO�PD[GLI�
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
&RPSXWDWLRQ�RI�6ROXWLRQ�E\�([SOLFLW�$GDP �%DVKIRUWK�7LPH�0DUFKLQJ �
������WLPH� ��G� �
6WDUW�$GDP�%DVKIRUWK�0HWKRG�ZLWK�(XOHU�7LPH�6WHSSLQJ �
������GR���L� ���Q ���
���������810,186�L�� �81�L� �
������FRQWLQXH �
������LI� ��WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ �
F���������ZULWH��� ��WLPH�81�Q����� �
���������GR����L� ���Q ���
������������82/'�L�� �81�L� �
������������813/86�L�� �81�L����IR ����G�����G� �81�L ���� �����G� 81�L� �
������������������������81�L����� ������G�����G�� �810,186�L ���� �
���� ������������������ �����G� 810,186�L����810,186�L����� �
���������FRQWLQXH �
��������8SGDWLQJ�WKH�6ROXWLRQ �
���������GR����L� ���Q ���
������������810,186�L�� �81�L� �
������������81�L������� �813/86�L� �
���������FRQWLQXH��������� �
���������WLPH� �WLPH���GW �
��������� JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
�
163
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�0D[LPXP�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR �
&RQVHFXWLYH�7LPH�6WHS �
������PD[GLI� ��G� �
������GR����L� ���Q ���
���������'�L�� �DEV�81�L�� ��82/'�L�� �
���������LI��'�L��JW�PD[ GLI��WKHQ �
������������PD[GLI� �'�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������WRO� ����G ���
������LI��PD[GLI�OH�WRO��WKHQ �
��������ZULWH��� ��6WHDG\�VWDWH�KDV�EHHQ�DFKLHYHG�ZLWKLQ�WKH�WROHUDQFH �
������OLPLW��7LPH�UHTXLUHG�IRU�WKLV�LV�WLPH��6HF �
������HOVHLI�PD[G LI�JW�WRO��WKHQ �
��������ZULWH��� ��6WHDG\�VWDWH�KDV�127�EHHQ�DFKLHYHG� �
������HQGLI �
�
3ULQWLQJ�RXW�WKH�6ROXWLRQ� �
������&$//�287387�Q�G[�813/86� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXE URXWLQH�7$1$�Q�G[�GW�DOSKD�WILQDO�SL�8� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8$ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��8$1/���QG��(���QG� �
164
������GRXEOHSUHFLVLRQ�SL�HSV�WLQ\�DOSKD�[�G[�W�WLPH�WILQDO�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ���WLQ\ ���G�����
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������8$�[�W�� �H[S� �DOSKD �SL �� W�� �VLQ�SL [� �
�
�
������(���� ��G� �
������(�Q�� ��G� �
�
������8$1/���� �8��� �
������8$1/�Q�� �8�Q� �
������WLPH� ��G� �
������LI���WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ��� �
���������[� ��G� �
���������GR����L� ���Q ���
������������[������� �[���G[ �
������������8$1/�L�� �8$�[�WLPH� �
������������(�L����� ��G� �
������������LI��8$1/�L��JW�WLQ\��WKHQ �
��������������(�L�� �DEV�8$1/�L�� ��8�L�� ��������8$1/�L� �
������������HQGLI��� �
���������FRQWLQXH �
F��������� ZULWH��� ��WLPH�8$1/�Q����� �
���������WLPH� �WLPH���GW �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������ZULWH��� ���� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
165
������&$//�287387�Q�G[�8$1/� �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH���*OREDO�(UURU� �
������&$//� 287387�Q�G[�(��
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP���*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ���7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���P D[HUU�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��,1,7,$/�&2',7,216 �
�
������VXEURXWLQH�,1,7,$�Q�G[�SL�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8, �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��SL�[�G[ �
�
'HILQLQJ�)XQFWLRQ�IRU�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������8,�[�� �VLQ�SL [� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV�IRU�8� �
166
������[� ��G� �
������GR����L� ���Q ���
����������[��� �[���G[ �
����������8�L�� �8,�[� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��WLQ\�[�G[ �
������SDUDPHWHU��WLQ\ ���G �����
�
������ZULWH������[�8 �
������IRUPDW��D��D��� �
������[� � �G[�
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��DEV�8�L���OW�WLQ\��WKHQ �
������������8�L�� ��G� �
���������HQGLI �
���������ZULWH�������[�8�L� �
������FRQWLQXH �
������IRUPDW�����[�H������ �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
167
2(d): 2-D FINITE VOLUME METHOD Crank Nicolson Scheme
(Drichlet BC- Solver: PSOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �ÏF � �7��W� �N�� � 7��[ � ��� � � 7��\ � ����6�[�\�� �
�
�
���7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�+($7�(48$7,21�:,7+,1�$�
5(&7$1*8/$5�� �
����'20$,1�:,7+�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�21�$//�%281'$5, (6�
86,1*��� �
����������������),1,7(�92/80(�)2508/$7,216�81,)250�*5,'����������������� �
�������������������������&UDQN �1LFROVRQ�0HWKRG�������������������������� �
����������������������������6ROYHU���3625������������������������������� �
�
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�P�Q�PQ�VHO �
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�7,�)6�)1�):�)(�62�QG��7�QG��76�PG��71�PG�� �
������7:�PG��7(�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[� \�O[�O\�G[�G\�GW�DOSKD�UKR�FS�IR[�IR\�FRHII�
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6�IRU�WKH�6RXUFH�WHUP�RI�+HDW�HTXDWLRQ� �
F�����6�[�\�� � �� �[�\�����G��
������6�[�\�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������7,�[�\�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�%RXQGDU\�&RQGLWLRQV �
F�����) 6�[�� �[ ����[ �
168
F�����)1�[�� �[ ����O\ ����[ � O\���[ O\ ����[ O\���[���O\ �
F�����):�\�� �\ ����\ �
F�����)(�\�� �\ ����O[ ����\ � O[���\ O[ ����\ O[���\���O[ �
������)6�[�� ��G� �
������)1�[�� ��G� �
������):�\�� ����G� �
������)(�\�� ����G� �
�
������ZULWH�� � �� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI� &9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� �� �
�
������DOSKD� ����G ���
������UKR��� ����G� �
������FS���� ����G� �
�
2SWLRQ� IRU�7UDQVLHQW�DQG�6WHDG\�6WDWH�&RQGLWLRQV �
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���75$16,(17�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���67($'<�67$7( �
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQ G��VHO�QH�����WKHQ �
169
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
���������VWRS �
������HQGLI �
�
������PQ� �P Q �
������G[� ��O[� ���G����P� �
������G\� ��O\� ���G����Q� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�PHWKRG �
������GW� ����G� ����G���DOSKD�G[ ����D OSKD�G\ ����
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�0HWKRG�LV �
��������GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
������IR[��� �DOSKD GW�G[ �����*ULG�)RXULHU�1R�LQ�WKH�[ �GLUHFWLRQ�
������IR\��� �DOSKD GW�G\ ����� *ULG�)RXULHU�1R�LQ�WKH�\ �GLUHFWLRQ�
������FRHII� �GW��UKR FS� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQ�DQG�6RXUFH�9HFWRU �
������N� �� �
������\� � �G\����G��
������GR����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N���� �
���������GR����L� �M�N P �
������������[����� �[���G[ �
������������7�L��� �7,�[�\� �
������������62�L�� � �6�[�\� G[ G\�
���������FRQWLQXH �
170
������FRQWLQXH �
�
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV �
�6RXWK �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���P �
���������[� �[���G[ �
���������76�L�� �)6�[� �
������ FRQWLQXH�
�(DVW �
������\� � �G\����G��
������GR����L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7(�L�� �)(�\� �
������FRQWLQXH �
�1RUWK �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���P �
���������[� �[���G[ �
���������71�L�� �)1�[� �
������FRQWLQXH �
�:HVW �
������\� � �G\����G��
������GR� ���L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7:�L�� �):�\� �
������FRQWLQXH �
�
6ROXWLRQ�8VLQJ�&UDQN �1LFROVRQ�0HWKRG �
������LI��VHO�HT����WKHQ �
171
���������&$//�75$16�P�Q�G[�G\�IR[�IR\�FRHII�GW�62�76�71�7:�7(�7�� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
���������&$//�67($'<�P�Q�G[� G\�IR[�IR\�FRHII�GW�62�76�71�7:�7(�7��
������HQGLI �
������VWRS �
������HQG �
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�75$16�P�Q�G[�G\�IR[�IR\�FRHII�GW�62�76�71�7:�7(�7�� �
������LQWHJHU�QG�Q�P�PQ�S�L�M�N�NN�WQX P�LWHUP[�FRXQW�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��7�QG��72/'�QG��$3�QG��$6�QG��$1�QG�� �
������$:�QG��$(�QG��&�QG��76�PG��71�PG��7:�PG��7(�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�IR[�IR\�FRHII�WLPH�G[�G\�GW�Z�WROVRU �
�
������PQ� �P Q �
������ZULWH� �� ��1XPEHU�RI�7LPH�6WHS�IRU�:KLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������� �
������UHDG� � ��WQXP �
�
������RSHQ�XQLW ���ILOH F�RXW� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
������GR����L� ���PQ �
���������$:�L�� � �IR[����G��
�������� �$(�L�� � �IR[����G��
���������$6�L�� � �IR\����G��
���������$1�L�� � �IR\����G��
���������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
172
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�7UDQVLHQW�6ROXWLRQ�LV� �
�� ����WLPH� ��G� �
������GR�����NN� ���WQXP �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
��������GR����L� ���P ���
�����������$6�L�� � �����G�����G�� IR\�
�����������$1�L�� � �����G�����G�� IR\�
�����������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L�� ��$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
��������GR����L� �PQ �P���PQ���
�����������$6�L�� � �����G�����G�� IR\�
�����������$1�L�� � �����G�����G�� IR\�
�����������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
��������GR����L� �P���PQ �� P���P�
�����������$:�L�� � �����G�����G�� IR[�
�����������$(�L�� � �����G�����G�� IR[�
�����������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
����� ���FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
��������GR����L� �� P�PQ �P�P�
�����������$:�L�� � �����G�����G�� IR[�
173
�����������$(�L�� � �����G�����G�� IR[�
�����������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQX H�
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
��������$6���� � �����G�����G�� IR\�
��������$:���� � �����G�����G�� IR[�
��������$(���� � �����G�����G�� IR[�
��������$1���� � �����G�����G�� IR\�
��������$3���� ����G�� ���$:������$(������$6������$1���� �
�
������� �$6�P�� � �����G�����G�� IR\�
��������$:�P�� � �����G�����G�� IR[�
��������$(�P�� � �����G�����G�� IR[�
��������$1�P�� � �����G�����G�� IR\�
��������$3�P�� ����G�� ���$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�
��������S� �PQ �P���
��������$6�S�� � �����G�����G�� IR\�
��������$:� S�� � �����G�����G�� IR[�
��������$(�S�� � �����G�����G�� IR[�
��������$1�S�� � �����G�����G�� IR\�
��������$3�S�� ����G�� ���$:�S����$(�S����$6�S����$1�S�� �
�
��������$6�PQ�� � �����G�����G�� IR\�
��������$:�PQ�� � �����G�����G�� IR[�
��������$(�PQ�� � �����G�����G�� IR[�
��������$1�PQ�� � �����G�����G�� IR\�
��������$3�PQ�� ����G�� ���$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�
174
6WRULQJ�WKH�7HPSHUDWXUHV�DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
��������GR����L� ���PQ �
�����������72/'�L�� �7�L� �
��������FRQWLQXH �
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
��������N � � ���
��������GR����M� �P���PQ �� P���P�
�����������N� �N���� �
�����������GR����L� �M��� P ����N P���
��������������&�L�� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L����72/'�L ���� �
�����������������������72/'�L���������IR\ � ����G� 72/'�L����72/'�L �P��
������������������ �����72/'�L�P������FRHII 62�L� �
�����������FRQWLQXH �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
�6RXWK� �
��������GR����L� ���P ���
�����������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L����72/'�L ���� �
���������������������72/'�L�������IR\ �����G� 72/'�L�� �
�������������������������G�����G�� 76�L��������G�����G�� 72/'�L�P��� �
���������������������FRHII 62�L� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$6�L� 76�L� �
�����������$6�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�(DVW� �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
�� ���������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L�� �72/'�L�������G� �IR[ � ��� 72/'�L��
175
�������������������������G�����G�� 72/'�L ����������G�����G�� 7(�FRXQW�� �
���������������������IR\ � ����G� 72/'�L����72/'�L �P����72/'�L�P��� �
���������������������FRHII 62�L� �
����� �����&�L��� �&�L�� ��$(�L� 7(�FRXQW� �
����������$(�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
�1RUWK� �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �PQ �P���PQ���
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ��� 72/'�L����72/'�L ����
���������������������������7 2/'�L����� �
���������������������������IR\ � ����G� 72/'�L��������G�����G�� 72/'�L �P�� �
�������������������������������G�����G�� 71�FRXQW������FRHII 62�L� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$1�L� 71�FRXQW� �
�����������$1�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�:HVW� �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ��� 72/'�L��
��������������������������G�����G�� 7:�FRXQW��������G�����G�� 72/'�L���� �
����������������������IR\ � ����G� 72/'�L����72/'�L �P����72/'�L� P����
����������������������FRHII 62�L� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$:�L� 7:�FRXQW� �
�����������$:�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�&RUQHU�1RGHV �
��������&����� �72/'���������G� �IR[ � ��� 72/'����������G�����G�� 7:���� �
176
������������������� ���G�����G�� 72/'�������IR\ � ����G� 72/'���� �
����������������������G�����G�� 76����������G�����G�� 72/'���P��� �
������������������FRHII 62��� �
��������&����� �&���� ��$:��� 7:���� ��$6��� 76��� �
��������$:���� ��G� �
��������$6���� ��G� �
�
��������&�P��� �72/'�P�� �����G� �IR[ � ��� 72/'�P�� �
������������������������������G�����G�� 72/'�P ����������G�����G�� 7(���� �
��������������������������IR\ � ����G� 72/'�P��������G�����G�� 76�P� �
������������������������������G�����G�� 72/'�P��������FRHII 62�P� �
��������&�P��� �&�P�� ��$(�P� 7(���� ��$6�P� 76�P� �
��������$(�P�� ��G� �
��������$6�P�� ��G� �
�
��������S� �PQ �P���
��������&�S��� �72/'�S�������G� �IR[ � ����G� 72/'�S��
������������������������������G�����G�� 7:�Q��������G�����G�� 72/'�S���� �
��������������������������IR\ � ����G� 72/'�S��������G�����G�� 72/'�S �P��
������������������������������G�����G�� 71��������FRHII 62�S� �
��������&�S��� �&�S�� ��$:�S� 7:�Q�� ��$1�S� 71��� �
��������$:�S�� ��G� �
��������$1�S�� ��G� �
�
��������&�PQ��� �72/'�PQ�������G� �IR[ � ��� 72/'�PQ��
�������������������� ������������G�����G�� 72/'�PQ ���� �
��������������������������������G�����G�� 7(�Q�����IR\ � ����G� 72/'�PQ��
��������������������������������G�����G�� 72/'�PQ �P��
��������������������������������G�����G�� 71�P������FRHII 62�PQ� �
��������&�PQ��� �&�PQ�� ��$(�PQ� 7(�Q�� ��$1�PQ� 71�P� �
177
��������$(�PQ�� ��G� �
��������$1�PQ�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�3625 �
��������Z� ����G� �
��������WROVRU� ����G ���
��������LWHUP[� ���� �
��������&$//�3625�P�Q�LWHUP[�WROVRU�Z�$3�$6�$:�$(�$1�&�7� �
�
��������WLPH� �WLPH���GW �
�
3ULQWLQJ�2XW�WKH�9DOXHV �
��������ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
��������\� � �G\����G�� �
��������GR�����M� ���PQ �P���P�
�����������\� �\���G\ �
�����������[� � �G[����G��
�����������ZULWH��� �� �
�����������GR�����L� �M�M�P ���
��������������[� �[���G[ �
�������������� ZULWH��������[�\�7�L� �
�����������FRQWLQXH�� �
��������FRQWLQXH �
��������IRUPDW�����[�H������ �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
68%5287,1(��67($'<�67$7(�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�67($'<�P�Q�G[�G\�IR[�IR\�FRHII�G W�62�76�71�7:�7(�7��
178
������LQWHJHU�QG�P�Q�PQ�L�M�N�S�LWHU�LWHUP[�PD[VW�FRXQW �
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��7�QG��72/'�QG��'�QG��$3�QG��$6�QG��$1�QG�� �
������$:�QG��$(�QG��&�QG��76�PG��71�PG��7:�PG��7(�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ �IR[�IR\�FRHII�WLPH�G[�G\�GW�Z�WRO�WROVRU�PD[GLI �
�
������PQ����� �P Q �
������WRO���� ����G ���
������PD[VW�� ������ �
������LWHU��� �� �
������PD[GLI� �����G� �
������WLPH��� ��G� �
�
������RSHQ�XQLW ���ILOH F�RXW� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DW UL[�IRU�,QWHULRU�1RGHV �
������GR����L� ���PQ �
���������$:�L�� � �IR[����G��
���������$(�L�� � �IR[����G��
���������$6�L�� � �IR\����G��
���������$1�L�� � �IR\����G��
���������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
������FRQWLQXH �
������WLPH� ��G� �
������LI��� PD[GLI�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�PD[VW���WKHQ �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
���������GR����L� ���P ���
������������$6�L�� � �����G�����G�� IR\�
������������$1�L�� � �����G�����G�� IR\�
179
������������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$ 6�L����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
���������GR����L� �PQ �P���PQ���
������������$6�L�� � �����G�����G�� IR\�
������������$1�L�� � �����G�����G�� IR\�
������������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L ����$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
���������GR����L� �P���PQ �� P���P�
������������$:�L�� � �����G�����G�� IR[�
������������$(�L�� � �����G�����G�� IR[�
������������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L� ���$1�L�� �
���������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
���������GR����L� �� P�PQ �P�P�
������������$:�L�� � �����G�����G�� IR[�
������������$(�L�� � �����G�����G�� IR[�
������������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L����$6�L����$1 �L���
���������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
���������$6���� � �����G�����G�� IR\�
���������$:���� � �����G�����G�� IR[�
���������$(���� � �����G�����G�� IR[�
���������$1���� � �����G�����G�� IR\�
���������$3���� ����G�� ���$:������$(���� ��$6������$1���� �
180
�
���������$6�P�� � �����G�����G�� IR\�
���������$:�P�� � �����G�����G�� IR[�
���������$(�P�� � �����G�����G�� IR[�
���������$1�P�� � �����G�����G�� IR\�
���������$3�P�� ����G�� ���$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�
���������S� �PQ �P���
���������$6�S� � � �����G�����G�� IR\�
���������$:�S�� � �����G�����G�� IR[�
���������$(�S�� � �����G�����G�� IR[�
���������$1�S�� � �����G�����G�� IR\�
���������$3�S�� ����G�� ���$:�S����$(�S����$6�S����$1�S�� �
�
���������$6�PQ�� � �����G�����G�� IR\�
���������$:�PQ�� � �����G�����G�� IR[�
���������$(�PQ�� � �����G�����G�� IR[�
���������$1�PQ�� � �����G�����G�� IR\�
���������$3�PQ�� ����G�� ���$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�
6WRULQJ�WKH�7HPSHUDWXUHV��DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
���������GR����L� ���PQ �
������������72/'�L�� �7�L� �
��������� FRQWLQXH�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
���������N� � ���
���������GR����M� �P���PQ �� P���P�
������������N� �N���� �
������������GR����L� �M��� P ����N P���
���������������&�L�� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L����72/'�L ���� �
181
��������������������������������72/'� L��������IR\ � ����G� 72/'�L�� �
��������������������������������72/'�L �P����72/'�L�P������FRHII 62�L� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
�6RXWK� �
���������GR�����L� ���P ���
������������&�L��� �72/'�L������� G� �IR[ �����G� 72/'�L����72/'�L ���� �
������������������������������72/'�L�������IR\ � ����G� 72/'�L�� �
����������������������������������G�����G�� 76�L�� �
����������������������������������G�����G�� 72/'�L�P������FRHII 62�L� �
������������&�L��� �&�L�� ��$6�L� 76�L��
������������$6�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
�(DVW� �
���������FRXQW� �� �
���������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
������������FRXQW� �FRXQW���� �
������������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L�� �
����������������������������������G�����G�� 72/'�L ���� �
�������� ��������������������������G�����G�� 7(�FRXQW�� �
������������������������������IR\ � ����G� 72/'�L����72/'�L �P��
������������������������������72/'�L�P������FRHII 62�L� �
������������&�L��� �&�L�� ��$(�L� 7(�FRXQW� �
������������$(�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
�1RUW K��
���������FRXQW� �� �
���������GR�����L� �PQ �P���PQ���
182
������������FRXQW� �FRXQW���� �
������������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L����72/'�L ���� �
������������������������������72/'�L�������IR\ � ����G� 72/'�L�� �
����������������������������������G��� ��G�� 72/'�L�P�� �
����������������������������������G�����G�� 71�FRXQW������FRHII 62�L� �
������������&�L��� �&�L�� ��$1�L� 71�FRXQW� �
������������$1�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
�:HVW� �
���������FRXQW� �� �
���������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
������������FRXQW� �FR XQW���� �
������������&�L��� �72/'�L�������G� �IR[ � ����G� 72/'�L��
����������������������������������G�����G�� 7:�FRXQW�� �
����������������������������������G�����G�� 72/'�L���� �
������������������������������IR\ � ����G� 72/'�L����72/'�L �P��
������������������� �����������72/'�L�P������FRHII 62�L� �
������������&�L��� �&�L�� ��$:�L� 7:�FRXQW� �
������������$:�L�� ��G� �
���������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�&RUQHU�1RGHV �
���������&����� �72/'���������G� �IR[ � ����G� 72/'����
�������������������������������G����� G�� 7:���� �
�������������������������������G�����G�� 72/'�������IR\ � ����G� 72/'����
�������������������������������G�����G�� 76��� �
�������������������������������G�����G�� 72/'���P������FRHII 62��� �
���������&����� �&���� ��$:��� 7:���� ��$6��� 76��� �
��������� $:���� ��G� �
���������$6���� ��G� �
�
183
���������&�P��� �72/'�P�������G� �IR[ � ����G� 72/'�P��
������������������������������G�����G�� 72/'�P ����������G�����G�� 7(���� �
��������������������������IR\ � ����G� 72/'�P��������G�����G�� 76�P�� �
������������������������� �����G�����G�� 72/'�P��������FRHII 62�P� �
���������&�P��� �&�P�� ��$(�P� 7(���� ��$6�P� 76�P� �
���������$(�P�� ��G� �
���������$6�P�� ��G� �
�
���������S� �PQ �P���
���������&�S��� �72/'�S�������G� �IR[ � ��� 72/'�S��������G�����G�� 7:�Q�� �
�����������������������G��� ��G�� 72/'�S�������IR\ � ����G� 72/'�S�� �
�����������������������G�����G�� 72/'�S �P��������G�����G�� 71����� �
�������������������FRHII 62�S� �
���������&�S��� �&�S�� ��$:�S� 7:�Q�� ��$1�S� 71��� �
���������$:�S�� ��G� �
���������$1�S�� ��G� �
�
���������&�PQ��� �72/'�P Q�������G� �IR[ � ��� 72/'�PQ�� �
������������������������G�����G�� 72/'�PQ ����������G�����G�� 7(�Q��� �
��������������������IR\ � ����G� 72/'�PQ��������G�����G�� 72/'�PQ �P�� �
������������������������G�����G�� 71�P������FRHII 62�PQ� �
���������&�PQ��� �&�PQ�� ��$(�PQ� 7(�Q�� ��$1�PQ� 71�P� �
���������$(�PQ�� ��G� �
���������$1�PQ�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�3625 �
���������Z������ ����G� �
���������WROVRU� ����G ���
���������LWHUP[� ��� �
���������&$//�3625�P�Q�LWHUP[�WROVRU�Z�$3�$6�$:�$(�$1�&�7� �
184
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI� WKH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR�&RQVHFXWLYH� �
7LPH�6WHS� �
���������GR�����L� ���PQ �
������������'�L�� �DEV�7�L�� ��72/'�L�� �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�3HUFHQWDJH�'LIIHUHQFH �
���������PD[GLI� ��G� �
���������GR�����L� ���PQ �
����������� �LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
���������������PD[GLI� �'�L� �
������������HQGLI �
���������FRQWLQXH �
���������WLPH� �WLPH���GW �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH��� �� �
�
3ULQWLQJ�2XW�WKH�9DOXHV �
������ZULWH��� ��7KH�6WHDG\�6WDWH�6ROXWLRQ�LV� �
����ZULWH�������[�\�7 �
����IRUPDW��D��D���D��� �
������\� � �G\����G�� �
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������ZULWH��� �� �
���������GR�����L� �M�M�P ���
185
��������� ���[� �[���G[ �
������������ZULWH��������[�\�7�L� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� �� �
�
������LI��PD[VW�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK������ �QXPEHU�RI�WLPH� �
������VWHSV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�WLPH�VWHS�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�WRO �
������HUDQFH� �
������HOVH �
��������ZULWH��� ��7LPH�5HTXLUHG�WR�$FKLHYH�6WHDG\�6WDWH�:LWKLQ�WKH�5HT �
������XLUHG�$FFXUDF\� ��WLPH��6HF �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
����� �HQG �
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z�'�//�/�8�88�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�P�Q�PQ�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88 �QG��&�QG��;�QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������PQ� �P Q �
������LWHU� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
186
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������GR����L� ���PQ �
������������[ROG� �;�L ��
������������[QHZ� ��&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
������������������������� ��88�L� ;�L�P�����'�L� �
������������;�L�� �Z [QHZ�������G�� ��Z� [ROG �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
��������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������IRUPDW���[�L ���[�H������
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
����� �ROHUDQFH��
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
187
&+$37(5�� �Steady Convection-Diffusion
Equation
188
3(a): 1-D FINITE VOLUME METHOD Central Differencing Scheme
(Drichlet BC- Solver: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
X�7��[� � .��
7��[�
���6�[�� �
�
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�&219(&7,21 �',))86,21�(48$7,21�:,7+,1�
7+(�'20$,1� �
������[�/�)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�
0(7+2'��� �
����81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�
180(5,&$/�� �
�������������������������$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21������������������������� �
���������� �6HFRQG�2UGHU�$S SUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ���������� �
���������� �6FKHPH��&'6�IRU�%RWK�&RQYHFWLRQ�DQG�'LIIXVLRQ�)OX[HV ���������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU� �QG ������
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�$:�QG��$3�QG��$(�QG��&�QG��7���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WZ�WH�[�G[�X�O[�DOSKD�SH�SHJ �
�
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6 �
������6�[�� ��G� �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH ��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
189
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW�� �
������UHDG� � ��X �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOX H�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� ��������������� �
������G[� ��O[� ���G���Q �
&DOFXODWLRQ�RI�3HFOHW�1R��DQG�*ULG�3HFOHW�1R� �
������DOSKD� ����G� �
������SH���� �X O[�DOSKD �
������SHJ��� �X G[�DOSKD �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q ���
��������$ :�L�� � �X����G�� ��DOSKD�G[ �
��������$(�L�� ��X����G�� ��DOSKD�G[ �
��������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
������$:���� � �X� ������G� DOSKD������G� G[� �
������$(���� ��X����G� ������G� DOSKD������G� G[� �
������$3���� � ��$:������$(���� �
������$:�Q�� � �X����G�������G� DOSKD������G� G[� �
190
������$(�Q�� ��X� ������G� DOSKD������G� G[� �
������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q�� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
��������[���� �[���G[ �
��������&�L�� �6�[ �G[� G[�
������FRQWLQXH �
������&����� �&���� ��$:��� WZ�
������$:���� ��G� �
������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� WH �
������$(�Q�� ��G� �
�
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7K H�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
�
������ZULWH�������[�7 �
������IRUPDW��D��D��� �
������L� �� �
������[� �� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
191
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH�������[�7�L� �
������FRQWLQXH �
������L� �Q�� �
������[� ��� �G��
������ZULWH�������[�7�L� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ �
�
������&$//�7$1$�Q�O[�G[�SH�WZ�WH�7� �
�
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�3HFOHW�1R��DQG�*ULG�3HFOHW�1R��DUH� �
������ZULWH��� ��SH�SHJ �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�7$1$�Q�O[�G[�SH�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG �L�Q�
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7$��7���QG��7$1/���QG��(���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�O[�[�G[�WZ�WH�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
��'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
192
������7$�[�WZ�WH��� �WZ�����H[S�[ SH�O[�� �������H[S�SH� ������� �WH �WZ��
������7$��[�WZ�WH�� �WZ����WH� ��WZ� [�O[ �
�
�
������(������ ��G� �
������(�Q���� ��G� �
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������LI��SH�JW�HSV��WKHQ �
����������7$1/�L�� �7$�[ �G[�WZ�WH��
��������HOVH �
����������7$1/�L�� �7$ ��[�G[�WZ�WH��
��������HQGLI �
��������(�L�� ��G� �
��������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
����������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� ��������7$1/�L� �
��������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������7$1/�Q���� �WH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
�
�� ����L� �� �
������[� ��G� �
������ZULWH�������[�7 �
������IRUPDW��D��D��� �
������ZULWH�������[�7$1/�L� �
193
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH�������[�7$1/�L� �
������FRQWLQXH �
������L� �Q�� �
������[� ����G� �
������ZULWH������� [�7$1/�L��
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
������ZULWH��������(�L��L ��Q��� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ����G� �
������GR����L� ���Q�� �
��������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
����������P D[HUU� �(�L� �
��������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ���7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;���QG��3���QG��4���QG�� �
194
������WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
��������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
��������3�L�� � �8�L����WHPS �
��������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
��������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
195
3(b): 1-D FINITE VOLUME METHOD Central and Upwinding Differencing Scheme
(Drichlet BC- Solver: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
X�7��[� � .��
7��[�
���6�[�� �
�
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�&219(&7,21 �',))86,21�(48$7,21�:,7+,1�
7+(�'20$,1� �
������[���)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�92/80(�
0(7+2'��� �
����81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(�*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�
180(5,&$/�� �
��������� ����������������$1'�$1$/<7,&$/�62/87,21������������������������� �
���������� �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ���������� �
���6FKHPHV����,� ���&'6�IRU�%RWK�&RQYHFWLRQ�DQG�'LIIXVLRQ�)OX[HV���������� �
�������������,,� ���%'6�IRU�&RQYHFWLRQ �DQG�&'6�IRU�'LIIXVLRQ�)OX[HV������� �
������������,,,� ���)'6�IRU�&RQYHFWLRQ�DQG�&'6�IRU�'LIIXVLRQ�)OX[HV������� �
�������������,9� ���8'6�IRU�&RQYHFWLRQ�DQG�&'6�IRU�'LIIXVLRQ�)OX[HV������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�$:�QG��$3�QG��$(�QG��&�QG��&&����7���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WZ�WH�[�G[�X�O[�DOSKD�SH�SHJ �
�
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6 �
������6�[�� ��G� �
196
�
2SWLRQ� 'LIIHUHQW�6FKHPHV�
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���&'6�&'6�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���%'6�&'6�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���)'6�&'6�
������ZULWH��� ����������� �����>�@ ���8'6�&'6�
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
��������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
��������VWRS �
������HQGLI �
������ZULWH��� ���������������� �
�� ����ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�*5,'�3(&/(7�180%(5� �
������UHDG� � ��SHJ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������WZ� ��G� �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������WH� ����G� �
������7�Q���� �WH �
������ZULWH��� ��������������� �
������O[� �� ��G��
197
������G[� ��O[� ���G���Q �
&DOFXODWLRQ�RI�9HORFLW\�DQG�*ULG�3HFOHW�1R����� �
������DOSKD� ����G ���
������SH���� �SHJ O[�G[ �
������X����� �SH DOSKD�O[ �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������&�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
������&&���� �&��� �
������&&���� �&�Q� �
�
������RSHQ��XQLW ���ILOH F�RXW� �
�
������LI�VHO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[�&'6 �&'6���
���������GR����L� ���Q ���
������������$:�L�� �����G����SH G[����G�� �
�� ����������$(�L�� �����G�� ��SH G[����G�� �
������������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
���������FRQWLQXH �
���������$:���� �����G�����G����SH G[� �
���������$(���� �����G�����G�� ��SH G[����G�� �
���������$3���� � ��$:������$(���� �
���������$:�Q�� �����G�����G����SH G[����G� ��
���������$(�Q�� �����G�����G�� ��SH G[� �
���������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q��� �
198
�
���������&����� �&&���� ��$:��� WZ �
���������$:���� ��G� �
���������&�Q��� �&&���� ��$(�Q� WH �
���������$(�Q�� ��G� �
�
�6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
���������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$ (�&�7��
���������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ��&'6 �&'6���
���������ZULWH�������[�7 �
���������&$//�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[�%'6 �&'6���
���������GR����L� ���Q ���
������������$: �L�� �����G����SH G[� �
������������$(�L�� ����G� �
������������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
���������FRQWLQXH �
���������$:���� �����G�����G���SH G[� �
���������$(���� ����G�����G� �
���������$3���� � ��$:������$(���� �
���������$:�Q�� �����G�����G����SH G[� �
���������$(�Q �� �����G�����G�� ��SH G[� �
���������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q��� �
�
���������&����� �&&���� ��$:��� WZ �
���������$:���� ��G� �
���������&�Q��� �&&���� ��$(�Q� WH �
���������$(�Q�� ��G� �
�
199
�
�
�6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
���������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
������ ���ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ��%'6 �&'6���
���������ZULWH�������[�7 �
���������&$//�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[�)'6 �&'6���
���������GR����L� ���Q ���
������������$:�L�� ����G� �
������������$(�L�� �����G�� ��SH G[� �
������������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
���������FRQWLQXH �
���������$:���� �����G�����G����SH G[� �
���������$(���� �����G�����G�� ���SH G[� �
���������$3���� � ��$:������$(���� �
���������$:�Q�� ����G�����G� �
���������$(�Q�� �����G�� ���G�� ��SH G[� �
���������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q��� �
�
���������&����� �&&���� ��$:��� WZ �
���������$:���� ��G� �
���������&�Q��� �&&���� ��$(�Q� WH �
���������$(�Q�� ��G� �
�
�6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
���������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
���������ZULWH��� � �7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ��)'6 �&'6���
���������ZULWH�������[�7 �
200
���������&$//�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[�8'6 �&'6���
���������GR����L� ���Q ���
������������$:�L�� �����G�����SH���DEV�S H�� G[����G���
������������$(�L�� �����G�� ���SH� ��DEV�SH�� G[����G�� �
������������$3�L�� � ��$:�L����$(�L�� �
���������FRQWLQXH �
���������$:���� �����G�����G����SH G[� �
���������$(���� �����G�����G�� ���SH� ��DEV�SH�� G[����G�� �
���������$3���� � ��$:������$(���� �
��� ������$:�Q�� �����G�����G�����SH���DEV�SH�� G[����G�� �
���������$(�Q�� �����G����� ��SH G[� �
���������$3�Q�� � ��$:�Q����$(�Q��� �
�
���������&����� �&&���� ��$:��� WZ �
���������$:���� ��G� �
���������&�Q��� �&&���� ��$(�Q� WH �
���������$(�Q�� ��G� �
�
�6ROXWLRQ�RI�WKH �(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
���������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
���������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ��8'6 �&'6���
���������ZULWH�������[�7 �
���������&$//�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������HQGLI �
������IRUPDW��D��D��� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG��� *OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP �
201
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ �
F������&$//�7$1$�Q�O[�G[�SH�WZ�WH�7� �
�
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�9HORFLW\�DQG�*ULG�3HFOHW�1R��DQG�3HFOHW �
������1R��DUH� �
������ZULWH ��� ��X�SHJ�SH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�+HDW�)OX[HV �
������TZ� � ���7������� 7���� ��� WZ��������G� G[� �
������TH� � ��� WH� ��� 7�Q����7�Q �����������G� G[� �
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW�)OX[�DW�WKH�/()7�%RXQGDU\�LV��TZ �
������ZULWH��� ��7KH�+HDW �)OX[�DW�WKH�5,*+7�%RXQGDU\�LV��TH �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�7$1$�Q�O[�G[�SH�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7$�7$��7 ���QG��7$1/���QG��(���QG��
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�O[�[�G[�WZ�WH�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������7$�[�WZ�WH�� �WZ��� �
����������������������H[S�[ SH�O[�� �����G����H[S�SH�� �����G��� �WH �WZ��
������7$��[�WZ�WH�� � WZ����WH� ��WZ� [�O[ �
202
����� �
������(������ ��G� �
������(�Q���� ��G� �
�
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��SH�JW�HSV��WKHQ �
������������7$1/�L�� �7$�[ �G[�WZ�WH��
���������HOVH �
������������7$1/�L�� �7$��[ �G[�WZ�WH��
���������HQG LI�
���������(�L�� ��G� �
���������LI��7$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
������������(�L�� �DEV�7$1/�L�� ��7�L�� �����G����7$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������7$1/�Q���� �WH �
�
������ZULWH��� �� �
������ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������L� �� �
������[� � �G��
������ZULWH�������[�7$1/�L� �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH�������[�7$1/�L� �
������FRQWLQXH �
������L� �Q�� �
203
������[� ����G� �
������ZULWH�������[�7$1/�L� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
������ZULWH��� �� �
������Z ULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
������ZULWH��������(�L��L ��Q��� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ���� �
������GR����L� ���Q�� �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������ZULWH��� �� �
���� ��ZULWH��� ���7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ� /�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;���QG��3�QG��4�QG��WHPS�
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
204
������GR����L� ���Q �
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�WZ�WH�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������S DUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7���QG��[�G[�WZ�WH �
�
������7������ �WZ �
������7�Q���� �WH �
�
������L� �� �
������[� ��G� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH�������[�7�L� �
205
������FRQWLQXH �
��� ���L� �Q�� �
������[� ����G� �
������ZULWH�������[�7�L� �
������IRUPDW�����[�H������ �
�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
206
3(c): 2-D FINITE VOLUME METHOD Central and Upwinding Differencing Scheme
(Drichlet BC- Solvers: PSOR, ADISOR)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �X�7��[���Y�7��\� � .��
�
7��[�
��� ��
7��\�
����6�[�\�� �
�
�
�����7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�&219(&7,21 �',))86,21�(48$7,21�:,7+,1�
7+(���� �
�����5(&7$1*8/$5�'20$,1�)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21', 7,216�86,1*�
),1,7(��� �
�����������������������92/80(�0(7+2'��81,)250�*5,'����������������������� �
���������� �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ���������� �
��6FKHPHV�����,� ���&'6�IRU�%RWK�&RQYHFWLRQ�DQG�'LIIXVLRQ�)OX[HV���������� �
���� ���������,,� ���8'6�IRU�&RQYHFWLRQ�DQG�&'6�IRU�'LIIXVLRQ�)OX[HV������� �
������������������ �6ROYHU�2SWLRQV���3625��/625��$',625 ������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
�
������LQWHJHU� QG�PG�L�M�P�Q�PQ�S�N�LWHUP[�FRXQW�VHO�
�
������SDUDPHWHU��QG �����PG ���� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�)6�)1�):�)( �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�$3�QG��$:�QG��$(�QG��$6�QG��$1�QG��&�QG��7�QG�� �
������76�PG��71�PG��7:�PG��7(�PG� �
�
207
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�O[�O\�G[�G\�K[� K\�WRO�Z�ZO�ZD�DOSKD�X�Y�SH[��
������SH\�SHJ[�SHJ\ �
�
������FRPPRQ�FRHI�$3�$6�$:�$(�$1 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�7 �
�
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6 �
������6�[�\�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�%RXQGDU\�&RQGLWLRQV �
������)6�[�� ��G� �
������)1�[�� ��G� �
������) :�\�� �����G� �
������)(�\�� ��G� �
�
������RSHQ���ILOH RXW� �
�
2SWLRQ�'LIIHUHQW�6FKHPHV �
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���&'6�&'6�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���8'6�&'6�
���� ��UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
���������VWRS �
������HQGLI �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH� ;�GLUHFWLRQ��
208
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O\ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��P �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU��RI�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�; �&RPSRQHQW�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW���
������UHDG� � ��X �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�< �&RPSRQHQW�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW���
������UHDG� � ��Y �
������ZULWH��� ��������������� �
�
������PQ� �P Q �
������G[� ��O[� ���G���P �
������G\� ��O\� ���G���Q �
������K[� �G\�G[ �
������K\� �G[�G\ �
�
&DOFXODWLRQ�RI�3HFOHW�1RV��DQG�*ULG�3HFOHW�1RV� �
������DOSKD� ����G� �
������SH[��� �X O[�DOSKD �
������SH\��� �Y O\�DOSKD �
������SHJ[�� �X G[�DOSKD �
������SHJ\�� �Y G\�DOSKD �
�
(VWDEOLVKLQJ�WKH�%RXQGDU\�9DOXHV �
�6RXWK �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���P �
209
���������[� �[���G[ �
���������76�L�� �)6�[� �
������FRQWLQXH �
�(DVW �
������\� � �G\����G��
������GR����L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7 (�L�� �)(�\� �
������FRQWLQXH �
�1RUWK �
������[� � �G[����G��
������GR����L� ���P �
���������[� �[���G[ �
���������71�L�� �)1�[� �
������FRQWLQXH �
�:HVW �
������\� � �G\����G��
������GR����L� ���Q �
���������\� �\���G\ �
���������7:�L�� �):�\� �
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�R I�5+6�9HFWRU �
������N� �� �
������\� � �G\����G��
������GR����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
���������[� � �G[����G��
���������N� �N�� �
���������GR����L� �M�N P �
210
�����������[� �[���G[ �
�����������&�L�� � �6�[�\� G[ G\�
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
�
������LI�V HO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�&RHIILFLHQW�0DWUL[�&'6 �&'6���
��������GR����L� ���PQ �
�����������$:�L�� �X G\����G����DOSKD K[ �
�����������$(�L�� �X G\����G����DOSKD K[ �
�����������$6�L�� �Y G[����G����DOSKD K\ �
�����������$1�L�� �Y G[����G����DO SKD K\�
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
��������GR����L� ���P ���
�����������$6�L�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
�����������$1�L�� �Y G[����G��������G���� �G�� DOSKD K\�
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
��������GR����L� �PQ �P���PQ���
�����������$6�L�� �Y G[����G��������G�����G�� DOSKD K\ �
�����������$1�L�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
211
��������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
�����������$:�L�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$ (�L�� �X G\����G��������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
��������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
�����������$:�L�� �X G\����G��������G�����G�� DOS KD K[�
�����������$(�L�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
�
��������$:���� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(���� �X G\����G��������G� ����G�� DOSKD K[�
��������$6���� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1���� �Y G[����G��������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3���� � ��$:������$(������$6������$1���� �
�
��������$:�P�� �X G\����G��������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�P�� �X G\�������G�����G�� D OSKD K[�
��������$6�P�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�P�� �Y G[����G��������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�P�� � ��$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�
��������S� �PQ �P���
��������$:�S�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�S�� �X G\����G��������G �����G�� DOSKD K[�
212
��������$6�S�� �Y G[����G��������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�S�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�S�� � ��$:�S����$(�S����$6�S����$1�S�� �
�
��������$:�PQ�� �X G\����G��������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�PQ�� �X G\�������G�����G� � DOSKD K[�
��������$6�PQ�� �Y G[����G��������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�PQ�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�PQ�� � ��$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
�6RXWK �
��������GR�����L� ���P ���
�����������&�L��� �&�L�� ��$6 �L� 76�L��
�����������$6�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�(DVW �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$(�L� 7(�FRXQW� �
�����������$(�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�1RUWK �
��������FRXQW� �� �
��������GR���� �L� �PQ �P���PQ���
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$1�L� 71�FRXQW� �
�����������$1�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
213
�:HVW �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$:�L� 7:�FRXQW ��
�����������$:�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH������ �
��������&����� �&���� ��$6��� 76���� ��$:��� 7:��� �
��������$6���� ��G� �
��������$:���� ��G� �
��������&�P��� �&�P�� ��$6�P� 76�P�� ��$(�P� 7(��� �
��������$6�P�� ��G� �
��������$(�P�� ��G� �
��������S� �PQ �P���
��������&�S ���� �&�S�� ��$:�S� 7:�Q�� ��$1�S� 71��� �
��������$:�S��� ��G� �
��������$1�S��� ��G� �
��������&�PQ��� �&�PQ�� ��$(�PQ� 7(�Q�� ��$1�PQ� 71�P� �
��������$(�PQ�� ��G� �
��������$1�PQ�� ��G� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[� 8'6�&'6���
��������GR�����L� ���PQ �
�����������$:�L�� ��X���DEV�X�� �G\����G�����DOSKD K[ �
�����������$(�L�� ��X� ��DEV�X�� �G\����G�����DOSKD K[ �
�����������$6�L�� ��Y���DEV�Y�� �G[����G�����DOSKD K\ �
�����������$1�L�� ��Y� ��DEV�Y�� �G[����G�����DOSKD K\ �
������ �����$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
214
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�6287+�%RXQGDU\ �
��������GR�����L� ���P ���
�����������$6�L�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
�����������$1�L�� ��Y� ��DEV�Y�� �G[����G���������G�� ���G�� DOSKD K\�
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$6�DQG�$1�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�1257+�%RXQGDU\ �
��������GR�����L� �PQ �P���PQ���
�����������$6�L�� ��Y���DEV�Y�� �G[����G���������G�����G�� DOSKD K\ �
������ �����$1�L�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�:(67�%RXQGDU\ �
��������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
�����������$:�L�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[�
�����������$(�L�� ��X� ��DEV�X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�$:�DQG�$(�IRU�1RGHV�$GMDFHQW�WR�($67�%RXQGDU\ �
��������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
�����������$:�L�� �� X���DEV�X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$(�L�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
�����������$3�L�� � ��$:�L����$(�L����$6�L����$1�L�� �
��������FRQWLQXH �
�
0RGLILFDWLRQ�$6�$:�$(�DQG�$1�IRU�&251(5�1RGHV �
215
��������$:���� �X G\�������G�����G�� DOSK D K[�
��������$(���� ��X� ��DEV�X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$6���� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1���� ��Y� ��DEV�Y�� �G[����G���������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3���� � ��$:������$(������$6������$1���� �
�
��������$:�P�� ��X���DEV �X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�P�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$6�P�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�P�� ��Y� ��DEV�Y�� �G[����G���������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�P�� � ��$:�P����$(�P����$6�P����$1�P�� �
�
������� �S� �PQ �P���
��������$:�S�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�S�� ��X� ��DEV�X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$6�S�� ��Y���DEV�Y�� �G[����G���������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�S�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�S�� � ��$:�S����$(�S����$6�S����$1�S�� �
�
��������$:�PQ�� ��X���DEV�X�� �G\����G���������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$(�PQ�� �X G\�������G�����G�� DOSKD K[ �
��������$6�PQ�� ��Y���DEV�Y�� �G[����G���������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$1�PQ�� �Y G[�������G�����G�� DOSKD K\ �
��������$3�PQ�� � ��$:�PQ����$(�PQ����$6�PQ����$1�PQ�� �
�
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
�6RXWK �
��������GR�����L� ���P ���
�����������&�L��� �&�L�� ��$6�L� 76�L� �
�����������$6�L�� ��G� �
216
��������FRQWLQXH �
�(DVW �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �� P�PQ �P�P�
������� ����FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$(�L� 7(�FRXQW� �
�����������$(�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�1RUWK �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �PQ �P���PQ���
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$1�L� 71�FRXQW� �
�����������$1�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�:HVW �
��������FRXQW� �� �
��������GR�����L� �P���PQ �� P���P�
�����������FRXQW� �FRXQW���� �
�����������&�L��� �&�L�� ��$:�L� 7:�FRXQW� �
�����������$:�L�� ��G� �
��������FRQWLQXH �
�
��������&����� �&���� ��$6��� 76���� ��$:��� 7:��� �
��������$6���� ��G� �
��������$:���� ��G� �
��������&�P��� �&�P�� ��$6�P� 76�P�� ��$(�P� 7(��� �
��������$6�P�� ��G� �
��������$(�P�� ��G� �
��������S� �PQ �P���
217
��������&�S���� �&�S�� ��$:�S� 7:�Q�� ��$1�S� 71��� �
��������$:�S��� ��G� �
��������$1�S��� ��G� �
��������&�PQ��� �&�PQ�� ��$(�PQ� 7(�Q�� ��$1�PQ� 71�P� �
��������$(�PQ�� ��G� �
��������$1�PQ�� ��G� �
������HQGLI �
�
6ROXWLRQ�RI�(TXDWLRQV�8VLQJ�3625��/625��RU�$',625�0HWKRG �
������RSHQ��XQLW ��ILOH F�RXW� �
������Z��� �����G� �
������ZO�� ����G� �
������ZD�� ����G� �
������WRO� ����G ���
F�����ZULWH��� �� (QWHU�0D[LPXP�1XPEHU�RI�,WHUDWLRQV� �
F�����UHDG� � ��LWHUP[ �
������LWHUP[� ���� �
������GR�����L� ���PQ �
��������7�L�� ��G� �
������FRQWLQXH �
F�����&$//�3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������&$//�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZO� �
F�����&$//�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�ZD� �
�
������ZULWH� �� �� �
������ZULWH��� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������[�\�7 �
