Post on 10-Feb-2016
description
transcript
INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND CONTINUUM MECHANICS
PART 1 : INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS
Medan scalar menggambarkan suatu kesesuaian terhadap yang lain di antara titik dan
bilangan scalar tunggal. Konsep dapat digeneralisasi dengan menetapkan bilangan kuadrat n
ke titik tunggal atau bilangan pangkat tiga ke titik tunggal. Ketika bilangan ini mematuhi
hokum transformasi mereka menjadi contoh dari medan tensor. Secara umum medan scalar
disebut sebagai medan tensor pangkat atau orde nol mengingat medan vector disebut medan
tensor pangkat atau orde satu.
Secara dekat yang berkaitan dengan kalkulus tensor yaitu indisial atau notasi index.
Kita juga mendefinisikan medan scalar, vector dan tensor ketika mereka diperlakukan sebagai
berbagai transformasi koordinat, itu menunjukkan bahwa tensor memiliki sifat yang tidak
tergantung pada system koordinat yang digunakan untuk menggambarkan tensor. Karena
sifat tersebut, tensor dapat digunakan untuk menunjukkan berbagai hokum fundamental yang
terjadi dalam fisika, teknik, sains dan matematika.
1.1Notasi Index
Dua vector A dan B dapat diekspresikan dalam bentuk komponen :
A=A1 e1+ A2 e2+ A3 e3 dan B=B1 e1+B2 e2+B3 e3
Dimana e1, e2 dan e3 merupakan vector basis orthogonal. Vector A dan B sering
diringkas sebagai triple bilangan. Misalnya, dapat dituliskan :
A=( A1 , A2, A3 ) dan B=( B1 , B2 ,B3 )
Itu menunjukkan bahwa hanya komponen vector A dan B yang diberikan. Unit vector
akan menunjukkan :
e1=(1 , 0 ,0 ) e2=(0 , 1 ,0 ) e3=(0 , 0 ,1 )
Pada notasi indeks, besaran Ai , i=1 ,2 , 3 dan Bp , p=1 ,2 , 3 menunjukkan komponen
vector A dan B.
Dimensi vector yang lebih tinggi mungkin didefinisikan sebagai orde n. misalnya vector :
X=( X1 , X2 ,… XN )
Dengan komponen X i , i=1 ,2 , … N disebut vector dimensi N.
Notasi yang lain uang digunakan untuk menunjukkan vector ini yaitu :
X=X1 e1+ X2 e2+…+X N eN
Dimana e1, e2, …, eN merukan unit vector basis independent.
Bilangan subscript ( tulisan di bawah garis) dan superscript ( huruf atau angka yang
ditulis di atas) menentukan orde system. System dengan satu index adalah system orde
pertama. System dengan dua index adalah system orde dua. Secara umum system dengan
N index disebut system orde N. system dengan tidak ada index disebut system scalar atau
system berorde nol.
Tipe system tergantung pada bilangan subscript dan superscript yang terjadi dalam
ekspresi. Misalnya A jki dan A st
m (range semua indeks 1 sampai N) adalah tipe sama karena
mereka mempunyai bilangan subscript dan superscript yang sama. Secara berbeda,
system A jki dan C p
mn bukan tipe yang sama karena satu system mempunyai dua superscript
dan sistem yang lain hanya mempunyai satu superscript.
δ11=1 δ12=0 δ 13=0δ 21=0 δ 22=1 δ 23=0δ 31=0 δ32=0 δ33=1
e1 . e1=1 e1. e2=0 e1 . e3=0e2 . e1=0 e2 .e2=1 e2 . e3=0e3 .e1=0 e3. e2=0 e3 . e3=1
Symetric and Skew Symetric System
Suatu system didefinisikan oleh range subscript dan superscript di atas aturan nilai
dikatakan menjadi simetri dalam dua indeksnya jika komponen-komponen tidak berubah
ketika indeks ditukar. Misalnya system orde tiga T ijk adalah simetri dalam indeks I dan k
jika :
T ijk=T kji untuk semua nilai i, j, dan k
Suatu system didefinisikan oleh subscript dan superscript dikatakan menjadi skew-
symetric dalam dua indeksnya jika komponen-komponen mengubah tanda ketika indeks
ditukar. Misalnya, system orde empat T ijkl adalah skew-symmetric dalam indeks i dan l jika
T ijk=−T ljki untuk semua nilai i j k dan l
Summation Convention
Aturan penjumlahan menyatakan bahwa apapun yang muncul pada suatu ekspresi
dimana ada indeks yang terjadi dua kali pada persamaan yang sama, atau bentuk dalam
persamaan, itu dimengerti untuk menunjukkan penjumlahan pada indeks berulang ini.
