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Material Complementar Versão Preliminar 1ª Série - Ensino Médio Caderno do Professor Volume 3 - 2018
Material Complementar
Versão Preliminar
1ª Série - Ensino MédioCaderno do Professor
Volume 3 - 2018
Expe
dien
te
EXPEDIENTE
ORGANIZADORES E COLABORADORES
Governador do Estado de GoiásMarconi Ferreira Perillo Júnior Secretária de Estado de Educação, Cultura e EsporteRaquel Figueiredo Alessandri Teixeira Superintendente Executivo de EducaçãoMarcos das Neves Superintendente de Ensino FundamentalLuciano Gomes de Lima Superintendente de Ensino MédioJoão Batista Peres Júnior
Superintendente de Desporto EducacionalMaurício Roriz dos Santos Superintendente de Gestão Pedagógica Marcelo Jerônimo Rodrigues Araújo Superintendente de InclusãoMárcia Rocha de Souza Antunes Superintendente de Segurança Escolar e Colégio MilitarCel. Júlio Cesar Mota Fernandes
Gerente de Estratégias e Material PedagógicoWagner Alceu Dias
Língua PortuguesaAna Christina de P. BrandãoDébora Cunha FreireDinete Andrade Soares BitencourtEdinalva Filha de LimaEdinalva Soares de Carvalho OliveiraElizete Albina FerreiraIalba Veloso MartinsLívia Aparecida da SilvaMarilda de Oliveira Rodovalho
MatemáticaAbadia de Lourdes da CunhaAlan Alves FerreiraAlexsander Costa SampaioCarlos Roberto BrandãoCleo Augusto dos SantosDeusite Pereira dos SantosInácio de Araújo MachadoMarlene Aparecida da Silva FariaRegina Alves Costa FernandesRobespierre Cocker Gomes da SilvaSilma Pereira do Nascimento
Coordenadora do ProjetoGiselle Garcia de Oliveira
RevisorasLuzia Mara MarcelinoMaria Aparecida CostaMaria Soraia BorgesNelcimone Aparecida Gonçalves Camargo
Projeto Gráfico e DiagramaçãoAdolfo MontenegroAdriani GrünAlexandra Rita Aparecida de SouzaClimeny Ericson d’OliveiraEduardo Souza da CostaKarine Evangelista da Rocha
ColaboradoresÁbia Vargas de Almeida FelicioAna Paula de O. Rodrigues MarquesAugusto Bragança Silva P. RischiteliErislene Martins da SilveiraGiselle Garcia de OliveiraPaula Apoliane de Pádua Soares CarvalhoSarah Ramiro FerreiraValéria Marques de OliveiraVanuse Batista Pires RibeiroWagner Alceu Dia
Idealização Pedagógica Marcos das Neves - Criação e Planejamento
Marcelo Jerônimo Rodrigues Araújo - Desenvolvimento e Coordenação Geral
APRESENTAÇÃOQueridos professores, coordenadores pedagógicos, gestores e alunos,
Projeto inovador e genuinamente goiano, o Aprender+ está sendo ampliado em 2018 para todos os alunos do 5º ano do Ensino Fundamental à 3ª série do Ensino Médio. Lançado em fevereiro de 2017, o projeto foi totalmente elaborado pela equipe da Secretaria de Educação, Cultura e Esporte (Seduce) e integra o compromisso do Governo de Goiás de ter a excelência e a equidade como pilares norteadores das políticas públicas do setor.
O Aprender+ é um material pedagógico complementar destinado ao uso de professores, alunos, coordenadores e gestores, dentro e fora da sala de aula. Inclui conhecimentos e expectativas do Currículo Referência do Estado de Goiás e da Matriz de Referência do Saeb.
Além das atividades de Língua Portuguesa e Matemática, fundamentais para a vida de todos, o conteúdo de 2018 inclui as habilidades socioemocionais, que ganharam importância no mundo inteiro nas últimas décadas. Conteúdo específico, formatado em parceria com o Instituto Ayrton Senna. A abordagem socioemocional ensina a colocarmos em prática as melhores atitudes para controlar emoções, alcançar objetivos, demonstrar empatia, manter relações sociais positivas e tomar decisões de maneira responsável. Visa apoiar o aluno no desenvolvimento das competências que ele necessita para enfrentar os desafios do século 21.
Esse material une modernidade e qualidade pedagógica em uma oportunidade para que todos os alunos da rede tenham chance de aprender mais.
Secretaria de Educação, Cultura e Esporte.
