+ All Categories
Home > Documents > PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf ·...

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf ·...

Date post: 01-Aug-2019
Category:
Upload: phungxuyen
View: 292 times
Download: 11 times
Share this document with a friend
62
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Partial Differential Equations – PDE http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Transcript
Page 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Partial Differential Equations – PDE

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Page 2: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 2

q  Acuan q  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n  Chapter 23 dan 24, hlm. 707-749.

Page 3: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 3

q  Suatu fungsi u yang bergantung pada x dan y: u(x,y) q  Diferensial u terhadap x di sembarang titik (x,y)

q  Diferensial u terhadap y di sembarang titik (x,y)

( ) ( )x

yxuyxxuxu

x Δ−Δ+

=∂∂

→Δ

,,lim0

( ) ( )y

yxuyyxuyu

y Δ−Δ+

=∂∂

→Δ

,,lim0

Page 4: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 4

Contoh arti fisik:

u elevasi tanah pada peta situasi.

u ditunjukkan oleh garis-garis (kontour) elevasi tanah.

X

Y

buat potongan memanjang di sepanjang garis ini à apa yang akan Sdr lihat?

u(x,y)

Page 5: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 5

12 2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

uyu

xyxu

yuyu

xyxu

582

2

2

3

=+∂∂

+∂∂

xyxu

xu

=∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

2

33

2

2

6

xyu

xuxu

=∂∂

+∂∂2

2

q  Tingkat (order) PDE adalah tingkat tertinggi suku derivatif

q  PDE merupakan fungsi linear apabila

q  fungsi tsb linear pada u dan derivatif u, dan

q  koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

(1)

(2)

(3)

(4)

PDE Order Linear (1) 2 ya (2) 3 ya (3) 3 tidak (4) 2 tidak

Page 6: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 6

02

22

2

2

=−∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

Dyu

Cyxu

Bxu

Aq  PDE yang dibahas pada mk Matek di sini

hanya PDE linear bertingkat dua

q  PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan menjadi:

q  eliptik

q  parabolik

q  hiperbolik

B2  −  4AC kategori

< 0 eliptik

= 0 parabolik

> 0 hiperbolik

A, B, C : fungsi x dan y

D : fungsi x, y, u, ∂u/∂x,  dan  ∂u/∂y

Page 7: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 7

B2 − 4AC Kategori Nama Persamaan

< 0 Eliptik Persamaan Laplace (permanen, 2D spasial)

= 0 Parabolik Persamaan konduksi panas (tak-permanen, 1D spasial)

> 0 Hiperbolik Persamaan gelombang (tak-permanen, 1D spasial)

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT

tT

xT

k∂∂

=∂∂2

2

2

2

22

2 1ty

cxy

∂∂

=∂∂

Page 8: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

PDE Eliptik (Persamaan Laplace) Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 8

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Page 9: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 9

∆z

X

Y

q  Sebuah plat logam persegi tipis

q  kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas

q  sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu

q  transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y

q  Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steady-state condition)

Page 10: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 10

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y q  Pada steady-state condition, aliran kedalam sebuah elemen (lihat gambar di samping) selama periode ∆t haruslah sama dengan aliran yang keluar dari elemen tsb:

( ) ( )( ) ( ) tzxyyqtzyxxq

tzxyqtzyxq

ΔΔΔΔ++ΔΔΔΔ+

=ΔΔΔ+ΔΔΔ

q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm2/s.

q(x)

Page 11: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 11

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y q  Jika semua suku pada persamaan tsb dibagi dengan ∆z ∆t, maka:

( ) ( ) ( ) ( ) xyyqyxxqxyqyxq ΔΔ++ΔΔ+=Δ+Δ

q  Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/∆x atau ∆y/∆y menghasilkan:

( ) ( ) ( ) ( )0=ΔΔ

ΔΔ+−

+ΔΔΔ

Δ+−xy

yyyqyq

yxx

xxqxq

q(x)

