ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯmosphys.olimpiada.ru › upload › files ›...

Гл а в а 5

ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ

§5.1. ПЛОЩАДИ

5.1.1. Понятие площади. Площади подобных фигур.Площадь треугольника (выражение через основаниеи высоту и формула Герона) и трапеции. Важнымгеометрическим понятием является площадь. Измеритьплощадь фигуры — значит определить, сколько эталонныхфигур в ней содержится 1).

При преобразовании подобия с коэффициентом k всеразмеры фигур увеличиваются в k раз — площадь эта-лонного квадрата и любой фигуры, разбитой на такиеквадраты, увеличивается в k2 раз.

Получим выражения для площади простейших фигур.Начнем с треугольника с основанием b и опущенной на

это основание высотой h.Достроим треугольник площади 2) S до прямоугольника

со сторонами b и h, который в два раза большетреугольника и имеет вдвое большую площадь, равнуюbh = 2S (построение для остроугольного треугольника

1) За эталон площади принимают квадрат единичной длины,стороны которого параллельны координатным осям. Тот факт,что площадь квадрата не меняется при повороте, нуждается вдоказательстве!

2) Данное рассуждение предполагает уже установленным, чтотреугольник имеет площадь — этот факт тоже нуждается в до-казательстве!

106 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)

приведено 1) на рис. 5.1). Отсюда

S =1

2bh. (5.1)

Получим еще одну формулу для площади треугольникаS с известными длинами сторон a, b и c.

Подставим полученное ранее выражение для высотытреугольника (4.5) в (5.1):

S =1

4

p(a − b + c)(a + b − c)(b + c − a)(b + c + a) .

Используя обозначение для полупериметра

p = (a + b + c)/2, (5.2)

приведем соотношение к виду формулы Герона:

S =p

p(p − a)(p − b)(p − c) .

Получим соотношение для площади S трапеции с осно-ваниями a и b и высотой h.

Площадь трапеции, разбитой на на два треугольника(рис. 5.2), складывается из площадей этих треугольников:

S =1

2ah +

1

2bh =

a + b

2h.

1) Случай тупоугольного треугольника читателю предлагаетсярассмотреть самостоятельно

b

h

Рис. 5.1. К расчету пло-щади треугольника

b

a

bh/2

ah/2h

Рис. 5.2. К расчету площадитрапеции

5.1. Площади 107

5.1.2. Связь площади многоугольника с его перимет-ром и радиусом вписанной окружности. Понятие площа-ди можно использовать для решения задачи на расчет ра-диуса окружности, вписанной в многоугольник площади Sсо сторонами a1, a2, a3, ... и периметром P = a1 + a2 + ....

Соединим центр вписанной окружности с верши-нами n-угольника — многоугольник разбивается натреугольники 1, 2, 3, ... с основаниями a1, a2, a3, ... иравными высотами r (см. рис. 5.3 при n = 3.). Площадиобразовавшихся треугольников равны

S1 = a1r/2, S2 = a2r/2, ...

Их сумма равна площади многоугольника:

S =1

2(a1 + a2 + ...)r =

1

2Pr.

Таким образом 1),

r =2SP

. (5.3)

1) Читателю предлагается проверить, что формула (5.3) согла-суется с ранее полученными выражениями для радиусов окруж-ности, вписаных в прямоугольный и равнобедренный треугольни-ки

a 1 a2

a3

r r

r

a 1 a2

a3

1 2

3

Рис. 5.3. К выражению радиуса вписанной окружности через пло-щадь и периметр


5.1.3. Площадь треугольника и радиус вневписаннойокружности треугольника. Радиус вневписанной окружно-сти треугольника △ABC, касающейся стороны AC и про-должений двух других сторон, также можно выразить че-рез длины AB = c, AC = b, BC = a и площадь S.

Соединим центр вневписанной окружности S свершинами треугольника (рис. 5.4). Образуются тре-угольники △ASC, △BSC, △ASB с равными высотамиrb, проведенными из точки S, и основаниями b, a,c соответственно. Запишем выражения для площадейтреугольников:

S△ASC = brb/2, S△BSC = arb/2, S△ASB = crb/2.

