160
)نظريات( مراكـز الثقــلCenter of gravity
مقدمة 1.12،كماســــنقومبتحديدلألجســــامالمتناظرةســــنتعرففيهذاالفصــــلعلىبعضالنزرياتالتيتفيدفيتحديدمراكزالثقل
ة.األشكالالبسيطة.وفيالنهايةسنقومبتحديدمركزالثقللألجسامالمركبومراكزالثقللبعضاألجسامالمتجانسة
مركز الثقل لجسم متناظر 2.12 فرضية
ذه هواحد فإن مركز المتوازية واقعة في مســـــــــتوي واحد أو على مســـــــــتقيمو إذا كانت نقاط تأثير القوى المفروضـــــــــة المجموعة من القوى المتوازية يقع في هذا المستوي أو على ذلك المستقيم.
البرهان:izذلكالمســـــــــــتويالذيتوجدفيهنقاطتأثيرالقوىالمتوازية،لهذايجبأننعوضاإلحداثياتoxyالمســـــــــــتويعتبرن
0zبالقيمةح i القسماأليمنمنالعالقةالتالية:افيا1ح
W
z~Wz
oxyالمســــتويوهذايعنيأنمركزهذهالمجموعةمنالقوىالمتوازيةواقعفي،مســــاويةللصــــفرzبذلكتصــــبحلديناوهوالمطلوب.
ذلكالمستقيمالذيتقعzنتبعنفزالطريقةلنبرهنعلىصحةالقسمالثانيمنالفرضية،لهذاتأمذمحوراإلحداثياتمننقاطتأثيرالقوىألينقطة~iyو~ixنالمفروضـــة.عندماتكونكلمناإلحداثيتيوعليهنقاطتأثيرالقوىالمتوازية
~0xمساويةللصفر i 0أوy~ i :بذلكنحصلعلىمايليا2ح
0W
y~.Wy,0
W
x~.Wx
وهوالمطلوب.نســــــــــــــتفيـــدمنهــذهالنزريــةzوهــذايعنيأنمركزالمجموعــةمنالقوىالمتوازيــةواقععلىالمحور
المتعلقةبمكانمركزالثقللجسممتمتعبشكلمتناظر.وونستعملهاللبرهانعلىصحةالنزريةالتالية
161
نظريةيقع في إذا تمتع جســــم متجانس بمســــتوي للتناظر أو بمحور للتناظر أو بمركز للتناظر فإن مركز الثقل لهذا الجســــم
ذلك المحور أو ينطبق مع مركز التناظر.هذا المستوي أو على
البرهان:لديناجســـممتجانزومتمتعبمســـتويللتناظر،نقســـمهذاالجســـمإلىأزواجمنالجزيلاتيتضـــمنكلزوجمنهاجزيلين
.بذلكتكونا12-1ح،...الخكمافيالشــكل2Aو1A،2Aو1Aمتناظرينبالنســبةلهذاالمســتوي.مثالومتماثلين11AAالمســــــــتقيمات 22وAA متقاطعةمعهفينقاطتقســــــــمكالمنهاإلىقســــــــمينوعموديةعلىمســــــــتويالتناظر
1111متساويين،مثال MAMA ،2222 MAMA .الخ....،
1-12الشكل
ندلعلىأوزانالجزيلاتبالرموزالتالية:
n21 W,....W,Wو
n21 W,....W,W علمابأن
11 WW و
22 WW
.....nn WW
ألنأوزانالجزيلاتالمتناظرةمتســــــــــــاوية،فإذاجمعناالقوتين1Wو
1Wالمتســــــــــــاويتينوالمتوازيتين
1Aو1Aوالمرتكزتينفيالنقطتين فإننانحصــــــــــــلعلىمحصــــــــــــلةمقدارها1W21مرتكزةفيMنتبعنفزالطريقة
ونجمعأوزانكــلزوجمنالجزيلــاتالمتنــاظرةفنحصــــــــــــــــلعلىمجموعــةمنالقوىn21 W2,....,W2,W2المتوازيــة
n321المؤثرةفيالنقاطو M,.....M,M,M.الموجودةفيمستويمتناظريةموجودأيضافيمستويالتناظر،غيرنستعملاآلنالفرضيةالسابقةفنجدأنمركزهذهالمجموعةمنالقوىالمتواز
أنمركزالمجموعةهذهيمثلمركزالثقلللجســـــــــمالمفروض،بذلكيكونمركزالثقلهذاموجودافيمســـــــــتويالتناظروهذاهوالمطلوب.
