Operator Linear - Share ITSshare.its.ac.id/pluginfile.php/1467/mod_resource/content/1/LO16... ·...

transcript

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

Operator Linear

Trihastuti Agustinah

O U T L I N E

2. Teori

3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor

2) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R2 dan R3

Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori

Tujuan Pembelajaran

Operator linear digunakan untuk memetakan

vektor atau titik ke dalam vektor atau titik yang

lain. Beberapa operator linear yang dibahas dalam

objek pembelajaran ini adalah refleksi, proyeksi

ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.

Objektif Simpulan LatihanTeori Contoh

Pendahuluan

Operator Refleksi

Misal operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke image simetris pada sumbu-y

Hubungan antara komponen x dan w

yxxw 01 +−=−=

yxyw +== 02

Matriks standar T:

Refleksi pada sumbu–y

Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisnya pada garis atau bidang

(x, y)(-x, y)

xw=T(x)x

Refleksi pada sumbu/garis

Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar

Refleksi pada sumbu-y

Refleksi pada sumbu-x

Refleksi pada garis y=x

(x, y)(-x, y)

xw=T(x)x

−1001xw −=1

yw −=2

yw =1xw =2

−1001

(x, y)

(x, -y)

w=T(x)

(x, y)

(y, x)

xw=T(x) x

Refleksi pada bidang

Refleksi padabidang-xy

w1 = xw2 = yw3 = – z

Refleksi padabidang-xz

w1 = xw2 = – yw3 = z

Refleksi padabidang-yz

w1 = – xw2 = yw3 = z

(x, y, z)

(x, y, -z)

(x, y, z)(x, -y, z)x

(x, y, z)

(-x, y, z)

−100010001

100010001

Operator Proyeksi

Operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke dalamproyeksi ortogonalnya padasumbu-x

yxxw 01 +==

yxw 0002 +==

][TMatriks standar T:

Hubungan antara komponen x dan w

Proyeksi Ortogonal pada sumbu–x

Operator proyeksi: memetakan vektor ke dalamproyeksi ortogonalnya pada garisatau bidang melalui origin

(x, y)

(x, 0)

Proyeksi Ortogonal pada sumbu

Proyeksiortogonal padasumbu-x

w1 = x

w2 = 0

Proyeksiortogonal padasumbu-y

w1 = 0w2 = y

(x, y)

(x, 0)

(x, y)

(0, y)

Proyeksi Ortogonal pada bidang

Proyeksi ortogonalpada bidang-xy

w1 = xw2 = yw3 = 0

Proyeksi ortogonalpada bidang-xz

w1 = xw2 = 0w3 = z

Proyeksi ortogonalpada bidang-yz

w1 = 0w2 = yw3 = z

(x, y, z)

(x, y, 0)

(x, y, z)(x, 0, z)x

(x, y, z)

(0, y, z)

000010001

100000001

100010000

Operator Rotasi

Rotasi vektor pada R2 sebesar sudut θSudut rotasi positif: berlawanan dengan jarum jam

r x=(x, y)

w=(w1, w2)

φcosrx = φsinry =

)cos(1 φθ += rw

)sin(2 φθ += rw

Hubungan antara x dan w:

Operator Rotasi

Komponen vektor w

Operator rotasi:

θθ sincos1 yxw −=

θθ cossin2 yxw +=

θθθθ

cossinsincos

φθφθ sinsincoscos1 rrw −=

φθφθ sincoscossin2 rrw +=

Identitas trigonometri:

Operator Kontraksi dan Dilasi

Operator T(x) = kx dengan k tidak negatif

T(x)=kx

Kontraksi (0 ≤ k < 1) Dilasi (k > 1)

Operator Kontraksi dan Dilasi

Kontraksi sebesar kpada R2 (0 ≤ k < 1)

w1 = kxw2 = ky

Dilasi sebesar faktor k pada R2

(k > 1)

w1 = kxw2 = kyx

(kx, ky)

(x, y)x

(kx, ky)

Contoh 1

Komposisi Transformasi Linear

Transformasi linear dari TA: Rn → Rk dan TB: Rk → Rm

Komposisi dari TB dengan TA

TA diikuti TB : transformasi dari Rn ke Rm

Notasi TB ○TA

TB(TA(x))=(TB○TA)(x)TB○TA

Rn Rk Rm

Representasi Komposisi

Komposisi dari rotasisebesar θ1 dan θ2 berlawanan jarum jam (T2○T1)(x)= T2(T1(x))

T2(T1(x))

