1

Lui Intensive천재의 발상 – 공간 벡터 좌표

강사 최석호

1. 단면은 수직으로 A, B 두 평면 사이 각의 코사인 값을 구하시오.

1. [3등급 – 45초]

2. [3등급 – 45초]

3. [3등급 – 45초]

*등급 - 제한시간 표시 [3등급 – 90s]3등급에 가장 효과적인 문항입니다. 90초간 생각 후 끝까지 풀지 말고 강의를 들어주세요. 등급 및 제한시간 표시는 강의영상과 차이가 있을 수 있으며 영상보다 교재의 등급 시간을 우선 합니다.

2

4. [3등급 – 60초]

5. [3등급 – 60초]

3

6. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 ABCDEFGH에서 변 BF , DH의 중점을 각각 M N이라 할 때, 삼각형 ACN의 평면 MGE 위로의 정사영의 넓이는? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ①

2. 꾹 누르기

1. 그림과 같은 정육면체 ABCDEFGH에서 모서리 BF를 로 내분하는 점을 I , 모서리 DH를 로 내분하는 점을 J라 하자. 면 IGJ와 밑면 EFGH가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos

이다. 이 때, 의 값을 구하시

오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3등급 – 60초]

답 : 17

4

2. 그림과 같이 정사면체 ABCD가 있다. 선분 AC의 삼등분점 중에서 점 A에 가까운 점을 E 선분 AD의 삼등분점 중에서 점 D에 가까운 점을 F라 하자. 두 삼각형 BEF와 BCD가 이루는 예각의 크기를 라고 할 때, cos

이다. 서로소인 두 자연수 에 대하여 의 값을 구하시오.[3등급 – 60초]

답 : 26

3. 좌표 잡아 내적으로1. 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCDEFGH에서 선분 AC와 선분 BH가 이루는 각의 크기를 라 할 때, sin의 값은? [3등급 – 45초]

① ②

③

④ ⑤

답 : ⑤

2. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체에 대하여 BF CG의 중점을 각각 MN이라 하자. 두 직선 AN HM이 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은? [3등급 – 60초]

① ②

③

④ ⑤

답 : ①

5

3. 그림과 같은 정육면체에서 두 평면 ABGH EFHD가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값은? [3등급 – 60초]

① ②

③

④ ⑤

답 : ②

4. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 정육면체와 정삼각기둥이 있다. 삼각형 EDG를 포함하는 평면을 사각형 DIJH를 포함하는 평면을 라 하자. 두 평면 가 이루는 각을 라 할 때, cos의 값은? 단

[3등급 – 75초]

① ②

③

④ ⑤

답 : ⑤

4. 빛 그림자

1. 반지름의 길이가 cm인 구가 지면에 놓여 있다. 태양이 지면과 의 각도로 구를 비출 때, 지면에 생긴 구의 그림자의 넓이는? [3등급 – 60초]

① cm ② cm ③ cm ④ cm ⑤ cm

답 : ④

6

2. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 반구 모양의 입체가 바닥에 놓여 있다. 이 입체의 평평한 면은 바닥면에 평행하고, 바닥면과 의 각을 이루도록 빛을 비추었을 때, 바닥면에 생기는 이 입체의 그림자의 넓이는 이다. 자연수 의 값을 구하시오. [3등급 – 75초]

답 : 24

3. 서로 수직인 두 평면 의 교선을 이라 하자. 반지름의 길이가 인 원판이 두 평면 와 각각 한 점에서 만나고 교선 에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 와 의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 에 나타나는 원판의 그림자의 넓이를 S라 하자. S의 값을 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.) [3등급 – 90초]

답 : 34

5. 평행 수직 꼬인 위치1. 공간에서 서로 다른 세 직선 과 서로 다른 세 평면 에 대하여 [보기]의 설명 중 옳은 것 만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

[보 기] ㄱ ⊥이고 ⊥이면 ⊥ 또는 이다. ㄴ ⊥이고 ⊥이면 이다. ㄷ ⊥이고 ⊥이면 ⊥ 또는 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ②

7

2. 그림과 같은 정팔면체 ABCDEF에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 60초]

[보 기] ㄱ 평면 ABC와 평면 FDE의 교선이 존재한다. ㄴ 평면 FCB와 평행한 모서리의 개수는 이다. ㄷ 모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

6. 종이 접기1. 그림과 같이 정삼각형 ABC에서 변 AB를 삼등분하는 점 중에서 B에 가까운 점을 D라 하고, 선분 DC를 접는 선으로 하여 꼭짓점 A의 ∆BCD위로의 정사영이 선분 BC위의 점이 되도록 접을 때, 두 평면 ACD와 BCD가 이루는 예각의 크기를 라 하자. cos