12W
22W
2M
1M
162
محوربعانتبعنفزالحالةلنبرهنعلىصــحةهذهالنزريةبالنســبةللحالتينالباقيتينعندمايكونالجســمالمتجانزمتمتلللتناظر.تتمتعهذهالنزريةباســــــــــــــتعمالواســــــــــــــععندتحديدمكانمركزالثقل.مثالتفيدهذهالنزريةأنمركزالثق
لصفيحةمتجانسةومتمتعةبشكليشابهشكلمتوازيالمستطيالتموجودفينقطةتقاطعقطريهذاالشكل،وأنمركزشــكلالقطعالناقصموجودفيالمركزالهندســيلهذاالشــكل،أمامركزالثقللصــفيحةمتجانســةومتمتعةبشــكليشــابه
الثقللجسمدورانيمتجانزفيقععلىمحورالدورانألنهذاالمحورهومحورالتناظرفيالجسمالمتجانز.
الحجوم الدورانية المتجانسةو مركز ثقل السطوح 3.12 باباس األولى -نظرية جولدن
دوران خط ما مســتوي حول محور ما غير متقاطع مع الخط بل واقع في مســتويه تســاوي مســاحة الســط الناتج عن حاصل ضرب الخط بطول الدائرة التي يرسمها مركز الثقل لهذا الخط.
البرهان:Cوأنالنقطةا2-12حشكلكمافيالoy حولالمحورABنفرضأنهلديناسطحناتجعندورانالمنحنيالمستوي
.cxةلهذاالمنحني،نميزمركزالثقلهذاباإلحداثيهيمركزالثقلالمؤلفمنعددكبيرمنالمســـــــــتقيماتالصـــــــــغيرةجداوندرسدورانهذهوإلىالخطالمنكســـــــــرABنعودبهذاالقوس
ي.إنمركزالثقللهذاالمســتقيمموجودفيمنتصــفةأا2-12الشــكلحabمثالالمســتقيمoyالمســتقيماتحولالمحور.x،نميزهذاالمركزباإلحداثيةmفيالنقطة
2-12الشكل
163
،فإنبالمقدار ab.فإذاحددناطولالمســـــــــتقيمoyجذعمخروطماللدورانهحولالمحورabيرســـــــــمالمســـــــــتقيمــــــــــــــــــاويالقيمة مســـــاحةالســـــطحالجانبيلجذعالمخروطتســــــ .x.2.إذاعبرنابالرمزوAعنمجموعمســـــاحات
تساويمايلي:Aفإنoyالسطوحالجانبيةالتيتشكلهاكافةالمستقيماتماللدورانهاحولالمحورا3ح .x2.x.2A
cxللخطالمنكسرباإلحداثيةCإذاميزنااآلنمركزالثقل :فإنهذهاإلحداثيةتتحددبالمعادلةالتالية
ا4ح
.xxc
ومنهانجدمايلي:
ا5ح .xx.x ccحيث: .طولالخطالمنكسر
مساويالمايلي:Aبذلكيكونمجموعمساحاتالسطوحالجانبية .x.2A c
أنطولكلضـــــــــلعمنوننتقلاآلنإلىالقيمةالحديةالناتجةمفترضـــــــــينأنعددأضـــــــــالعالخطالمنكســـــــــركبيرجدامنتهياإلىالصفر.والخطالمنكسرصغيرجداأضالعهذا
.xlim2Alim cمســـاويالطولالمفروض،بذلكيصـــبحطولالخطالمنكســـرABغيرأنالقيمةالحديةللخطالمنكســـرهيالقوس
أيأن: ABللقوسCمنطبقامعمركزالثقلCويكونمركزالثقلالقوس limوcc xxlim و .x.xlim cc
ماللدورانهحولالمحورABللسطحالذييشكلهالمنحنيAفيساويالمساحةAأماالحدالذيتنتهيإليهالقيمة
OYأيأنAAlim .بذلكيمكنكتابةالعالقةالنهائيةالتالية:
.x.2Aا6ح c
المفروض.ABللمنحنيCتحددطولالدائرةالتييرسمهامركزالثقلcx.2وهذاهوالمطلوبألنالقيمة باباس الثانية -جولدن نظرية الناتج عن دوران سط ما مستوي حول محور ما غير متقاطع مع السط بل واقع في مستويه يساوي حجم الجسم
حاصل ضرب مساحة السط بطول الدائرة التي يرسمها مركز الثقل لهذا السط .
