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Sistemas de Control AvanzadoNotas de Aula
Juan Carlos Cutipa Luque
Departamento Académico de Ingeniería Electrónica
4 de junio, 2019
Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Introducción
Contenidos:
1 Control LQG/LTR.
2 Control H innito.
Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation
Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Control LQG/LTR
El método aplicado aquí se aplica a sistemas de fase mínima. Los temasrequeridos para está sección son, control óptimo LQR y estimadores deestado. Sea el sistema dinámico denido por:
x = Ax+Bu,
y = Cx,(1)
cuya función de transferencia puede ser:
G(s) = C(sI −A)−1B, (2)
donde:Φ(s) = (sI −A)−1. (3)
La dupla [A,B] es estabilizable, que quiere decir que todos los modosinestables son controlables. La dupla [A,C] es detectable, que quiere decirque todos los modos inestables en el sistema son observables.
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Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Control LQG/LTR
Supongamos que GA(s) representa la planta real con incertidumbres detipo multiplicativa:
GA = [I + ∆(s)]G(s), (4)
donde ∆(s) representa el error multiplicativo y tiene la restricciónsiguiente:
σ(∆(s)) ≤ em(ω) (5)
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Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Sensibilidad
Consideremos el sistema con disturbio en la salida d y ruidos en lossensores n. La salida se expresa por:
y = GNK(I +GNK)−1(r − n) + (I +GNK)−1d (6)
y = (I +GNK)−1(r − d) +GNK(I +GNK)−1n. (7)
La sensibilidad del sistema es:
∆Hcl = (I +GRK)−1∆Hol, (8)
y representa las variaciones del sistema en lazo cerrado frente avariaciones de sistema en lazo abierto, causado por variaciones en laplanta GR = (I + ∆)GN .
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Sensibilidad
La restricción de sensibilidad para SISO es:
|1 + g(jω)k(jω)|−1 ≤ 1/p(ω),∀ω ≤ ω0, (9)
donde p(ω) son las especicaciones de desempeño y ω0 es el rango defrecuencia del sistema.
σ((I +G(jω)K(jω))−1
)<< 1. (10)
oσ(S) << 1. (11)
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Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Especicaciones de robustez para sistemas SISO
El buen tracking o acompañamiento de la señal de referencia estáespecicado por αr; el rechazo a los disturbios por αd y el rechazo aruidos de los sensores por αn. Además, el error de modelado por eM quecrece con la frecuencia. La función de transferencia en lazo abierto esgNk.
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Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Condición de estabilidad robusta SISO
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Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación
Condición de estabilidad robusta SISO
Sigue la demostración de condición deestabilidad robusta:
|gRk − gNk|
|gNk|<|1 + gNk||gNk|
(12)
Denimos error multiplicativoεM = (gR − gN )/gN , de donde:
|εM (jω)| < 1
|TN (jω)|. (13)
Siendo que |εM (jω)| ≤ eM (ω):
|TN (jω)| < 1
eM (ω). (14)
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Condición de estabilidad robusta SISO
la planta real es expresada por el error multiplicativo en relación a laplanta nominal.:
gR = (1 + εM )gN (15)
Limitando |εM | ≤ eM (ω) y por el teorema de Nyquist (asumiendo que el# de pólos inestables en malla abierta es el mismo para gN y gR):
gR(jω)k(jω) 6= 1. (16)
sustituyendo:(1 + εM (jω))gN (jω)k(jω) 6= 1. (17)
multiplicando y organizando:
1 + gNk + εMgNk 6= 0, (18)
1 + εMgNk
1 + gNk6= 0, (19)
1 + εMTN 6= 0, (20)
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Condición de estabilidad robusta SISO
donde TN es la función de transferencia en lazo cerrado. Asumiendo loslimites |ε(jω)| ≤ eM (w), se tiene
la condición de robustez de la estabilidad
|TN (jω)| < 1
eM (w),∀ω. (21)
El error de modelado eM (ω) crece con la frecuencia y se debe buscar queTN sea aún más pequeño en alta frecuencia.