일 때, 서로소인 두 자연수 에 대하여 의 값을 구하시오. [2등급 – 90초]

답 : 29

8

2. 그림과 같이 AB BC 인 직사각형 ABCD를 대각선 AC를 접는 선으로 하여 평면 ABC와 평면 ACD가 수직이 되도록 접을 때, 점 D에서 직선 AB 까지의 거리는? [2등급 – 90초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

3. 그림과 같이 두 정삼각형 ABC와 ABD는 서로 각이 를 이루는 두 평면 위에 각각 놓여 있다. ∠CAD 라고 할 때, cos의 값은? [3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답: 몰라

7. 정사면체 특성

1.

9

4. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사면체에서 BC의 중점을 M이라 할 때, <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 75초]

ㄱ. BC⊥면AMDㄴ. BC⊥ADㄷ. 두 면 AMD , ACD가 이루는 각의 크기를 라 하면 cos

이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 : ⑤

3. 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD에서 BKCLCMBN 가 되도록 네 점 K L M N을 각각 네 선분 ABACCDBD위에 잡을 때, 사각형 KLMN의 넓이를 라 하자. 이 때, 함수 의 도함수 ′에 대하여 ×′

의 값을 구하시오. [2등급 – 90초]

답 : 20

10

8. 내접 구

9. 정사형 길이 1.

2. 그림은 평면 위에 중심이 C이고 반지름의 길이가 인 구를 놓은 것이다. 평면 와 의 각을 이루며 구의 중심을 지나는 평면으로 잘라 생기는 원 위의 두 점 P Q에 대하여 선분 PQ가 이 원의 지름이 되도록 잡을 때, 선분 PQ의 평면 위로의 정사영의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

정답 : ③

11

10. 내적 떨구기1. 내적 떨구기 개념

2. 그림은 BC 이고 ∠BCA 인 삼각형 ABC와 이 삼각형의 한 변 BC를

공유하는 정사각형 BDEC를 나타낸 것이다. 선분 AB위를 움직이는 점 P에 대하여 내적 DC∙DP의 최댓값과 최솟값의 합은?[3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

3. 그림과 같이 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구 위의 정점 A와 동점 P에 대하여 OA∙OP 일 때, 점 P가 나타내는 도형의 길이는?[3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ④

12

4. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC에 내접하는 원이 있다. 원이 선분 AB에 접하는 점을 D , 원 위의 임의의 점을 P라 할 때, 두 벡터 ACDP의 내적 AC∙DP의 최댓값은? [3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ⑤

5. 그림과 같이 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원위의 네 점 A B C

D 가 AB∙ADAC∙AD를 만족시킨다. 이 때, AD의 값은? (단, )[3등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ②

13

11. 내적 최대최소

1. 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 인 부채꼴 OAB가

있다. 호 AB위를 움직이는 두 점 PQ에대하여 [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3등급 – 60초]

ㄱ OPOQ의 최댓값은 이다. ㄴ OPOQ의 최댓값은 이다. ㄷ OP∙OQ의 최댓값은 이다.

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

2. 좌표평면에서 원 위를 움직이는 두 점을 P Q라 하고, 두 점 A , B 을 잇는 선분 AB 위를 움직이는 점을 R라 하자. PQ , OR 라 할 때, 의 최댓값은? (단, O는 원점이다.) [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

정답 : ③

14

3. 제 사분면에서 곡선 위를 움직이는 두 점 P

Q

에 대하여 ∆OPQ의 넓이를 라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이다.) [3등급 – 75초]

[보 기] ㄱ lim

→∞

OPOQ

ㄴ OP∙OQ≥

ㄷ lim→∞

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄷ

답 : ③

4. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD에서 모서리 AD위를 움직이는 점 P에 대하여 두 벡터 BP CP의 내적 BP∙CP의 최솟값은? [3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ①

15

5. 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구를 점 O를 지나는 평면 로 잘랐을 때, 구와 평면의 교선 위의 임의의 두 점을 PQ라 하자. 평면 에 수직이면서 점 O를 지나는 직선이 구와 만나는 두 점을 각각 AB라 할 때, 벡터 AP BQ의 내적 AP∙BQ의 최댓값과 최솟값의 합은?[3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ①

6. 두 평면 의 교선을 이라 하자. 평면 위에 있는 원 과 평면 위에 있는 원 는 반지름의 길이가 모두 이다. 그림과 같이 원 과 원 는 점 C에서 직선 과 접한다. 의 중심 O을 지나고 평면 에 수직인 직선과 의 중심 O를 지나고 평면 에 수직인 직선이 만나는 점을 P라 하자.