Contoh 1.1-1 : dua persamaan dapat ditunjukkan sebagai satu persamaan dengan
mengenalkan indeks tiruan
y1=a11 x1+a12 x2
y2=a21 x1+a22 x2
yk=ak 1 x1+ak 2 x2 k=1, 2
Contoh 1.1-2 : untuk penyelesaian y i=aij x j , i , j=1,2,3 dan x i=b ij z j ,i , j=1,2,3 untuk
variable y dalam bentuk variable z.
Solution : dalam bentuk matrik diberikan persamaan yang dapat diekspresikan :
( y1
y2
y3)=(a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)(x1
x2
x3) dan (x1
x2
x3)=(b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33)( z1
z2
z3)
Sekarang menyelesaikan untuk variable y dalam bentuk variable z dan mendapatkan
( y1
y2
y3)=(a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)(b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33)(z1
z2
z3)
Notasi indeks menggunakan indeks yang merupakan indeks tiruan dan dapat ditulis :
yn=anm xm , n , m=1 ,2, 3 dan xm=bmj z j, m , j=1,2,3
Di sini kita bertujuan untuk mengubah indeks sehingga ketika kita mensubstitusikan xm ,, dari
satu persamaan ke dalam persamaan yang lain, indeks penjumlahan tidak diulang lebih dari
dua kali. Dengan mensubstitusikan, bentuk indeks dari persaman matrix di atas sebagai
berikut :
yn=anm bmj z j , m ,n , j=1,2,3
Dimana n adalah indeks bebas dan m, j adalah indeks penjumlahan tiruan.
Contoh 1.1-3 dot produk dua vector Aq, q=1, 2, 3 dan B j, j=1, 2, 3 dapat ditunjukkan
dengan notasi indeks oleh produk Ai B i=ABcosθ i=1, 2, 3, A=|A| , B=|B|, karena
subscript I diulang itu untuk menunjukkan indeks penjumlahan. Menjumlahkan i di atas
range yang ditetapkan, hasilnya :
A1 B1+ A2 B2+A3 B3=ABcos θ
Untuk system yang mengandung subscript dan superscript satu dapat mengaplikasikan
operasi aljabar. Kita menunjukkan dalam cara informal pada opersai penjumlahan, perkalian
dan kontraksi.
Penjumlahan, Perkalian dan Kontraksi
Simbol Permutasi e dan Kronecker Delta
Contoh 1.1-4 : total bilangan yang tersusun pada digit 1 2 3 adalah enam. Kita punya tiga
pilihan untuk digit pertama. Digit pertama yang terpilih, hanya ada dua pilihan kiri untuk
digit kedua. Karena bilangan yang tetap adalah untuk digit terakhir. Hasil (3)(2)(1)=3 !=6
adalah bilangan permutasi digit 1, 2 dan 3. Enam permutasi ini yaitu :
1 2 3 permutasi genap
1 3 2 permutasi ganjil
3 1 2 permutasi genap
3 2 1 permutasi ganjil
2 3 1 permutasi genap
2 1 3 permutasi ganjil
Permutasi 1 2 3 disebut genap atau ganjil tergantung adanya bilangan transformasi digit
genap atau ganjil. Cara untuk mengingat permutasi genap dan ganjil dari 1 2 3 diilustrasikan
seperti gambar di bawah ini. Catatan bahwa permutasi genap diperoleh dengan menyeleksi
tiga bilangan berurutan apa saja dari urutan 123123 dan permutasi ganjil diperoleh dengan
menyeleksi tiga bilangan berurutan apa saja dari urutan 321321.
Secara umum bilangan permutasi n terhadap m diberikan dengan hubungan :
P (n ,m)=n (n−1 ) (n−2 ) … (n−m+1 )
Dengan menyeleksi objek m dari kumpulan objek n, m ≤n,
(a+b )n=∑m=0
n
( nm)an−m bm
Definisi permutasi dapat digunakan untuk mendefinisi symbol permutasi e.
Definisi : (symbol permutasi e atau tensor bolak balik)
Sibol permutasi e didefinisikan
e ijk … le ijk … l{ 1 jika ijk …ladalah permutasi genapbilangan bulat 123…n−1 jika ijk …ladalah permutasi ganj il bilangan bulat 123 …n
0 semua kasus yang lain
Contoh 1.1-5 : Tentukan e612453
Solusi : untuk menentukan apakah 612453 adalah permutasi genap atau ganjil pada 123456,
kita tulis bilangan yang diberikan dan di bawah ini kita tuliskan bilangan bulat 1 sampai 6.