164
البرهان:.ندورهذاالســـطحا3-12كمافيالشـــكلحC،مركزالثقللهذاالســـطحموجودفيالنقطةSنأمذســـطحامامســـاحته
،لهذانقســــــمالســــــطحالمفروضإلىعددغيرمحدودمنVفنحصــــــلعلىجســــــمنريدتحديدحجمهoyحولالمحورومتباعدةعنبعضـــهابمســـافاتصـــغيرةyو xعناصـــرالســـطحعنطريقرســـممســـتقيماتموازيةلمحاوراإلحداثيات
المتمتعبشكلمستطيلقائمالزاوية.abcdوندرسأحدهذهالعناصر،مثالعنصرالسطحyوxجداهي
3-12الشكل
شـــكلونعودإلىالxمكانمركزالثقللهذاالعنصـــرهونقطةتقاطعالقطرينلشـــكله.نميزمركزالثقلهذاباإلحداثيةلنجدأن:السابق
xad وyab وأن:
y.xA وأن:
2
xxfa
و
2
xxfd
يساويالفريبينoyحولالمحورabcdللجسمالناتجعندورانعنصرالسطحVيتضحمنالشكلأنالحجم،أيأن:oyحولالمحورfebaوfecdالحجمينلألسطوانتينالناتجتينعندورانالمستطيلين
ا7حA.x.2y
2
xxy
2
xxV
22
165
فإننانحصــلoyعنمجموعحجوماألجســامالناتجةعندورانكافةعناصــرالســطححولالمحورVإذاعبرنابالرمزعلىمايلي:
ا8ح A.x2VV
جداأنمســـاحةكلعنصـــرســـطحصـــغيرةوننتقلاآلنإلىالقيمةالحديةمفترضـــينأنعددعناصـــرالســـطحكبيرجدامنتهيةإلىالصفر،بذلكنحصلعلىمايلي:و
ا9ح A.xlim2VlimV
فإننانستطيعكتابةمايلي:cxوإذاميزنامركزالثقلللسطحالمفروضباإلحداثيةا10ح
A
A.xlimx c
أو A.xA.xlim c
السابقةالشكلالنهائيالتالي:بذلكتأمذالعالقة
A.x.2Vا11ح cوهذاهوالمطلوب.
