72 Ⅱ. 이차곡선

1학습목표

•쌍곡선의뜻을알고, 쌍곡선의방정식을구할수있다.

•쌍곡선의성질을이해한다.

•쌍곡선의평행이동을이해한다.

쌍곡선의방정식3

쌍곡선

다 가 서 기 / 휴대 전화 위치 추적의 원리

제 2차 세계 대전 중 미국 해군은 쌍곡선 항법 장치를 개발하여 선박

또는항공기의위치를파악하고항로를결정하는데이용하였다.

이 쌍곡선 항법은 두 점에서의 거리의 차가 일정한 점의 자취는 쌍곡선

이 된다는 원리를 이용한 것으로, 이 원리는 현재 휴대 전화를 이용한 위

치추적에도많이활용되고있다.

두송신국A, B에서동시에발사되는전파가휴대전화에도착하는시

간차를이용하여휴대전화가곡선 f상에있음을알고, 두송신국A, C

에서 동시에 발사되는 전파가 휴대 전화에 도착하는 시간 차를 이용하여

휴대전화가곡선 g상에있음을알때, 두곡선 f, g의교점으로휴대전화의위치를알아낼수있다.

송신탑항공모함

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지72 mac02 T

3. 쌍곡선 73

알 아 보 기 / 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구하여 보자.

평면 위에서 두 정점 F와 F'으로부터의

거리의차가일정한점들의집합을쌍곡선이

라하고, 두정점F와F'을쌍곡선의초점이

라고한다.

이때, 두 초점을 이은 선분의 중점을 쌍

곡선의중심이라고한다.

탐 구 하 기 / 동심원을 이용하여 쌍곡선 그리기

쌍곡선의방정식01

다음그림과같이좌표평면위에반지름의길이가각각 1, 2, 3, y, 9이

고, 중심이 F(3, 0)인원과중심이 F'(-3, 0)인원이있다. 물음에답

하여보자.

F' FxO

y

2

2

4

6

8

-8

-6

-4

-24 6 8 10 12-12-10 -8 -6 -4 -2

1. 중심이 F(3, 0)이고반지름의길이가 4인원과중심이 F'(-3, 0)이

고반지름의길이가 6인원의교점을 P라고하자. 이때, 점 P를찾아표

시하고, »PF”-PF”'»의값을구하여라.

2. 두점F, F'까지의거리의차가 2가되는점들을찾아표시하여라.

3. 위의 2에서찾은점들을매끄럽게연결하여라.

초점, 초점,

중심,O x

y

F' F

쌍곡선을 어로

hyperbola라고 한다.

(071~089)기하와벡터-교과 2010.6.11 8:3 PM 페이지73

74 Ⅱ. 이차곡선

두점 F(c, 0)과 F'(-c, 0)을초점으로하고, 그두점으로부터의거

리의차가 2a (c>a>0)인쌍곡선의방정식을구하여보자.

쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y)라

고하면 »P’F'”-P’F’»=2a이므로

"(√x+c√)¤ +≈y Ω¤ -"(√x-c√)¤ +≈y Ω¤ =—2a

"(√x+c√)¤ +≈yΩ¤ ="(√x-c√)¤ +≈yΩ¤ —2a

양변을제곱하여정리하면

cx-a¤ =—a"(√x-c √)¤ +≈yΩ¤

다시양변을제곱하여정리하면

(c¤ -a¤ )x¤ -a¤ y¤ =a¤ (c¤ -a¤ )

그런데 c>a>0이므로 b¤ =c¤ -a¤ (b>0)으로놓고, 양변을 a¤ b¤으로

나누면다음을얻는다.

- =1

이상을정리하면다음과같다.

y¤13b¤

x¤13a¤

P’F'”="(√x+c√)¤ + ≈yΩ¤

PF”="(√x-c√)¤ + ≈yΩ¤O x

y

F{c,`0}F'{-c,`0}

P{x,`y}

두정점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의거리의차가 2a인쌍곡선

의방정식은

- =1 (단, c>a>0, b¤ =c¤ -a¤ )y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선의방정식 (1)

｜보기｜ 두초점 F(3, 0), F'(-3, 0)으로부터의거리의차가 4인쌍

곡선의방정식은 2a=4에서 a=2이고, c=3에서

b¤ =c¤ -a¤ =3¤ -2¤ =5이므로　　 - =1y¤125x¤124

다음쌍곡선의방정식을구하여라.

