Representative Sets

transcript

Parameterized Algorithms using MatroidsLecture II: Representative Sets

Saket Saurabh

The Institute of Mathematical Sciences, India

ASPAK, IMSc, March 3–8, 2014

Problems we would be interested in...Vertex CoverInput: A graphG = (V, E) and a positive integer k.Parameter: kQuestion: Does there exist a subset V 1 Ď V of size at most k such that forevery edge (u, v) P E either u P V 1 or v P V 1?

Hamiltonian PathInput: A graphG = (V, E)

Question: Does there exist a path P inG that spans all the vertices?

PathInput: A graphG = (V, E) and a positive integer k.Parameter: kQuestion: Does there exist a path P inG of length at least k?

Representative Sets

Why, What and How.

Representative Sets

Why, What and How.

Ham-Path

Dynamic Programming for Hamiltonian Path

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

V[Paths of length i ending at vj]

SETS, NOT SEQUENCES.

Two paths that use the same set of vertices but

visit them in different orders are equivalent.

= V[Paths of length (i− 1) ending at u, avoiding vj.]

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

Potentially storing(ni

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

Ham-Path...............

¨ ¨ ¨

n− 1

Example:

u P N(vj)

Valid:

Invalid:

)sets.

K-Path

Let us now turn to k-Path.

To find paths of length at least k,we may simply use the DP table for Hamiltonian Path

restricted to the first k columns.

K-Path...............

¨ ¨ ¨

k− 1

Worst case running time: O⋆((

K-Path...............

¨ ¨ ¨

k− 1

Worst case running time: O⋆(nk)

Do we really need to store all these sets?

In the ith column, we are storing paths of length i.

Let P be a path of length k.

There may be several paths of length i that “latch on” tothe last (k− i) vertices of P.

We need to store just one of them.

Example.

Suppose we have a path P on seven edges.

Consider it broken up into the first four and the last three edges.

..............

Example.

..............

Example.

..................

..............

........................................................

A Fixed Future (vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk).

.The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk.

..................

....................................................

...................................

....................................................

..................

.....................................................................

......................................................................

Let’s try a different example.

..................

......................................................................

Here’s one more example:

..................

.....................................................

The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk.

For any possible ending of length (k− i), we want to be sure that we storeat least one among the possibly many “prefixes”.

This could also be(

nk−i

The hope for “saving” comes from the fact that a single path of length i ispotentially capable of being a prefix to several distinct endings.

This could also be(

nk−i

This could also be(

nk−i

For example...

....................................................

Representative Sets

Why, What and How.

Partial solutions: paths of length j ending at vi

.A “small” representative family.

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

We would like to store at least one path of length j

that serves the same purpose.

Partial solutions: paths of length j ending at vi.

A “small” representative family.

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

A “small” representative family...........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

(k− j) vertices

j vertices

..........

Given: A (BIG) family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St

Want: A (small) subfamily pF of F such that:

For any X Ď [n] of size (k− p),

if there is a set S in F such that X X S = H,then there is a set pS in pF such that X X pS = H.

The “second half” of a solution — can be any subset.

S1, S2, . . . , St

This is a valid patch into X.

S1, S2, . . . , St

This is a guaranteed replacement for S.

S1, S2, . . . , St

Given: A ď(np

)family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St

Given: A ď(np

)family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St

Known: D(kp

)subfamily pF of F such that:

Bolobás, 1965.

Given: A a matroid (M, I), and a family of p-sized subsets from I:

S1, S2, . . . , St

Want: A subfamily pF of F such that:

For any X Ď [n] of size at most q,

if there is a set S in F such that X X S = H and X Y S P I,then there is a set pS in pF such that X X pS = H and X Y pS P I.

Lovász, 1977

S1, S2, . . . , St

Lovász, 1977

S1, S2, . . . , St

Lovász, 1977

S1, S2, . . . , St

There is a subfamily pF of F of size at most(p+qp

)such that:

Lovász, 1977

S1, S2, . . . , St

There is an efficiently computable subfamily pF of F of size at most(p+qp

)such that:

Márx (2009) and Fomin, Lokshtanov, Saurabh (2013)

Summary.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:

a X is disjoint from S, andb X and S together form an independent set,

then a q-representative family pF contains a set pS that is:a disjoint from X, andb forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Representative Sets

Back to Why.