Kemudian bilangan sama dihubungkan dengan garis dan kita peroleh gambar di bawah ini :
Pada gamabar di atas, ada tujuh titik potong/pertemuan garis yang menghubungkan bilangan
sama. Bilangan yang bertitik potong adalah bilangan ganjil dan menunjukkan bahwa
perubahan bilangan ganjil harus dilakukan. Hasil ini menyatakan e612453=−1.
Definisi yang lain yang sering digunakandalam menujukkan besaran matematika dan teknik
yaitu Kronecker delta yang didefinisikan dalam bentuk keduanya subscript dan superscript.
Definisi : (Kronecker delta) Kronecker delta didefinisikan :
δ ij δ ij={ 1 jikai sama dengan j
0 jikai berbedadengan j
Contoh 1.1-6 : beberapa contoh symbol permutasi e dan kronecker delta adalah :
e123=e123=+1 δ 11=1 δ 12=0
e213=e213=−1 δ 21=0 δ 22=1
e112=e112=0 δ 31=0 δ 32=0
Contoh 1.1-7 :
Contoh 1.1-8 : dalam symbol Kronecker delta δ ij kita mengatur j sama dengan I dan
melakukan penjumlahan. Operasi ini disebut kontraksi. Hasil δ ii, yang dijumlahkan di atas
range indeks i. dengan menggunakan range 1, 2, …, N kita punya
δ ii=δ 1
1+δ22+…+δN
N
δ ii=1+1+…+1
δ ii=N
Dalam tiga dimensi kita punya δ ij, i, j =1, 2, 3 dan
δ kk=δ1
1+δ 22+δ3
3=3
Dalam keadaan tertentu Kronecker delta dapat ditulis dengan hanya subscript. Misalnya, δ ij,
i , j=1 ,2 ,3. Pada keadaan tertentu ini mengijinkan kita untuk melakukan kontraksi pada
indeks yang lebih rendah sehingga δ ii=3.
Contoh 1.1-9 : determinan matrik A=(aij ) dapat ditunjukkan dalam notasi indeks. Dengan
menggunakan symbol permutasi e determinan suatu matrik N × N yaitu :
|A|=e ij …k a1 i a2 j …aNk
Dimana e ij …k merupakan system orde N.dalam kasusu special matrik 2 ×2 kita tulis :
|A|=e ija1i a2 j
Dimana penjumlahan di atas range 1,2 dan symbol permutasi e adalah orde 2. Dalam kasus
khusus matrik 3 ×3 kita punya :
|A|=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|=e ijk ai 1 a j 2 ak 3=eijk a1 ia2 j a3k
Dimana i, j, k adalah indeks penjumlahan dan penjumlahannya di atas range 1, 2, 3. Di sini
e ijk menunjukkan symbol permutasi e orde 3. Catatan bahwa dengan menukar baris matrik
3 ×3 kita dapat memperoleh hasil yang lebih umum. Anggap ( p , q , r ) sebagai beberapa
permutasi bilangan bulat (1, 2, 3), dan mengobservasi bahwa determinan dapat
diekspresikan :
∆=|ap 1 a p2 ap 3
aq 1 aq 2 aq 3
ar 1 ar 2 ar 3|=eijk apiaqjark
Jika ( p ,q , r ) adalah suatu permutasi genap (1, 2, 3) maka ∆=|A|
Jika ( p ,q , r ) adalah suatu permutasi ganjil (1, 2, 3) maka ∆=−|A|
Jika ( p ,q , r ) adalah bukan permutasi (1, 2, 3) maka ∆=0
Kemudian kita dapat menuliskan :
e ijk api aqj ark=e pqr|A|
Contoh 1.1-10 : Ekspresi e ijk B ij Ci tak berarti karena indeks I mengulang dirinya lebih dari
dua kali dan aturan penjumlahan tidak mengijinkan ini.
Contoh 1.1-11 : cross product unit vector e1 ,e2 , e3 dapat ditunjukkan dalam notasi indeks
dengan :
e i× e j={ ek jika ( i , j , k )adalah permutasi genapdari(1,2,3)−ek jika ( i , j , k )adalah permutasi ganjildari(1,2,3)
0 dalam semua kasuslain
Hasil ini dapat dituliskan dalam bentuk e i× e j=ekij ek. Indeks ini selanjutnya dapat dibuktikan
dengan menjumlahkan indeks k dan menuliskan semua 9 kombinasi kemungkinan untu i dan
j.
