MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf

8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf

1/62

PERSAMAAN DIFERENSIAPARSIAL

Partial Differential EquationsPD


2/62

Persamaan Diferensial ParsialPDE2

Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Eng

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

Chapter 23 dan 24, hlm. 707-749.


3/62


Suatu fungsi uyang bergantung padaxdan y: u(x,y Diferensial uterhadapxdi sembarang titik (x,y)

Diferensial uterhadap ydi sembarang titik (x,y)

x

yxuyxxu

x

u

x

,,lim0

y

yxuyyxu

y

u

y

,,lim0


4/62


Contoh artifisik:

uelevasi tanahpada petasituasi.

uditunjukkanoleh garis-garis (kontour)elevasi tanah.

Y

buat potongan memanjanggaris ini apa yang akan

u(x,y)


5/62


122

2

2

2

u

yuxy

xu

yuy

ux

yx

u58

2

2

2

3

xyx

u

x

u

2

33

2

2

6

xy

uxu

x

u

2

2

Orde PDE adalah orde tertinggi suk

PDE merupakan fungsi linear apabi

fungsi tsb linear pada udan der

koefisien persamaan tsb hanya bpada variabel bebas (xatau y)

(1)

(2)

(3)

(4)

PDE Order

(1) 2

(2) 3

(3) 3

(4) 2


6/62


02

22

2

2

D

yuC

yxuB

xuA

PDE yang dibahas pada mk Mhanya PDE linear berorde du

PDE linear berorde dua dan variabel bebas (x,y) dapat dmenjadi:

eliptik

parabolik

hiperbolik

B2 4AC kategori< 0 eliptik

= 0 parabolik

> 0 hiperbolik

A, B, C : fungsixdan y

D : fungsix, y, u, u/x, danu/y


7/62


B24AC Kategori Nama Persama

< 0 Eliptik Persamaan Laplace(permanen, 2D spasial)

= 0 Parabolik Persamaan konduksi panas

(tak-permanen, 1D spasial)

> 0 Hiperbolik Persamaan gelombang(tak-permanen, 1D spasial)

2

2

x

T

x

Tk 2

2

2

2

x

y


8/62

PDE Eliptik (Persamaan Laplace)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

Persamaan Diferensial Parsia8


9/62

Persamaan Laplace9

z

X

Y

Sebuah plat loga kedua permuk

dengan isolat

sisi-sisi plat didengan tempe

transfer panadimungkinkan dan y

Ditinjau pada sapermanen telah state condition)


10/62

Persamaan Laplace10

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

Pada steady-state condition, alirasebuah elemen (lihat gambar di selama periode tharuslah samyang keluar dari elemen tsb:

xyyqtzyxxq

tzxyqtzyxq

q(x) dan q(y) berturut-turut adaarahxdan arah y, dalam satua

q(x)


11/62

Persamaan Laplace11

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

Jika semua suku pada persamaadengan zt, maka:

yxxqxyqyxq

Pengelompokan suku dan perkalx/xatau y/ymenghasilka

qyq

yxx

xxqxq

q(x)


12/62

Persamaan Laplace12

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

Pembagian dengan xymeng

Mengambil nilai limit persamaanmemperhatikan definisi diferensi

diperoleh:

0

y

q

x

q

y

yqyq

x

xxqxq

(persamaan kons

q(x)


13/62

Persamaan Laplace13

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

Penyelesaian PDE tsb membutuhkfluks panas q; padahal syarat bdiketahui adalah temperatur T.

Oleh karena itu, PDE di atas diudalam Tdengan menerapkan Huuntuk konduksi panas.

