Post on 31-Mar-2021
transcript
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Selahattin KILINÇ
YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2011
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER
Selahattin KILINÇ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 04/08/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir. ………………..................................... ………………………………….…….. Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç. Dr. Zerrin GÜL ESMERİLGİL DANIŞMAN ÜYE …............................................ Doç.Dr. Perihan DİNÇ ARTUT ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve
fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
I
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Selahattin KILINÇ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yıl: 2011, Sayfa:53 Jüri :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç.Dr. Zerrin Gül ESMERİLGİL Doç.Dr. Perihan Dinç ARTUT
Biz bu çalışmada yakın-halkalar teorisinde bazı yakın-halka sınıfları için, asal ve maksimal idealleri inceledik. Reguler, güçlü reguler (stronglyreguler) ve zayıf reguler (s-weaklyreguler) yakın-halkaların her asal idealinin maksimal ideal olduğu gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler:Yakın-hakalar, Reguler yakın-halkalar, Asal ideal, Maksimal ideal
YAKIN HALKALARDA ASAL VE MAKSİMAL İDEALLER
II
ABSTRACT
MSc THESIS
Selahattin KILINÇ
ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Year: 2011, Pace:53 Jur :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Assoc. Prof. Dr. Zerrin Gül ESMERLİGİL :Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
In this study, we have investigated the prime and maximal ideals of some specia lclasses of near-rings. Especially we have shown that every prime ideals of regular, strongly reguler and s-weakly reguler are maximal.
Key Words: Near-rings, Regulernear-rings, Prime ideal , Maximal ideal
PRIME AND MAXIMAL IDEALS IN NEAR RING
III
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, değerli
zamanlarını ayırarak çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle
örnek aldığım saygı değer danışmanım Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK ’e ;
Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü hocalarına ve araştırma görevlisi
arkadaşlarıma sonsuz teşekkür ve şükranlarımı sunarım. Ayrıca tezim süresince
gerek maddi gerekse manevi desteklerini esirgemeyen annem, babam ve sevgili
eşime sonsuz şükranlarımı sunarım.
IV
İÇİNDEKİLER SAYFA
ÖZ……………………………………………………………………………....I ABSTRACT………………………………………………………………….. II
TEŞEKKÜR………………………………………………………………….III
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………IV
1.GİRİŞ……………………………………………………………………… .1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER………………………………………..3
2.1. Temel Tanım ve Teoremler……………………………………………...3
2.2. N-Gruplar………………………………………………………………12
2.3. Alt Yapılar……………………………………………………………...14
2.4. Homomorfizm ve idealler ………………………………………15
2.5. Reguler ve Strongly(güçlü)Regulers-weakly(zayıf) reguler
Yakın-halkalar............................................................................................... 23
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER………………………………… … 29
3.1.Maksimal İdealler………………………………………………… …..29
3.2. Asal İdealler…………………………………………………………….29
4. ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ…………………………………. 37
4.1. Regulerlik……………………………………………………………….37
4.2. Sıfır Simetrik Ünital Durum………………………………………….. ..41
4.3. Strictly maksimal ideal……………………………………………… ...47
KAYNAKLAR………………………………………………………………. 51
ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………… ...53
V
KISALTMALAR VE SEMBOLLER
:Yakın-halka : yakın-halkasının sıfır simetrik kısmı : yakın-halkasının sabit kısmı Γ : -grup (Γ) : Γ ’ dan Γ ’ ya tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ ’ da sıfırı koruyan tüm fonksiyonların yakın-halkası (Γ) : Γ ’ da tüm sabit fonksiyonların yakın-halkası : yakın-halkaların sınıfı 0 : sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfı c : sabit yakın-halkaların sınıfı 1 : birimli yakın-halkaların sınıfı
N : - grupların sınıfı : yakın-halkasının dağılmalı kısmı : Halka 0 : Γ ’ nun sıfır elemanı (0:Γ) : Γ ’ nun sıfırlayanı ∏ ∈ : yakın-halkalarının direkt çarpımı ∑ ∈ : ideallerinin direkt toplamı < > : kümesi tarafından üretilenideal < > : kümesi tarafından üretilen -altgrup : Bölüm yakın-halkası
1.GİRİŞ SELAHATTİN KILINÇ
1
1. GİRİŞ
Yakın-halkalar halkaların genellemesidir. Kabaca ifade edecek olursak bir ( , +, . ) halkasında + işlemine göre değişmeli olmak zorunda olmayan ve sadece
bir taraftan sağdan veya soldan dağılma kuralı varsa ( , +, . )halkası bir yakın-
halkadır. (Γ, +)bir grup olsun. (Γ) da ΓdanΓya olan tüm dönüşümlerin kümesi olsun.
Toplama, bileşenlerin toplamı ve çapım da fonksiyon bileşkesi olduğundan (( (Γ), +, . )bir yakın-halkadır.
Halka teorisinde çok iyi bilinen bir sonuç, her bir halkanın bazıΓabelyen
gruplarının tüm endomorfizmlerinin kümesi içerisine gömülebileceğidir. Benzer
şekildeher bir yakın-halkanın da herhangi Γ grubunun (Γ) içerisine gömülebileceği
gösterilmiştir. Bu sonuçtan halka teorisi grup dönüşümlerinin liner teorisi olarak
görebiliriz. Diğer yandan yakın-halkalar liner olmayan bir teoridir. İlginç olarak bir
çokliner sonuç uygun değişikliklerden sonra genel duruma taşınabilmektedir.
Örneğin halka teorisindeki primitif halkalar, N. Jacabson’un meşhur yoğunluk
teoremi ile ifade edilebilir. Yakın-halkalar için benzer sonuçlar primitif yakın-
halkalar göz önüne alınarak elde edilmiştir.
Tarihsel olarak, yakın-halka çalışmalarının ilki 1905 yılında Dickson
tarafından aksiyomatik olarak verilmiştir. Dickson tarafından bir tek taraflı dağılma
kuralına sahip cisimlerin varlığı gösterilmiştir. Bunlara da yakın cisim adını
vermiştir.
Halkalar teorisinde bilinen bazı sonuçları yakın halkalara uyarlamak
mümkündür. Halkalar teorisindeki temel teoremleri yakın-halkalar içinde ifade
edebiliriz. Hatta halkalar teorisinde elde edilen bazı sonuçları da yakın-halkalara
taşımamız mümkündür. Halkalar teorisinde her asal idealin maksimal olmadığı fakat
bazı özel halkalar da doğru olduğu bilinen bir gerçektir. Yakın-halkalarda da benzer
bir durum vardır. (Birkenmeier, 1999) sıfır simetrik yakın-halkalarda = ise her
maksimal idealin asal olduğunu yakın-halkalar için de göstermiştir. Acaba ne zaman
1.GİRİŞ SELAHATTİN KILINÇ
2
bir asal ideal maksimal olur sorusunun cevabı yakın-halka çalışanlarını meşgul
etmiştir. Bu bağlamda çeşitli çalışmalar yapılmıştır.
(Booth veGroenewald, 1998) çalışmalarında 1-asal ve 2-asal idealleri
incelemiş ve bu alanda bazı sonuçlar vermişlerdir. ( Mason, G.,1980) de bir
stronglyreguler yakın-halkalarda asal ve maksimal ideallerle ilgilenmiştir. (Daśıć, ,
1987) de strictlymaksimal ideallerle ve (Murty, 1984) de asal ve tamamen asal
idealler üzerinde çalışmıştır.
Yakın-halkaların asal idealleri üzerine ilk çalışmalar, (Van der Walt, 1964),
(Laxton, 1964), ( Ramakotaiah, 1979), ( Beidleman, 1967) ve (Rao, 1979) tarafından
yapılmıştır.
Biz bu çalışmamızda temel olarak yakın-halkalarda asal ve maksimal
ideallerle ilgileneceğiz. Reguler,güçlü(strongly)regulerve zayıf(s-weakly)
regulerhalkalar da asal ideallerin maksimal olduklarını gösteriyoruz.
Bu çalışmamız toplam dört bölümden meydana gelmiş olup her bölünün
içeriği aşağıda özetlenmiştir:
Çalışmamızın ikinci bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve
teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde, yakın-halkalarda asal ve maksimal ideal kavramı ele
alınmıştır. Yakın-halkaların ideallerinin bazı özellikleri gösterilmiş ve aynı zamanda
yakın-halkalardaki asal ideal, tamamen (completely) asal ideal, yarı tam (semi
completely) asal ideal, yarı asal ideal ve strictly maksimal asal ideal kavramları
ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.
Dördüncü bölümde maksimallik kavramı üzerinde durulmuş olup, üçüncü
bölümde yer verilen asal idealler yardımı ile reguler,güçlü(strongly)regulerve
zayıf(s-weakly) reguleryakın-halkalardaki asal ideallerin maksimalliği incelenmiştir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
3
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde, tez boyunca kullanacağımız, temel kavramları vereceğiz. Bu
kavramların derli toplu bir şekilde verildiği, yakın-halkalarda temel bir kaynak olan
ilk baskısı 1977 de ikinci baskısı 1983 de yayımlanan (Pillz, 1983) de bulmak
mümkündür. Bu eser yakın-halka çalışan her matematikçi için temel eser kabul
edilmektedir. Çalışmamızda verdiğimiz temel kavramların büyük çoğunluğu için bu
eserden faydalanacağız.
2.1. Temel Tanım ve Teoremler
Halkaların genelleştirilmiş bir hali olan yakın-halkaların, halkalardan farklı olarak,
bir halkada birinci işlem değişmeli iken yakın-halkada birinci işlem değişmeli olmak
zorunda değildir. Ayrıca halkada ikinci işlemin birinci işlem üzerine dağılma özelliği
mevcut iken yakın-halkalarda ikinci işlemin birinci işlem üzerine tek yönlü dağılma
özelliğine sahip olması yeterlidir.
Tanım 2.1.1. Bir kümesi "+" ve "." şeklinde gösterilen iki ikili işlem ile
aşağıdaki şartları sağlıyorsa ( , +, . ) üçlüsüne bir yakın-halka denir.