������\� � �G\����G�� �
������GR�����M� ���PQ �P���P�
���������\� �\���G\ �
218
���������[� � �G[����G��
���������ZULWH��� �� �
���������GR�����L� �M�M�P ���
������������[� �[���G[ �
����� �������ZULWH��������[�\�7�L� �
���������FRQWLQXH �
������FRQWLQXH �
������IRUPDW�����[�H������ �
������IRUPDW��D��D���D��� �
�
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�9(/2&,7<�DQG�3(&/(7�1R��DQG�*5,'�3(&/(7 �
������1R��DUH� �
������ZULWH��� ��; �GLUHFWLRQ��X�SH[�SHJ[�
��� ���ZULWH��� ��< �GLUHFWLRQ��Y�SH\�SHJ\�
������VWRS �
������HQG �
�
68%5287,1(��32,17�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQH��3625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
�
������LQWHJHU�QG�L�P�Q�PQ�LWHU�LWHUP[ �
�
������SDUDPHWHU��QG� ������ �
������G RXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WRO�Z�UHVLG�[ROG�[QHZ�WHUP �
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
219
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ� �P Q �
������LWHU� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����, 7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
���������GR����L� ���PQ �
������������[ROG� �;�L� �
������������[QHZ� ��&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L��� �
������������������������� ��88�L� ;�L�P�����'�L� �
������������;�L�� �Z [Q HZ�������G�� ��Z� [ROG �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
��������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG� �UH VLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KD V�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
220
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��/,1(�625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEURXWLQ H�/625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
�
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�Q�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
�
������SDUDPHWHU��QG� ������PG ����� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
������/2�PG��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG� �
������ �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�Z�U HVLG�WHUP�
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ���� �P Q �
������PP���� �P ���
������LWHU�� �� �
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
221
������� ��N� �� �
���������GR����M� ���PQ �PP��P�
������������N�� �N���� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN����� �NN���� �
���������������/2�NN�� �Z /�L� �
���������������',�NN�� �'�L� �
���������������83�NN�� �Z 8�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P��� �
��������������������������������������G� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�N P �
���������������NN��� �NN���� �
���������������;�L�� �;;�NN ��
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L�� �
������������������������������8�L� ;�L������88�L� ;�L�P�� �
������������UHVLG � �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
222
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQ FH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��$',625�)25�121$'-$&(17�3(17$',$*21$/�
0$75,; �
�
������VXEU RXWLQH�$',625�P�Q�LWHUP[�WRO�Z� �
������LQWHJHU�QG�PG�L�M�N�NN�P�Q�PQ�PP��LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ������PG ���� �
�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'�QG��//�QG��/�QG��8�QG��88�QG��&�QG��;�QG�� �
������/2�PG��',�PG��83�PG��&2�PG��;;�PG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�UHVLG�W HUP�Z�
�
������FRPPRQ�FRHI�'�//�/�8�88 �
������FRPPRQ�FRQVW�& �
������FRPPRQ�WHPS�; �
�
������PQ���� �P Q �
������PP���� �P ���
������LWHU�� �� �
223
������UHVLG� �����G� �
������ZULWH��� �����,7(5�������5(6,' �
������LI���UHVLG�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
��������N� �� �
�
6ZHHS�E\�5RZV �
��������GR����M� ���PQ �PP��P�
�����������N�� �N���� �
�����������NN� �� �
�����������GR����L� �M�N P �
��������������NN����� �NN���� �
��������������/2�NN�� �Z /�L� �
��������������',�NN�� �'�L� �
��������������83�NN�� �Z 8�L� �
��������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��//�L� ;�L �P�� ��88�L� ;�L�P��� �
�������������������������������������G� �Z� '�L� ;�L��
�����������FRQWLQXH �
�����������&$//�7'0$�P�/2�',�83�&2�;;� �
�����������NN� �� �
�����������GR����L� �M�N P �
��������������NN� �NN���� �
��������������;�L�� �;;�NN� �
���� �������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
6ZHHS�E\�&ROXPQV �
���������GR����M� ���P �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN����� �NN���� �
224
���������������/2�NN�� �Z //�L� �
���������������',�NN�� �'�L� �
���������������83�NN�� �Z 88�L� �
���������������&2�NN�� �Z �&�L�� ��/�L� ;�L ���� ��8�L� ;�L���� �
��������������������������������������G� �Z� '�L� ;�L��
������������FRQWLQXH �
������������&$//�7'0$�Q�/2�',�83�&2�;;� �
������������NN� �� �
������������GR����L� �M�PQ �PP��Q�P�
���������������NN��� �NN��� ��
���������������;�L�� �;;�NN� �
������������FRQWLQXH �
���������FRQWLQXH �
�
&DOFXODWLRQ�RI�5HVLGXDOV �
���������UHVLG� ��G� �
���������GR����L� ���PQ �
������������WHUP�� �&�L�� ���//�L� ;�L �P����/�L� ;�L ������'�L� ;�L� �
�����������������������������8�L� ;�L������88� L� ;�L�P���
������������UHVLG� �UHVLG���WHUP � �
���������FRQWLQXH �
���������UHVLG� �6457�UHVLG��PQ �
���������LWHU�� �LWHU���� �
���������ZULWH�������LWHU��UHVLG �
���������IRUPDW���[�L���[�H����� �
���������JR�WR��� �
������HQGLI �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
�� ������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�LWHU�QXPEHU�RI�LWHU �
225
������DWLRQV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQV�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�W �
������ROHUDQFH� �
������HQGLI �
������UHWXUQ� �
������HQG������������� �
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ���� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;�QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� �� �Q�
���������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
���������3�L�� � �8�L����WHPS �
���������4�L�� ��&�L�� ��/�L� 4�L �������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
���������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
226
&&++$$37(37(5�5�����Unsteady Convection-Diffusion
Equation
227
4(a): 1-D FINITE VOLUME METHOD Euler Implicit - Central Differencing Scheme
(Drichlet BC- Solver: TDMA)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ� WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� ��7��W���X�7��[� � .�
�
7��[�
���6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�&219(&7,21 �',))86,21�
(48$7,21�:,7+,1�� �
��7+(�'20$,1���[�/�)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�
92/80(� �
��������������������������0(7+2'��81,)250�*5,'��������������������������� �
���������� �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH�%RXQGDULHV ���������� �
���������� �6FKHPH��&'6�IRU�%RWK�&RQYHFWLRQ�DQG�'LIIXVLRQ�)OX[HV ���������� �
������������������� ������� �(XOHU�,PSOLFLW�0HWKRG ������������������������� �
�
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�7,�62�QG��7���QG��DOSKD�UKR�FS� WZ�WH�O[�[�G[��
������GW�IR�FRHII�SL�X�FRX �
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6 �
������6�[�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������7,�[�� ��G� �
�
F�����RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
������SL���� ����G� �DWDQ����G��� �
228
������DOSKD� ����G ���
������UKR��� ����G� �
������ FS���� ����G� �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZUL WH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW�� �
������UHDG� � ��X �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7 �%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������7�Q���� �WH �
������G[� ��O[� ���G���Q �
&DOFXODWLRQ�RI�3HFOHW�1R�DQG�*ULG�3HFOHW�1R������ �
������SH� �X O[�DOSKD �
������SHJ� �X G[�DOSKD �
������ZULWH��� ����������� �
�
2SWLRQ�I RU�7UDQVLHQW�DQG�6WHDG\�6WDWH�&RQGLWLRQV �
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���75$16,(17�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���67($'<�67$7( �
229
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG ��VHO�QH�����WKHQ �
��������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
��������VWRS �
������HQGLI �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�PHWKRG �
������GW� ����G���X�G[���� DOSKD�G[ �� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�0HWKRG�LV ��
�������GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
&DOFXODWLRQ�RI�)RXULHU�1R��DQG�&RXUDQW�1R� �
������IR���� �DOSKD GW�G[ � �
������FRX��� �X GW�G[ �
������FRHII� �GW��UKR FS� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������[� �G[����G� �
������GR�� ��L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������7�L�� �7,�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�6RXUFH�7HUP�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������62�L�� � �6�[�G[� G[�
������FRQWLQXH �
230
�
������LI��VHO�HT����WKHQ �
��������&$//�75$16�Q�X �WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�62�7�� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
��������&$//�67($'<�Q�X�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�62�7� �
������HQGLI �
�
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�3HFOHW�1R��DQG�*ULG�3HFOHW�1R��DUH� �
������ZULWH��� ��SH�SHJ �
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�*ULG� )RXULHU�1R��DQG�&RXUDQW�1R��DUH� �
������ZULWH��� ��IR�FRX �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�X�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�62�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�N�WQXP �
������SDUDPHWH U��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��7���QG��72/'���QG��$3�QG��$:�QG��$(�QG�� �
������&�QG��WZ�WH�IR�FRHII�WLPH�GW�X�FRX �
�
������ZULWH��� ��1XPEHU�RI�7LPH�6WHS�IRU�:KLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������� �
������UHDG� � ��WQXP �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV� LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q �
��������$:�L�� � �FRX����G�� ��IR �
231
��������$(�L�� ��FRX����G�� ��IR �
��������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� �� 7KH�7UDQVLHQW�6ROXWLRQ�LV� �
������WLPH� ���� �
0RGLILFDWLRQ�RI�$3�DQG�$QE�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
������GR����N� ���WQXP �
��������$:���� � �FRX� ������G�����G�� IR �
��������$(���� ��FRX����G� ������G�����G�� IR �
��������$3���� ����G�� ���$:������$(���� �
��������$:�Q�� ��FRX����G�������G�����G�� IR� �
��������$(�Q�� ��FRX� ������G�����G�� IR �
��������$3�Q�� ����G�� ���$:�Q����$(�Q��� �
6WRULQJ�WKH�7HPSHUDWXUHV��DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
��������GR����L� ���Q �
����������72/'�L�� �7�L� �
��������FRQWLQXH �
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
��������GR����L� ���Q �
����������&�L�� �72/'�L����FRHII 62�L� �
��������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������&����� �&���� ��$:��� WZ �
��������$:���� ��G� �
��������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� WH �
��������$(�Q�� ��G� �
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQ J�7'0$ �
��������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
232
�
��������WLPH� �WLPH���GW �
��������ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
��������ZULWH��������7�L��L ��Q��� �
��������IRUPDW�����[�H������ �
������FRQWLQXH��� �
�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��67($'<�67$7(�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�67($'<�Q�X�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�62�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�62�QG��7���QG��72/'���QG��'���QG��$3�QG��$:�QG�� �
������$(�QG��&�QG��WZ�WH�IR�FR HII�WLPH�GW�PD[GLI�WRO�X�FRX�
�
������WRO� ����G ���
������LWHUP[� ������ �
������LWHU� �� �
������PD[GLI� �����G� �
������WLPH� ��G� �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�(OHPHQWV�LQ�WKH�7ULGLDJRQDO�0DWUL[ �
������GR����L� ���Q �
��������$:�L�� � �FRX����G�� ��IR �
��������$(�L�� ��FRX����G �� ��IR �
��������$3�L�� ����G�� ���$:�L����$(�L�� �
������FRQWLQXH �
233
�
������WLPH� ���� �
������LI���PD[GLI�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
0RGLILFDWLRQ�RI�$3�DQG�$QE�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������$:���� � �FRX� ������G�����G�� IR �
��������$(���� ��FRX����G� ������G�� ���G�� IR�
��������$3���� ����G�� ���$:������$(���� �
��������$:�Q�� � �FRX����G����������G�� IR �
��������$(�Q�� ��FRX� ������G�����G�� IR �
��������$3�Q�� ����G�� ���$:�Q����$(�Q��� �
6WRULQJ�WKH�7HPSHUDWXUHV��DW�3UHYLRXV�7LPH�/HYHO� �
��������GR����L� ���Q �
���������� 72/'�L�� �7�L� �
��������FRQWLQXH �
&RQVWUXFWLRQ�RI�5+6�9HFWRU �
��������GR����L� ���Q �
����������&�L�� �72/'�L����FRHII 62�L� �
��������FRQWLQXH �
0RGLILFDWLRQ�RI�5+6�7HUP�IRU�%RXQGDU\�1RGHV �
��������&����� �&���� ��$:��� WZ �
��������$:���� ��G� �
��������&�Q��� �&�Q�� ��$(�Q� WH �
��������$(�Q�� ��G� �
6ROXWLRQ�RI�WKH�(TXDWLRQ�8VLQJ�7'0$ �
��������&$//�7'0$�Q�$:�$3�$(�&�7� �
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR�&RQVHFXWLYH� �
7LPH�6WHS� �
��������GR����L� ���Q �
����������'�L�� �DEV�7�L�� ��72/'�L�� �
234
������� �FRQWLQXH������� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�3HUFHQWDJH�'LIIHUHQFH �
��������PD[GLI� ��G� �
��������GR����L� ���Q �
����������LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
������������PD[GLI� �'�L� �
����������HQGLI �
��������FRQWLQXH �
��������WLPH� �WLPH���GW �
��������LWHU� �LWHU���� �
����� ���JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH��� ���������������� �
������ZULWH��� ��7KH�6WHDG\�6WDWH�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q��� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� ���������������� �
�
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�������QXPEHU�RI�WLPH� �
������VWHSV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPE �HU�RI�WLPH�VWHS�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�WR �
������OHUDQFH� �
������HOVH �
��������ZULWH��� ��7LPH�5H TXLUHG�WR�$FKLHYH�6WHDG\�6WDWH�:LWKLQ�WKH�5HT �
������XLUHG�$FFXUDF\� ��WLPH��6HF �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
235
�
68%5287,1(��7'0$ �
�
������VXEURXWLQH�7'0$�Q�/�'�8�&�;� �
������LQWHJHU�QG�L �
������S DUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�/�QG��'�QG��8�QG��&�QG��;���QG��3�QG��4�QG��WHPS �
�
������/���� ��G� �
������8�Q�� ��G� �
�
)RUZDUG�(OLPLQDWLRQ �
������GR����L� ���Q �
��������WHPS� �'�L����/�L� 3�L ����
��������3�L�� � �8�L����WHPS �
��������4�L�� ��&�L�� ��/� L� 4�L�������WHPS �
������FRQWLQXH �
�
%DFN�6XEVWLWXWLRQ �
������GR����L� �Q��� ���
��������;�L�� �3�L� ;�L������4�L� �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
236
4(b): 1-D FINITE VOLUME METHOD MacCormack Explicit Method- Central Differencing
(Drichlet BC)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� ��7��W���X�7��[� � .�
�
7��[�
���6�[�� �
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�&219(&7,21 �',))86,21�
(48$7,21�:,7+,1�� �
��7+(�'20$,1���[�/�)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�
92/80(� �
����������������������������0(7+2'��81,)250�*5,'������������������������� �
���������� �6HFRQG�2UGHU�$SSUR[LPDWLRQ�RI�)OX[�DW�WKH �%RXQGDULHV ���������� �
���������� �6FKHPH��&'6�IRU�%RWK�&RQYHFWLRQ�DQG�'LIIXVLRQ�)OX[HV ���������� �
������������������������� �0DF&RUPDFN�([SOLFLW�0HWKRG ��������������������� �
�
����� �SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�L�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�6�7,�62�QG��7���QG��DOSKD�UKR�FS�WZ�WH�O[�[�G[� �
������GW�IR�FRHII�SL�X�FRX �
'HILQLQJ�WKH�6RXUFH�)XQFWLRQ�6 �
������6�[�� ��G� �
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������7,�[�� � �G��
�
F�����RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
������SL���� ����G� �DWDQ����G��� �
237
������DOSKD� ����G ���
������UKR��� ����G� �
������FS���� ����G� �
�
������ZULWH��� ��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
������O[� ���� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�&21752/�92/80(6� �
������UHDG� � ��Q �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW�� �
������UHDG� � ��X �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7� %RXQ�
������GDU\� �
������UHDG� � ��WZ �
������7���� �WZ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��WH �
������7�Q���� �WH �
������G[� ��O[� ���G���Q �
&DOFXODWLRQ�RI�3HFOHW�1R�DQG�*ULG�3HFOHW�1R� �
������SH� �X O[�DOSKD �
������SHJ� �X G[�DOSKD �
������ZULWH��� ��������������� �
�
2SWLRQ�IRU�7UDQVLHQW�DQG�6WHDG\�6WDWH�&RQGLWLRQV �
������ZULWH��� ���6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ��������� �������>�@ ���75$16,(17�
238
������ZULWH��� ����������������>�@ ���67($'<�67$7( �
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
��������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
��������VWRS �
������HQGLI �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW �PHWKRG �
������GW� �����G���X�G[���� DOSKD�G[ �������G� �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7LPH�6WHS�IRU�([SOLFLW�0HWKRG�LV� �
�������GW �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
&DOFXODWLRQ�RI�)RXULHU�1R��DQG�&RXUDQW�1R� �
������IR� �D OSKD GW�G[ ��
������FRX� �X GW�G[ �
������FRHII� �GW��UKR FS� �
�
'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQ �
������[� �G[����G� �
������GR����L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������7�L�� �7,�[ �G[��
������FRQWLQXH �
�
&RQVWUXFWLRQ�RI�6RXUFH�7HUP�9HFWRU �
������[� �G[����G� �
������GR ����L� ���Q �
��������[� �[���G[ �
��������62�L�� � �6�[�G[� G[�
239
������FRQWLQXH �
�
������LI��VHO�HT����WKHQ �
��������&$//�75$16�Q�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�7�� �
������HOVHLI�VHO�HT����WKHQ �
��������&$//�67($'<�Q�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�7� �
������HQGLI �
�
������ZULWH��� ��� 7KH�9DOXHV�RI�3HFOHW�1R��DQG�*ULG�3HFOHW�1R��DUH� �
������ZULWH��� ��SH�SHJ �
������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�*ULG�)RXULHU�1R��DQG�&RXUDQW�1R��DUH� �
������ZULWH��� ��IR�FRX �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�N�WQXP �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7���QG��767���QG��WZ�WH�IR�FRHII�WLPH�GW�FRX �
�
������ZULWH��� ��1XPEHU�RI�7LPH�6WHS�IRU�:KLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXL UHG�
������� �
������UHDG� � ��WQXP �
�
������ZULWH��� ��� �
������ZULWH��� ��7KH�7UDQVLHQW�6ROXWLRQ�LV� �
������WLPH� ��G� �
240
�
������GR����N� ���WQXP �
3UHGLFWRU�6WHS� �
��������767����� �7���� ��FRX �7���� ��WZ����IR � �� 7����
����������������������������G�����G�� 7����������G�����G�� WZ� �
��������GR����L� ���Q ���
����������767�L�� �7�L�� ��FRX �7�L���� ��7�L�����IR �7�L���� ��� 7�L� �
���������������������������������7�L ����� �
��������FRQWLQXH �
��������767�Q��� �7�Q�� ��FRX �WH� ��7�Q����� IR ��� 7�Q��
�������������G�����G�� 7�Q ����������G�����G�� WH� �
�
&RUUHFWRU�6WHS� �
��������7���� ����G �� �7������767���� ��FRX �767���� ��WZ����IR � �� 767����
����������������������������������G�����G�� 767����������G�����G�� WZ�� �
��������GR����L� ���Q ���
������ ����7�L�� ����G �� �7�L����767�L�� ��FRX �767�L�� ��767�L �����
����������������������������IR �767�L���� ��� 767�L����767�L ������
��������FRQWLQXH �
��������7�Q�� ����G �� �7�Q����767�Q�� ��FRX �WH� ��767�Q�����IR � �� 767�Q��
���������������������������������G�����G�� 767�Q����������G�����G�� WH�� �
�
��������WLPH� �WLPH���GW �
��������ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
��������ZULWH��������7�L��L ��Q��� �
��������IRUPDW�����[�H������ �
������FRQWLQXH��� �
�
������UHWXUQ �
������HQG �
241
�
68%5287,1(��67($'<�67$7(�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�67($'<�Q�WZ�WH�IR�FRX�FRHII�GW�7� �
������LQWHJHU�QG�Q�L�LWHU�LWHUP[ �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�7���QG��767���QG��72/'���QG��'���QG��WZ�WH�IR� �
������FRHII�WLPH�GW�PD[GLI�WRO�FRX �
�
������WRO� ����G ���
������LWHUP[� ������ �
������LWHU� �� �
������PD[GLI� �����G� �
������WLPH� ��G� �
�
������WLPH� ��G� �
������LI���PD[GLI�JW�WRO��DQG��LWHU�OW�LWHUP[���WKHQ �
3UHGLFWRU�6WHS� �
��������767����� �7���� ��FRX �7���� ��WZ����IR � �� 7����
���������������������������� G�����G�� 7����������G�����G�� WZ� �
��������GR����L� ���Q ���
����������767�L�� �7�L�� ��FRX �7�L���� ��7�L�����IR �7�L���� ��� 7�L� �
���������������������������������7�L ����� �
��������FRQWLQXH �
��������767�Q��� �7�Q�� ��FRX �WH� ��7�Q�����IR � �� 7�Q��
�������������G� ����G�� 7�Q����������G�����G�� WH� �
�
&RUUHFWRU�6WHS� �
��������7���� ����G �� �7������767���� ��FRX �767���� ��WZ����IR � �� 767����
����������������������������������G�����G�� 767����������G�����G�� WZ�� �
242
��������GR����L� ���Q ���
����������7�L�� ����G �� �7�L����7 67�L�� ��FRX �767�L�� ��767�L �����
����������������������������IR �767�L���� ��� 767�L����767�L ������
��������FRQWLQXH �
��������7�Q�� ����G �� �7�Q����767�Q�� ��FRX �WH� ��767�Q�����IR � �� 767�Q��
���������������������������������G�����G�� 767�Q ����������G�����G�� W H���
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR�&RQVHFXWLYH� �
7LPH�6WHS� �
��������GR����L� ���Q �
����������'�L�� �DEV�7�L�� ��72/'�L�� �
��������FRQWLQXH������� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�3HUFHQWDJH�'LIIHUHQFH �
��������PD[GLI� ��G� �
��������GR�� ��L� ���Q �
����������LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
������������PD[GLI� �'�L� �
����������HQGLI �
��������FRQWLQXH �
��������WLPH� �WLPH���GW �
��������LWHU� �LWHU���� �
��������JR�WR��� �
������HQGLI �
������ZULWH��� ���� �
������ZULWH��� ��7KH�6WHDG\�6WDWH�6ROXWLRQ�LV� �
������ZULWH��������7�L��L ��Q��� �
������IRUPDW�����[�H������ �
������ZULWH��� ���� �
�
243
������LI��LWHUP[�OH�LWHU��WKHQ �
��������ZULWH��� ��7KH�7ROHUDQFH�KDV�QRW�PHW�ZLWK�������QXPEHU�RI �WLPH� �
������VWHSV��,QFUHDVLQJ�WKH�QXPE �HU�RI�WLPH�VWHS�PD\�KHOS�WR�PHHW�WKH�WR �
������OHUDQFH� �
������HOVH �
��������ZULWH��� ��7LPH�5HTXLUHG�WR�$FKLHYH�6WHDG\�6WDWH�:LWKLQ�WKH�5HT �
������XLUHG�$FFXUDF\� ��WLPH��6HF �
������HQGLI �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
244
4(c): 1-D FINITE VOLUME METHOD Adam- Bashforth time stepping - Central Differencing
(Drichlet BC)
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� ��7��W���X�7��[� � .�
�
7��[�
���6�[�� �
�
�
�7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�8167($'<�&219(&7,21 �',))86,21�(48$7,21�
:,7+,1�7+(� �
���'20$,1���[���)25�',5,&+/(7�%281'$5<�&21',7,216�86,1*�),1,7(�
',))(5(1&(�� �
�����������������������������0(7+2'�81,)250�*5,'��������������������������� �
����������������������� ��$GDP�%DVKIRUWK�7LPH�6WHSSLQJ ���������������������� �
����������� ��6WDELOLW\�RI�WKH�0HWKRG�FDQ�EH�6WXGLHG�E\�$SSURSULDWHO\������� �
������� ���������������&RPPHQWLQJ�RXW�WKH�:ULWH�6WDWHPHQWV ������������������ �
�
������������������������������������������������������������������������
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG� Q�
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�SL�WLQ\�DOSKD�O[�G[�GW�WILQDO�IR�YHO�SH�SHJ�FRX �
������SDUDPHWHU�WLQ\ ���G �����
�
�
������SL���� ���� �DWDQ����G��� �
������DOSKD� ����G ���
�
245
�
,QSXWWLQJ�WKH�'DWD �
������ZULWH��� �� (QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�; �GLUHFWLRQ��
F�����UHDG� � ��O[ �
������O[� ����G� �
������ZULWH��� ���/HQJWK�RI�'RPDLQ� �O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�JULG�SRLQWV�LQFOXGLQJ�ERXQGDU\�QRG �
������HV� �
F�����UHDG� � ��Q �
������Q� ��� �
������ZULWH��� �� �Q� ��Q �
������G[� ��O[� ���G����Q ����
������ZULWH��� ���G[� ��G[ �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�9HORFLW\�FRQVWDQW�� �
������UHDG� � ��YHO �
F������YHO� ����G ���
�
%RXQGDU\�&RQGLWLRQV �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7 �%RXQ �
������GDU\� �
F�����UHDG� � ��8��� �
������8���� ��G� �
������ZULWH��� ���8�RQ�/HIW�%RXQGDU\� �8��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
F�����UHDG� � ��8�Q� �
������8�Q�� ��G� �
������ZULWH��� ���8�RQ�5LJK W�%RXQGDU\� �8�Q� �
�
246
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�7LPH�6WHS �
F�����GW� ����G���YHO�G[���� DOSKD�G[ ��������6WDELOLW\�&RQGLWLRQ�IRU�(XOHU �
������GW� ����G���� YHO�G[���� DOSKD�G[ ������6WDELOLW\�&RQGLWLRQ�IRU�$% �
������ZULWH��� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7,0(�67(3� LV��GW�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7LPH�6WHS� �
������UHDG� � ��GW �
�
(QWHU�)LQDO�7LPH� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7,0(�DW�ZKLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������UHDG� � ��WILQDO �
F�����WILQDO� ���� �
������ZULWH��� ���WILQDO� �WILQDO �
������LI��WILQDO�OW�GW ��WKHQ �
���������ZULWH��� ��� )LQDO�7LPH�&DQQRW�EH�/HVV�7KDQ�7LPH�6WHS �
���������VWRS �
������HQGLI� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�)RXULHU�1R���3HFFOHW�1R���*ULG�3HFFOHW�1R���DQG�&RXUDQW�1R� �
������,I��DOSKD�JH�WLQ\��WKHQ �
��������IR� �DOSKD GW�G[ � �
��������ZULWH��� �� �7KH�9DOXHV�RI�*ULG�)RXULHU�1R��LV� �
��������ZULWH��� ��IR �
��������SH�� �YHO O[�DOSKD �
��������SHJ� �YHO G[�DOSKD �
��������ZULWH��� ���7KH�9DOXHV�RI�3HFOHW�1R��DQG�*ULG�3HFOHW�1R��DUH� �
��������ZULWH��� ��SH�SHJ �
������HQGLI �
������FRX� �DEV�YHO� GW�G[ �
������ ZULWH��� ���7KH�9DOXH�RI�&RXUDQW�1R��LV� �
������ZULWH��� ��FRX �
247
�
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������&$//�,1,7,$�Q�G[�SL�8� �
F�����&$//�287387�Q�G[�8� �
�
1XPHULFDO�6ROXWLRQ �
������&$//�75$16�Q�G[�GW�WILQDO�IR�FRX�8� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
F�����&$//�7$1$�Q�G[�GW�DOSKD�WILQDO�SL�8� �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��75$16,(17�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�75$16�Q�G[�GW�WILQDO�IR�FRX�81� �
������LQ WHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�81���QG��813/86���QG��810,186���QG��82/'���QG�� �
������'���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�GW�WLPH�WILQDO�IR�FRX�WRO�PD[GLI �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
&RPSXWDWLRQ�RI�6ROXWLRQ�E\�([SOLFLW�$GDP �%DVKIRUWK�7LPH�0DUFKLQJ �
������WLPH� ��G� �
�
248
�
6WDUW�$GDP�%DVKIRUWK�0HWKRG�ZLWK�(XOHU�7LPH�6WHSSLQJ �
������GR���L� ���Q ���
���������810,186�L�� �81�L� �
������FRQWLQXH �
������LI���WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ �
F���������ZULWH��� ��WLPH�81�Q����� �
���������GR����L� ���Q ���
������������82/'�L�� �81�L� �
(8/(5 �
F�����������813/86�L�� �81�L�� ���FRX���DEV�FRX������G� �81�L� �81�L�����
F������������������������������ ���FRX� ��DEV�FRX������G� �81�L��� �81�L���
F���������� ����������������������IR �81�L ���� �����G� 81�L����81�L���� �
�
������������813/86�L�� �81�L��������G�����G�� � �
������������������������������ ���FRX���DEV�FRX������G� �81�L� �81�L�����
������ ������������������������ ���FRX� ��DEV�FRX������G� �81�L��� �81�L��� �
��������������������������������IR �81�L ���� �����G� 81�L����81�L����� �
������������������������������ ������G�����G�� � �
������������������ ���FRX���DEV�FRX������G� �810,186�L� �810,186�L�����
��� ��������������� ���FRX� ��DEV�FRX������G� �810,186�L��� �810,186�L��� �
��������������������IR �810,186�L ���� �����G� 810,186�L����810,186�L����� �
���������FRQWLQXH �
��������8SGDWLQJ�WKH�6ROXWLRQ �
���������GR����L� ���Q ���
������������810,186�L�� �81�L� �
����������� �81�L�� �813/86�L� �
���������FRQWLQXH��������� �
���������WLPH� �WLPH���GW �
���������JR�WR��� �
249
������HQGLI �
F������ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
�
'HWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�0D[LPXP�'LIIHUHQFH�LQ�WKH�6ROXWLRQ�%HWZHHQ�7ZR �
&RQVHFXWLYH�7LPH�6WHS �
������PD[GLI� ��G� �
������GR����L� ���Q ���
���������'�L�� �DEV�81�L�� ��82/'�L�� �
���������LI��'�L��JW�PD[GLI��WKHQ �
������������PD[GLI� �'�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������WRO� ����G ���
������LI��PD[GLI�OH�WRO��WKHQ �
��������ZULWH��� ��6WHDG\�VWDWH�KDV�EHHQ�DFKLHYHG�ZLWKLQ�W KH�WROHUDQFH �
������OLPLW��7LPH�UHTXLUHG�IRU�WKLV�LV�WLPH��6HF �
������HOVHLI�PD[GLI�JW�WRO��WKHQ �
F��������ZULWH��� ��6WHDG\�VWDWH�KDV�127�EHHQ�DFKLHYHG� �
������HQGLI �
�
3ULQWLQJ�RXW�WKH�6ROXWLRQ� �
������&$//�287387�Q�G[�813/86� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
250
&&++$$37(37(5�5�����Burger's Equations (Hyperbolic)
251
5(a): 1-D Linear Advection Equation FTS, Upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,
and Godunov Schemes
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�L V�RI�WKH�IRUP� �
�X��W���D�X��[� �� ��
�
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�/,1($5�$'9(&7,21�(48$7,21�:,7+,1�7+(�
'20$,1�� �
��� ���[����%<�),1,7(�',))(5(1&(�0(7+2'��81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(��� � �
����*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�180(5,&$/�$1'�$1$/<7,&$/�
62/87,21���� �
����������������� �6FKHPHV�����(XOHU�)7&6������������������������������� �
������������������������������8SZLQG�6FKHPH���������������������������� �
������������������������������ /D[�)ULHGULFKV�6FKHPH�������������������� �
������������������������������/D[ �:HQGURII�6FKHPH���������������������� �
������������������������������0DF&RUPDFN�0HWKRG������������������������ �
������������������������������*RGXQRY�6FKHPH�������������������� ������� �
�
,QLWLDO�'DWD� �
��8� �������LI���[�� �
��8� ��� �[��LI�����[��� �
��8� �������LI���[!�� �
������������������������������������������������������������������������
������SURJUDP�S J��
������LQWHJHU�QG�Q�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG� �
252
������GRXEOHSUHFLVLRQ�D�O[�G[�GW�WILQDO�FRX �
�
�
2SWLRQ�'LIIHUHQW�6FKHPHV �
������ZULWH��� ��6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ���������������� >�@���)7&6�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���8SZLQG�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���/D[�)ULHGULFKV�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���/D[�:HQGURII�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���0DF&RUPDFN�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���*RGXQRY�
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG� �
����������VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
���������VWRS� �
������HQGLI �
�
,QSXWWLQJ�WKH�'DWD �
������ZULWH��� ��(QWHU� WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
F������O[� ��� �
������ZULWH��� ���/HQJWK�RI�'RPDLQ� �O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�JULG�SRLQWV�LQFOXGLQJ�ERXQGDU\�QRG �
������HV� �
������UHDG� � ��Q �
F������Q� ���� �
������ZULWH��� ���Q� �Q �
������G[� ��O[� ���G����Q ����
253
������ZULWH��� ���G[� ��G[ �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�$GYHFWLRQ�9HORFLW\�FRQVWDQW�� �
������UHDG� � ��D �
F������D� ����G� �
������ZULWH��� ���$GYHFWLRQ�9HORFLW\� �D �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9 DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��8��� �
F������8���� ����G� �
������ZULWH��� ���8�RQ�/HIW�%RXQGDU\� �8��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��8�Q� �
F������8�Q�� ��G� �
����� �ZULWH��� ���8�RQ�5LJKW�%RXQGDU\� �8�Q� �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�&RXUDQW�1XPEHU �
������UHDG� � ��FRX �
F������FRX� ����G ���
������ZULWH��� ���&RXUDQW�1R�� �FRX �
�
&DOFXODWLRQ�RI�7LPH�6WHS �
������GW� �FRX G[�D �
������ZULWH��� ���GW� �GW �
�
(QWHU�)LQDO�7LPH� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7,0(�DW�ZKLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������UHDG� � ��WILQDO �
254
F������WILQDO� ����G� �
������ZULWH��� ���WILQDO� �WILQDO �
������LI��WILQDO�OW�GW��WKHQ �
��������ZULWH��� ��� )LQDO�7LPH�&DQQRW�EH�/HVV�7KDQ�7LPH�6WHS �
��������VWRS �
������HQGLI� �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������&$//�,1,7,$�Q�G[�8� �
F������&$//�287387�Q�G[�8� �
�
������&$//�62/9(�Q�D�G[�GW�WILQDO�VHO�8�� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
F������&$//�$1$/<7�Q�O[�G[�D�WILQDO�8� �
������VWRS �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�62 /9(�Q�D�G[�GW�WILQDO�VHO�8��
������LQWHJHU�QG�Q�L�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��835('���QG� �
255
F������83/86���QG��80,186���QG��)���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�D�G[�GW�WLPH�WILQDO �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
&RPSXWDWLRQ�RI�6ROXWL RQ�E\�([SOLFLW�7LPH�0DUFKLQJ �
������WLPH� ��G� �
������LI���WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ �
�
)7&6�
���������LI��VHO�HT����WKHQ �
������������GR����L� ���Q ���
���������������8�L�� �8�L�� ��D GW�G[ �8�L���� ��8�L �����
������������FRQWLQXH �
�
8SZLQG�
���������HOVHLI��VHO�HT ����WKHQ �
������������GR����L� ���Q ���
���������������8�L�� �8�L�� ��GW�����G� G[� ��D�DEV�D�� �8�L� �8�L�����
�������������������������������������������D �DEV�D�� �8�L����8�L����
������������FRQWLQXH �
�
/D[�)ULHGULFKV�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
����������� �GR����L� ���Q ���
���������������8�L�� ��8�L ������8�L��������G� �
���������������������� ��D GW�����G� G[� �8�L���� ��8�L �����
������������FRQWLQXH �
�
/D[�:HQGURII�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
256
�����������3UHGLFWRU�6WHS �
������������GR����L� ���Q ���
����������� ���835('�L�� ��8�L ������8�L������G�� ��D GW�G[ �8�L�� �
����������������������������������������������� ��8�L ��������G��
������������FRQWLQXH �
�����������&RUUHFWRU�6WHS �
������������GR����L� ���Q ���
���������������8�L�� �8�L�� ��D GW�G[ �835('�L���� ��835('�L�� �
��� ���������FRQWLQXH �
�
0DF&RUPDFN�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
�����������3UHGLFWRU�6WHS �
������������GR����L� ���Q ���
��������������835('�L�� �8�L�� ��D GW�G[ �8�L�� ��8�L ����� �
������������FRQWLQXH �
�����������&RUUHFWRU�6WHS �
������������GR����L� ���Q ���
���� �����������8�L�� ��8�L��835('�L������G�� ��D GW�G[ �835('�L��� �
����������������������������������������������� ��835('�L������G� �
������������FRQWLQXH �
�
*RGXQRY�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
���������HQGLI �
���������WLPH� �WLPH���GW �
���������JR�WR��� �
������ HQGLI�
F�����ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
�
257
3ULQWLQJ�RXW�WKH�6ROXWLRQ� �
������&$//�287387�Q�G[�8� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��,1,7,$/�&21',7,216 �
�
������VXEURXWLQH�,1,7,$�Q�G[�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8,��8,� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��[�G[ �
�
'HILQLQJ�)XQFWLRQ�IRU�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������8,��[�� ����G� �
������8,��[�� ��G� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV�IRU�8� �
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��[�OH��G���WKHQ �
�����������8�L�� �8,��[� �
���������HOVHLI��[�JW��G���WKHQ �
�����������8�L�� �8,��[� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
258
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�O[�G[�D�WILQDO�8� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8,��8,��8���QG��8$1/���QG��(���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�O[�[�G[�D�WILQDO�PD[HUU �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WL FDO�6ROXWLRQ �
������8,��[�� ����G� �
������8,��[�� ��G� �
����� �
������(���� ��G� �
������(�Q�� ��G� �
�
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��[�OH��D WILQDO���WKHQ �
�����������8$1/�L�� �8,��[� �
���������HOVHLI��[�JW��D WILQDO���WKHQ �
�����������8$1/�L�� �8,��[� �
���������HQGLI �
���������(�L�� ��G� �
���������LI��8$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
�����������(�L�� �DEV�8$1/�L�� ��8�L�� �����G����8$1/�L� �
���������HQGLI �
259
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
F���� ��&$//�287387�Q�G[�8$1/� �
�
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����&$//�287387�Q�G[�(� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������H QGLI�
������FRQWLQXH �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ���7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
�� ����SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��WLQ\�[�G[ �
������SDUDPHWHU��WLQ\ ���G �����
�
260
������ZULWH������[�8 �
������IRUPDW��D��D��� �
������L� ��� �
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��8�L��OW�WLQ\��WKHQ �
�������� ����8�L�� ��G� �
���������HQGLI �
���������ZULWH�������[�8�L� �
������FRQWLQXH �
������IRUPDW�����[�H������ �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
261
6(b): 1-D Non-Linear Advection Equation FTS, Upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,
and Godunov Schemes
7KH�PRGHO�HTXDWLRQ�WR�EH�VROYHG�LV�RI�WKH�IRUP� �
�X��W���X�X��[� �� ��RU�
�X��W�����X
�����[� ��� �
�
�
���7+ ,6�352*5$0�62/9(6�� �'�121/,1($5�%85*(56�(48$7,21�:,7+,1�7+(�
'20$,1�� �
����� ����[����%<�),1,7(�',))(5(1&(�0(7+2'��81,)250�*5,'��$1'�'(7(50,1(���
�
������*/2%$/�(5525�%<�&203$5,1*�7+(�180(5,&$/�$1'�$1$/<7,&$/�
62/87,21���� �
������������������ �6FKHPHV�����(XOHU�)7&6�������������������������������� �
�������������������������������8SZLQG�6FKHPH����������������������������� �
�������������������������������/D[ �)ULHGULFKV�6FKHPH��������������������� �
�������������������������������/D[ �:HQGURII�6FKHPH����������� ������������ �
�������������������������������0DF&RUPDFN�0HWKRG������������������������� �
�������������������������������*RGXQRY�6FKHPH���������������������������� �
�
,QLWLDO�&RQGL WLRQV��,�
��8 ������LI��[�� �
��8 ������LI��[!� �
,QLWLDO�&RQGLWLRQV��,, �
��8� �������LI���[�� �
��8� ��� �[��LI����[��� �
262
��8� �������LI���[!�� �
������������������������������������������������������������������������
������SURJUDP�SJ� �
������LQWHJHU�QG�Q�VHO �
�� ����SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�O[�G[�GW�FRX�WILQDO�XPD[ �
�
2SWLRQ�'LIIHUHQW�6FKHPHV �
������ZULWH��� ��6HOHFW�WKH�$SSURSULDWH�2SWLRQ� �
������ZULWH��� � �
������ZULWH��� ����������������>�@ ���)7&6�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���8SZLQG�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���/D[�)ULHGULFKV�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���/D[�:HQGURII�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���0DF&RUPDFN�
������ZULWH��� ����������������>�@ ���*RGXQRY�
������UHDG� � ��VHO �
������LI���VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG��VHO�QH����DQG� �
����������VHO�QH����DQG��VHO�QH�����WKHQ �
���������ZULWH��� ��� 1RQ�$FFHSWDEOH�(QWU\ �
���������VWRS� �
������HQGLI �
�
,QSXWWLQJ�WKH�'DWD �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�/HQJWK�RI�'RPDLQ�LQ�; �GLUHFWLRQ��
������UHDG� � ��O[ �
F������O[� ��� �
������ZULWH��� ���/HQJWK�RI�'RPDLQ� �O[ �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�1XPEHU�RI�JULG�SRLQWV�LQFOXGLQJ�ERXQGDU\�QRG �
263
������HV� �
������UHDG� � ��Q �
F������Q� ���� �
������ZULWH��� ���Q� ��Q �
������G[� ��O[� ���G����Q ����
������ZULWH��� ���G[� ��G[ �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW�9DULDEOH�DW�WKH�/()7�%RXQ �
������GDU\� �
������UHDG� � ��8��� �
F������8���� � ����G��
������ZULWH��� ���8�RQ�/HIW�%RXQGDU\� �8��� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�RI�'HSHQGHQW� 9DULDEOH�DW�WKH�5,*+7�%RX �
������QGDU\� �
������UHDG� � ��8�Q� �
F������8�Q�� � ����G��
������ZULWH��� ���8�RQ�5LJKW�%RXQGDU\� �8�Q� �
�
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�9DOXH�&RXUDQW�1XPEHU �
������UHDG� � ��FRX� �
F������FRX� ����G ���
������ZULWH��� ���&RXUDQW�1R�� � FRX�
�
&DOFXODWLRQ�RI�0D[LPXP�$EVROXWH�9HORFLW\ �
������LI��DEV�8�����JW�DEV�8�Q����WKHQ �
���������XPD[� �DEV�8���� �
������HOVH �
���������XPD[� �DEV�8�Q�� �
������HQGLI �
�
264
&DOFXODWLRQ�RI�7LPH�6WHS �
������GW� �FRX G[�XPD[ �
������ZULWH��� ���GW� �GW �
�
(QWHU�)LQDO� 7LPH� �
������ZULWH��� ��(QWHU�WKH�7,0(�DW�ZKLFK�WKH�6ROXWLRQ�LV�5HTXLUHG �
������UHDG� � ��WILQDO �
F������WILQDO� ����G� �
������ZULWH��� ���WILQDO� �WILQDO �
������LI��WILQDO�OW�GW��WKHQ �
��������ZULWH��� ��� )LQDO�7LPH�&DQQRW�EH�/HVV�7KDQ�7LPH�6WHS �
������� �VWRS �
������HQGLI� �
�
������RSHQ�XQLW ��ILOH F�RXW� �
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������&$//�,1,7,$�Q�G[�8� �
F������&$//�287387�Q�G[�8� �
�
������&$//�62/9(�Q�G[�GW�WILQDO�VHO�8�� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�DQG���*OREDO�(UURU �
1RWH��,I�DQDO\WLFDO�VROXWLRQ�LV�NQRZQ��WKH�FRPPHQW�FDQ�EH�UHPRYHG�IURP� �
������WKH�&$//�VWDWHPHQW�EHORZ� �
�
F������&$//�$1$/<7�Q�O[�G[�WILQDO�8� �
������VWRS �
������HQG �
�
265
68%5287,1(��62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�62/9(�Q�G[�GW�W ILQDO�VHO�8��
������LQWHJHU�QG�Q�L�VHO �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��835('���QG��83/86���QG��80,186���QG�� �
������81(:���QG��)/8;���QG��)���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�G[�GW�WLPH�WILQDO�XWHPS �
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
&RPSXWDWLRQ�RI�6ROXWLRQ�E\�([SOLFLW�7LPH�0DUFKLQJ �
������WLPH� ��G� �
������LI���WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ �
�
)7&6�
���������LI��VHO�HT����WKHQ �
�����������GR����L� ���Q ���
�������������8�L�� �8�L�� ���GW�G[� ��8�L��� ������G�� ���8�L� ������G�� �
�����������FRQWLQXH��� �
�
8SZLQG�QRQFRQVHUYDWLYH�
F���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
F������������GR����L� ���Q ���
F��������������81(:�L�� �8�L�� ���GW�G[� ��8�L� ������G�� �
F����������������������������� ��8�L��� ������G��� �
F������������FRQWLQXH��� �
F������������GR����L� ���Q ���
F������� ��������8�L�� �81(:�L�� �
F������������FRQWLQXH��� �
�
266
8SZLQG�FRQVHUYDWLYH�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
�����������LI��8�L��JH��G���WKHQ �
��������������GR����L� ���Q ���
�����������������)/8;�L�� ��8�L� ������G� �
��������������FRQWLQXH �
��������������GR����L� ���Q ���
�����������������8�L�� �8�L�� ���GW�G[� �)/8;�L�� ��)/8;�L ����� �
��������������FRQWLQXH �
�����������HOVHLI��8�L��OW��G���WKHQ �
��������������GR����L� ���Q ���
�����������������)/8;�L�� ��8�L� ������G� �
��������������FRQWLQXH �
��������������GR����L� ���Q ���
�����������������8�L�� �8�L�� ���GW�G[� �)/8;�L���� ��)/8;�L�� �
��������������FRQWLQXH �
�����������HQGLI� �
�
/D[�)ULHGULFKV�QRQFRQVHUYDWLYH�
F���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
F������������GR����L� ���Q ���
F���������������81(:�L�� ��8�L ������8�L��������G�� ��GW����� G� G[�� �
F���������������������������8�L��� ������G�� ���8�L ��� ������G���
F������������FRQWLQXH��� �
F������������GR�����L� ���Q ���
F���������������8�L�� �81(:�L�� �
F������������FRQWLQXH��� �
�
�
�
267
/D[�)ULHGULFKV�FRQVHUYDWLYH�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
���� ��������GR�����L� ���Q ���
���������������)/8;�L�� �G[�����G� GW� �8�L�� ��8�L����� �
�����������������������������8�L��� ������G�����8�L� ������G������G� �
������������FRQWLQXH��� �
������������GR�����L� ���Q ���
���������������8�L�� �8�L�� ���GW�G[� �)/8;�L�� ��)/8;�L�����
������������FRQWLQXH �
�
/D[�:HQGURII�QRQFRQVHUYDWLYH�
F���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
F������������GR�����L� ���Q ���
F��������������81(:�L�� �8�L�� ��GW�����G� G[� ��8�L��� ������G�� ��
F���������������������������������������������������8�L ��� ������G���
F�������������������G �� �GW�G[� � ��8�L������8�L��� � �
F������������������������������������8�L��� ������G�� ���8�L� ������G�� �
F�������������� ���8�L����8�L ����� ���8�L� ������G�� ���8�L ��� ������G����
F������������FRQWLQXH �
F������������GR�����L� ���Q ���
F���������������8�L�� �81(:�L�� �
F������������FRQWLQXH��� �
�
/D[�:HQGURII�FRQVHUYDWLYH�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
������������GR�����L� ���Q ���
���������������XWHPS�� ��8�L����8�L��������G�� ��GW�����G� G[� �
����������������������������� ���8�L��� ��� ���� ���8�L� ������G�� �
���������������)/8;�L�� ��XWHPS ������G� �
������������FRQWLQXH��� �
268
������������GR�����L� ���Q ���
���������������8�L�� �8�L�� ���GW�G[� �)/8;�L�� ��)/8;�L �����
������������FRQWLQXH �
�
0DF&RUPDFN�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
����������� 3UHGLFWRU�6WHS �
������������GR�����L� ���Q ���
���������������835('�L�� �8�L�� ��GW�G[ �8�L� �� ��8�L ��� ������G��
������������FRQWLQXH �
�����������&RUUHFWRU�6WHS �
������������GR�����L� ���Q ���
���������������8�L�� ��8�L��835('�L������G� �
��������������������� ��G W�����G� G[� �835('�L��� �� ��835('�L� ������G� �
������������FRQWLQXH �
�
*RGXQRY�
���������HOVHLI��VHO�HT����WKHQ �
������������GR�����L� ���Q �
��������������83/86�L��� �PD[�8�L���G�� �
��������������80,186�L�� �PLQ�8�L���G�� �
������������FRQWLQXH �
������������GR� ����L� ���Q ���
��������������)�L ���� �PD[����G �� 83/86�L��� �������G �� �80,186�L� ����
��������������)�L���� �PD[����G �� 83/86�L� �������G �� �80,186�L��� ����
��������������8�L���� �8�L�� ��GW�G[ �)�L�� ��)�L �����
������������FRQWLQXH �
���������HQGLI �
�������� �WLPH� �WLPH���GW �
���������JR�WR��� �
269
������HQGLI �
F�����ZULWH��� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
�
3ULQWLQJ�RXW�WKH�6ROXWLRQ� �
������&$//�287387�Q�G[�8� �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��,1,7,$/�&21',7,216 �
�
������VXEUR XWLQH�,1,7,$�Q�G[�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8,��8,� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��[�G[ �
�
'HILQLQJ�)XQFWLRQ�IRU�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������8,��[�� � ����G��
������8,��[�� � ����G��
�
6HWWLQJ�XS�,QLWLDO�&RQGLWLRQ V�IRU�8� �
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��[�OH��G���WKHQ �
�����������8�L�� �8,��[� �
���������HOVHLI��[�JW��G���WKHQ �
�����������8�L�� �8,��[� �
���������HQGLI �
270
������FRQWLQXH �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
68%5287,1(��$1$/<7,&$/�62/87,21 �
�
������VXEURXWLQH�$1$/<7�Q�O[�G[�WILQDO�8� �
������LQWHJHU�QG�L�Q �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8,��8,� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��8$1/���QG��(���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�HSV�O[�[�G[�D�W ILQDO�PD[HUU�
������SDUDPHWHU��HSV ���G ����
�
'HILQLQJ�WKH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ �
������8,��[�� � ����G��
������8,��[�� � ����G��
����� �
������(���� ��G� �
������(�Q�� ��G� �
�
&DOFXODWLRQ�RI�6KRFN�6SHHG �
������D� ��8������8�Q������G� �
�
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��[�OH��D WILQDO���WKHQ �
�����������8$1/�L�� �8,��[� �
271
���������HOVHLI��[�JW��D WILQDO���WKHQ �
�����������8$1/�L�� �8,��[� �
���������HQGLI �
���������(�L�� ��G� �
���������LI��8$1/�L��JW�HSV��WKHQ �
�����������(�L�� �DEV�8$1/�L�� ��8�L�� ���G����8$1/�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
�
������ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�$QDO\WLFDO�6ROXWLRQ�LV� �
F������&$//�287387�Q�G[�8$1/� �
�
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ��7KH�*OREDO�(UURU� �
F�����&$//�287387�Q�G[�(� �
&DOFXODWLRQ�RI�0D[ LPXP�*OREDO�(UURU �
������PD[HUU� ��G� �
������GR����L� ���Q �
���������LI��(�L��JW�PD[HUU��WKHQ �
������������PD[HUU� �(�L� �
���������HQGLI �
������FRQWLQXH �
F�����ZULWH��� �� �
F�����ZULWH��� ���7KH�0D[LPXP���*OREDO�(UURU�LV���PD[HUU �
������UHWXUQ �
������HQG �
�
�
�
272
68%5287,1(��287387 �
�
������VXEURXWLQH�287387�Q�G[�8� �
������LQWHJHU�QG�Q�L �
������SDUDPHWHU��QG ����� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8���QG��WLQ\�[�G[ �
������SDUDPHWHU��WLQ\ ���G �����
�
������ZULWH������[�8 �
���� ��IRUPDW��D��D��� �
������L� ��� �
������[� � ����G��
������GR����L� ���Q �
���������[� �[���G[ �
���������LI��DEV�8�L���OW�WLQ\��WKHQ �
������������8�L�� ��G� �
���������HQGLI �
���������ZULWH�������[�8�L� �
������FRQWLQXH �
������IRUPDW�����[�H������ �
������UHWXUQ �
������ HQG�
�
�
�
273
&&++$$37(37(5�5�����Navier-Stoke's Equation
274
6:NAVIER-STOKE’S EQUATION (MAC Method)
• 7KH�FRGH�LV�ZULWWHQ�WR�1DYLHU �6WRNHV�HTXDWLRQ�IRU�WZR �GLPHQVLRQDO��
XQVWHDG\��LQFRPSUHVVLEOH��ODPLQDU�IORZV�LQ�D�UHFWDQJXODU�GRPDLQ� �
• )OXLG�SURSHUWLHV�DUH�DVVXPHG�WR�EH�FRQVWDQW� �
• $�ILQLWH�YROXPH�VWDJJHUHG�JULG��0$&��LV�XVHG�IRU�VWRULQJ�YHORFLW\�DQG�
SUHVVXUH�YDULDEOHV� �
• ([SOLFLW�WLPH�PDUFKLQJ��IRUZDUG�(XOHU��LV�XVHG�IRU�DGYDQFLQJ�WKH�YH ORFLWLHV�
LQ�WLPH�� �
• %RWK�VWHDG\�VWDWH�DQG�WUDQVLHQW�SUREOHP�FDQ�EH�KDQGOHG�� ��
�
��7+,6�352*5$0�62/9(6�� �'�,1&2035(66,%/(�1$9,(5 �672.(6�
(48$7,21�:,7+,1�� �
������������������$�5(&7$1*8 /$5�'20$,1�86,1*�0$&�0(7+2'����������������� �
����������������������� �)LQLWH�9ROXPH�)RUPXODWLRQ ����������������������� �
�������������������������6ROYHU���3625�DQG�$',625����������������������� �
�
F������������������������������������������������������������������������ �
������SURJUDP�SJPDF� �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�SDUDPHWHUV�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�UHDOV�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�VROYSDUDP�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�ORJLFDOV�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XLQWBYLQW�LQF �
275
������LQFOXGH�DUUD\V�SVL�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�IBJ�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�SHFOBQRB[�LQF �
������LQWHJHU�P D[LWHUVWG�LWHUVWG�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WROVWG �
������RSHQ�XQLW ���ILOH GDW�LQSXW�GDW�VWDWXV XQNQRZQ� �
������RSHQ�XQLW ���ILOH GDW�RXWSXW�GDW�VWDWXV XQNQRZQ� �
F�
������ZULWH��� ��3URJUDP�UXQQLQJ��3OHDVH�ZDLW���� �
������SL� �� GDWDQ��G�� �
F�
F����IXLG�SU RSHUWLHV�
������UHDG���� ��UKR���GHQVLW\ �
������UHDG���� ��PX����YLVFRVLW\ �
������OUHI� ��G� �
������XUHI� ��G� �
������5H��� �XUHI OUHI UKR�PX �
������ZULWH���� ��7KH�5H\QROGV�1XPEHU�LV��5H �
F�
������UHDG���� ��DO[����DFWXDO�OHQJKW�RI�GRPDLQ�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ�
��� ���UHDG���� ��DO\����DFWXDO�OHQJKW�RI�GRPDLQ�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ�
������O[� �DO[�OUHI �
������O\� �DO\�OUHI �
������UHDG���� ��Q[������HYHQ�QXPEHU�RI�0$,1�&9�LQ�WKH�; �GLUHFWLRQ�
������UHDG���� ��Q\������HYHQ�QXPEHU�RI�0$,1�&9�LQ�WKH�< �GLUHFWLRQ�
������P� �Q[���� �
������Q� �Q\���� �
F�
F����RSWLRQ�IRU�WUDQVLHQW�DQG�VWHDG\�VWDWH�FRQGLWLRQV �
������UHDG���� ��WUDQV �
276
F�
F����RSWLRQ�IRU�ERXQGDU\�DSSUR[LPDWLRQ�RI�IOX[ �
������UHDG���� ��EIOX[RUG �
F�
F����VROYHU�RSWLRQ�IRU�VROXWLRQ�RI�3UHVVXUH �3RLVVRQ�HTXDWLRQ �
������UHDG���� ��VROYHU �
F�
F����RSWLRQ�IRU�SULQWLQJ�RXW�WKH�YDOXHV� �
������UHDG���� ��SULQWDOO �
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�JULG�VL]H �
������G[� ��O[� �����Q[ �
������G\� ��O\� �����Q\ �
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�PD[LPXP�WLPH�VWHS� �
������PD[GW�� �G[�DEV�XUHI� �
������PD[GW�� ��G �� ��G[ � G\ ����G[ ��G\ ��� 5H�
������LI��PD[GW��OW�PD[GW���WKHQ �
���������PD[GW� �PD[GW� �
������HOVH �
���������PD[GW� �PD[GW� �
������HQGLI �
������PD[GW� ��G �� PD[GW�
������ZULWH���� ��7KH�0D[LPXP�$OORZDEOH�7LPH�6WHS�LV��PD[GW �
F�
������UHDG���� ��GW������WLPH �VWHS�
������LI���GW �HSV��JW�PD[GW��WKHQ �
���������ZULWH���� ��7KH�WLPH�VWHS�XVHG�LV�ODUJHU�WKDQ�PD[LPXP�WLPH�VWH� �
������S�DOORZHG� �
���������VWRS �
277
������HQGLI� �
������ZULWH���� ��7KH�WLPH �VWHS�XVHG�LV��GW �
������UHDG���� ��WILQDO�����ILQDO�WLPH�DW�ZKLFK�VROXWLRQ�LV�GHVLUHG �
��� ���UHDG���� ��WROVWG�����FRYHUJHQFH�FULWHULRQ�IRU�VWHDG\ �VWDWH�VROXWLRQ �
F�
������LI��WUDQV��WKHQ �
���������LI��WILQDO�OW�GW��WKHQ �
������������ZULWH���� ��� )LQDO�WLPH�FDQQRW�EH�OHVV�WKDQ�WLPH�VWHS �
������������VWRS �
���������HQGLI �
������HQGLI �
F�
F����SDUDPHW HUV�IRU�VROYHUV �
������UHDG���� ��ZWVRU��������UHOD[DWLRQ�IDFWRU�625 �
������UHDG���� ��WROVRU�������FRQYHUJHQFH�FULWHULRQ�IRU�625 �
������UHDG���� ��ZWDGL��������UHOD[DWLRQ�IDFWRU�$', �
������UHDG���� ��WRODGL�������FRQYHUJHQFH�FULWHULRQ�IRU�$', �
������UHDG���� � �LWHUPD[������PD[LPXP�QXPEHU�RI�LWHUDWLRQ �
F�
F����VHWWLQJ�XS�LQLWLDO�FRQGLWLRQV �
������&$//�,1,7,$/ �
F�
������ZULWH���� � �
������WLPH� �� �
������LI��WUDQV��WKHQ �
���������LI���WLPH�HSV��OW�WILQDO��WKHQ �
������������&$//�70$5&+ �
������������WLPH� �WLPH���GW �
�������� ����JR�WR��� �
���������HQGLI��� �
278
������HOVH �
���������PD[LWHUVWG� ��H� �
���������LWHUVWG���� �� �
���������XPD[GLI���� ��G� �
���������LI���XPD[GLI�JW�WROVWG��DQG��LWHUVWG�OW�PD[LWHUVWG���WKHQ �
������������&$//�70$5&+ �
������������WLPH� �WLPH���GW �
������������LWHUVW G� �LWHUVWG���� �
������������JR�WR��� �
���������HQGLI �
������HQGLI �
F�
F����FKHFN�IRU�FRPSDWLELOLW\�FRQGLWLRQ��QHW�GLYHUJHQFH��PD[�FHOO�3HFOHW �
F����QXPEHU�HWF� �
������&$//�&+(&. �
F�
F����GHWHUPLQDWLRQ�RI�VWUHDP �IXQFWLRQ�
������&$//�675)81&7,21 �
F�
F����SULQWLQJ�RXW�W KH�UHVXOWV �
������&$//�35,17287 �
F�
������VWRS �
������HQG������� �
�
68%5287,1(��75$16,(17�),(/' �
�
������VXEURXWLQH�70$5&+ �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
279
������LQFOXGH�VFDO DUV�UHDOV�LQF�
������LQFOXGH�VFDODUV�ORJLFDOV�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�IBJ�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�FRHII�LQF �
F�
������LQWHJHU�FW �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�G[[�G\\�GWG[�GWG\�GWG[[�GWG\\�WHP��WHP��FPD[�XGLI �
������GRXEOHSUH FLVLRQ�81(:���PG���QG��91(:���PG���QG� �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�WHPS��PG��WHPS��PG� �
F�
F�
������G[[��� �G[ � �
������G\\��� �G\ � �
������GWG[�� �GW�G[ �
������GWG\�� �GW�G\ �
������GWG[[� �GW��5H G[ �� �
������GWG\\� �GW��5H G\ �� �
F�
F����FRQVWXFWLRQ�RI�HOHPHQWV�LQ�W KH�FRHIILFLHQW�PDWUL[�IRU�LQWHULRU�QRGHV �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������$6�L�M�� ��G��G\\ �
���������$1�L�M�� ��G��G\\ �
���������$:�L�M�� ��G��G[[ �
���������$(�L�M�� ��G��G[[ �
���������$3�L�M�� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
������HQG GR�
������HQGGR �
F�
280
F����HVWDEOLVKLQJ�WKH�ERXQGDU\�YDOXHV� �
������&$//�%281'$5< �
F�
F����62/87,21�2)�35(6685(�32,6621�(48$7,21� �
F�
F����FRQVWUXFWLRQ�RI�5+6�IRU�WKH�3UHVVXUH �3RLVVRQ�(TXDWLRQ �
F�
F����LQWHULRU�QRGHV �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������)�L� M���� �8�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
����������������������������������������������������������������M�� �� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������� ����� �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L���M�� �
��������������������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M���� �
���������)�L ���M�� �8�L ���M��
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L���M��8��
������������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
��������������������� ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
��������������������GWG[[ � 8�L���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
��������������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
���������*�L�M���� �9�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9�L� �
��������������������������������������������������������������M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M�� ���� 9�L�M����9�L���M�� �
281
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
���������*�L�M ���� �9�L�M ����
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
�������������������� ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9 �L�M����9�
�����������������������������������������������������������L�M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
���������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
�������������������������������������������������������������� �����G\��
������HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����PRGLILFDWLRQ�RI�5+6�YHFWRU�IRU�ERXQGDU\�QRGHV �
F��������� �
F����:(67� �
������FW� �� �
������L�� �� �
������GR�M� ���Q ���
���������FW� �FW��� ��
���������WHPS��FW�� �9�L ���M��
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������9�L ���M�� �� 9�L ���M��9�L�M��
���������HOVH �
������������9�L ���M�� ��� 9�L ���M��� 9�L�M��9�L���M������
���������HQGLI �
���������WHPS��FW�� �9�L ���M����
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������9�L ���M���� �� 9�L ���M����9�L�M����
���������HOVH �
282
������������9�L ���M���� ��� 9�L ���M����� 9�L�M����9�L���M��������
���������HQGLI �
���������)�L�M���� �8�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
�������������� ��������������������������������������������������M�� �� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L� ��M���
��������������������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M���� �
���������)�L ���M�� �8�L ���M��
���������*�L�M���� �9�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9�L� �
��������������������������������������������������������������M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M�� ���� 9�L�M����9�L���M�� �
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
���������*�L�M ���� �9�L�M ����
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
������������������ ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9�L�M ����9�
����������������������������������������������������������L�M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
���������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[���� *�L�M�� ��*�L�M �
��������������������������������������������������������������� �����G\��
���������9�L ���M���� �WHPS��FW� �
���������9�L ���M���� �WHPS��FW� �
���������$:�L�M����� �� �
���������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
283
������HQGGR �
F����( $67��
������FW� �� �
������L�� �P ���������� �
������GR�M� ���Q ���
���������FW� �FW���� �
���������WHPS��FW�� �9�L���M� �
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������9�L���M�� �� 9�L���M� �9�L�M��
���������HOVH �
������������9�L���M�� ��� 9�L���M� �� 9�L�M��9�L���M������
���������HQGLI �
���������WHPS��FW�� �9�L���M ����
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������9�L���M ���� �� 9�L���M ����9�L�M����
���������HOVH �
������������9�L���M ���� ��� 9�L���M ����� 9�L�M����9�L���M��������
���������HQGLI �
���������)�L�M���� �8�L�M�� �
������� ��)�L ���M�� �8�L ���M��
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L ���M��8��
������������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
����������������� ���� ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
��������������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
���������*�L�M���� �9�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M��� � �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9�L� �
284
��������������������������������������������������������������M ���� ���
��������������� �����GWG[[ �9�L ���M�� ���� 9�L�M����9�L���M�� �
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
���������*�L�M ���� �9�L�M ����
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
�������������������� ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9�L�M ����9�
�����������������������������������������������������������L�M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
��������������������GWG\\ � 9�L�M���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
���������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
��������������������������������������������������������������� �����G\��
���������9�L���M���� �WHPS��FW� �
���������9�L���M ���� �WHPS��FW� �
���������$(�L�M� ���� �� �
���������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
������HQGGR �
F����6287+� �
������FW� �� �
������M�� �� �
������GR�L� ���P ���
���������FW� �FW���� �
���������WHPS��FW�� �8�L�M ����
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������8�L�M ���� �� 8�L�M ����8�L�M��
���������HOVH �
������������8�L�M ���� ��� 8�L�M ����� 8�L�M��8�L�M��������
���������HQGLI �
���������WHPS��FW�� �8�L ���M����
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
285
������������8�L ���M���� �� 8�L ���M����8�L���M��
���������HOVH �
������������8�L ���M���� ��� 8�L ���M����� 8�L���M��8�L���M��������
���������HQGLI �
���������)�L�M���� �8�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
����������������������������������������������������������������M�� �� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L���M�� �
��������������������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M���� �
���������)�L ���M�� �8�L ���M��
�� ���������������� ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L ���M��8��
������������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
��������������������� ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
��������������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
���������*�L�M���� �9�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9�L� �
��������������������������������������������������������������M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M�� ��� � 9�L�M����9�L���M�� �
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
���������*�L�M ���� �9�L�M ����
���������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
��������������������������������������������������������������� �����G\��
��� ������8�L�M ������ �WHPS��FW� �
���������8�L ���M���� �WHPS��FW� �
286
���������$6�L�M����� �� �
���������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
������HQGGR �
F����1257+� �
������FW� �� �
������M�� �Q ���
������GR�L� ���P ���
���������FW� �FW���� �
���������WHPS��F W�� �8�L�M��� �
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������8�L�M���� �� 8�L�M��� �8�L�M��
���������HOVH �
������������8�L�M���� ��� 8�L�M��� �� 8�L�M��8�L�M��������
���������HQGLI �
���������WHPS��FW�� �8�L ���M����
���������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
������������8�L ���M���� �� 8�L ���M����8�L���M��
���������HOVH �
������������8�L ���M���� ��� 8�L ���M����� 8�L���M��8�L���M��������
���������HQGLI �
���������)�L�M���� �8�L�M�� �
������������������ ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
�������������������������������� ��������������������������������M�� �� �
������������������ ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
������������������������������ �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L���M�� �
������������ ��������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M���� �
���������)�L ���M�� �8�L ���M��
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L ���M��8��
������������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
287
������������������ ��GWG\ ����� �8� L���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
��������������������� ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
��������������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
��������������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
���������*�L�M���� � 9�L�M�� �
���������*�L�M ���� �9�L�M ����
������������������ ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
�������������������� ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
������������������ ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9�L�M ����9�
����� ������������������������������������������������������L�M ���� ���
��������������������GWG[[ �9�L ���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
��������������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
���������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
��������������������������������������������������������������� �����G\��
���������8�L�M������ �WHPS��FW� �
���������8�L ���M���� �WHPS��FW� �
���������$1�L�M����� �� �
���������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
������HQGGR �
F����PRGLILFDW LRQ�RI�5+6�WHUP�IRU�FRUQHU�QRGHV �
F����6287+ �:(67�
������L� �� �
������M� �� �
������WHP�� �8�L�M ����
������WHP�� �9�L ���M��
������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
���������8�L�M ���� �� 8�L�M ����8�L�M��
���������9�L ���M�� �� 9�L ���M��9�L�M��
������HOVH �
���������8�L�M ���� ��� 8�L�M����� 8�L�M��8�L�M��������
288
���������9�L ���M�� ��� 9�L ���M��� 9�L�M��9�L���M������
������HQGLI �
������)�L�M���� �8�L�M�� �
��������������� ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
��������������������������������������������������������������M� � ���
��������������� ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
��������������������������� �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
�����������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L���M�� �
�����������������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M��� ��
������)�L ���M�� �8�L ���M��
������*�L�M���� �9�L�M�� �
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
��������������������������� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
��������������� ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9 �L��
�����������������������������������������������������������M ���� ���
�����������������GWG[[ �9�L ���M�� ���� 9�L�M����9�L���M�� �
�����������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
������*�L�M ���� �9�L�M ����
������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
����������������������������������������������������������� �����G\��
������8�L�M ���� �WHP� �
������9�L ���M�� �WHP� �
������$6�L�M��� �� �
������$:�L�M��� �� �
������$3�L�M��� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
F����6287+ �($67�
������L � �P ���
������M� �� �
������WHP�� �8�L ���M����
������WHP�� �9�L���M� �
289
������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
���������8�L ���M���� �� 8�L ���M����8�L���M��
���������9�L���M���� �� 9�L���M� �9�L�M��
������HOVH �
���������8�L ���M���� ��� 8�L ���M����� 8�L���M��8�L���M��������
���� �����9�L���M���� ��� 9�L���M� �� 9�L�M��9�L���M������
������HQGLI �
������)�L�M���� �8�L�M�� �
������)�L ���M�� �8�L ���M��
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L ���M��8��
���������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
�� ������������� ��GWG\ ����� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
������������������ ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
�����������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
�����������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
������*�L�M���� �9�L�M�� �
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
��������������������������� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L�M��9�L���M����
��������������� ��GWG\ ����� �9�L�M����9�L�M�� �� ������ �9�L�M��9�L� �
������������������������ �����������������������������������M ���� ���
�����������������GWG[[ �9�L ���M�� ���� 9�L�M����9�L���M�� �
�����������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M����9�L�M���� �
������*�L�M ���� �9�L�M ����
������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
��� ��������������������������������������������������������� �����G\��
������8�L ���M���� �WHP� �
������9�L���M���� �WHP� �
������$6�L�M����� �� �
������$(�L�M����� �� �
������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
290
F����1257+ �:(67�
������L� �� �
������M� �Q ���
������WHP�� �8�L�M��� �
������WHP�� �9�L ���M����
������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
���������8�L�M������ �� 8�L�M� �8�L�M��
���������9�L�M ������ �� 9�L�M ����9�L�M����
���������8�L�M������ �� 8�L�M��� �8�L�M��
���������9�L ���M���� �� 9�L ���M����9�L�M����
������HOVH �
��� ������8�L�M������ ��� 8�L�M� �� 8�L�M��8�L�M������
���������9�L�M ������ ��� 9�L�M ����� 9�L�M����9�L�M��������
���������8�L�M������ ��� 8�L�M��� �� 8�L�M��8�L�M��������
���������9�L ���M���� ��� 9�L ���M����� 9�L�M����9�L���M��������
������HQGLI �
������)�L�M���� �8� L�M�� �
��������������� ��GWG[ ����� �8�L���M��8�L�M�� �� ������ �8�L�M��8�L ��
�������������������������������������������������������������M�� �� �
��������������� ��GWG\ ����� �8�L�M��8�L�M���� �9�L�M��9�L���M��� ���� �
��������������������������� �8�L�M��8�L�M ���� �9�L�M����9�L���M������
�����������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L�M����8�L���M�� �
�����������������GWG\\ �8�L�M ���� ���� 8�L�M����8�L�M���� �
������)�L ���M�� �8�L ���M��
������*�L�M���� �9�L�M�� �
������*�L�M ���� �9�L�M ����
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
��������������� ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
��������������� ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9�L�M ����9�
��������������������������������������������������������L�M ���� ���
291
�����������������GWG[[ � 9�L���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
�����������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
����������������������������������������������������������� �����G\��
������8�L�M������ �WHP� �
������9�L ���M���� �WHP� �
������$1�L�M����� �� �
������$:�L�M����� �� �
������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
F����1257+ �($67�
������L� �P ���
������M� �Q ���
������WHP�� �8�L ���M����
������WHP�� �9�L���M ����
������LI��EIOX[RUG�HT����WKHQ �
�������� �8�L ���M���� �� 8�L ���M����8�L���M��
���������9�L���M ���� �� 9�L���M ����9�L�M����
������HOVH �
���������8�L ���M���� ��� 8�L ���M����� 8�L���M��8�L���M��������
���������9�L���M ���� ��� 9�L���M ����� 9�L�M����9�L���M��������
������HQGLI �
������)�L�M���� �8�L�M�� �
���� ��)�L ���M�� �8�L ���M��
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M��8�L ���M�� �� ������ �8�L ���M��8��
��������������������������������������������������������L ���M�� ��� �
��������������� ��GWG\ ����� �8�L ���M��8�L���M���� �9�L���M��9�L�M��� �
������������������ ����� �8�L���M��8�L���M���� �9�L���M����9�L�M������
�����������������GWG[[ �8�L ���M�� ���� 8�L ���M����8�L�M�� �
�����������������GWG\\ �8�L ���M���� ���� 8�L ���M����8�L ���M�����
������*�L�M���� �9�L�M�� �
292
������*�L�M ���� �9�L�M ����
��������������� ��GWG[ ����� �8�L�M ����8�L�M�� �9�L�M����9�L���M����� �
����������������� ����� �8�L���M����8�L���M�� �9�L�M����9�L���M������
��������������� ��GWG\ ����� �9�L�M��9�L�M ���� �� ������ �9�L�M ����9�
���������������������������������������������������������L�M ���� ���
�����������������GWG[[ �9 �L���M���� ���� 9�L�M ������9�L���M �����
�����������������GWG\\ �9�L�M ���� ���� 9�L�M ������9�L�M�� �
������&�L�M���� ������GW� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �
����������������������������������������������������������� �����G\��
������8�L ���M���� �WHP� �
������9�L���M ���� �WHP� �
������$1�L�M����� �� �
������$(�L�M����� �� �
������$3�L�M����� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
F�
������&$//�QRUPLQI���P �����Q���&�FPD[��
������ZULWH���� ��FPD[�FPD[ �
F�
F����VROXWLRQ�RI�3UHVVXUH �3RLVVRQ�(TXDWLRQ� �
������LI��VRO YHU�HT����WKHQ��������625 �
���������&$//�625�'�WILQDO�WLPH�GW�3U� �
������HOVHLI��VROYHU�HT����WKHQ���$', �
���������&$//�$',625�WILQDO�WLPH�GW�3U� �
������HQGLI �
F����FDOFXODWLRQ�RI�8�DQG�9�YHORFLWLHV�DW�Q���WLPH�OHYHO �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
������ ���81(:�L�M��� �)�L�M�� ��GWG[ �3U�L���M�� ��3U�L�M�� �
������HQGGR �
������HQGGR �
293
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������91(:�L�M��� �*�L�M�� ��GWG\ �3U�L�M���� ��3U�L�M�� �
������HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����FRQYHUJHV�FKHFN�IRU�VWHDG\ �VWDWH�
������LI���QRW�WUDQV ��WKHQ �
� ���XPD[GLI� �� �
� ���GR�M� ���Q ���
���������GR�L� ���P ���
������������XGLI� �81(:�L�M�� ��8�L�M� �
������������LI��DEV�XGLI��JW�XPD[GLI��WKHQ �
���������������XPD[GLI� �XGLI �
������������HQGLI �
���������HQGGR �
���������HQGGR �
������HQGLI �
F�
F����XSGDWLQJ�WKH�YHO RFLW\�DW�QHZ�WLPH�OHYHO� �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������8�L�M�� �81(:�L�M� �
������HQGGR �
������HQGGR �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������9�L�M�� �91(:�L�M� �
������HQGGR �
������HQGGR �
294
F�
������UHWXUQ �
������HQG �
F�
�
F�
������VXEURXWLQH�675)81&7,21 �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�UHDOV�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XLQWBYLQW�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�SVL�LQF �
������LQFOXGH �DUUD\V�FRHII�LQF �
F�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�'36,���PG���QG��20(*$���PG���QG� �
������ORJLFDO�PHWKRG� �
F�
F����FDOFXODLRQ�RI�YHORFLW\�DW�WKH�YHUWLFHV�RI�PDLQ�&9�E\�LQWHUSRODWLRQ �
F�
F����FRUQHU�ERXQGDU\�QRGHV �
������8,17��������� �8����� �
������9,17��������� �9���� ��
������8,17�P ������� �8�P ������
������9,17�P ������� �9�P��� �
F�
������8,17���Q ������ �8���Q� �
������9,17���Q ������ �9���Q ����
������8,17�P ���Q���� �8�P ���Q��
������9,17�P ���Q���� �9�P�Q ����
295
F�
F����6RXWK�DQG�1RUWK�ERXQGDULHV �
������GR�L� ���P ���
���������8,17�L���� �� �8�L��� �
���������8,17�L�Q ���� �8�L�Q� �
���������9,17�L������ ��9�L��������9�L�������� �
���������9,17�L�Q ���� ��9�L�Q ������9�L���Q �������
������HQGGR �
F����:HVW�DQG�(DVW�ERXQGDULHV �
������GR�M� ���Q ���
���������8,17���M���� ��8���M������8���M������ �
���������8, 17�P���M�� ��8�P ���M����8�P ���M�������
���������9,17���M���� �9���M� �
���������9,17�P ���M�� �9�P�M� �
������HQGGR �
F�
F����LQWHULRU�QRGHV �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������8,17�L�M�� ��8�L�M���8�L�M������ �
���������9,17�L�M�� ��9�L�M���9�L���M���� �
�� ����HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����675($0�)81&7,21���LW�LV�GHILQHG�DW�WKH�YHUWLFHV�RI�PDLQ�&9�� �
F����LQLWLDOL]DWLRQ�RI�YDOXHV�RI�VWUHDP�IXQFWLRQ�DW�WKH�ERXQGDULHV �
������GR�L� ���P ���
���������36,�L������ �� �
���������36,�L�Q ���� �� �
������HQGGR �
296
F�
������GR�M� ���Q ���
���������36,���M���� �� �
���������36,�P ���M�� �� �
������HQGGR �
F�
F����� �
������PHWKRG�� ��IDOVH� �
������LI��PHWKRG���WKHQ �
F�
F����GHWHUPLQDWLRQ�RI�FKDQJH�LQ�VWUHDP�IXQFWLRQ�DW�LQWHULRU�QRGHV �
��������GR�M� ���Q ���
��������GR�L� ���P ���
�����������'36,�L�M�� � �9,17�L�M� G[���8,17�L�M� G\ �
��������HQGGR �
��������HQGGR �
F�
F����GHWHUPLQDWLRQ�RI�VWUHDP�IXQFWLRQ �
��������GR�M� ���Q ���
��������GR�L� ���P ���
�����������36,�L�M�� �36,�L ���M�������'36,�L ���M������'36,�L�M���� �
��������HQGGR �
��������HQGGR �
F�
������HOVH �
F�
F����GHWHUPL QDWLRQ�RI�VWUHDP�IXQFWLRQ�E\�VROYLQJ�WKH�3RLVVRQ�HTXDWLRQ�IRU�VWUHDP�
IXQFWLRQ�
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�YRUWLFLW\�DW�YHUWLFHV�RI�PDLQ�&9� �
297
��������GR�M� ���Q ���
��������GR�L� ���P ���
�����������20(*$�L�M�� ���9,17�L���M�� ��9,17�L ���M����� G[��
�������������������� ��� ���8,17�L�M���� ��8,17�L�M ������� G\��
��������HQGGR �
��������HQGGR �
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�FRHIILFLHQWV �
��������GR�M� ���Q ���
��������GR�L� ���P ���
�����������$6�L�M�� ��G��G\ � �
�����������$1�L�M�� ��G��G\ � �
�����������$:�L�M�� ��G��G[ � �
�����������$(�L�M� � ��G��G[ � �
�����������$3�L�M�� � ��$:�L�M����$(�L�M����$6�L�M����$1�L�M�� �
� �����&�L�M��� � �20(*$�L�M��
��������HQGGR �
��������HQGGR �
F�
F����PRGLILFDWLRQ�IRU�QRGHV�DGMDFHQW�WR�ERXQGDU\ �
F����VRXWK �
��������GR�L� ���P ���
� �����&�L����� �&�L���� ��$6�L��� 36,�L��� �
� �����$6�L���� �� �
� ��HQGGR �
F����QRUWK �
��������GR�L� ���P ���
� �����&�L�Q ����� �&�L�Q ���� ��$1�L�Q ��� 36,�L�Q����
� �����$1�L�Q ���� �� �
� ��HQGGR �
298
F����ZHVW �
��������GR�M� ���Q ���
� �����&���M��� �&���M�� ��$:���M� 36,���M� �
� �����$:���M�� �� �
� ��HQGGR �
F����HDVW �
�������� GR�M� ���Q ���
� �����&�P ���M��� �&�P ���M�� ��$(�P���M� 36,�P���M��
� �����$(�P ���M�� �� �
� ��HQGGR �
F�
F����FRUQHU�QRGHV �
��������&��������� �&�������� ��$6����� 36,������ �
����������������������������� ��$:����� 36,����� �
��������&�P ������� �&�P ������ ��$6�P����� 36,�P������ �
������ � ������������������� ��$(�P����� 36,�P������
��������&���Q ����� �&���Q ���� ��$1���Q ��� 36,���Q���� �
����������������������������� ��$:���Q ��� 36,���Q����
��������&�P ���Q��� �&�P ���Q���� ��$1�P���Q��� 36,�P���Q���� �
������������������������������� ��$(�P���Q��� 36,�P���Q����
� ��$6���������� �� �
� ��$:���������� �� �
��������$6�P �������� �� �
��������$(�P �������� �� �
��������$1���Q ������ �� �
��������$:���Q ������ �� �
��������$1�P ���Q���� �� �
��������$(�P ���Q���� �� �
F�
F����LQLWLDOL]DWLRQ�RI�VWUHDP�IXQFWLRQ�IRU�LQWHULRU �QRGHV �
299
��������GR�M� ���Q ���
��������GR�L� ���P ���
�����������36,�L�M�� �� �
��������HQGGR �
��������HQGGR �
F�
F����VROXWLRQ�RI�6WUHDP�IXQFWLRQ�(TXDWLRQ� �
F����QR�RI�GLVFUHW]HG�HTXDWLRQ�LV�RQO\����P ���[���Q����
��������P� �P ���
��������Q� �Q ���
��������&$//�625�'�WILQ DO�WLPH�GW�36,��
��������P� �P�� �
��������Q� �Q�� �
F�
������HQGLI �
F�
������UHWXUQ �
������HQG �
F�
F�
������VXEURXWLQH�&+(&. �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�UHDOV�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
������LQFOX GH�DUUD\V�SHFOBQRB[�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�IBJ�LQF �
F�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�VXP�WHUP�T�QHWGLY�QRUPGLY �
F�
300
������ZULWH���� � �
������ZULWH���� �� �
������ �
F����FDOFXODWLRQ�RI�VXP�R I�5+6��IRU�FKHFNLQJ�WKH�FRPSDWLELOLW\�FRQGLWLRQ� �
������VXP� �� �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
� ���WHUP� ��)�L�M�� ��)�L ���M���G[����*�L�M�� ��*�L�M �����G\�
���������VXP�� �VXP�����G��GW�� �WHUP� �G[ G\ �
������HQGGR �
������HQGGR �
������ZULWH���� � �
������ZU LWH���� ��7KH�7LPH�6WHS�8VHG�LV��GW �
������ZULWH���� ��7LPH� ��WLPH��6HF �
������ZULWH���� ��6XP�RI�5+6�LV��VXP �
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�FHOO�3HFOHW�1R� �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������3(&/;�L�M�� �UKR G[ 8�L�M��PX� �
������HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����FDOFXODWLRQ�RI�QHW�YROXPH�IORZ�UDWH�WKURXJK�ERXQGDULHV� �
������T� �� �
F����6287+ �
������M� �� �
������GR�L� ���P ���
���������T� �T���9�L�M� G[ �
������HQGGR �
301
F����1257+ �
������M� �Q� ��� �
������GR�L� ���P ���
���������T� �T���9�L�M� G[ �
������HQGGR �
������ZULWH��� � ��T��T �
F����:(67 �
������L� �� �
������GR�M� ���Q ��� �
���������T� �T���8�L�M� G\ �
������HQGGR �
F����($67 �
������L� �P� ��� �
������GR�M� ���Q ��� �
���������T� �T���8�L�M� G\ �
������HQGGR �
������ZULWH���� ��7KH�1HW�9ROXPH�)ORZ�5DWH�7KURXJK�%RXQGDULHV��T �
F�
F����FDOFX ODWLRQ�RI�QHW�GLYHUJHQFH�RI�YHORFLW\�DQG �
F����/��QRUP�RI�FHOO �GLYHUJHQFH�
������QHWGLY� �� �
������QRUPGLY� �� �
������GR�M� ���Q ���
������GR�L� ���P ���
���������WHUP� ���8�L�M�� ��8�L ���M�� G\����9�L�M�� ��9�L�M ���� G[���G[ �
��������������������������������������� ����������������������������G\� �
���������QHWGLY�� �QHWGLY���WHUP �
���������QRUPGLY� �QRUPGLY���WHUP � �
������HQGGR �
������HQGGR �
302
������QRUPGLY� �GVTUW�QRUPGLY����P ��� �Q�����
������ZULWH���� ��7KH�1HW�'LYHUJHQFH�RI�9HORFLW\�9HFWRU��QHWGLY �
������ZULWH���� �� 7KH�/��1RUP�RI�&HOO �'LYHUJHQFH��QRUPGLY�
������ZULWH���� � �
������ZULWH���� �� �
������ �
F�
������UHWXUQ �
������HQG �
F�
F�
������VXEURXWLQH�35,17287 �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�UHDOV�LQF �
������LQFOXGH�VFDODUV�ORJLFDOV�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�XLQWBYLQW�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�SHFOBQRB[�LQF �
������LQFOXGH�DUUD\V�SVL�LQF �
F�
������GRXEOHSUHFLVL RQ�[�\ �
F�
������ZULWH���� � �
������LI��SULQWDOO��WKHQ �
���������ZULWH���� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�IRU�3UHVVXUH� �
���������ZULWH���� �����[�������������\������������SU �
���������\� � �G\���
���������GR�M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
303
������������[� � �G[���
�� ����������ZULWH���� � �
������������GR�L� ���P ���
���������������[� �[���G[ �
���������������ZULWH��������[�\�3U�L�M� �
������������HQGGR �
���������HQGGR �
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�IRU�8 �9HORFLW\��
���������ZULWH���� �����[� ������������\������������8 �
���������\� � �G\���
���������GR�M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
������������[� �� �
������������ZULWH���� � �
������������GR�L� ���P ���
���������������[� �[���G[ �
���������������ZULWH��������[�\�8�L�M� �
������������HQGGR �
���������HQGGR �
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�IRU�9 �9HORFLW\��
���������ZULWH���� �����[�������������\������������9 �
���������\� �� �
���������GR�M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
������������[� � �G[���
������������ZULWH���� � �
����������� �GR�L� ���P ���
���������������[� �[���G[ �
304
���������������ZULWH��������[�\�9�L�M� �
������������HQGGR �
���������HQGGR �
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�1XPHULFDO�6ROXWLRQ�IRU�6WUHDP�)XQFWLRQ� �
���������ZULWH���� �����[�������������\�������������36, �
���������\� � �G\�
���������GR�M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
������������[� � �G[�
������������ZULWH���� � �
������������GR�L� ���P ���
���������������[� �[���G[ �
���������������ZULWH��������[�\�36,�L�M� �
������������HQGGR �
���������HQGGR �
���������ZULWH���� � �
�� �������ZULWH���� ��7KH�;�&HOO �3HFOHW�1XPEHU��
���������GR�M� ���Q ���
���������GR�L� ���P ���
������������ZULWH��������3(&/;�L�M� �
���������HQGGR �
���������HQGGR �
F�
������HOVH �
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�QXPHULFDO�VROXWLRQ�IRU�SUHVVXUH�DW�YHUW LFDO�OL �
������QH�� �G[���DZD\�IURP�WKH �
���������ZULWH���� ��FHQWUH�RI�FDYLW\ �
���������ZULWH���� � �
305
���������ZULWH���� �����3U������������\ �
���������L� ��P����� �
���������M� �� �
���������\� �� �
���������ZULWH��������3U�L�M��\ �
���������\� � �G\���
���������GR� M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
������������ZULWH��������3U�L�M��\ �
���������HQGGR �
���������M� �Q �
���������\� �� �
���������ZULWH��������3U�L�M��\ �
F�
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�QXPHULFDO�VROXWLRQ�IRU�8 �YHORFLW\�DW�YHUWLFDO� �
������FHQWUDO�O LQH�
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� �����8�������������\ �
���������L� �P�� �
���������\� � �G\�
���������GR�M� ���Q ���
������������\� �\���G\ �
������������ZULWH��������8,17�L�M��\ �
���������HQGGR �
F�
���������ZULWH���� � �
���������ZULWH���� ��7KH�QXPHULFD O�VROXWLRQ�IRU�9 �YHORFLW\�DW�KRUL]RQWD �
������O�FHQWUDO�OLQH �
���������ZULWH���� � �
306
���������ZULWH���� �����[�������������9 �
���������M� �Q�� �
���������[� � �G[�
���������GR�L� ���P ���
������������[� �[���G[ �
������������ZULWH��������[�9,17�L�M� �
���������HQGGR �
������HQGLI �
������IRUPDW�H������[�H������[�H����� �
F�
F �
F�����SULQWRXW�IRU�0$7/$%�LQSXW�ILOHV �
F�
������ZULWH���� �����[ �FRRUGLQDWHV�� �
������[� � �G[�
������GR�L� ���P ���
���������[� �[���G[ �
���������ZULWH��������[ �
������H QGGR�
F�
������ZULWH���� �����\ �FRRUGLQDWHV�� �
������\� � �G\�
������GR�L� ���Q ���
���������\� �\���G\ �
���������ZULWH��������\ �
������HQGGR �
F�
������ZULWH���� � �
������ZULWH���� �����8� ��YHORFLW\�� �
������ZULWH����������8,17�L�M��L� ���P ����M ��Q����
307
������ZULWH� ��� ��
������ZULWH���� �����9� ��YHORFLW\�� �
������ZULWH����������9,17�L�M��L� ���P ����M ��Q����
������ZULWH���� � �
������ZULWH���� �����VWUHDP�IXQFWLRQ�� �
������ZULWH����������36,�L�M��L� ���P ����M ��Q����
F�����P� �Q[�����PXOWLSOLFDWLRQ�IDFWRU�LQ�IRUPDW���� �� �P ��� �Q[�� �
������IRUPDW����H������[�� �
F�
������UHWXUQ �
������HQG �
�
68%5287,1(��,1,7,$/�&2',7,216 �
�
������VXEURXWLQH�,1,7,$/ �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
� LQFOXGH�VFDO DUV�UHDOV�LQF�
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
F�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�W �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�8,�9,�35, �
F�
F����'HILQLQJ�WKH�,QLWLDO�&RQGLWLRQV �
������LQFOXGH�LF �DQG�EF�LF�LQF�
F�
F����VHWWLQJ�XS�LQLWLDO�FRQGLWLRQV�IRU�8� �
������\� � �G\���
������GR�M� � ��Q���
��������\� �\���G\ �
308
��������[� �� �
��������GR�L� ���P ���
����������[� �[���G[ �
����������8�L�M�� �8,�[�\��� �
��������HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����VHWWLQJ�XS�LQLWLDO�FRQGLWLRQV�IRU�9� �
������\� �� �
������GR�M� ���Q ���
��������\� �\���G\ �
��������[� � �G[���
�������� GR�L� ���P ���
����������[� �[���G[ �
����������9�L�M�� �9,�[�\��� �
��������HQGGR �
������HQGGR �
F�
F����LQLWLDO�JXHVV�IRU�SUHVVXUH�ILHOG �
������\� � �G\���
������GR�M� ���Q ���
��������\� �\���G\ �
��������[� � �G[���
��������GR�L� ���P ���
����������[� �[���G[ �
����������3U� L�M�� �35,�[�\��� �
��������HQGGR �
������HQGGR �
������UHWXUQ �
������HQG �
309
�
68%5287,1(��%281'$5<�&2',7,216 �
�
������VXEURXWLQH�%281'$5< �
������LQFOXGH�DUUD\BGLPHQVLRQ�LQF �
� LQFOXGH�VFDODUV�LQWHJHUV�LQF �
� LQFOXGH�VFDODU V�UHDOV�LQF�
������LQFOXGH�DUUD\V�XBYBSU�LQF �
F�
������GRXEOHSUHFLVLRQ�[�\�W �
������GRXEOHSUHFLVLRQ�%86�%81�%8:�%8(�%96�%91�%9:�%9( �
F�
F����GHILQLQJ�WKH�ERXQGDU\�FRQGLWLRQV �
������LQFOXGH�LF �DQG�EF�EF�LQF�
F�
F����HVWDEOLVKLQJ�WKH�ERXQGDU\�YDOXHV�RI�6287+�ERX QGDU\��
������\� �� �
������M� �� �
F����8 �
������[� �� �
������GR�L� ���P ���
���������[� �[���G[ �
���������8�L�M�� �%86�[�\�WLPH� �
������HQGGR �
F����9 �
������[� � �G[���
������GR�L� ���P ���
���������[� �[���G[ �
���������9�L�M�� �%96�[�\�WLPH� �
������HQGGR �