0

yq

x

q

(Fouriers law of

i

Tk

i

TCkq

i

q(x)


14/62

Persamaan Laplace14

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

YiTk

iTCkqi

q(x)

qi : fluks panas arah i (kal/cmk : koefisien difusi thermal (cm : rapat massa medium (g/cm

C : kapasitas panas medium (T : temperatur (C)k : konduktivitas thermal (kal/

Persamaan di atas menunjukkan panas tegak lurus sumbu isebangradien/slopetemperatur pada


15/62

Persamaan Laplace15

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

02

2

2

2

y

T

x

T

q(x)

Dengan memakai Ficks Law, makonservasi energi dapat dituliska

yxfy

T

x

T,

2

2

2

2

Jika ada sourceatau sink:

(Persamaa

(Persamaa


16/62

Persamaan Laplace16

x

yq(x)+q(x+x)

q(y)+q(y+y)

q(y)

X

Y

i

HKq

i

q(x)

qi : debit aliran arah i (m3/m/

K : konduktivitas hidraulik (m2H : tinggi hidraulik (m)i : panjang lintasan, panjang

Persamaan tsb sama dengan pemelalui medium porus (Hukum Da

02

2

2

2

y

H

x

H


17/62

Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl17

Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidanhampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk ka

yang sederhana.

Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.

Teknik penyelesaian PDE secara numeris

Metoda beda hingga (finite difference approximation, FDA)

Metoda elemen hingga (finite element method, FEM)

Metoda volume hingga (finite volume method, FVM)


18/62

Finite Difference ApproachFDA18

x

y

X

Y Langkah pertama dalam FDA

Domain fisik plat persegi dibagsejumlah pias atau grid titik-titi

PDE Laplace diubah menjadi pehingga di setiap titik hitung (i,j).

Di titik hitung interior (simbol bu

0 1 2 3 40

1

2

3

4

2

1,,1,

2

2

2

,1,,1

2

2

2

2

y

TTT

y

T

x

TTT

x

T

jijiji

jijiji

dif(ce

err err


19/62


x

y

X

Y Persamaan Laplace dalam bentuk be

0 1 2 3 40

1

2

3

4222

1,,1,

2

,1,,1

y

TTT

x

TTT jijijijijiji

Jika ukuran grid seragam, x= y,

04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT


20/62


0754

04

1,22,11,1

1,10,12,11,01,2

TTT

TTTTT

Di titik-titik yang berada di batas dobulat putih), berlaku syarat batas (bconditions) temperatur diketahui/

BC semacam itu dikenal dengan namboundary condition.

Di titik (1,1):50

C

75

C

0C

100C

Di 8 titik interior yang lain pun dapapersamaan beda hingga diskrit sem

X

Y

0 1 2 3 40

1

2

3

4


21/62


Dari 9 titik interior diperoleh sistem paljabar linear yang terdiri dari 9 pe9 unknowns.

50

C

75

C

0C

100C

X

Y

0 1 2 3 40

1

2

3

4


22/62


4

4

4

44

4

4

4

4

)9

)8

)7

)6)5

)4

)3

)2

)1

33,22,3

33,23,12,2

3,23,12,1

32,32,21,3

3,22,32,22,11,2

3,12,22,11,1

2,31,31,2

2,21,31,21,1

2,11,21,1

TTT

TTTT

TTT

TTTTTTTTT

TTTT

TTT

TTTT

TTT

9 persamaan dengan 9 unknowns:


23/62


150

100

175

50

0

75

50

0

75

410100000

141010000

014001000

100410100

010141010

001014001

000100410

000010141

000001014

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

9 persamaan dengan 9 unknowns dalam bentuk matriks


24/62


Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerappersamaan beda hingga di semua titik interior diselesaikan dengan salah satu metoda yang telah dibahas pa

sebelum UTS

untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengmemakai cara tabulasi spreadsheet

untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dpermasalahan civil engineering, perlu bantuan program kompu MatLab

Numerical Recipes

Etc. (dapat dicari di internet)


25/62


Metoda iteratif: Gauss-Seidel iteration method

Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercekonvergensi

Kriteria konvergensi

4

1.1..1.1

.

jijijijiji

TTTTT

211 ,1,1. n

jinji

n TTTji

hitungan dilakukandengan bantuantabulasi spreadsheet

%1maxmax 1,

,

1

,

,

n

ji

n

ji

n

ji

jiT

TT

4

1..1.11.

