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8/22/2019 1 a Thermodynamic
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A T H E R M O D Y N A M I C A L C O N S T I T U T I V E M O D E L F O R
S H A P E M E M O R Y M A T E R I A L S .
P A R T I . T H E M O N O L I T H I C S H A P E M E M O R Y A L L O Y
J a m e s G . B o y d
a n d D i m i t r i s C . L a g o u d a s
C e n t e r f o r M e c h a n i c s o f C o m p o s i t e s
T e x a s A & M U n i v e r s i t y
C o l l e g e S t a t i o n , T X 7 7 8 4 3 - 3 1 4 1
C u r r e n t l y a t T h e D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g
U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t C h i c a g o
M / S 2 5 1
2 0 3 9 E n g i n e e r i n g R e s e a r c h F a c i l i t y
8 4 2 W e s t T a y l o r S t r e e t
C h i c a g o , I l l i n o i s 6 0 6 0 7 - 7 0 2 2
A b s t r a c t
P s e u d o e l a s t i c i t y a n d t h e s h a p e m e m o r y e e c t ( S M E ) d u e t o m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i -
e n t a t i o n o f p o l y c r y s t a l l i n e s h a p e m e m o r y a l l o y ( S M A ) m a t e r i a l s a r e m o d e l l e d u s i n g a f r e e e n e r g y
f u n c t i o n a n d a d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l . T h r e e d i e r e n t c a s e s a r e c o n s i d e r e d , b a s e d o n t h e n u m b e r
o f i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s i n t h e f r e e e n e r g y : ( 1 ) A u s t e n i t e p l u s a v a r i a b l e n u m b e r o f m a r t e n s i t e
v a r i a n t s ; ( 2 ) A u s t e n i t e p l u s t w o t y p e s o f m a r t e n s i t e ; a n d ( 3 ) A u s t e n i t e a n d o n e t y p e o f m a r t e n -
s i t e . E a c h m o d e l a c c o u n t s f o r t h r e e d i m e n s i o n a l s i m u l t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n .
T h e s i n g l e - m a r t e n s i t e m o d e l w a s c h o s e n f o r d e t a i l e d s t u d y b e c a u s e o f i t s s i m p l i c i t y a n d i t s e a s e
o f e x p e r i m e n t a l v e r i c a t i o n . C l o s e d f o r m e q u a t i o n s a r e d e r i v e d f o r t h e d a m p i n g c a p a c i t y a n d
t h e a c t u a t o r e c i e n c y o f c o n v e r t i n g h e a t i n t o w o r k . T h e r s t l a w o f t h e r m o d y n a m i c s i s u s e d t o
d e m o n s t r a t e t h a t s i g n i c a n t l y m o r e w o r k i s r e q u i r e d t o c o m p l e t e t h e a d i a b a t i c t r a n s f o r m a t i o n
t h a n t h e i s o t h e r m a l t r a n s f o r m a t i o n . A l s o , a s t h e h a r d e n i n g d u e t o t h e a u s t e n i t e / m a r t e n s i t e m i s -
t s t r e s s e s a p p r o a c h e s z e r o , t h e t r a n s f o r m a t i o n a p p r o a c h e s t h e i s o t h e r m a l , i n n i t e s p e c i c h e a t
c o n d i t i o n s o f a r s t o r d e r t r a n s f o r m a t i o n . I n a s e c o n d p a p e r , t h e s i n g l e - m a r t e n s i t e m o d e l i s u s e d
i n a m e s o m e c h a n i c a l d e r i v a t i o n o f t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s o f a n a c t i v e c o m p o s i t e w i t h a S M A
p h a s e .
I . I N T R O D U C T I O N
S h a p e m e m o r y a l l o y ( S M A ) m a t e r i a l s a l l o w f o r t h e f a b r i c a t i o n o f a d a p t i v e s t r u c t u r e s w i t h i n t r i n s i c
c o n t r o l o f s h a p e a n d v i b r a t i o n p a r a m e t e r s s u c h a s s t i n e s s , n a t u r a l f r e q u e n c y , a n d d a m p i n g . I n
a d d i t i o n , S M A m a t e r i a l s c a n f u n c t i o n a s m o t o r s a n d a c t u a t o r s t h a t c o n v e r t h e a t i n t o w o r k .
T h e s h a p e m e m o r y e e c t i s d u e t o t h e t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n a u s t e n i t e a n d m a r t e n s i t e a n d / o r
t h e r e o r i e n t a t i o n ( d e t w i n n i n g ) o f m a r t e n s i t e v a r i a n t s . A n a c t i v e c o m p o s i t e c a n b e m a d e b y
s u r r o u n d i n g a p r e s t r e s s e d m a r t e n s i t i c S M A b e r w i t h a n o n - S M A m a t r i x m a t e r i a l . W h e n t h e
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c o m p o s i t e i s h e a t e d , u s u a l l y b y p a s s i n g a n e l e c t r i c c u r r e n t t h r o u g h t h e S M A b e r , t h e m a r t e n s i t e
i s t r a n s f o r m e d i n t o a u s t e n i t e a n d t h e b e r c o n t r a c t s , t h e r e b y p r o d u c i n g t h e a c t i v a t i o n . U p o n ,
c o o l i n g , t h e a u s t e n i t e t r a n s f o r m s i n t o m a r t e n s i t e , a n d t h e i n t e r n a l s t r e s s e s w i t h i n t h e m a t r i x
p a r t i a l l y r e t u r n t h e c o m p o s i t e s t r u c t u r e t o i t s o r i g i n a l s h a p e ( E S C H E R a n d H O R N B O G E N
[ 1 9 9 1 ] ; L A G O U D A S a n d T A D J B A K H S H [ 1 9 9 2 ] ) .
T h e v e s i g n i c a n t p h e n o m e n a a s s o c i a t e d w i t h m o n o l i t h i c S M A m a t e r i a l s a r e ( W A R L I M O N T e t
a l [ 1 9 7 4 ] ; S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 ] ) : ( 1 ) P s e u d o e l a s t i c i t y b y t r a n s f o r m a t i o n . I s o t h e r m a l s t r e s s i n g
a b o v e t h e a u s t e n i t e s t a r t t e m p e r a t u r e r e s u l t s i n a n A M t r a n s f o r m a t i o n t h a t p r o d u c e s
a t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n . U p o n i s o t h e r m a l u n l o a d i n g , t h i s s t r a i n i s f u l l y r e c o v e r e d d u r i n g t h e
M A t r a n s f o r m a t i o n , a l b e i t w i t h h y s t e r e s i s ; ( 2 ) P s e u d o e l a s t i c i t y b y r e o r i e n t a t i o n , s o m e t i m e s
k n o w n a s f e r r o e l a s t i c i t y . S t r e s s - i n d u c e d r e o r i e n t a t i o n o f m a r t e n s i t i c v a r i a n t s r e s u l t s i n a n i n e l a s t i c
s t r a i n . A p p l i c a t i o n o f a r e v e r s e s t r e s s c a u s e s t h e v a r i a n t s t o r e t u r n t o t h e i r o r i g i n a l o r i e n t a t i o n ,
r e s u l t i n g i n a h y s t e r e t i c r e c o v e r y o f t h e i n e l a s t i c s t r a i n ; ( 3 ) T h e s h a p e m e m o r y e e c t ( S M E ) b y
t r a n s f o r m a t i o n . W h e n t h e i s o t h e r m a l s t r e s s - i n d u c e d A M t r a n s f o r m a t i o n i s c a r r i e d o u t b e l o w
t h e a u s t e n i t e s t a r t t e m p e r a t u r e , t h e m a r t e n s i t e a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n w i l l r e m a i n a f t e r
i s o t h e r m a l u n l o a d i n g . S u b s e q u e n t h e a t i n g r e s u l t s i n t h e r e c o v e r y o f t h e a u s t e n i t e ( M A ) a n d
t h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n ; ( 4 ) T h e s h a p e m e m o r y e e c t b y r e o r i e n t a t i o n . T h e i n e l a s t i c s t r a i n
p r o d u c e d b y s t r e s s - i n d u c e d r e o r i e n t a t i o n o f m a r t e n s i t i c v a r i a n t s c a n b e r e c o v e r e d b y h e a t i n g t o
c o m p l e t e t h e M A t r a n s f o r m a t i o n . P h e n o m e n a ( 3 ) a n d ( 4 ) a r e s o m e t i m e s k n o w n a s t h e o n e -
w a y S M E ; ( 5 ) T h e t w o - w a y S M E ( T W S M E ) . C y c l i c t h e r m o m e c h a n i c a l t r a n s f o r m a t i o n , k n o w n a s
\ t r a i n i n g " , c a n b e u s e d t o c r e a t e a f a v o r a b l e r e s i d u a l s t r e s s e l d w i t h i n t h e S M A m a t e r i a l . A f t e r
t r a i n i n g , s t r e s s - f r e e c o o l i n g o f a u s t e n i t e p r o d u c e s a t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n t h a t i s h y s t e r e t i c a l l y
r e c o v e r e d d u r i n g s t r e s s - f r e e h e a t i n g o f t h e m a r t e n s i t e .
T h e r m o d y n a m i c s i s t h e s c i e n c e o f c h o i c e f o r c o n s t i t u t i v e m o d e l l i n g b e c a u s e i t l i m i t s t h e p o s s i -
b i l i t i e s f o r m a t e r i a l b e h a v i o r , t h e r e b y s i m p l i f y i n g t h e s p e c i c a t i o n o f c o n s t i t u t i v e m o d e l s . T h e s e
r e s t r i c t i o n s a r e e s p e c i a l l y u s e f u l i n p r e d i c t i n g t h e c o m p l i c a t e d t h e r m o m e c h a n i c a l r e s p o n s e i n h e r -
e n t t o S M A m a t e r i a l s . T h e t h e r m o d y n a m i c a l c o n s t i t u t i o n o f a m a t e r i a l i s g i v e n b y i t s f r e e e n e r g y
f u n c t i o n a n d d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l . F u r t h e r m o r e , E D E L E N [ 1 9 7 4 ] h a s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e r e
e x i s t s a v e c t o r d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m s u c h t h a t t h e g e n e r a l i z e d u x e s a p p e a r i n g i n t h e e n t r o p y
p r o d u c t i o n i n e q u a l i t y c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a d i s s i p a t i v e c o m p o n e n t a n d a n o n - d i s s i p a t i v e c o m -
p o n e n t . T h e d i s s i p a t i v e u x e s m u s t b e d e r i v a b l e f r o m a d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l . T h e w i d e l y u s e d
\ g e n e r a l i z e d s t a n d a r d m a t e r i a l " ( H A L P H E N a n d N G U Y E N [ 1 9 7 5 ] ) i s o n e f o r w h i c h t h e f r e e e n -
e r g y a n d d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l s a r e c o n v e x a n d t h e r e a r e n o n o n - d i s s i p a t i v e u x e s . T A N A K A a n d
N A G A K I [ 1 9 8 2 ] w e r e e v i d e n t l y t h e r s t r e s e a r c h e r s t o d i s c u s s m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n s w i t h i n
t h e c o n t e x t o f E d e l e n ' s f o r m a l i s m . U s i n g t h e f r a m e w o r k o f t h e g e n e r a l i z e d s t a n d a r d m a t e r i a l ,
L E X C E L L E N T a n d L I C H T [ 1 9 9 1 ] h a v e c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d a n u m b e r o f t h e r m o d y n a m i c
m o d e l s f o r S M A m a t e r i a l s , c o n s i d e r i n g s u c h f a c t o r s a s t h e c h o i c e o f s t a t e v a r i a b l e s , t h e f o r m o f t h e
f r e e e n e r g y , a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n r a t e e q u a t i o n s . B E R V E I L L E R e t a l [ 1 9 9 1 ] a n d P A T O O R e t a
[ 1 9 9 3 ] h a v e m o d e l l e d t h e s i n g l e c r y s t a l f r e e e n e r g y a n d t r a n s f o r m a t i o n r a t e b y a s s i g n i n g a n i n t e r -
n a l v a r i a b l e t o t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e m a r t e n s i t i c v a r i a n t s . T h e p o l y c r y s t a l l i n e t r a n s f o r m a t i o n
r e s p o n s e w a s t h e n p r e d i c t e d b y u s i n g t h e s i n g l e c r y s t a l e q u a t i o n s i n t h e s e l f - c o n s i s t e n t m i c r o m e -
c h a n i c s m e t h o d . R A N I E C K I a n d L E X C E L L E N T [ 1 9 9 4 ] u s e d o n e i n t e r n a l v a r i a b l e , t h e t o t a l
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m a r t e n s i t e v o l u m e f r a c t i o n , i n t h e i r t h e r m o d y n a m i c a l d e r i v a t i o n o f a p o l y c r y s t a l l i n e p h e n o m e n o -
l o g i c a l m o d e l f o r p s e u d o e l a s t i c i t y d u e t o t r a n s f o r m a t i o n . S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ] ) h a v e
p u b l i s h e d p e r h a p s t h e o n l y t h e r m o d y n a m i c a l m o d e l f o r p s e u d o e l a s t i c i t y a n d t h e s h a p e m e m o r y
e e c t d u e t o b o t h t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n . T h e d e t a i l e d t h e r m o d y n a m i c a n a l y s e s o f
O R T I N a n d P L A N E S [ 1 9 8 8 , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ] a r e u s e f u l i n d e v e l o p i n g t h e e q u a t i o n s o f a g e n e r a l i z e d
s t a n d a r d m a t e r i a l f o r p h a s e t r a n s f o r m a t i o n i n S M A m a t e r i a l s .
