Matrices - álgebra lineal

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IntroduccionMatrices

Clases de MatricesOperaciones

Matriz Inversa

MATRICES

Martha C. Moreno

Martha C. Moreno MATRICES

Matriz Inversa

MATRICES

Martha C. Moreno

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia

Matriz Inversa

Introduccion

Matriz Inversa

Introduccion

El trabajo con modelos de gran dimension, es decir que manejanconjuntos con amplia iformacion (variables, datos, ecuaciones) sesimplifica cuando se usan matrices, debido a la notacion compactay simplificada.

Matriz Inversa

Introduccion

El trabajo con modelos de gran dimension, es decir que manejanconjuntos con amplia iformacion (variables, datos, ecuaciones) sesimplifica cuando se usan matrices, debido a la notacion compactay simplificada.

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

17 124 56 48 3

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

17 124 56 48 3

3 −215

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

17 124 56 48 3

3 −215

1 −2 3 45 1 −9 8

Matriz Inversa

En General notaremos

Matriz Inversa

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · anm

Matriz Inversa

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .

A = (aij)n×m

Matriz Inversa

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .

A = (aij)n×m

n −→ Filas

Matriz Inversa

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .

A = (aij)n×m

n −→ Filasm −→Columnas

Matriz Inversa

Ejemplo

Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j

Matriz Inversa

Ejemplo

Matriz Inversa

Ejemplo

Matriz Inversa

Ejemplo

Matriz Inversa

Ejemplo

Matriz Inversa

Ejemplo

0 2 01

Matriz Inversa

Ejemplo

0 2 01 3

Matriz Inversa

Ejemplo

0 2 01 3 1

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:

Matriz Inversa

Definicion

A = (aij)n×m y B = (bij)n×m

son dos matrices diremos que:

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

A = B si y solo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m

Matriz Inversa

Definicion

Ejercicio

Matriz Inversa

Definicion

Ejercicio

2 −1 45 4 2

2 x + 3 4z y − 5 m

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Segun el tamano se clasifican en:

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Matriz Fila

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Matriz Fila Si n = 1

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Matriz Fila Si n = 1 A =(

a11 a12 · · · a1m)

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna Si m = 1

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna Si m = 1 A =

a11a21. . .

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

a11a21. . .

Matriz Cuadrada

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

a11a21. . .

Matriz Cuadrada Si n = m

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

a11a21. . .

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

Matriz Inversa

A = (aij)n×m

a11 a12 · · · a1m)

a11a21. . .

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

Diagonal Principal

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonal

Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

3 0 00 8 00 0 0

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

3 0 00 8 00 0 0

10 00 8

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

1 0 00 1 00 0 1

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

1 0 00 1 00 0 1

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

1 0 00 1 00 0 1

= I3 Matriz Identidad o Identica

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular Superior

Matriz Inversa

Definicion

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

1 6 −20 4 150 0 6

Matriz Inversa

Definicion

Ejemplo

1 6 −20 4 150 0 6

0 0 4 −90 3 4 6

0 0 13

50 0 0 17

Matriz Inversa

Ejercicio

Matriz Inversa

Ejercicio

¿Como se define una matriz triangular inferior?

Matriz Inversa

Ejercicio

¿Como se define una matriz triangular inferior?

¿Una matriz cuadrada puede ser triangular inferior y triangularsuperior simultaneamente?

Matriz Inversa

Operaciones

Matriz Inversa

Operaciones

Matriz Inversa

Operaciones

Matriz Inversa

Operaciones

Matriz Inversa

Operaciones

Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×m

Matriz Inversa

Operaciones

Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:

Matriz Inversa

Operaciones

A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)

Matriz Inversa

Operaciones

Ejemplo

Matriz Inversa

Operaciones

Ejemplo(

2 −1 45 4 2

5 2 −3−8 1 4

Matriz Inversa

Operaciones

Ejemplo(

2 −1 45 4 2

5 2 −3−8 1 4

7 1 1−3 5 6

Matriz Inversa

Propiedades de la suma

Matriz Inversa

Sean A, B , C matrices n×m

Matriz Inversa

A+ B = B + A

Matriz Inversa

A+ B = B + A Conmutativa

Matriz Inversa

A+ (B + C ) = (A+ B) + C

Matriz Inversa

A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa

Matriz Inversa

Existe una matriz 0n×m tal que:

Matriz Inversa

Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A

Matriz Inversa

Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa

Matriz Inversa

Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que:

Matriz Inversa

Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0

Matriz Inversa

Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo

Matriz Inversa

Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo

A− B = A+ (−B)

Matriz Inversa

Producto por Escalar

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×m y k ∈ R

Matriz Inversa

Entonces:

Matriz Inversa

Entonces:

kA = (k aij)n×m

Matriz Inversa

Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo

Matriz Inversa

Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo

2 −1 45 4 2

Matriz Inversa

Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo

2 −1 45 4 2

4 −2 810 8 4

Matriz Inversa

Propiedades del Producto por Escalar

Matriz Inversa

Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

(α+ β)A = αA + βA

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

α(A + B) = αA + αB

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices

Matriz Inversa

α(βA) = (αβ)A

α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices

1A = A

Matriz Inversa

Preguntas

Sean A, B matrices n × n y α ∈ R

Matriz Inversa

Preguntas

Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?

Matriz Inversa

Preguntas

Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?

Matriz Inversa

Preguntas

Si A y B son triangulares, entonces A+ B es triangular?

Matriz Inversa

Preguntas

Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?

Matriz Inversa

Preguntas

Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?

Si A es triangular, entonces αA es triangular?

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak

es la matriz:

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

1 00 1

1 00 0

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

1 00 1

1 00 0

Calcular la c.l −2I + 4D

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

1 00 1

1 00 0

Calcular la c.l −2I + 4D(

3 00 2

es c.l de I y D?

Matriz Inversa

Definicion

es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

1 00 1

1 00 0

Calcular la c.l −2I + 4D(

3 00 2

es c.l de I y D?

4 10 −3

es c.l de I y D?

Matriz Inversa

Transpuesta

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo

2 −1 45 4 2

Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo

2 −1 45 4 2

2 5−1 44 2

Matriz Inversa

Propiedades de la Transpuesta

Matriz Inversa

Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R

Matriz Inversa

(At)t = A

Matriz Inversa

(At)t = A

(A+ B)t = At + B t

Matriz Inversa

(At)t = A

(A+ B)t = At + B t

(αA)t = αAt

Matriz Inversa

Matrices Simetricas y Antisimetricas

Sea A = (aij)n×n

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B?

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?

Si C es una matriz cuadrada, las matrices C + C t y C − C t

¿son simetricas o antisimetricas?

Matriz Inversa

Multiplicacion

Matriz Inversa

Multiplicacion

Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

Entonces:

Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1

Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1A • B ∈ R

Matriz Inversa

Producto entre Matrices

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de B

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

Si C = (cij ) = AB , entonces:

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

cij = Ai • B j

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj

Matriz Inversa

Sean An×m y Bm×p

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj =∑m

k=1 aikbkj

Matriz Inversa

El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B

Matriz Inversa

An×mBm×p = Cn×p

Matriz Inversa

An×mBm×p = Cn×p

¿El producto de dos matrices del mismo tamano esta definido?

Matriz Inversa

An×mBm×p = Cn×p

Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?

Matriz Inversa

An×mBm×p = Cn×p

Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?

¿Cuantas filas tiene la matriz B si BA es de tamano 2× 6?

Matriz Inversa

Ejemplo

Consideremos las matrices:

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t ,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t ,

Matriz Inversa

Ejemplo

2 13 4

1 26 5

1 −13 2

1 12 −1−3 2

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t , E tD.