Contoh 1.1-12 : diberikan vector Ap, p=1,2,3 dan Bp, p=1,2,3. Croos product dua vector ini
adalah vector C p , p=1 , 2,3 dengan komponen :
C i=e ijk A j Bk ,i , j , k=1 , 2,3 (1.1.2)
Besaran C menunjukkan komponen vector cross product
C= A × B=C 1 e1+C2 e2+C3 e3
Persamaan (1.1.2), yang mendefinisikan komponen C, djumlahkan pada setiap indeks yang
mengulang dirinya. Kita harus menjumlahkan pada indeks k
C i=e ij1 A j B1+eij 2 A j B2+eij 3 A j B3 (1.1.3)
Selanjutnya menjumlahkan pada indeks j yang mengulang dirinya dalam setiap bentuk
persamaan (1.1.3). ini memberikan :
C i=e i 11 A1 B1+e i21 A2 B1+e i 31 A3 B1+e i 12 A1 B2+ei 22 A2 B2+ei 32 A3 B2+e i 13 A1 B3+ei 23 A2 B3+e i33 A3 B3
Sekarang
C1=A2 B3−A3 B2
C2=A3 B1−A1 B3
C3=A1 B2−A2 B1
Cross product dapat juga diekspresikan dalam bentuk A × B=eijk A j Bk e i. Hasil ini dapat
dibuktikan dengan penjumlahan indeks i , j dan k
Contoh 1.1-13 : tunjukkan
e ijk=−eikj=e jkiuntuk i , j , k=1 ,2 ,3
Solusi : aturan i k j menunjukkan bilangan ganjil dari transportasi indeks i j k dan setiap
perubahan ada tanda perubahan symbol permutasi e. dengan sama, j k i adalah suatu
transportasi genap i j k dan tidak ada tanda perubahan symbol permutasi e.
The e−δ identity
Suatu identitas yang berhubungan dengan symbol permutasi e dan kronecker delta, yang
berguna dalam menyederhanakan bentuk tensor yaitu identitas e−δ. Identitas ini dapat
dinyatakan dalam bentuk yang berbeda. Bentuk subscript untuk identitas ini adalah :
e ijk e imn=δ jmδ kn−δ jnδ km i , j , k , m,n=1,2,3
Dimana i merupakan indeks sumasi dan j,k,m,n merupakan indeks bebas. Cara yang
digunakan untuk mengingat posisi subscript diberikan pada gambar 1.1-3.
Subscript pada empat Kronecker delta pada siis kanan identitas e−δ kemudian dibaca :
( first ) ( second )−( outer ) ( inner )
Dengan begitu, j,m adalah indeks pertama setelah sumasi indeks dan k,n adalah indeks kedua
setelah sumasi indeks. Indeks j , n adalah indeks outer ketika membandingkan indeks inner
k ,m sebagai indek yang diperlihatkan pada sisi kiri dari identitas.
Bentuk lain dari identitas ini memakai subscript dan superscript dan mempunyai bentuk :
e ijk e imn=δmj δ n
k−δ nj δm
k (1.1.5)
Salah satu cara untuk membuktikan identitas ini yaitu mengobservasi persamaan (1.1.5) yang
mempunyai indeks bebas j,k,m,n. setipa indeks ini dapat mempunyai nilai apa saja 1,2, atau
3. Ada tiga pilihan kita dapat menandai masing-masing j,k,m atau n dan totalnya 34=81
kemungkinan persamaan yang dinyatakan dengan identitas dari persamaan (1.1.5).