Page 12: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 12

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y q  Pembagian dengan ∆x ∆y menghasilkan:

q  Mengambil nilai limit persamaan tsb dan memperhatikan definisi diferensial parsial, maka diperoleh:

0=∂∂

−∂∂

−yq

xq

( ) ( ) ( ) ( )0=

ΔΔ+−

Δ+−y

yyqyqx

xxqxq

(persamaan konservasi energi)

q(x)

Page 13: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 13

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y

q  Penyelesaian PDE tsb membutuhkan syarat batas fluks panas q; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur T.

q  Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas.

0=∂∂

−∂∂

−yq

xq

(Fourier’s law of heat conduction)

iT

k

iT

Ckqi

∂∂ʹ′−=

∂∂

ρ−=

q(x)

Page 14: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 14

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y iT

kiT

Ckqi ∂∂ʹ′−=

∂∂

ρ−=

q(x)

qi : fluks panas arah i (kal/cm2/s) k : koefisien difusi thermal (cm2/s) ρ : rapat massa medium (g/cm3) C : kapasitas panas medium (kal/g/°C) T : temperatur (°C) k´ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)

q  Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan gradien/slope temperatur pada arah i.

Page 15: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 15

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT

q(x)

q  Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan konservasi energi dapat dituliskan sbb.

( )yxfyT

xT

,2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

q  Jika ada source atau sink:

(Persamaan Laplace)

(Persamaan Poisson)

Page 16: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Laplace 16

∆x

∆y q(x)+q(x+∆x)

q(y)+q(y+∆y)

q(y)

X

Y

iH

Kqi ∂∂

−=

q(x) qi : debit aliran arah i (m3/m/s) K : konduktivitas hidraulik (m2/s) H : tinggi energi hidraulik (m) i : panjang lintasan, panjang aliran (m)

q  Persamaan tsb sama dengan persamaan aliran melalui medium porus (Hukum Darcy).

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yH

xH

Page 17: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 17

q  Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidang enjiniring, hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus yang sederhana.

q  Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.

q  Teknik penyelesaian PDE secara numeris q  Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA)

q  Metode elemen hingga (finite element method, FEM)

q  Metode volume hingga (finite volume method, FVM)

Page 18: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Finite Difference Approach – FDA 18

∆x

∆y

X

Y q  Langkah pertama dalam FDA

q  Domain fisik plat persegi dibagi menjadi sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit.

q  PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda hingga di setiap titik hitung (i,j).

q  Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

21,,1,

2

2

2,1,,1

2

2

2

2

y

TTT

yT

x

TTT

xT

jijiji

jijiji

Δ

+−≈

∂∂

Δ

+−≈

∂∂

−+

−+ §  diferensi tengah (central difference)

§  error = O[(∆x)2] & §  error = O[(∆y)2]

Page 19: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Finite Difference Approach – FDA 19

∆x

∆y

X

Y q  Persamaan Laplace dalam bentuk beda hingga:

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4 0222

1,,1,2

,1,,1 =Δ

+−+

Δ

+− −+−+

y

TTT

x

TTT jijijijijiji

q  Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:

04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ jijijijiji TTTTT

Page 20: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Finite Difference Approach – FDA 20

0754

04

1,22,11,1

1,10,12,11,01,2

−−=++−

=−+++

TTT

TTTTT

q  Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol bulat putih), berlaku syarat batas (boundary conditions) à temperatur diketahui/ditetapkan.

q  BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet boundary condition.

q  Di titik (1,1): 50

°C

75°C

0°C

100°C

q  Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan persamaan beda hingga diskrit semacam di atas. X

Y

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

Page 21: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Finite Difference Approach – FDA 21

q  Dari 9 titik interior diperoleh sistem persamaan aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan 9 unknowns.

