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INTEGRALES DE CAMINO Y LA APROXIMACIN WKB
Barry R, Holstein and Arthur R. Swift
Department of Physics and Astronomy, University of Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003
(Recibido 13 de Febrero 1981, aceptado para publicacin 15 de septiembre 1981)
La aproximacin WKB se demuestra ser formalmente idntica al lmite semiclsico del
propagador de la integral de camino de Feynman. En el lmite que el propagador de la de
integral de camino est dominado por la trayectoria de la partcula clsica, es idntica a la del
propagador calculado directamente a partir de funciones de onda de la aproximacin WKB en
fase estacionaria.
1. INTRODUCCIN
La integral de camino enfocada a la mecnica cuntica ha demostrado ser una tcnica
extraordinariamente til en aplicaciones modernas de la mecnica cuntica de campos. Sin
embargo, excepto por el texto pionero de Feynman y Hibbs1, el tema de las integrales de
camino esta notablemente ausente de los libros estndar de mecnica cuntica2. Los
estudiantes no solo se estn perdiendo un tema importante para su aplicacin en la teora de
campos sino que estn perdiendo tambin un acercamiento a la mecnica cuntica estndar la
cual forma bases tiles para el desarrollo de mtodos de aproximacin. Por ejemplo, hay un
nmero de artculos que derivan de las reglas de cuantizacin de Bohr-Sommerfekd para la
energa de estado-ligado de integrales de camino. Dado que la derivacin estndar de esas
reglas est basada sobre la aproximacin WKB de la ecuacin de Schrodinger, uno es llevado a
buscar una relacin cercana entre el mtodo WKB y una adecuada aproximacin a la integral
de camino.
En este artculo establecemos la identidad formal del mtodo estndar WKB y el formalismo
de la integral de camino en el lmite donde la integral de camino es dominada por la
trayectoria de una partcula clsica movindose bajo la influencia de un potencial
unidimensional V(x). Las pruebas demuestran que el propagador de la integral de camino es
idntico al obtenido directamente de funciones de onda WKB. Es entendido que todas las
integrales son hechas en la aproximacin de fase estacionara. Primero repetimos la derivacin
estndar del propagador de la integral de camino y despus mostramos que el propagador
idntico es derivable de funciones de onda WKB. En el apndice describimos el clculo de las
correcciones cuadrticas al propagador de la integral de camino.
Una vez la identidad de la integral de camino y la aproximacin WKB ha sido establecida, hay
la posibilidad de derivar todos los resultados WKB sin recurrir a las complicaciones inherentes
al derivar y aplicar las frmulas de conexin WKB . La derivacin de las reglas de cuantizacin
de Borh-Sommerfeld es una de tales aplicaciones3, y en un artculo subsecuente mostramos
que los problemas de la barrera de penetracin pueden ser tambin manejados directamente
en el formalismo de la integral de camino.
II. PROPAGADOR DE INTEGRAL DE CAMINO
El resultado bsico que debemos emplear es que la amplitud para una partcula de masa m
para propagarse entre los puntos espacio-tiempo (x1, t1) y (x2,t2) est dada por
La primera forma es la expresin usual en mecnica cuntica
para el propagador de una partcula movindose bajo la influencia de un Hamiltoniano H. La
propiedad definitoria del propagador es que describe la evolucin de una funcin de onda en
el espacio y tiempo:
La segunda forma para D (x1, t1;x2,t2) es la formulacin de la integral de camino. Su justificacin
aparece en el libro por Feynman y Hibbs. La notacin
Implica una sumatoria sobre todos los caminos x(t), el cual empieza en x1 a tiempo t1 y
termina en x2 a tiempo t2. La nica condicin sobre los caminos es que son solo valorados- para
un t dado slo hay un valor de x. Cada camino x(t) es ponderado por un factor de fase
determinado por la accin clsica S asociada con este camino:
En general, por supuesto, no es posible sumar el conjunto no numerable de caminos para
resolver exactamente la ecuacin de Schrdinger. Como es bien conocido, sin embargo, es
posible hacer el clculo exacto para una partcula libre mediante la ruptura del intervalo de
tiempo en pasos finitos de t= , E integrando sobre todo x a cada t.1 El propagador exacto de
una partcula libre as calculado coincide con la forma estndar basada en funcin de ondas.