1. ( , +) değişmeli olması gerekmeyen bir grup
2. ( , . ) bir yarı grup
3. ∀ , , ∈ için ( + ) = +
3. özellikte sağdan dağılma özelliği kullanıldığından bu şartları sağlayan ( , +, . )
üçlüsüne sağ yakın-halka denir. Eğer 3. özellik
∀ , , ∈ için ( + ) = +
alınırsa, bu şartları sağlayan ( , +, . ) üçlüsüne sol yakın-halka denir. Yani dağılma
özelliğinin yönüne göre yakın-halkanın sağ ya da sol olması belirlenir.
Bu çalışma boyunca aksi belirtilmedikçe tüm halkalar sağ yakın-halka olarak
alınacaktır.
Bazı yakın halka örneklerini aşağıdaki gibi verebiliriz.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
4
Örnekler 2.1.2.
1. Γ , sıfırı içeren abelyen olması gerekmeyen bir toplamsal grup olsun,
toplama ve birleşme işlemi altında Γ den Γ ya ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ }
dönüşümlerinin kümesi bir yakın-halkadır.
Gerçekten de ( ( Γ), +) bir gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ( + )( ) = ( ) + ( ) ∈ ( Γ )
kapalılık özelliği sağlanır. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( )
= ( ) + ( ) + ( )
= ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( )
= ( + ( + ))( )
birleşme özelliği sağlanır. ∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( ) + ( ) = ( )
olacak şekilde ( ) = 0( ) = 0 fonksiyonu sıfır (0) fonksiyonu olduğundan birim elemen özelliği sağlanır. ∀ , ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( + )( ) = ( ) + ( ) = 0 = −
olacak şekilde ( + )( ) = ( ) + ( ) = 0 = −
fonksiyonu mevcut olduğundan ters eleman özelliği sağlanır.
grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ), +) gruptur.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
5
şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ( ∘ )( ) = ( ) ∈ ( Γ )
olduğundan kapalılık özelliği sağlanır. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ; ∘ ( ∘ ) = ( ∘ ) ∘
olduğundan birleşme özelliği sağlanır. ( Γ ) birleşme işlemi altında bir yarı gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için ( + ) ∘ = ( ∘ ) + ( ∘ )
eşitliği sağlandığından bileşke işleminin toplama üzerinde dağılma özelliği sağlanır.
bütün bunlardan ( ( Γ), +, . ) bir yakın-halka olur.
2. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ için (0) = 0 } olarak tanımlanan dönüşüm bir
yakın-halkadır.
Şimdi ( ( Γ ), +) nın grup olduğunu gösterelim; ∀ , ∈ ( Γ ) için; ( + )(0) = (0) + (0) = 0 + 0 = 0
olup + ∈ ( Γ ) ∀ , , ∈ ( Γ ) için; ( + ) + (0) = ( + )(0) + (0)
= (0) + (0) + (0)
= (0) + (0) + (0) = (0) + ( + )(0)
= ( + ( + ))(0)
olup ( + ) + = + ( + )
dır. ∀ ∈ ( Γ ) için; + = ve + = olacak şekilde ∈ ( Γ ) varlığını
gösterelim.
+ =
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
6
olacak şekilde 0( ) = 0 ise 0(0) = 0 , = 0 ∈ ( Γ ) olur. + = ise = 0 ∈ ( Γ ) ∀ ∈ ( Γ ) için; + = = 0
ve + = = 0
= − olup,grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ), +) bir gruptur.
Şimdi bileşke işlemi altında ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) için; ( ∘ )(0) = ( (0)) = (0) = 0
∘ ∈ ( Γ ) olup kapalılık özelliği sağlanır.
∀ , , ∈ ( Γ ) için;
∘ ( ∘ )(0) = (( ∘ )(0))
= (0)
= (0) = (0)
= 0 (( ∘ ) ∘ )(0) = ( ∘ )( (0))
= ( ∘ )(0)
= (0) = (0)
= 0 ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ),∘) bir yarı gruptur.
Şimdi ikinci işlemin birinci işlem üzerine sağdan dağılmayı sağladığını gösterelim. ∀ , , ∈ ( Γ ) için; (( + ) ∘ )(0) = ( + )( (0)) = (0) + (0) = 0
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
7
olup (( + ) ∘ ) = ∘ + ∘ dır.
Dolayısıyla ( Γ ) bir yakın-halkadır.
3. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ : } olarak tanımlan
dönüşüm bir yakın-halkadır. ( ( Γ ), +) nın grup olduğunu gösterelim;
∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; ( + )( ) = ( ) + ( ) = +
olup + sabittir. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; ( + ) + ( ) = ( + )( ) + ( )
= ( ) + ( ) + ( )
= ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( + )( )
= ( + ( + ))( ) ( + ) + = + ( + ) olup birleşme özelliği sağlanır. ∀ ,∈ ( Γ ) , ∈ Γ için;
+ = + =
olacak şekilde = 0 ∈ ( Γ ) olduğundan birim eleman özelliği sağlanır. ∀ , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; + = = 0
ve + = = 0
= − olup, grup olma özellikleri sağlandığından ( ( Γ ), +) bir gruptur.
Şimdi bileşke işlemi altında ( ( Γ ) nın yarı grup olduğunu gösterelim; ∀ , ,∈ ( Γ ) için; ( ∘ )( ) = ( ( )) = ( ) =
olup ∘ ∈ ( Γ ) dır.
∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için;
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
8
∘ ( ∘ )( ) = (( ∘ )( ))
= ( )
= ( )
= ( )
= (( ∘ ) ∘ )( ) = ( ∘ )( ( ))
= ( ∘ )( )
= ( )
= ( )
= ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) olup birleşme özelliği sağlanır. ( ( Γ ),∘) bir yarı gruptur. ∀ , , ∈ ( Γ ) , ∈ Γ için; (( + ) ∘ )( ) = ( + )( ( )) = ( ) + ( )
= +
dolayısıyla ( Γ ) bir yakın-halkadır.
Tez boyunca karşılaşacağımız bazı yakın-halka örneklerini aşağıdaki gibi ifade
edelim.
4. ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ , δ ∈ Γ } ve ( ) = 0 ğ = 0 ğ ≠ 0 dönüşümü
bir yakın-halkadır.
5. × = { /ℤ ∶ ℤ ℎ }
“ × +” bilinen matris toplamı ve matris çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanırsa ℎ = + + + +
( × , +, . ) bir yakın-halka olur.
6. ℤ tamsayılar kümesi olmak üzere ( ℤ,+ ) bir gruptur. ℤ üzerinde çarpma
işlemi ;
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
9
∀ . ∈ ℤ ç . = olacak şekilde tanımlanırsa (ℤ, +,∙) üçlüsü bir yakın halkadır.
7. ℤ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ( ℤ , + ) bir değişmeli gruptur ∀ ∈ ∶ . =
şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile ( ℤ , +,∙ ) üçlüsü bir yakın-halkadır.
8. Her grup için bir yakın-halk elde edilebilir. Gerçekten ( , +) grubu
üzerine ikinci işlem olarak ∀ , , ∈ için ; = 0
olarak tanımlanırsa, ( , +, . ) üçlüsü bir yakın-halka olur.
9. Her halka aynı zamanda bir yakın-halkadır.
Her küme (+,.) işlemi ile yakın halka olmayabilir. Bunu aşağıdaki örnekten
görebiliriz.
10. ( )={ ∶ R → R ∶ f differensiyellenebilir } integral bileşke
işlemi, toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla fonksiyon toplamı ve integral olarak
alınırsa ( ( ), +, . ) yakın-halka olmaz.
Gerçekten ( ) = ve ( ) = olarak seçilirse integralin bileşke işlemi
altında yakın-halka olmayacağı görülebilir.
Şimdi yakın-halkaların temel özelliklerinden bahsedelim.
Önerme 2.1.3. yakın-halkası için aşağıdaki özellikler sağlanır.
a) ∀ , ′ ∈ ∶ 0. = 0 b) ∀ , ′ ∈ ∶ (− ). ( ′) = − . ′ dir.
İspat: a) halkanın ilk iki aksiyomundan 0. = (0 + 0). = 0. + 0.
ve dolayısıyla 0. = 0
olur.
b) −( . ′) elemanı ′ elemanının toplamaya göre tersi olduğundan . ′ − ( . ′) = 0
dır. O halde
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
10
(− ) ′ + . ′ = (− + ). ′ = 0. ′ = 0 olup (− ) ′ elemanı . ′ elemanının toplamaya göre tersi olup (− ) ′ = − . ′
0larak elde edilir.
Not : Bir N yakın-halkası için her zaman ∀ , ∈ olarak alındığında . 0 = 0 ve (− ) = − eşitlikleri sağlanmayabilir. Örneğin, örnekler 2.1.1 in 1. Örneğinde
verilen ; ( Γ ) = { ∶ Γ → Γ }
yakın-halkasında , ∈ ( Γ ) için , ∘ 0 = 0
olması nin orjinden geçmesiyle ve (− ) ∘ = − ∘
olması ise nin tek fonksiyon olması ile mümkündür.
Tanım 2.1.4. bir yakın-halka olsun.
a) 0={ ∈ : . 0 = 0 } nin sıfır-simetrik parçası olarak adlandırılır.
b) c={ ∈ : . 0 = } = { ∈ ∶ ∀ ′∈ : . ′ = } nin sabit parçası
olarak adlandırılır. ve birer yakın-halkadır.
Örnek 2.1.5 ( ( Γ )) = ( Γ ) ve ( ( Γ )) = ( Γ ) dır. Gerçekten ( ( Γ )) = { ∈ ( Γ ): ∘ 0 = 0}
={ ∈ ( Γ ) ∶ (0) = 0}
= ( Γ )
ve ( ( Γ )) = { ∈ ( Γ ) ∶ ∘ 0 = }
={ ∈ ( Γ ) ∶ sabit }
= ( Γ )
dır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
11
= ise yakın-halkasına 0-simetrik ve = ise yakın-halkasına sabit
yakın halka denir. Örnek 2.1.5 ‘ den görüleceği gibi, ( Γ ) bir 0-simetrik, ( Γ )
bir sabit yakın halkadır.