.

jijijijiji

TTTTTatau


26/62


iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690

2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620

3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084

4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756

5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462

6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389

7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051

8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765

9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054

10 42.5003 32.9976 33.7753 62.2418 55.8746 52.3950 78.2943 75.9671


27/62


Y

0 1 2 3 40

1

2

3

4

50

C

75

C

0C

100C

42.50 32.99 33.77

62.24 55.87 52.39

78.29 75.96 69.57

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4

TCTC

i

TC

j = 1

j = 2

j = 3

X

0

20

40

60

80

100

0 1

TCTCTC

i


28/62

PDE Parabolik

Penyelesaian PDE Parabolik

FDA Skema Eksplisit

FDA Skema ImplisitFDA Skema Crank-Nicolson

Persamaan Diferensial Parsia28


29/62

PDE Parabolik29

panasdingin

Batang logam pipih-panjangdibungkus isolator panas, kecualidi kedua ujung batang yangdiberi panas dengan temperaturberbeda, panas dan dingin.

X

Heat balance di dalam batangA

xtAxxqtAxq

input output st

t

TCx

xxqxq

limit persamaan tsb untuk

t

TC

x

q

persamaan tsb dibagi vol


30/62

PDE Parabolik30

panasdingin

Batang logam pipih-panjangdibungkus isolator panas, kecualidi kedua ujung batang yangdiberi panas dengan temperaturberbeda, panas dan dingin.

X

Hukum Fourier untuk konduksi A

2

2

x

T

kt

T

x

TCkq

Persamaan heat balancemenja

Persamaan kon

Persamaan di atas merupakandifusi transpor polutan transpor sedimen suspensi


31/62

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Imp31

2

2

x

Tk

t

T

Temperatur batang merupakan fungsi waktu da terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama

terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua

Langkah hitungan pada FDA

Tpada waktu t+tdihitung berdasarkan Tpada

Tpada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat acondition) atau dari hasil hitungan langkah sebelum

saat menghitung Tdi suatu titik pada suku derivatyang mana yang dipakai? jika Tpada waktu t dinamai skema e

jika Tpada waktu t+t

dinamai skema im


32/62


ix

Tk

t

T

titikdi

2

2

i

n

i

n

i

x

Tk

t

TT

2

21

2

11

12

x

TTTk

t

TT nn

i

n

in

i

n

i i

2

111

11

12

x

TTTk

t

TT nn

i

n

in

i

n

i i

kkonstan di sepanjang batangdan di sepanjang waktu

Sk

S

xseragam di sepanjang batang


33/62


t

X

n

n+1

i+1i1 i

nni

n

i

n

i

n

i iTTT

x

tkTT

1212

1

t

n

n+1

i+i1 i

n

i

nT

x

tkT

x

tk

i

1

2

1

2 21

1

Skema Eksplisit Skema Implisit


34/62

FDA: Skema Eksplisit34

t

X

n

n+1

82

ni

n

i

n

i

n

i TTx

tkTT 212

1

Skema Eksplisit

1060 4 x(cm)

Konduksi panas di sebuah bapipih panjang

panjang batang, L= 10 cm, time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100

T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C

2

2

x

Tk

t

T

100CT

=50

C

41 530 2 i


35/62


iterasi waktu (s) temperatur (C) di titik hitung

n t T0 T1 T2 T3 T4

0 0 100 0 0 0

1 0.1 100 2.0875 0 0 1.04

2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.04

3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.00

4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.92

5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.80

4,3,2,12

112

1

iTTT

x

tkTT

nn

i

n

i

n

i

n

i i

Hitungan diteruskan sampai t= 12 s


36/62


0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8

Temperatur(C)

Jarak (cm)

t= 3 s

t= 12 st= 9 st= 6 s


37/62


Konvergensi dan stabilitas hitungan

Konvergensi berarti bahwa jika xdan tmendekati nol, maka pFDA mendekati penyelesaian eksak.

Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitunmengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalanny

Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:

2

12

x

tk

k

xt

2

2

1

dapat terjadi oskilashitungan

tidak terjadi oskilasi hitungan

= 1/6 meminimumkan trunc

2x

tk


38/62


Konvergensi dan stabilitas hitungan

untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan xkecil, na

konsekuensi xkecil adalah tpun harus kecil untuk menjamin konkestabilan hitungan

jika x dikalikan faktor , maka tperlu dikalikan faktor untmempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan

skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertam

2

12

x

tk


39/62


t

X

n

n+1

82

Skema Eksplisit

1060 4

x(cm)




2

2

x

Tk

t

T

100CT

=5

0C

Hitung dengan skema eksplisit

PR dikumpulkan ming


40/62

FDA: Skema Implisit40

t

X

n

n+1

82

Skema Implisit

1060 4 x(cm)




2

2

x

Tk

t

T

100CT

=5

0C

n

i

nT

x

tkT

x

tk

i

1

2

1

2 21

141 530 2 i


41/62


n

i

n

i

n

i

n

TTx

t

kTx

t

kTx

t

k i

1

12

1

2

1

2 211

Hitungan pada saat n+1=1 atau t+t= 0.1 s:

1

4

1

3

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

1

2

1

1

04175.1020875.0:4node

020875.004175.1020875.0:3node

020875.004175.1020875.0:2node

020875.004175.1:1node

TT

TTT

TTT

TT

020875.02

x

tk 05175.121

2

x

tk


42/62


04375.1

0

0

0875.2

04175.1020875.000

020875.004175.1020875.00

0020875.004175.1020875.0

00020875.004175.1

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan baprogram komputer.

Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonaalgorithm(TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.


43/62


04375.1

0

0

0875.2

04175.1020875.000

020875.004175.1020875.00

0020875.004175.1020875.0

00020875.004175.1

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan den

spreadsheetMSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]1 {RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE() dan =MMULT() dalam MSExcel


44/62


04375.1

0

0

0875.2

960309.00192508.00003859.00

0192508.0960309.00192508.00003859.0

0003859.00192508.0960309.00192508.0

00003859.00192508.0960309.0

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel ad

[A]1{T} {RHS}


45/62


0461.2

0209.0

0406.0

1750.4

020875.0

020875.0

RHS

514

1

3

1

2

0

1

1

TT

T

T

TT


Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah Matriks di sebelah kanan tanda = berubah dan merupakan fungsi

0461.2

0209.0

0406.0

1750.4

960309.00192508.00003859.00

0192508.0960309.00192508.00003859.0

0003859.00192508.0960309.00192508.0

00003859.00192508.0960309.0

2

4

2

3

2

2

2

1

T

T

T

T


46/62


Konduksi atauperambatanpanas hasilhitungandengan skemaimplisit tampaklebih cepat

daripada hasilhitungandengan skemaeksplisit (padat = 3 s).

020

40

60

80

100

120

0 2 4 6

Temperatur(C)

Jarak (cm)

implisit

eksplisit


47/62

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

Persamaan dan teknikpenyelesaiannya straight-forward,penyelesaian dilakukan nodepernode

Rentan terhadap konvergensi danstabilitas hitungan

Time stepterkendala olehkonvergensi dan stabilitas hitungan

Persamaan dan teknik lebih rumit, penyelesa

secara simultan untuk se

Konvergensi dan stabililebih mudah dijaga

Time steptidak terkendkonvergensi dan stabili

47

Skema eksplisit Skema implisit


48/62

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit48

t

X

Skema Eksplisit

1) Saat menghitung Tdi i, han

hitung (nodes)di dalam segyang berpengaruh dalam h

2) Saat menghitung Tdi i, titik(nodes) di kedua zona ini tidiperhitungkan, padahal sejustru node-node di sini berthd Tdi titik i.

i


49/62

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit49

2

2

x

Tk

t

T

2

1111

11

2

x

TTTk

t

TT nnininini i

Skema Implisit

1st order accurate 2nd order accurate

1) Skema implisit menjamin konvestabilitas hitungan, namun aprderivatif waktu dan suku derivmemiliki akurasi berbeda.

2) Skema implisit yang memiliki a

sama pada aproximasi suku dwaktu dan ruang adalah metoNicolson.