(1) 두초점 F(4, 0), F'(-4, 0)으로부터의거리의차가 4인쌍곡선

(2) 두초점 F(2, 0), F'(-2, 0)으로부터의거리의차가 2인쌍곡선

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지74 mac02 T

3. 쌍곡선 75

이 쌍곡선의 그래프는 x축,

y축, 원점에대하여각각대

칭이다.

오른쪽그림과같이쌍곡선

- =1

이 x축과만나는점

A(a, 0), A'(-a, 0)

을 쌍곡선의 꼭짓점, 선분 AA'을 쌍곡선

의주축이라고한다.

이때, 주축의길이는 2a이고, 두초점 F와 F'의좌표는

F("a√¤ +b¤ , 0), F'(-"a√¤ +b¤ , 0)

이다.

｜보기｜ 쌍곡선 - =1에서

a=3이므로꼭짓점의좌표는

(3, 0), (-3, 0)

주축의길이는　　2a=6

또 c="√a¤ +b¤ ='∂9+7=4

이므로초점의좌표는

(4, 0), (-4, 0)

y¤127x¤129

y¤12b¤

x¤12a¤

알 아 보 기 / 쌍곡선의꼭짓점, 주축에대하여알아보자.

주축 A' AO x

y

F' F

P

x@a@

y@b@- =1

꼭짓점

O x

y

F' F43-3-4

x@9

y@7- =1

다음쌍곡선의초점과꼭짓점의좌표및주축의길이를구하여라.

(1) -y¤ =1 (2) - =1y¤123¤

x¤122¤

x¤123¤

스 스 로 하 기 /

2

다음쌍곡선의방정식을구하여라.

(1) 두초점이 F(5, 0), F'(-5, 0)이고, 주축의길이가 6인쌍곡선

(2) 한초점이 F(2, 0), 주축의길이가 3, 중심이원점인쌍곡선

3

익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지75 mac02 T

76 Ⅱ. 이차곡선

y축위의두점 F(0, c), F'(0, -c)를

초점으로하고, 그두점으로부터의거리의

차가 2b (c>b>0)인쌍곡선의방정식은

- =-1 (단, a¤ =c¤ -b¤ )

이때, 두초점의좌표는

F(0, "√a¤ +b¤ ), F'(0, -"√a¤ +b¤ )

이고, 꼭짓점의좌표는 (0, b), (0, -b), 주축의길이는 2b이다.

y¤12b¤

x¤12a¤

알 아 보 기 / 두초점이 y축위에있는쌍곡선의방정식에대하여알아보자.

O x

y

F

-b-c

bc

F'

x@a@

y@b@- =-1

두정점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의거리의차가 2b인쌍곡선의

방정식은

- =-1 (단, c>b>0, a¤ =c¤ -b¤ )y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선의방정식 (2)

｜보기｜ 두초점 F(0, 3), F'(0, -3)

으로부터의 거리의 차가 4인 쌍

곡선의 방정식은 2b=4에서

b=2이고, c=3에서

a¤ =c¤ -b¤ =9-4=5이므로

- =-1y¤124x¤125

O x

y

32

-3-2

x@5

y@4- =-1

다음쌍곡선의초점과꼭짓점의좌표및주축의길이를구하여라.

(1) x¤ -y¤ =-1 (2) - =-1y¤124x¤123

스 스 로 하 기 /

4

다음쌍곡선의방정식을구하여라.

(1) 두초점 (0, 5), (0, -5)로부터의거리의차가 6인쌍곡선

(2) 두초점이 (0, 2), (0, -2)이고, 주축의길이가 2인쌍곡선

5

익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.26 10:50 AM 페이지76 mac01 T

3. 쌍곡선 77

쌍곡선의점근선02

알 아 보 기 / 쌍곡선의점근선을구하여보자.