Поскольку четырехугольник ABCS можно разбить как на△ABC и △ASC, так и на △ASB и △BSC, для егоплощади имеем:

SABCS = S△ABC + S△ASC = S△ABC + brb/2,

SABCS = S△ASB + S△BSC = arb/2 + crb/2.

B

A C

S

rb rb

rb

Рис. 5.4. К расчету радиуса вневписанной окружности

5.2. Измерение углов и дуг 109

Приравняем эти выражения:

S△ABC +1

2brb =

1

2arb +

1

2crb.

Вводя обозначение для полупериметра треугольника (5.2),приходим к ответу:

S△ABC =1

2(a + c − b)rb = (p − b)rb. (5.4)

§5.2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ И ДУГ

5.2.1. Круговой сектор; измерение его площади какспособ измерения угла. Градусная и радианная мераугла. Измерение дуг. Как измерять углы? Можно свестизадачу об измерении угла к задаче об измерении площади,рассмотрев круговой сектор, состоящий из точек угла,лежащих внутри круга радиуса r (рис. 5.5). Площадьтакого сектора Sсект

αбудет пропорциональна величине

угла α.Единицами измерения угла являются градус и радиан.

Принимается, что величина прямого 1) угла составляет90◦ или π/2 радиан. Учитывая, что площадь четвертиокружности составляет 2) πr2/4, получим:

Sсектα

πr2/4=

α

π/2 рад=

α

90◦.

Таким образом, площадь кругового сектора и радианнаямера угла α оказываются связаны соотношением:

Sсектα

=r2α

2.

1) Углы с градусной мерой от 0◦ до 90◦ считаются острыми,от 90◦ до 180◦ — тупыми

2) В качестве определения числа π мы принимаем площадьединичного круга


Градусную и радианную меру можно использовать дляизмерения не только углов, но и дуг окружности. На ри-сунке 5.5 окружность разделена на две части — дуги, од-на из которых (с градусной мерой α) лежит внутри углаα, другая (с градусной мерой 360◦ − α) — вне этого угла.Градусная мера полуокружности считается равной 180◦.

5.2.2. Длина окружности и дуги окружности. Градус-ная и радианная мера угла связана не только с площадьюкругового сектора, но и с длиной дуги окружности.

Используя соотношение (5.3), сначала подумаем, каквыразить длину окружности радиуса r через площадькруга этого же радиуса.

Опишем около окружности многоугольник из большогочисла сторон (рис. 5.6). Его площадь будет приближенноравна площади круга πr2, а периметр P — приближенноравен длине окружности. Применяя соотношение (5.3),находим эту длину:

P = 2S/r = 2πr.

Получим выражение для длины l дуги окружности ра-диуса r с радианной мерой α.

Учтем, что l относится к длине четверти окружностиπr/2 так же, как α относится к π/2:

l

πr/2=

α

π/2.

Тогда

l = rα.

Рис. 5.5. Круговой сектор Рис. 5.6. К исследованиюдлины окружности

5.2. Измерение углов и дуг 111

Таким образом, радианную меру угла или дуги можнорассматривать как отношение длины дуги окружности l кее радиусу r.

5.2.3. Сумма углов параллелограмма, прилежащих кодной стороне, треугольника; свойство внешнего углатреугольника. В задачах часто используются соотношениядля суммы углов треугольника и параллелограмма. Начнемс параллелограмма (рис. 5.7).

Рассмотрим два угла параллелограмма α и β, при-лежащие к одной стороне. Поскольку угол, смежный суглом α, равен β, сумма этих углов равна 180◦:

α + β = 180◦.

Рассчитаем сумму углов α, β и γ треугольника (рис.5.8).

Достроим треугольник до параллелограмма с угламиα и β + γ. По доказанному свойству, сумма этих угловравна 180◦:

α + β + γ = 180◦.

Полученное свойство можно представить также следую-щим образом: внешний угол 180◦ − α треугольника равенсумме внутренних углов β и γ, с ним не смежных.

αβ

β

Рис. 5.7. К расчету суммыуглов параллелограмма

α180

◦ − α γ

βγ

Рис. 5.8. К расчету суммыуглов треугольника


§5.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УГЛОВ И ДУГ

5.3.1. Угол между хордой и касательной и дугаокружности. Найдем связь угла α между хордой AB икасательной AK к окружности и градусной мерой β дуги,лежащей внутри угла 1) (рис. 5.9).