50°C

75°C

0°C

100°C

X

Y

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

Page 22: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 22

1504

1004

1754

504

04

754

504

04

754

)9

)8

)7

)6

)5

)4

)3

)2

)1

3,33,22,3

3,33,23,12,2

3,23,12,1

3,32,32,21,3

3,22,32,22,11,2

3,12,22,11,1

2,31,31,2

2,21,31,21,1

2,11,21,1

−=−+

−=+−+

−=+−

−=+−+

=++−+

−=++−

−=+−

=++−

−=++−

TTT

TTTT

TTT

TTTT

TTTTT

TTTT

TTT

TTTT

TTT

q  9 persamaan dengan 9 unknowns:

Page 23: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 23

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

150

100

175

50

0

75

50

0

75

410100000

141010000

014001000

100410100

010141010

001014001

000100410

000010141

000001014

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

q  9 persamaan dengan 9 unknowns dalam bentuk matriks

Page 24: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 24

q  Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerapan persamaan beda hingga di semua titik interior q  diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum

UTS q  untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai

cara tabulasi spreadsheet q  untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan

civil engineering, perlu bantuan program komputer n  MatLab (program aplikasi berbayar) n  SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) n  Numerical Recipes n  Etc. (dapat dicari di internet)

Page 25: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 25

q  Metode iteratif: Gauss-Seidel iteration method

q  Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat konvergensi

q  Kriteria konvergensi

41.1..1.1

.−+−+ +++

= jijijijiji

TTTTT

( ) ( ) 211 ,1

,1

.<λ<λ−+λ= ++ n

jinji

n TTTji

hitungan dilakukan dengan bantuan tabulasi spreadsheet

( )

( ) %1maxmax 1,

,1

,, <

−=ε +

+

nji

nji

nji

ji T

TT

41..1.11.

.++−− +++

= jijijijiji

TTTTTatau

Page 26: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 26

iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3 T3,3 ∆Tmax

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---

1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690 96.9955 100.0%

2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620 67.3517 69.7%

3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084 71.2700 40.9%

4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756 67.8114 45.2%

5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462 69.3432 53.9%

6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389 69.9171 15.9%

7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051 69.8722 11.9%

8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765 69.3148 2.8%

9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054 69.6173 1.4%

10 42.5003 32.9976 33.7753 62.2418 55.8746 52.3950 78.2943 75.9671 69.5771 0.7%

Page 27: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 27

Y

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

50°C

75°C

0°C

100°C

42.50 32.99 33.77

62.24 55.87 52.39

78.29 75.96 69.57 0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4

T°C T°C

i

T°C

j = 1

j = 2

j = 3

X

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4

T°C T°C

j

T°C

i = 3

i = 1

i = 2

Page 28: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

PDE Parabolik Penyelesaian PDE Parabolik

FDA Skema Eksplisit FDA Skema Implisit FDA Skema Crank-Nicolson

Persamaan Diferensial Parsial – PDE 28

Page 29: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PDE Parabolik 29

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Heat balance di dalam batang A

( ) ( ) TCxAtAxxqtAxq ΔρΔ=ΔΔ+−Δ

input output storage

( ) ( )tT

Cx

xxqxqΔΔ

ρ=Δ

Δ+−

q  limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0

tT

Cxq

∂∂

ρ=∂∂

q  persamaan tsb dibagi vol = ∆xA∆t

Page 30: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PDE Parabolik 30

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Hukum Fourier untuk konduksi panas A

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

xT

Ckq∂∂

ρ−=

q  Persamaan heat balance menjadi

Persamaan konduksi panas

q  Persamaan di atas merupakan persamaan difusi q  transpor polutan q  transpor sedimen suspensi

Page 31: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 31

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

q  Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang q  terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama

q  terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua

q  Langkah hitungan pada FDA q  T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t

q  T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya

q  saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T yang mana yang dipakai? §  jika T pada waktu t à dinamai skema eksplisit §  jika T pada waktu t+∆t à dinamai skema implisit