Teorem 2.1.6. Bir yakın halkası için = + dır.
İspat : ∈ için; [ − ( 0)]0 = + (− )0 0 = 0 + (− )0 0 = 0 + (− 0) = 0
dolayısıyla − ( 0) ∈ dır. Aynı zamanda , 0 ∈ olduğu görülebilir. O halde = [ − ( 0)] + ( 0)
olduğundan ispat tamamlanır.
Tanım 2.1.7. ( , +) bir grup , ( , +) ve ( , +) da iki alt grubu olsun. Eğer ∩ = {0} , − = ve ( , +) alt grubu ( , +)da normal ise, ( , +) grubuna ( , +) alt grubunun ( , +) alt grubuyla bir yarı-direkt çarpımı denir.
Sonuç 2.1.8. Bir ( , +, . ) yakın halkasıiçin, ( , +) grubu, ( , +) nın ( , +) ile
bir yarı direkt çarpımıdır.
İspat : ∈ ∩ olsun. Bu durumda, = 0
olacak şekilde ∈ vardır ve 0 = 0
dır. O halde , 0 = 0 = ( 0)0 = (00) = 0 =
Yani ∩ = {0} dır. Teorem 2.1.6 dan = + dir. Son olarak ( , +) nın ( , +)da normal olduğunu gösterelim. Eğer ∈ ve ∈ ise bu
durumda, ( + − )0 = ( 0) + ( 0) + (− )0 … … … … … … … … … … … … … … … … … . (1)
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
12
burada, 0 = 0
olduğundan (1) ifadesi, ( + − )0 = ( 0) + ( 0) + (− )0 = ( 0) + (− 0) = 0
halini alır. Bu ise ( , +) nın ( , +) da normal olduğunu gösterir.
Tanım 2.1.9. ( , +, . ) bir yakın-halka olsun.
a) Eğer ∈ ve ∀ , ′ ∈ için
( + ′) = + ′ ise ∈ dağılmalı eleman denir. yakın-halkasının tüm dağılmalı elemanlarının
kümesi :{ ∈ : dağılmalı eleman} ile gösterilir.
b) Eğer ( , +) değişmeli ise ye bir abelyen yakın-halka, ( , . ) değişmeli ise ye bir komutatif yakın-halka, ( , . ) birimli ise ye birimli bir yakın halka denir.
Eğer = ise ye bir dağılmalı yakın-halka denir.
c) Eğer ( − {0}, . )bir grup ise, ye bir yakın cisim denir.
2.2. N-Gruplar
Halkalardaki modül kavramının yakın-halkalara taşınması ile elde edilmiş olan -grup yani üzerinde yakın-modül kavramı aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 2.2.1. ( Γ,+ ) sıfırı içeren bir toplamsal grup ve bir yakın-halka olsun.
: × Γ → Γ
( , ) →
∀ , ∈ ve ∀ ∈ Γ için ( + ) = +
ve ( . ) = ( . )
şartları sağlanıyorsa (Γ, ) ikilisine bir -grup yani üzerinde bir yakın-modül
denir. Kısaca ile gösterilir. Eğer birimi 1 olan birimli bir yakın-halka ise ∀ ∈ Γ için;
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
13
1 =
Şartını sağlayan Γ −grubuna, bir üniter −grup denir.
N ile de - grupların sınıfını göstereceğiz.
Örnek 2.2.2.
a) bir yakın-halka olsun; : × → ( , ′) → ′ dönüşümü ( , +) yı bir -grup yapar ve ile gösterilir.
b) Γ bir grup olsun. Bu durumda , : (Γ) × Γ → Γ ( , ) → ( )
dönüşümü altında , Γ bir (Γ) -gruptur. Gerçekten , ∀ , ∈ (Γ) ve ∀ ∈ Γ için, ( + ) = ( + )( ) = ( ) + ( ) = +
ve ( ) = ( ) = ( ) = ( )
olduğu görülür. −grup kavramıyla ilgili bazı temel özellikler aşağıdaki gibidir.
Önerme 2.2.3. bir yakın halka ve Γ bir −grup olsun. Bu durumda,
a) ∀ ∈ Γ için, 0 = 0
b) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, (− ) = −
c) ∀ ∈ için, 0 = 0
d) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, = 0
İspat :
a) ∀ ∈ Γ için, 0 = (0 + 0) = 0 + 0
ve bu yüzden 0 = 0 olduğu görülür.
b) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, (− ) = (0 − ) = 0 − = 0 − = −
dır.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
14
c) ∀ ∈ 0 = (00 ) = ( 0)0 = 00 = 0
dır.
d) ∀ ∈ Γ ve ∀ ∈ için, = ( 0) = (00 ) = 0
elde edilir.
Daha sonra kullanacağımız yakın-halka sınıflarını aşağıdaki gibi sıralayabiliriz. ile yakın-halkaların sınıfını, 0 ile sıfır simetrik yakın-halkaların sınıfını, c ile sabit yakın-halkaların sınıfını, 1 ile birimli yakın-halkaların sınıfını göstereceğiz.
2.3. Alt Yapılar
Tanım 2.3.1. bir yakın-halka ve ( , +) ( , +) nın bir alt grubu olsun. Bu durum
da, ile birlikte . ⊆ ise ye yakın-halkasının alt yakın-halkası denir.
Örnek 2.3.2. ve , yakın-halkasının alt yakın halkalarıdır. Gerçekten, ∀ , ∈ için, ( − )0 = 0 − 0 = 0 − 0 = 0
Yani , ( , +) ( , +) nın bir alt grubudur. ∀ , ∈ için, ( )0 = ( 0) = 0 = 0
olup buradan, ⊆ dır. Bu da ın yakın-halkasının alt yakın halkası
olduğunu gösterir. Benzer şekilde ∀ , ∈ için, ( − )0 = 0 − 0 = −
yani − ∈ olur. Bu da ( , +) nın ( , +) nın bir alt grubu olduğunu gösterir. ∀ , ∈ için, ( )0 = ( 0) = ( ) =
olup bundan dolayı, ⊆ dır. Bu ise in yakın-halkasının bir alt yakın-
halkası olduğunu gösterir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
15
Tanım 2.3.3. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Γ nın Δ ⊆ Δ
şartını sağlayan bir Δ alt grubuna, Γ nın bir -altgrubu denir.
2.4. Homomorfizm ve idealler
Tanım 2.4.1. , ∈ ∀ , ∈ ç ℎ( + ) = ℎ( ) + ℎ( ) ∀ , ∈ ç ℎ( ∙ ) = ℎ( ) ∙ ℎ( )
koşulları sağlanıyorsa ℎ: → dönüşümüne bir yakın-halka homomorfizmi denir.
Bu tanımlarla beraber, monomorfizm, epimorfizm ve otomorfizm kavramları
halkalar teorisinde olduğu gibidir. Eğer yakın-halkasından yakın-halkasına bir
monomorfizim, yani birebir homomorfizm, varsa yakın-halkası ye
gömülebilirdir denir. Aynı tanımlar -gruplar için de geçerlidir.
Örnek 2.4.2. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Bu durumda ∀ ∈ Γ için,
ℎ : → Γ →
dönüşümü bir -homomorfizmdir.
Tanım 2.4.3. bir yakın halka ve , nin bir normal alt grubu olsun. Bu durumda
eğer;
a) . ⊆
b) ∀ , ∈ ve ∀ ∈ için . ( + ) − ∈ Şartları sağlanıyor ise ya yakın-halkasının ideali denir ve ⊲ ile gösterilir.
Eğer sadece a) koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sağ ideali denir, b)
koşulu sağlanıyor ise ya yakın-halkasının sol ideali denir ve sırası ile ⊲ ve ⊲ ile gösterilir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
16
Tanım 2.4.4. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Γ nın bir Δ normal alt
grubu ∀ ∈ Γ ,∀ ∈ ∆ ve ∀ ∈ için, ( − ) − ∈ ∆
Şartını sağlıyorsa, ∆ ya Γ nın bir ideali denir ve ∆⊲ Γ ile gösterilir.
Not :
a) Bir yakın-halkasının sol idealleri ile nin idealleri çakışıktır.
b) bir yakın-halka ve ⊲ ise, bölüm yakın-halkası, halkalar
teorisinde ki bölüm halkası tanımında olduğu gibi = { + ∶ ∈ }
Şeklinde tanımlanır. Benzer olarak bir -grup ve Δ ⊲ Γ için Γ Δ bölüm -grubu tanımı verilebilir.
c) {0} ve , yakın-halkasının idealleridir. Bunlara nin aşikar idealleri
denir. Benzer şekilde {0 } ve Γ , yakın-halkasının Γ -grubunun aşikar
idealleridir.
d) ve iki yakın-halka ve ℎ ∈ ( , ) ise ç ℎ = { ∈ ∶ ℎ( ) = 0 } kümesine ℎ homomorfizminin çekirdeği denir.
Tanım 2.4.5. Eğer yakın-halkasının, bir alt yakın-halkası için, ⊆ ve ⊆ şartları sağlanıyorsa ye yakın-halkasının bir invaryant alt yakın-
halkası denir. Burada nin yönüne göre sağ yada sol invaryant alt yakın-halka
adını alır.
Önerme 2.4.6. yakın-halka olsun. Bu durumda, a) ⊲ dir, fakat ⊲ olmak zorunda değildir. b) c , nin invaryant alt yakın-halkasıdır, fakat ne sol ne de sağ ideali olmak
zorunda değildir.İspat :
a) ₀ bir sol idealdir bunu gösterelim; ∀ , ∈ ve 0∈ olsun. ( + ₀ − )0 = 0 + ₀0 − 0 = 0
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
17
olup bu yüzden ( + ₀ − ) ∈ ₀
dır.
[( ( + ₀ ) − ′ ]0 = ( 0 + ₀0) − ′0 = 0
olduğundan. ( + ₀ ) − ′ ∈ ₀ dır.