Пусть угол α острый. Тогда ∠OAB = 90◦ − α.Поскольку △AOB равнобедренный с основанием AB, егоуглы при основании равны. Учитывая свойство суммыуглов △AOB, получим:

180◦ = (90◦ − α) + (90◦ − α) + β ⇐⇒ β = 2α.

Случай тупого угла ∠KAB = α рассматрива-ется аналогично (рис.5.10). Смежный с ним угол∠PAB = 180◦ − α опирается на дугу с градусной мерой,равной ∠AOB = 360◦ − β, поэтому, по доказанному,

360◦ − β = 2(180◦ − α) ⇐⇒ β = 2α.

Таким образом, угол α между хордой и касательной вобоих случаях опирается 2) на дугу 2α.

1) Говорят, что угол между хордой и касательной опираетсяна дугу окружности, лежащую внутри него

2) При α = 90◦ данное утверждение читателю предлагаетсяпроверить самостоятельно

A K

OB

α

β

Рис. 5.9. К задачеоб угле между хор-дой и касательной

A KP

OB

Рис. 5.10. Тупой уголмежду хордой и ка-сательной

5.3. Взаимосвязь углов и дуг 113

5.3.2. Угол, вписанный в окружность, угол междупересекающимися хордами (секущими), их связь сдугами. Рассмотрим угол α, вписанный в окружность(рис. 5.11); найдем градусную меру дуги, лежащей внутриугла 1).

Проведем из вершины угла касательную к окружности(рис. 5.12). Угол α1 опирается на дугу β1 = 2α1, уголα1 + α — на дугу β1 + β = 2α1 + 2α; тогда дуга β, равнаяразности этих двух дуг, совпадает с 2α.Таким образом, вписанный в окружность угол α опира-

ется на дугу 2α.Найдем величину угла α между двумя пересекающими-

ся хордами (рис. 5.13). Пусть внутри угла α лежит дугаβ1, а внутри угла, вертикального к α, — дуга β2.

Соединим концы хорд. Тогда угол α1 опирается надугу β1 и равен ее половине; угол α2 опирается на дугуβ2 и также равен ее половине. По теореме о внешнемугле треугольника, угол α равен сумме углов α1 и α2:

α = α1 + α2 =β1

2+

β2

2=

β1 + β2

2.

Таким образом, угол между двумя пересекающимисяхордами равен полусумме дуг, лежащих внутри этого углаи угла, вертикального к нему.

1) Говорят, что вписанный в окружность угол опирается надугу окружности, лежащую внутри него.

α

β

Рис. 5.11. К постановке за-дачи о вписанном угле

αα1

β

β1

Рис. 5.12. К решению зада-чи о вписанном угле


α

α1α2

β2β1

Рис. 5.13. К расчетуугла между пересека-ющимися хордами

α

α1

α2

β2β1

Рис. 5.14. К расчету угламежду секущими из однойточки

Выразим угол α между двумя секущими, проведеннымииз одной точки, через дуги окружности β1 и β2, лежащиевнутри угла (рис. 5.14).

Построим углы α1 и α2, опирающиеся на вдвоебольшие дуги β1 и β2. По свойству внешнего углатреугольника, угол α2 равен сумме углов α и α1:

α2 = α + α1 ⇐⇒ α = α2 − α1 =β2 − β1

2.

Таким образом, угол между секущими равен полуразно-сти дуг, лежащих внутри этого угла.

5.3.3. Свойство пересекающихся хорд, свойство каса-тельной и секущей. Установим важное свойство отрезков,на которые хорды делятся точкой пересечения.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке E

(рис. 5.15). Обозначим на рисунке углы, опирающиесяна одну дугу, одинаково. Тогда △EAC ∼ △EDB,EA : ED = EC : EB и

EA · EB = EC · ED.

Аналогично доказывается теорема о квадрате касатель-ной, связывающая квадрат длины касательной с произведе-нием секущей на ее внешнюю часть.

