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LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN
UNAMAUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA1
Basado en el Libro ‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley 2012
CAPÍTULO 9
4
ELASTICIDAD LINEAL
5
BIBLIOGRAFÍA
6
1. Atanackovic, T.M. and A. Guran, Theory of Elasticity for Scientists andEngineers, Springer-Verlag, Berlin, 2000.2. Atkin, R.J., An Introduction to the Theory of Elasticity, 3. Longman, London,1980.3. Ciarlet, P.G., Mathematical Elasticity, Vol. II: Theory of Plates, Amsterdam,1997.4. Ciarlet, P.G., Elasticite Tridimensionnelle, Collection RMAl, 1986.5. Coleman, B.D., M.E. Gurtin, I. Herrera, and C. Truesdell, Wave Propagationin Dissipative Materials, Springer-Verlag, New York, 1965.6. Emanuel, G., Analytical Fluid Dynamics, CRC Press, Boca Raton, FL,2001.7. Eringen, C. and S. Suhubi, Elastodynamics, Academic Press, New York,1975.8. Evans, L.C., Partial Differential Equations, Graduate Studies inMathematics, Vol. 19, American Mathematical Society, Providence, RI,1998.9. Ewing, W.M., W.S. Jardewsky, and F. Press, Elastic Waves in LayeredMedia, McGraw Hill, New York, 1957.10. Fanchi, J.R., Shared Earth Modeling, Butterworth Heinemann and ElsevierScience, New York, 2002.11. Grove, D.B. and K.G. Stollenwerk, Computer Model of One-DimensionalEquilibrium Controlled Sorption Processes, U.S. Geological Survey Water-Resources Investigations Report 84-4059, 1984.
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12. Gurtin, M.E., The linear theory of elasticity, Handbuch derPhysik,Vol. Vla/2, Ed. S. Flugge, Springer-Verlag, Berlin, 1972.13. Gurtin, M. E., An Introduction to Continuum Mechanics, AcademicPress, New York, 1981.14. Herrera, I.and M.E. Gurtin, A correspondence principle forviscoelastic wave propagation, Quart. of Appl. Math, 22(4), 361-364,1965.15. Keller, H.B., Propagation of stress discontinuities in inhomogeneouselastic media, SIAM Rev., 6, 356-382, 1964.16. Landau, L.D. and F.M. Lifschitz, Theory of Elasticity, PergamonPress, London, 1959.17. Malvern, L.E., Introduction to the Mechanics of a ContinuousMedium, Facsimile edition, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1977.18. Marsden, J.E. and T.R.J. Hughes, Mathematical Foundations ofElasticity, reprint edition, Dover, New York, 1994.19. Muskhelishvili, N.L., Some Basic Problems of the MathematicalTheory of Elasticity, 3rd rev. and augmented ed., trans. from the Russianby J.R.M. Radok, Noordhoff, Groningen, The Netherlands, 1953.20. Sokolnikoff, LS., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, NewYork, 1956.21. Yeh, H. and J.L. Abrams, Principles of Mechanics of Solids andFluids, Vol. 1: Particle and Rigid-Body Mechanics, McGraw-Hill, NewYork, 1960.
PARTE I
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TEORÍA GENERAL
DE LA
ELASTICIDAD LINEAL
9
A.
INTRODUCCIÓN AL CAPÍTULO
CARACTERÍSTICAS COMPARTIDAS POR SÓLIDOS Y LÍQUIDOS
Son muchas. En particular, la familia depropiedades extensivas en que se basan susmodelos matemáticos son las mismas:● Masa● Momento lineal● Momento angular● Energía mecánica● Energía internaNOTA.- En lo que sigue el balance de momentoangular se remplaza por la simetría del tensor deesfuerzos
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LAS DIFERENCIAS ENTRE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS
Una diferencia fundamental entre sólidos y fluidosradica en las características de las ecuacionesconstitutivas que tipifican a cada una de estasamplias clases de sistemas continuos. Las fuerzas,cuando actúan tanto en los sólidos como en losfluidos los deforman, y hay una correspondenciaentre la fuerza aplicada y la deformación producida.A las ecuaciones constitutivas que especifican talescorrespondencias se les llama relaciones esfuerzodeformación. Así, la diferencia fundamental quedistingue a los sólidos de los fluidos radica en lasrelaciones esfuerzo deformación de unos y otros.