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

[RECALL]

Representative Set Computation

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

[RECALL]

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

[RECALL]

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

[RECALL]

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

Not so fast!

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

Not so fast!

)is too big!

We are going to compute representative families at every intermediate stage ofthe computation.

For instance, in the ith column, we are storing i-uniform families.Before moving on to column (i+ 1), we compute (k− i)-representative families.

This keeps the sizes small as we go along.

We are going to compute representative families at every intermediate stage ofthe computation.

For instance, in the ith column, we are storing i-uniform families.Before moving on to column (i+ 1), we compute (k− i)-representative families.

This keeps the sizes small as we go along.

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

...............

¨ ¨ ¨

k− 1

RECALL

Blah blah.

¨ ¨ ¨

Let Pji be the set of all paths of length i ending at vj.

It can be shown that the families thus computed at the ith column, jth row areindeed (k− i)-representative families for Pj

The correctness is implicit in the notion of a representative family.

Representative Sets

A Different Why.

Vertex CoverCan you delete k vertices to kill all edges?

..............

.......

Vertex CoverCan you delete k vertices to kill all edges?

.....................

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.

Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Goal: Kernelization.

In this context, we are asking if there is a small subset X of the edges such that

G[X] is a YES-instance↔G is a YES-instance.

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.

Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Goal: Kernelization.

In this context, we are asking if there is a small subset X of the edges such that

G[X] is a YES-instance↔G is a YES-instance.

Note: IfG is a YES-instance, thenG[X] is a YES-instance for any subset X Ď E.

We get one direction for free!

It is the NO-instances that we have to worry about preserving.

What is a NO-instance?

....................

IfG is a NO-instance:

For any subset S of size at most k,there is an edge that is disjoint from S.

Ring a bell?

....................

IfG is a NO-instance:

For any subset S of size at most k,there is an edge that is disjoint from S.

Ring a bell?

Recall.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:

a X is disjoint from S, andb X and S together form an independent set,

then a q-representative family contains a set pS that is:a disjoint from X, andb forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Claim: A k-representative family for E is in factanO(k2) kernel for vertex cover.

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}

{f1, f2, . . . , fr}

k-Representative Family

Is there a Vertex Cover of size at most k?

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}

{f1, f2, . . . , fr}

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

Let us show that ifG[X] is a YES-instance, then so isG.

This time, by contradiction.

Let us show that ifG[X] is a YES-instance, then so isG.

This time, by contradiction.

..............

......

Try the solution forG[X] onG.

Suppose there is an uncovered edge.

Since X is a k-representative family, for ANY S Ď V , where |S| ď k:

if there is a set e in E such that e X S = H,

then there is a set pe in X such that pe X S = H.

Note that the green edges denoteG[X].

Contradiction!

.....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

....................

Contradiction!

A k-representative family for E(G) is in factanO(k2) instance kernel for Vertex Cover!

Representative Sets

Why, What and How.

Notation

Det(M) : JMKLetM be am ˆ n matrix, and let I Ď [m], J Ď [n].

M[I, J] : M restricted to rows indexed by I and columns indexed by J

M[⋆, J] : M restricted to all rows and columns indexed by J

M[I, ⋆] : M restricted to rows indexed by I and all columns

Standard Laplace Expansion

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

Fix a row and expand along the columns.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

Generalized Laplace Expansion

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Fix a set of columns, J Ď [6].

Iterate over all I Ď [6] such that |I| = |J|.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+3)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+4)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+3+4)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+3+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+3+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+4+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(1+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+3+4)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+3+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+3+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+4+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(2+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(3+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(3+4+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(3+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

uwwwwwwwv

}��~

(−1)(1+3+6)+(4+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

Recall: A Linear (or Representable) Matroid

M = (E, I), where E = {e1, . . . , en} and I Ď 2E

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Columns indexed by elements of E

...are linearly independent.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Columns corresponding to S P I

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Columns corresponding to S P I

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Columns that are linearly independent...

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Columns that are linearly independent...

...correspond to sets in I.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

xen−1

Given: A collection of p-sized independent sets1:

S = {S1, . . . , St}.

Want: A q-representative subfamily pS of size ď(p+qp

1The rank of the underlying matroid is (p+ q).