Şimdi ₀ ın ideal olması gerekmediğini gösterelim; ℝ reel sayılar kümesi, = (ℝ) olsun. ℝ ile de birim dönüşüm gösterilirse,
ℝ ∈ ₀ = (ℝ) dır. 1 ∈ (ℝ) dönüşümü, 1:ℝ ⟶ ℝ ∈ (ℝ)
⟶ 1
olarak tanımlansın. Bu durumda, ∘ 1 = 1 ∉ (ℝ)
olduğundan (ℝ) , (ℝ)’nin bir ideali değildir.
b) nin invaryant alt yakın-halka olduğunu gösterelim. ∀ ∈ ve ∀ ∈ ( )0 = ( )0 = 0 =
buda ∈ ve ∈ olduğunu gösterir. nin ne sağ nede sol ideal olmadığını gösterelim; ( ,+) nın genelde normal alt grubu değildir. Abelyen olmayan Γ grubunu
alalım , ∈ Γ için + ≠ + olacak şekilde seçilsin. Şimdi dönüşümü,
: Γ → Γ ∈ (Γ)
→
ile tanımlansın. ∈ (Γ) birim dönüşüm ise bu durumda, + − (0) =
olur fakat
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
18
+ − ( ) = + − ≠
olduğundan + − ∉ (Γ)
bu nedenle Γ abelyen ise (Γ) normaldir.
Önerme 2.4.7. bir yakın-halka Γ bir -grup olsun. Bu durumda;
a) ⊲ ⟹ ⊆
b) = ⟺ nin her sol ideali nin bir alt grubudur.
c) = ⟹ her Γ ∈ N
İspat :
a) ⊴ ⟹ ∀ ∈ , ∀ ∈ için; = 0 + ) − 0 ∈
olduğundan ⊆
dir.
b) ⟹ :a dan açık. ⟸:{0} ⊴ ⟹{0} N nin alt grubu ⟹ 0={0}⟹ =
c) Bunun ispatı da b) şıkkında olduğu gibidir.
Tanım 2.4.8. bir yakın-halka, Γ bir -grup, ∆ ve ∆ Γ nun herhangi iki alt kümesi
olsun. Bu durumda, (∆ :∆ ) = { ∈ ∶ ∆ ⊆ ∆ }
İle verilir. ∈ Γ için, kısalık açısından , ({ }:∆) = ( :∆) alınacaktır. (0 : Δ) = ∈ ∶ ∆⊆ {0 } kümesine Δ ⊆ Γ nin sıfırlayanı denir. Herhangi bir karışıklık içermeyen durumlarda,
bu küme (0: Δ) ile gösterilecektir.
Yakın-halkaların idealleri, ideallerin toplamları ve direkt toplamları ile ilgili bazı
özellikler aşağıda verilmiştir.
Teorem 2.4.9. bir yakın-halka ve ( ) ∈ yakın-halkasının ideallerinin bir
ailesi olsun. Bu durumda aşağıdaki kümeler birbirine denktir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
19
a) ların elemanlarını tüm sonlu toplamlarının kümesi b) Farklı ların tüm sonlu toplamlarının kümesi c) ( ,+ ) normal alt gruplarının toplamı d) ( ,+) grubunun ∈
tarafından üretilen alt grubu e) ( , +) grubunun ∈
tarafından üretilen normal alt grubu f) nin ∈
tarafından üretilen ideali.
Bu teoremin ispatı grup ve halka teorisindeki ispatın aynısıdır.
Tanım 2.4.10 Teorem 2.4.9 da a) dan f) ye kadar olan kümelere ( ) ∈ ideallerinin
toplamı denir. ∈
ile gösterilir. ( k={1,2,3, … }, 1+ 2+ 3+…)
Teorem 2.4.9 nun d), f) şartlarından aşağıdaki şonuç görülebilir.
Sonuç 2.4.11 bir yakın olsun. Bu durumda;
a) yakın-halkasının ideallerinin toplamı yine nin idealidir.
b) İdeallerin toplamı asosyatiflik ve değişme özelliklerini korur.
Tanım 2.4.12 bir yakın-halka ve ( ) ∈ yakın-halkasının idealleri olsun. Eğer ∈
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
20
nın her bir elemanı, farklı elemanlarının bir sonlu toplamı olarak tek türlü olarak
yazılabiliyorsa ∈
toplamına ideallerin bir iç direk toplamı denir. Belirli olması açısından bu toplam ∈
ile gösterilecektir.
Önerme 2.4.13. bir yakın olsun Bu durumda; nin ideallerinin her ( ) ∈ ailesi
için aşağıdaki şartlar birbirine denktir.
a) ların toplamı direktir.
b) ( , +) normal alt grupların toplamı direktir.
c) ∀ ∈ için , ∩ ( ) ∈ , = {0}
Önerme 2.4.14. bir yakın , ( ∈ ) nin ideallerinin ∈
toplamı direkt olacak şekilde, bir ailesi olsun. Bu durumda, , ′ ∈ , , ′ ∈
ve ≠ ise;
a) + = +
b) ( + ) =
c) = 0
d) = 0 ise . = 0 dır.
İspat :
a) ⊲ ve ⊲ olduğundan bunlar aynı zamanda nin birer normal alt
grubudur. Dolayısıyla ∈ ve ∈ için, + − ∈ ve ∈ olduğundan ,
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
21
− − − ∈ dir. Benzer şekilde, − − ∈ ve ∈ olduğundan, + − − ∈ dir. ∩ = {0} olduğundan, + − − = 0
ve buradan , + = +
elde edilir.
b) ⊲ olduğundan , ∈ ⊆ ve ∈ için, ( − ) − ∈ dir. ⊲ olduğundan, Burada ( − ) ∈ ve ∈ dir. Dolayısıyla, ( + ) − ∈ dır. ≠ için ∩ = {0} olduğundan , ( + ) − = 0
ve buradan , ( + ) =
elde edilir.
c) ∈ ve ∈ için ⊲ olduğundan, ∈ ve 0 ∈ dolayısıyla, − 0 ∈ dir. ⊲ olduğundan ∈ ⊆ , 0 ∈ ve ∈ için,
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
22
(0 + ) − 0 ∈
yani, − 0 ∈
dir. Yine ≠ için ∩ = {0} olduğundan, = 0
elde edilir.
Bu son ispattan d) şıkkının ispatı hemen görülebilir. Çünkü =
ise 0 = 0 dır.
Önerme 2.4.15. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer ∃ ⊲ için, = + şartı sağlanıyorsa idealine yakın-halkasının bir direkt toplananı denir. ye
yakın-halkasında nın tamamlayıcısı denir.
Teorem 2.4.16. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer bir direk toplanan ise nın
her bir ideali aynı zamanda yakın-halkasının bir idealidir.
Not: Genelde bir yakın-halkasında iki -alt grubun toplamı yine bir -alt grup
değildir. Fakat (Fain, 1968) aşağıdaki sonucu vermiştir.
Önerme 2.4.17. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. Eğer Δ , nun bir alt
grubu ve , nun bir ideali ise bu durumda Δ + , nun bir alt grubudur. Yani Γ -grubunun bir -alt grubu ve bir idealin toplamı Γ nun bir -alt grubudur.
İspat : ∀ ∈ ∆ , ∀ ∈ , ∀ ∈ için;
( + ) = ( + ) − + ∈ + ∆= ∆+
bir yakın-halkasında, her zaman = + olduğu daha önce teorem 2.1.6 ile
verilmişti. Aşağıdaki önerme aynı durumun yakın-halkaların sağ idealleri için de
geçerli olduğunu göstermektedir.
Önerme 2.4.18. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Bu durumda ; = ∩ ( + ) = ∩ + ∩ = + dir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
23
İspat : Teorem 2.1.6 da ∀ ∈ için, = − olacak şekilde ∃ ∈ ve ∃ ∈ vardır. ⊲ olduğundan, = 0 = ( − )0 = 0 ∈
dolayısıyla ve idealinin elemanlarıdır. Bu ise = + olduğu
gösterilmiş olur.
2.5. Reguler ve güçlü(strongly) reguler zayıf(s-weakly) reguler yakın-halkalar
Tanım 2.5.1. ∃ ∈ ℕ için k =0 ise ∈ ye nilpotent eleman denir. (ℕ ile doğal
sayılar kümesini gösterir)
Örnekler 2.5.2. a) 2 , ℤ [ ] de nilpotent elemandır. b) = 0 ise ∈ nilpotenttir.
Tanım 2.5.3. ∀ ∈ ℕ için k= eşitliğini sağlayan ∈ var ise ye idempotent
eleman denir.
Tanım 2.5.4. C( )={ ∈ : ∀ ′ ∈ için . ′ = ′ } ise ( , . ) nın (center)
merkezleğeni denir.
Tanım 2.5.5. bir yakın-halka olsu. ∀ , , ∈ olmak üzere = 0 için = 0 özelliği sağlanıyor ise ye (insertion-of-foctors-property ) özelliğine
sahiptir denir.
Önerme 2.5.6. (Bell, 1970), (Heatherly, 1973), (Marin, 1971) , ( Ramakotaiahrao,
1979 ), ∈ yakın-halkası nilpotent elemana sahip olmadan bir yakın-
halkasıdır.
İspat: ∈ için = 0 ise = 0 = 0 dır. Buradan ( ) = 0 olup bu
yüzden = 0 dır. Şimdi; ∀ ∈ ∶ = ( ) = ( ) = 0 = 0
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
24
Bundan dolayı , özelliğine sahiptir.
Önerme 2.5.7. (Bell 1970) bir yakın-halka, ∈ nilpotent elemanlara sahip
değilse ;
a) Her dağılma özelliğini sağlayan idempotent merkezleyendir.
b) ∈ ise tüm idempotentler ( ) dedir.