Bukti lain dari identitas e−δ yaitu determinant
|δ11 δ2
1 δ31
δ12 δ2
2 δ32
δ13 δ2
3 δ33|=|1 0 0
0 1 00 0 1|=1
Dengan menyatakan permutasi baris matrik ini kita dapat menggunakan symbol permutasi
dan menuliskan :
|δ1i δ2
i δ3i
δ1j δ2
j δ3j
δ1k δ2
k δ3k|=e ijk
Dengan menyatakan permutasi kolom, kita dapat menuliskan :
|δri δ s
i δti
δrj δ s
j δ tj
δrk δ s
k δtk|=e ijk erst
Sekarang menyatakan kontraksi pada indeks i dan r untuk memperoleh ;
|δii δ s
i δti
δij δ s
j δ tj
δik δ s
k δtk|=e ijk e ist
Menjumlahkan i kita punya δ ii=δ 1
1+δ22+δ3
3=3 dan mengekspansikan determinan untuk
memperoleh hasil yang diinginkan
δ sj δ t
k−δ tj δ s
k=e ijk e ist
Generalized Kronecker delta
Kronecker delta secara umum didefinisikan dengan determinan matrik (n× n )
δ mn… pi , j …k =[δ m
i δ ni
δ mj δ n
j⋯ δ p
i
δ pj
⋮ ⋱ ⋮δ m
k δ nk ⋯ δ p
k ]Misalnya dalam tiga dimensi kita dapat menuliskan
δ mnpijk =|δm
i δni δ p
i
δmj δn
j δ pj
δmk δn
k δ pk|=e ijk emnp
Menyatakan kontraksi pada indeks k dan pkita peroleh system orde empat
δ mnrs =δ mnp
rsp =ersp emnp=e prs e pmn=δ mr δn
s−δnr δm
s
Additional Aplications of the Indicial Notation
Notasi indeks, bersama dengan identitas e−δ, dapat digunakan untuk membuktikan identitas
vector.
Contoh 1.1-14 : Tunjukkan, menggunakan notasi indeks, bahwa A × B=−B × A
Solusi :
C= A × B=C1 e1+C2 e2+C3 e3=C i e i
D=B × A=D1 e1+D2 e2+D e3=D e i
Kita harus menunjukkan bahwa komponen cross product dapat ditunjukkan dalam notasi
indeks dengan :
C i=e ijk A j Bk dan Di=eijk B j A k
Kita menginginkan untuk menunjukkan bahwa Di=−C i untuk semua nilai i. dengan
memanipulasi B j=B s δ sj dan Ak=Am δ mk dan menuliskan
Di=eijk B j Ak=eijk Bs δ sj Am δmk
Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3.pada persamaan (1.1.6) catatan bahwa tidak
ada indeks penjumlahan yang muncul lebih dari dua kali karena jika indeks muncul lebih dari
dua kali aturan penjumlahan akan menjadi tidak berarti. Dengan menyusun kembali bentuk
pada persamaan (1.1.6) kita punya :
Di=eijk δ sj δmk B s Am=e ism Bs Am
Pada persamaan ini indeks s dan m merupakan indeks penjumlahan tiruan dan dapat diganti
dengan yang lain. Kita mengganti s dengan k dan m dengan j untuk memperoleh ;
Di=eikj A j Bk=−eijk A j Bk=−Ci
Sehingga kita dapatkan D=−C atau B × A=− A × B. Yang mana D=D i e i=−C i ei=−C
D=−C atau B × A=− A × B yang mana D=D e i=−C i ei=−C
Catatan 1 : ekpresi
C i=e ijk A j B k danCm=emnp An Bp
Dengan semua indeks mempunyai range 1,2,3 muncul berbeda karena perbedaan yang
digunakan sebagai subscript. Itu harus diingat bahwa indeks tetap dijumlahkan berdasarkan
ketentuan sumasi dan indeks yang lain yaitu indeks bebas. Maka setelah sumasi, ketika nilai
numeric disubstitusikan untuk indeks yang terlibat, tidak ada letter dummy yang digunakan
untuk menyatakan komponen yang muncul pada jawaban.