50/62

FDA: Metoda Crank-Nicolson50

t

X

n

n+1

i+1i1 i

Skema Crank-Nicolson

n+

Aproksimasi suku derivatif waktu pada waktu n+

t

TT

t

T l

i

l

i

1

1

1

2

11

2

222

2

1 T

x

TTT

x

T n

i

n

i

n

i

n

i

Aproksimasi suku derivatif ruang n+ dianggap sbg nilai rata-rapada waktu ndan n+1

2

2

x

Tk

t

T


51/62

FDA: Metoda Crank-Nicolson51

t

X

n

n+1

i+1i1 i


n+

Bentuk beda hingga persamaan pdemikian dapat dituliskan sbb.

n

i

n

i

n

i

x

tkT

x

tk

Tx

tkT

x

tk

212

1

2

1

12

12

12

2

2

x

Tk

t

T


52/62

FDA: Skema Crank-Nicolson52

t

X

n

n+1

82 1060 4 x(cm)

Konduksi panas di sebuah ba

pipih panjang



2

2

x

Tk

t

T

100CT

=5

0C

41 530 2 i



53/62



04175.2020875.0:4node

020875.004175.2020875.0:3node

020875.004175.2020875.0:2node

020875.004175.2:1node

1

4

1

3

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

12

11

TT

TTT

TTT

TT

020875.02

x

tk 05175.121

2

x

tk

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i T

x

tkT

x

tkT

x

tkT

x

tkT

x

tk

21

2

1

12

1

2

1

12

1212

FDA Sk I l


54/62


0875.2

0

0

1750.4

04175.2020875.000

020875.004175.2020875.00

0020875.004175.2020875.0

00020875.004175.2

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan baprogram komputer.

Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonaalgorithm(TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.

FDA Sk I li i


55/62


Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan den

spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]1 {RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE() dan =MMULT() dalam MSExcel

0875.2

0

0

1750.4

04175.2020875.000

020875.004175.2020875.00

0020875.004175.2020875.0

00020875.004175.2

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

FDA Sk I li i


56/62


0875.2

0

0

0450.4

4898271.00050086.00000512.00

0050086.04898271.00050086.00000512.0

0000512.00050086.04898271.00050086.0

00000512.00050086.04898271.0

1

4

1

3

1

2

1

1

T

T

T

T

Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel ad

[A]1{T} {RHS}

FDA Sk C k Ni l


57/62


0901.4

0427.0

0841.0

1797.8

RHS


Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah Matriks di sebelah kanan tanda = berubah dan merupakan fungsi

0901.4

0427.0

0841.0

1797.8

4898271.00050086.00000512.00

0050086.04898271.00050086.00000512.0

0000512.00050086.04898271.00050086.0

00000512.00050086.04898271.0

2

4

2

3

2

2

2

1

T

T

T

T

FDA Sk C k Ni l


58/62


Konduksi atauperambatanpanas hasilhitungandengan skemaCrank-Nicolsontampak mirip

dengan hasilhitungandengan skemaeksplisit (padat = 3 s).

020

40

60

80

100

120

0 2 4 6

Temperatur(C)

Jarak (cm)

implisit

Crank-Nicolson

eksplisit

FDA Sk C k Ni l


59/62


2

2

x

T

kt

T

2

1

1

11

1

1

12

kx

TTTk

t

TT n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

Skema FDA = 0 : skema eksplisit = 1 : skema implisit = : skema Crank-Nicolson

FDA

FDA P P b lik


60/62

FDA Persamaan Parabolik60

Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial pa

n

i

n

i

n

i

xk

xkT

x

tkT

x

tkT

x

tk

1

12

1

2

1

12

1

121

121

Skema FDA

= 0 : skema eksplisit

= 1 : skema implisit

= : skema Crank-Nicolson

FDA P P b lik


61/62

FDA: Persamaan Parabolik61

t

X

n

n+1

82 1060 4 x(cm)

Konduksi panas di sebuah ba

pipih panjang panjang batang, L= 10 cm,

time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100


100CT=

50C

82 1060 4 i

Hitung sampai steady-sta Skema eksplisit Skema implisit Skema Crank-Nicolson

1

2

2

x

Tk

t

T

5 7 93

x= 1 cm


62/62

62

Date post:	04-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	memetcute
View:	242 times
Download:	2 times

MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf

Documents