Matriz Inversa

Ejemplo

Matriz Inversa

Ejemplo

Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial:

Matriz Inversa

Ejemplo

Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =

5 7 12)

Matriz Inversa

Ejemplo

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,

Matriz Inversa

Ejemplo

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:

Matriz Inversa

Ejemplo

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:

Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobrarustico 5 20 16 7 17moderno 7 18 12 9 21colonial 6 25 8 5 13

Matriz Inversa

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

Matriz Inversa

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria parasatisfacer los pedidos:

Matriz Inversa

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

5 7 12)

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

Matriz Inversa

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

5 7 12)

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

146 526 260 158 388)

Matriz Inversa

Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500

Matriz Inversa

250012008001501500

Matriz Inversa

250012008001501500

Matriz Inversa

250012008001501500

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

250012008001501500

Matriz Inversa

250012008001501500

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

250012008001501500

758508155071650

Matriz Inversa

El costo total de cada tipo de casa sera:

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

C ′ =

Compra TransporteAcero 2500 45Madera 1200 20Vidrio 800 30Pintura 150 5

Manodeobra 1500 0

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

C ′ =

Manodeobra 1500 0

MC ′

Matriz Inversa

PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

C ′ =

Manodeobra 1500 0

MC ′ Que representa PMC ′?

Matriz Inversa

Propiedades del Producto de Matrices

Matriz Inversa

Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R

Matriz Inversa

El producto de matrices en general NO es conmutaivo.

Matriz Inversa

Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )

Matriz Inversa

Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa

Matriz Inversa

Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC

Matriz Inversa

Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda

Matriz Inversa

(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC

Matriz Inversa

(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha

Matriz Inversa

α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)

Matriz Inversa

α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar

Matriz Inversa

Am×nIn = A

Matriz Inversa

Am×nIn = A Modulo a derecha

Matriz Inversa

ImAm×n = A

Matriz Inversa

ImAm×n = A Modulo a izquierda

Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A

Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A Modulativa

Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A Modulativa

(An×mBm×p)t = B tAt

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Encontrar B2×2 que conmute con A

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Si A =

−2 32 −3

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Si A =

−2 32 −3

Calcular: A2 + 2A− 3I

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Si A =

−2 32 −3

Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× n

Matriz Inversa

Sean A =

−2 32 −3

3 62 4

Calcule AB

Si A =

−2 32 −3

−1 32 0

−4 −30 −4

Calcule AB y AC

Si A =

1 20 1

Si A =

−2 32 −3

Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× nAB + 3A =

Matriz Inversa

Matrices Ortogonales

Sea A = (aij)n×n

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

I es ortogonal?

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

I es ortogonal?

(√32

es ortogonal?

Matriz Inversa

Matrices Idempotentes, Nulipotentes

Sea A = (aij)n×n

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente,

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

−1 1−2 2

es idempotente?

Matriz Inversa

Sea A = (aij)n×n

Ejemplo

−1 1−2 2

es idempotente?

0 00 1

es idempotente o nilpotente?

Matriz Inversa

Definicion

Matriz Inversa

Definicion

Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:

Matriz Inversa

Definicion

AB = BA = In

Matriz Inversa

Definicion

AB = BA = In

Ejercicio

Matriz Inversa

Definicion

AB = BA = In

Ejercicio

Es B la inversa de A ?

Matriz Inversa

Definicion

AB = BA = In

Ejercicio

4 23 1

1 −23 4

Matriz Inversa

Definicion

AB = BA = In

Ejercicio

4 23 1

1 −23 4

3 51 2

2 −5−1 3

Matriz Inversa

Propiedades de la Inversa:

Matriz Inversa

Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}

Matriz Inversa

La inversa es unica

Matriz Inversa

La inversa es unica(A−1)−1 = A

Matriz Inversa

La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t

Matriz Inversa

(AB)−1 = B−1A−1

Matriz Inversa

(AB)−1 = B−1A−1

(αA)−1 = 1αA−1

Matriz Inversa

(AB)−1 = B−1A−1

(αA)−1 = 1αA−1

(An)−1 = (A−1)n = A−n

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Sea A = (aij)n×n no singular

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Si A−1 = A, entonces A es Involutiva

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Ejemplo

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Ejemplo

I es involutiva?

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Ejemplo

I es involutiva?

3 −42 −3

es involutiva?

Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Ejemplo

I es involutiva?

3 −42 −3

es involutiva?

¿Una matriz ortogonal An×n es no singular?

Matrices - álgebra lineal

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