Page 32: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 32

ixT

ktT

titik di2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

∂∂

=∂∂

i

ni

ni

xT

ktTT

⎥⎦

⎤⎢⎣

∂∂

=Δ−+

2

21

21

11

2

x

TTTk

tTT nn

ini

ni

ni i

Δ

+−=

Δ−

−++

2

1111

11

2

x

TTTk

tTT nn

ini

ni

ni i

Δ

+−=

Δ−

++++

+−

k konstan di sepanjang batang dan di sepanjang waktu

Skema Eksplisit

Skema Implisit

∆x seragam di sepanjang batang

Page 33: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 33

t

X

n

n+1

i+1 i−1 i

( )nni

ni

ni

ni i

TTTxt

kTT1

2121

++−⎟

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

+= −+

t

X

n

n+1

i+1 i−1 i

ni

ni

ni

n TTxt

kTxt

kTxt

ki

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

− ++

++

112

12

12 21

1

Skema Eksplisit Skema Implisit

Page 34: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 34

t

X

n

n+1

8 2 ( )nn

ini

ni

ni i

TTTxt

kTT1

2121

++−⎟

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

+= −+

Skema Eksplisit

10 6 0 4 x (cm)

q  Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q  time step, ∆t = 0.1 s q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

100°C T

= 5

0°C

4 1 5 3 0 2 i

Page 35: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 35

iterasi waktu (s) temperatur (°C) di titik hitung

n t T0 T1 T2 T3 T4 T5

0 0 100 0 0 0 0 50

1 0.1 100 2.0875 0 0 1.0438 50

2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.0439 50

3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.0028 50

4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.9225 50

5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.8052 50

( ) 4,3,2,12112

1 =+−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

+=−+

+ iTTTxt

kTT nni

ni

ni

ni i

Hitungan diteruskan sampai t = 12 s

Page 36: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 36

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

Temperatur (°C)

Jarak (cm)

t = 3 s

t = 12 s t = 9 s t = 6 s

Page 37: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 37

q  Konvergensi dan stabilitas hitungan q  Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian

FDA mendekati penyelesaian eksak. q  Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak

mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan.

q  Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:

21

2 ≤ΔΔxt

k

kx

t2

21 Δ

≤Δ

≤ ½ dapat terjadi oskilasi kesalahan hitungan

≤ ¼ tidak terjadi oskilasi kesalahan hitungan

= 1/6 meminimumkan truncation error

2xt

kΔΔ

Page 38: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 38

q  Konvergensi dan stabilitas hitungan q  untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun

q  konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan kestabilan hitungan

q  jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan

q  skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar

21

2 ≤ΔΔxt

k

Page 39: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit 39

t

X

n

n+1

8 2

Skema Eksplisit

10 6 0 4 x (cm)

q  Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q  time step, ∆t = 0.1 s q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

100°C T

= 5

0°C

Hitung dengan skema eksplisit: 21

2 >ΔΔxt

k

PR dikumpulkan minggu depan!

Page 40: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 40

t

X

n

n+1

8 2

Skema Implisit

10 6 0 4 x (cm)

q  Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q  time step, ∆t = 0.1 s q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

100°C T

= 5

0°C

ni

ni

ni

n TTxt

kTxt

kTxt

ki

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

− ++

++

112

12

12 21

14 1 5 3 0 2 i

Page 41: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 41

ni

ni

ni

n TTxt

kTxt

kTxt

ki

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

− ++

++

112

12

12 21

1

q  Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:

504

14

13

03

14

13

12

02

13

12

11

00

112

11

020875.004175.1020875.0:4 node

020875.004175.1020875.0:3 node

020875.004175.1020875.0:2 node

020875.0020875.004175.1:1 node

TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

+=+−

=−+−

=−+−

+=−

020875.02 =ΔΔxt

k 05175.121 2 =ΔΔ

+xt

k

Page 42: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 42

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

04375.1

0

0

0875.2

04175.1020875.000

020875.004175.1020875.00

0020875.004175.1020875.0

00020875.004175.1

14

13

12

11

T

T

T

T

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer.

q  Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.