Пусть из точки A проведены касательная AB кокружности и секущая AD, пересекющая окружностьв точках C и D (рис. 5.16). Обозначим на рисунке

5.3. Взаимосвязь углов и дуг 115

DA

BC

E

Рис. 5.15. К доказатель-ству свойства пересека-ющихся хорд

D

AB

C

Рис. 5.16. К доказательствусвойства касательной и се-кущей

углы, опирающиеся на одну дугу, одинаково. Тогда△ABC ∼ △ADB, AB : AD = AC : AB и

AB2 = AD · AC.

5.3.4. Применение вспомогательной окружности длярасчета длины биссектрисы треугольника. Используясвойство вписанных в окружность углов, можно ещеодним способом получить формулу для длины биссектрисытреугольника.

Пусть BL — биссектриса △ABC. Продолжим ее допересечения в точке K с окружностью, описанной околотреугольника △ABC (рис. 5.17). Обозначим на рисункеравные углы одинаково. Используя подобие треугольников△BAL ∼ △BKC и пропорцию BA : BK = BL : BC, полу-чим: BL · BK = BA · BC.

K

C

B

A

L

Рис. 5.17. К расчету длины биссектрисы


С другой стороны, по свойству пересекающихся хорд,BL · LK = LA · LC. Вычитая два соотношения, получим:

BL · (BK − LK) = BL2 = BA · BC − LA · LC.

§5.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА

Многие задачи геометрии решаются с использованиемтригонометрических обозначений, которые позволяют вкраткой форме записать свойства подобия прямоугольныхтреугольников. Основная идея тригонометрии состоит втом, что все прямоугольные треугольники с острым угломα подобны друг другу — поэтому отношения сторон втаком треугольнике зависят только от угла α и являютсяфункциями этого угла (тригонометрическими функциями).

5.4.1. Определение тригонометрических функцийострого угла. Представление тангенса и котангенсачерез синус и косинус. Формулы приведения. Пусть△ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой ABи острым углом ∠A = α (рис. 5.18). Тригонометрическиефункции угла определяются следующим образом:• синус угла α — отношение противолежащего катета к

гипотенузе sin α = BC : AB;• косинус угла α — отношение прилежащего катета к ги-

потенузе cos α = AC : AB;• тангенс угла α — отношение противолежащего катета

к прилежащему tg α = BC : AC;• котангенс угла α — отношение прилежащего катета к

противолежащему ctg α = AC : BC.Как вытекает из определения,

tg α =sinα

cos α, ctg α =

cos α

sinα.

Получим формулы приведения, связывающие тригоно-метрические функции углов α и 90◦ − α.

5.4. Тригонометрические функции острого угла 117

C A

B

α

Рис. 5.18. Прямоуголь-ный треугольник сострым углом α

α

90 ◦

−α 1

cos α

sin(90◦ − α)

sinαcos(90◦ − α)

Рис. 5.19. К выводу формулыприведения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с единичнойгипотенузой и острым углом α. Как вытекает из свойствасуммы углов треугольника, второй острый угол треуголь-ника равен 90◦ − α (рис. 5.19). Катет, прилежащий углуα, противолежит углу 90◦ − α и равен, с одной стороны,cos α, а с другой стороны — sin(90◦ − α). Аналогично,катет, противолежащий углу α, равен как sinα, так иcos(90◦ − α). Приходим к искомым формулам приведения:

sin(90◦ − α) = cos α, cos(90◦ − α) = sin α.

Разделив их друг на друга, получим аналогичные форму-лы для тангенса и котангенса:

tg(90◦ − α) = ctg α, ctg(90◦ − α) = tg α.

5.4.2. Тригонометрическое доказательство теоремыПифагора. Тригонометрические тождества. Посколь-ку тригонометрия позволяет в краткой форме выразитьсвойство подобия прямоугольных треугольников, многиедоказательства, основанные на подобии, упрощаются прииспользовании тригонометрических обозначений. В качествепримера рассмотрим тригонометрическое доказательствотеоремы Пифагора (рис. 5.20) для прямоугольного тре-угольника с гипотенузой AB = c, острым углом α икатетами AC = c cos α и BC = c sin α.


