PENGOPTIMALAN RUTE PARIWISATA EDUKASITINGKAT SD/MI DENGAN METODE BEDA HINGGA
(Skripsi)
Oleh
Syafa Putri Adinda
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG
2017
ABSTRACT
OPTIMIZATION OF EDUCATIONAL TOURISM ROUTE ATELEMENTARY/MADRASAH IBTIDAIYAH SCHOOL USING FINITE
DIFFERENCE METHOD
by
Syafa Putri Adinda
Mathematics has been learned since elementary or madrasah ibtidaiyah school,but the lack of attractiveness of elementary school students makes learningmathematics in elementary or madrasah ibtidaiyah school still need seriousattention from various part of people. One of innovation in mathematics learningelementary or madrasah ibtidaiyah school is mathematics educational tourism. Alot of tourist attraction to be built causes many routes that must be passed byelementary or madrasah ibtidaiyah school students. Finite difference method, oneof application of differential theory can determine the optimal route or the shortestdistance in the educational tourism at elementary or madrasah ibtidaiyah schooland the density of the flow of visitors. The route will be optimize if tourismobjects one and the other are passed just once, there should be no repeat visits ofthe same attraction at a time, and trajectories should not be mutually tangent toeach other.
Key Words : Optimization, Route, Finite Difference Method, EducationalTourism.
ABSTRAK
PENGOPTIMALAN RUTE PARIWISATA EDUKASI TINGKAT SD/MIDENGAN METODE BEDA HINGGA
oleh
Syafa Putri Adinda
Matematika telah dipelajari sejak SD/MI, namun kurangnya daya tarik siswa-siswi SD/MI menjadikan pembelajaran matematika di SD/MI masih perlumendapat perhatian yang serius dari berbagai pihak. Salah satu inovasi dalampembelajaran matematika tingkat SD/MI yaitu pariwisata edukasi matematis.Banyaknya objek-objek wisata yang akan dibangun menyebabkan banyak ruteyang harus dilalui siswa-siswi SD/MI. Penerapan teori diferensial salah satunyametode beda hingga dapat menentukan rute optimal atau jarak terpendek dalampariwisata edukasi tingkat SD/MI dan kepadatan aliran/arus pengunjung. Rutedikatakan optimal apabila objek pariwisata satu ke objek pariwisata lainnyadilewati tepat satu kali, tidak boleh terjadi pengulangan kunjungan objek wisatayang sama dalam satu waktu, dan lintasan tidak boleh saling bersinggungan satusama lain.
Kata Kunci : Optimalisasi, Rute, Metode Beda Hingga, Pariwisata Edukasi
PENGOPTIMALAN RUTE PARIWISATA EDUKASITINGKAT SD/MI DENGAN METODE BEDA HINGGA
Oleh
Syafa Putri Adinda
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai GelarSARJANA SAINS
pada
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 9 Oktober 1996 dengan nama lengkap
Syafa Putri Adinda, anak pertama dari pasangan Bapak Asrafuddin Usman IFA
dan Ibu Endang Susilawati. Penulis memiliki satu orang adik laki-laki bernama
Daffa Putra Suasra.
Penulis mengawali pendidikan Taman Kanak-kanak di TK Puspa Indah pada
tahun 2000-2002, pada tahun 2002-2008 menempuh pendidikan Sekolah Dasar di
Madrasah Ibtidaiyah Pembangun UIN Jakarta, kemudian pendidikan menengah di
SMP Negeri 87 Jakarta pada tahun 2008-2011, dan pendidikan lanjutan di SMA
Negeri 47 Jakarta pada tahun 2011-2014.
Pada tahun 2014 penulis melanjutkan pendidikan Strata Satu (S1) Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung melalui jalur SBMPTN. Penulis aktif dalam beberapa organisasi, yaitu
menjadi anggota Generasi Muda Matematika dan Garuda Muda BEM FMIPA
pada tahun 2014, menjadi anggota Departement Hubungan Luar dan Pengabdian
Masyarakat BEM FMIPA Universitas Lampung Periode 2015-2016, menjabat
sebagai anggota Kementrian Komunikasi dan Infomasi BEM U KBM Universitas
Lampung periode 2017-2018.