Para expresar en función dela lazo abierto y considerando queeM (ω) >> 1 en alta frecuencia, podemos reescribir:
la condición de robustez de la estabilidad
|gN (jω)k(jω)| < 1
eM (ω),∀ω > ω0. (22)
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Condición de desempeño robusto SISO
La especicación de desempeño del sistema es dada por p(ω) denida enel rango 0 ≤ ω ≤ ω0 (buen tracking y buen rechazo a disturbios).Considerando el error de modelado eM (ω) < 1 en baja frecuencia, setiene:
|gR(jω)k(jω)| ≥ p(ω),∀ω : 0 ≤ ω ≤ ω0 (23)
Sustituyendo la planta real:
|1 + εM ||gNk| ≥ p. (24)
Por hipótesis |εM | ≤ eM ⇒ 1− |εM | ≥ 1− eM . Luego por desigualdades|1 + εM | ≥ 1− |εM | ≥ 1− eM ≥ 0.Luego, se tiene:
(1− eM )|gNk| ≥ p, (25)
que lleva al resultado de:
la condición de desempeño robusto SISO
|gN (jω)k(jω)| > p(w)
1− eM (ω),∀ω ≤ ω0. (26)
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Respuesta en frecuencia de sistemas MIMO
Sea el sistema multivariable:
G(s) =
1
s+ 10
010
3s+ 1
(27)
No es posible ahora gracar el Bode, y nos ayudamos con los valoressingulares:
Valores singulares
σ(G) = max‖x‖=1 ‖Gx‖ =√λmax[G∗G]
σ(G) = mın‖x‖=1 ‖Gx‖ =√λmin[G∗G]
Código Gnu-Octave
https://octave-online.net/bucket~5pxLqTeavMU3D2ciSwMC3b
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Modelo nominal
El método aplicado aquí se aplica a sistemas de fase mínima. Los temasrequeridos para está sección son, control óptimo LQR y estimadores deestado. Sea el sistema dinámico denido por:
x = Ax+Bu,
y = Cx,(28)
cuya función de transferencia puede ser:
G(s) = C(sI −A)−1B, (29)
donde:Φ(s) = (sI −A)−1. (30)
La dupla [A,B] es estabilizable, que quiere decir que todos los modosinestables son controlables. La dupla [A,C] es detectable, que quiere decirque todos los modos inestables en el sistema son observables.
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Ceros de transmisión
Reescribiendo la dinámica:[sI −A −BC 0
] [xu
]=
[0y
](31)
s = zk es un cero de transmisión si un dado estado inicial x(0) = x0 ysiendo la entrada u(t) = u0e
−zkt para (t ≥ 0), entonces y(t) = 0 para(t ≥ 0). [
zkI −A −BC 0
] [x0u0
]= 0 (32)
zk es un cero del sistema A,B,C cuando el sistema de ecuaciones tienesolución no trivial, o sea la matriz anterior sea singular o:
det
[zkI −A −B
C 0
]= det(zkI −A)︸ ︷︷ ︸
6=0
det[C(zkI −A)−1B]︸ ︷︷ ︸=0
= 0 (33)
Finalmente:det[G(zk)] = 0 (34)
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Ejemplo: calcule los pólos y ceros de transmisión
G(s) =1
s+ 2
[s− 1 44,5 2(s+ 1)
](35)
El rango norma de G(s) es 2. Calculamos la determinante de G(s):
detG(s) =2(s− 1)2 − 18
(s+ 2)2= 2
s− 4
s+ 2. (36)
Si igualamos el numerador a cero, obtenemos un cero de transmisión enZk = 4 en el SPD (semiplano derecho). Luego, el sistema también tieneun pólo en s = 2 en el SPI (semiplano izquierdo).
Código Gnu-Octave
https://octave-online.net/bucket~8eR6NbvAR8H2DxiPKKNhEg
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Condición de estabilidad robusta MIMO
Extendemos (demostración, ver [2]) lo desarrollado en SISO para MIMO y
la condición de estabilidad robusta es
σ(TN (jω)) <1
eM (ω),∀ω, (37)
donde σ(εM (jω)) ≤ eM (ω).La aproximación para frecuencias altas, también es válida y podemostambién expresar
la condición de estabilidad robusta como
σ(GN (jω)K(jω)) <1
eM (ω),∀ω > ω0 o cuando eM >> 1. (38)
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Condición de estabilidad robusta MIMO
Grácamente:la condición de estabilidad robusta como
σ(GN (jω)K(jω)) <1
eM (ω),∀ω > ω0 o cuando eM >> 1. (39)
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Desempeño robusto MIMO: tracking
Del diagrama de bloques con el sistema nominal, el error:
e = [I +GNK]−1r − [I +GNK]−1d− [I +GNK]−1n. (40)
La relación de buen tracking es la relación entre e y y:
e = [I +GNK]−1r, (41)
especicada por αr << 1 y que ocurre en un rango de frecuenciaΩr = ω := ω ≤ ωr.