C A

B

H

c cos α

csi

nα

c

c sin 2

α

c cos 2

α

αα

Рис. 5.20. К дока-зательству теоремыПифагора

1

tgα

1/ cosα

αctg α

1

1/ sinα

α

Рис. 5.21. К тригонометрическимтождествам

Обозначая на рисунке одинаково два угла α, получимдлины отрезков, на которые гипотенуза делится высотой:BH = c sin2 α, AH = c cos2 α. Поскольку AC = ñ,

c = ñ sin2 α + c cos2 α ⇐⇒ AB2 = AC2 + BC2.

Таким образом, тригонометрическое тождество

sin2 α + cos2 α = 1

является краткой записью теоремы Пифагора. Два другихтождества

1 + tg2 α =1

cos2 α, 1 + ctg2 α =

1

sin2 α. (5.5)

получаются при применении теоремы Пифагора к прямо-угольным треугольникам с единичным катетом (рис. 5.21).

5.4.3. Тригонометрические функции углов в 45, 30и 60 градусов. Чтобы найти тригонометрические функцииуглов в 45◦, 30◦, 60◦, следует построить прямоугольныетреугольники с такими острыми углами (рис. 5.22 и 5.23).

Прямоугольный треугольник с острыми углами по 45◦

является равнобедренным. Принимая катеты равными еди-нице, из теоремы Пифагора находим, что гипотенуза рав-на

√2 . Используя определения, находим тригонометриче-

ские функции угла 45◦ и заносим их в таблицу 5.1.Прямоугольный треугольник с острыми углами 60◦ и

30◦ проще всего получить, разрезав пополам равносторон-

5.4. Тригонометрические функции острого угла 119

1

1

√2

45◦

Рис. 5.22. Прямоуголь-ный равнобедренныйтреугольник

11

√3

2

60◦

30◦

Рис. 5.23. Треугольник с углами30◦, 60◦ и 90◦ — половина рав-ностороннего треугольника

ний треугольник, все углы которого равны 60◦, а сторо-ны — равны двум. Гипотенуза образовавшегося треуголь-ника равна двум, один из катетов — единице, а другойкатет, согласно теореме Пифагора, равен

√3 . Используя

определения, занесем значения тригонометрических функ-ций углов 30◦ и 60◦ в таблицу 5.1.5.4.4. Тригонометрические функции малых углов

(неравенство для синуса и тангенса угла и его ради-анной меры; оценка синуса и тангенса малого угла).Исследуя площади различных фигур, получим неравенствадля тригонометрических функций малых углов.

Рассмотрим круговой сектор единичного радиуса суглом α, измеряемым в радианах, и площадью 0, 5α.С одной стороны, он покрывает (рис. 5.24 слева) рав-нобедренный треугольник с боковой стороной 1, углом

Т а б л иц а 5.1. Значения тригонометрических функций

Тригонометрическая функция Величина угла

30◦ 45◦ 60◦

sin 1/2 1/√2

√3 /2

cos√3 /2 1/

√2 1/2

tg 1/√3 1

√3

ctg√3 1 1/

√3


α

1

1

sin

α

α

1

tgα

Рис. 5.24. Треугольник внутри кругового сектора (слева) и тре-угольник, покрывающий круговой сектор (справа)

α при вершине, высотой sinα и площадью 0, 5 sinα. Сдругой стороны, сектор содержится (рис. 5.24 справа)внутри прямоугольного треугольника с катетами 1 и tg α

и площадью 0, 5 tg α. Запишем неравенство для площадейфигур, вложенных друг в друга:

0, 5 sin α < 0, 5α < 0, 5 tg α ⇐⇒ sinα < α < tg α. (5.6)

Используя соотношение (5.6) и второе из тождеств(5.5), получим оценки для синуса угла снизу и тангенсаугла сверху.

Имеем:1

sin2 α= 1 + ctg2 α < 1 +

1

α2;

1

tg2 α=

1

sin2 α− 1 >

1

α2− 1.

Отсюда

sinα >αp

1 + α2, tg α <

αp1− α2

.

Найденные соотношения можно представить в виде

α < tg α <αp

1− α2,

αp1 + α2

< sin α < α.

Эти неравенства позволяют найти тригонометрическиефункции малых углов тем точнее, чем меньше угол.