Penulis melaksanaan kerja praktik pada tanggal 1 Februari 2017 sampai dengan
27 Februari 2017 di Kantor Perwakilan Bank Indonesia (KPw BI) Provinsi
Lampung bertempat di Jalan Hasanuddin No. 38 Bandar Lampung. Dan
mengikuti kuliah kerja nyata (KKN) periode II tahun 2017 pada tanggal 24 Juli
sampai 31 Agustus 2017, ditempatkan selama 40 hari di Desa Merbau Mataram,
Kecamatan Merbau Mataram, Kabupaten Lampung Selatan, Lampung.
MOTTO
“Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baikbagimu, dan boleh jadi (pula) kamu menyukai sesuatu,
padahal ia amat buruk bagimu, Allah mengetahui, sedangkamu tidak mengetahui”
(Al-Baqarah:216)
“Kegagalan berawal ketika seseorang hanya berfikirbagaimana cara melakukannya tanpa berani untuk
memulai.”
(Syafa Putri)
“If you don’t like where you are, move. You’re not a tree.”
Puji syukur aku panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat, nikmat serta karunia-
Nya dan suri tauladan Nabi Muhammad yang menjadi panutan untuk kita semua.
Demi setiap malam yang tidak aku tidurkan dan setiap pagi yang tidak aku hidupkan,
karya ini aku persembahkan untuk Mama, Papa, Alm. Mbah Tati dan Adekku tercinta.
Karna setiap langkah kakiku tercipta harapan untuk mewujudkan impian dari orang-
orang yang selalu menanti aku pulang.
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah serta nikmat yang tak kurang-kurangnya sehingga penulis
dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pengoptimalan Rute Pariwisata
Edukasi Tingkat SD/MI dengan Metode Beda Hingga”. Terselesaikannya
skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan kerja sama berbagai pihak yang telah
membantu dan memberikan bimbingan, saran maupun motivasi sehingga skripsi
dapat diselesaikan. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Drs. Tiryono Rubby, Ph.D., selaku dosen pembimbing I yang tidak
hanya memberikan bimbingan serta motivasi, tetapi juga telah banyak
membantu mempermudah penulis selama proses penulisan skripsi.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang
telah memberikan bimbingan dan arahan selama proses penulisan skripsi.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah
memberikan ide, kritik dan saran yang membangun serta membimbing
penulis sehingga terselesainya skripsi ini.
4. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang
telah memberikan bimbingan dan semangat selama masa perkuliahan.
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Papa, Mama, dan Daffa yang selalu mendukung, menemani, mendoakan
serta memberikan semangat dengan penuh kasih sayang sehingga
menguatkan penulis dalam menjalani setiap proses meraih gelar sarjana.
8. M. Fajar Nur Efendi yang selalu mendampingi, memberikan semangat serta
tak pernah bosan mendengarkan keluhan penulis.
9. Ecy, Wika, Dea, Magdalena, Geta, Pule yang menemani suka duka penulis
selama di Lampung serta memberikan masukan, semangat, saran dan
mendengarkan keluhan penulis.
10. Sarah, Revo, Putri, Sukja, Megita, Sasha, Furi, Evanny yang selalu memberi
semangat motivasi meski terhalang oleh jarak.
11. Dandi, Manda, Amoy, Olin, Yola, Ananda, Tika, Vivi, Hage, Arif, Zulfi,
Widi, Kiki, dan keluarga besar Matematika 2014 yang telah membuat
“Matematika” menjadi tidak suram.
12. Teman-teman keluarga Masutri dan seluruh teman-teman KKN Kecamatan
Merbau Mataram yang telah memberikan warna selama pelaksanaan KKN.
13. Seluruh serta seluruh pihak yang telah banyak membantu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran. Terimakasih.