دنســتعملهاتينالنزريتينفيبعضالحاالتألنهاتســاعدوببســاطةعلىتحديدمكانمركزالثقللألشــكال،مثالتحديمساحةالسطحلألجسامالدورانيةمركزالثقللخطمنحنيومستوي،أوتحديدمكانمركزالثقللشكلمسطح،أوتحديد
تحديدحجمهذهاألجسام.و
األشكال البسيطةو مراكز الثقل لبعض األجسام المتجانسة 4.12 مركز الثقل لسط مثلث
ــــــــــــــكمافيالش3Aو1A،2A رقيقةومتمتعةبشكلمثلثرؤوسهولنحددمكانمركزالثقللصفيحةمتجانسة ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ كلـ.ا4-12ح
166
4-12الشكل
.فيكون3A1Aلهذانقســـــــممســـــــاحةهذاالمثلثإلىعددغيرمحدودمنالشـــــــرائحبواســـــــطةمســـــــتقيماتموازيةللقاعدة،صغيرجدايجعلهاقريبةمنالخطالمستقيم،بذلكيكونمركزالثقللكل3a1aعرضالشريحةالواحدة،مثالالشريحة
شــــريحةموجودافيمنتصــــفها.غيرأنالنقاطالموجودةفيمنتصــــفاتالشــــرائحتكونواقعةعلىمســــتقيمواحدهومط.2M2Aالوسطفيالمثلثوهذايعنيأنمركزالثقللهذاالمثلثواقععلىمطالوسط
2A1AطريقةونقســــممســــاحةالمثلثإلىعددغيرمحدودمنالشــــرائحبواســــطةمســــتقيماتموازيةللضــــلعنتبعنفزاليقعفينقطةC.يتضــــحمماوردأنمركزالثقل3M3Aلنجدأنمركزالثقللهذاالمثلثيقعأيضــــاعلىمطالوســــط
ا2:1منهاإلىقسمينيتمتعانبنسبةحتقاطعمطوطالوسطلهذاالمثلث،وبماأننقطةتقاطعمطوطالوسطتقسمكالفإنالنتيجةالسابقةتصبحعلىالشكلالتالي:
يقعمركزالثقللســــــطحمثلثعلىمطالوســــــطوفيمكانمنهيبعدعنرأسالمثلثبمســــــافةمســــــاويةلثلثيطولهذاالخط.
تنقطةتقاطعمطوطالوسطحإحداثياتافإنإحداثيا3x،3yا،ح2x،2yا،ح1x،1yفإذاميزنارؤوسالمثلثباإلحداثياتحمركزالثقلاتأمذالشكلالتالي:
ا12ح
3
xxxx 321
c
و
3
yyyy 321
c
مركز الثقل لسط يحده مضلع
5321لتحديدمركزالثقللسطحمحدودبمضلعما A,..A,A,Aا12-5حكمافيالشكل.
2A
1a
3A 1A
3a
C o
2M
3M
167
5-12الشكل
321إحداثياترؤوســــــهمعلومة،نقســــــمهذاالمضــــــلعإلىثالثةمثلثات AAA431و AAA541و AAAعنطريق
ونميز 3Sو1S، 2S .ندلعلىمساحاتهذهالمثلثاتبالرموز4Aو3Aمعكلمنالنقطتين1Aوصلالنقطةمراكزالثقللهذهالمثلثاتبالنقاط 1c1c1 y,xC، 2c2c2 y,xCو 3c3c3 y,xC.
رؤوسالمضـــــــلعمعلومةفإنهمنالســـــــهلجداتحديدإحداثياتمركزالثقللكلمثلثوتحديدمســـــــاحةبماأنإحداثياتسطحه.مثالنحددسيناتمراكزالثقلعلىالشكلالتالي:
ا13ح
3
xxxx 321
1c
3
xxxx 431
2c
3
xxxx 541
3c
ترتكزاألوزان3Cو1C،2Cوفيهذهالنقاط
1W،
2W3وW
للمثلثاتالتيقسمإليهاالسطحالمفروض.
بذلكتتحولالمســـألةالمفروضـــةإلىمســـألةتتطلبتحديدمكانمركزمجموعةمنالقوىالمتوازية1W،
2W3وW
،
مركزالهذهالمجموعةأيمركزالثقلالسطحالمفروضفإنإحداثياتهذاالمركزتتحددعلىالنحوCفإذاكانتالنقطةالتالي:
o 1C
o 2C
o 3C
1P
3P
2P
168
321ا14ح
3c32c21c1
cWWW
x.Wx.Wx.Wx
321
3c32c21c1
cWWW
y.Wy.Wy.Wy
فإنالقوىالمتوازيةإذاعبرناعنالثقلالنوعيلوحدةالسطحبالمقدار
1W،
2W3وW
تصبحعلىالشكلالتالي:
ا15ح
321
3c32c21c1
cAAA
x.Ax.Ax.Ax
321
3c32c21c1
cAAA
y.Ay.Ay.Ay
مركز الثقل لقوس من دائرة
.ا6-12حكمافيالشكلOومركزهاRمندائرةنصفقطرهاABلنحددمكانمركزالثقلللقوس
6-12الشكل
ــــــــــــــــىالوتر ،بذلكيبقىعليناABيقعهذاالمركزعلىمحورالتناظرلهذاالقوسأيعلىنصــفالقطرالعموديعلـ
ABحولالقطرالموازيللوترABندورالقوسونزريةجولدناألولىفقط،لهذانســــــــــــــتعملOCتحديدالمســـــــــــــــافة.11AABBفنحصلعلىالسطح
169
هذاالســــطحجزءامنســــطحالكرةالتيينتميإليهاالقوس،وكماهومعلومفإنمســــاحةهذاالســــطحتســــاويالقيمة يعد AB.R2تسمحبكتابةمايلي:،غيرأننزريةجولدناألولى
.OC.2AB.R2
ومنه:
AB.ROC
حيث:طولالقوس:AB.