∠OCO

일 때, 위에 있는 임의의 점 A와 위에 있는 임의의 점 B

에 대하여 PAPB 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값을 구하시오. [3등급 – 75초]

정답 :

16

12. 벡터 그려서1. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC에서 BC CA , AB 라 할 때, 벡터 의 크기는? [5등급 – 45초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

2. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCDEFGH에서 ABDHFG 의 값을 구하여라. [5등급 – 30초]

정답 :

3. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체에서 GC의 중점을 M, OA의 중점을 N이라 할 때, 직선 MN과 평면 DEGF가 만나는 교점을 라 할 때, 의 값은? [4등급 – 60초]

① ② ③

④ ⑤

정답 : ②

17

4. 그림은 한 변을 공유하고 한 변의 길이가 인 두 정육각형을 붙여 나타낸 것이다. 이 때, ACEFBG의 값은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ④

10. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 개로 이루어진 입체도형에서 EAKAHLHP 의 값은? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

정답 : ②

13. 직선위에 떨어지는 벡터 집합

1. OA OB ∠AOB 인 삼각형 OAB가 있다. 두 실수 가 OPOAOB ≧ ≧

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?[3등급 – 90초]

[보 기] ㄱ 일 때, 점 P의 자취의 길이는 이다. ㄴ ≦일 때, 점 P가 존재하는 영역의 넓이는 이다. ㄷ ≦일 때, 점 P가 존재하는 영역의 넓이는

이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄴ ④ ㄱㄷ ⑤ ㄴㄷ

답 : ②

18

2. 그림과 같이 OA OB ∠AOB 인 삼각형 OAB가 있다. 연립 부등식 ≥ ≤ ≥을 만족시키는 에 대하여 벡터OPOA OB의 종점 P가 존재하는 영역의 넓이를 S라 할 때, S 의 값을 구하시오. [level 5 – 180s] [3등급 – 90초]

답 : 16

3. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체가 있다. 이 때, APABAD AE , ≤

를 만족시키는 점 P에 대하여 [보기]중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, ≥ ≥ ≥)[2등급 – 90초]

[보 기] ㄱ 이고 ≤을 만족하는 점 P가 존재하는 영역의 넓이는

이다. ㄴ 을 만족하는 점 P는 한 변의 길이가 인 정삼각형이다. ㄷ ≤ ≤을 만족하는 점 P가 존재하는 영역의 부피는

이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ③

4. 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC에 대하여 점 P가APABAC ≤ ≤

를 만족시킬 때, 점 P가 그리는 도형의 길이는? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

19

5. 평면 위의 두 벡터 , 에 대하여 를

라 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초]

ㄱ. ≤≤일 때 의 최댓값은 이다.ㄴ. 와 가 평행하도록 하는 의 값과 와 가 평행하도록 하는 의 값은

각각 오직 하나 존재한다.ㄷ. 와 가 서로 수직이 되도록 하는 값이 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 : ⑤

14. 벡터 직선의 교점

1. 그림과 같은 ∆OAB에 대하여 OA OB를 각각 로 내분하는 점을 각각 C D라 하고 AD와 BC의 교점을 P라 하자. OP OA

OB라 할 때, 의 값은?[3등급 – 60초]

①

②

③

④

⑤

답 : ④

2. 그림과 같은 평행사변형 ABCD에 대하여 BCCD의 중점을 EF라 하고 DE와 AF의 교점을 G라 하자.AG ABAD일 때, 의 값은?[3등급 – 60초]①

② ③

④ ⑤

답 : ④

20

3. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 OAB에서 변 OB위에 OD 가 되도록 점 D를 잡는다. 꼭짓점 O에서 선분 AD위에 내린 수선의 발을 H라 하자. OH

OAOD 일 때, 의 값은? (단, 은 서로소인 자연수이다.) [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

4. 그림과 같은 AD AD ∠ADB 인 평행사변형 ABCD에서 AD AB라 놓는다. 꼭짓점 D에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E라 할 때, 벡터 AE 를 만족시키는 실수 의 값은? [3등급 – 75초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

5. 그림과 같이 AB AD AE 인 직육면체 ABCDEFGH가 있다. 대각선 AG위를 움직이는 점 P에 대하여 EPCF의 최솟값은? [3등급 – 90초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ③

21

15. 벡터 영역

1.