Catatan 2 : titik penting yang kedua yaitu ketika salah satu bekerja dengan ekspresi
melibatkan notasi indeks, indeks dapat diubah secara langsung. Misalnya pada persamaan di
atas untuk Di kita dapat mengganti j dengan k dan k dengan j secara serempak untuk
memperoleh :
Di=eijk B j Ak=ei k j B j A k=−e ijk B j Ak=−C i
Catatan 3 : hati-hati dalam menhubungkan dan empat di antara notasi vector dan notasi
indeks. Mengobservasi bahwa vector A dapat dinyatakan
A=A i ei atau A . e i=Ai i=1,2,3
Contoh 1.1.15 : Buktikan identitas vector :
A . (B × C )=B . (C × A )
Solusi :
B× C=D=Di e idimana Di=eijk B j C k
C × A=F=F i e i dimana F i=eijk C j Ak
Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3. Untuk membuktikan identitas di atas, kita
punya :
A . (B × C )=A . D=A i Di=Ai eij k B j Ck
A . (B × C )=B j (e ijk A iC k )
A . (B × C )=B i ( e jkiC k Ai )
Karena e ijk=e jki. Kita juga mengobservasi dari persamaan :
F i=e ijkC j Ak
Kita mungkin memperoleh, dengan mengubah susunan symbol, persamaan yang sama
F j=e jkiC k A i
Ini mengijinkan untuk menuliskan :
A . (B × C )=B j F j=B . F=B . (C × A )
Contoh 1.1-16 : Buktikan identitas vector
( A × B ) × (C × D )=C ( D . A × B )−D (C . A × B )
Solusi :
F= A × B=F i ei dan E=C × D=Ei ei . vector ini mempunyai komponen :
F i=e ijk A j B k dan Em=emnpCn DP
Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3. Vector G=F × E=Gi e i mempunyai
komponen :
Gq=eqim Fi Em=eqim eijk emnp A j B k Cn DP
Dari identitas eqim=emqi ini dapat diekspresikan :
Gq=(emqi emnp ) eijk A j Bk C n DP
Dimana pada bentuk sekarang kita dapat menggunakan identitas e−δ untuk menghasilkan ;
Gq=(δ qnδ ip−δ qpδ ¿) e ijk A j Bk Cn DP
Menyederhanakan ekpresi ini kita punya :
Gq=eijk [ ( DP δ ip) (Cn δqn ) A j Bk−( DP δ qp ) (Cn δ¿ ) A j Bk ]
Gq=eijk [ Di C q A j B k−Dq Ci A j Bk ]
Gq=Cq [ Di eijk A j Bk ]−Dq [Ci e ijk A j Bk ]
Yang merupakan komponen vector dari vektor
C ( D . A × B )−D (C . A × B )
Persamaan Transformasi
Anggap N variabel independent yang ditunjukkan oleh simbol barred dan unbarred x i dan x i
dengan i=1,…,N. variabel independent x i , i=1 ,…,N dapat mendefinisikan koordinat titik
dalam ruang dimensi N. dengancara yang sama, variabe barred independent mendefinisikan
titik dalam beberapa ruang dimensi N yang lain. Koordinat ini diasumsikan menjadi besaran
nyata dan bukan besaran kompleks. Lebih lanjut, kita mengasumsikan bahwa variabel ini
dihubungkan oleh persamaan transformasi.
x i=x i ( x1 , x2 ,… xN ) i=1 ,…, N
Itu mengasumsikan bahwa persamaan transformasi ini adalah independent. Kondisi yang
dibutuhkan persamaan transfoemasi ini menjadi independent yaitu deteerminan jacobian
berbeda dari nol, yang mana :
J ( xx )=|∂ x i
∂ x j|=[∂ x1
∂ x1∂ x1
∂ x2
∂ x2
∂ x1∂ x2
∂ x2
⋯
∂ x1
∂ x N
∂ x2
∂ x N
⋮ ⋱ ⋮∂ xN
∂ x1∂ xN
∂ x2 ⋯ ∂ x N
∂ x N]≠0
Asumsi ini memperoleh hubungan invers :
x i=x i ( x1 , x2 ,…,x N ) i=1 , …, N
Contoh 1.1-17 : Di bawah ini merupakan contoh persamaan transformasi pada bentuk yang
didefinisikan dengan persamaan (1.1.7) dan (1.1.8) dalam ksus N=3. Transformasi dianggap
dari koordinat silinder (r , α , z ) ke koordinat bola ( ρ , β , α ). Dari geometri gambar 1.1-5 kita
