SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Budi MurtiyasaJur. Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah SurakartaJuli 2008

22/04/23 1design by budi murtiyasa 2008

Sistem persamaan linear

2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0- x1 + x3 = 4

Dng notasi matriks

101

531

212

3

2

1

x

x

x

=

4

0

7

A X = G

3x1 – 7x2 + x3 = 0

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0

Dng notasi matriks

432

173

3

2

1

x

x

x

=

0

0

A X = G

A, matriks koefisienX, matriks variabel /peubahG, matriks konstanta

Matriks augmented : matriks koefisien Aditambah matriks konstanta G.

(A | G) =

4101

0531

7212

SISTEM PERSAMAAN LINEARA X = G

G = 0 ?ya

Sistem persamaan linear homogenA X = 0

tidak

Sistem persamaan linear nonhomogenA X = G, dng G ≠ 0

Contoh :

3x – 5y + 3z = 0

x + 2y – z = 0

2x + y + 2z = 0

Contoh :

2x + y – 7z = 0

3x + 2y + z = 5

x – 6y + 2z = 0

SPL NonhomogenA X = G, G ≠ 0

Mempunyai jawab / konsisten

r(A) = r(A G)

Jawab tunggal

r(A) = r(A G) = n

Metode penyelesaian :• Gauss• Gauss-Jordan• matriks invers• Aturan cramer

Banyak Jawab

r(A) = r(A G) < n

Metode penyelesaian :• dng OBE, bawa (A G) ke bentuk echelon. banyaknya variabel bebas = n – r .

Tidak mempunyai jawab / inkonsisten

r(A) ≠ r(A G)

Keterangan :n : banyaknya variabelr : rank(A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)

Cari penyelesaian dari sistem :

x1 – 2x2 + x3 = -5

3x1 + x2 – 2x3 = 11

-2x1 + x2 + x3 = -2

Metode Gauss :

1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi

bentuk echelon

(A G) =

2112

11213

5121

~

12330

26570

5121

4110

26570

5121

~ ~

~

26570

4110

5121

2200

4110

5121

Persamaan baru menjadi :

x1 – 2x2 + x3 = -5

x2 – x3 = 4

2x3 = -2

2. lakukan subtitusi balik :

2x3 = -2 x3 = -1

x2 – x3 = 4 x2 – (-1) = 4

x2 = 3

x1 – 2x2 + x3 = -5

x1 – 2(3) + (- 1) = -5

x1 = 2

Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.

r(A) = 3r(A G) = 3n = 3

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)

Cari penyelesaian dari sistem :

x1 – 2x2 + x3 = -5

3x1 + x2 – 2x3 = 11

-2x1 + x2 + x3 = -2

Metode Gauss-Jordan :

lakukan OBE, bawa (A G) menjadi

bentuk echelon baris tereduksi.

(A G) =

2112

11213

5121

~

12330

26570

5121

4110

26570

5121

~ ~

~

26570

4110

5121

2200

4110

5121

Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.

r(A) = 3r(A G) = 3n = 3

~

1100

4110

5121

~

1100

3010

4021

~

1100

3010

2001

Persamaan terakhir menjadi:

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

Sistem persamaan linear

2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0- x1 + x3 = 4

Dng notasi matriks

101

531

212

3

2

1

x

x

x

=

4

0

7

A X = G

3x1 – 7x2 + x3 = 0

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0

Dng notasi matriks

432

173

3

2

1

x

x

x

=

0

0

A X = G

A, matriks koefisienX, matriks variabel /peubahG, matriks konstanta

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)

Cari penyelesaian dari sistem :

x1 – 2x2 + x3 = -5

3x1 + x2 – 2x3 = 11

-2x1 + x2 + x3 = -2

Metode Matriks Invers :

1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint).

Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.

Jadi :

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

A X = GA-1 A X = A-1 GX = A-1 G

A =

112

213

121

, maka

adj A =

735

531

333

det(A) = 6

A-1 = )det(

1

Aadj A =

6

1

735

531

333

2. Selesaikan X = A-1 G

X = 6

1

735

531

333

2

11

5

=

13

2

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)

Cari penyelesaian dari sistem :

x1 – 2x2 + x3 = -5

3x1 + x2 – 2x3 = 11

-2x1 + x2 + x3 = -2

Metode Cramer :

1. Cari det(A), dan det(Ai) , yaitu determinan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G

Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.

|A| = = 6

| A1 | =

2. Selesaikan Xi = |Ai | / | A |

112

213

121

112

2111

125

= 12

| A2 | =

122

2113

151

= 18

| A3 | =

212

1113

521

= - 6

26

12

||

|| 11

A

Ax

36

18

||

|| 22

A

Ax

16

6

||

|| 33

A

Ax

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian.