쌍곡선의방정식

- =1 yy㉠·

을 y에대하여풀면　　

y=—;aB;xæ≠1-

이다. 여기서 |x|의값이한없이커지면 의

값은 0에한없이가까워지므로쌍곡선㉠은두직선 y=;aB;x와 y=-;aB;x

에한없이가까워진다. 이두직선을쌍곡선㉠의점근선이라고한다.

같은방법으로쌍곡선 - =-1의점근선도 y=—;aB;x임을알

수있다.

이상을정리하면다음과같다.

y¤12b¤

x¤12a¤

a¤12x¤

a¤12x¤

y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선 - =1또는 - =-1의점근선의방정식은

y=;aB;x, y=-;aB;x

y¤12b¤

x¤12a¤

y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선의점근선

쌍곡선의 그래프를 그릴

때, 점근선을 이용하면 편

리하다.

｜보기｜ 쌍곡선 - =1의점근선의방정식은 a=4, b=3이므로

y=—;4#;x

y¤139x¤1216y

x4-4

y=- x43 y= x4

3

O

O x

y

-b

b

-a a

ay=- xbay= xb

다음 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하고, 쌍곡선과 점근선의 그래프

를그려라.

(1) -y¤ =1 (2) -y¤ =-1x¤124x¤124

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지77 mac02 T

78 Ⅱ. 이차곡선

쌍곡선의평행이동03

알 아 보 기 / 쌍곡선의평행이동에대하여알아보자.

중심이 원점에 있는 쌍

곡선

- =1

을 x축의 방향으로 p만

큼, y축의 방향으로 q만

큼 평행이동하면 중심이

(p, q)인다음과같은쌍곡선이된다.

- =1

예를 들어 쌍곡선 - =1을

x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로

1만큼평행이동한쌍곡선의방정식은

- =1

이다. 이때,초점,중심,꼭짓점및점근

선의방정식도같이평행이동되므로이를구하면다음과같다.

(y-1)¤1212255(x-2)¤1212254

y¤125

x¤124

(y-q)¤121225b¤

(x-p)¤121225a¤

y¤12b¤

x¤12a¤ x

y

p

q

O

{x-p}@a@

{y-q}@b@- =1

x@a@

y@b@- =1

O x

y

4 - =1x@5y@

-21

42

- =15{y-1}@

4{x-2}@

초점

중심

꼭짓점

점근선

(3, 0), (-3, 0) (5, 1), (-1, 1)

(0, 0) (2, 1)

(2, 0), (-2, 0) (4, 1), (0, 1)

y=— x y=— (x-2)+1'51552

'51552

쌍곡선 - =1 - =1(y-1)¤15512255

5(x-2)¤15512255

4y¤1555

x¤1554

다음방정식이나타내는도형을그려라.

(1) - =1 (2) - =-1

(3) 4x¤ -9y¤ -16x-20=0 (4) 3x¤ -y¤ -6x+4y-4=0

(y-2)¤12122553¤

(x+1)¤12122552¤

(y-3)¤12122553¤

(x-1)¤12122554¤

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 63쪽 익힘책 64쪽 익힘책 65쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지78 mac02 T

3. 쌍곡선 79

알 아 보 기 / 이차곡선에대하여알아보자.

지금까지배운포물선, 타원, 쌍곡선의방정식은모두 x, y에대한이

차방정식으로나타난다.즉

포물선: y¤ =4px, x¤ =4py

타원: + =1

쌍곡선: - =1, - =-1

이와같이 x, y에대한이차방정식

Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E=0 yy㉠　

으로나타나는곡선을이차곡선이라고한다.

와x와 y에대한이차방정식

Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E=0

의 좌변이 일차식의 곱으로 인수분해 되거나 한 변수만의 이차식이 되는

경우가아니면다음과같이계수의관계에따라방정식㉠은원, 포물선,

타원, 쌍곡선을나타낸다. {단, k= + -E}

일반적으로 x, y에대한이차방정식으로나타나는곡선은특수한경우

를제외하면원, 포물선, 타원, 쌍곡선중의어느하나이다.

이차곡선은다음그림과같이원뿔을적당한평면으로자를때생기는단

면임이알려져있다. 이러한뜻에서이차곡선을원뿔곡선이라고도한다.

