Post on 23-Mar-2019
transcript
Matematika Teknik IIDivergence Theorem and
Stokes’ Theorem
Rudy Dikairono
Outline
• Divergence Theorem– Triple Integrals– Divergence Theorem of Gauss– Transformation between Triple and surface
integrals• Stokes’ Theorem
– Curl– Transformation between surface and line
integrals
Divergence TheoremTriple Integral
• Triple integral adalah sebuah integral dari f(x, y, z) yang diambil secara 3 dimensi pada daerah T dalam ruangan.
• Triple integral dapat ditulis sebagai
Divergence Theorem of Gauss
• Triple integral dapat ditranformasi menjadi surface integral dan begitu pula sebaliknya.
• Tranformasi ini dilakukan dengan divergence theorem yang melibatkan divergence dari sebuah vector functionF = [F1, F2, F3] = F1i + F2j + F3k,dan ditulis sebagai:
Pembuktian• Persamaan 2* adalah benar jika hanya jika:
• Kita amati (5) sebagai special region dari T.
• Untuk membuktikan (5) kita gunakan (6). Dan kita dapatkan
• Hasil yang sama didapat dari (5) bagian kanan.
• Hasil integral terhadap R yang pertama menghasilkan nilai (+) karena cos γ > 0 pada bidang S1, dan integral kedua bernilai (-) karena cos γ < 0 pada S2[(5”) sec. 10.6].
• Dan ini membuktikan (5)
Contoh 1• Hitung
Dimana S adalah permukaan tertutup yang terdiri dari cylinderlingkaran pada z = 0 dan
Solution
Karena permuaan berbentuk lingkaran maka kita gunakan koordinat polar r, θ dengan nilai x = r cos θ, y = r sin θdan dx dy dz = r dr dθ dz, dan kita dapatkan.
Contoh 2Hitung
(a) dengan (2), (b) secara langsung
Penyelesaian:
(b) kita representasikan S dengan (3) Sec. 10.5 (dengan a = 2), dan kita gunakan n dA = N du dv [lihat (3*), Sec. 10.6]
sekarang kita punyasehingga F = [7x, 0, -z] menjadi
pada S kita harus mengintegralkan u dari 0 sampai 2π.
dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan
Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan sama dengan perhitungan divergence theorem.
Stokes’ Theorem
• Curl• Transformation between surface and line
integrals
Curl (Rotation of the vector field)
Stokes’ Theorem
Teorema Stokes mentransformasi integral permukaan menjadi integral garis dansebaliknya. Transformasi ini melibatkancurl (1)
Theorem 1
• S is a piecewise smooth oriented surface in space
• C is the boundary of S.• F(x,y,z) is the continuous
vector function in domain S.• n is unit normal vector of S.• r' = dr/ds is unit tangent
vector.• s is the arc length of C
Theorem 1
• F = [F1,F2,F3]• N = [N1, N2, N3]• n dA = N du dv• r' ds = [dx, dy, dz]• R is the region with boundary curve C in uv-plane.
Verification of Stokes’ Theorem
Solution
Solution with surface integral
Solution with surface integral
Hasil yang didapat dengan metode integral garis tertutup sama dengan hasil yang didapat dengan integral permukaan.
Stokes’ theorem for each component
Example 1 (Line integral)
Hitung
Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapatdirepresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 padabidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyaiarah k (z-positif).
Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapat direpresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 pada bidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyai arah k (z-positif).
Tugas
Thanks