Bandar Lampung, Oktober 2017
Penulis
Syafa Putri Adinda
ii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .......................................................................... iii
DAFTAR TABEL ............................................................................... vi
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian .................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Delta ....................................................................................... 4
2.2 Persamaan Diferensial ............................................................. 4
2.3 Persamaan Diferensial Biasa ................................................... 5
2.4 Persamaan Diferensial Parsial ................................................. 6
2.5 Metode Beda Hingga ............................................................... 8
2.5.1 Beda Maju.................................................................... 9
2.5.2 Beda Mundur ............................................................... 11
2.5.3 Beda Pusat ................................................................... 13
2.6 Pemodelan Matematika ........................................................... 15
2.7 Optimalisasi ............................................................................ 16
2.7.1 Macam-Macam Permasalahan Optimalisasi .................. 17
2.7.2 Rute Terpendek ............................................................ 17
2.8 Pariwisata ............................................................................... 19
2.9 Edukasi ................................................................................... 20
ii
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 21
3.2 Data Penelitian ........................................................................ 21
3.3 Metode Penelitian ................................................................... 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengolahan Data ..................................................................... 23
4.2 Mathematical Formulation ........................................................... 28
4.3 Penentuan Rute Terpendek ....................................................... 32
4.4 Analisis Pemilihan Rute Terpendek ........................................... 40
4.5 Penerapan Metode Beda Hingga .............................................. 43
4.5.1 Lintasan Track Underground ................................... 44
V. KESIMPULAN ........................................................................ 49
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Data Mekanisme Waktu yang Dibutuhkan ..................................... 24
2. Luas Lokasi Penelitian ....................................................................... 25
3. Data Panjang Jarak............................................................................. 27
4. Matriks Jarak...................................................................................... 29
5. Matriks Waktu ................................................................................... 31
6. Nilai Akumulasi Jarak dari Beberapa Kemungkinan Rute ................ 39
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Beda Maju ......................................................................... 9
2. Grafik Beda Mundur .......................................................................... 11
3. Grafik Beda Pusat .............................................................................. 13
4. Denah Penempatan Objek Wisata .................................................... 25
5. Skema kemungkinan rute jika sumur semiartesis terpilih menjadi
objek wisata kedua yang dilalui setelah track underground.............. 33
6. Skema kemungkinan rute jika kincir angin terpilih menjadi objek
wisata kedua yang dilalui setelah track underground........................ 34
7. Skema kemungkinan rute jika sistem hibrid elektrifikasi terpilih
menjadi objek wisata kedua yang dilalui setelah track underground 35
8. Ilustrasi rute optimal/terpendek pariwisata edukasi matematika ....... 42
9. Penyebaran aliran metode beda hingga.............................................. 43
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Fenomena-fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari merupakan satu
sistem yang dapat diselesaikan dengan membuat persaman variabel, koefisien
ataupun membuat pemodelan matematika. Model matematika adalah suatu
ekspresi matematika yang diturunkan dari fenomena tersebut. Ekspresi dapat
berupa persamaan, sistem persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika yang lain
seperti fungsi maupun relasi (Cahyono, 2013).
Dalam penerapannya, matematika dapat digunakan untuk memecahkan masalah
dari suatu kejadian atau fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari.
Matematika telah dipelajari sejak SD/MI, namun kurangnya daya tarik siswa-
siswi SD/MI menjadikan pembelajaran matematika di SD/MI masih perlu
mendapat perhatian yang serius dari berbagai pihak. Karena pembelajaran
matematika di SD/MI merupakan peletak konsep dasar yang dijadikan landasan
untuk belajar pada jenjang berikutnya. Salah satu inovasi dalam pembelajaran
matematika tingkat SD/MI yaitu dengan mengajak para siswa-siswi melakukan
pariwisata edukasi terutama edukasi matematis.
2
Pariwisata edukasi matematis dibutuhkan siswa SD/MI karena para siswa perlu
melihat secara langsung bagaimana penerapan ilmu matematika yang mereka
pelajari selama disekolah guna meningkatkan daya tarik mempelajari matematika.
Objek wisata yang akan dibangun merupakan hasil penelitian dari beberapa
mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung. Adapun objek
wisata antara lain seperti Track Underground, Sumur Semiartesis, Kincir Angin,
Panel Surya, Teropong Bulan, dan Sistem Hibrid Elektrifikasi. Banyaknya objek-
objek wisata yang akan dibangun menyebabkan banyak rute yang harus dilalui
siswa-siswi SD/MI. Metode secara matematis yang biasa digunakan untuk
menentukan rute optimal adalah Travelling Salesman Programming, akan tetapi
pada penelitian ini akan di tentukan menurut teori diferensial salah satunya adalah
metode beda hingga.
Penelitian ini akan mengkaji bagaimana menentukan rute optimal atau jarak
terpendek dalam pariwisata edukasi tingkat SD/MI dan penerapan teori diferensial
salah satunya metode beda hingga untuk menentukan kepadatan aliran/arus
pengunjung.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menentukan rute optimal atau jarak terpendek yang dapat dilalui siswa-siswi
SD/MI dalam pariwisata edukasi tingkat SD/MI dengan menggunakan teori
diferensial.