D¤124B

C¤124A

y¤13b¤

x¤13a¤

y¤13b¤

x¤13a¤

y¤13b¤

x¤13a¤

원 포물선 타원 쌍곡선

아폴로니오스 (Apollonios

; ?̀ B.C. ̀262~? B.C. ̀190)

그리스의수학자로“원뿔곡

선론”8권을저술하였다.

원 포물선 타원 쌍곡선이차곡선

A=B,

A¤ +B¤ +0, Ak>0

A=0, BC+0

또는B=0, AD+0

AB>0, A+B,

Ak>0AB<0, k+0

계수의

관계

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지79 mac02 T

우리나라의원자력발전소는바닷가에위치하고있으며냉각수로바

닷물을쓴다. 그러나유럽이나미국내륙지방에건설된원자력발

전소는강물을냉각수로쓴다. 이경우냉각수로사용된물을식히기위하

여자연통풍식습식냉각탑을건설하는데, 이때문에마치냉각탑이원자

력발전소의상징인것처럼생각되기도한다.

자연 통풍식 습식 냉각탑은 효율성을 높이기 위하여 옆에서 보았을 때

쌍곡선모양이되도록만든다.

다 가 서 기 / 원자력 발전소 냉각탑 속의 쌍곡선

2 학습목표

•쌍곡선과직선의위치관계를이해한다.

•쌍곡선의접선의방정식을구할수있다.

쌍곡선과직선3

쌍곡선

원자력발전소냉각탑

80 Ⅱ. 이차곡선

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지80 mac01 T

3. 쌍곡선 81

알 아 보 기 / 쌍곡선과직선의위치관계에대하여알아보자.

쌍곡선과직선의방정식을각각

- =1 yy㉠, y=mx+n yy㉡

이라고하면이들의교점의좌표는방정식㉠과㉡을연립하여풀었을때

의실근 x와 y의순서쌍 (x, y)이다. ㉡을㉠에대입하여정리하면

(b¤ -a¤ m¤ )x¤ -2a¤ mnx-a¤ (n¤ +b¤ )=0 yy㉢

⁄ b¤ -a¤ m¤ +0일때

⁄ ㉢의판별식을D라고하면쌍곡선㉠과직선㉡의위치관계는다음

과같다.

⁄ [1] D>0 HjK 서로 다른 두 점에서 만난다.

⁄ [2] D=0 HjK 한점에서만난다.(접한다.)⁄ [3] D<0 HjK 만나지않는다.¤ b¤ -a¤ m¤ =0일때

⁄ m=—;aB;이므로쌍곡선㉠과직선㉡은

⁄ [1] n=0이면만나지않는다.

⁄ [2] n+0이면한점에서만난다.

y¤12b¤

x¤12a¤

탐 구 하 기 / 쌍곡선과직선의교점의개수

쌍곡선과직선의위치관계01

쌍곡선 x¤ -y¤ =1과 직선 y=2x+k의교점의개수를 실수 k의 값에 따

라조사하려고한다. 다음물음에답하여보자.

1.쌍곡선과직선의방정식에서 y를소거하여 x에대한이차방정식을만들

어라.

2.물음 1에서이차방정식의판별식을D라고할때, 다음표를완성하여라.

k의 값 -3 -'3 0 '3

D의부호

교점의개수

0

1(개)

x

y

D>0 D<0D=0

O

x

y n˜0n=0

O

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지81 mac01 T

82 Ⅱ. 이차곡선

1

함 께 하 기 /

쌍곡선 - =1과직선 y=x+k의위치관계를조사하여라.y¤132

x¤133

｜풀이｜

y=x+k를 - =1에대입하여정리하면

x¤ +6kx+3k¤ +6=0

이이차방정식의판별식을D라고하면

=(3k)¤ -(3k¤ +6)=6(k¤ -1)

=6(k+1)(k-1)

따라서주어진쌍곡선과직선은

⁄ D>0일때,

즉 k<-1 또또는는 k>1일일때때,

서서로로다다른른두두점점에에서서만만난난다다.

¤ D=0일때,

즉 k=—1일일때때, 한한점점에에서서

만만난난다다.