Page 43: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 43

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

04375.1

0

0

0875.2

04175.1020875.000

020875.004175.1020875.00

0020875.004175.1020875.0

00020875.004175.1

14

13

12

11

T

T

T

T

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1 {RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel

Page 44: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 44

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

0023.1

0209.0

0406.0

0047.2

04375.1

0

0

0875.2

960309.00192508.00003859.00

0192508.0960309.00192508.00003859.0

0003859.00192508.0960309.00192508.0

00003859.00192508.0960309.0

14

13

12

11

T

T

T

T

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1 {T} {RHS}

Page 45: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 45

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

+

+

=

0461.2

0209.0

0406.0

1750.4

020875.0

020875.0

RHS

514

13

12

011

TT

T

T

TT

q  Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s:

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

9653.1

0619.0

1206.0

0101.4

0461.2

0209.0

0406.0

1750.4

960309.00192508.00003859.00

0192508.0960309.00192508.00003859.0

0003859.00192508.0960309.00192508.0

00003859.00192508.0960309.0

24

23

22

21

T

T

T

T

Page 46: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 46

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema implisit tampak lebih cepat daripada hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

Tem

pera

tur

(°C

)

Jarak (cm)

t = 3 s

implisit

eksplisit

Page 47: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

q  Persamaan dan teknik penyelesaiannya straight-forward, penyelesaian dilakukan node per node

q  Rentan terhadap konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Time step terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Persamaan dan teknik penyelesaian lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node

q  Konvergensi dan stabilitas hitungan lebih mudah dijaga

q  Time step tidak terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan

47

Skema eksplisit Skema implisit

Page 48: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit 48

t

X

Skema Eksplisit

1)  Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini yang berpengaruh dalam hitungan.

2)  Saat menghitung T di i, titik-titik hitung (nodes) di kedua zona ini tidak diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i.

i

Page 49: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit 49

2

2

xT

ktT

∂=

2

1111

11

2

x

TTTk

tTT nn

ini

ni

ni i

Δ

+−=

Δ−

++++

+−

Skema Implisit

1st order accurate 2nd order accurate

1)  Skema implisit menjamin konvergensi dan stabilitas hitungan, namun aproximasi suku derivatif waktu dan suku derivatif ruang memiliki akurasi berbeda.

2)  Skema implisit yang memiliki akurasi yang sama pada aproximasi suku derivatif waktu dan ruang adalah Metode Crank-Nicolson.

Page 50: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Metode Crank-Nicolson 50

t

X

n

n+1

i+1 i−1 i

Skema Crank-Nicolson

n+½

q  Aproksimasi suku derivatif waktu ditempatkan pada waktu n+½

tTT

tT l

ili

Δ

−≈

∂ +1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Δ

+−+

Δ

+−≈

∂ +−

+++−+

2

11

111

211

2

2 2221

xTTT

xTTT

xT n

ini

ni

ni

ni

ni

q  Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n+½ dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada waktu n dan n+1

2

2

xT

ktT

∂=

Page 51: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Metode Crank-Nicolson 51

t

X

n

n+1

i+1 i−1 i

Skema Crank-Nicolson

n+½

q  Bentuk beda hingga persamaan parabola dengan demikian dapat dituliskan sbb.

ni

ni

ni

ni

ni

ni

Txt

kTxt

kTxt

k

Txt

kTxt

kTxt

k

12212

112

12

112

12

12

+−

++

++−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ++⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−

2

2

xT

ktT

∂=

Page 52: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Crank-Nicolson 52

t

X

n

n+1

8 2 10 6 0 4 x (cm)

q  Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q  time step, ∆t = 0.1 s q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