3
2. Pengaplikasian teori diferensial khususnya metode beda hingga dalam
menentukan laju aliran/arus pengunjung yang datang saat rute optimal telah
ditentukan.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Memberikan sumbangan pemikiran dalam memperluas wawasan ilmu
matematis.
2. Memberikan pengalaman serta pengetahuan kepada siswa-siswi SD/MI yang
belum pernah didapatkan sebelumnya dalam pembelajaran di sekolah tentang
penerapan ilmu matematika dalam kehidupan nyata.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Delta
Delta dilambangkan dengan sebuah segitiga (∆). Delta adalah simbol matematika
untuk perubahan atau perbedaan antara dua posisi. Terdapat dua sumbu yaitu
sumbu vertical dan sumbu horizontal. Sumbu vertikal dilambangkan sumbu
dimana beda dua posisi titik terdapat pada dan sehingga didapatkan nilai∆ = − . Sedangkan sumbu horizontal dilambangkan sumbu dimana beda
dua posisi titik terdapat pada dan sehingga didapatkan nilai ∆ = − .
2.2 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara
turunan dari satu variable tak bebas terhadap satu atau lebih variable bebas.
Fungsi = ( ) mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai
variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
kebergantungan antara y terhadap x, maka perubahan nilai variabel x akan
mengakibatkan perubahan nilai variabel y.
5
Tingkat perubahan y terhadap perubahan kecil x dalam kalkulus didefinisikan
sebagai :
= lim∆→= lim∆→ ( ∆ ) ( )∆
Rumus tersebut dapat digunakan manakala = ( ) telah diketahui, sedangkan di
dunia nyata atau dalam kehidupan sehari-hari tidaklah demikian karena = ( )
sering tidak diketahui dan justru yang sering diketahui adalah perilaku atau
fenomena perubahannya. Oleh karena itu, diperlukan suatu cara untuk dapat
mengetahui atau menemukan = ( ) berdasarkan pengetahuan atau pengamatan
terhadap perilaku atau fenomena perubahannya. Inilah pentingnya pembelajaran
persamaan diferensial (Kartono, 2012).
2.3 Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan
hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu fungsi satu variabel,
dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas, maka
suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk
F(x,y,y′,y″,…,y(n)) (Nugroho, 2011).
6
2.4 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan yang mempunyai dua
variabel bebas atau lebih. Pada persamaan diferensial parsial, variabel bebas
dapat berupa waktu dan satu atau lebih koordinat ruang (Anderson, 1984).
Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran
keadaan fisis, di mana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah
terhadap ruang dan waktu. Di dalam pembahasan tentang persamaan diferensial
biasa, variabel bebas yang terlibat dalam masalah hanya satu, sedangkan untuk
persamaan diferensial parsial variabel bebas berjumlah lebih dari satu. Ordo
turunan tertinggi dinamakan ordo persamaan tersebut. Baik persamaan diferensial
biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau tak linier.
Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila persamaan itu berderajat satu
dalam peubah biasanya dan turunan parsialnya. Bila tidak memenuhi syarat,
persamaan tersebut adalah tak linier. Jika setiap suku persamaan mengandung
peubah tak bebasnya atau salah satu dari turunannya, maka persamaan itu
dikatakan homogen. Dan bila tidak, maka persamaan itu dikatakan
tak homogen. Bentuk umum dari persamaan diferensial parsial adalah
+ + + = 0
7
Orde dari persamaan diferensial parsial adalah turunan tertinggi yang muncul
pada persamaan diferensial parsial.
1. Persamaan diferensial orde 1 yaitu − = 02. Persamaan diferensial orde 2 yaitu + = 03. Persamaan diferensial orde 3 yiatu ( ) − + = 0Selanjutnya, persamaan diferensial parsial juga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu
persamaan diferensial eliptik, parabolik, dan hiperbolik. Misal, diberikan suatu
persamaan diferensial parsial orde dua dalam variabel ruang x dan waktu t,
+ + + , , , , = 0di mana A, B dan C merupakan fungsi dari x dan t, sedangkan D adalah fungsi
dari u dan derivative dan , serta x dan t. Yang membedakan atas tiga kelas
persamaan diferensial parsial tersebut adalah pada nilai diskriminan − 4 .
1. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan hiperbolik jika nilai
diskriminan − 4 > 0. Salah satu contoh persamaan hiperbolik adalah
pada persamaan gelombang yaitu − = 0.2. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan parabolik jika nilai
diskriminan − 4 = 0. Salah satu contoh persamaan hiperbolik adalah
pada persamaan difusi yaitu − = 0.3. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan eliptik jika nilai
diskriminan − 4 < 0. Salah satu contoh persamaan hiperbolik adalah
pada persamaan Laplace yaitu + = 0 (Farlow, 1982).
8
2.5 Metode Beda Hingga
Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk
menyelesaikan persoalan teknis dan masalah matematis dari suatu gejala fisis.
Secara umum metode beda hingga merupakan metode yang mudah digunakan
dalam penyelesaian masalah fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur,
seperti interval dalam satu dimensi, domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik
dalam ruang tiga dimensi. Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah
dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Metode beda hingga prinsipnya adalah mengganti
turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan beda hingga berdasarkan
deret Taylor (Anderson, 1984).
Untuk dapat menggunakan metode beda hingga dibutuhkan deret taylor. Deret
taylor dengan fungsi satu variabel disekitar yaitu
( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )! ℎ +⋯+ ( )( )! ℎ .
Deret taylor merupakan dasar pemikiran metode beda hingga untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial secara numerik. Deret taylor
memiliki tiga pendekatan beda hingga.
9
2.5.1 Beda Maju
Beda maju merupakan nilai suatu fungsi f(x) bergeser kedepan sebesar ∆x dengan
h sebagai jarak dari titik awal ke titik akhirnya.
Gambar 1. Grafik Beda Maju
Berdasarkan gambar 1 grafik beda maju memperlihatkan nilai suatu fungsi f(x)
bergeser kedepan sebesar ∆x. Kita misalkan jarak dari satu titik ke titik lainnya
dengan h sehingga didapatkan persamaan beda maju berdasarkan gambar 1
sebagai berikut:
= lim→ ∆∆= lim→ ( + ℎ) − ( )ℎ
+ ℎℎ( )( + ℎ)
10
Selain dengan cara menggambar grafik fungsi f(x), untuk menentukan rumus beda
maju dapat ditinjau dari persamaan yang terdapat pada deret Taylor. Berikut ini
merupakan persamaan Deret Taylor dengan fungsi satu variabel disekitar ,
( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )2! ℎ + ⋯+ ( )( )! ℎKemudian mencari nilai hampiran turunan pertama dari ( ) sebagai berikut :
( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )2! ℎ + ⋯+ ( )( )! ℎ( )ℎ = ( + ℎ) − ( ) − "( )2! ℎ − ( )3! ℎ − ⋯− ( )( )! ℎ( ) = ( + ℎ) − ( )ℎ − "( )2! ℎ − ( )3! ℎ − ⋯− ( )( )! ℎ
Sehingga, di dapatkan hampiran turunan pertama dari ( ) pada persamaan beda
maju sebagai berikut :
( ) = ( ) ( ) + (ℎ) , (ℎ) merupakan galat.
11
2.5.2 Beda Mundur
Beda mundur merupakan nilai suatu fungsi f(x) bergeser kebelakang sebesar ∆x
dengan h sebagai jarak dari titik awal ke titik akhirnya.
Gambar 2. Grafik Beda Mundur
Berdasarkan gambar 2 didapatkan persamaan beda mundur sebagai berikut :
= lim→ ∆∆= lim→ ( ) − ( − ℎ)ℎ
− ℎℎ( )
( − ℎ)
12
Selain dengan cara menggambar grafik fungsi f(x), untuk menentukan rumus beda
mundur dapat ditinjau dari persamaan yang terdapat pada deret Taylor. Berikut ini
merupakan persamaan Deret Taylor dengan fungsi satu variabel disekitar ,
( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )2! ℎ + ⋯+ ( )( )! ℎKemudian mencari nilai hampiran turunan pertama dari ( ) sebagai berikut :
Pertama substitusi terlebih dahulu ℎ dengan (−ℎ).( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )2! ℎ + ⋯+ ( )( )! ℎ( + (−ℎ)) = ( ) + ( )(−ℎ) + "( )2! (−ℎ) + ( )3! (−ℎ) + ⋯+ ( )( )! (−ℎ)( − ℎ) = ( ) − ( )ℎ + "( )2! ℎ − ( )3! ℎ + ⋯( )ℎ = ( ) − ( − ℎ) + "( )2! ℎ − ( )3! ℎ + ⋯( ) = ( ) − ( − ℎ)ℎ + "( )2! ℎ − ( )3! ℎ + ⋯
Sehingga, di dapatkan hampiran turunan pertama dari ( ) pada persamaan beda
mundur adalah sebagai berikut
( ) = ( ) ( ) + (ℎ) , (ℎ) merupakan galat.