‹ D<0일때, 즉-1<k<1일일때때, 만만나나지지않않는는다다.

D134

y¤132

x¤133

익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽

-Â3 Â3

1

-1 x

y y=x+k

x@3

y@2- =1

쌍곡선 9x¤ -y¤ =-1과직선 y=2x+k의위치관계를조사하여라.2

쌍곡선 - =1과직선 y=x+k의위치관계가다음과같을때,

실수 k의값또는그값의범위를구하여라.

(1) 서로다른두점에서만난다.

(2) 접한다.

(3) 만나지않는다.

y¤134

x¤139

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:46 PM 페이지82 mac02 T

3. 쌍곡선 83

알 아 보 기 / 기울기가주어진쌍곡선의접선의방정식을구하여보자.

쌍곡선의접선의방정식(1)02

쌍곡선에서 기울기가 주어

진접선의방정식은 2개이다.

쌍곡선 - =1에 접하고,기울기가 m (m+0)인 접선의 방정

식을구하여보자.

기울기가m인접선의방정식을 y=mx+n이라하고, 이것을주어진쌍

곡선의방정식에대입하여정리하면

(b¤ -a¤ m¤ )x¤ -2a¤ mnx-a¤ n¤ -a¤ b¤ =0

이이차방정식의판별식D가 0이어야하므로

=a› m¤ n¤ +(b¤ -a¤ m¤ )(a¤ n¤ +a¤ b¤ )=0

n¤ =a¤ m¤ -b¤

∴ n=—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω

따라서구하는접선의방정식은

y=mx—"√a¤ m¤ -b¤

이상을정리하면다음과같다.

D154

y¤12b¤

x¤12a¤

｜보기｜ 쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가-1인접선의방정

식은　　y=-1_x—"√25_(-1)¤ -16 ∴ y=-x—3

y¤1216

x¤1225

쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가m인접선의방정식은

y=mx—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω (단, a¤ m¤ >b¤ )

y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선의접선의방정식 (1)

O x

yy=mx+Âa@m˛@˛˛-˛b@˛˛˛

y=mx-Âa@m˛@˛˛-˛b@˛˛˛

다음쌍곡선에접하고, 기울기가-2인접선의방정식을구하여라.

(1) - =1 (2) - =1y¤134

x¤132

y¤132

x¤133

스 스 로 하 기 /

1

익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지83 mac01 T

84 Ⅱ. 이차곡선

알 아 보 기 / 접점이주어진쌍곡선의접선의방정식을구하여보자.

쌍곡선의접선의방정식(2)03

- =1에서

x¡¤ -a¤ = y¡¤

y¡¤ +b¤ = x¡¤b¤14a¤

a¤14b¤

y¡¤12b¤

x¡¤12a¤

쌍곡선 - =1 위의점 P(x¡, y¡)에서의접선의방정식을구하

여보자.

y¡+0일 때, 접선의 기울기를 m (m+0)

이라고하면접선의방정식은

y-y¡=m(x-x¡) yy㉠

한편기울기가m인접선의방정식은

y=mx—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω yy㉡

㉠과㉡은같은직선의방정식이므로

-mx¡+y¡=—"a√¤ m¤ ç-≈b¤Ω

양변을제곱하여정리하면

(a¤ -x¡¤ )m¤ +2mx¡y¡-(b¤ +y¡¤ )=0

-{;bA;y¡m}2+2mx¡y¡-{;aB;x¡}2=0

{;bA;y¡m-;aB;x¡}2=0

∴m=

이것을㉠에대입하여정리하면

- = -

∴ - =1

또이식은 y¡=0, 즉점 P(x¡, y¡)이 x축위에있을때에도성립한다.

이상을정리하면다음과같다.

y¡y1225b¤

x¡x1225a¤

y¡¤125b¤

x¡¤125a¤

y¡y1225b¤

x¡x1225a¤

b¤ x¡1225a¤ y¡

y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선 - =1위의점 (x¡, y¡)에서의접선의방정식은

- =1y¡y123b¤

x¡x123a¤

y¤12b¤

x¤12a¤

쌍곡선의접선의방정식 (2)

O x

y

P{x¡,̀y¡}a-a

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지84 mac01 T

3. 쌍곡선 85

다음접선의방정식을구하여라.