İspat : İlk olarak her idempotenti için ∀ ∈ için = olduğunu
gösterelim. Şimdi; ( − ) = 0
önerme 2.5.6 dan, ( − ) = 0
ve özelliğinden, ( − ) = 0
olup buradan; (− )( − ) = (− )0 = 0
dır. Bundan dolayı, ( − ) = ( − ) + (− )( − ) = 0
olup o halde − = 0
dır.
a) Eğer ∈ , ∀ ∈ ise ( − ) = + (− ) = − = 0
olup ( − ) = 0
buradan da ; = =
dir.
b) eğer 1 birim elemanına sahip ise ve yeniden bazı idempotentlerini
düşünecek olursak. (1 − ) = 0
olduğundan dolayı ∀ ∈ ∶
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
25
(1 − ) = 0
olup , aynı zamanda ( − ) = −
ve (1 − ) = 0
olduğundan dolayı ; ( − ) = ( − ) ( − ) = ( − )(1− ) = 0
olup bundan dolayı; ∀ ∈ için; = =
olur.
Tanım 2.5.8. bir yakın-halka ve ∀ ∈ için = = olacak şekilde bir ∈ varsa varsa ye sol reguler yakın-halka denir.
Örnekler 2.5.9. Aşağıdakiler reguler yakın-halkalardır.
a) (Γ) ve (Γ)
b) Sabit yakın-halkalar
c) Yakın cisimlerin direk toplamı ve direk çarpımı
d) ( , +,⋇) herhangi bir grubu için ( , +) ve ∗ = ğ ≠ 00 ğ = 0
Bütün bunlardan aşağıdaki sonuçları yazabiliriz.
a) Tanım.2.5.8 deki ve birer idempotenttirler.
b) Örnekler 2.5.9 dan çıkartılabilir ki reguler yakın-halkaların abelyen olması
gerekmemektedir.
c) Reguler yakın-halkaların direk toplam ve direk çarpımlarının homomorfik
görüntüleri de regulerdir.
d) Örnekler 2.5.9 nin a) şıkkından reguler yakın-halkaların alt yakın-halkaları
genellikle reguler değildir.
Teorem 2.5.10. (Beidleman,1969), (Ligh, 1970), ∈ olsun. regulerdir ⟺ ∀ ∈ ∃ = ∈ : =
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
26
İspat: ⇒: = olacak şekilde bir ∈ alalım. Yukarıdaki sonuçların a)
şıkkından = ( )olur. ⇐: ∈ alalım. Daha sonra bazı idempotentleri için = dir. ∈ ve
bazı ∈ ile = dir. Bundan hareketle ∈ , ∈ = ve bazı ler
için = elde edilir. Buradan da = = = = yi elde ederiz ki
bu da istenendir.
Tanım 2.5.11. ∀ ∈ için = 2 olacak şekilde bir ∈ varsa sol
güçlü(strongly) reguler yakın-halka denir.
Burada sol reguler yakın-halka hem reguler hem de sol ğüçlü(strongly) reguler
yakın-halkadır. (sağ güçlü(strongly) reguler yakın-halkada benzer şekilde tanımlanır)
Teorem 2.5.12. ≠ 0 ve birimli reguler bir yakın-halka olsun aşağıdakiler bir
birine denktir:
a) = 0 ın sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.
b) nin bütün idempotent elemanları (central) merkezleyendir..
c) yakın cisimlerin alt direkt çarpımıdır.
d) Birimli bir reguler yakın-halkanın idempotentleri merkezleyen olup her −altgrup bir sol idealdir.
Örnek 2.5.13. (Γ ) ve µ0 (Γ ) reguler yakın-halkadırlar fakat güçlü(strongly)
reguler yakın-halka değildirler.
Sonuçlar 2.5.14. ( Beidleman, 1967 ), (Ligh, 1970) , (Heatherly,1973) , (Chao,
1975) ,( Marin, 1971 )
a) de sadece 1 ve 0 idempotentler ise birimli (1 ≠ 0) reguler-yakın halkası
bir yakın-cisimdir.
Artan zincir kuralını (descending chain condition) kısaca DDC ile göstereceğiz. yakın-halkası için ideal kümeleri DDC koşulunu sağlıyorsa ye idealler için
DDC koşulunu sağlar denir yada kısaca ye DDCI ya sahiptir denir.
b) Bir reguler yakın-halka, DCCI ile tüm idempotentleri (central) merkezleyen
ise bu yakın-halka yakın cisimlerin sonlu direk toplamlarına eşittir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
27
c) Birimli bir reguler yakın-halkanın tüm idempotentleri (central) merkezleyen
ise bu yakın-halkada her -altgrup bir sol idealdir.
d) Birimli bir reguler yakın-halka eğer tamlık bölgesi ise bir yakın cisimdir.
Sonuç 2.5.15.
a) nilpotent elemanlara sahip değil ise indirgenebilirdir.
b) Eğer nin tüm idempotent elemanları (central) merkezleyen ise ye unital
denir.
c) , özelliğine sahip ise , ∈ için . = 0 ise . = 0 dır.
Tanım 2.5.16. bir yakın halka ve , ∈ alalım. ≡ ∶⟺ ∀ ∈ ∶ =
İse ve ye sağ eşit çarpanlar denir.
Tanım 2.5.17. bir yakın halka olsun. Eğer | /≡| ≥ 3 ve her = + ( ≢ )
eşitliği de bir tek çözümü varsa ye bir planar yakın-halka denir.
Notasyon Eğer ∈ , = { ∈ ∶ ≡ 0 } ise ≢ ile \ yı göstereceğiz.
Önerme 2.5.18. (Anshel-Clay, 1968 ) Her planar yakın-halka sıfır simetriktir.
İspat : ∈ alalım. ∈ ≢ olsun. O halde hem 0 hemde 0 , = 0 + 0
denkleminin çözümü olup 0 = 0 dır. Bu da istenendir.
Önerme 2.5.19. (Anshel-Clay, 1968 ) planar yakın-halka olsun.
a) ∈ sağ sıfır bölen ⟺ ≡ 0 ⟺ ∈
b) ∀ ∈ ≢ , ∀ ∈ , ∃ ∈ ∶ =
İspat :
a) Biz sadece = 0 ( ≠ 0) olduğunu göstermeliyiz buradan ≡ 0 elde
ederiz. Gerçekten ≢ 0 ise hem 0 hem de = 0 + 0
denkleminin çözümü olup bu bir çelişkidir.
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER SELAHATTİN KILINÇ
28
b) Eğer ∈ ≢ ise = 0 +
Bir tek çözüme sahiptir. Dolayısıyla bu da istenen olup ispat tamamlanır.
Tanım 2.5.20. ∀ ∈ için = olacak şekilde ∃ ∈< 2> var ise ye zayıf
( -weakly) reguler yakın-halka denir.
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
29
3.MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER
3.1.Maksimal İdealler
Tanım 3.1.1. bir yakın-halka ve Γ bir -grup olsun. nin(Γ nın) aşikar olmayan
ideali yoksa, ye (Γ ya) basitttir denir. Eğer Γ nın 0 ve Γ dışında -alt grubu
yoksa Γ ya -basittir denir. {0} ideali bir yakın-halkasının tüm ideallerinin kümesinde daima minimal
olduğundan aşağıdaki tanımlar halka teorisinde olduğu gibidir.
Tanım 3.1.2. bir yakın-halka olsun. nin tüm sıfırdan farklı ideallerinin
kümesinde minimal olan ideale nin minimal ideali denir.
Benzer olarak, minimal sağ ve sol ideal tanımları verilebilir. Bu tanımların dualleri
maksimal ideal tanımlarıdır.
3.2. Asal İdealler
Yakın-halkalar için ideal kavramı, birbirinden bağımsız olarak (Van der Walt,1964)
ve (Ramakotaiah,1979) tarafından ilk olarak ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli
çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. bir yakın-halka ve , ⊆ olsun .Bu durumda;
. = { ∶ ∈ ve ∈ }
dır. doğal sayısı için tanımı benzer şekilde tanımlanabilir. bir yakın-halka
ve , ⊲ olsun. Bu taktirde, çarpımı bir ideal olmayabilir. Hatta bu çarpım ( , +) grubunun bir alt yarı grubu dahi olmak zorunda değildir.
Önerme 3.2.1 (maxson, 1967) ve birer yakın-halka olsun. Bu durumda, a) ∀ , , ⊆ için ( ) = ( ) b) ℎ: → bir dönüşüm ve ∀ , ⊆ için ℎ( ) = ℎ( )ℎ( ) ve ∀ ̅, ⊆ için ℎ ( ) ⊇ ℎ-1( ̅) ℎ-1( ) c) ∀ ⊴ , ∀ , ⊆ için ( + )( + ) = +
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
30
Tanım 3.2.2. bir yakın-halka ve ⊲ olsun. Eğer ∀ , ⊲ için ⊆ olması, ⊆ veya ⊆ olmasını gerektiriyorsa ye yakın-halkasının bir asal ideali
denir.
Notasyon: bir yakın-halka ve S⊆ için <S> ile S kümesi tarafından üretilen
ideali göstereceğiz. Kısalık açısından, bir ∈ için ( { }) yerine < > gösterimi
kullanılacaktır.
Tanım 3.2.3. nin herhangi bir alt kümesi için A( ) ile { ∈ : . =0 }
kümesini göstereceğiz.
Tanım 3.2.4. . ∈ için ∈ ya da ∈ ise nin idealine tamamen
(completely) asal ideal denir.
Tanım 3.2.5. 2∈ için ∈ ise nin idealine yarı tam (semi completely) asal
ideal denir.
Tanım 3.2.6. nin herhangi bir ideali için 2⊆ dan ⊆ ise nin idealine
yarı asal ideal denir.
Önerme 3.2.7. (Wander Walt, 1964) yakın-halkasının bir ideali için
aşağıdakiler birbirine denktir;
a) bir asal idealdir
b) , ⊲ için ⊆ olması ⊆ veya ⊆ olmasını gerektirir.
c) ∀ , ∈ için ∉ ve ∉ ise < >< >⊈ dir.
d) , ⊲ için ⊃ ve ⊃ ise ⊈P dir.
e) , ⊲ için ⊈ ve ⊈ ise ⊈ dir.
