Post on 04-Jan-2016
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Limites
Daniel Barboza Guimarães
Limite de uma Função
Definição: Seja uma função definida para todo número em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio número . O limite de quando x tente a será , escrito como:
Se, dado , existir tal que:
Se então
Limite de uma Função
Exemplo: . Note que não existe, mas como se
comporta quando ?
0 3 2 70,25 3,5 1,5 60,5 4 1,25 5,50,9 4,8 1,1 5,2
0,99 4,98 1,01 5,020,999 4,998 1,001 5,002
0,9999 4,9998 1,0001 5,0002
Limite de uma Função
Percebemos que quando tende a 1, seja por valores
menores ou maiores que 1, tende a 5, e que cada vez que
chega mais próximo de 1, chega mais próximo de 5, ou
seja:
Portanto:
Se
Se
Limite de uma Função
Teorema: Se e , então .
Este é o teorema da unicidade do limite, que afirma que
se o limite de uma função existe, ele é único.
Teoremas sobre Limites de Funções
• Teorema 1: Se e forem constantes quaisquer, então:
• Teorema 2: Se c for uma constante, então para qualquer
número :
• Teorema 3:
• Teorema 4: Se e , então:
Teoremas sobre Limites de Funções• Obs: O teorema 4 pode ser generalizado para qualquer
número de funções.
• Teorema 5: Se e , então:
• Obs: O teorema 5 pode ser generalizado para qualquer número de funções.
• Teorema 6: Se e for um inteiro positivo qualquer, então:
Teoremas sobre Limites de Funções
• Teorema 7: Se e , então:
se
• Teorema 8: Se e for um inteiro positivo qualquer, então:
se for par,
Limites Laterais
• Quando consideramos estamos interessados nos
valores de no intervalo aberto contendo , mas não no
próprio , então estamos interessados nos valores de
próximos de , valores de maiores (à direita) e menores (à
esquerda) que .
• Estamos então aproximando de por valores a direita e
por valores a esquerda de .
a
Limites Laterais• Definição: Seja uma função que está definida em todos
os números de algum intervalo aberto . Então, o limite de quando tente a pela direita é , escrito como:
Se, para todo , existir um tal que:
Se então
• Do mesmo modo, poderemos ter:
Limites Laterais• Definição: Seja uma função que está definida em todos
os números de algum intervalo aberto . Então, o limite de quando tente a pela esquerda é , escrito como:
Se, para todo , existir um tal que:
Se então
• Teorema: existe e será igual a se e somente se:
Limites Laterais• Exemplo:
• Obs: Se, então não existe.
• Exemplo:
Limites Infinitos• Definição: Seja uma função definida em todo número de
um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tente a , cresce indefinidamente e escrevemos:
Se, para qualquer número , existir tal que:
Se então
• Obs: Onde é um número muito grande. • Do mesmo modo poderemos ter.
Limites Infinitos
• Definição: Seja uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tente a e decresce indefinidamente e escrevemos:
Se, para qualquer número , existir tal que:
Se então
• Obs: Onde é um número muito grande.
Limites Infinitos
• Do mesmo modo poderemos ter:– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e
se para todo existir um , tal que: Se então ;
– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então ;
– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então ;
– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então .
Limites Infinitos
Exemplo: . Note que não existe, mas como se
comporta quando ?
0,5 4 -0,5 40,2 25 -0,2 250,1 100 -0,1 100
0,01 10000 -0,01 100000,001 1000000 -0,001 1000000
Limites Infinitos
Limites Infinitos
• Teorema: Se for um inteiro positivo qualquer, então:
– Se ;
– Se
• Exemplo: e
• Exemplo: e
Limites Infinitos
• Teorema: Se for um número real qualquer e se e , onde é
uma constante não nula, então:
– Se e se por valores positivos de : ;
– Se e se por valores negativos de : ;
– Se e se por valores positivos de : ;
– Se e se por valores negativos de : ;
Limites Infinitos
• Teorema: Se , onde é uma constante qualquer, então:
– Se , então ;
– Se , então ;
• Teorema: Se e , onde é uma constante não nula, então:
– Se ;
– Se
Limites Infinitos
• Teorema: Se e , onde é uma constante não nula, então:
– Se ;
– Se
• Definição: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de ,
se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira:
1. ; 3.;
2. 4.
Limites no Infinito
• Definição: Seja uma função definida em algum intervalo aberto , o limite de quando cresce indefinidamente é , definido como:
Se, para todo , não importa quão pequeno, existir tal que:
Se então
• Do mesmo modo, temos que:
Limites no Infinito
• Definição: Seja uma função definida em algum intervalo aberto O limite de quando decresce indefinidamente é , definido como:
Se, para todo , não importa quão pequeno, existir tal que:
Se então
Limites no Infinito
Exemplo:
Então:0 0
1 1
2 1,6
10 1,980198
1000 1,9998
10000 1,9999998
Limites no Infinito
Exemplo:
Então:0 0
-1 1
-2 1,6
-10 1,980198
-1000 1,9998
-10000 1,9999998
Limites no Infinito
• Teorema: Se for um inteiro positivo qualquer, então:
– Se ;
– Se
• Exemplo:
• Exemplo:
Limites no Infinito
• O limite infinito para valores da função quando a variável cresce ou decresce indefinidamente também pode ser considerado, ou seja
• Definição: A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de , se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira:
1. e para um número , se , então
2. e para um número , se , então .