(1) 쌍곡선 - =1위의점 (4, -2)에서의접선

(2) 쌍곡선 - =1위의점 (-4, -3)에서의접선y¤133x¤134

y¤134x¤138

스 스 로 하 기 /

1

1

함 께 하 기 /

쌍곡선 - =1 위의점 (4, 3)에서의접선의방정식을구하여라.y¤133x¤134

익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽

주어진 점이 쌍곡선 위의

점인지 확인한 후, 쌍곡선

밖의 점일 때는 접점의 좌

표를 P(x¡, y¡)로놓고접선

의방정식을구한다.

2 점 (1, 0)에서쌍곡선 -y¤ =1에그은접선의방정식을구하여라.x¤134｜풀이｜

접점의좌표를 P (x¡, y¡)이라고하면접선의방정식은

-y¡y=1 yy㉠·

접선㉠이점 (1, 0)을지나므로　　 =1 ∴ x¡=4 yy㉡·

또점 P(x¡, y¡)은쌍곡선위에있으므로

-y¡¤ =1 yy㉢·

㉡을㉢에대입하여풀면

x¡=4, y¡='3 또는 x¡=4, y¡=-'3

이것을㉠에대입하면구하는접선의방정식은

x-'3y=1 또또는는 x+'3y=1

x¡¤1254

x¡134

x¡x1234

｜풀이｜

- =1에서 a¤ =4, b¤ =3이고, x¡=4, y¡=3이므로

- =1 ∴∴ y=x-13y133

4x124

y¤13b¤

x¤13a¤

점 (0, 3)에서쌍곡선 x¤ -y¤ =12에그은접선의방정식을구하여라.2

익힘책 67쪽 익힘책 68쪽 익힘책 69쪽

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지85 mac01 T

86 Ⅱ. 이차곡선

<준비물> 반투명 종이, 자, 연필

•쌍곡선을 만드는 원리

원 O의외부의한점 F와원위의동점 P에대하여선분 PF의수

직이등분선과 직선 OP의 교점을 Q라고 하면 점 Q의 자취는 쌍곡선

이된다.

즉, △QFM™△QPM이므로 QF”=QP”이고, 다음이성립한다.

OQ”-FQ”=OQ”-QP”=OP”

∴ OQ”-FQ”=(원의반지름의길이)

따라서점 Q의자취는두점 O와 F를초점으로하는쌍곡선이다.

위의내용을종이접기에적용하여쌍곡선의자취를구하여보자.

•종이접기

반투명종이위에원을그리고, 원밖에한점 A를잡는다.

｜그림1｜과같이원의둘레가점 A에닿도록종이를접는다.

｜그림2｜와같이접힌부분을다시펼친뒤에접힌선을긋는다.

｜그림3｜과같이종이를여러번접어 , 과정을반복한다.

｜그림4｜와같은쌍곡선의자취를구할수있다.

수 학

실 험 실전기와복소수_종이접기로만드는쌍곡선

Q

O

P

MF

AO

AO Q

P M

AO

AO

｜그림1｜ ｜그림2｜

｜그림3｜ ｜그림4｜

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.22 3:50 PM 페이지86 mac01 T

3. 쌍곡선 87

다음쌍곡선의방정식을구하여라.

(1) 두초점 F(5, 0), F'(-5, 0)에서의거리의차가 4인쌍곡선

(2) 두초점 F(0, 4), F'(0, -4)에서의거리의차가 6인쌍곡선

1쌍곡선의 방정식

다음쌍곡선의점근선의방정식과초점의좌표를구하여라.

(1) - =-1 (2) x¤ -4y¤ -2x-8y-7=0y¤1320x¤155

2쌍곡선의점근선과 초점

4쌍곡선의접선의 방정식

중 단 원

확 인 하 기

_3. 쌍곡선새로나온용어와기호

쌍곡선, 초점, 중심, 꼭짓점, 주축, 점근선, 이차곡선

이해

이해

동서로 100 km 떨어진 두 기지국 A, B

에서 신호를 받는 배는 B 기지국보다 A

기지국에서 60 km 더 먼 거리를 유지하

며 운항한다고 한다. 오른쪽 그림과 같이

두기지국A, B를 x축위에놓고, A, B

의 중점을 원점으로 하여 좌표평면 위에

나타낼때, 배의운항경로를나타내는방정식을구하여라.