T h u s , a l t h o u g h a s i g n i c a n t e o r t h a s b e e n d e v o t e d t o t h e r m o d y n a m i c m o d e l l i n g o f S M A m a t e -
r i a l s , n o p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l h a s b e e n d e v e l o p e d t h a t a c c o u n t s f o r t h e v e a o r e m e n t i o n e d
p h e n o m e n a o f S M A m a t e r i a l s . I n p a r t i c u l a r , m a c r o s c o p i c a l l y p r o p o r t i o n a l l o a d i n g o f i n e l a s t i c
c o m p o s i t e m a t e r i a l s g e n e r a l l y r e s u l t s i n m i c r o s c o p i c a l l y n o n p r o p o r t i o n a l l o a d i n g o f t h e b e r a n d
m a t r i x . D u r i n g n o n p r o p o r t i o n a l l o a d i n g , r e o r i e n t a t i o n m a y a c c o m p a n y t r a n s f o r m a t i o n . T h e r e -
f o r e , t h e p r e s e n t r e s e a r c h w a s p e r f o r m e d t o c o m b i n e a n d e x t e n d t h e r e s e a r c h o f B E R V E I L L E R
e t a l [ 1 9 9 1 ] , O R T I N a n d P L A N E S [ 1 9 8 8 , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ] , P A T O O R e t a l [ 1 9 8 7 , 1 9 9 3 ] , R A N I E C K I
a n d L E X C E L L E N T [ 1 9 9 4 ] , a n d S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ] t o a c c o u n t f o r n o n p r o p o r t i o n a l
l o a d i n g , s i m u l t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n , a d i a b a t i c d e f o r m a t i o n , a n d c o m b i n e d
i s o t r o p i c a n d k i n e m a t i c h a r d e n i n g . T h e T W S M E w i l l n o t b e i n c l u d e d i n t h e r s t p a p e r . H o w -
e v e r , i n t h e s e c o n d p a p e r , i t i s s h o w n t h a t t h e S M A c o m p o s i t e m a t e r i a l c a n u n d e r g o t h e T W S M E
e v e n t h o u g h t h e c o m p o s i t e c o n s t i t u e n t s c a n o n l y u n d e r g o t h e o n e - w a y S M E .
T h e p l a n o f t h e p r e s e n t t w o - p a r t p a p e r i n i n d i c a t e d i n F i g u r e 1 . W h e n v i e w e d u n d e r a m i c r o s c o p e
a g e n e r i c p o i n t R
m a c r o
i s s e e n t o h a v e a m e s o s c a l e s t r u c t u r e c o n s i s t i n g o f b e r s a n d m a t r i x . I n
t h i s r s t p a p e r , p h e n o m e n o l o g i c a l c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s w i l l b e p r o p o s e d f o r a g e n e r i c m a t e r i a l
p o i n t a t R
m e s o
i n V
m e s o
. W h e n v i e w e d u n d e r a m i c r o s c o p e , t h e m a t e r i a l p o i n t R
m e s o
i s s e e n t o
b e a r e p r e s e n t a t i v e v o l u m e e l e m e n t o f p o l y c r y s t a l l i n e S M A c o m p o s e d o f h e t e r o g e n e i t i e s s e p a r a t e d
b y g r a i n b o u n d a r i e s , b o u n d a r i e s b e t w e e n m a r t e n s i t e v a r i a n t s , a n d b o u n d a r i e s b e t w e e n m a r t e n s i t e
a n d a u s t e n i t e . T h e m i c r o s c a l e ( z
i
) d i s t r i b u t i o n s o f t h e s e h e t e r o g e n e i t i e s a n d b o u n d a r i e s a r e n o t
e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n t h e c o n s t i t u t i o n o f t h e m e s o s c a l e p o i n t R
m e s o
. I n s t e a d , p h a s e t r a n s f o r m a -
t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n ( d e t w i n n i n g ) a r e m o d e l l e d a s c h e m i c a l r e a c t i o n s i n w h i c h i n t e r n a l v a r i a b l e s
s p e c i f y t h e v o l u m e f r a c t i o n o f e a c h t y p e o f h e t e r o g e n e i t y , o r \ c h e m i c a l s p e c i e s " , a t R
m e s o
. T h r e e
s c e n a r i o s w i l l b e c o n s i d e r e d , e a c h u s i n g a d i e r e n t n u m b e r o f c h e m i c a l s p e c i e s : ( 1 ) N s p e c i e s -
a u s t e n i t e p l u s ( N - 1 ) v a r i a n t s o f m a r t e n s i t e , i n s e c t i o n I I ; ( 2 ) 3 s p e c i e s - a u s t e n i t e , s e l f a c c o m -
m o d a t i n g m a r t e n s i t e , a n d d e t w i n n e d m a r t e n s i t e , i n s e c t i o n I I I ; a n d ( 3 ) 2 s p e c i e s - a u s t e n i t e a n d
m a r t e n s i t e , i n s e c t i o n s I V a n d V . S u c h a r e p r e s e n t a t i o n i s p o s s i b l e b e c a u s e d i u s i o n l e s s a l l o t r o p i c
p h a s e t r a n s f o r m a t i o n s a r e m a t h e m a t i c a l a n a l o g s o f c h e m i c a l r e a c t i o n s w i t h s i m p l e s t o i c h i o m e t r i c
c o e c i e n t s ( K E S T I N [ 1 9 7 9 ] ) . T h e r e f o r e , t h e u s e o f i n t e r n a l v a r i a b l e s t o m o d e l m a r t e n s i t i c p h a s e
c h a n g e s c a n b e i n d i r e c t l y c r e d i t i e d t o D e D O N D E R [ 1 9 2 7 ] , w h o i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t s o f c h e m -
i c a l a n i t y a n d e x t e n t o f r e a c t i o n . M i c r o s c a l e o b s e r v a t i o n s a r e u s e d t o g u i d e t h e d e v e l o p m e n t
o f p h e n o m e n o l o g i c a l m e s o s c a l e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . H o w e v e r , t h e r e i s n o a c t u a l s o l u t i o n o f
a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i n V
m i c r o
b e c a u s e , i n p h e n o m e n o l o g i c a l c o n s t i t u t i v e m o d e l l i n g , t h e
c o n s t a n t s i n t h e e q u a t i o n s a r e d e t e r m i n e d f r o m e x p e r i m e n t s .
I n t h e s e c o n d p a p e r , t h e f o r m o f t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a n d t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s f o r t h e
p o i n t R
m a c r o
w i l l b e m e s o m e c h a n i c a l l y d e r i v e d b y r s t s o l v i n g a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o v e r
3
8/22/2019 1 a Thermodynamic
4/40
V
m e s o
, a n d t h e n a v e r a g i n g t h e s o l u t i o n t o o b t a i n t h e c o n s t i t u t i o n o f p o i n t R
m a c r o
. T h e m e s o s c a l e
( y
i
) d i s t r i b u t i o n s o f t h e p h a s e s a n d i n t e r f a c e s a r e n o t e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n t h e c o n s t i t u t i o n o f
t h e m a c r o s c a l e p o i n t R
m a c r o
E a c h o f t h e d i s c u s s i o n s i n s e c t i o n s I I , I I I , a n d I V b e g i n w i t h a s h o r t s t a t e m e n t o f n o t a t i o n , f o l l o w e d
b y t h e t w o e s s e n t i a l i n g r e d i e n t s o f a t h e r m o d y n a m i c m o d e l - t h e f r e e e n e r g y ( t h e r m o d y n a m i c
p o t e n t i a l ) a n d t h e d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l . T h e t w o s p e c i e s m o d e l o f s e c t i o n s I V a n d V i s u s e d
i n t h e m e s o m e c h a n i c s a n a l y s i s o f t h e s e c o n d p a p e r . U n l e s s o t h e r w i s e s t a t e d , e a c h v a r i a b l e a n d
m a t e r i a l c o n s t a n t i n t h i s r s t p a p e r i s a f u n c t i o n o f t h e m e s o s c a l e c o o r d i n a t e s y
i
I I . N C o m p o n e n t M i c r o m e c h a n i c s M o d e l
B E R V E I L L E R e t a l [ 1 9 9 1 ] a n d P A T O O R e t a l [ 1 9 9 3 ] m o d e l l e d t h e s i n g l e c r y s t a l f r e e e n e r g y
a n d t r a n s f o r m a t i o n r a t e b y a s s i g n i n g a n i n t e r n a l v a r i a b l e t o t h e v o l u m e f r a c t i o n o f e a c h o f t h e
m a r t e n s i t i c v a r i a n t s . S i m i l a r l y , B U I S S O N e t a l ( [ 1 9 9 1 ] ) u s e d a t r a n s p o r t t h e o r e m t o d e t e r m i n e
t h e g e n e r a l i z e d f o r c e c o n j u g a t e t o a r e o r i e n t i n g i n t e r - m a r t e n s i t i c i n t e r f a c e . T h e s i n g l e c r y s t a l
r e o r i e n t a t i o n s t r a i n r a t e w a s o b t a i n e d f r o m a c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n a c t i n g o n a y i e l d s u r f a c e i n
t h e s p a c e o f t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s . I n o r d e r t o p r e d i c t t h e p o l y c r y s t a l l i n e r e s p o n s e , t h e r e s u l t s
o f t h e s e s i n g l e c r y s t a l a n a l y s e s m u s t b e u s e d i n a p o l y c r y s t a l l i n e a v e r a g i n g m e t h o d , s u c h a s t h e
s e l f - c o n s i s t e n t m e t h o d . B e c a u s e t h e s e l f - c o n s i s t e n t m e t h o d y i e l d s i m p l i c i t e q u a t i o n s f o r t h e p o l y -
c r y s t a l l i n e p r o p e r t i e s , i t i s o f l i m i t e d u s e a s i n p u t t o t h e l a r g e r s c a l e c o m p o s i t e m i c r o m e c h a n i c s
a n a l y s i s o f t h e s e c o n d p a p e r . T h e s i n g l e c r y s t a l a n a l y s i s d o e s , h o w e v e r , s e r v e t o g u i d e t h e f o r m u -
l a t i o n o f p h e n o m e n o l o g i c a l p o l y c r y s t a l l i n e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . T h e r e f o r e , t h e s i n g l e c r y s t a l
c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s w i l l b e r e v i e w e d i n t h e c o n t e x t o f c h e m i c a l r e a c t i o n s , a n d s u g g e s t i o n s w i l l
b e m a d e f o r i n c l u d i n g t h e e e c t s o f s i m u l t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n a n d t h e e l a s t i c
s t i n e s s d i e r e n c e b e t w e e n a u s t e n i t e a n d m a r t e n s i t e .