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Desempeño nominal MIMO: tracking
Expresamos la relación del erro en función de la especicación αr. Elerror es:
‖e‖ = ‖(I +GNK)−1r‖≤ ‖(I +GNK)−1‖.‖r‖, (42)
‖e‖‖r‖≤ ‖(I +GNK)−1‖= σ((I +GNK)−1). (43)
Luego de usar desigualdad triangular y la denición ‖G‖ = σ(G). Ahorausamos la propiedad σ(G−1) = 1/σ(G)
‖e‖‖r‖≤ 1
σ(I +GNK). (44)
Además por especicación ‖e‖/‖r‖ ≤ αr << 1, es suciente que:
1
σ(I +GNK)≤ αr. (45)
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Desempeño nominal MIMO: rechazo a disturbios
σ(I +GNK) ≥ 1
αr. (46)
Usando la prop. σ(G)− 1 ≤ σ(I +G) ≤ σ(G) + 1 y como 1/αr >> 1:
σ(GN (jω)K(jω)) ≥ 1
αr,∀ω ∈ Ωr. (47)
Análogamente, para la especicación de rechazo a disturbios αd << 1que ocurre en un rango de frecuencia Ωd = ω := ω ≤ ωd:
σ(GN (jω)K(jω)) ≥ 1
αd,∀ω ∈ Ωd. (48)
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Desempeño nominal MIMO: rechazo a ruidos
El rechazo a ruidos de la medida se deduce de la relación de diagrama debloques:
y = −(I +GNK)−1GNKn. (49)
Aplicando norma y sus relaciones:
‖y‖ = ‖ − (I +GNK)−1GNKn‖ ≤ ‖(I +GNK)−1GNK‖.‖n‖≤ ‖(I +GNK)−1‖.‖GNK‖.‖n‖.
(50)
Aplicando la denición de norma:
‖y‖‖n‖≤ σ((I +GNK)−1).σ(GNK), (51)
y la relación σ(G−1) = 1/σ(G), se tiene:
‖y‖‖n‖≤ 1
σ(I +GNK).σ(GNK). (52)
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Desempeño nominal MIMO: rechazo a ruidos
La especicación de rechazo a ruidos es dada por ‖y‖/‖n‖ ≤ αn << 1en Ωr = ω := ω ≥ ωn. Por tanto es suciente:
σ(GNK)
σ(I +GNK)≤ αn. (53)
Suponiendo que GNK pequeño, entonces σ(I +GNK) ≈ 1 y:
σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn,∀ω > ωn. (54)
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Desempeño robusto MIMO
Sustituimos la planta nominal GN por la planta real GR = (I + εM )GN yusando propiedades de valores singulares podemos llegar a las relaciones:
la condición de desempeño robusto en baja frecuencia
σ(GN (jω)K(jω)) ≥ p(ω)
1− eM, (55)
donde ‖εM (jω)‖ = σ(εM ) ≤ eM . Sustituyendo el modelo real en laecuación de desempeño nominal de rechazo a ruidos (54), se tiene:
σ((I + εM )GNK) ≤ αn. (56)
Después de la utilización de propiedades de valores singulares, se tiene:
la condición de desempeño robusto en alta frecuencia
σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn1 + eM
. (57)
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Estabilidad y desempeño robustos MIMO
Podemos visualizar las condiciones dadas σ(GN (jω)K(jω)) ≥ p(ω)
1− eM(baja
frecuencia) y σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn
1 + eM(alta frecuencia) en el siguiente
gráco.
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Elementos del compensador
Asumiendo la planta LIT:
x = Ax+Bu,
y = Cx,(58)
y si todos los estados están disponibles C = I. Por tanto, una ley decontrol simples es u = −Gx. Luego el sistema realimentado queda:
x = (A−BG)x, (59)
con la matriz G constante es ajustada de tal manera que los autovaloresλi(A−BG) estén en el SPI o tengan parte real negativa.