θ 1+θ 2

T1(x)T2(T1(x))y=x

yKomposisi dari refleksipada garis y=x diikutiproyeksi ortogonal padasumbu-y

Komposisi: tidak komutatif

Komposisi dari refleksi pada garis (T1(x)) dan proyeksiortogonal (T2(x))

T1(x)T2(T1(x))y=x

T1(T2(x))

T2(x) x

Komposisi: komutatif

Komposisi dari refleksi pada sumbu-x dan sumbu-y

T2(x)T1(T2(x))

(-x,- y) (x,-y)

(x,y)(-x,y)

(-x,- y)

xT1(x)

T2(T1(x))

Contoh 2

Interpretasi geometris dari eigenvektor

T: operator linear; A: matriks standar; x: vektor

T(x) = λ x A x = λ x

Eigenvektor untuk eigenvalue terkait

Eigenvalue

Perkalian dengan A memetakan x ke dalam perkalian skalar terhadap dirinya

Interpretasi geometris dari eigenvektor

Contoh 3

Perkalian dengan A di R2 dan R3 memetakan eigenvektor xke dalam vektor yang segaris dengan x

-1≤λ≤0λ≥10≤λ≤1 λ≤-1

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1

Dapatkan image dari

a) vektor (-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x

b) vektor (2,3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz

c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 90°

d) vektor (2, -1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal padabidang –yz

Contoh 1

a) Vektor image dari vektor x=(-1, 2) bila dilakukanrefleksi terhadap garis y=x

)(xw T

(-1, 2)

(2, -1)

w=T(x)

yy = x

Contoh 1

b) Vektor image dari vektor x=(2,3,3) bila direfleksikanpada bidang–xz

100010001

)(xw T

(2, 3, 3)

(2, -3, 3)

Contoh 1

c) Vektor image dari vektor x=(3, -4) bila di rotasi sebesar90°

90cos90sin90sin90cos

)(xw T(4, 3)

(3, -4)

Contoh 1

d) Vektor image dari vektor x=(2, -1,3) bila dilakukanproyeksi ortogonal pada bidang –yz

100010000

)(xw T

(0, -1, 3)

(2, -1, 3)

Contoh 2

a) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisiproyeksi ortogonal pada sumbu-y diikuti kontraksidengan faktor k=½Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri

b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi darioperator linear pada R3: refleksi pada bidang –xy, diikuti proyeksi ortogonal pada bidang –xzBuktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri

Contoh 2

a) T1: proyeksi ortogonal pada sumbu-y T2: kontraksi dengan faktor k=½

12 000

21 000

(2, 2)T1(x)

T2(T1(x))

)(2112 xTT

(2, 2)

T2(x)x

T1(T2(x))

Contoh 2

b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada

bidang –xz

100010001

100000001

(2, 4, 3)x

(2, 4, -3)

(2, 0, -3)

T2(T1(x))

100000001

100010001

100000001

))(( 12 xTT

Contoh 2

(2, 4, 3)

(2, 0, 3)

(2, 0, -3)

T1(T2(x))

b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada

bidang –xz

100010001

100000001

100010001

100000001

))(( 21 xTT

Contoh 3

T: R3→R3 adalah operator proyeksi ortogonal padabidang –xy

Vektor x pada aksis- z dipetakan ke dalam 0 oleh T vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen yang berkaitan

dengan eigenvalue λ=0

Buktikan bahwa:

Vektor pada bidang –xy dipetakan ke dalam dirinyaoleh T vektor tak-nol dalam bidang –xy : vektor eigen yang

berkaitan dengan eigenvalue λ =1

Contoh 3

Matriks standar untuk T

000010001

0)1(00

010001

)det( 2 =−=−−

=− λλλ

Persamaan karakteristik A

Eigenvalue: λ=0 dan λ=1

Contoh 3

Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=0

00010001

000010001

Vektor x terletak pada aksis-z

Solusi: x1=0; x2=0 ; x3=t

Contoh 3

Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=1

100000000

00010001

Solusi: x1=s; x2=t; x3=0

Vektor x terletak pada bidang-xy

Operator Linear

1) Refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi,

rotasi merupakan operator linear

3) Komposisi dari transformasi linear dari TA: Rn → Rk

diikuti dengan TB: Rk → Rm dinotasikan TB ○TA

2) Bergantung pada operator yang digunakan, komposisi

dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif

Soal Latihan, .

2) Buktikan bahwa

1) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi: rotasi sebesar 90° diikuti refleksi pada garis y=x

Operator Linear - Share ITSshare.its.ac.id/pluginfile.php/1467/mod_resource/content/1/LO16... ·...

Documents