13
2.5.3 Beda Pusat
Secara matematis, beda pusat adalah penjumlahan dari beda maju dan beda
mundur. Kurva dibawah ini akan memperlihatkan bahwa beda pusat merupakan
garis yang berhimpitan dengan beda maju dan beda maju.
Gambar 3. Grafik beda pusat
Sehingga dapat diperoleh persamaan beda pusat yaitu:
= beda maju + beda mundur2= lim→ ( + ℎ) − ( )ℎ + lim→ ( ) − ( − ℎ)ℎ2= lim→ ( + ℎ) − ( − ℎ)2ℎ
( )
14
Selain dengan cara menggambar grafik fungsi f(x), untuk menentukan rumus beda
pusat dapat ditinjau dari persamaan beda maju dan beda mundur seperti berikut :( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )! ℎ + ( )! ℎ +⋯ (i)
( − ℎ) = ( ) − ( )ℎ + "( )! ℎ − ( )! ℎ +⋯ (ii)
Untuk mencari nilai hampiran turunan pertama dari ( ) dengan cara melakukan
elimasinasi terhadap persamaan (i) dan persamaan (ii) sebagai berikut :
( + ℎ) = ( ) + ( )ℎ + "( )2! ℎ + ( )3! ℎ + ⋯( − ℎ) = ( ) − ( )ℎ + "( )! ℎ − ( )! ℎ +⋯( + ℎ) − ( − ℎ) = 2ℎ ( ) + 2 ℎ ( )3! + ⋯2ℎ ( ) = ( + ℎ) − ( − ℎ) − 2 ℎ ( )3! − ⋯( ) = ( + ℎ) − ( − ℎ)2ℎ − ℎ ( )3! + ⋯
Sehingga, di dapatkan hampiran turunan pertama dari ( ) pada persamaan beda
pusat yaitu :( ) = ( +ℎ)− ( −ℎ)2ℎ + (ℎ) , (ℎ) merupakan galat.
−
15
2.6 Pemodelan Matematika
Model matematika adalah suatu ekspresi matematika yang diturunkan dari
fenomena tersebut. Ekspresi dapat berupa persamaan, sistem persamaan atau
ekspresi-ekspresi matematika yang lain seperti fungsi maupun relasi. Model
matematika digunakan untuk menjelaskan karakteristik fenomena yang
dimodelkannya. Dalam memperoleh, membuat, mengembangkan atau
menurunkan model matematika kita melibatkan asumsi-asumsi, pendekatan-
pendekatan maupun pembatasan-pembatasan yang didasarkan atas eksperimen
maupun observasi terhadap fenomena sebenarnya. Pemodelan matematika
merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena
berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini merupakan awal yang tak
terpisahkan dalam menerapkan matematika untuk mempelajari fenomena-
fenomena alam, ekonomi, social maupun fenomena-fenomena lainnya. Secara
umum untuk mempelajari suatu fenomena meliputi 3 langkah antara lain :
1. Perumusan masalah. Langkah ini untuk menterjemahkan data maupun
informasi yang diperoleh tentang suatu fenomena dari masalah nyata menjadi
model matematika. Dalam model matematika, suatu fenomena dapat
dipelajari secara lebih terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem)
persamaan/pertidaksamaan matematika maupun ekspresi matematika. Namun
demikian karena asumsi-asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model
matematika juga mempunyai kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan
fenomena sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.
16
2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika
diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metode-
metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode
matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi.
Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan untuk
menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering
dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.
3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.
Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun
grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan
permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk
mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana
masalahnya berasal (Cahyono, 2013).
