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PlanIntroduction
Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Comportement temporel des systemes du 1er et
2eme ordre
Thierry CHATEAU
20 mars 2007
Thierry CHATEAU Comportement temporel des systemes du 1er et 2eme ordre
PlanIntroduction
Modeles du premier ordreModeles du second ordre
1 Introduction
2 Modeles du premier ordre
3 Modeles du second ordre
Thierry CHATEAU Comportement temporel des systemes du 1er et 2eme ordre
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Etude des systemes
Comment etudier un systeme ?
1 etude de son comportement devant un signal temporel
une impulsion de diracun echelonune rampe
2 etude de son comportement devant un signal frequentiel(analyse harmonique)
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Modeles du premier et second ordre
Telecommunications,
astronomie,
radar,
controle industriel,
economie,
geologie,
medecine...
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Regis par une equation differentielle d’ordre 12 exemples :
integrateur (1
p)
systeme de la forme (K
1 + τp)
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L’integrateur
u(p) 1/p y(p)
F (p) =y(p)
u(p)=
1
p→
{
py(p) = u(p)y = u
(1)
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Reponse impulsionnelle
F (p) =Y (p)
U(p)si u(t) = aδ(t − t0) =⇒ U(p) = ae−top
d’ou y(p) = a.e−top.1
p
Avec e−top.1
p→ echelon retarde
(2)
y(t) = a.Γ(t − t0) (3)
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reponse indicielle
u(t) = aΓ(t − t0) → U(p) =a
pe−top (4)
y(p) = F (p)U(p)
=1
p.a
pe−top (5)
y(p) =a
p2e−top (6)
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Courbe de la reponse a un echelon
y(t)
t0
t
y0
Sortie
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Systeme de la formeK
1 + τp
Forme temporelle :
τdy
dt+ y = K .u(t)
K : gain statique
τ : constante de temps
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Reponse implulsionnelle
u(t) = δ(t) =⇒ U(p) = 1
F (p) =Y (p)
U(p)=
K
1 + τp=⇒ Y (p) =
K
τ.
1
p + 1/τ
(7)
y(t) =K
τe−t/τ (8)
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Reponse implulsionnelle
τ
y(t)K
τ
K
τ e
t
0
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Reponse indicielle
u(t) = Γ(t), U(p) =1
p
y(p) =1
p.
K
1 + τp=
K
p−
K
p +1
τd’ou y(t) = K (1 − e−t/τ )
(9)
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Reponse indicielle
τ 2τ
y(t)K
0, 87K
0, 66K
t
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Reponse a une rampe
u(t) = a(t − t0), t0 = 0 avec a = 1.
U(p) =1
p2
Y (p) =1
p2.
1
1 + τp= K (
1
p2−
τ
p+
τ
p + 1/τ)
(10)
D’ou y(t) = K (t − τ + τ.e−t/τ ) (11)
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Reponse a une rampe
entrée
sortie
0 τ
τ
e
y(t)
K = 1
t
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Modeles du second ordre
Equation differentielle :
d2y
dt+ 2ξω0
dy
dt+ ω2
0y = kω2
0 .u (12)
Fonction de transfert :
F (p) =k
1 + 2ξ
ω0
p +p2
ω2
0
(13)
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Equation caracteristique
Equation caracteristique sans second membre
F (p) =kω2
0
p2 + 2ξp ω0 + ω2
0
(14)
p2 + 2ξω0p + ω2
0= 0 (15)
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Equation caracteristique
p2 + 2ξω0p + ω2
0= 0 (16)
Si ξ > 1, deux racines reelles
Si ξ = 1, deux racines doubles reelles
Si ξ < 1, deux racines complexes conjuguees
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Reponse indicielle
ξ > 1 : regime aperiodique
y(t) = Aep1t + Bep2t (17)
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Reponse indicielle
ξ = 1 : regime critique
y(t) = Aep1t + Bep1t (18)
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Modeles du premier ordreModeles du second ordre
Reponse indicielle
ξ < 1 : regime pseudo-periodique
y(t) = Aep1t + Bep2t (19)
avec P1 et P2 : racines complexes conjuguees
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