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UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS
Facultad de Ingeniería Civil
OPERACIONAL Y NUMÉRICOS
Apuntes – tema 6
Grupo 5B
Daniela Camila Rocha Vargas – Cod: 2151072
Docente: Ing. Carlos Jesús Alba
1. INVESTIGACIÓN OPERACIONAL
La Investigación Operacional es una disciplina moderna que utiliza modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos para modelar y resolver problemas complejos, determinando la solución óptima y mejorando la toma de decisiones. Actualmente la Investigación Operacional incluye gran cantidad de ramas como la Programación Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc. En este trabajo hablaremos a fondo de una rama muy importante como lo es la programación lineal (restringida y no restringida).
Cuando se habla de las soluciones óptimas que se buscan en la investigación operacional nos podemos dirigir y es de gran necesidad hablar del tema de la optimización, a continuación se explicará la aplicación de la optimización en la solución de problemas complejos.
1.1. OPTIMIZACIÓN
La optimización puede ser definida como el proceso por el cual se pueden ajustar los datos
y parámetros (ENTRADA) de un problema o proceso matemático con el fin de encontrar
un resultado, ya sea mínimo o máximo (SALIDA); es decir:
Como se ha venido diciendo, en la optimización el objetico principal es la búsqueda de un
valor óptimo ya sea el mínimo o el máximo, es importante también mencionar que la
optimización es aplicada por su gran utilidad y facilidad en el desarrollo de algunos
problemas complejos.
La Optimización puede ser solucionada de diferentes métodos, en el siguiente esquema se
muestran algunos de los métodos de solución:
ENTRADA FUNCIÓN SALIDA
OPTIMIZACIÓN
PROGRAMACIÓN
LINEAL
PROGRAMACIÓN
DE PROCESOS MODELOS DE
TRANSPORTE
1.1.1. APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN EN LA INGENIERÍA
La optimización en la ingeniería es de gran utilidad ya que por medio de este proceso
se busca el valor óptimo, es decir el mejor resultado para la solución del problema. En
la práctica profesional de cualquier ingeniero se presentan múltiples problemas en los
que continuamente deben diseñar dispositivos o productos que realicen diferentes
tareas de manera eficiente. Para la elaboración de estos dispositivos o productos el
ingeniero se ve sometido a enfrentarse con las limitaciones que el medio les
proporciona, para la solución de estos problemas utilizan la optimización para que les
ayuden a aumentar beneficios y minimizar costos.
1.1.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
Un problema de optimización se caracteriza por los siguientes aspectos:
1.1.3. PROCESO PARA SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
El procedimiento que se utiliza para la solución de un problema por medio de la
Optimización se muestra en el siguiente esquema:
FUNCIÓN OBJETIVO
VARIABLES DE DISEÑO
RESTRICCIONES
VALORES DEL
PROBLEMA
PROBLEMA
REAL DATOS
MODELO
MATEMÁTICO
LEY DE
INGENIERÍA
SOLUCIÓN
MÉTODOS
NUMÉRICOS
RESULTADOS
VERIFICACIÓN
INTERPRETACIÓN
COMPROBACIÓN SOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
1.1.4. CLASIFICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN
La optimización se clasifica según el comportamiento de la función f(x) y las
restricciones que presenta el problema, a continuación se presentan las tres
clasificaciones de la optimización:
1.1.4.1. PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica matemática de gran utilidad que consiste en una
serie de procedimientos y métodos que permiten resolver problemas de optimización
en varios ámbitos en especial en áreas de la ingeniería.
La programación lineal puede ser restringida y no restringida dependiendo de las
características del problema a solucionar:
Programación Lineal No Restringida (PLNR)
La programación lineal no restringida se caracteriza como su nombre lo dice
porque el problema no está limitado por restricciones sino que presenta la
función objetivo a maximizar o minimizar, es decir, encontrar el valor óptimo.
Para ejemplarizar un poco más lo que se ha venido hablando de la
Programación Lineal No Restringida utilizamos la siguiente función:
𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) −𝒙𝟐
𝟏𝟎
SI f(x) y las Restricciones
son lineales:
Problema de
Programación Lineal
SI f(x) es cuadrática y las
Restricciones son
lineales:
SI f(x) y las Restricciones
no son lineales:
Problema de
Programación
Cuadrática
Problema de
Programación No
Lineal
FUNCIÓN OBJETIVO
Para la solución de esta función, hallaremos el máximo y el mínimo por medio del
software EULER MATH TOOLBOX.
Para la solución de Problemas de Programación lineal se utiliza la siguiente ecuación, utilizando la
interpolación cuadrática:
𝐸𝑐. 6.1 x3 =fx0(x1
2-x22) + fx1(x2
2-x02) + fx2(x0
2-x12)
2fx0(x1-x2) + 2fx1(x2-x0) + 2fx2(x0-x1)
Comando para
hallar el valor
máximo
Programación Lineal Restringida (PLR)
La programación Lineal Restringida se caracteriza porque el problema a
solucionar está limitado por una o varias restricciones que complican más el
proceso para la solución. Es importante reconocer la función Objetivo, las
Variables y las Restricciones dadas por el problema.
Para entender la solución de problemas de la (PLR) , utilizamos el siguiente
problema:
PROBLEMA
Una planta de concreto recibe semanalmente una cantidad fija de materia
prima con la cual produce 2 tipos de concreto (CALIDAD EXTRA Y NORMAL).
La planta tiene garantizada la venta de su producción, por otra parte la
producción de concreto involucra restricciones en el uso de recursos y
además:
1. No puede producirse simultáneamente dos tipos de concretos.
2. Existen limitaciones de almacenamiento de la producción y
disponibilidad de materia prima.