I I . 1 . N o t a t i o n
S u p e r s c r i p t s d e n o t e q u a l i t a t i v e d e s c r i p t i o n o f t h e a s s o c i a t e d v a r i a b l e o r c o n s t a n t , w h e r e a s s u b -
s c r i p t s d e n o t e t e n s o r i a l c o m p o n e n t s . T h e r e i s n o s u m m a t i o n o n r e p e a t e d s u p e r s c r i p t s u n l e s s
s p e c i c a l l y s t a t e d b y a s u m m a t i o n s y m b o l ,
P
. A f u n c t i o n H o f v a r i a b l e s ( v
1
; v
2
; ) i s d e n o t e d
b y b r a c k e t s a s H f v
1
; v
2
; g . T h r e e a s s u m p t i o n s a r e u s e d t h r o u g h o u t t h i s p a p e r : ( 1 ) A l l m a t e r i -
a l s a r e l i n e a r l y e l a s t i c ; ( 2 ) T h e i n n i t e s i m a l s t r a i n t e n s o r i s a p p l i c a b l e ; a n d ( 3 ) T h e t e m p e r a t u r e
i s s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s . T h e x e d m a s s s y s t e m c o n s i s t s o f N s p e c i e s , e a c h d e n o t e d b y a n ,
w h e r e 1 N . F o r e x a m p l e , f o r t h e c u b i c t o t e t r a g o n a l a n d m o n o c l i n i c t r a n s f o r m a t i o n s ,
N = 4 a n d N = 2 5 , r e s p e c t i v e l y :
S p e c i e s T y p e
1 - ( N - 1 ) m a r t e n s i t e ( M ) v a r i a n t s
N s i n g l e c r y s t a l a u s t e n i t e ( A )
T h e n u m b e r o f r e a c t i o n s , R , i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f c o m b i n a t i o n s t h a t c a n b e f o r m e d f r o m N
s p e c i e s t a k e n 2 a t a t i m e :
R =
N !
2 ! ( N 2 ) !
=
( N 1 ) N
2
( 1 )
4
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5/40
T h e R \ r e a c t i o n s " , d e n o t e d b y , w h e r e 1 R , a r e l a b e l l e d a s
R e a c t i o n T y p e
1 - ( N - 1 ) t r a n s f o r m a t i o n o f a u s t e n i t e i n t o m a r t e n s i t e
N - R r e o r i e n t a t i o n o f t h e m a r t e n s i t e v a r i a n t s
T h e s t o i c h i o m e t r i c c o e c i e n t s
f o r m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n s a n d r e o r i e n t a t i o n s a r e g i v e n
b y t h e N x R m a t r i x
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1 2 3 N 1 N R
1 j 1 0 0 0 1 0
2 j 0 1 0 0 1 0
3 j 0 0 1 0 0 0
j 0 0 1
N 1 j 0 0 0 1 0 1
N j 1 1 1 1 1 0 0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 2 )
N o t e t h a t t h e n o n z e r o s t o i c h i o m e t r i c c o e c i e n t s a r e g i v e n b y e i t h e r + 1 o r - 1 . T h e r a t e s _c
o f
e a c h m a s s f r a c t i o n c
a r e o b t a i n e d b y s u m m i n g t h e r e a c t i o n r a t e s
_
, a n d t h e m a s s f r a c t i o n s a r e
o b t a i n e d b y i n t e g r a t i o n t o y i e l d
_c
=
R
X
= 1
_
c
= c
+
R
X
= 1
( 3 )
T h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s i s g i v e n b y t h e c o n s t r a i n t
c
0 ;
N
X
= 1
c
= 1 ;
N
X
= 1
_c
= 0 ; ( 4 )
w h i c h r e q u i r e s t h a t o n l y N - 1 o f t h e N m a s s f r a c t i o n s b e i n d e p e n d e n t . T h e t o t a l m a s s d e n s i t y i s
a s s u m e d t o e q u a l t h e m a s s d e n s i t y o f e a c h s p e c i e s , i . e . =
. T h e m a s s f r a c t i o n s a r e t h e r e f o r e
e q u a l t o t h e v o l u m e f r a c t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g s p e c i e s .
U s i n g t h e n o t a t i o n o f P A T O O R e t a l [ 1 9 9 3 ] , t h e k i n e m a t i c s o f t h e r e a c t i o n s c a n b e e x p r e s s e d
i n t e r m s o f t h e i n t e r f a c i a l p l a n e o f n o r m a l n
i
b e t w e e n a u s t e n i t e a n d m a r t e n s i t e a n d b y t h e
d i s p a c e m e n t g i n t h e d i r e c t i o n m
i
o f t r a n s f o r m a t i o n . T h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n E
i j
a n d r o t a t i o n
Q
i j
w i t h r e s p e c t t o t h e a u s t e n i t e c o o r d i n a t e s y s t e m f o r e a c h m a r t e n s i t i c v a r i a n t a r e g i v e n b y
E
i j
=
1
2
( m
i
n
j
+ m
j
n
i
) g ; Q
i j
=
1
2
( m
i
n
j
m
j
n
i
) g ( 5 a b )
I I . 2 . F r e e E n e r g y
T h e G i b b s e n e r g y i s c h o s e n h e r e i n , i n s t e a d o f t h e H e l m h o l t z f r e e e n e r g y , t o f a c i l i t a t e t h e c o m p a r -
i s o n o f m o d e l a n d e x p e r i m e n t s , w h i c h a r e o f t e n p e r f o r m e d u s i n g s t r e s s c o n t r o l . T h e t o t a l s p e c i c
5
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6/40
s i n g l e c r y s t a l G i b b s e n e r g y G f ! g , w h e r e ! = f
i j
; T ; c
g , i s e q u a l t o t h e m a s s w e i g h t e d s u m o f
t h e f r e e e n e r g i e s G
f
i j
; T g o f t h e s p e c i e s p l u s t h e f r e e e n e r g y G
m i x
f
i j
; T ; c
g o f m i x i n g . T h e
f r e e e n e r g y o f e a c h s p e c i e s c o n s i s t s o f t h e t h e r m a l a n d e l a s t i c f r e e e n e r g i e s o f a p u r e s u b s t a n c e .
T h i s i s t h e e n e r g y t h a t a n i n n i t e l y e x t e n d e d s p e c i e s w o u l d e x p e r i e n c e u n d e r u n i f o r m s t r e s s a n d
t e m p e r a t u r e . A c c o r d i n g l y ,
G = G
p u r e
+ G
m i x
=
N
X
= 1
c
G
f
i j
; T g + G
m i x
f
i j
; T ; c
g
= G
A
f
i j
; T g +
N 1
X
= 1
c
( G
f
i j
; T g G
A
f
i j
; T g ) + G
m i x
f
i j
; T ; c
g ;
( 6 )
w h e r e ( 4 ) h a s b e e n u s e d t o d e r i v e t h e s e c o n d p a r t o f ( 6 ) , a n d t h e s u p e r s c r i p t \ A " d e n o t e s a u s t e n i t e .
T h u s , a n y d e v i a t i o n o f G f r o m t h e m a s s a v e r a g e i s d u e t o m i x i n g . T h e f r e e e n e r g y o f e a c h s p e c i e s
i s w r i t t e n a s a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n
G
=
1
1
2
a
1
i j k l
i j
k l
1
a
2
i j
i j
T + a
3
h
T T l n
T
T
i
a
4
T + a
5
; ( 7 )
w h e r e a
1
i j k l
i s t h e e l a s t i c c o m p l i a n c e , a
2
i j
i s t h e t h e r m o e l a s t i c e x p a n s i o n c o e c i e n t , a n d a
3
i s
t h e s p e c i c h e a t , a
4
i s t h e e n t r o p y a t t h e r e f e r e n c e s t a t e , (
i j
= 0 ; T = T
; c
A
= 1 ) , a
5
i s t h e
v a l u e o f G a t t h e r e f e r e n c e s t a t e , a n d T = T T
. T h e t e n s o r i a l q u a n t i t i e s a r e d e n e d w i t h
r e s p e c t t o t h e a u s t e n i t e c o o r d i n a t e s y s t e m . I t i s a s s u m e d t h a t a l l s p e c i e s h a v e t h e s a m e s c a l a r
p r o p e r t i e s :
a
3
= a
M 3
; a
4
= a
M 4
; a
5
= a
M 5
; 1 N 1 ( 8 )
T h e t h e r m o e l a s t i c m o d u l i o f e a c h s p e c i e s a r e d e n e d w i t h r e s p e c t t o t h e a u s t e n i t e r e f e r e n c e f r a m e
s o t h a t
a
1
i j k l
= Q
i m
Q
j n
Q
k o
Q
l p
a
M 1
m n o p
; a
2
i j
= Q
i m
Q
j n
a
M 2
m n
; ( 9 )
w h e r e a
M 1
i j k l
a n d a
M 2
i j
a r e d e n e d w i t h r e s p e c t t o t h e l o c a l m a r t e n s i t e r e f e r e n c e f r a m e a n d Q
i m
i s
a p p r o x i m a t e l y g i v e n b y ( 5 ) w h e n e l a s t i c r o t a t i o n s a r e e x c l u d e d .
T h e f r e e e n e r g y o f m i x i n g c a n b e e x p l a i n e d u s i n g t h e v o c a b u l a r y o f e i g e n s t r a i n s , i n c l u s i o n s a n d
i n h o m o g e n e i t i e s ( M U R A [ 1 9 8 2 ] ) . E i g e n s t r a i n s a r e n o n e l a s t i c s t r a i n s s u c h a s t h e r m a l e x p a n s i o n
a n d p h a s e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n s t h a t m a y b e d u e t o i n c l u s i o n s i n b o d i e s . A n i n c l u s i o n i s a
s u b d o m a i n o f a b o d y t h a t h a s t h e s a m e e l a s t i c m o d u l i a s t h e s u r r o u n d i n g m a t e r i a l . E i g e n s t r e s s e s
a r e s e l f - e q u i l i b r a t e d ( r e s i d u a l , o r i n t e r n a l ) s t r e s s e s t h a t r e s u l t f r o m t h e i n c o m p a t i b i l i t y o f t h e
e i g e n s t r a i n s . E i g e n s t r e s s e s t h e r e f o r e s t o r e f r e e e n e r g y i n a b o d y e v e n i f i t i s f r e e o f e x t e r n a l l y
a p p l i e d l o a d s o r c o n s t r a i n t s . A n i n c l u s i o n w i l l n o t d i s t u r b a n a p p l i e d s t r e s s e l d . A n i n h o m o -
g e n e i t y i s a s u b d o m a i n o f a b o d y w i t h e l a s t i c m o d u l i t h a t d i e r f r o m t h o s e o f t h e s u r r o u n d i n g
m a t e r i a l . T h e r e f o r e , a n i n h o m o g e n e i t y w i l l d i s t u r b a n a p p l i e d s t r e s s e l d . A n i n h o m o g e n e i t y
d o e s n o t , h o w e v e r , s t o r e f r e e e n e r g y i n t h e a b s e n c e o f a p p l i e d l o a d s b e c a u s e i t d o e s n o t p r o d u c e
a n e i g e n s t r a i n . A n i n h o m o g e n e o u s i n c l u s i o n i s a n i n h o m o g e n e i t y t h a t c o n t a i n s a n e i g e n s t r a i n .