100°C T

= 5

0°C

4 1 5 3 0 2 i

Skema Crank-Nicolson

Page 53: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Crank-Nicolson 53

q  Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:

0875.204175.2020875.0:4 node

0020875.004175.2020875.0:3 node

0020875.004175.2020875.0:2 node

1750.4020875.004175.2:1 node

14

13

14

13

12

13

12

11

12

11

=+−

=−+−

=−+−

=−

TT

TTT

TTT

TT

020875.02 =ΔΔxt

k 05175.121 2 =ΔΔ

+xt

k

ni

ni

ni

ni

ni

ni T

xt

kTxt

kTxt

kTxt

kTxt

kTxt

k 12212112

12

112 1212 +−

++

++− ⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ=⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−+⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ++⎟

⎞⎜⎝

⎛Δ

Δ−

Page 54: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 54

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

0875.2

0

0

1750.4

04175.2020875.000

020875.004175.2020875.00

0020875.004175.2020875.0

00020875.004175.2

14

13

12

11

T

T

T

T

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer.

q  Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.

Page 55: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 55

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1 {RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

0875.2

0

0

1750.4

04175.2020875.000

020875.004175.2020875.00

0020875.004175.2020875.0

00020875.004175.2

14

13

12

11

T

T

T

T

Page 56: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Implisit 56

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

0225.1

0107.0

0210.0

0450.2

0875.2

0

0

0450.4

4898271.00050086.00000512.00

0050086.04898271.00050086.00000512.0

0000512.00050086.04898271.00050086.0

00000512.00050086.04898271.0

14

13

12

11

T

T

T

T

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1 {T} {RHS}

Page 57: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Crank-Nicolson 57

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

0901.4

0427.0

0841.0

1797.8

RHS

q  Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s:

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

0036.2

0422.0

0826.0

0071.4

0901.4

0427.0

0841.0

1797.8

4898271.00050086.00000512.00

0050086.04898271.00050086.00000512.0

0000512.00050086.04898271.00050086.0

00000512.00050086.04898271.0

24

23

22

21

T

T

T

T

Page 58: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Crank-Nicolson 58

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema Crank-Nicolson tampak mirip dengan hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

Tem

pera

tur

(°C

)

Jarak (cm)

t = 3 s

implisit

Crank-Nicolson

eksplisit

Page 59: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Skema Crank-Nicolson 59

2

2

xT

ktT

∂=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Δ+−

φ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Δ+−

φ=Δ− −+

+−

+++

+

211

2

11

111

1 21

2xTTT

kx

TTTk

tTT n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

ni

q  Skema FDA

q  φ = 0 : skema eksplisit q  φ = 1 : skema implisit q  φ = ½ : skema Crank-Nicolson

FDA

Page 60: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA Persamaan Parabolik 60

q  Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial parabolik

( )

( )

( ) ni

ni

ni

ni

ni

ni

Txt

k

Txt

k

Txt

kTxt

kTxt

kTxt

k

12

2

12112

12

112

1

121

121

+

−++

++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

φ−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

φ−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

φ−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

φ−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

φ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΔΔ

φ−

q  Skema FDA

q  φ = 0 : skema eksplisit q  φ = 1 : skema implisit q  φ = ½ : skema Crank-Nicolson

Page 61: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FDA: Persamaan Parabolik 61

t

X

n

n+1

8 2 10 6 0 4 x (cm)

q  Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 1 cm (!!) q  time step, ∆t = 0.1 s q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

100°C T

= 5

0°C

8 2 10 6 0 4 i

q  Hitung sampai steady-state condition q  Skema eksplisit q  Skema implisit q  Skema Crank-Nicolson

PR/ Tugas

1

2

2

xT

ktT

∂∂

=∂∂

5 7 9 3

∆x = 1 cm

Page 62: PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL - istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Diferensial Parsial.pdf · koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 62


Recommended