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Estimador de estados
Consideremos la propia dinámica de la planta como estimador:
˙x = Ax+Bu. (60)
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Estimador de estados
Siendo que el error de estimación de estados es ex = x− x, su dinámicaserá:
ex = x− ˙x. (61)
Luego, sustituyendo las dinámicas del sistema y del estimador, se tiene:
ex = Aex. (62)
Quiere decir que la convergencia del error está limitada por la dinámicade la planta (los autovalores).
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Estimador de estados
Podemos usar la información adicional, denida como innovación y − ypara formar un estimador:
˙x = Ax+Bu+H(y − y), (63)
donde y = Cx y la matriz de ganancia H es constante que permitiráalocar los autovalores de la dinámica del error.
ex = Aex −H(y − y) = Aex −H(Cx− Cx) (64)
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Estimador de estados
La dinámica del error (62) se convierte en:
ex = Aex −H(y − y) = Aex −H(Cx− Cx) (65)
ex = (A−HC)ex (66)
Podemos alocar los autovalores de A−HC para una rápidaconvergencia del error, escogiendo apropiadamente la matriz H.
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Estructura del compensador LQG
Una vez denido el controlador G y el estimador H, nuestrocompensador queda en la forma:
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Lazo cerrado en espacio de estados
El modelo en espacio puede ser obtenido del diagrama de bloques. Delbloque compensador K(s):
v(t) = −e(t)− Cz(t) (67)
z(t) = Az(t) +Hv(t) +Bu(t) (68)
u(t) = −Gz(t) (69)
Sustituyendo (67) y (69) en (68), podemos reescribir la dinámica delcompensador K(s):
z(t) = (A−HC −BG)z(t)−He(t) (70)
u(t) = −Gz(t). (71)
Aplicando Laplace:
K(s) = G(sI −A+HC +BG)−1H. (72)
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Lazo cerrado en espacio de estados
Ahora, cerramos la malla con e(t) = r(t)− y(t) = r(t)− Cx(t) y laplanta (58). Obtenemos la malla cerrada:
x(t) = Ax(t)−BGz(t) (73)
z(t) = (A−HC −BG)z(t) +HCx(t)−Hr(t) (74)
y(t) = Cx(t) (75)
y en la forma matricial:[x(t)z(t)
]=
[A−BG −BGHC A−HC −BG
] [x(t)z(t)
]+
[0
−H
]r(t)(76)
y(t) =[C 0
] [ x(t)z(t)
](77)
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Lazo cerrado en espacio de estados
Realizamos la transformación de variables de estado:
x(t) = x(t) (78)
w(t) = x(t)− z(t), (79)
para escribir nuevamente la dinámica en lazo cerrado:[x(t)w(t)
]=
[A−BG BG
0 A−HC
] [x(t)w(t)
]+
[0
H
]r(t) (80)
y(t) =[C 0
] [ x(t)w(t)
]. (81)
Esta última representación nos permite usar la propiedad de separaciónde forma que separadamente proyectamos el controlador y el observadorde estados, respectivamente:
λi(A−BG), (82)
λi(A−HC). (83)
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Lazo cerrado en espacio de estados
G es calculado por la solución de la ecuación de Ricatti y H es calculadopor le ltro de kalman. Las funciones disponibles en Matlab yGnu-Octave son lqr y kalman.La función de transferencia en el dominio de Laplace se puede calcularfácilmente:
TN (s) =[C 0
](sI −
[A−BG BG
0 A−HC
])−1 [0H
](84)
Usando transformaciones algebraicas simples, se llega a:
TN (s) = C(sI −A+BG)−1BG(sI −A+HC)−1H (85)
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Procedimiento de Recuperación LTR
El LTR (o Loop Transfer Recovery) es valido para sistema cuyos ceros detransmisión sean de fase mínima.