일정한 범위를 갖는 변수 에 대하여 AB가 그리는 벡터의 영억을 그리시오.

2. AB BC 이고 ∠DAB 인 평행사변형 ABCD에 대하여 AXABBC 단

≦≦ ≦ ≦

를 만족하는 점 X가 나타내는 영역의 넓이는? [3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ③

3. 그림과 같은 사면체 OABC에서 OA, OB OC 라 할 때, 다음 중 삼각형 OAB의 무게중심 G를 지나고, AC에 평행한 벡터 를 나타낸 것은? (단, 는 실수) [2등급 – 90초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

22

4. 그림과 같이 ∠B 인 직각이등변삼각형 ABC에서 AB AC 라 하자. ∆ABC의 내부 및 경계의 임의의 점 P에 대하여AXAP ≦ ≦

를 만족하는 점 가 놓이는 개형으로 옳은 것은? [2등급 – 75초]

① ② ③

④ ⑤

답 : ⑤

5. 와 를 만족하는 의 자취는? [3등급 – 60초]

6. 일 때, 가 이루는 자취의 영역을 그리시오. [3등급 – 60초]

16. 기준 벡터 잡기

1. 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OABC에서 AB의 중점을 M BC를 로 내분하는 점을 N이라 할 때, 내적 OM∙ON

이다. 이 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.) [3등급 – 60초]

답 : 19

23

2. 정사면체 ABCD에서 두 모서리 AC AD의 중점을 각각 MN이라 하자. 직선 BM과 직선 CN이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos

이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3등급 – 60초]

답 : 7

3. 오른쪽 그림과 같이 개의 합동인 정삼각형으로 이루어진 도형 위에 네 점 O P Q R가 있다. OROPOQ로 나타낼 때, 의 값은? (단, 는 실수이다.) [3등급 – 60초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ①

4. 그림과 같이 크기가 같은 정육각형이 서로 겹치지 않으면서 평면을 채우도록 놓여있다. 그림의 점 OABP에 대하여 OA , OB라 하고, OP로 나타낼 때, 의 값은? [3등급 – 75초]

① ②

③ ④ ⑤

답 : ②

24

17. 벡터 식 의미 찾기

1. 평면 위의 점 P와 삼각형 ABC에 대하여 PAPBPCAB일 때, [보기]중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 75초]

[보 기] ㄱ PCPA ㄴ 점 P는 선분 AC를 로 내분한다. ㄷ ∆PAB ∆PBC

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱㄷ ④ ㄴㄷ ⑤ ㄱㄴㄷ

답 : ⑤

2. 네 점 OABC에 대하여 OAOBOC 이 성립한다. 직선 OA가 선분 BC와 만나는 점을 D 직선 OC가 선분 AB와 만나는 점을 E라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [3등급 – 90초](단, 세 점 ABC는 한 직선 위에 있지 않다.)

[보 기] ㄱ 점 E는 선분 AB를 으로 내분한다. ㄴ ∆ABC 이면 ∆OAB 이다. ㄷ ∆ODC 이면 ∆OAE 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱㄴ ⑤ ㄴㄷ

답 : ⑤

3. 삼각형 ABC의 무게중심을 G라 하자. 점 P가 APBPCP CG

를 만족시킬 때, 삼각형 PAB의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 배이다. 실수 의 값은? [3등급 – 90초]①

② ③

④ ⑤

답 : ⑤

25

18. 좌표 잡기1. 그림은 모든 모서리의 길이가 인 두 개의 정사각뿔 OABCD O′DCEF에 대하여 모서리 CD를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. OBOF의 값을 구하시오. [3등급 – 75초](단, 몇 ABCD와 면 DCEF는 한 평면 위에 있다.)

답 : 12

2. 그림은 한 모서리의 길이가 인 두 정사면체 ABCD와 BCDE에 대하여 면 BCD를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터 BA와 DE에 대하여 BADE의 값을 구하시오. [3등급 – 90초]

답 : 12

26

19. 단위 벡터의 자취 1. 오른쪽 그림과 같이 중심이 축 이에 있고 두 직선 와 각각 한 점에서 만나는 원 위를 움직이는 점을 P라 하자. 이 때, OQ

OP

OP를 만족시키는 점 Q가 나타내는 도형 전체의 길이는?

[3등급 – 75초]

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

20. 벡터 합 최대 최소1. 직사각형 ABCD의 두 변 AB AD의 길이는 각각 이고 변 BC의 중점을 E라 한다. 변 AB위의 한 점 P에 대하여 PDPE의 최솟값을 구하여라.[3등급 – 60초]

답 : 12

21.직선 기본 1. 직선의 방정식 기본

27

2. 두 직선

가 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은?