3. El beneficio unitario de cada calidad de concreto es diferente para
cada uno.
DETERMINAR LA PRODUCCIÓN COMBINADA QUE GENERE EL MAYOR
BENEFICIO CONSIDERANDO LOS SIGUIENTES DATOS.
SOLUCIÓN
Para la solución del problema se deben identificar las características del problema y para ello se
organizan los datos proporcionados en la siguiente tabla.
IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES:
X1: “Cantidad (Toneladas) de Producto Normal”
X2: “Cantidad (Toneladas) de Producto Extra”
FUNCIÓN OBJETIVO:
RESTRICCIONES:
Materia Prima: (7X1+11X2 ≤ 77)
Tiempo Planta: (10X1+8X2 ≤ 80)
Almacenamiento:
ALP1: Calidad Normal (X1 ≤ 9)
ALP2: Calidad Extra (X2 ≤ 6)
No Negatividad:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Luego de tener claras las condiciones propuestas por el problema, es necesario despejar
de la primera restricción a X2 para poder graficar la función.
𝑋2 =−10 ∗ 𝑋1
8+ 10
Por medio de la aplicación para graficar y encontrar máximos y mínimos GEOGEBRA se
grafican las restricciones y obtenemos la siguiente figura.
ALP1 X=9
ALP2 Y=6
𝒁 = 𝟏𝟓𝟎𝑿𝟏 + 𝟏𝟕𝟓𝑿𝟐
La figura sombreada expresa el área de factibilidad, es decir que en esta zona se están
cumpliendo todas las condiciones del problema, el último valor donde todas las condiciones se
cumplen es justamente en el punto del valor Óptimo mostrado en la figura.
Cuando se conoce el valor óptimo, es decir el valor de las variables en donde se encuentra el
mayor beneficio se procede a calcular la función objetivo, reemplazando dicha coordenada en la
función objetivo.
𝒁 = 𝟏𝟓𝟎 ∗ (𝟒, 𝟖𝟗) + 𝟏𝟕𝟓 ∗ (𝟑, 𝟖𝟗)
Para la solución de éste problema también se puede utilizar un método que es de gran utilidad.
MÉTODO DE SIMPLEX
El método de Simplex se identifica porque por medio de éste se calcula el
valor de Z en cada esquina del área factible.
FUNCIÓN OBJETIVO
VALOR ÓPTIMO
VALOR ÓPTIMO
(4.89, 3.89)
(
𝒁 = 𝟏𝟒𝟏𝟒, 𝟐𝟓
MÁXIMO DE UTILIDAD
ÁREA DE
FACTIBILIDA
D
Éste método convierte las desigualdades en igualdades generando unas
variable que compensan la ecuación conocidas como variables de Holgura.
Como ya se había dicho, el método trabaja por esquinas y busca en cada
esquina el valor de que variable eliminar.
Para la explicación de éste método se utiliza el problema anterior, se plantean
las siguientes restricciones teniendo en cuenta las variables de Holgura.
Materia prima: (7X1+11X2 + S1 ≤ 77)
Tiempo Planta: (10X1+8X2 +S2 ≤ 80)
Almacenamiento:
ALP1: Calidad Normal (X1+S3 = 9)
ALP2: Calidad Extra (X2+S4 =6)
METODO DE PHP SIMPLEX
El método de PHP SIMPLEX es un método de gran utilidad ya que por medio
de él se encuentran soluciones finales y operaciones inmediatas. Existe una
página de internet que es llamada PHP SIMPLEX y es una herramienta online
para resolver éste tipo de problemas.
En este caso utilizamos el problema con el que se viene trabajando y EXCEL,
aplicando un comando en especial llamado SOLVER y que se encuentra en la
paleta datos donde se pueden ingresar las condiciones del problema, y pedir
que la solución se haga con PHP SIMPLEX, el programa de inmediato arroja el
valor de los valores de las variables que permiten conocer el valor óptimo, es
decir, LA MAYOR UTILIDAD.
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐
𝒁 = 𝟏𝟓𝟎𝑿𝟏 + 𝟏𝟕𝟓𝑿𝟐
SOLUCIÓN
Para la solución de éste problema por medio de PHP SIMPLEX tambien se
puede utilizar el software EULER MATH TOOLBOX utilizando unos comandos
en especial que permiten la solución del mismo hallando el valor máximo y el
área de factibilidad. En la siguiente imagen se muestran los comandos
utilizados y el esquema utilizado para la solución:
ÁREA DE
FACTIBILIDAD
Para la solución de problemas de optimización también se utiliza un método de gran utilidad que
es llamado:
MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte es un método para la solución de problemas de
Optimización, por medio del cual se consideran nodos o puntos desde un
ORIGEN (OFERTA) los cuales transportan bienes o servicios hasta unos puntos
de DESTINO (DEMANDA), con el objetivo de determinar el costo mínimo del
transporte.
Para la solución por medio de éste método se utiliza la siguiente ecuación para definir la Función
Objetivo:
𝐄𝐜. 𝟕. 𝟏 𝐌𝐢𝐧𝐢𝐦𝐢𝐳𝐚𝐫 ∑ ∑ 𝐜𝐢𝐣 ∗ 𝐱𝐢𝐣
𝐧
𝐣=𝟏
𝐦
𝐢=𝟏
Para determinar las restricciones se utilizan las siguientes ecuaciones.
1
2
3
m n
3
2
1
ORIGEN (oferta) DESTINO (Demanda)
FUNCIÓN OBJETIVO
Xij Cij