5.5. Теоремы косинусов и синусов 121

§5.5. ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ

5.5.1. Теорема косинусов. Чтобы находить углы в тре-угольнике с известными сторонами AB = c, BC = a, AC == b, можно использовать теорему косинусов. Она выражаеткосинус угла ∠A = α через длины сторон.

Один из способов доказательства теоремы используетрассмотренную ранее задачу о высоте произвольного тре-угольника.

Пусть BH — высота △ABC (рис. 5.25). Согласносоотношению (4.4), она делит сторону AC на отрезки,один из которых равен 1)

AH = x =b2 + c2 − a2

2b.

Следовательно,

cos α =AH

AB=

b2 + c2 − a2

2bc,

или

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.

Утверждение теоремы косинусов можно получить инезависимо, без использования задачи о высоте.

1) Отрицательное значение x означает, что основание высотыH лежит за пределами отрезка AC.

A

B

CH

c a

x

h

b − x

Рис. 5.25. К задаче о высоте

A

B

CH

α

c a

c cos α

csi

nα

b − c cos α

Рис. 5.26. К доказательствутеоремы косинусов


Используя тригонометрические обозначения, запишемдлины отрезков (рис. 5.26): AH = c cos α, BH = c sinα,HC = b − c cos α. По теореме Пифагора для △BHC

получим:

a2 = (b − c cos α)2 + (c sinα)2 =

= b2 + c2(cos2 α + sin2 α) − 2bc cos α = b2 + c2 − 2bc cos α.

5.5.2. Теорема синусов. Выражение площади тре-угольника через синус угла. Получим утверждениетеоремы синусов, связывающей синусы двух углов тре-угольника.

Высоту BH треугольника △ABC (рис. 5.27) можновыразить через синусы углов двумя способами:

BH = c sinα = a sin γ.

Отсюда

sin α

a=

sin γ

c.

Подставляя выражение для высоты в формулу дляплощади треугольника, получим:

S△ =12b · BH =

12bc sin α. (5.7)

A

B

CH

α γ

c a

csi

nα

asi

nγ

Рис. 5.27. К доказательствутеоремы синусов

A

B

CH

α180◦ − α

b−c cos α

c

csi

nα

Рис. 5.28. Треугольник с тупымуглом

5.6. Формулы сложения 123

5.5.3. Понятие косинуса и синуса тупого угла.Полумаем, как ввести понятия косинуса и синуса длятупого угла α (рис. 5.28). Чтобы доказательства теоремыкосинусов и синусов оставались справедливым и в этомслучае, для высоты треугольника BH и отрезка CHдолжны по-прежнему выполняться соотношения:

BH = c sin α; CH = b − c · cos α.

Таким образом, синус тупого угла α следует считатьположительным, а косинус — отрицателен. По модулюэти функции должны совпадать с синусом и косинусомсмежного угла 180◦ − α:

sin α = sin(180◦ − α), cos α = − cos(180◦ − α).

§5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ.СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

5.6.1. Формула сложения для синуса и косинуса.Тригонометрические функции двойного и половинногоугла. Как выразить тригонометрические функции суммыострых 1) углов α и β через тригонометрические функцииуглов α и β? Можно построить треугольник, один изуглов которого равен α + β, и найти косинус этого угла изтеоремы косинусов, а синус — из теоремы синусов.

Чтобы построить угол α + β, отложим от единичногокатета CH в разные полуплоскости два прямоугольныхтреугольника △CHM и △CHN с прямыми углами привершине H: один с острым углом α при вершине C,другой — с острым углом β (рис. 5.29). Отметим нарисунке длины отрезков:

MH = tg α, HN = tg β, MC =1

cos α, CN =

1

cos β.

1) Общий случай будет исследован в дальнейшем методом ко-ординат


M

C

NH

90◦ − α

1/co

sα

1/cosβ1

tg α tg β

αβ

Рис. 5.29. К выводу формул сложения

Запишем теорему косинусов для △MCN :

(tg α + tg β)2 =1

cos2 α+

1

cos2 β− 2

1

cosα

1

cos βcos(α + β).

Раскрывая скобки и используя тождество для квадратовтангенса и косинуса (5.5), получим:

2 tg α tg β = 2− 21

cosα

1

cos βcos(α + β).