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CONTENIDO DE ESTE CAPÌTULO
● Las relaciones esfuerzo deformación de lossólidos pueden ser muy diversas● Dos clases muy amplias de tales relacionescorresponden a los materiales elásticos y viscoelásticos● En este capítulo nos ocuparemos solamente demateriales elásticos● En particular, se presentará la teoría lineal de laelasticidad. Sin embargo, ella se derivará de lateoría general de los sólidos elásticos: la«Elasticidad Finita»
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13
B.
LOS SÓLIDOS ELÁSTICOS
14
EL DESPLAZAMIENTO ES :
EL GRADIENTE DEL DESPLAZAMIENTO :
, ,
, ,X
u p XX t X t
H uX t X t
15
RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA MATERIALES ELÁSTICOS
.,
El esfuerzo sólo depende del gradiente del desplazamientoAdemás los movimientos rígidos no
HS
NOTA :
0 0
producen esfuerzos En lo que sigue se supone que la configuración de
referencia es libre de esfuerzos; es decir, HH S
EL TENSOR DE ESFUERZOS
16
11 12 13
21 22 23
31 32 33
LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD FINITA
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La ecuación de balance de momento lineal (Cap. 3)
es una ecuación no lineal. También la relaciónesfuerzo deformación para sólidos elásticos
bt
S
v v v
es en general no lineal. El estudio e investigaciónde problema completo en su forma no lineal se conoce como "Elasticidad Finita". En este capítulo sólo trataremos una versión simplificadaconocida co
H
mo "Teoría lineal de la elasticidad"
18
C.
MÉTODOS DE LINEALIZACIÓN
DE ECUACIONES
19
MÉTODOS DE LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES
Una manera muy general de conceptualizar losmétodos de linealización es como
: conocida una solución se obtieneotra cercana a ella mod
'métodos de perturbación'
ificando ligeramente algunos de los parámetros del problema Más especificamente, se toma una familia de soluciones
dependiente de un parámetro cuyo valor inicial correspondea la solución conocida
y el final a la buscada. Así, la diferencia entre la solución buscada y la conocida corresponde al incremento habido al variar el parámetro; entonces este incremento se aproxima por el diferencial
20
Considere la ecuación vectorial (no lineal) = 0 Donde el operdor no lineal satisface = 0 0 Sea una familia de vectores tal que 0 y 0
R bxR R
y y
= 0 Entonces, tomando la derivada con respecto a y poniendo 0,se obtiene :
0 0
Tomando 1 y aproximando el incremento por su diferencial
yR b
d yyR b
d
se tiene
y 00 0
Así, se ha logrado linealizar el problema pues la nueva ecuación para la solucióna aproximada es lineal
d y d yyx R x b
d d
x
21
DEFINICIÓN
Al problema 0Le llamarenmos la versión linealizada del
problema original; es decir, de la ecuación
= 0
R x b
R bx
LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES
22
23
2
2
Cuando el material es elástico, la ecuación de balance de momento lineal se puede escribir en términos de los deplazamientos como :
=0
Esta ecuación, como muchas
x Xu u u S bu
t t t
otras ecuaciones en derivadas parciales no lineales, se puede escribir en la forma 0Donde es un operador diferencial no lineal que transforma funciones en funciones
R buR
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Considere la ecuación diferencial (no lineal) = 0 Donde el operdor diferencial no lineal satisface = 0 0 Sea una familia de funciones tal que 00
R buR R
w w
y = 0 Entonces, tomando la derivada con respecto a y poniendo 0,se obtiene :
00
Tomando 1 y aproximando el incremento por
R bw
d wR bwd
su diferencial se tiene
y 0 0 0
Así, se ha logrado linealizar la ecuación diferencial pues la nueva ecuación para la solucióna aproximada , es lineal
d w d wu R u bd d
u
25
D.