T h u s , a n i n h o m o g e n e o u s i n c l u s i o n m a y s t o r e f r e e e n e r g y i n t h e a b s e n c e o f a p p l i e d l o a d s , a n d i t
6
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7/40
w i l l d i s t u r b a n a p p l i e d s t r e s s . A s s u m i n g t h a t t h e f r e e e n e r g y s t o r e d i n t h e i n t e r f a c i a l a r e a b e t w e e n
t h e m a r t e n s i t e a n d t h e a u s t e n i t e i s n e g l i g i b l e , t h e s p e c i c G i b b s e n e r g y o f m i x i n g i s g i v e n w i t h
r e s p e c t t o t h e a u s t e n i t e r e f e r e n c e f r a m e b y
G
m i x
f
i j
; T ; c
g = G
e i g
f
i j
; T ; c
g + G
i n t e r f a c e
=
G
e i g
f
i j
; T ; c
g ( 1 0 )
T h e f r e e e n e r g y o f m i x i n g i s a p p r o x i m a t e d b y a s e r i e s e x p a n s i o n
G
e i g
f
i j
; T ; c
g =
N 1
X
= 1
c
b
1
1
b
2
i j
i j
+ b
3
T +
N 1
X
= 1
b
4
c
1
1
2
b
5
i j k l
i j
k l
1
b
6
i j
i j
T +
1
2
b
7
( T )
2
+
N 1
X
= 1
b
8
c
T +
N 1
X
= 1
b
9
i j
c
i j
+
N 1
X
= 1
N 1
X
! = 1
b
! 1 0
c
c
!
( 1 1 )
D u r i n g t h e f o r w a r d p h a s e t r a n s f o r m a t i o n , t h e m a r t e n s i t e v a r i a n t s a r e i n h o m o g e n e o u s i n c l u s i o n s
w i t h i n t h e a u s t e n i t e m a t r i x . G
m i x
t h e r e f o r e c o n s i s t s o f s e v e r a l c o m p o n e n t s : ( 1 ) T h e m i s t s t r a i n
e n e r g y d u e t o t h e i n c o m p a t i b i l i t y o f t h e t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n e i g e n s t r a i n s . T h e b
1
a c c o u n t f o r t h e s e l f e n e r g y o f e a c h v a r i a n t . b
4
a n d
P
N 1
= 1
P
N 1
! = 1
b
! 1 0
a c c o u n t f o r h a r d e n i n g
d u e t o t h e i r r e v e r s i b l e e i g e n s t r e s s e s ; ( 2 ) B e c a u s e t h e m a r t e n s i t e a n d a u s t e n i t e h a v e d i e r e n t
t h e r m a l e x p a n s i o n c o e c i e n t s , a h o m o g e n e o u s t e m p e r a t u r e c h a n g e w i l l r e s u l t i n m i s t s t r a i n
e n e r g y , m o d e l l e d b y t h e b
7
t e r m , d u e t o t h e i n c o m p a t i b i l i t y o f t h e t h e r m a l e i g e n s t r a i n s ; ( 3 )
T h e i n t e r a c t i o n e n e r g y b e t w e e n t h e m a r t e n s i t i c v a r i a n t s ( i n h o m o g e n e i t i e s ) a n d t h e a p p l i e d s t r e s s .
T h i s e n e r g y c o n t r i b u t e s t o t h e o v e r a l l e l a s t i c s t i n e s s . T h e t e r m s
P
N 1
= 1
b
2
i j
a n d
P
N 1
= 1
b
9
i j
v a n i s h
b e c a u s e i t i s a s s u m e d t h a t t h e r e v e r s i b l e s t r a i n v a n i s h e s a t
i j
= 0 a n d T = T
( s e e ( 1 4 a ) . T h e
c o n s t a n t s b
5
i j k l
a n d b
6
i j
c o n t r i b u t e m i x i n g t e r m s t o t h e e l a s t i c c o m p l i a n c e a n d t h e r m a l e x p a n s i o n
v e c t o r , r e s p e c t i v e l y ; ( 4 ) T h e i n t e r a c t i o n e n e r g y o f t h e i n e l a s t i c a n d t h e r m a l e i g e n s t r e s s e s , w h i c h i s
m o d e l e d b y b
3
. T h e b
8
a c c o u n t f o r t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e i r r e v e r s i b l e e i g e n s t r e s s e s ,
w h i c h c a n b e d u e t o t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e e l a s t i c m o d u l i .
T h e o u t s t a n d i n g p r o b l e m o f t h e r m o d y n a m i c s i s t o p r o v i d e a r i g o r o u s d e n i t i o n o f n o n - e q u i l i b r i u m
e n t r o p y , s . I n t h e p r e s e n t p a p e r , i t i s a s s u m e d t h a t s =
@ G
@ T
, w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e a s s u m p -
t i o n s o f l o c a l e q u i l i b r i u m ( d e G R O O T a n d M A Z U R [ 1 9 6 2 ] ; G L A N S D O R F F a n d P R I G O G I N E ,
[ 1 9 7 1 ] ) , l o c a l a c c o m p a n y i n g s t a t e ( K E S T I N a n d B A T A I L L E [ 1 9 7 7 ] ; B A T A I L L E a n d K E S T I N
[ 1 9 7 9 ] ) , a n d q u a s i - h o m o g e n e i t y ( E D E L E N [ 1 9 9 4 ] ) . T h e s e a s s u m p t i o n s i m p l y t h a t t h e t h e r m o -
s t a t i c d e n i t i o n o f e n t r o p y a s a n i n t e g r a t i n g f a c t o r f o r t h e h e a t r a t e a n d t h e i n t e r n a l e n e r g y a s
a n e x a c t d i e r e n t i a l a r e m a i n t a i n e d i n a n e x t e n d e d s t a t e s p a c e t h a t i n c l u d e s i n t e r n a l v a r i a b l e s .
T h e f r e e e n e r g y r a t e i s t h e r e f o r e w r i t t e n a s
_
G =
@ G
@
i j
_
i j
+
@ G
@ T
_
T +
N 1
X
= 1
@ G
@ c
_c
1
t e
i j
_
i j
s
_
T +
N 1
X
= 1
_c
1
t e
i j
_
i j
s
_
T
R
X
= 1
A
_
;
( 1 2 )
7
8/22/2019 1 a Thermodynamic
8/40
w h e r e
t e
i j
i s t h e t h e r m o e l a s t i c , o r r e v e r s i b l e i n n i t e s i m a l s t r a i n
t e
i j
=
i j
i r r
i j
( 1 3 )
i j
i s t h e t o t a l i n n i t e s i m a l s t r a i n a n d
i r r
i j
i s t h e i r r e v e r s i b l e s t r a i n d u e t o b o t h p h a s e t r a n s f o r -
m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n . T h e g e n e r a l i z e d f o r c e s a r e
t e
i j
@ G
@
i j
=
a
1
i j k l
+
N 1
X
= 1
c
b
5
i j k l
k l
+
a
2
i j
+
N 1
X
= 1
c
b
6
i j
T ; ( 1 4 a )
s
@ G
@ T
=
1
a
2
i j
+
N 1
X
= 1
c
b
6
i j
i j
+ a
3
l n
T
T
+ a
4
N 1
X
= 1
c
b
3
+ b
7
+
N 1
X
= 1
b
8
c
T
; ( 1 4 b )
a n d
A
N 1
X
= 1
N 1
X
= 1
@ G
@ c
=
N 1
X
= 1
G
G
A
N 1
X
= 1
b
1
+ b
3
T +
N 1
X
= 1
b
4
c
1
1
2
b
5
i j k l
i j
k l
1
b
6
i j
i j
T +
1
2
b
7
( T )
2
+
N 1
X
= 1
b
8
c
+
R
X
= 1
T +
N 1
X
= 1
N 1
X
! = 1
b
! 1 0
c
+
R
X
= 1
c
!
+
R
X
= 1
!
;
( 1 4 c )
w h e r e
a
1
i j k l
= a
A 1
i j k l
+
N 1
X
= 1
c
a
1
i j k l
; a
2
i j
= a
A 2
i j
+
N 1
X
= 1
c
a
2
i j
; a
3
= a
A 3
+
N 1
X
= 1
c
a
3
;
a
4
= a
A 4
+
N 1
X
= 1
c
a
4
a
5
= a
A 5
+
N 1
X
= 1
c
a
5
;
( 1 5 a e )
a n d
a
1
i j k l
= a
1
i j k l
a
A 1
i j k l
; a
2
i j
= a
2
i j
a
A 2
i j
; a
3
= a
M 3
a
A 3
;
a
4
= a
M 4
a
A 4
; a
5
= a
M 5
a
A 5
;
( 1 6 a e )
I f t h e t h e r m o e l a s t i c e e c t o f d i e r e n t v a r i a n t o r i e n t a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e a u s t e n i t e r e f e r e n c e
f r a m e i s n e g e l e c t e d , t h e n a l l v a r i a n t s h a v e t h e s a m e f r e e e n e r g y G
M
o f m a r t e n s i t e :
a
1
i j k l
= a
M 1
i j k l
; a
2
i j
= a
M 2
i j
; b
1
= b
1
; b
3
= b
3
; b
5
i j k l
= b
5
i j k l
;
b
6
i j
= b
6
i j
; b
7
= b
7
; b
8
= b
8
; 1 N 1
( 1 7 a h )
8
8/22/2019 1 a Thermodynamic
9/40
I n t h i s c a s e , t h e i n h o m o g e n e i t y e e c t s o f e a c h v a r i a n t a r e e q u a l , b u t t h e i n c l u s i o n e e c t s o f e a c h
v a r i a n t a r e n o t e q u a l b e c a u s e t h e e i g e n s t r a i n s d u e t o E
i j
d i e r a m o n g v a r i a n t s . T h e p u r e a n i t i e s
t h e n r e d u c e t o t h e s i m p l e f o r m s
A
p u r e
N 1
X
= 1
p u r e
N 1
X
= 1
@ G
p u r e
@ c
=
1
1
2
a
M 1
i j k l
a
A 1
i j k l
i j
k l
+
1
a
M 2
i j
a
A 2
i j
i j
T
a
M 3
a
A 3
h
T T l n
T
T
i
a
M 4
a
A 4
a
M 5
a
A 5
A
p u r e
= 0 ; N R
( 1 8 )
T h e r e f o r e , i f e a c h v a r i a n t h a s t h e s a m e t h e r m o e l a s t i c p r o p e r t i e s , t h e n r e o r i e n t a t i o n d o e s n o t a l t e r
t h e e e c t i v e m a t e r i a l p r o p e r t i e s .