Del diagrama de bloques abriendo o lazo después de GN (s), tenemos lafunción de transferencia en lazo abierto GN (s)K(s)
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Control LQR
Dado o sistema (58), o control LQR consiste en minimizar el funcional:
J =
∫ ∞0
(yT (t)y(t) + uT (t)Ru(t))dt, (86)
donde R = RT > 0. Otra forma puede ser:
J =
∫ ∞0
(xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)
)dt. (87)
Para nuestro caso Q = CTC > 0. Siendo que el control u = −Gx(t), elproblema se reduce en calcular G = R−1BTX resolviendo la EcuaciónAlgebraica de Ricatti (ARE).
0 = −XA−ATX − CTC +XBR−1BTX, (88)
donde X es n× n es la única variable desconocida.
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Control LQR
La ecuación Ricatti en Matlab/Gnu-Octave se resuelve con are, donde elcontrol barato ('cheap control') se alcanza con un ρ→ 0+ en:
R = ρI =
ρ. . .
ρ
(89)
De modo que el control queda en la forma:
G =1
ρBTX (90)
Código en Gnu-Octave
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Lema 1: si los ceros de transmisión de lazo cerrado C(sI −A)−1Bpertenecen al SPI, entonces:
lımρ→0+
X = 0. (91)
Lema 2: sobre las condiciones del Lema 1, se tiene:
lımρ→0+
X = 0. (92)
lımρ→0+
√ρG = WC, (93)
donde W es una matriz ortogonal (WWT = I).
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Demostración de Lema 2: sabiendo que
G =1
ρBTX ⇒ GT =
1
ρXTB =
1
ρXB, se tiene:
0 = −XA−ATX − CTC +XB1
ρρ
1
ρBTX, (94)
0 = −>0
XA−AT>0
X − CTC +GT
XB1
ρρ>
G1
ρBTX, (95)
GT√ρ√ρG ≈ CTC. (96)
Considerando una matriz ortogonal WT = W = I:
(√ρG)T
√ρG ≈ CTWTWC. (97)
Finalmente queda demostrado:
√ρG→WC. (98)
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Teorema Fundamental LTR
Si:
A,B es controlable y A,C es observable,
GN (s) es cuadrada,
los ceros de transmisión de GN (s) son de fase mínima (∈ SPI),
la matriz de ganancia del controlador es calculada porG = 1/ρBTX con ρ > 0, y donde X es la solución de la ARE,
entonces:
lımρ→0+
K(s) = [C(sI −A)−1B]−1C(sI −A)−1H, (99)
lımρ→0+
GN (s)K(s) = C(sI −A)−1H (100)
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Teorema Fundamental LTR
lımρ→0+
K(s) = [C(sI −A)−1B]−1C(sI −A)−1H, (101)
lımρ→0+
GN (s)K(s) = C(sI −A)−1H (102)
El teorema quiere decir que el sistema de control se aproxima al de lagura:
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Inversión de matrices
El siguiente es un Lema de inversión de matrices:
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(C−1 +DA−1B)−1DA−1 (103)
Dada las matrices:
Φ(s) = (sI −A)−1, (104)
Φ(s) = (sI −A+HC)−1, (105)
podemos expresar el Lema siguiente:
Φ(s) = Φ(s)− Φ(s)H (I + CΦ(s)H)−1CΦ(s) (106)
La demostración es trivial y se realiza usando (103):
Φ(s) = (sI −A︸ ︷︷ ︸A
+ H︸︷︷︸B
I︸︷︷︸C
C︸︷︷︸D
)−1, (107)
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Demostración del teorema fundamental
Aplicando la denición (105) a la ecuación del compensador (72):
K(s) = G(sI −A+HC +BG)−1H, (108)
y transformaciones algebraicas:
= G(
Φ−1
+BIG)−1
H, (109)
= G(Φ− ΦB(I +GΦB)−1GΦ
)H, (110)
=(GΦ−GΦB(I +GΦB)−1GΦ
)H, (111)
=(I −GΦB(I +GΦB)−1
)GΦH, (112)
=((I +GΦB)(I +GΦB)−1 −GΦB(I +GΦB)−1
)GΦH,(113)
=((I +GΦB)−GΦB
)(I +GΦB)−1GΦH, (114)
= (I +GΦB)−1GΦH, (115)
= (I +GΦB)−1(√ρ)−1√ρGΦH. (116)