LINEALIZACIÓN DE LA
ELASTICIDAD FINITA
● La teoría lineal de la elasticidad es una de lasteorías más exitosas de la Física Matemática● Por su efectividad para predecir ‘deformacionespequeñas’ de muchos materiales, en la práctica estateoría no tiene rival● Aunque se origina a principios del Siglo XIX [12],el desarrollo teórico continuó hasta mediados delSiglo XX y su aplicabilidad a muchos problemas deingeniería se amplió grandemente con el progreso dela computación● Aquí la presentamos como una versión linealizadade la elasticidad finita
26
27
2
2
Derivaremos la teoría lineal de la elasticidad utilizando el métodode linealizacion que se ha explicado antes. Para este caso
También, tomamos 0 porque así0
Xxu u u uR Su
t t tw
2
2
= = 0, en 00vista de que = 00
Entonces,
Xx
R RwS
w w w wR Swt t t
28
2
2
2
2
Sea una familia de soluciones tal que 0 y satisface 0
0
En notación indicial esta ecuación es :
Xx
ji iXij
j j
w w
w w w wR b S bwt t t
ww w wSt t x t x
2
2
0
Derivándola con respecto a , poniendo = 0 y haciendo la sustitución
se obtienen las ecuaciones de de la 0
:
i
i
b
d wu 'balance de momento lineal'd
elasticidad lineal
ut
0
Donde :
0
qijpq i
pj
ijijpq
q p
uC b
xx
SHC
u x
29
Definimos al como
Cuando se le aplica a una matriz de 3 3 ( ),
la transforma en ot
ijpqCC
"tensor elástico"
u xq p
EL TENSOR ELÁSTICO
ra matriz de 3 3 ( ) ij
30
Aquí y en lo que sigue estudiaremos la exclusivamente. Esta aclaración se hace aquí, pero para evitar repeticiones innecesarias no se
teoría lineal de la elasticidad BALANCE DE MOMENTO LINEAL
2
2
volverá a hacer. En este marco, la ecuación de balance de momento lineal se reduce a :
=
Donde
O en notac
x
u but
C uu
ión indicial:
ij ijpq p qC u xu
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RESTRICCIONES DEL TENSOR ELÁSTICO El se ha obtenido al linealizar las relaciones de
en su forma más general : , o en forma equivalent
tensor elásticoesfuerzo deformación
HS
e Sin embargo, no cualquier función es admisible. En primerlugar, puesto que el tensor de esfuerzos es simétrico, necesariamente Por otra part
ij ij
ij ji
HSHS
H HS S
e, hay la condición de que los no producen esfuerzos. Cuando se toma en cuenta esta última restricción que la función de la teoría de la debe cumplir, se obti
movimientos rígidos
HS elasticidad finitaene la siguiente simetría del de la teoría
de la (para una demostración, ver Apéndice) : Finalmente, hay restricciones
ijpq ijqp
tensor elásticoelasticidad lineal
C C
de carácter termodinámico que también debe cumplir. Cuando se toman en cuenta todas las restriccionesde la función obtienen las siguientes simetrías ijpq jipq ijqp pq
HS
HSC C C C ij
32
31 2
1 1 1
31 2
2 2 2
1
EL GRADIENTE INFINITESIMAL DE LAS DEFORMACIONESPara el en elasticidad finita se usa la notación
X
gradiente del desplazamiento, uu u
X X Xuu u
H uX X Xu
32
3 3 3
31 2
1 1 1
31 2
2 2 2
31 2
3 3 3
Sin embargo en la , se usa la notación
x
uuX X X
teoría lineal de la elasticidaduu u
x x xuu u
H ux x x
uu ux x x
A esta última matriz se le llama el En lo sigue, en que tratamos la exclusivamente, reservamos parael
gradiente infinitesimal del desplazamiento.teoría lineal H
gradiente infinitesimal del desp
También, el subíndice en seráinnecesario pues las derivadas espaciales se tomarán siempre con respecto a .