Выражая косинус суммы, приходим к искомой формулесложения:

cos(α + β) = cos α cos β − sinα sinβ.

Записывая для △MCN теорему синусов:

sin(α + β)

sin(90◦ − α)=

tg α + tg β

1/ cosβ,

выражаем синус угла α + β:

sin(α + β) = sinα cos β + cos α sinβ.

При α = β формулы сложения переходят в формулы длятригонометрических функций двойного угла:

sin 2α = 2 sin α cos α,

cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1− 2 sin2 α.

5.7. Применения тригонометрии 125

Из формулы для косинуса можно выразить тригонометриче-ские функции половинного угла α:

cos α =

√

1 + cos 2α2

, sin α =

√

1− cos 2α2

.

5.6.2. Методы составления таблиц тригонометриче-ских функций и расчета числа π. Поскольку косинус45◦ уже известен, из соотношения для тригонометрическихфункций половинного угла можно получить косинусы исинусы углов в 22, 5◦, 11, 25◦ и т.д. Определив косинус исинус достаточно малого угла, можно с помощью формулсложения построить таблицу тригонометрических функцийс достаточно малым шагом 1).

Для расчета числа π с достаточной точностью можновоспользоваться неравенством (5.6) для угла α = π/N :

sin180◦

N<

π

N< tg

180◦

N.

Рассчитав синус и косинус достаточно малого угла, можнополучить приближения для числа π с недостатком и из-бытком, которые тем точнее, чем больше N .

В частности, при N = 4 имеем 2√2 < π < 4, а при

N = 6 получим 2) 3 < π < 2√3 .

§5.7. ПРИМЕНЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ

Приведенные ниже задачи ранее были решены без ис-пользования тригонометрии. Однако решение каждой из за-дач можно существенно упростить, если использовать обо-значения и результаты из тригонометрии.

1) Читателю рекомендуется с помощью микрокалькуляторасоставить такую таблицу (без использования кнопок «sin» и«cos»!)

2) Читателю рекомендуется с помощью микрокалькулятора рас-считать приближения для числа π с недостатком и избыткомпри N = 8, 16, 32


C

B

A M

O

β

βR

2β

Рис. 5.30. К расчету радиуса описанной окружности

5.7.1. Радиус описанной окружности. Рассчитаемрадиус окружности с центром в точке O, описанной околотреугольника △ABC. Будем считать для простоты угол∠B = β острым.

Дуга, AC, на которую опирается вписанный в окруж-ность угол ∠ABC = β, имеет угловую меру 2β. В рав-нобедренном треугольнике △AOC медиана OM совпадаетс высотой и биссектрисой; тогда ∠AOM = ∠COM = β иAM = MC = R sin β. Таким образом, AC = b = 2R sin β и

R =b

2 sin β=

abc

2ac sin β=

abc

4S.

5.7.2. Задача о длине медианы треугольника (реше-ние на основе теоремы косинусов). Пусть BM — меди-ана △ABC с известными сторонами (рис. 5.31). Требуетсяопределить длину m медианы.

Запишем теорему косинусов для △ABC и △ABM :

a2 = c2 + b2 − 2bc cos α;

m2 = c2 + (b/2)2 − bc cos α.

Выражая из первого уравнения bc cos α = (c2 + b2 − a2)/2 иподставляя во второе, находим:

m2 = c2 +b2

4− c2 + b2 − a2

2=

c2 + a2

2− b2

4.


A

B

CM

α

c a

b/2m

b/2

Рис. 5.31. К расчету длинымедианы

A

B

CL

δ

β/2β/2

180◦ − δ

Рис. 5.32. К задаче о биссек-трисе

5.7.3. Задача о биссектрисе треугольника (решениеиз теоремы синусов). Длина биссектрисы (расчет наоснове теоремы косинусов, представление через косинусполовинного угла). Используя теорему синусов, можнодругим способом найти отношение, в котором биссектрисаBL треугольника △ABC делит противоположную сторонуAC (рис. 5.32).

Обозначая ∠BLC = δ, применим теорему синусов для△ALB и △BLC:

sin(180◦ − δ)

AB=

sin(β/2)

AL,

sin δ

CB=

sin(β/2)

CL.