Given: A collection of p-sized independent sets1:

S = {S1, . . . , St}.

Want: A q-representative subfamily pS of size ď(p+qp

1The rank of the underlying matroid is (p+ q).

..Z P S

.|Z| = p.

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

.Given

pZ P pS

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

.Given

pZ P pS

|pZ| = p

.Z P S

.|Z| = p.

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

.Given

pZ P pS

|pZ| = p

.Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

.Given

pZ P pS

|pZ| = p

.Z P S

.|Z| = p

Y Ď E

|Y| = q

pZ P pS

.Given

pZ P pS

|pZ| = p

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17 ..a18 ..a19 ..a110 ..a111 ..a112 ..a113 ..a114 ..a115 ..a116 ..a117

.AM = . (p+ q)

Columns corresponding to Z

Columns corresponding to Y

Columns corresponding to Z Y Y: LINEARLY INDEPENDENT

Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

Det(A[I, Z]) ¨ Det(A[I, Y]) ¨ m

.AM = . (p+ q).

Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y])

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =ÿ

IĎ[p+q],|I|=p

.AM = . (p+ q).

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =ÿ

IĎ[p+q],|I|=p

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

..Det(A[I0, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Z])

All subsets of size p of (p+ q).

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

Det(A[I, Z]) = λ1Det(A[I, T1]) + ¨ ¨ ¨ + λrDet(A[I, Tr])

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

..Det(A[I0, S1]) .., . . . , ..Det(A[Ij, S1]) .., . . . , ..Det(A[Ir, S1])

..Det(A[I0, Si]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Si]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Si])

..Det(A[I0, St]) .., . . . , ..Det(A[Ij, St]) .., . . . , ..Det(A[Ir, St])

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

..Det(A[I0, T1]) .., . . . , ..Det(A[Ij, T1]) .., . . . , ..Det(A[Ir, T1])

..Det(A[I0, Tr]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Tr]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Tr])

A basis of size ď(p+qp

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

....Det(A[I0, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Z])

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, ZYY]) =x

IĎ[p+q],|I|=p

λiDet(A[I, Ti])¨Det(A[I, Y])¨m

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, ZYY]) =r

IĎ[p+q],|I|=p

Det(A[I, Ti])¨Det(A[I, Y])¨m

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

dimensionalvectors.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

Note that at for at least one Ti, we have that:Det(AM[‹,TiYY]) ‰ 0

For such a Ti, we know that:

..1 Y X Ti = H (easily checked: all terms that survive have this property),

..2 Y Y Ti P I (since non-zero determinant→ linearly independent columns).

Thus, the sets corresponding to the basis vectors, T1, . . . , Tr, do form aq-representative family.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

Det(AM[‹,TiYY])

....vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

A basis of size(p+qp

Computing T1, . . . , Tr.

We form a matrix with the vectors {vS1, . . . , vSi

, . . . , vSt} as the columns:

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

...and compute a column basis.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

¨ ¨ ¨

vSt−1

..JA[I0, S1]K ..JA[I0, S2]K ... . . ..JA[I0, Si]K ... . . ..JA[I0, St]K

..... ..

... ..... ..

.....JA[Ij, S1]K ..JA[Ij, S2]K ... . . ..JA[Ij, Si]K ... . . ..JA[Ij, St]K..... ..

... ..... ..

.....JA[Ir, S1]K ..JA[Ir, S2]K ... . . ..JA[Ir, Si]K ... . . ..JA[Ir, St]K

t columns

..... ..

... ..... ..

t columns

..... ..

... ..... ..

t columns

)Determinant Computations.

LetM be a linear matroid of rank p+ q = k, S = {S1, . . . , St} be a p-familyof independent sets. Then there exists a q-representative of size at most

Moreover, given a representation ofM over a field F, we can find such arepresentative family inO

((p+qq

)tpω + t

)ω−1)

operations over F.

LetM be a linear matroid of rank p+ q = k, S = {S1, . . . , St} be a p-familyof independent sets. Then there exists a q-representative of size at most

Moreover, given a representation ofM over a field F, we can find such arepresentative family inO

((p+qq

)tpω + t

)ω−1)

operations over F.

Representative Sets

And that will be all!

Representative Sets

Education