dapat menemukan persamaan transformasi :
r=ρ sin β
α=α 0<α <2 π
z=ρ cos β 0<β<π
Dengan transformasi invers ρ=√r2+z2 α=α β=arctan ( rz )
Sekarang buat substitusi
( x1 , x2 , x3 )= (r ,α , z ) dan ( x1 , x2 , x3 )= ( ρ , β ,α )
Hasil transformasi harus dalam bentuk persamaan (1.1.7) dan (1.1.8)
Contoh 1.1-18 : Φ=Φ (r , θ ) dimana r , θ adalah koordinat polar yang terhubung pada
koordinat Cartesian ( x , y ) dengan persamaan transformasi x=rcos θ , y=rsin θ. Tentukan
turunan parsial ∂Φ∂ x
dan ∂2 Φ∂ x2
Solusi :
∂Φ∂ x
= ∂Φ∂r
∂r∂ x
+ ∂ Φ∂ θ
∂ θ∂ x (1.1.13)
∂2Φ∂ x2 =∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r
∂ x∂
∂ x [ ∂Φ∂ r ]+ ∂Φ
∂θ∂2θ∂ x2 +
∂θ∂ x
∂∂ x [∂ Φ
∂θ ]∂2Φ∂ x2 =∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r
∂ x∂2 Φ
∂ x∂ r+ ∂Φ
∂θ∂2θ∂ x2 +
∂θ∂ x
∂2Φ∂ x ∂ θ
∂2Φ∂ x2 = ∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r
∂ x∂
∂ r [ ∂ Φ∂ x ]+ ∂ Φ
∂ θ∂2θ∂ x2 +
∂ θ∂ x
∂∂ θ [ ∂Φ
∂ x ]∂2Φ∂ x2 = ∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r
∂ x∂
∂ r [ ∂ Φ∂ r
∂ r∂ x
+ ∂ Φ∂ θ
∂θ∂ x ]+ ∂ Φ
∂θ∂2θ∂ x2 +
∂θ∂ x
∂∂θ [ ∂ Φ
∂r∂ r∂ x
+ ∂ Φ∂ θ
∂ θ∂ x ]
∂2Φ∂ x2 = ∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 +
∂r∂x [ ∂2 Φ
∂ r2∂ r∂ x
+ ∂2Φ∂ r ∂θ
∂ θ∂ x ]+ ∂ Φ
∂ θ∂2 θ∂ x2 +
∂ θ∂ x [ ∂2Φ
∂θ2∂θ∂ x
+ ∂2 Φ∂ r ∂ θ
∂ r∂ x ] (1.1.15)
Dari persamaan transformasi kita peroleh hubungan r2=x2+ y2 dan tanθ= yx dan dari
hubungan ini kita dapat menghitung semua turunan yang dibutuhkan untuk menyederhanakan
persamaan (1.1.13) dan (1.1.15). turunan tersebut yaitu :
Untuk r2=x2+ y2
2 r ∂r∂ x
=2x+0
r ∂ r∂ x
=x
∂r∂ x
= xr
∂r∂ x
= rcos θr
∂r∂ x
=cos θ
Untuk tanθ= yx
sin θcosθ
= yx
∂ θ∂ x ( cosθ cosθ−sin θ (−sin θ )
(cosθ )2 )=− yx2
∂ θ∂ x ( cos2 θ+sin2 θ
cos2θ )=− yx2
∂ θ∂ x ( 1
cos2 θ )=− yx2
∂ θ∂ x
( sec2 θ )=− yx2
∂ θ∂ x
( sec2 θ )= −rsinθ(rcos θ )2
∂ θ∂ x
( sec2 θ )=−sec2θ sin θr
∂ θ∂ x
=−sin θr
∂2r∂ x2 =−sin θ ∂ θ
∂ x= sin2 θ
r ∂2 θ∂ x2 =
−r cosθ ∂ θ∂ x
+sin θ ∂ r∂ x
r2 =2sinθ cosθr
Maka dari itu turunan dari persamaan (1.1.13) dan (1.1.15) dapat diekspresikan dalam bentuk
:
∂Φ∂ x
= ∂Φ∂r
∂r∂ x
+ ∂ Φ∂ θ
∂ θ∂ x
∂Φ∂ x
= ∂Φ∂r
cosθ−∂ Φ∂ θ
sin θr
∂2Φ∂ x2 = ∂Φ
∂ r∂2r∂ x2 +
∂r∂x [ ∂2 Φ
∂ r2∂ r∂ x
+ ∂2Φ∂ r ∂θ
∂ θ∂ x ]+ ∂ Φ
∂ θ∂2 θ∂ x2 +
∂ θ∂ x [ ∂2Φ
∂θ2∂θ∂ x
+ ∂2 Φ∂ r ∂ θ
∂ r∂ x ]
∂2Φ∂ x2 =∂Φ
∂ rsin2θ
r+cos θ[ ∂2Φ
∂ r2 cosθ+ ∂2Φ∂ r ∂ θ (−sinθ
r )]+ ∂ Φ∂ θ
2 sinθ cosθr
+(−sin θr ) [ ∂2 Φ
∂ θ2 (−sin θr )+ ∂2Φ
∂ r ∂θcosθ]
∂2Φ∂ x2 =∂Φ
∂ rsin2θ
r+cos2θ ∂2 Φ
∂ r2 − cosθsinθr
∂2 Φ∂r ∂ θ
+2 ∂ Φ∂ θ
sin θ cosθr
+ s ¿2θr2
∂2Φ∂θ2 −sin θcos θ
r∂2 Φ
∂r ∂ θ
∂2Φ∂ x2 =∂Φ
∂ rsin2θ
r+ ∂2 Φ
∂ r2 cos2θ−2 ∂2Φ∂r ∂ θ
cosθsin θr
+2 ∂ Φ∂θ
sin θ cosθr
+ ∂2Φ∂θ2
s¿2θr2
Contoh 1.1.19 : dalam koordinat Cartesian buktikan identitas vector
curl ( f A )=∇× ( f A )= (∇ f )× A+f (∇× A )
Solusi : B=curl ( f A )dan menuliskan komponen sebagai berikut :
Bi=e ijk ( f Ak ), j
Bi=e ijk [ f Ak , j+ f , j A k ]
Bi=f eijk A k , j+eijk f , j Ak
Bentuk indeks ini sekarang dapat dituliskan dalam bentuk vector :
B=curl ( f A )=(∇ f )× A+ f (∇× A )
Contoh 1.1.20 : Buktikan identitas vector ∇ . ( A+ B )=∇ . A+∇ . B
Solusi : A+ B=C dan tuliskan persamaan vector ini dalam notasi indeks sebagai Ai+Bi=C i.