I I . 3 . D i s s i p a t i o n P o t e n t i a l
T h e t o t a l e n t r o p y p r o d u c t i o n p e r u n i t v o l u m e
_
i s g i v e n a s t h e s u m m a t i o n o f t h e l o c a l e n t r o p y
p r o d u c t i o n _ d u e t o m i c r o s t r u c t u r a l r e a r r a n g e m e n t s a n d t h e e n t r o p y p r o d u c t i o n d u e t o h e a t
c o n d u c t i o n _ ( M A L V E R N [ 1 9 6 9 ] ) , i . e . ,
_
= _ + _ . A c c o r d i n g t o t h e s t r o n g f o r m o f t h e s e c o n d l a w
o f t h e r m o d y n a m i c s , t h e t w o e n t r o p y p r o d u c t i o n s a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t l y n o n n e g a t i v e
f o r a l l p r o c e s s e s , i n w h i c h c a s e
T _ =
i j
_
i j
_
s
_
T 0 ; T _ =
1
T
q
i
T
; i
0 ( 1 9 a b )
w h e r e f
t e
i j
; T ; c
g i s t h e s p e c i c H e l m h o l t z f r e e e n e r g y . U s i n g a p a r t i a l L e g e n d r e t r a n s f o r m a t i o n
= G +
1
i j
t e
i j
; ( 2 0 )
T _ c a n b e r e w r i t t e n a s
T _ =
i j
_
i r r
i j
+
R
X
= 1
A
_
0 ( 2 1 )
U s i n g ( 3 ) , t h e i r r e v e r s i b l e s t r a i n i s
i r r
i j
=
N 1
X
= 1
E
i j
c
=
N 1
X
= 1
E
i j
c
+
R
X
= 1
( 2 2 )
I n g e n e r a l , E
i j
i s a f u n c t i o n o f t h e m o r p h o l o g y o f t h e c
, a n d E
i j
6= E
i j
b e c a u s e t h e i r r e v e r s i b l e
s t r a i n d o e s n o t v o l u m e a v e r a g e i f t h e m a t e r i a l c o n t a i n s e l a s t i c i n h o m o g e n e i t i e s . I f a
1
i j k l
= a
M 1
i j k l
,
t h e n E
i j
= E
i j
i s e x a c t f o r r e o r i e n t a t i o n o f 1 0 0 % m a r t e n s i t e . I f a
A 1
i j k l
= a
1
i j k l
= a
M 1
i j k l
, t h e n
E
i j
= E
i j
i s a l w a y s e x a c t . W i t h t h e n e t t h e r m o d y n a m i c f o r c e
t o
_
g i v e n b y
=
i j
N 1
X
= 1
E
i j
+ A
; ( 2 3 )
9
8/22/2019 1 a Thermodynamic
10/40
t h e e n t r o p y p r o d u c t i o n b e c o m e s
T _ =
R
X
= 1
_
0 ( 2 4 )
E D E L E N [ 1 9 7 4 ] h a s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e r e e x i s t s a v e c t o r d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m s u c h t h a t
t h e u x e s a p p e a r i n g i n t h e e n t r o p y p r o d u c t i o n i n e q u a l i t y c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a d i s s i p a t i v e
c o m p o n e n t a n d a n o n - d i s s i p a t i v e c o m p o n e n t . F u r t h e r m o r e , t h e d i s s i p a t i v e u x e s m u s t b e d e r i v -
a b l e f r o m a d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l . I t i s a s s u m e d t h a t t h e i n d i v i d u a l e n t r o p y p r o d u c t i o n r a t e s ,
g i v e n b y T _
_
, m u s t b e n o n - n e g a t i v e . I n t h i s c a s e ( 2 4 ) t a k e s t h e m o r e r e s t r i c t e d f o r m
( a s s u m i n g t h a t t h e r e a r e n o n o n - d i s s i p a t i v e u x e s )
T _
=
_
0 ; 1 R ( 2 5 )
E a c h r a t e o f r e a c t i o n
_
i s g i v e n b y a d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l
f
; ! g . I t i s a s s u m e d t h a t t h e
r e a c t i o n s a r e u n c o u p l e d , s o t h a t
=
f
; ! g a s
_
=
@
@
=
@ ( T _
)
@
=
@
@
Z
1
0
T _
f
; ! g
d
=
@
@
Z
1
0
_
f
; ! g d ( 2 6 )
I n t h e c a s e o f r a t e i n d e p e n d e n t t r a n s f o r m a t i o n , n o n z e r o u x e s
_
o c c u r o n l y w h e n t h e f o r c e
r e a c h e s a t h r e s h o l d v a l u e . T h e r a t e i n d e p e n d e n t e q u i v a l e n t o f ( 2 6 ) i s
_
=
@
f
; ! g
@
; ( 2 7 )
w h e r e t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r s
a r e g o v e r n e d b y t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s
0 ;
Y
;
(
Y
) = 0 ; ( 2 8 )
a n d Y
i s a t h r e s h o l d p a r a m e t e r s i m i l a r t o t h e y i e l d s t r e s s o f c l a s s i c a l p l a s t i c i t y . F o r n o n l i n e a r
f o r c e - u x r e l a t i o n s , i . e . f o r c a s e s i n w h i c h t h e l i n e a r O n s a g e r t h e o r y d o e s n o t a p p l y , t h e r e i s i n
g e n e r a l n o t h e r m o d y n a m i c s t a b i l i t y r e q u i r e m e n t , o r r e q u i r e m e n t o f c o n v e x
:
_
_
=
_
@
@
0 ( 2 9 )
F o r t h e c a s e s i n w h i c h t h e r e a c t i o n s a r e s t a b l e , i . e . ( 2 9 ) i s a p p l i c a b l e , t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s
s e r v e t o m a x i m i z e t h e r a t e - i n d e p e n d e n t d i s s i p a t i o n s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t s o f t h e c o n s e r v a -
t i o n o f m a s s , e q u a t i o n ( 2 ) . T h e w i d e l y u s e d \ g e n e r a l i z e d s t a n d a r d m a t e r i a l " ( H A L P H E N a n d
N G U Y E N [ 1 9 7 5 ] ) i s a s p e c i a l c a s e o f E d e l e n ' s g e n e r a l f o r m a l i s m i n w h i c h t h e f r e e e n e r g y a n d d i s -
s i p a t i o n p o t e n t i a l s a r e c o n v e x a n d t h e r e a r e n o n o n - d i s s i p a t i v e u x e s . S i m i l a r l y , t h e \ m a x i m u m
d i s s i p a t i o n p o s t u l a t e " o f c l a s s i c a l p l a s t i c i t y i s a s p e c i a l c a s e o f E d e l e n ' s f o r m a l i s m i n w h i c h t h e
r a t e i n d e p e n d e n t y i e l d f u n c t i o n i s t h e d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l a n d t h e r e a r e n o n o n - d i s s i p a t i v e u x e s .
I n t h e p r e s e n t c a s e , t h e d e f o r m a t i o n i s a s s u m e d t o b e r a t e i n d e p e n d e n t b e c a u s e t h e t e m p e r a t u r e s
1 0
8/22/2019 1 a Thermodynamic
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a r e t o o l o w t o c a u s e s i g n i c a n t t h e r m a l a c t i v a t i o n . E a c h d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l i s a p p r o x i m a t e d
b y a q u a d r a t i c f o r m
=
1
2
(
)
2
( 3 0 )
F r o m t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s , a n a l t e r n a t i v e s t a t e m e n t o f t h e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n o f c l a s -
s i c a l p l a s t i c i t y , i t f o l l o w s t h a t
0 =
_
=
_
w h e n
_
6= 0 ( 3 1 )
T h u s , r a t e i n d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n r e q u i r e s t h a t
_
_
= 0 ; o r
_
= 0 w h e n
_
6= 0 ( 3 2 )
T h e l o c a l e n t r o p y p r o d u c t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s
T _ =
R
X
= 1
(
)
2
=
R
X
= 1
2
Y
; ( 3 3 )
f r o m w h i c h i t m a y b e s e e n t h a t t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r s
c o n t r o l t h e h i s t o r y d e p e n d e n c e o f t h e
e n t r o p y p r o d u c t i o n . T h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r s
a r e d e t e r m i n e d b y r s t a p p l y i n g ( 3 2 ) , a s s u m i n g
t h a t t h e E
i j
a r e c o n s t a n t :
0 =
_
=
@
@
i j
_
i j
+
@
@ A
_
A
; = 1 ; 2 ; 3 : : : R ( 3 4 )
o r
R
X
= 1
@ A
@
_
=
N 1
X
= 1
E
i j
+
@ A
@
i j
_
i j
@ A
@ T
_
T ; = 1 ; 2 ; 3 : : : R ( 3 5 )
a n d t h e n u s i n g t h e o w r u l e ( 2 7 ) t o o b t a i n R s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s f o r t h e R L a g r a n g e m u l t i -
p l i e r s
:
R
X
= 1
@ A
@
@
@
=
N 1
X
= 1
E
i j
+
@ A
@
i j
_
i j
@ A
@ T
_
T ; = 1 ; 2 ; 3 : : : R ( 3 6 )
T h e m a t r i x f o r m o f t h e s e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s y i e l d s s p a r c e l y p o p u l a t e d m a t r i c e s b e c a u s e m o s t
o f t h e s t o i c h i o m e t r i c c o e c i e n t s a r e z e r o . T h e t r a n s f o r m a t i o n r a t e s c a n b e d e t e r m i n e d b y u s i n g
t h e
i n t h e o w r u l e s ( 2 7 ) .
I I . 4 . D i s c u s s i o n
T h e c o n s t a n t s i n G
e i g
c a n b e o b t a i n e d b y p e r f o r m i n g a m i c r o m e c h a n i c s a n a l y s i s i n w h i c h o n e
r s t s o l v e s a l o c a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i n V
m i c r o
f o r a g i v e n a r r a n g e m e n t o f t h e N s p e c i e s ,
f o l l o w e d b y a n a v e r a g i n g m e t h o d t o o b t a i n t h e o v e r a l l s i n g l e c r y s t a l c o e c i e n t s . S u c h a n a n a l y s i s
i s e x t r e m e l y c o m p l i c a t e d d u e t o t h e e n o r m o u s n u m b e r o f p o s s i b l e v a r i a n t a r r a n g e m e n t s . A v e r y
1 1
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c r u d e s o l u t i o n c o u l d b e o b t a i n e d u s i n g t h e L a n d a u - G i n z b u r g e x t e n s i o n o f t h e L a n d a u t h e o r y o f
p h a s e t r a n s f o r m a t i o n s . I n t h e L a n d a u t h e o r y , t h e s t r a i n s ( 5 ) a r e r e l a t e d t o t h e o r d e r p a r a m e t e r s
v i a t h e m a t r i x o f e i g e n v e c t o r s o f t h e a u s t e n i t e e l a s t i c s t i n e s s t e n s o r . T h e L a n d a u f r e e e n e r g y
i s t h e n e x p a n d e d a s a f u n c t i o n o f t h e o r d e r p a r a m e t e r s a n d t h e s t r e s s . M i n i m i z a t i o n o f t h e
L a n d a u e n e r g y w i t h r e s p e c t t o t h e o r d e r p a r a m e t e r s y i e l d s t h e v a r i a n t s t h a t f o r m . T h e L a n d a u
t h e o r y , h o w e v e r , i s a p p l i c a b l e o n l y t o p u r e s u b s t a n c e s b e c a u s e i t d o e s n o t a c c o u n t f o r t h e e e c t s
o f v a r i a n t i n t e r a c t i o n , i . e . t h e e i g e n s t r e s s e s t h a t r e s u l t f r o m t h e c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t s a m o n g
t h e v a r i a n t s . I n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e v a r i a n t i n t e r a c t i o n , B A R S C H a n d K R U M H A N S L [ 1 9 9 2
h a v e a u g m e n t e d t h e L a n d a u f r e e e n e r g y w i t h n o n l i n e a r a n d n o n l o c a l ( o r s t r a i n g r a d i e n t , o r
L a n d a u - G i n z b u r g ) t e r m s w h i c h a c c o u n t f o r i n t e r m a r t e n s i t i c t w i n b o u n d a r i e s a n d a p e r i o d i c a l l y
m o d u l a t e d s t r a i n p a t t e r n . E v e n t h e s e a n a l y s e s , h o w e v e r , a r e p e r f o r m e d f o r p l a n e p r o b l e m s w i t h
a s m a l l n u m b e r o f v a r i a n t s .