İspat :
a⇒b : ⊲ N asal ve ∀ , ⊲ için (IJ)⊆ olsun. ⊆< >⊆
ve asal olduğundan tanım 3.2.2 den ⊆ veya ⊆ dir. Dolayısıyla b⇒a
durumu da elde edilmiş olur. a⇔ e durumu da tanım 3.2.2 den kolaylıkla elde
edilebilir.
a⇒c : ⊲ N asal ve < >< >⊆ olsun. Bu durumda asal olduğundan < >⊆ veya < >⊆ dir. Bundan dolayı ∈ veya ∈ dir.
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
31
c⇒d : Kabul edelim ki c) sağlansın ve ⊃ ve ⊃ olacak şekilde , ⊲ bulunsun ∈ \ ve ∈ \ alalım bu durumda < >< >⊈
olup dolayısıyla ⊈
elde edilir.
d⇒e : Kabul edelim ki d) sağlansın ve ∀ , ⊲ için ⊃ ve ⊃ olsun. ∈ \ ve ∈ \ alalım buradan < > + ⊃ ve < > + ⊃ olduğundan (< > + )( < > + ) ∉
dır. Bu yüzden ; ∃ ∈ , ∃ ∈ ve ∃ , ∈ için ( + )( + ) ∉
olup dahası ( + ) − + + ( + ) ∉
dir. Fakat ( + ) − ∈
ve ( + ) ∈ ∉
buradan da ⊄
dır.
Önerme 3.2.8. bir yakın-halka ve ( ) ∈ kapsama altında tam sıralı olan nin
asal ideallerinin bir ailesi olsun. Bu durumda. ∈
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
32
İdeali nin bir asal idealdir. Burada bir indis kümesidir.
İspat : sıralı olduğundan, , ∈ için
≤ ⇒ ≤ bir ideal , ve nin birer ideali olsunsunlar. ⊆ ∈ ⇒ ∀ ∈ ∶ ⊆
olduğundan ∃ ∈ için ⊈ ise ⊆ dır. ∀ ≥ için ⊆ olur.
Eğer < için ⊈ ise ⊆ dır dolayısıyla ⊆ olacaktır ki bu bir
çelişkidir. Bu yüzden ∀ ∈ için ⊆ ve ⊆ ∈
olur.
Önerme 3.2.9. bir yakın-halka , ⊲ bir direkt toplanan ve ⊲ bir asal
ideal ise ∩ da asal idealdir.
İspat : , ⊆ ∩ olsun . ( , ⊲ ) için . . ⊆
ve . ⊲
bu yüzden, ⊆
ya da
⊆
dolayısıyla ⊆ ∩ yada ⊆ ∩ dır.
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
33
Önerme 3.2.10. bir yakın halka, ⊲ , ⊆ ⊲ ve eğer : → =
kanonik epimorfizm ise asaldır ⟺ ( ) asaldır.
İspat : ⟹ Kabul edelim ki , asal ve ( , ⊲ ) için , ⊆ ( ) olsun.
J1 : ( ) , J2 : ( ) önerme 3.2.1 den . . = ( ). ( ) ⊆ ( . ) ⊆ ( ) = + =
dır. Buradan bir asal ideal olduğundan; ⊆
ya da ⊆
olup buradan da ; = ( ̅) = ̅ ⊆ ( )
ya da ̅ ⊆ ( )
dır. Bu da ( ) ̕ nin asal ideal olduğunu ispatlar. ⟸: Şimdi kabul edelim ki ( ) asal ve ⊆ olsun. Bu durum da ( ). ( ) = ( . ) ⊆ ( )
olup ( ) bir asal ideal olduğundan, ( ) ⊆ ( ) ya da ( ) ⊆ ( ) dır. Dolayısıyla ⊆ + = ( ) ⊆ ( ) = + =
ya da ⊆
dır. Bu da bize nin bir asal ideal olduğunu gösterir.
Tanım 3.2.11. bir yakın-halka olsun. Eğer nin sıfır ideali asal ise ye bir asal
yakın-halka denir.
Örnek 3.2.12.
a)Her tamlık bölgesi yakın-halkası bir asal yakın-halkadır.
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
34
. ⊆ {0 } ve ≠ {0} , ≠ {0} olup bu bize bazı ∈ ∗ , ∈ ∗ için . = 0 olmasını
garanti eder.
b) , ′ nin bir asal idealıysa {0} bir asal halkadır.
Örnek 3.2.13. bir yakın-halka olsun. Eğer = ise ( , +) nın her normal alt
grubu bir asal idealdir. O halde her sabit yakın-halka bir asal yakın-halkadır.
Önerme 3.2.14. bir yakın-halka olsun. Eğer bir basit yakın-halka ise, ye bir
asal yakın-halka ya da bir sıfır yakın-halka denir.
İspat : Eğer bir basit yakın-halka ise , sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. O
halde asal ideallik tanımından, {0} = {0}, {0}{0} = {0}, {0} = {0}
veya = {0}
durumları olabilir. Buradan ya {0} bir asal ideal ya da = {0} olduğu görülür.
Önerme 3.2.15. nın ideali için bir asal halkaysa ya asal ideal denir.
İspat : önerme 3.2.10. da = alınırsa sonuçelde edilir.
Tanım 3.2.16. ∈ ∈ ç ∈ ise ( ,+) nın alt grubuna − alt grup
denir.
Tanım 3.2.17. ⊂ için ⊂ ⊂ den = , , nin −altgrubu olacak
şekilde bir , −alt grubu var ise nin sağ ideali minimal strict genişleme
özelliğine sahiptir denir.
Tanım 3.2.18. nin bir öz alt sağ ideali −altgrup olarak maksimal ise bu öz alt
sağ ideale strictly maksimal idaeal denir.
Tanım 3.2.19. ∀ , ∈ için ∃ ∈ ( ), ∃ ∈ ( ) : 1. 1∈ ise ⊆ ye
bir − denir
Örnek 3.2.20.
a) ∅ ve aşikar − lerdirler.
b) ∀ ∈ için { , 2, 3, …} bir − dir
Sonuç 3.2.21. nin ideali için, \ bir − ise , nin bir asal
idealidir.
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
35
Önerme 3.2.22. ( Van der Walt, 1964), (Ramakotaiah, 1979 ) ⊆ , de bir − ve nin ideali ile ∩ = ∅ ise yı içeren ≠ ideali için ∩ = ∅ dır.
İspat : ℐ = { ⊴ : ⊇ ∧ ∩ = ∅} . ∈ ℐ. Zorn lemmasından ℐ , gibi bir
maksimal elemanını içerir. ≠ bir idealdir. gerçekten bir asal idealdir:
Eğer ⊃ ⋀ ⊃ ise bazı ̇ ∈ ∩ ve ̇ ∈ ∩ için ̇ ̇ ⊆
ve ∃ ∈ ̇ ∃ ∈ ̇ : ′ ′ ∈
olup bu yüzden ; ( ) ∩ = ∅ , ( ) ⊈ ∧ ⊈
3. MAKSİMAL VE ASAL İDEALLER SELAHATTİN KILINÇ
36
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
37
4. ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ
Bu bölümde asal ideallerin maksimal ideal olmak zorunda olmadığı ancak reguler ,
güçlü(strongly) reguler ve zayıf(a-weakly) reguler halkalardaki asal ideallerin
maksimal ideal oldukları gösterilmiştir.
4.1. Regulerlik
Lemma 4.1.1.
a) Eğer sol yada sağ güçlü(strongly) regular yakın-halka ise
indirgenebilirdir.
b) Sıfır simetrik yakın-halkalarda . = 0 ⟹ . = 0 ve sağlanır.
İspat :
a) sağ güçlü(strongly) yakın-halka için ; = ². ⇒ = 0.
olup ² = 0 ⇒ = 0
dır. O halde sağ güçlü(strongly) yakın-halka için indirgenebilirdir.
Sol güçlü(strongly) yakın-halka için ;
Eğer ² = 0 ve = ² = . 0
ise 0 = ² = ( . 0) = (0 ) = . 0 =
olup. Bu sol güçlü(strongly) yakın-halka için de nin indirgenebilir olduğunu
gösterir.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
38
b) Lemma 4.1.1 in a) şıkkından kolayca görülür.
Lemma 4.1.2. ile bir sol reguler yakın-halka sağ reguler yakın-halkadır.
İspat : sol reguler yakın-halka tanımından ; = ² = ⇒ ( − ) = 0 özelliğini göz önüne alırsak ( − ) = 0
ya da = ²
buradan = = ²
bu yüzden = = ² ²
olup burada = ² olarak seçilirse = ² olur ki bu da = ² ² = =
olmasını gerektirir ki bu da istenendir.
Hatırlatmalar 4.1.3. Eğer sol ve sağ strongly reguler yakın-halka ise ∀ ≠ 0 ∃ , ∶ = ² = ² ise halka teoriden farklı olarak nin dan
farklı seçilmesine gerek yoktur.
Buna rağmen nin sağ ve sol reguler olmasında nin ya eşit seçilmesin de iki
durum söz konusudur; sıfır simetrik ve unital ya da sıfır bölene sahip değildir.
Gerçekten eğer sıfır bölene sahip değil ve sol strongly reguler ise = ² den ( − ) = ³− ² ² = ³ − ³ = 0
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
39
olup buda ² ≠ 0 ve = ² olmasını gerektirir.
Önerme 4.1.4. Eğer sıfır simetrik ise sol regulerlik sol güçlü(strongly) regulerlik
ile çakışıktır. Buradan sağ regulerlikte elde edilir. Buradan başka eğer unital ise bu
üç şart birbirine eşittir.
İspat : Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her için = ² olacak
şekilde bir ∈ vardır. Buradan hareketle ( − ) = ²− ² = ²− ² = 0
olup lemma 4.1.1 den ( − ) = 0 ( − )² = ( − )− ( − ) = 0
olup indirgenebilirdir buradan da sol regulerdir, Lemma 4.1.2 den de sağ
regulerdir.
Dahası eğer unital ve = ² = ise ve idempotentirler ( önerme
2.5.9 ) dan bunlar central olup bu yüzden = ² dir.
