1

Presented by:M. ZAHRI KADIR

Jurusan Teknik Mesin

Fakultas Teknik UNSRI

Persamaan Dasar Volume Kendali (Control Volume)

2

Pokok Bahasan:PERSAMAAN DASAR VOLUME KENDALI

Teknik Mesin FT UnsriMEKANIKA FLUIDA I , M Zahri Kadir

SUMBER BACAAN ;1. 1. Fox, W.R; Mc Donald A.TFox, W.R; Mc Donald A.T, , Introduction to fluid MechanicsIntroduction to fluid Mechanics , , 6th Ed6th Ed, , Wiley International Wiley International2. Frank M. White, Fluid Mechanics, Fourth Edition, McGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC

1. Metode-metode Analisis Aliran Fluida2. Hukum-hukum Dasar Mekanika3. Teorema Transport Reynolds

3

Metode analisis aliran fluida

1.Metode volume kendali atau Analisis Integral (Analisis skala besar)

2.Metode sistem ananta kecil atau Analisis Diferensial (Analisis skala kecil)

3.Metode Eksperimental atau Analisis Kematraan (Analisis Dimensional)

4

Hukum-hukum Dasar pada Analisis Aliran Fluida. Aliran fluida harus memenuhi ketiga hukum kekekalan dasar dalam mekanika, hubungan keadaan termodinamika dan syarat-syarat batas.

1. Kekekalan Massa2. Kekekalan Momentum (hukum Newton kedua)3. Kekekalan Energi (hukum pertama Termodinamika)4. Hubungan keadaan, seperti pers keadaan gas ideal5. Syarat-syarat batas permukaan fluida, antarmuka, lubang masuk/

keluar.

Dalam analisis Integral dan Diferensial, kelima hubungan ini modelnya dibuat secara matematika, lalu dipecahkan dengan metode-metode perhitungan. Dalam penelaahan eksperimental, fluida itu sendiri yang melakukan tugas ini, tanpa menggunakan matematika.

5

• Permasalahannya:Semua hukum mekanika dinyatakan untuk suatu sistem (massa kendali), yakni sembarang massa yang identitasnya tertentu, bukan untuk Volume kendali

• Solusinya: Teorema Transport ReynoldsMemformulasi relasi Sistem-Volume Kendali. Mengalihkan suatu analisis sistem ke analisis volume kendali dengan mengubah matematika yang berlaku bagi setiap massa menjadi berlaku bagi suatu daerah tertentu

6

Massa Kendali(Control Mass)

F

Fluid Mechanics

Control mass

Control Volume

Solid Mechanics

Sistem vs Volume Kendali

7

1. Kekekalan massa

0

sistemdt

dM

sistemsistem Vm

sistem ddmM

2. Kekekalan Momentum Linear (hukum kedua Newton)

sistemdt

PdF

Hukum-hukum Dasar Mekanika untuk sebuah Sistem

sistemsistem Vm

sistem dVdmVP

8

3. Prinsip Momentum Angular

sistemdt

HdT

4. Kekekalan Energi (Hukum Termodinamika I)

sistemdt

dEWQ

dEWQ

sistemsistem Vm

sistem dVrdmVrH

sistemm

poross TdmgrFrT

gzV

ue 2

2

sistemsistem Vm

sistem dedmeE

9

5 Hukum Termodinamika II

QTdt

dST

QdS

sistem

1

sistemsistem Vm

sistem dsdmsS

Korespondasi sifat ekstensif dan sifat intensif sistem :

d

s

e

Vr

V

S

E

H

P

M

BsistemV

sistem

1

)()( sistemsistemm

sistem dbdmbB

Sifat ekstensif : BSifat instensif : b = B/m

10

Metode Volume Kendali (Analisis Integral)Volume kendali (Control volume) ialah daerah yang dipilih untuk dianalisis

Dua alasan menggunakan metode volume kendali:1. Sulit untuk mengidentifikasi dan mengikuti sebuah partikel atau massa fluida tertentu

yang mengalir sepanjang waktu 2. Karena yang ingin diketahui adalah efek aliran fluida terhadap sebuah benda atau

sebuah struktur, jadi bukannya aliran suatu massa tertentu fluida.

1. VK tetapuntuk menganalisis tegangan nozel

2. VK bergerakuntuk menganalisis gaya drag pada kapal

3. VK berubahmenganalisis variasi tekanan dalam silinder

Permukaan Volume Kendali

Permukaan Volume Kendali Permukaan

Volume Kendali

Tipe Volume kendali

11

Gbr. Konfigurasi Sistem dan Volume Kendali

Streamlines

SISTEM

VOLUME KENDALISISTEM & VOLUME KENDALIBERIMPIT

a). Pada saat, to b). Pada saat, to+ Δt

I

II

III

Subregion III

Subregion I

y

x

z

y

x

z

Teorema Transport Reynolds

Volume Kendali tetap relatif terhadap sistem koordinat xyz. Pada waktu to sistem dan volume kendali persis sama atau berimpit. Selama interval waktu dt , massa dalam region I masuk ke volume kendali, dan massa dalam region III meninggalkan volume kendali.