Kita kemudian mempunyai :
∇ .C=C i ,i=( A i+B i) ,i=A i ,i+B i ,i=∇ . A+∇ . B
Contoh 1.1.21 : Dalam koordinat Cartesian, buktikan identitas vector ( A .∇ ) f = A .∇ f
Solusi : dalam notasi indeks dituliskan :
( A .∇ ) f =A i f ,i=A1 f , 1+ A2 f ,2+ A3 f ,3
( A .∇ ) f =A1∂ y∂ x1 +A2
∂ y∂ x2 + A3
∂ y∂ x3 = A .∇ f
Contoh 1.1-22 : Dalam kooerdinat Cartesian, buktikan identitas vector :
∇× ( A × B )=A (∇ . B )−B (∇ . A )+ (B .∇ ) A−( A .∇ ) B
Solusi : komponen pth dari vector ∇× ( A × B ) adalah :
e p . [∇× ( A × B ) ]=e pqk [ekji A j B i ],q
e p . [∇× ( A × B ) ]=e pqk ekji A j B i ,q+e pqk ekji A j , q Bi
Dengan mengaplikasikan identitas e−δ, persamaaan di atas menyederhanakan hasil yang
didinginkan. Yang mana :
e p . [∇× ( A × B ) ]=( δ pj δqi−δ pi δqj ) A j Bi ,q+ (δ pj δ qi−δ pi δ qj ) A j , q Bi
e p . [∇× ( A × B ) ]=Ap Bi ,i−Aq Bp , q+ Ap , q Bq−Aq ,q B p
Dalam bentuk vector dituliskan :
∇× ( A × B )=A (∇ . B )−( A .∇ ) B+ (B .∇ ) A−B (∇ . A )
Contoh 1.1.23 : dalam koordinat Cartesian, buktikan identitas vector
∇× (∇× A )=∇ (∇ . A )−∇2 A
Solusi : untuk komponen ith dari ∇× A diberikan oleh e p . [∇× A ]=eijk A k , j dan maka dari itu
komponen pth dari ∇× (∇× A )=∇ adalah :
e p . [∇× (∇× A ) ]=e pqr [erjk A k , j ], q
e p . [∇× (∇× A ) ]=e pqr erjk Ak , jq
Identitas e−δmenghasilkan :
e p . [∇× ( A × B ) ]=( δ pj δqk−δ pk δqj ) Ak , jq
e p . [∇× ( A × B ) ]=A k , pk−Ap , qq
Hasil ini dalam bentuk vector yaitu :
∇× (∇× A )=∇ (∇ . A )−∇2 A
Contoh 1.1.24 : Dalam kasus n=2 kita punya :
|A|=|a11 a12
a21 a22|=enm a1n a2 m
|A|=e1 m a11a2m+e2 m a12a2 m
|A|=e12a11a22+e21 a12 a21
|A|=a11 a22−a12 a21
Contoh : 1.1-25 : dalam kasus n=3 dapat menggunakan notasi
A=(a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)atau(a1
1 a21 a3
1
a12 a2
2 a32
a13 a2
3 a33)
Dapat determinan A dalam bentuk lain :
det A=e ijk a1 i a2 j a3k
det A=e ijk ai 1 a j2 ak3
det A=e ijk a1i a2
j a3k
det A=e ijk ai1 a j
2 ak3
Ini menunjukkan ekspansi baris dan kolom dari determinan.