Selesaikan sistem :

x1 – 2x2 + x3 = 2

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 1

-5x1 + 8x2 – 9x3 = 0

1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi

bentuk echelon

(A G) =

0985

1432

2121

~

10420

5210

2121

~

0000

5210

2121 r(A) = 2r(A G) = 2n = 3

Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3

Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5

2. Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru.

Misalkan x3 = α, dng α bil Real

– x2 – 2x3 = 5 – x2 – 2α = 5

x2 = - 2α – 5

x1 – 2x2 + x3 = 2

x1 – 2(- 2α – 5) + α = 2

x1 = -5α – 8

Jadi penyelesaian umum :{(-5α – 8, -2α – 5, α)}.

Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian.

Selesaikan sistem :

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2

-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1

2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 5Solusi :

(A G) =

58322

11311

23211

~

~

12100

12100

23211

00000

12100

23211r(A) = 2r(A G) = 2n = 4

Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x2 dan x4

Persamaan baru menjadi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 – x3 – 2x4 = - 1

Misalkan x2 = α, dan x4 = β

dng α, β bil Real

– x3 – 2x4 = - 1 – x3 – 2β = - 1

x3 = - 2β + 1

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2

x1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2

x1 = α + 7β – 4

Jadi penyelesiaan umum :{(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}.

misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}.

SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian.

Selesaikan sistem :

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2

-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1

2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3Solusi :

(A G) =

38322

11311

23211

~

~

12100

12100

23211

20000

12100

23211r(A) = 2r(A G) = 3n = 4

r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ?

Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca :

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2

Apakah ada nilai x yang memenuhi ?

Sistem tidak punya penyelesaian.

SPL HomogenA X = 0

Selalu mempunyai jawab / konsisten

Sebab pasti r(A) = r(A 0)

Jawab tunggal /

hanya jawab trivial / jawab nol

r(A) = n

Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial

r(A) < n

Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.

banyaknya var.bebas = n – r

SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol

Selesaikan sistem :

x1 – 2x2 + x3 = 0

-x1 + 3x2 – 2x3 = 0

2x1 + x2 – 4x3 = 0

Solusi :

(A 0) =

0412

0231

0121~

0650

0110

0121

~

0100

0110

0121 r(A) = 3r(A 0) = 3n = 3

Sistem hanya mempunyai jawab nol,Dari persamaan baru dapat dibaca :

x1 – 2x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

– x3 = 0

Dengan subtitusi balik diperoleh :

x3 = 0, x2 = 0, danx1 = 0

Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah,Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

SPL Homogen dengan banyak Jawab

Selesaikan sistem :

x1 – 2x2 + x3 = 0

-x1 + 3x2 – 2x3 = 0

2x1 + x2 – 3x3 = 0

Solusi :

A =

312

231

121

~

550

110

121

~

000

110

121 r(A) = 2n = 3

Dari persamaan baru dapat dibaca :

x1 – 2x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

Dengan subtitusi balik diperoleh :

Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3

Misalkan x3 = α, dng α bil Real

x2 – x3 = 0 x2 = α

x1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = α

Jadi penyelesaian umum :{(α, α , α)}.

misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

SPL Homogen dengan banyak Jawab

Selesaikan sistem :

-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 0

2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= 0Solusi :

A =

8322

3211

1311~

6300

2100

1311

~

0000

2100

1311r(A) = 2n = 4

Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x2 dan x4

Persamaan baru menjadi :- x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 – x3 – 2x4 = 0

Misalkan x2 = α, dan x4 = β

dng α, β bil Real

– x3 – 2x4 = 0 – x3 – 2β = 0

x3 = - 2β

-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0

-x1 + α – 3(-2β) + β = 0

x1 = α + 7β

Jadi penyelesaian umum :{(α + 7β, α, - 2β, β)}.

misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}.

Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan :x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0

2x1 – 5x2 + 3x3 + 4x4 = 0 3x1 – 8x2 + 4x3 + 6x4 = 0 -4x1 + 11x2 – 5x3 – 8x4 = 0Solusi :

A =

85114

6483

4352

2131

~

0110

0110

0110

2131

~

0000

0000

0110

2131

r(A) = 2n = 4

Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3 dan x4

Persamaan baru menjadi :x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x2 + x3 = 0

Misalkan x3 = α, dan x4 = β

dng α, β bil Real

x2 + x3 = 0 x2 + α = 0

x2 = - α

x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0

x1 – 3(-α) + α + 2β = 0

x1 = - 4α – 2β

Jadi penyelesaian umum :{(- 4α – 2β, -α, α, β)}.

misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}.

Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan :x1 + 3x2 + 3x3 = 0

x1 + 4x2 + 3x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0

Solusi :

Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol).Jadi x1 = x2 = x3 = 0.