El asunto peculiar sobre la formulacin de la integral de camino es que todos los caminos
deben ser incluidos. Por otro lado, en el lmite clsico la trayectoria xcl(t) est determinada
por:
Con las condiciones de frontera xcl(t1)=x1, xcl(t2)=x2 , debe ser el nico camino relevante. Slo
para tal camino tiene sentido hablar de energa de una partcula, ya que Eq. (5),
Por lo tanto
Donde E es constante a lo largo del camino. La energa E es una funcin de x2,t2 ;x1, t1 definida
va
Para cualquier camino diferente a xcl(t) el Hamiltoniano clsico no es constante.
El lmite clsico es obtenido en el lmite Para pequeos la fase del exponencial
Cambia extremadamente rpido para incluso un pequeo cambio en el camino x(t). Por lo
tanto la integracin sobre todos los caminos de cambio rpido de fase tender a acabar
contribuciones de todos los caminos excepto aquellos a lo largo de los cuales la accin es
estacionaria- es decir, caminos para los cuales
Para todos Pero,
Ya que todos los caminos empiezan en x1 y terminan en x2, Integrando por partes,
encontramos que:
Con el fin de que este desaparezca para un arbitrario, es necesario que
el camino clsico. Los caminos clsicos son puntos de fase estacionaria en la
integral de camino y como tal dominan la integral en el pequeo lmite .
Si es pequeo, as que el camino clsico domina la integral de camino, es necesario
mantener solo pequeas derivaciones de xcl en la integral de camino y trabajar para orden
cuadrtico en :
[Los trminos lineales desaparecen por Eq. (13). En esta aproximacin la forma de la integral
de camino del propagador se convierte en
El propagador es dado por el tiempo de fase clsica de una integral de camino para una
partcula de masa m viajando en el potencial T Tenga en cuenta que el
potencial es una funcin del tiempo a travs de su dependencia sobre xcl(t). Hay una variedad
de mtodos para evaluar la integral de camino remanente. En el apndice presentamos un
mtodo. El resultado es una expresin para D (x1, t1 ;x2,t2) que deben ser vlidos en el lmite
Donde
Y Ecl es la energa definida implcitamente por Eq. (8)
Si el potencial tiene la forma l la forma aproximada para
D es de hecho exacta debido a q es constante y no hay aproximaciones adicionales
involucadas yendo de Eq. (15) a Eq. (16). Para un potencial general tenemos
La aproximacin semiclasica para el propagador es
El factor de fase en Eq. (19) es indicativo de los factores exponeciales que aparecen en
funciones de onda WKB los cuales se supone describen de forma precisa la fisica de un sistema
cuantico en el limite .
III PROPAGADOR WKB.
Un clculo alterno del propagador comienza con la primera forma en Eq. (1). La insercin de un set
completo de estados propios (eigenstates) conduce a
Donde
En la aproximacin WKB la energa de los estados propios (eigenstates) en la regin
clsicamente permitida son4:
Donde a es un parmetro arbitrario y
Cada funcin de onda WKB tiene una continuacin dentro de las regiones clsicamente
prohibidas; la forma precisa de esa continuacin son irrelevantes aqu. En la ausencia de
estados ligados el espectro de energa es continuo y
La suma sobre toma en cuenta la doble degeneracin en estados de energa. La
medida f(E) es independiente de x y es fijado por el requisito
El cual sigue desde el mismo lmite de tiempo de Eq. (2). Debido a que f(E) es independiente de
la posicin, debemos escoger x1 y x2 en una regin donde el potencial desaparece y
Encontramos
Retornando a la Eq. (24), evaluamos la integral en la aproximacin5 a fase estacionaria. En
general esta aproximacin significa que
Donde x0 es el punto de fase estacionara fijado por En nuestro caso
Y
Slo un signo de contribuye. Si asumimos y E es determinado por
En otras palabras, E=Ecl. Fuera de toda continuidad de energa en la integral en Eq. (24),
el clsico camino de energa domina.