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Demostración del teorema fundamental
Continuando con la inclusión de ρ→ 0:
lımρ→0+
K(s) = (*0√ρI +
*WC√ρGΦB)−1
*WC√ρGΦH, (117)
= (CΦB)−1W−1WCΦH, (118)
= (CΦB)−1CΦH. (119)
Sustituyendo φ del Lema (106):
=(C(
Φ− ΦH (I + CΦH)−1CΦ)B)−1
CΦH, (120)
=(CΦB − CΦH (I + CΦH)
−1CΦB
)−1CΦH. (121)
=((I − CΦH (I + CΦH)
−1)CΦB
)−1CΦH. (122)
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Demostración del teorema fundamental
Realizando el articio de la matriz identidad:
=((
(I + CΦH) (I + CΦH)−1 − CΦH (I + CΦH)
−1)CΦB
)−1CΦH.(123)
=(
(I + CΦH)−1CΦB
)−1CΦH, (124)
= (CΦB)−1
(I + CΦH)CΦH, (125)
Sustituyendo nuevamente φ del Lema (106):
= (CΦB)−1
(I + CΦH)C(
Φ− ΦH (I + CΦH)−1CΦ)H, (126)
= (CΦB)−1
(I + CΦH)(CΦH − CΦH (I + CΦH)
−1CΦH
),(127)
= (CΦB)−1
(I + CΦH)(I − CΦH (I + CΦH)
−1)CΦH. (128)
Realizando nuevamente el articio en la matriz identidad:
= (CΦB)−1
(I + CΦH) (I + CΦH)−1CΦH, (129)
= (CΦB)−1
(I + CΦH) (I + CΦH)−1CΦH, (130)
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Demostración del teorema fundamental
Finalmente:
lımρ→0+
K(s) = (CΦB)−1CΦH. (131)
De manera que el proyecto de control se traduce en formatearGNK ≈ (CΦB) (CΦB)
−1CΦH = CΦH.
A este resultado también se le conoce como planta del ltro de KalmanGKF :
Finalmente:
GKF = CΦH = C(sI −A)−1H. (132)
De manera que será suciente escoger H para atender lasespecicaciones de proyecto.
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Malla objetivo
La estructura de la malla objetivo presenta C y Φ de la planta, y unamatriz constante H que llamaremos ganancia del ltro.La función de transferencia de esta estructura es:
GKF (s) = CΦ(s)H. (133)
Para estabilidad robusta se debe garantizar que:
σ(TKF ) ≤ 1
em(ω)(134)
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Malla objetivo
La función de sensibilidad de la malla objetivo es:
SKF (s) = (I +GKF (s))−1. (135)
La sensibilidad complementaria:
TKF (s) = (I +GKF (s))−1GKF (s). (136)
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El ltro de Kalman
El sistema es perturbado por un ruido en los estados ξ ∈ <m y por ruidosen la medida v(t):
x(t) = Ax(t) + Lξ(t), (137)
y(t) = Cx(t) + v(t). (138)
Además, los ruidos son del tipo blanco gausiano y no son correlacionadosentre si (ti y ti+1):
E[ξ(t)] = 0 (139)
E[ξ(t)ξT (t)] = Ξ.δ(t− T ), (140)
donde Ξ = ΞT es la matriz de intensidad de ruido en el estado yδ(t− T ) es el ruido blanco gausiano.
E[v(t)] = 0 (141)
E[v(t)vT (t)] = Θ.δ(t− T ) (142)
donde Θ = ΘT es la matriz de intensidad de ruido en la medida.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation
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El ltro de Kalman
La estructura del ltro de Kalman es:
La dinámica del ltro:
˙x(t) = Ax(t) +H (y(t)− Cx(t)) . (143)
cuyo objetivo es minimizar:
mın
n∑i=1
E
[xi(t)− xi(t)]2, (144)
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El ltro de Kalman
Se presenta la dualidad entre el KF y el LQR:LQR A B Q = CTC R X G
KF AT BT LΞLT Θ Σ HT
Por analogía con el LQR (G = R−1BTX):
HT = Θ−1(CT )TΣ. (145)
HT = ΣCTΘ−1. (146)
De la misma analogía (√ρG→WC para R = ρI y ρ→ 0), se tiene√
µHT →WLT , Θ = µI y:
√µH → LWT (147)
Esta dualidad permite obtener fácilmente un H tal queλi(A−HC) ∈ SPI.