كمايلي:السابقمنالشكلABوطولالوترABيمكنتحديدطولالقوس R2و sinR2AB
مساويالمايلي:OCبذلكيصبحالطول
ا16ح
sinROC
مركز الثقل لقطاع دائري
مشـــــــابهةللمســـــــألةالســـــــابقة.نأمذالزاويةRنصـــــــفقطره OABيمكنجعلمســـــــألةتحديدمركزالثقللقطاعدائري.ا12-7حكمافيالشكلالمركزيةفيهذاالقطاعونقسمهاإلىقسمينمتساويينيساويكلواحدمنهماالمقدار
7-12الشكل
170
.لهذايبقىعليناتحديدAOBلهذاالقطاععلىمحورتناظرهأيعلىمنصــــــــــــــفالزاويةالمركزيةCيقعمركزالثقلإلىعددغيرمحدودمناألقواسالصــــــغيرةجداونصــــــلنقاطالتقســــــيممعABفقط،لهذانقســــــمالقوسOCالمســــــافة
لندرسإحدىهذه.بذلكيصبحهذاالقطاعمقسوماإلىعددغيرمحدودمنالقطاعاتالصغيرةجدا.Oمركزالقطاعذلكبهيفيالصغر،متناab.يمكناعتبارهذاالقطاعمثلثامتساويالساقينألنالقوسOabالقطاعاتمثالالقطاع
هإلىقسمينمتساويينوفيمكانمنaObالذييقسمالزاويةRيكونمركزالثقللهذاالمثلثواقعاعلىنصفالقطرRبمسافةمقدارهاOيبعدعنالنقطة
3
2.
مســـاوي1OAنصـــفقطره11BAيتضـــحمماوردأنمراكزالثقللكافةالقطاعاتالصـــغيرةجداموجودةعلىقوسRللقيمة
3
Rأيأن:23
2OA1
تتباعدهذهالمراكزعنبعضــــهاالبعضبمســــافاتمتســــاوية،تؤثرفيهذهالمراكزاألوزانiW
العائدةلهذهوالمســــاويةمنطبقامعمركزمجموعةالقوىالمتوازيةAOBالقطاعاتالصغيرة.لهذايكونمركزالثقلللقطاع
iPوعندماينتهي،
ا11BAعددالقطاعاتالصــــغيرةإلىالالنهايةفإنالمســــألةتصــــبحمســــألةتحديدمكانمركزالثقلللقوسالمتجانزحوهذايعنيأننانعودإلىالمسألةالسابقةلنحددمكانمركزالثقلعلىالشكلالتالي:
ا17ح
sin.R
3
2sinOAOC 1
مركز الثقل لموشور54321لتحديدمكانمركزالثقللموشـــــورمتجانزقاعدته AAAAAنقســـــمهذاالموشـــــورإلىعددا12-8الشـــــكلح،
الرقيقةجداعنطريققطعهبمســـــــــتوياتموازيةلقاعدتهومتباعدةعنبعضـــــــــهابمســـــــــافاتغيرمحدودمنالصـــــــــفائحقصيرةجدا.ومتساوية
8-12الشكل
171
54321نبينعلىالشكلإحدىهذهالصفائح aaaaa.هذهالصفيحةسطحامستوياألنهارقيقةجدا ،تعد الواصـــلبينمركزيالثقللقاعدتيالموشـــورالعلياوالســـفلى.21CCمســـتقيمتقعمراكزالثقللكافةهذهالســـطوحعلىال
تؤثرفيهذهالمراكزأوزانiW
متســـــــــــاويةتمثلأوزانالصـــــــــــفائحالرقيقة،لهذاينطبقمركزالثقلللموشـــــــــــورمعمركزمجموعةالقــــــــــــــــــوى
iW21المتوازيةوالمرتكزةفينقاطواقعةعلىالمســـتقيموالمتســـــــــــــــــــــاويةCCومتباعدةعنبعضـــها
بمسافاتمتساوية.