5배의 운항 경로

이해

다음접선의방정식을구하여라.

(1) 쌍곡선 - =1에접하고, 기울기가 2인접선

(2) 쌍곡선 x¤ -3y¤ =6위의점 (-3, 1)에서의접선

(3) 점 (1, 0)에서쌍곡선 - =1에그은접선y¤134x¤139

y¤139x¤134

3쌍곡선과 직선의위치 관계

이해

- =1과직선 y=x+k의위치관계를조사하여라.y¤132x¤134

문제 해결

A BO

100`km

y

x

(071~089)기하와벡터-교과 2008.11.20 9:44 AM 페이지87 mac01 T

88 Ⅱ. 이차곡선

공 학 도 구

기하작도용컴퓨터프로그램을이용하면이차곡선을그릴수있다. 이프로그램은

http://zirkel.sourceforge.net/에서내려받아사용할수있다.

다음단계에따라이차곡선을그려보자.

1단계 이프로그램을실행한후아이콘 을선택하고, 열린창에서‘기본매크로-좌표축’을선

택한후화면을클릭하면좌표축이그려진다.

2단계 점 아이콘 을 이용하여 x(x>0)축 위의 두 점 A, B와

y축위의한점 C를작도한다. 이때, 점A를점 B의오른쪽

에작도한다.

3단계 수선아이콘 을선택하고 x축과점A를선택하면, 점A

를 지나고 x축에 수직인 직선 l이 작도된다. 같은 방법으로

점B를지나고 x축에수직인직선m을작도한다.

4단계 직선 l위에점D를작도한다.

5단계 선분아이콘 을선택하고두점 C, D를선택하면선분 CD가작도된다.

6단계 점아이콘 을이용하여선분 CD와직선m의교점E를작도한다.

7단계 평행선 아이콘 을 선택한 후 x축과 점 E를 순서대로 선

택하면, 점E를지나고 x축에평행한직선 n¡이작도된다.

8단계 원 아이콘 을 선택한 후 원점 O와 직선 n¡과 y축의 교점

을순서대로선택하면원 C¡이작도된다.

9단계 점아이콘 을선택하고원 C¡과 x축의두교점중왼쪽의

점G를작도한다.

10단계 중점아이콘 을선택하고두점G, B를클릭하면중점M이작도된다.

이차곡선그리기

(071~089)기하와벡터-교과 2010.6.11 8:4 PM 페이지88

3. 쌍곡선 89

수학적개념을공학도구를이용하여이해하고탐구해보세요.*

11단계 원아이콘 을선택한후중점M과점G를순서대로선택

하면원 C™가작도된다.

12단계 점아이콘 을선택하고원 C™와 y축의두교점중위쪽의

점H를작도한다.

13단계 평행선아이콘 을선택한후, x축과점H를순서대로선

택하면점H를지나고 x축에평행한직선 n™가작도된다.

14단계 점아이콘 을선택하고두직선m, n™의교점 I를작도한다.

15단계 자동자취아이콘 을선택한후, 점 I와점 B를순서대로

클릭하면이차곡선이그려진다.

16단계 점 B를 마우스 끌기를 하면 점 I가 이차곡선 위를 움직이는

것을확인할수있다.

17단계 점 D를마우스끌기를하면이차곡선의모양이바뀌는것을

확인할수있다.

18단계 개체 편집 아이콘 을 선택하고, 점 E를 두 번 클릭하면

개체편집창이열린다.‘제한된교점’의체크(⋎) 표시를해

제하면오른쪽그림과같이완전한이차곡선을얻을수있다.

1. 점 D가 x축의아래쪽에서움직일때, 점 D의위치에따른이차곡선의종류를말하여라.

논술/수행평가과제

(071~089)기하와벡터-교과 2009.5.22 12:47 PM 페이지89 mac02 T