G A N G H O F F E R a n d c o w o r k e r s ( [ 1 9 9 1 ] ) u s e d t h e n i t e e l e m e n t m e t h o d t o p r e d i c t t h e t r a n s -
f o r m a t i o n s t r a i n a n d t h e p l a s t i c a c c o m m o d a t i o n s t r a i n . E a c h e l e m e n t o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l ,
s i n g l e c r y s t a l m e s h r e p r e s e n t e d e i t h e r a u s t e n i t e o r a m a r t e n s i t e v a r i a n t a s s o c i a t e d w i t h o n e o f
f o u r h a b i t p l a n e s . B e c a u s e t h e m a r t e n s i t e f o r m s i n m u l t i p l e v a r i a n t s , i t i s g e n e r a l l y i m p o s s i b l e t o
m i n i m i z e t h e S M A s t r a i n e n e r g y u s i n g a c o n t i n u o u s d i s p l a c e m e n t e l d . B A L L a n d J A M E S [ 1 9 8 7
h a v e s u c c e s s f u l l y o v e r c o m e t h i s d i c u l t y b y u s i n g t h e m e t h o d o f m i n i m i z i n g s e q u e n c e s w i t h a
n o n - c o n v e x f r e e e n e r g y t o m o d e l t h e t w i n n e d m a r t e n s i t e i n t e r f a c e , t w i n p l a n e s , a n d t h e a u s t e n -
i t e / n e l y t w i n n e d m a r t e n s i t e i n t e r f a c e . C O L L I N S a n d L U S K I N [ 1 9 8 8 ] h a v e u s e d t h i s t h e o r y t o
p r e d i c t t h e a r r a n g e m e n t s o f t h r e e v a r i a n t s i n a p l a n a r p r o b l e m . T h i s n i t e e l e m e n t - l i k e a n a l y s i s
i s c o m p u t a t i o n a l l y i n t e n s e e v e n f o r t h i s s i m p l i e d g e o m e t r y . N e i t h e r t h e a d v a n c e d L a n d a u t h e o r y
n o r t h e m e t h o d o f m i n i m i z i n g s e q u e n c e s a c c o u n t s f o r d i s s i p a t i v e e e c t s a n d t h e a s s o c i a t e d p a t h
d e p e n d e n t e v o l u t i o n o f r e a l t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n .
R e g a r d l e s s o f t h e m e t h o d u s e d t o p r e d i c t t h e a r r a n g e m e n t o f s p e c i e s , t h e s i n g l e c r y s t a l r e s p o n s e
m u s t b e u s e d i n a m i c r o m e c h a n i c s s o l u t i o n o v e r V
m i c r o
t o o b t a i n t h e a v e r a g e r e s p o n s e o f a p o l y -
c r y s t a l l i n e S M A m a t e r i a l . F o r t h e c a s e o f p s e u d o e l a s t i c i t y d u e t o t r a n s f o r m a t i o n , P A T O O R e t a l
[ 1 9 9 3 ] h a v e o b t a i n e d e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t u s i n g t h e s e l f - c o n s i s t e n t
m e t h o d f o r a C u - Z n - A l S M A m a t e r i a l w i t h t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s : ( 1 ) T h e m a r t e n s i t e v a r i a n t s
a n d t h e a u s t e n i t e h a v e t h e s a m e e l a s t i c m o d u l i ; a n d ( 2 ) G
e i g
i s g i v e n b y t h e s i m p l i e d e q u a t i o n
G
e i g
=
2 4
X
= 1
2 4
X
= 1
b
8
c
c
( 3 7 )
F u r t h e r m o r e , t h e i n t e r a c t i o n m a t r i x d
w a s a p p r o x i m a t e d u s i n g o n l y t w o t e r m s ( F A S S I - F E H R I
e t a l [ 1 9 8 7 ] ) , o n e f o r s e l f a c c o m m o d a t i n g v a r i a n t s a n d o n e f o r n o n - s e l f a c c o m m o d a t i n g v a r i a n t s .
D e s p i t e i t s d e m o n s t r a t e d a c c u r a c y , t h i s p o l y c r y s t a l l i n e m o d e l i s n o t u s e f u l a s i n p u t t o t h e l a r g e r
s c a l e m i c r o m e c h a n i c s a n a l y s i s o f t h e s e c o n d p a r t o f t h i s p a p e r b e c a u s e t h e s e l f - c o n s i s t e n t m e t h o d
d o e s n o t y i e l d c l o s e d f o r m s o l u t i o n s f o r t h e e e c t i v e p o l y c r y s t a l l i n e p r o p e r t i e s . I t i s t h e r e f o r e
n e c e s s a r y t o d e r i v e p h e n o m e n o l o g i c a l e q u a t i o n s f o r t h e p o l y c r y s t a l l i n e S M A m a t e r i a l . B H A T -
T A C H A R Y A a n d K O H N [ 1 9 9 3 ] h a v e d e r i v e d t h e e e c t i v e f r e e e n e r g y f u n c t i o n o f p o l y c r y s t a l s i n
w h i c h e a c h c r y s t a l c o n t a i n s a s m a l l n u m b e r o f m a r t e n s i t i c v a r i a n t s . D i s s i p a t i v e e e c t s w e r e n o t
i n c l u d e d .
1 2
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I I I . T h r e e C o m p o n e n t P h e n o m e n o l o g i c a l M o d e l
T A N A K A [ 1 9 8 6 ] h a s p r e s e n t e d a o n e - d i m e n s i o n a l p h e n o m e n o l o g i c a l S M A m o d e l t h a t i s s i m i l a r
t o n o n l i n e a r e l a s t i c i t y , o r d e f o r m a t i o n p l a s t i c i t y , i n t h a t t h e m a r t e n s i t i c v o l u m e f r a c t i o n i s g i v e n
b y a p i e c e w i s e e q u a t i o n o f s t a t e r a t h e r t h a n a n i n c r e m e n t a l o w r u l e t h a t u s e s a d i s s i p a t i o n
p o t e n t i a l . B R I N S O N [ 1 9 9 3 ] h a s e x t e n d e d t h e m o d e l o f T A N A K A [ 1 9 8 6 ] b y d e c o m p o s i n g t h e
m a r t e n s i t i c v o l u m e f r a c t i o n i n t o t w o p a r t s , s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e , w h i c h d o e s n o t p r o -
d u c e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n , a n d n o n - s e l f a c c o m m o d a t i n g ( o r d e t w i n n e d ) m a r t e n s i t e , w h i c h p r o -
d u c e s t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n . B O Y D a n d L A G O U D A S [ 1 9 9 3 ] h a v e p r o p o s e d a t h r e e d i m e n s i o n a l ,
t h e r m o d y n a m i c a l l y b a s e d e x t e n s i o n o f t h i s c o n c e p t t h a t i n c l u d e s t h r e e c o m p o n e n t s : a u s t e n i t e ,
s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e , a n d n o n - s e l f a c c o m m o d a t i n g ( o r d e t w i n n e d ) m a r t e n s i t e . S e c t i o n
I I I o f t h e p r e s e n t p a p e r i s a r e v i e w o f t h e m o d e l o f B O Y D a n d L A G O U D A S [ 1 9 9 3 ] .
I I I . 1 . N o t a t i o n
T h e x e d m a s s s y s t e m c o n s i s t s o f t h r e e s p e c i e s u n d e r g o i n g t h r e e \ r e a c t i o n s " :
S p e c i e s T y p e R e a c t i o n T y p e
1 s e l f a c c o m m o d a t i n g p o l y c r y s t a l l i n e m a r t e n s i t e I 3 1
2 d e t w i n n e d p o l y c r y s t a l l i n e m a r t e n s i t e I I 3 2
3 p o l y c r y s t a l l i n e a u s t e n i t e I I I 1 2
T h e s t o i c h i o m e t r i c c o e c i e n t s
a r e g i v e n b y
=
2
4
1 0 1
0 1 1
1 1 0
3
5
( 3 8 )
T h e r a t e s _c
o f e a c h m a s s f r a c t i o n c
a r e o b t a i n e d b y s u m m i n g o v e r e a c h r e a c t i o n , a n d t h e m a s s
f r a c t i o n s a r e o b t a i n e d b y i n t e g r a t i o n t o y i e l d
_c
=
I I I
X
= I
_
c
= c
+
I I I
X
= I
( 3 9 )
E q u a t i o n ( 3 8 ) c a n b e u s e d i n ( 3 9 ) t o o b t a i n
c
1
= c
1
+
I
I I I
; c
2
= c
2
+
I I
+
I I I
; c
3
= c
3
I
I I
( 4 0 )
T h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s i s g i v e n b y t h e c o n s t r a i n t
c
0 ;
3
X
= 1
c
= 1 ;
3
X
= 1
_c
= 0 ; ( 4 1 )
w h i c h r e q u i r e s t h a t o n l y 2 o f t h e 3 m a s s f r a c t i o n s a r e i n d e p e n d e n t . T h e t o t a l m a s s d e n s i t y i s
a s s u m e d t o e q u a l t h e m a s s d e n s i t y o f e a c h s p e c i e s . T h e m a s s f r a c t i o n s c
a r e t h e r e f o r e e q u a l t o
t h e v o l u m e f r a c t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g s p e c i e s .
1 3
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14/40
I I I . 2 . F r e e E n e r g y
T h e t o t a l s p e c i c G i b b s e n e r g y G f ! g o f a p o l y c r y s t a l l i n e S M A , w h e r e ! = f
i j
; T ; c
1
; c
2
;
i j
g , i s
e q u a l t o t h e m a s s w e i g h t e d s u m o f t h e f r e e e n e r g y G
f
i j
; T g o f e a c h s p e c i e s p l u s t h e f r e e e n e r g y
G
m i x
f
i j
; T ; c
1
; c
2
;
i j
g o f m i x i n g . T h e i n t e r n a l v a r i a b l e
i j
w i l l b e d i s c u s s e d i n s e c t i o n I I I . 3 . ,
a f t e r t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n t e n s o r . T h e t o t a l G i b b s e n e r g y i s
G = G
p u r e
+ G
m i x
= G
p u r e
+ G
e i g
+ G
s u r f a c e
=
G
p u r e
+ G
e i g
=
3
X
= 1
c
G
f
i j
; T g + G
e i g
f
i j
; T ; c
1
; c
2
;
i j
g ;
( 4 2 )
w h e r e G
e i g
n o w i n c l u d e s t h e s t o r e d e n e r g y o f t h e e i g e n s t r e s s e s d u e t o p o l y c r y s t a l l i n e e e c t s .
E q u a t i o n ( 4 1 ) c a n b e u s e d t o r e w r i t e ( 4 2 ) a s
G = G
3
f
i j
; T g + c
1
( G
1
f
i j
; T g G
3
f
i j
; T g ) + c
2
( G
2
f
i j
; T g G
3
f
i j
; T g )
+ G
m i x
f
i j
; T ; c
1
; c
2
;
i j
g
( 4 3 )
T h e f r e e e n e r g y r a t e i s g i v e n b y
_
G =
@ G
@
i j
_
i j
+
@ G
@ T
_
T +
2
X
= 1
@ G
@ c
_c
+
@ G
@
i j
_
i j
1
t e
i j
_
i j
s
_
T +
2
X
= 1
_c
+ g
i j
_
i j
1
t e
i j
_
i j
s
_
T
I I I
X
= I
A
_
+ g
i j
_
i j
( 4 4 )
I I I . 3 . D i s s i p a t i o n P o t e n t i a l
U s i n g t h e m e t h o d o f s e c t i o n I I . 3 . , t h e l o c a l d i s s i p a t i o n r a t e c a n b e w r i t t e n a s
T _ =
i j
_
i r r
i j
+
I I I
X
= I
A
_
g
i j
_
i j
0 ( 4 5 )
T h e i r r e v e r s i b l e s t r a i n r a t e i s d e c o m p o s e d a s
_
i r r
i j
=
2
X
= 1
F
i j
_c
=
2
X
= 1
I I I
X
= I
F
i j
_
=
I I I
X
= I
i j
f
i j
; T ; c
1
; c
2
;
i j
g
_
; ( 4 6 )
w h e r e
i j
i s t h e t r a n s f o r m a t i o n t e n s o r . I n t h e c a s e o f t h e N - 1 c o m p o n e n t m o d e l , e a c h t r a n s f o r -
m a t i o n t e n s o r w a s r i g o r o u s l y d e n e d b y E
i j
w h e n a
A 1
i j k l
= a
1
i j k l
= a
M 1
i j k l
. I n t h e p h e n o m e n o l o g i c a
p o l y c r y s t a l l i n e m o d e l , h o w e v e r , t h e t r a n s f o r m a t i o n t e n s o r s F
i j
a n d
i j
a r e o n l y a p p r o x i m a t e .