2.7 Optimalisasi
Optimalisasi adalah suatu proses untuk mencapai hasil yang optimal (nilai efektif
yang dapat dicapai). Dalam disiplin matematika optimalisasi merujuk pada studi
permasalahan yang mencoba untuk mencari nilai minimal atau maksimal dari
suatu fungsi riil. Untuk dapat mencapai nilai optimal, baik minimal atau maksimal
tersebut, secara sistematis dilakukan penelitian nilai variabel integer atau riil yang
memberikan solusi optimal. Nilai optimal adalah nilai yang didapat melalui suatu
proses dan dianggap menjadi solusi jawaban yang paling baik dari semua solusi
yang ada.
17
2.7.1 Macam-Macam Permasalahan Optimalisasi
Permasalahan yang berkaitan dengan optimalisasi sangat kompleks dalam
kehidupan sehari-hari. Nilai optimal yang di dapat dalam optimalisasi dapat
berupa besaran panjang, waktu, jarak, dan lain-lain. Berikut ini adalah beberapa
persoalan optimalisasi :
1. Menentukan lintasan terpendek dari suatu tempat ke tempat yang lain.
2. Menentukan jumlah pekerja seminimal mungkin untuk melakukan suatu
proses produksi agar pengeluaran biaya pekerja dapat diminimalkan dari hasil
produksi tetep maksimal.
3. Mengatur rute kendaraan umum agar semua lokasi dapat dijangkau.
4. Mengatur rute jaringan kabel telepon agar biaya pemasangan kabel tidak
terlalu besar dan penggunaannya tidak boros.
Selain contoh yang telah disebutkan, masih banyak lagi persoalan lainnya yang
terdapat dalam berbagai bidang.
2.7.2 Rute Terpendek
Masalah rute terpendek merupakan masalah yang berkaitan dengan penentuan
titik-titik dalam sebuah jaringan yang membentuk rute terdekat antara sumber dan
tujuan. Tujuan dari permasalahan rute terpendek adalah mencari rute yang
memiliki jarak terdekat antara titik asal dan titik tujuan.
18
Secara umum, penyelesaian masalah pencarian rute terpendek dapat dilakukan
dengan menggunakan dua metode, yaitu metode konvensional dan metode
heuristik. Metode konvensional dihitung dengan perhitungan matematis biasa,
sedangkan metode heuristrik dihitung dengan menggunakan pendekatan.
1. Metode Konvensional
Metode konvensional adalah metode yang menggunakan perhitungan matematika
eksak. Ada beberapa metode konvensional yang biasa digunakan untuk
melakukan pencarian rute terpendek yaitu algoritma Djikstra, algoritma Floyd-
Warshall, dan algoritma Bellman-Ford.
2. Metode Heuristik
Metode heuristik adalah suatu metode yang menggunakan pendekatan dalam
melakukan pencarian dalam optimasi. Ada beberapa algoritma pada metode
heuristik yang biasa digunakan dalam permasalahan optimasi yaitu Travelling
Salesman Promblem, Genetic Algoritm, Ant Colony Optimization, Fuzzy, Neural
Network, Tabu Search, Simulated Annealing, dan sebagainya.
19
2.8 Pariwisata
Pariwisata adalah perpindahan orang untuk sementara dalam jangka waktu pendek
ke tujuan-tujuan diluar tempat dimana mereka biasa hidup, bekerja, dan kegiatan-
kegiatan mereka selama tinggal di tempat-tempat tujuan (Burkart, 2006).
Menurut Pitana dan Diarta (2009) pariwisata adalah segala sesuatu yang
berhubungan dengan kegiatan perjalanan yang dilakukan secara sukalera, serta
bersifat sementara untuk menikmati objek dan daya tarik wisata. Definisi
pariwisata memang tidak sama diantara para ahli. Pada dasarnya pariwisata
merupakan perjalanan dengan tujuan untuk menghibur yang dilakukan diluar
kegiatan sehari-hari yang biasa dilakukan guna memberikan keuntungan yang
bersifat permanen maupun sementara. Tetapi apabila dilihat dari konteks
pendidikan, pariwisata bertujuan untuk menghibur dan mendidik. Semua definisi
yang muncul selalu mengandung beberapa unsur, yaitu :
1. Adanya unsur perjalanan, yaitu pergerakan manusia dari satu tempat ke
tempat lain.