Ya que
Tenemos de las Eqs. (24) y (28)
Un resultado idntico a Eq. (19). As WKB usado en aproximacin a fase estacionara es la
misma que la integral de camino ms el dominio por la trayectoria clsica. Todos los problemas
que pueden ser formulados en trminos del propagador de funcin deben tener las mismas
soluciones cuando son analizados por cualquiera de los dos enfoques o aproximaciones. La
aproximacin semiclsica a la integral de camino de Feynman es completamente equivalente a
la aproximacin WKB a la ecuacin de Schrdinger.
La relacin entre las dos tcnicas puede ser posteriormente elucidada investigando como la
funcin de onda WKB se propaga en el tiempo cuando D (x1, t1 ;x2,t2) est dado por la Eq.(19).
Es obvio en la Eq. (20) donde D est escrita en trminos de funciones de onda WKB, que el
resultado de usar funciones de onda WKB en Eq. (2) es una funcin de onda en x2,t2. Sin
embargo, es til hacer el clculo directamente debido a que despus aprenderemos el
mtodo correcto y consistente para evaluar integrales sobre la funcin del propagador. De
acuerdo a la Eq.(2),
De hecho esta expresin es incorrecta en la medida en la que hay regiones de espacio x1 en los
cuales una partcula de energa esta clsicamente prohibida de existir. Sin embargo, en la
aproximacin a fase estacionaria aquellos valores de x1 no contribuyen. Note que en Eq. (33),
D donde E0 es la energa de la funcin de onda WKB. Por otro
lado, d donde es una funcin de x1 ,
la variable de integracin.
La aproximacin a fase estacionara en x1 requiere que primero hallemos el punto
de tal manera que
Los dos trminos en se se cancelan de acuerdo a Eq. (8) la cual define
El punto estacionario es ese valor de x1 para el cual
La aproximacin a fase estacionara en Eq. (33) es
Donde
Sin embargo
De la definicin de E en la ecuacin (8), vemos que
Por lo tanto
As cuando el propagador de la integral de camino es usado en la aproximacin a fase
estacionara, la funcin de onda WKB se propaga en una funcin de onda WKB en un momento
posterior.
IV CONCLUSIN
Hemos visto entonces que en el lmite , la forma del propagador de la integral de
camino de Feynman depende solo del camino clsico. En el lmite semiclsico, donde es
pequea pero no cero, hemos calculado correcciones cuadrticas sobre los caminos clsicos y
han demostrado que la forma resultante del propagador es idntica a la obtenida usando una
suma sobre las funciones de onda WKB cuando la suma (integral) es realizada en la
aproximacin a fase estacionara. Concluimos entonces que todos los problemas que se
pueden someter a solucin por mtodos WKB deben ser igualmente solucionables por las
tcnicas de la integral de camino, siempre que puedan ser formuladas en trminos del
propagador de Feynman. Un ejemplo clsico de esto es el problema de la barrera de
penetracin, el cual es generalmente tratado haciendo coincidir o emparejando funciones de
onda WKB en los puntos de inflexin. Demostramos en un artculo posterior como esto puede
ser tratado en un formalismo de integral de camino.
APNDICE
En orden de completar la derivacin de la aproximacin a fase estacionara de la forma de la
integral de camino del propagador de Feynman, como es discutido a continuacin,
necesitamos evaluar la integral de camino
Coleman en sus lecturas sobre instantones6 muestra un factor de normalizacin
Donde
Y esta sujeta a condicones de frontera
Introduciendo notamos que de acuerdo a Eq. (5)
As
Donde la constante de integracin es fijada por las condiciones de frontera.
Debido a que Eq.(A7) es equivalente a
Encontramos
En Trminos de
La variable de integracin fue cambiada a x con dt=dx/x. La constante de normalizacin N es
independiente de la funcin potencial. Est fijado en comparacin con el propagador exacto
de una partcula libre
Y
El resultado usado en Eq. (16).