1 4
8/22/2019 1 a Thermodynamic
15/40
B y d e n i t i o n , t h e s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e d o e s n o t p r o d u c e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n , s o
I
i j
= 0 ( 4 7 )
A l o g i c a l c h o i c e f o r
I I
i j
a n d
I I I
i j
c a n b e m a d e b y c o n s i d e r i n g t h e s y m m e t r y c h a n g e s t h a t o c c u r
d u r i n g p h a s e t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n . D u r i n g t h e f o r w a r d p h a s e t r a n s f o r m a t i o n , t h e
m a t e r i a l i s c h a n g i n g f r o m a h i g h s y m m e t r y , c u b i c , t o a l o w e r s y m m e t r y , u s u a l l y e i t h e r t e t r a g o n a l
o r m o n o c l i n i c . T h u s , t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e v a r i a n t s , a n d t h e v a r i a n t s t h a t a c t u a l l y f o r m w i l l
b e b i a s e d b y t h e a p p l i e d s t r e s s . D u r i n g t h e r e v e r s e t r a n s f o r m a t i o n , h o w e v e r , a l l o f t h e v a r i a n t s
m u s t r e t u r n t o t h e s a m e p a r e n t s y m m e t r y . T h u s , t h e r e v e r s e f o r m o f
I I
i j
s h o u l d b e g o v e r n e d
s t r i c t l y b y k i n e m a t i c a l , o r s y m m e t r y c o n s i d e r a t i o n s . I n e e c t , t h e m a n n e r i n w h i c h t h e v a r i a n t s
r e t u r n t o t h e p a r e n t p h a s e s h o u l d d e p e n d o n t h e m a n n e r i n w h i c h t h e y p r e v i o u s l y t r a n s f o r m e d
i n t o t h e p r o d u c t p h a s e . I f
i j
i s c h o s e n t o r e p r e s e n t s o m e a v e r a g e m e a s u r e o f t h e s y m m e t r y
c h a n g e s i n c u r r e d d u r i n g t h e f o r w a r d t r a n s f o r m a t i o n , t h e n t h e r e v e r s e f o r m o f
I I
i j
s h o u l d d e p e n d
p r e d o m i n a t e l y o n
i j
. T h e s e q u e n c e o f v a r i a n t a n n i h i l a t i o n d u r i n g t h e r e v e r s e t r a n s f o r m a t i o n i s
f r e q u e n t l y o p p o s i t e t o t h e s e q u e n c e o f v a r i a n t f o r m a t i o n d u r i n g t h e f o r w a r d t r a n s f o r m a t i o n . S U N
a n d H W A N G [ 1 9 9 3 a ] h a v e u s e d a r e v e r s e f o r m o f
I I
i j
t h a t i s g i v e n b y a m e m o r y f u n c t i o n a l o f
t h e s t a t e t h a t e x i s t e d d u r i n g t h e f o r w a r d t r a n s f o r m a t i o n . A n a p p r o x i m a t e f o r m o f
I I
i j
i s
I I
i j
=
(
I I
i j
f
i j
g ;
_
I I
> 0
I I
i j
f
i j
g ;
_
I I
8/22/2019 1 a Thermodynamic
16/40
I I I . 4 . D i s c u s s i o n
T h i s t h r e e c o m p o n e n t p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l h a s s e v e r a l s h o r t c o m i n g s : ( 1 ) B y d e n i t i o n , t h e
s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e p r o d u c e s n o t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n , i . e .
I
i j
= 0 , a n d a s t r e s s -
i n d u c e d t r a n s f o r m a t i o n w i l l r e s u l t i n n o n - s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e , a s s h o w n b y
I I
i j
6= 0
I n r e a l i t y , i f t h e t r a n s f o r m a t i o n r e s u l t s i n a v o l u m e c h a n g e , t h e n t h e r e w i l l b e n o p u r e l y s e l f
a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e , e v e n i n a s t r e s s - f r e e t r a n s f o r m a t i o n . T h u s , t h e v e r y d e n i t i o n o f
s e l f a c c o m m o d a t i n g m a r t e n s i t e i s i n v a l i d i f t h e t r a n s f o r m a t i o n i s n o t p u r e l y d e v i a t o r i c ; ( 2 ) T h e
f o r m a l i s m c a n b e c o n f u s i n g b e c a u s e t h e r e a r e c a s e s i n w h i c h t h e f o r w a r d t r a n s f o r m a t i o n l e a d s
t o a d e c r e a s e i n c
1
; ( 3 ) B O Y D a n d L A G O U D A S [ 1 9 9 3 ] c h o s e t h e t h r e e c o m p o n e n t m o d e l p a r t l y
b e c a u s e o f B R I N S O N ' s [ 1 9 9 3 ] i n t e r e s t i n g e x t e n s i o n o f T A N A K A ' s [ 1 9 8 6 ] m o d e l . T h e m o d e l s
o f T a n a k a a n d B r i n s o n , h o w e v e r , u s e d a c o n s t a n t t r a n s f o r m a t i o n t e n s o r . I n t h o s e c a s e s , i t i s
n e c e s s a r y t o u s e t w o d i e r e n t v o l u m e f r a c t i o n s o f m a r t e n s i t e ; a n d ( 4 ) I t m a y b e i m p o s s i b l e t o
e x p e r i m e n t a l l y d i s t i n g u i s h b e t w e e n c
1
a n d c
2
u s i n g r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s . I t w o u l d t h e n b e
n e c e s s a r y t o m e a s u r e c
1
a n d c
2
u s i n g m i c r o s c o p y o r x - r a y d i r a c t i o n . I n t h i s c a s e , i t i s r e a l l y t h e
N c o m p o n e n t s o f s e c t i o n I I t h a t a r e b e i n g m e a s u r e d .
B e c a u s e o f t h e s e s h o r t c o m i n g s , t h e p r e s e n t a u t h o r s h a v e c h o s e n t h e f o l l o w i n g t w o c o m p o n e n t
p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l .
I V . T w o C o m p o n e n t P h e n o m e n o l o g i c a l M o d e l
R A N I E C K I a n d L E X C E L L E N T [ 1 9 9 4 ] u s e d o n e i n t e r n a l v a r i a b l e , t h e t o t a l m a r t e n s i t e v o l u m e
f r a c t i o n , i n t h e i r t w o - c o m p o n e n t t h e r m o d y n a m i c a l d e r i v a t i o n o f a p o l y c r y s t a l l i n e p h e n o m e n o l o g -
i c a l m o d e l f o r p s e u d o e l a s t i c i t y d u e t o t r a n s f o r m a t i o n . T h e t w o - c o m p o n e n t m o d e l o f S U N a n d
H W A N G [ 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ] ) i s p e r h a p s t h e o n l y p u b l i s h e d t h e r m o d y n a m i c a l m e t h o d f o r p s e u d o e l a s -
t i c i t y a n d t h e s h a p e m e m o r y e e c t d u e t o b o t h t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n . T h e p r e s e n t
s e c t i o n i s a n e x t e n s i o n o f t h e s e a n a l y s e s t o a c c o u n t f o r t h e s i m u l t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d
r e o r i e n t a t i o n t h a t c a n o c c u r w i t h i n t h e c o m p o s i t e m a t e r i a l o f t h e s e c o n d p a p e r .
I V . 1 . F r e e E n e r g y
T h e t o t a l s p e c i c G i b b s e n e r g y G f ! g o f a p o l y c r y s t a l l i n e S M A , w h e r e ! = f
i j
; T ; c
M
;
i r r
i j
g , i s
e q u a l t o t h e m a s s w e i g h t e d s u m o f t h e f r e e e n e r g y G
f
i j
; T g o f e a c h s p e c i e s p l u s t h e f r e e e n e r g y
G
m i x
f
i j
; T ; c
M
;
i r r
i j
g o f m i x i n g :
G = G
A
f
i j
; T g + c
M
G
M
f
i j
; T g G
A
f
i j
; T g
+ G
m i x
f
i j
; T ; c
M
;
i r r
i j
g ( 5 2 )
T h e f r e e e n e r g y o f e a c h s p e c i e s i s w r i t t e n a s
G
=
1
1
2
a
1
i j k l
i j
k l
1
a
2
i j
i j
T + a
3
h
T T l n
T
T
i
a
4
T + a
5
( 5 3 )
S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 ] a n d R A N I E C K I a n d L ' E X C E L L E N T [ 1 9 9 4 ] i n c l u d e d t h e t e m p e r a -
t u r e d e p e n d e n c e o f a
1
i j k l
t o a c c o u n t f o r t h e s o f t e n i n g o f t h e a u s t e n i t e n e a r t h e m a r t e n s i t e s t a r t
t e m p e r a t u r e .
1 6
8/22/2019 1 a Thermodynamic
17/40
I n c h o o s i n g a n e q u a t i o n f o r G
m i x
, i t i s a s s u m e d t h a t t h e e l a s t i c c o m p l i a n c e a n d t h e t h e r m a
e x p a n s i o n c o e c i e n t a r e n o t a l t e r e d b y m i x i n g . T h i s a s s u m p t i o n i s s u p p o r t e d b y t h e a n a l y s i s o f
B O Y D a n d L A G O U D A S [ 1 9 9 4 ] , i n w h i c h t h e M o r i - T a n a k a m i c r o m e c h a n i c s m e t h o d w a s u s e d t o
p r e d i c t t h e e e c t i v e e l a s t i c s t i n e s s o f p o l y c r y s t a l l i n e ( N i t i n o l , E
A
= 3 0 G P a , E
M
= 1 3 G P a )
a u s t e n i t e c o n t a i n i n g m a r t e n s i t i c i n h o m o g e n e i t i e s . I t w a s f o u n d t h a t t h e e e c t i v e e l a s t i c s t i n e s s
d i e r e d b y n o m o r e t h a n 1 5 % f r o m t h e v o l u m e a v e r a g e . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t t h e t h e r m a l
e i g e n s t r e s s e s a r e s m a l l r e l a t i v e t o t h e i r r e v e r s i b l e e i g e n s t r e s s e s . F u r t h e r m o r e , i t i s a s s u m e d t h a t
t h e s e l f e n e r g y o f t h i n p l a t e m a r t e n s i t e i s n e g l i g i b l e r e l a t i v e t o t h e i n t e r a c t i o n e n e r g i e s ( F A S S I -
F E H R I e t a l [ 1 9 8 7 ] ; P A T O O R e t a l [ 1 9 8 7 ] ) , s o t h a t t h e r s t o r d e r t e r m s c o n t a i n i n g c
M
a n d
i r r
i j
a r e o m i t t e d . F r o m t h e o p e r a t i o n a l p o i n t o f v i e w , t h e c o n s t a n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e r s t o r d e r
t e r m i n c
M
a r e e x p e r i m e n t a l l y i n s e p a r a b l e f r o m a
5
. A c c o r d i n g l y , t h e s e r i e s e x p a n s i o n o f G
m i x
i s t r u n c a t e d a t s e c o n d o r d e r a s
G
m i x
=
1
2
b
1
( c
M
)
2
+
1
2
b
2
i j k l
i r r
i j
i r r
k l
+ b
3
i j
i r r
i j
c
M
( 5 4 )
T h i s e q u a t i o n f o r G
m i x
i s a n a l o g o u s t o t h e f o r m u s e d i n p l a s t i c i t y f o r l i n e a r k i n e m a t i c a n d i s o t r o p i c
h a r d e n i n g , i n w h i c h
i r r
i j
s e r v e s a s a k i n e m a t i c h a r d e n i n g v a r i a b l e . S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 ] a n d
R A N I E C K I a n d L ' E X C E L L E N T [ 1 9 9 4 ] i n c l u d e d t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f b
1
. T h i s e e c t
c o u l d a r i s e b e c a u s e , f o r a g i v e n e i g e n s t r a i n , t h e e i g e n s t r e s s e s a n d s t o r e d e n e r g y d e p e n d o n t h e
e l a s t i c m o d u l i , w h i c h m a y b e f u n c t i o n s o f t e m p e r a t u r e . A l s o , i t m a y b e n e c e s s a r y t o i n c l u d e
c
M
d e p e n d e n c e i n t h e h a r d e n i n g m o d u l i o f ( 5 4 ) t o a c c o u n t f o r t h e f a c t t h a t t h e a u s t e n i t e a n d
m a r t e n s i t e h a v e d i e r e n t e l a s t i c m o d u l i . S U N a n d H W A N G [ 1 9 9 3 ] i n c l u d e d t h e v o l u m e f r a c t i o n
o f t r a n s f o r m e d m a r t e n s i t e a n d r e o r i e n t e d m a r t e n s i t e a s s e p a r a t e i n t e r n a l v a r i a b l e s , w h e r e a s t h e
p r e s e n t m o d e l m a k e s n o a t t e m p t t o d e c o m p o s e t h e t h e m a r t e n s i t e v o l u m e f r a c t i o n . T h e v o l u m e
f r a c t i o n o f m a r t e n s i t e , c
M
, c a n b e e x p e r i m e n t a l l y c o r r e l a t e d w i t h t h e r e s i s i t i v i t y , w h e r e a s m u l t i p l e
m a r t e n s i t i c v o l u m e f r a c t i o n s s u e r f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d i c u l t i e s d i s c u s s e d i n s e c t i o n I I . B . 4 .