2. Adanya unsur “tinggal sementara” di tempat yang bukan merupakan tempat
tinggal yang biasanya.
3. Tujuan utama dari pergerakan manusia tersebut bukan untuk mencari
penghidupan atau pekerjaan ditempat yang dituju.
20
2.9 Edukasi
Secara etimologis, edukasi berasal dari kata latin yaitu educare yang artinya
“memunculkan”, “membawa”, “melahirkan”. Dalam pengertian secara luas
edukasi adalah setiap tindakan atau pengalaman yang memiliki efek formatif pada
karakter, pikiran atau kemampuan fisik dalam individu. Pendidikan dan edukasi
memiliki pengertian yang berbeda, pendidikan adalah pengubahan sikap dan tata
laku seseorang atau kelompok orang dalam usaha mendewasakan manusia melalui
upaya pengajaran dan latihan, proses, perbuatan dan cara mendidik. Sedangkan
pengertian edukasi adalah upaya dari subyek terhadap objek untuk mengubah cara
memperoleh dan mengembangkan pengetahuan menuju cara tertentu yang
diinginkan oleh subyek (Suroso, 2004).
21
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2017/2018 dengan
melakukan penelitian secara studi pustaka di Jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung dan penelitian
lapangan di Swadaya IX, Gunung Terang, Bandar Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jarak antar objek wisata
edukasi seperti Track Underground, Sumur Semiartesis, Kincir Angin, Panel
Surya, Teropong Bulan, dan Sistem Hibrid Elektrifikasi.
3.3 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan secara penelitian lapangan dan studi pustaka yaitu
mempelajari buku-buku teks yang terdapat di perpustakaan jurusan matematika
atau perpustakaan Universitas Lampung dan jurnal terkait dengan materi
pemodelan matematika, persamaan differensial parsial dan sebagainya guna
22
menunjang proses penelitian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam
penelitian adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari buku dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini.
2. Mempelajari dan memahami definisi dan teorema metode beda hingga dalam
persamaan diferensial parsial.
3. Mengumpulkan data jarak antar objek wisata dengan mengasumsikan objek
pariwisata satu ke objek pariwisata lainnya dilewati tepat satu kali.
4. Membuat matriks jarak objek pariwisata edukasi.
5. Memodelkan matriks tersebut ke dalam persamaan diferensial parsial dengan
metode beda hingga.
6. Setelah didapatkan hasil dari metode tersebut maka dapat menentukan rute
yang optimal atau jarak terpendek pada pariwisata edukasi tingkat SD/MI.
1
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Rute optimal pariwisata edukasi matematis yang akan dilalui siswa SD/MI
sejauh 118 meter.
2. Perjalanan berawal dari pintu masuk menuju objek wisata pertama yaitu track
underground, selanjutnya menuju objek wisata sumur semiartesis. Setelah
melewati sumur semiartesis, siswa SD/MI menuju sistem hibrid elektrifikasi.
Kemudian naik ke lantai 3 menuju kincir angin. Setelah melihat perhitungan
laju angin pada kincir angin, para siswa dapat menggunakan teropong bulan.
Objek wisata yang terakhir adalah panel surya. Para siswa SD/MI menuruni
tangga menuju pintu utama di lantai 1 dan perjalanan pariwisata edukasi
matematika pun selesai.
3. Rute yang optimal diperlukan untuk menentukan kepadatan aliran/arus
pengunjung di setiap objek wisata edukasi matematika dalam jangka waktu
tertentu agak tidak terjadinya penumpukan pengunjung di salah satu objek
wisata.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, D.A., Tannehill, J.C., and Pletcher, R.H. 1984. Computational FluidMechanics and Heat Transfer. Hemisphere Publishing Corporation, NewYork.
Cahyono, E. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Damanik, J. 2006. Perencanaan Ekowisata dari Teori ke Aplikasi.C.V.Andi Offset, Yogyakarta.
Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika FenomenaPerubahan. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.Graha Ilmu, Yogyakarta.
Pitana, I.G. dan Diarta, I.K. 2009. Pengantar Ilmu Pariwisata.C.V. Andi Offset, Yogyakarta.
Suroso, R. 2004. Material dan Metode Edukasi dari Perspektif SainsKognitif. Bandung Fe Institute, Bandung.