Разделив одно соотношение на другое, получим:

CB

AB=

CL

AL,

что доказывает свойство биссектрисы.Пусть BL — биссектриса △ABC со сторонами AB = c,

BC = a; при этом AL = cy и LC = ay (рис. 5.33). Выра-жение для длины биссектрисы l можно получить на основетеоремы косинусов.

Запишем теорему косинусов для △ABC и △ABL:

a2 = c2 + (a + c)2y2 − 2(a + c)cy cos α;

l2 = c2 + c2y2 − 2c2y cos α.


A

B

CL

α

c a

cyl

ay

Рис. 5.33. К расчету длиныбиссектрисы из теоремы коси-нусов

A

B

CL

QP

l

β/2

zz

zz

Рис. 5.34. К представлениюдлины биссектрисы черезкосинус половинного угла

Разделив первое соотношение на a + c, получим:

c − a + y2(c + a) = 2cy cos α.

Подставляя во второе соотношение, найдем:

l2 = c2 + c2y2 − c(c − a + y2(c + a)) = ac(1− y2).

Длину биссектрисы треугольника также 1) можно выра-зить через косинус половинного угла.

Впишем в треугольник △ABC ромб BPLQ

(рис. 5.34). Поскольку △BPL равнобедренный с боковы-ми сторонами BQ = QL = z и углом при основании β/2,длина основания окажется равной BL = 2z cos(β/2). Ранеебыло установлено (соотношение (4.2)), что z = ac/(a + c).Следовательно,

l = 2ac

a + ccos

β

2.

5.7.4. Формула Герона (выводы на основе теоремыкосинусов и из свойств вписанной и вневписаннойокружностей). Формулу Герона для площади треуголь-ника также можно получить методами тригонометрии.Рассмотрим два способа: на основе теоремы косинусов и

1) Читателю рекомендуется самостоятельно показать, что двеформулы для длины биссектрисы не противоречат друг другу


A

B

C

α

c a

b

Рис. 5.35. Треугольник с известными длинами сторон

из свойств вписанной и вневписанной окружностей. Начнемс первого способа.

Введем обозначения для сторон треугольника AB = c,AC = b, BC = a (рис. 5.35) и рассчитаем косинус угла∠A = α:

cos α =b2 + c2 − a2

2bc.

Для квадрата синуса этого угла получим:

sin2 α = 1−�

b2 + c2 − a2

2bc

�2

,

Используя соотношение (5.7), найдем квадрат площадитреугольника S:

16S2 = 4b2c2 sin2 α = 4b2c2 − (b2 + c2 − a2)2 =

= (2bc − b2 − c2 + a2)(2bc + b2 + c2 − a2) =

= (a2 − (b − c)2)((b + c)2 − a2) =

= (a − b + c)(a + b − c)(b + c − a)(b + c + a).

Полученное соотношение равносильно формуле Герона.Другой способ вывода формулы Герона использует свой-

ства вписанной и вневписанной окружностей (рис. 5.36).Пусть O — центр вписанной окружности радиуса r,

S — центр вневписанной окружности радиуса rb, касаю-щейся стороны AC и продолжений двух других сторон.


B

C

A

O

P

S

K

r

rb

p − a p − c

Рис. 5.36. К выводу формулы Герона

Опустим перпендикуляры OP и SK на прямую AB. Со-гласно пп. 4.3.4 и 4.3.7, AK = p − c, AP = p − a.

Поскольку центр вписанной в угол окружностилежит на биссектрисе этого угла, ∠OAP = α/2 и∠SAK = (180◦ − α)/2. По свойству суммы углов прямо-угольного треугольника △SAK, ∠ASK = α/2. Запишемдва выражения для тангенса угла α/2:

tgα

2=

OP

PA=

r

p− a, tg

α

2=

AK

KS=

p− c

rb

.

Используя соотношения (5.3) и (5.4), получим: r = S/p,rb = S/(p − b). Тогда

tgα

2=

S

p(p− a), tg

α

2=

(p− c)(p− b)

S.

Отсюда S2 = p(p − a)(p − b)(p − c).

Date post:	06-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	14 times
Download:	0 times

ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯmosphys.olimpiada.ru › upload › files ›...

Documents