Sonuç 4.1.5. yakın-halkası ile unital ise aşağıdakiler birbirine denktir.
a) Reguler
b) Sağ reguler
c) Sol reguler
d) Sol güçlü(strongly) reguler
İspat :
a⟹b : = den (1− ) = 0 dır. özelliğinden = ² olur o halde = = ²( ) önermeye dayanarak eğer , ile unital ise 1.0=0 dan
1 0=0 dır. Her için 0 = 0 olup bu yüzden sıfır simetriktir.
(Pilz.1983) ın tanımını (Pilz.1983) de aşağıdaki gibi vermiştir;
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
40
∀ ∈ ∃ ( ) > 1 ∶ n(x)= ise , özelliğine sahiptir.( n= ( ) alınırsa n= )
Bu yakın halka açık olarak hem sağ hem sol güçlü(strongly) reguler yakın-halkadır.
Tanım 4.1.6. Eğer sonlu sıfır simetrik sol (yada sağ) güçlü(strongly) reguler yakın
halka ise özelliğine sahiptir.
Eğer ve , ın elemanı ise ye özelliğine sahiptir denir.
(Pilz,1983) Eğer ∈ sıfırdan başka nilpotent elemana sahip olmayan sonlu bir
yakın halka ise , özelliğine sahiptir.
(Pilz, 1983) önermesinden dolayı sağ (yada sol ) (güçlü(strongly)) regulerdir.
Eğer peryodik yakın halkalardan sonuç çıkaracak olursak halkanın sıfır simetrik
olmasına gerek yoktur. ∀ ∈ ,∃ ≠ ile = ise ye peryodik yakın-halka denir.
Önerme 4.1.6 Bir peryodik sol (sağ) strongly reguler yakın-halka özelliğine
sahiptir.
İspat : Her ∈ için = ² olacak şekilde bir ∈ vardır. Her > için = olsun . Şimdi peryodik olduğundan bazı minimal elemanları için = dir. Bazı ≠ ler için ( gerçekten > + 1 dir aksi taktirde =
çelişkisi elde edilir ki buda nin minimal olması ile çelişir.)
Şimdi − > − 1 ise − 2 + 1 > 0 olup o halde = = den = = =
benzer şekilde − < − 1 den 0 < 2 − 1 − olup bu yüzden = = = =
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
41
olmasını gerektirir.
Örnek 4.1.7
Eğer bir planar yakın halka ise sıfır simetrik ve her için = 0 olup bazı
ler için de = 0 dır. ( önerme 1.5.21 ve önerme 1.5.22)
Buradan eğer herhangi bir sağ sıfır bölene sahip ise ne reguler de sol
güçlü(strongly) reguler dir. Öte yandan bir integral ise ( 1.5.22 b) den ∀ ≠ 0 ve ∀ için ∃ ile = , özellikle = ² olarak seçilirse sol güçlü(strongly)
reguler yakın-halka olur ve önerme 4.1.1 bu yakın halkadan da elde edilebilir.
4.2. Sıfır simetrik üniter durum
Eğer tüm nilpotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.N özelliğine
sahiptir denir. Eğer tüm idempotent elemanlar merkezleyen (central) ise ye C.I
özelliğine sahiptir denir. Eğer , CI özelliği ile reguler ise sağ ve sol regulerdir.
Bundan sonraki aşamada yi sıfır simetrik yakın-halka olarak alacağız.
Lemma 4.2.1 , CN özelliğine sahip olsun ;
a) . = 0 ise , ve her için merkezleğen (central) dır.
b) Eğer bir idempotent ve . = 0 ise her için = 0 dır.
İspat :
a) Eğer . = 0 ise = 0 dır Bu yüzden merkezleyen olup benzer
şekilde her için da merkezleyendir.
b) Eğer . = 0 ise a) dan de merkezleyen. ile hesaplanırsa = = 0 olur.
b) şıkkının bir genel sonucu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
Önerme 4.2.2 Eğer bütün idempotentleri için ve her ∈ için CN özelliğine
sahip ise
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
42
a) − merkezleğendir.
b) Her dağılma özelliğine sahip idempotent merkezleyendir.
c) ² = ( )²
d) Eğer unital ise = dir.
İspat :
a) ( − ) = 0
Lemma 4.2.1 (b) den her ∈ için ( − ) = 0 dır. ( − ) = ( − )− ( − ) = 0
Olduğundan − merkezleyendir.
b) Eğer e dağılma özelliğine sahip ise ( − ) = −
( eğer dağılma özelliğine sahip ise (− ) = − dir)
ve a) yı kullanırsak ( − ) merkezleğendir. Şimdi ile hesaplama yapılırsa
ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da = dir.
c) Lemma 4.2.1 (b) ile ( − ) = 0
dan ( − ) = 0
dır. [( − ) ] = 0
olup bu da ( − ) nin merkezleğen olduğunu gösterir. Şimdi ile hesaplama
yapılırsa ifadenin sıfıra eşit olduğu görülür ki buradan da
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
43
² = ( )²
dir.
d) ünital olduğundan ² = olup buradan (1 − ) = 0 dır. Lemma 4.1.6
dan (1− ) = 0 ise her için (1 − ) mekezleğendir.
Bu ifade ile hesaplanırsa sıfıra eşit olduğu görülür.
Sonuç 4.2.3 Eğer indirgenebilir ve uniter ise CI özelline sahiptir.
İspat : Önerme 4.2.2 nin a) şıkkının ispatından − nin nilpotent olduğunu
görebiliriz. Bu yüzden indirgenebilir olup buradan da = dir. Ayrıca
önerme 4.2.2 nin d) şıkkından da = olduğu görülebilir.
Teorem 4.2.4 ve Lemma 4.2.5 te üniter ve her -modül uniter olarak kabul
edilecektir.
Teorem 4.2.4 Bir sol güçlü(strongly) reguler yakın halka sol ve sağ regulerdir. Her
birimli , sol -alt grubu bir idempotent tarafından doğrulmuştur ve her sol -alt
grup iki taraflı idealdir. Dahası ( ,+) abelyen ve yakın cisimlerin alt direk
toplamına izomorftur.
İspat : Birinci durum sonuç 4.1.4 ten elde edilir. Teorem2.5.13 den Her birimli
sol -alt grubunun bir idempotent tarafından doğrulduğunu görebiliriz. -alt
grubunun iki yönlü ideal olduğunu göstermeye çalışalım Teorem2.5.15 in d)
şıkkından her -alt grubun bir sol ideal olduğunu biliyoruz. Sağ ideal olduğunu
göstermek için de nin S gibi bir -alt grubunu göz önüne alalım o halde S , nin
bir sol idealidir. ∈ S ve ∈ ise bazı idempotentleri için ∈ = olup
buradan da = ′ dir. Şimdi merkezleğen olduğundan = = ∈ = ⊆ ( ,+) abelyendir çünkü nin elemanları idempotentir. nin yakın cisimlerin alt direkt toplamına eşit oluğunu Teorem 2.5.15 c )den görebiliriz.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
44
Lemma 4.2.5. Eğer sol güçlü(strongly) reguler yakın-halka ise her asal ideal
maksimal idealdir.
İspat : bir asal ideal ve bir maksimal ideali için ⊈ olsun.
Şimdi ∈ \ alalım. Buradan 0 = − = (1 − )
Olup bazı elemanları için tamamen asal ideal olduğundan 1 − ∈ ⊆ olup
buradan da ∈ olduğundan 1 ∈ olur ki bu bir çelişkidir. Buda = olmasını
gerektirir ki bir maksimal idealdir.
güçlü(strongly) reguler yakın halkanın bir genellemesi
Lemma 4.2.6 Herhangi 0≠ ∈ için indirgenebilir bir yakın-halka ise
a) A(a) bir yarı tamamen asal idealdir.
b) /A(a) indirgenebilir ve , nın mod A(a) idealine göre kalan sınıfı sıfır
bölen değildir.
c) Herhangi , , … , ∈ için . … = 0 dan < >. < > ⋯ < >= 0 dır.
İspat :
a) , ye sahip ve A(a) bir ideal olsun. Varsayalım ki ² ∈ A(a) olsun . O
halde 0 = = ( ) =
olup bu yüzden ( ) = 0 dır. Bu ise = 0 ve buradan da A(a) bir yarı tamamen
asal idealdir.
b) A(a) bir yarı tamamen asal ideal olduğundan /A(a) indirgenebilirdir. =0 olacak şekilde bir ∈ olduğunu varsayalım o halde =0 ve buradan ∈ A(a) dır. Bu durumda ( )² = =0 olduğundan =0 ve buradan da = 0
dır.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
45
c) Bazı ise , , … , ∈ için ise . … = 0 olduğunu varsayalım. indirgenebilir , nin bir S alt kümesi için A(s) bir ideal ∈ A( … ) ise < > ⊆ A( … ) olup bu yüzden < >. … = 0
olup buradan da … < >= 0 dır. ∈ A( … < >) ise < > ⊆ A( … < >) olup bu yüzden < > … < >= 0 olup buradan da … < >< >= 0 dır.
Bu şekilde devam edilirse < >. < > ⋯ < >= 0 elde edilir.
Teorem 4.2.7 indirgenebilir bir yakın halka olsun . Eğer boştan farklı bir m-
system ve nin bir alt kümesi ise 0 ≠ olup , nin tamamen asal ideali için ∩ = ф dir.