12

oo tt BB vksist

Pada waktu to :

)( )(

sist dsistm sistV

VbdmbB

Pada waktu to +t:

Sistem (massa kendali) = Region II + IIIVolume Kendali = Region I + II

ΔttIIIIvkΔt tsist ooBBBB

Tinjau suatu besaran/ sifat fluida, B

Dalam persatuan massa:m

Bb

SISTEM & VOLUME KENDALIBERIMPIT

I

II

III

VOLUME KENDALI

SISTEM

Region III

Region I

13

Laju perubahan Bsist , berdasarkan hukum kekekalan:

t

B

t

B

t

BB

dt

dB ttIII

t

ttI

t

tvkttvk

tsistem

0000)

lim)

lim)

lim000

t

BBBB

t

BB

dt

dB tvkttIIIIvk

t

tsistemttsistem

tsistem

0000)(

lim)

lim00

SISTEM

VOLUME KENDALISISTEM & VOLUME KENDALIBERIMPIT

a). Pada saat, to b). Pada saat, to+ Δt

III

III

y

xz

t

B

t

B

t

B

t

B tt

t

tt

tvksistem

oo

III

0

I

0limlim

d

d

d

d

14

t

B

t

B

t

B

t

B tt

t

tt

tvksistem

oo

III

0

I

0limlim

d

d

d

d

I

II

III

Subregion III

AddAdanVt

lt

0lim

I III

→ Subregion III :

dA

Ad

θV

ΔL

IIIIII

IIIo

PKPKt

PK

t

tt

tAdVbdA

t

Lb

t

dALb

t

B

coscoslim

coslimlim

00

III

0

ttottottoIII dALbdbdB

)cos(

Evaluasi, [ BIII ]to+Δt

Dimana:

15

AddAdanVt

lt

0lim

→ Subregion I :

II

Io

PKPKt

PK

t

tt

tAdVbdA

t

Lb

t

dALb

t

B

coscoslim

coslimlim

00

I

0

ttottottoI dALbdbdB

)cos(

I

II

III

Subregion I

dV = ΔL(-cos θ )dA , karena volume besaran skalar jadi nilai numeriknya harus positif, dimana untuk θ>π/2 → cos θ negatif.

dA

Ad θ

V

ΔL

Evaluasi, [ BI ]to+Δt

Dimana:

16

AdVbAdVbdbtt

BIIII PKPKVK

sistem

coscos

d

d

III

III

PK III

PK I

PK P

Dari gambar, Permukaan Kendali keseluruhan (PK) terdiri dari tiga permukaan :

PK = PKI + PKIII + PKP

PKI = permukaan kendali dimana ada aliran masukPKIII = permukaan kendali dimana ada aliran keluarPKP = permukaan yang tidak ada aliran melintasi, karena θ=0 atau V =0

AdVbdbtt

BPKVK

sistem

cos

d

d

Maka, pers diatas dapat ditulis:

Atau,

AdVbdbtt

BPKVK

sistem

.d

d Ini adalah bentuk umumTeorema Transport Reynolds

17

Interpretasi fisik

AdVbdbtt

BPKVK

sistem

.d

d

sistemt

B

d

d

VKdb

t

AdVbPK

.

Laju total perubahan suatu sifat ekstensif sistem

Laju perubahan terhadap waktu suatu sifat ekstensif, B, dalam volume kendali.

Laju netto fluks sifat ekstensif,B, melintasi permukaan kendali.

VK

db Jumlah total sifat ekstensif ,B, yang terkandung dalam volume kendali

AdVb

. Laju fluks sifat ekstensif,B, melintasi area dA

NB : kecepatan diukur relatif terhadap volume kendaliV

18

• Evaluasi Scalar Product

θ

Ad

V

PK

cos. dAVAdV

a) General inlet/ exit

Ad

V

PK

dAVAdV

.

b) Normal exit ( θ = 0o )

Ad

V

PK

dAVAdV

.

c) Normal inlet ( θ = 180o )

19

Catatan:•Pemakaian teorema transport tergantung pada kebutuhannya, persamaan laju perubahan volume atur dapat digunakan pada volume atur tetap atau bergerak, kaku atau terdeformasi.•Jika VA bergerak dan berdeformasi, maka harus berhati-hati dalam menginterprestasikan suku { d/dt ∫Vaρb dV } karena VA tergantung terhadap waktu, jadi batas integrasi tergantung pula terhadap waktu dan suhu.

20

• Dimana kecepatan absolut V dalam suku kedua diganti dengan kecepatan relatif Vr = V –VPK

• Vr adalah kecepatan fluida yang dinyatakan relatif terhadap sebuah sistem koordinat yang bergerak dengan Volume kendali.

AdVbdbtt

BPK rVK

sistem

.d

d

VK bergerak VK berubah

Untuk VK bergerak dan/ atau berubah

21

Kasus Khusus

Untuk Aliran steadi → turunan terhadap waktu nol :0

AdVbAdVbdbtt

BPK rPK rVK

sistem

..d

d

Untuk aliran seragam dan sifat fluida konstan saat melintasi permukaan kendali :

AVbAVbVbt

d

t

Bavgravgavgravg

VKsistem

in,avr

out,avrd

dd

d