فيعندماينتهيعددالصــفائحإلىالالنهايةفإنالمســألةتصــبحمســألةتحديدمكانمركزالثقللموشــورمتجانزواقعاالسفلى.ويالموشورالعليامنصفالمستقيمالواصلبينمركزيالثقللقاعدت
يمكنتعميمهذهالدراسةوهذهالنتيجةعلىأيجسمأسطوانيمتجانز.
مركز الثقل لهرم4321لندرسأوالحالةهرممتجانزكالهرم AAAAوالمتمتعبســـــــطوحعلىشـــــــكلمثلثاتكماهومبينفيالشـــــــكل
.ا9-12ح321نقسمهذاالهرمإلىعددغيرمحدودمنالصفائحالرقيقةعنطريققطعهبمستوياتموازيةللقاعدة AAA ،نعد
مع4Aهذهالصــــــفائحســــــطوحالمثلثاتعددهاغيرمحدود.تقعمراكزهذهالمثلثاتعلىمســــــتقيمواحديصــــــلالذروة321طةتقاطعمطوطالوســــــــــــــطفيالمثلث،نقMمركزالثقلللقاعدةأيمعالنقطة AAAبذلكيكونمركزالثقل،
جهللهرمواقعأيضــــاعلىهذاالمســــتقيم.نتبعنفزالطريقةونقســــمهذاالهرمإلىصــــفائحبواســــطةمســــتوياتموازيةللو432 AAAفنجدأنمركزالثقلللهرميقعأيضــــــاعلىالمســــــتقيمK1A1الذييصــــــلالذروةAمعمركزالثقلللوجه432 AAAأيمعنقطةتقاطعمطوطالوســــــــــــــطلهذاالوجهالمثلث،بذلكينطبقمركزالثقلللهرممعنقطةتقاطع
.K1AوM4Aالمستقيمين
172
9-12الشكل
مطوطالوسطفيالثلثفينقاطتبعدعنرؤوسهذاالمثلثبمسافةمقدارهاثلث:تتقاطع MCلنحسباآلنالمسافة
طولمطالوسط،لهذايكونلدينامايلي:1LA
3
1LM 4وLA
3
1LK
ومساوياللقيمة:4A1AموازياللمستقيمMKبذلكيكونالمستقيم41AA
3
1MK
متشابهانلذايمكنكتابةمايلي:4CA1AوMCKمماوردنجدأنالمثلثين
3
1
AA
MK
CA
MC
414
أو: 43MC=CA
غيرأن:44 MACAMC
L
K C
4A
3A
2A
1A
M
173
بذلكنحصلعلىالمعادلةالتالية:4MAMC4
أوعلىالمساواةالتالية:ا18ح
4MA4
1MC
هتعنيهذهالعالقةأنمركزالثقللهرممتجانزيقععلىالمســــــــتقيمالذييصــــــــلرأسهذاالهرممعمركزالثقللقاعدت
المستقيم.فيمكانمنهيبعدعنمركزالثقلللقاعدةبمسافةمساويةلربعطولهذاوراماتمتمتعةبأوجهعدة،ألننانسـتطيعتقسـيمهذهاألهراماتإلىأهويمكنتعميمهذهالنتيجةلتشـملأهراماتمتجانسـة
عبرأقطارمضلعهذاالهرم.وبسيطةأوجههامثلثاتعنطريقمستوياتتمرعبرذروةالهرمهوالحدالذيتنتهيإليهمجموعةاألهراماتالصــــــغيرةويمكنكذلكتعميمهذهالنتيجةلتشــــــملالمخروطألنالمخروط
مالمحصــــــــورةبداملهعندماينتهيعددهاإلىالالنهاية،وهذايعنيأنمركزالثقللمخروطمتجانزيقععلىالمســــــــتقيواهذفيمكانمنهيبعدعنذروةالهرمبمســافةمســاويةلثالثةأرباعطولوالذييصــلالمخروطمعمركزالثقللقاعدته
المستقيم.