İspat : bir maksimal m-system ⊆ ve 0∉ olsun Zorn Lemması
kullanılarak elde edilebilir ve açık olarak ⊆ dır. Önerme 3.2.23 den ∩ = ф
olacak şekilde ≠ asal ideali vardır. Buradan ⊆ \ olup Önerme 3.2.22
den \ bir m-systemdir. nun maksimalliğinden ⁄ ⊆ olup buradan \ = dir. Kolaylıkla doğrulanabilir ki , nin bir minimal idealidir. Şimdi
nin tamamen asal ideal olduğunu göstermeye çalışalım. , ⁄ tarafından doğrulan nin bir çarpımsal alt yarı grubu olsun. Buradan biz 0 ∉ sonucunu çıkarabiliriz. Eğer , , … , ∈ ⁄ değil ise . … = 0
dır. Lemma 4.2.6 dan < >. < > ⋯ < >= 0 ⊆ dir. Bu ise ∈
olması bizim varsayımımız ile çelişir. ={ : ∩ =ф olacak şekilde nin bir ideali } olsun . boştan farklı olmak
üzere Zorn lemmasından nın kapsadığı bir maksimal elemana diyelim . nun
asal olduğunu varsayalım. ve idealleri için ⊆ ve ⊆ ise ∈ ∩ ve ∈ ∩ olur. Buradan da ∈ ve ∈< >< >⊆ olup bu da
< >∩ =ф olmasını gerektirir ki bu da < >⊈ ve ⊈ dır. Önerme 4.2.7
den asaldır. ⊆ \ ⊆ dır . minimal asal ideal olduğundan = \ = olup Buradan da bir yarı-grup ve tamamen asal idealdir.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
46
Sonuç 4.2.8 indirgenebilir bir yakın halka olsun. Eğer boştan farklı nin bir
çarpımsal alt yarı-grubu ve 0∉ ise ∩ =ф olacak şekilde nin bir tamamen
asal ideali vardır.
İspat : Her çarpımsal grup bir m-system olduğundan sonuç açıktır.
Şimdi asal ideal olup ta maksimal ideal olan başka bir ideal çeşidine gösterelim.
Teorem 4.2.9 Birimli bir yakın halkası için aşağıdakiler birbirine denktir.
a) bir s-weakly reguler
b) indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır
c) indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır.
İspat : a⟹b : ∈ için = 0 olduğunu varsayalım bazı ∈< > = 0 için = dır.
Bu yüzden = 0 dır. Bu da her ∈ için = 0 ise = 0 olduğunu gösterir ki
indirgenebilirdir.
Şimdi bir öz alt ideal olsun ve nin maksimal ideali tarafından içerildiğini
varsayalım.
Eğer ∈ \ ise bazı ∈< > için = olacaktır. O halde bazı ∈ için = olup buradan ( − ) = 0 dır.
Lemma 4.2.6 den < − >< >= 0 ⊆ dir. P bir asal ideal ve ∉
olduğundan − ∈ ⊆ dır.
Buradan da ∈< >⊆ olduğundan ∈ olup bu yüzden ∈ dir. Bu ise = olmasını gerektirir ki bu bir çelişkidir.
b⟹c : açık
c⟹a : 0 ≠ ∈ olsun . Lemma 4.2.6 den = ( ) indirgenebilir ve bir
sıfır bölen değildir. nün her öz alt tamamen asal ideali de maksimal idealdir.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
47
Şimdi ; − ̅ , ∈ < a2 > gibi tüm elemanlar tarafından doğrulmuş çarpımsal
yarı grup olsun. 0 ∈ olduğunu varsayalım. Eğer sonuç 4.2.6 dan ∩ = ∅
olacak şekilde tamamen asal ideal değilse:
varsayalım ki < >⊆ ise ∈ olup buradan ∈ dir.
buradan herhangi bir ∈< > için − ̅ ∈ ∩ olur ki bu bir çelişkidir.
Varsayalım ki < > ⊈ olsun buradan maksimal + < > = . Buradan
da bazı ∈ ve ̅ ∈ < > için 1 = + ̅ dır.
Bu yüzden 1 − ̅ = ve buradan − ̅ = ∈ ⊆ bir çelişkidir.
Buradan 0 ∈
Şimdi 0 = ( − ) … ( − ) den ∈< > dır. Buradan da
indirgenebilir ve sıfır bölen olmayıp (1 − ) (1 − ) … (1 − ) = 0 dır.
Kendiliğinden görülür ki bazı ∈< > için 1 = ̅ dır.
O halde bazı ∈< > için (1− ) ∈ A(a) olup buradan da = dır.
Sonuç 4.2.10 Birimli bir A halkası için aşağıdakiler birbirine denktir.
a) A bir s-weakly reguler
b) A indirgenebilir ve her özalt asal ideal maksimaldır
c) A indirgenebilir ve her özalt tamamen asal ideal maksimaldır.
4.3. Strictly maksimal ideal
Lemma 4.3.1 bir yakın halka olsun. nin tamamen asal sağ her ideali minimal
strict extencion özelliğine sahiptir ve nin bir strictly maksimal idealidir.
İspat : Tamamen sağ asal ideali minimal strict extencion özelliğine sahiptir.
Buradan nin -alt grubu için ⊆ dur. Her ∈ \ için ⊈ dir.
Buradan ⊆ + ⊆ ve buradan da = + olur. Uygun ∈ ve ∈
için = + yi elde edebiliriz. O halde ∈ için = ( + ) − +
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
48
ve bu yüzden ( − ) = ( + ) − ∈ den P bir sağ ideal olup fakat ∉ , − ∈ ⊆ den dolayı ∈ ve = olmasını gerektirir ki bu da
bize nin strictly maksimal olduğunu gösterir.
Örnekler.
Örnek 1.: M = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 1 0
2 0 2 2 0
3 0 3 3 0
{0} , {0,2} ve M birer ideal olup bunları hepsi idempotentir. Fakat M reguler değildir
çünkü her m∈ M için 3m3=0 dır.
ASAL İDEALLERİN MAKSİMALLİĞİ SELAHATTİN KILINÇ
49
M yakın halkası-reguler yakın halka olmadığında bu halkanın asal idealler maksimal
ideal değildirler.
Örnek 2 : V = {0,1,2,3} aşağıdaki ikili işlemle tanımlı bir yakın halka olsun.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 1 1
2 0 2 2 2
3 0 3 3 3
V reguler olup sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.Q1 ={ 0, 1 } , Q2 ={ 0,2 }
birer asal idealdirler. V reguler yakın-halka olduğundan bu asal idealler aynı zaman
da maksimal asal idealdirler.
51
KAYNAKLAR
ANSHEL, M., CLAY,J.R., 1968. Planarityin Agebraic Systems. Bull. Amer. Math. Soc, 74:746-748.
ATAGÜN, A.O., 2006. Yakın-halkalarda Özel Asal İdeallerin Karekterizasyonu ve
İnşası Üzerine. Erciyes Ünv. Fen Bilimleri Ens., Kayseri, Doktora Tezi.
BEIDLEMAN, J.C, 1967. Strictly Prime Distributively Generated Near-rings. Math
2 (100):97-105.
______, 1969. A Note on Reguler Near-rings. J. Indian Math.Soc, 33:207-210.
BELL, H.E., 1970. Near-rings in Which Each Element is a Power of İtself. Bull. Austral. Math. Soc., 2:363-368.
BİRKENMEİER,G.F.,GROENEWALD,N.J., 1999. Near-Rings in which each prime
factor is simple, Mathematica Pannonica,10/2, 257-269.
BOOTH, G.L.,GR0ENEWALD, N.J., 1998. On strongly Prime Near-rings. Indian J.
Math. 40 no.2 :113-121.
CHAO, D.Z., 1975. Near-rings Without Non-zero Nilpotent Elements. Math. Japan, 21:449-454
DAŜIĆ, V., 1987. On a Decomposition of Near-rings in a Subdirect Sum of Near- fields. Publication De L’ınstıtut Mathématıque. 41(55):43-47.
DHEENA, P., 1989. A Generalization of Strongly Reguler Near-rings. Indian J. Pure. Appl. Math. 20(1):58-63.
DHEENA, P., SIVAKUMAR, D., 2004. On Strongly 0-Prime İdeals in Near-rings. Bull. Maaysian Math. Sc. Soc. 27:77-85.
DİCKSON, L.E., 1905. Definations of a Group and a Field by İndependent Postulates. Trans. Amer. Math. Soc. 6:198-204.
FAİN, C.G., 1968. Some Structure Theorems for Near-rings. University of
Oklahoma. Doctoral Dissertation.
HEATHERLY, H.E., 1973. Near-rings Without Nilpotent elements. Publ. Math. Debrecen, 20:201-205.
52
LAXTON, R.R., 1964. Prime İdeals and The İdeal Radical of a Distributively Generated Near-rings. Math.Z. 83:8-17.
LIGH, S., 1970. On Reguler Near-rings. Math. Japon, 15:7-13
KANDASAMY, W.B.V., 2002. Smarandache Near-rings. American Researsh Press,
Rehoboth, Usa. 200s
MARIN, V.G., 1971. Near Algebras Without Nilpotent Elements. Mat. Issled 6, Nr.,4(22):123-139.
MASON, G., 1980. A Generalition of Strongly Reguler Near-rings. Prog. Edinburgh Math. Soc. 23:27-35.
MAXSON, C.J.,1967. On Near-rings and Near-rings Modules. Suny at Buffalo, Doktoral Dissertation.
MURTI, C.V.L.N., 1984. On Strongly Reguler Near-rings. 293-300
PİLZ, G., 1983. Near-rigs. 2nd, Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland. 470s.
RAMAKOTAİAH, D., RAO, G.K., 1979. On IFP Near-rings. J. Austral. Math. Soc. 27:365-370.
______, 1978. On Loop Near-rings. Bull. Aust. Math. Soc., 19:917-935
VAN DER WALT, A.P.J., 1964. Prime Ideals and Nil Radicals in Near-rings. Arch. Math. 15:408-414.
YAKABE, I., 1989. Reguler Near-rings without Non-zero Nilpotent Elements. Proc. Japan Acad. 65:176-179.
53
ÖZGEÇMİŞ
1982 yılında Elazğ’ın Arıcak ilçesinde doğdu. İlk ve orta öğrenimini
Adana’da tamamladı. 2007 yılında Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik
Öğretmenliği bölümünden mezun oldu. Aynı yıl Çukurova Üniversitesi’nde yüksek
lisans öğrenimine başladı. 2009 yılında Milli Eğitim Bakanlığı’na bağlı olarak
Gaziantep’in Nurdağı ilçesindeki Sakçagözü Lisesi’ne matematik öğretmeni olarak
atandı ve halen görevine devam etmektedir.