① ② ③ ④ ⑤

답 : ①

3. 두 직선

에 모두 수직이고 원점을 지나는 직선의 방정식은?

① ② ③

④ ⑤

답 : ④

4. 두 점을 지나는 직선

5. 다음 두 직선을 좌표공간에 그리시오.

28

22. 직선 응용

1. 두 직선

와

의 교점의 좌표를 라 할 때, 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

2. 점과 직선 사이의 거리

3. 구 과 직선

가 만나는 두 점을 AB라 할 때, 선분 AB의 길이는?

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

29

4. 좌표공간에서 두 점 A B 을 지나는 직선 이 있다. 점 P

로부터 직선 에 이르는 거리는? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ①

6.

7. 직선 와 평행하고 점 A 을 지나는 직선 ′이라 하자. 두 직선 ′사이의 거리는?

① ②

③ ④

⑤

답 : ①

30

8. 두 직선

위의 임의의 점을

각각 PQ라 할 때, PQ의 최솟값은? [3등급 – 75초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ③

23. 평면 기본1.

2. 좌표공간에서 직선

에 수직이고 점 를 지나는

평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

답 : 15

3. 직선

와 평면 의 교점의 좌표는?

① ② ③ ④ ⑤

정답 : ③

31

4. 다음 두 평면을 좌표공간에 그리시오.

5. 두 평면 사이의 각도

6. 두 평면 에 수직이고 원점 O를 지나는 평면의 방정식은 이다. 이 때, 상수 의 곱 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

답 : 몰라

7. 과 직선

이 이루는 예각의 크기를 라 하면 sin의 값은?

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

32

8. 평면 과 축이 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값을 구하여라.

① ②

③ ④

⑤

답 : ②

9. 세 점을 포함하는 평면

10. 직선과 평면의 교점

24. 평면 응용1. 두 직선을 포함하는 평면

33

2. 점과 평면의 거리

3. 좌표공간의 두 점 A B 와 평면 위의 임의의 점 P에 대하여 PAPB의 최솟값은?[level 3 – 90s]① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

4.

5.

34

6. 평면에 포함되는 직선

평면 * 직선

( )

* 직선

( )

7. 두 평면의 교선

8. 직선을 포함하는 평면

9. 직선과 점을 포함하는 평면

35

10. 두 평면의 교선을 포함하는 평면

25. 공간 응용1. 구 위의 한 점에서 접하는 평면

2. 좌표공간에서 평면 과 평면, 평면, 평면으로 둘러싸인 사면체에 내접하는 구의 부피를 라고 한다. 이 때, ×

의 값을 구하시오.

3.

36

4. 그림과 같이 평면 위의 점 P와 평면 에 의하여 나누어진 두 영역 중 같은 영역에 두 점 A B 이 있다. APPB가 최소가 되는 점 P의 좌표는? [3등급 – 75초]

① ②

③

④

⑤

답 : ③

5. 좌표공간의 두 점 A , B 와 평면 위의 점 P , 평면 위의 점 Q에 대하여 APPQQB의 최솟값은? [3등급 – 90초]

① ② ③ ④ ⑤ 답 : ⑤

6. 두 평면에 정사형이 주어진 직선

37

7. 좌표공간에서 선분 AB의 평면, 평면, 평면 위로의 정사영의 길이가 각각 일 때, 선분 AB의 길이는? [3등급 – 60초]

① ② ③ ④

⑤

답 : ①

8. 좌표공간에 두 점 A B 와 구 위를 움직이는 점 P가 있다. 세 점 ABP의평면 위로의 정사영을 각각 A′B′P′이라 할 때, 삼각형 A′B′P′의 넓이의 최댓값은? [3등급 – 90초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ⑤

9. 구의 평면에 잘린 단면식

10. 방향 코사인 활용 선 – 선

면 면

선 면

면 선

coscoscos

38

11. 그림과 같이 ABBF AD 인 직육면체 ABCDEFGH에서 대각선 AG가 세 면 ABCD BFGC ABFE와 이루는 각의 크기를 각각 라고 할 때, coscoscos의 값은? [3등급 – 75초]

① ②

③ ④ ⑤

답 : ③

12. 좌표공간 위의 점 를 지나고 축, 축, 축의 양의 방향과 각각 를 이루는 직선이 점 를 지날 때, 의 값은? [3등급 – 75초]

① ② ③ ④ ⑤

답 : ②