األجسام المركبةتحديد مركز الثقل 5.12اللتحديدمكانمركزالثقللجسممتمتعبشكلهندسيمعقدنلجأإلىتقسيمهذاالجسمإنأمكنإلىأجزاءتتمتعبأشك
بسيطةأماكنمراكزالثقلفيهاتتحددبسهولةكماوردفيالفقرةالسابقة.V,V....نرمزإلىحجومهذهاألشــكالالبســيطةبالقيم W,W,W...,وإلىأوزانهابالقيم21 التيترتكزفيمراكز321
الثقللهذهاألشكال.تتحددأماكنمراكزالثقلباإلحداثيات: 111 z,y,x، 222 z,y,x، 333 z,y,xالخ.بذلكتصـــــــبحمســـــــألةتحديدمكانمركزالثقلللجســـــــممســـــــألة...،
المساويةلمايلي:z,y,xتتحديدمكانمركزالثقلللجسمباإلحداثياا19ح
W
z~.Wz،
W
y~.Wy،
W
x~.Wx
iiفإنوإذاكانالجسممتجانساومتمتعابثقلنوعي VW :بذلكتصبحالعالقاتالسابقةعلىالنحوالتالي،
ا20ح
V
z~.Vz،
V
y~.Vy،
V
x~.Vx
174
القيمة الواردةفيالمخرجعبارةعنالحجمالكاملللجســـمالمفروض،وعندمايطلبتحديدمكانمركزالثقلVتعد العائدةلألشكالالبسيطةiAبالمساحةiVلصفيحةمستويةومتجانسةأولخطنستعملالعالقاتاألميرةبعداستبدال
العائدةلألشكالالبسيطةالتيقسمإليهاالخطالمفروض.iحةأوبالطولالتيقسمتإليهاالصفي
األشكال المركبة بالتقريبو تحديد مركز الثقل لألجساميتوقفحلهذاالنوعمنالمسائلعلىإمكانيةتقسيمجسمأوشكلاصطالحيإلىعدةأجزاءلهاشكلمبسط،ولهذا
321الذييتألفمنثالثةأجزاءكتلها،ا12-10حالشــــــــــــــكلالموضــــــــــــــحتخطيطيافيفمنأجلالجســــــــــــــم m,m,m321مثالهيx وإحداثياتمراكزكتلهاالمنفصلةفياالتجاه x~,x~,x~اهوعزوم:
332211321 x~mx~mx~mxmmm
10-12الشكل
لمركزكتلةالجســـــــــــــمكله.ويمكنالحصـــــــــــــولعلىعالقاتمشـــــــــــــابهةلإلحداثياتفيxإلىاإلحداثيxحيثترمز
التعبيرعنالمجاميعبشــكلمكثفواالتجاهيناآلمرين.ومنالممكنتعميمذلكمنأجلجســمأوأيعددمناألجزاءللحصولعلىإحداثياتمركزالكتلة:
ا21ح
m
z~.mz،
m
y~.my،
m
x~.mx
ومنالممكنالحصـــولعلىعالقاتمشـــابهةمنأجلالخطوطوالمســـاحاتواألحجامالمركبة.ويجباإلشـــارةأنالثقب
تسالبة.أوالحفرةهيإحدىأجزاءالمركبةللجسمأوالشكلالمركب،وتعتبرالكتلةالممثلةلهذهالحفرةأوالثقوبكميا
177
Lecture title: Center of gravity
Lecture syllabus:
-Center of gravity for an analogue bodies
-Theorems of Pappus and Guldinus
-Composite bodies
Conclusion:
Use the theorems of Pappus and Guldinus for finding the area and volume for surface
of revolution.
References :
-Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.
- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI
Units.
2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -
Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN
Email: [email protected]