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El ltro de Kalman
Análogamente, tenemos que encontrar H a partir de la ecuación deRicatti:
HT = ΣCTΘ−1, (148)
0 = −AΣ −ATΣ − LΞLT +ΞCTΘ−1CΣ. (149)
Para resolver la ecuación arriba, necesitamos de L, Ξ, Θ, y losparámetros de la planta. Por simplicación Ξ = I y Θ = µI. Por tanto,solo falta ver como los valores de L y µ inuencian en los valoressingulares de GKF . Para eso, será necesario usar la identidad de Kalman:
[I +GKF (s)]Θ [I +GKF (s)]T
= Θ +GMA(s)ΞGTMA(−s), (150)
donde GMA(s) = C(sI −A)−1L y GKF (s) = C(sI −A)−1H. Para sudemostración, ver [2].
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Aplicación de la Identidad de Kalman
Siendo Ξ = I, Θ = µI, y GH(jω) = GT (−jω), los autovalores:
λi
[I +GKF (jω)] [I +GKF (jω)]
H
= λi
I +
1
µGMA(jω)ΞGHMA(jω)
.
(151)Aplicando identidades λi(A
HA) = λi(AAH) = σ2
i (A) yλi(I +A) = 1 + λi(A), se tiene:
σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + λi
1
µGMA(jω)GHMA(jω)
, (152)
σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + λi
1
µGMA(jω)GHMA(jω)
, (153)
σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + σ2
i
1
µGMA(jω)GHMA(jω)
, (154)
σi [I +GKF (jω)] =
√1 +
1
µσ2i [GMA(jω)], (155)
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Desempeño y estabilidad de la malla objetivo
De (155) y siendo que σ[GKF (jω)] >> 1 (buen desempeño):
σi [GKF (jω)] ≈ 1√µσi[GMA(jω)],∀ω ∈ Ω. (156)
De (155) y siendo que CL es no singular y µ << 1 (estabilidad):
σi [GKF (jω)] ≈ 1√µσi[GMA(jω)],∀ω ∈ Ω. (157)
O sea, tanto para el desempeño como para la estabilidad, la regla es lamisma en relación a escoger µ y L de manera que GKF respete lasbarreras de desempeño y estabilidad. µ puede ser usado para ajustar lafrecuencia de cruzamiento.
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Selección de los parametros del proyecto
Se procede a denir la malla objetivo:
escoger µ y L,
resolver la ARE para obtener Σ,
calcular la matriz de ganancia H del ltro de Kalman.
Hay muchas maneras de escoger LL (L en bajas frecuencias), unaalternativa es:
LL = −CT (CA−1CT )−1, (158)
y asumiendo para bajas frecuencias
GMA(jω) = C(j>0
ωI −A)−1L = −CA−1L = I:
LL = −ACT (CCT )−1. (159)
Escogemos LH (L en altas frecuencias) que torna
GMA(jω) = C(jωI −A)−1L =1
jωCL =
1
jωI:
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Selección de los parametros del proyecto
Escogemos LH (L en altas frecuencias) que torna
GMA(jω) = C(jωI −A)−1L =1
jωCL =
1
jωI:
LH = CT (CCT )−1. (160)
Y si la matriz es de la forma L = MN donde N ∈ Rn×n y M ∈ Rn×m.De modo que CL = CNM = I y M = CT (CNCT )−1. Luego:
LH = NCT (CNCT )−1, (161)
que nos permite exibilidad en la elección de LH a través de Ncualquiera.
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Selección de parametros (inclusión de I/s)
Adicionando un integrados a la planta:
GN (s) = Cp(sI −Ap)−1BpI/s, (162)
las matrices del modelo en espacio de estados queda:
A =
[0 0Bp Ap
], B =
[I0
], C =
[0 Cp
]. (163)
De forma que se escogen L =[LL LH
]Ten baja frecuencia y en alta
frecuencia como sigue:
LL = −(CpA−1p Bp)
−1, (164)
LH = CTp (CpCTp )−1. (165)
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Referencias
1 M. Athans. A tutorial on the LQG/LTR method. American ControlConference. 1986.
2 J. da Cruz. Controle Robusto Multivariável. EDUSP. 1996.
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