T h e f r e e e n e r g y r a t e i s
_
G =
@ G
@
i j
_
i j
+
@ G
@ T
_
T +
@ G
@ c
M
_c
M
+
@ G
@
i r r
i j
_
i r r
i j
1
t e
i j
_
i j
s
_
T +
M
_c
M
+
i r r
i j
_
i r r
i j
; ( 5 5 )
w h e r e t h e s t r a i n d e c o m p o s i t i o n
t e
i j
=
i j
i r r
i j
, e q u a t i o n ( 1 3 ) , r e m a i n s v a l i d . T h e g e n e r a l i z e d
f o r c e s a r e
t e
i j
= a
1
i j k l
k l
+ a
2
i j
T ; s =
1
a
2
i j
i j
+ a
3
l n
T
T
+ a
4
;
i r r
i j
= b
2
i j k l
i r r
k l
+ b
3
i j
c
M
M
=
1
1
2
a
1
i j k l
i j
k l
1
a
2
i j
i j
T + a
3
h
T T l n
T
T
i
a
4
T + a
5
+ b
1
c
M
+ b
3
i j
i r r
i j
;
( 5 6 a e )
w h e r e
a
1
i j k l
= a
A 1
i j k l
+ c
M
a
1
i j k l
; a
2
i j
= a
A 2
i j
+ c
M
a
2
i j
; a
3
= a
A 3
+ c
M
a
3
;
a
4
= a
A 4
+ c
M
a
4
; a
5
= a
A 5
+ c
M
a
5
;
( 5 7 a e )
1 7
8/22/2019 1 a Thermodynamic
18/40
a n d
a
1
i j k l
= a
M 1
i j k l
a
A 1
i j k l
; a
2
i j
= a
M 2
i j
a
A 2
i j
; a
3
= a
M 3
a
A 3
;
a
4
= a
M 4
a
A 4
; a
5
= a
M 5
a
A 5
( 5 8 a e )
I V . 2 . D i s s i p a t i o n P o t e n t i a l
F o l l o w i n g t h e m e t h o d o f s e c t i o n I I . 3 . , t h e l o c a l d i s s i p a t i o n r a t e i s g i v e n b y
T _ =
i j
_
i r r
i j
M
_c
M
i r r
i j
_
i r r
i j
= (
i j
i r r
i j
) _
i r r
i j
M
_c
M
=
e f f
i j
_
i r r
i j
M
_c
M
0 ;
( 5 9 )
w h e r e
e f f
i j
=
i j
i r r
i j
( 6 0 )
T h e i r r e v e r s i b l e s t r a i n r a t e i s d e c o m p o s e d i n t o a p a r t _
t
i j
d u e t o t r a n s f o r m a t i o n a n d a p a r t _
r
i j
d u e t o r e o r i e n t a t i o n :
_
i r r
i j
= _
t
i j
+ _
r
i j
;
i r r
i j
=
t
i j
+
r
i j
; ( 6 1 a b )
w h e r e
_
t
i j
=
i j
f
i j
; T ; c
M
;
i r r
i j
g _c
M
( 6 2 )
I n g e n e r a l , t h e r e i s n o u n i q u e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n
t
i j
a n d c
M
. H o w e v e r , f o r p r o p o r t i o n a l l o a d i n g ,
i j
= K
i j
, w h e r e K
i j
a r e c o n s t a n t s , a n d t h e i n c r e m e n t a l e q u a t i o n s ( 6 2 ) c a n b e i n t e g r a t e d i n
c l o s e d f o r m t o o b t a i n a n e q u a t i o n o f s t a t e
t
i j
=
t
i j
f
k l
; T ; c
M
g . T h e l o c a l d i s s i p a t i o n r a t e , ( 5 9 ) ,
c a n b e r e w r i t t e n u s i n g ( 6 1 ) a n d ( 6 2 ) a s
T _ =
e f f
i j
_
t
i j
+
e f f
i j
_
r
i j
M
_c
M
= (
e f f
i j
i j
M
) _c
M
+
e f f
i j
_
r
i j
= _c
M
+
e f f
i j
_
r
i j
0 ;
( 6 3 )
w h e r e
=
e f f
i j
i j
M
( 6 4 )
N o t e t h a t n e i t h e r
t
i j
n o r
r
i j
a r e i n d e p e n d e n t s t a t e v a r i a b l e s , a l t h o u g h _
r
i j
i s a n i n d e p e n d e n t u x .
I n f a c t , a l t h o u g h
i r r
i j
i s i n n i t e s i m a l , t h e s t r a i n s
t
i j
a n d
r
i j
c a n a c c u m u l a t e a n d g r o w l a r g e u n d e r
c y c l i c l o a d i n g . I t i s a s s u m e d t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n r a t e a n d t h e r e o r i e n t a t i o n r a t e s e p a r a t e l y
o b e y t h e C l a u s i u s - D u h e m i n e q u a l i t y :
T _
M
= _c
M
0 ; T _
r
=
e f f
i j
_
r
i j
0 ( 6 5 a b )
I n t h i s c a s e , t h e r e a r e t w o s e p a r a t e d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l s ,
t
f ;
e f f
i j
; ! g a n d
r
f ;
e f f
i j
; ! g
T h e g e n e r a l l y a n i s o t r o p i c f o r m o f t h e d i s s i p a t i o n p o t e n t i a l s c a n c o n t a i n c o u p l i n g t e r m s i n
a n d
e f f
i j
. H o w e v e r , i n o r d e r t o e m p h a s i z e a d i e r e n t c o u p l i n g e e c t d u e t o t h e f o r m ( 5 4 ) f o r
G
m i x
, i t i s a s s u m e d t h a t t h e r e a r e n o c o u p l i n g t e r m s i n
t
a n d
r
, i . e .
t
=
t
f ; ! g a n d
r
=
r
f
e f f
i j
; ! g :
_c
M
=
t
@
t
f ; ! g
@
; _
r
i j
=
r
@
r
f
e f f
k l
; ! g
@
e f f
i j
( 6 6 a b )
1 8
8/22/2019 1 a Thermodynamic
19/40
T h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s f o r t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s a r e
t
0 ;
t
Y
t
;
t
(
t
Y
t
) = 0 ; w h e n 0 c
M
1 ( 6 7 )
F o r i n e l a s t i c i t y d u e t o t r a n s f o r m a t i o n a n d r e o r i e n t a t i o n , t h e m a x i m u m i r r e v e r s i b l e s t r a i n i s l i m i t e d
b y t h e e x t e n t o f t r a n s f o r m a t i o n a n d / o r r e o r i e n t a t i o n . T h e r e f o r e , t h e d i l a t a t i o n a l a n d t h e e e c -
t i v e i r r e v e r s i b l e s t r a i n s a r e a s s u m e d t o b e l e s s t h a n t h e m a x i m u m v a l u e s
i r r
m a x
a n d
i r r m a x
m m
a s s o c i a t e d w i t h f u l l y o r i e n t e d m a r t e n s i t e :
i r r
c
M
i r r
m a x
;
i r r
m m
c
M
i r r m a x
m m
; ( 6 8 )
w h e r e
i r r
=
2
3
0 i r r
i j
0 i r r
i j
1
2
. R e o r i e n t a t i o n c a n o c c u r o n l y w h e n
r
0 ;
r
Y
r
; ( 6 9 )
a n d t h e i r r e v e r s i b l e s t r a i n r a t e i s s u c h t h a t t h e k i n e m a t i c l i m i t a t i o n ( 6 8 ) i s n o t v i o l a t e d . T h e s e
c r i t e r i a d i e r f r o m t h e t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s i n t h a t
r
c a n e x c e e d t h e t h r e s h o l d v a l u e ,
Y
r
. A s d e m o n s t r a t e d i n s e c t i o n V , t h i s p h e n o m e n a c a n o c c u r d u r i n g t r a n s f o r m a t i o n u n d e r
p r o p o r t i o n a l l o a d i n g . I t i s a s s u m e d t h a t r e o r i e n t a t i o n o c c u r s a t c o n s t a n t
r
:
_
r
= 0 w h e n _
r
i j
6= 0 ( 7 0 )
T h e p o t e n t i a l s
t
a n d
r
a r e a s s u m e d t o b e t h e c o n v e x q u a d r a t i c f u n c t i o n s
t
=
1
2
( )
2
;
r
=
1
2
N
i j k l
e f f
i j
e f f
k l
; ( 7 1 a b )
w h e r e t h e c o n s t a n t N
i j k l
i s s y m m e t r i c : N
i j k l
= N
k l i j
. N o t e t h a t i s c o n s t a n t d u r i n g n o n z e r o
_c
M
. T h e r e f o r e , t h e l o c a l e n t r o p y p r o d u c e d d u r i n g a c o m p l e t e c y c l e o f i s o t h e r m a l t r a n s f o r m a t i o n
i s g i v e n b y
=
1
T
Z
c
M
= 1
c
M
= 0
d c
M
+
Z
c
M
= 0
c
M
= 1
d c
M
=
1
T
2
=
1
T
Z
![EXPERIMENT 4 THERMODYNAMIC FUNCTIONS of a ...mutuslab.cs.uwindsor.ca/Wang/59-241/experiment4.pdf37 [1] [2] EXPERIMENT 4 THERMODYNAMIC FUNCTIONS of a GALVANIC CELL Introduction Chemical](https://static.documents.pub/doc/80x56/5aa0466c7f8b9a62178ddcb0/pdfexperiment-4-thermodynamic-functions-of-a-1-2-experiment-4-thermodynamic.jpg)