xlazamiento. ux
33
La descomposición de en su parte simétrica y antisimétrica laescribiremos en la forma = Donde
1 1=2 2 1 1=2 2
T Tx x
Tx
H
H E W
E H H u u
W H H
DESCOMPOSICIÓN DE LAS DEFORMACIONES INFINITESIMALES
Además, se usará la notación y Por lo que
1 1 y 2 2
A los tensores y se les llama de de
Tx
ij ij
j ji iij ij
j i j i
u u
e wE W
u uu ue w
x x x xE W
formaciones unitarias y rotaciones infinitesimales, respectivamente
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El esfuerzo producido por la rotación infinitesimal
1 2
en notación indicial es : 1 1 2 2
Tx x
p q q p ijij ijpq
W u u
u x u x CCu
LAS ROTACIONES INFINITESIMALES NO PRODUCEN ESFUERZOS
=0
Luego la relación esfuerzo deformación linealizada está dada por
O en notación indicial:
pq ijqp p q
ij ijpq pq
C u x
CEu
C eu
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2
2
SÍNTESIS TEORÍA LINEAL DE LA ELASTICIDAD
Como ya se vió, el balance de momento lineal se reduce a :
Donde la relación esfuerz
u but
o deformación linealizada está dada por
O en notación indicial: ij ijpq pq
CEu
C eu
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E.
COMPLEMENTACIÓNDEL
EL MODELO LINEAL
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Hasta ahora la derivación del modelo matemático elástico linealse ha basado en la ecuación de balance del momemnto linealexclusivamente, por lo que falta incoporar el balance de las demás propiedades extensivas que forman parte de la familia que define a los modelos de la mecánica clásica de medios continuos (los sólidos y los fluidos). Así, esa tarea está pendiente y se realiza acontinuación. Se verá entonces que la parte más interesante y esencial del modelo lineal es la que ya hemos visto, derivada del balance de momento lineal. Aunque la versión linealizada del transporte de energía interna tiene aplicaciones significativas y hasido estudiada ampliamente, ella y la de momento lineal están desacopladas y en las aplicaciones se resuelven independientemente.
DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONESDEL
MODELO LINEAL COMPLETO
A continuación se enlistan los balancesde cada una de las propiedadesextensivas. Para cada uno de ellos sepone una pareja de ecuaciones; primerola ecuación tal como se derivó en laLección 3, no lineal, seguida de laecuación linealizada.
38
39
0
20 02
M A S A 0
E cu ac ió n lin ea lizad a 0
M O M E N T O L IN E A L
E cu ac ió n lin ea lizad a
M O M E N T O A N G U L A R
E cu ac ió n li
T
t
t
D bD t
u C u bt
v
v
v
n ea lizad a T
40
2
ENERGÍA
ENERGÍA CINÉTICA
1 :2
Ecuación linealizada : no hay ecuación
ENERGÍA INTERNA
D b bDt
v vv v v
0 0
:
Ecuación linealizada :
DU h qDt
U h qt
v
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F.
PROBLEMAS
BIEN PLANTEADOS
42
2
2
Como se ha dicho, las ecuaciones linealizadas debalance de momento lineal :
pueden resolverse por sí mismas, de maneraindependiente de las correspondientes a las demás
u C u bt
propiedades extensivas. Esto quiere decir quecuando se sujetan a condiciones iniciales y de fronteraadecuadas dan lugar a problemas bien planteados. Acontinuación se formulan algunos de los problemasbien planteados más importantes que ocurren en laingeniería y la ciencia.
43
0
0
ELASTODINÁMICALos problemas bien planteados se formulan en undominio fijo en el espacio y requieren condiciones iniciales y de frontera. Las son :
condiciones inicialesu u
ut
v
21 1 2
1 2
on on .
Respecto a las , y Aquí se entiende que la frontera se ha dividido en dos partes : y una de las cuales puede ser vacía.Otra
, en para 0
u u n T
condiciones de frontera
t
2 2n , con + = 1
s condiciones de frontera que con frecuencia seconsideran son las llamadas de Robin : , u n e
44
:
ELASTOSTÁTICA
Las ecuaciones de la elasticidad estática son
Los problemas bien planteados se formulan en undominio fijo en el espacio y requieren condici
C u b
ones de frontera exclusivamente
EJERCICIOS CAPÍTULO IX
45
46
1 1
2 2 2
3 3
Considere la ecuación no lineal 4 2 0 1 1
2 4 2 1 1 1 0 2 1 4 1
x x
x x x
x x
EJERCICIO 1 LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES
1
2
3
1 = 10 2
3
n
xxx
47
EJERCICIO 2 DEMUESTRE QUE EL NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDIENTES ES CUANDO MÁS DE 36