Apre
sent
ação
Apresentação .............................................................................................. 05
Matemática ................................................................................................. 09
Unidade 1 .......................................................................................................... 13
Unidade 2 .......................................................................................................... 20
Unidade 3 .......................................................................................................... 27
Unidade 4 .......................................................................................................... 33
Unidade 5 .......................................................................................................... 41
Unidade 6 .......................................................................................................... 50
Unidade 7 .......................................................................................................... 57
Unidade 8 .......................................................................................................... 63
Língua Portuguesa ....................................................................................... 69
Unidade 1 .......................................................................................................... 75
Unidade 2 .......................................................................................................... 80
Unidade 3 .......................................................................................................... 85
Unidade 4 .......................................................................................................... 91
Unidade 5 .......................................................................................................... 97
Unidade 6 .......................................................................................................... 104
Unidade 7 .......................................................................................................... 111
Unidade 8 .......................................................................................................... 117
Competências Socioemocionais ................................................................... 123
Sum
ário
Ensino Médio
Caderno do ProfessorVolume 3
1ªSérieMATEMÁTICA
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 1
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas com duas expectativas de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 1ª Série do Ensino Médio.As atividades foram elaboradas a partir de duas expectativas e dois subdescritores, seguindo uma
gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se ampliar os conceitos dos estudantes no estudo de funções exponenciais, alcançando o desenvolvimento de suas habilidades e estabelecendo a utilização e aplicação de fenômenos de crescimento e decrescimento exponenciais assim como simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:îE 49 – Resolver equações exponenciais simples.îE 51 – Identificar fenômenos que crescem ou decrescem exponencialmente.
Os subdescritores contemplados, a partir dessas expectativas, são: D29 A e B. As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectativas, são: resolver e identificar situações que envolvam funções exponenciais. Assim, as atividades estão elaboradas permitindo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos por meio de uma gradação intencional embasada no descritor, o qual diagnostica a consolidação dessas habilidades no estudante.
Professor (a), as expectativas E – 49 Resolver equações exponenciais simples e E – 51 Identificar fenômenos que crescem ou decrescem exponencialmente, mostram que as habilidades, nessas atividades, precisam ser compreendidas pelo estudante para que sua compreensão seja ampliada. Assim, utilize cada atividade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua prática pedagógica.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a) ressaltamos que os subdescritores D29A – Simplificar expressões que envolvam as
propriedades da potenciação (multiplicação de potências de mesma base) e D29B – Simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação (divisão de potências de mesma base), propõem simplificar expressões da potenciação ora com multiplicações ora com divisões. Ambos direcionam para atividades que o estudante compreenda um conteúdo importante na matemática, a potenciação que é a base para a compreensão da função exponencial.
Nas atividades 1, 2, 3 e 4 os estudantes deverão identificar fenômenos que crescem ou decrescem exponencialmente. Nas atividades 5, 6 e 7 eles deverão simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação (multiplicação de potências de mesma base). Nas atividades 8, 9 e 10 os estudantes deverão simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação (divisão de potências de mesma base).
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 1
CONTEÚDO(S)îFunção Exponencial.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)îNúmeros e Operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMîE 49 – Resolver equações exponenciais simples.îE 51 – Identificar fenômenos que crescem ou decrescem exponencialmente.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)îD 29A – Simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação (multiplicação de potências de mesma base).îD 29B – Simplificar expressões que envolvam as propriedades da potenciação (divisão de potências de mesma base).
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UNIDADE 1ATIVIDADES
1. O número de bactérias em um meio, duplica de hora em hora. Se inicialmente existi am 8 bactérias nesse meio, ao fi m de 10 horas o número de bactérias será de 8.2 . A expressão matemáti ca, correspondente ao crescimento dessas bactérias, é uma função
10
(A) linear.
(B) quadráti ca.
(C) modular.
(D) logarítmica.
(E) exponencial.
Gabarito: E SoluçãoNo tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8. No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8 ∙ 2 = 16. No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8 ∙ 2 ∙ 2 = 32. Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é igual a 8 ∙ 2x 2³ ∙ 210 213 bactérias. Portanto, o crescimento das bactérias se dá de forma exponencial.
Uma certa substância, com 2 048 gramas, se decompõe segundo a lei Qt = K ∙ 2-0,5t. Para 512 gramas em um certo tempo t, onde K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quanti dade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição a expressão matemáti ca correspondente é uma função
2.
3.
Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por . Após cinco dias o número de bactérias é de 1 024. A expressão matemáti ca, correspondente ao crescimento dessas bactérias, é uma função
B t =2t
12B t =2
(A) exponencial.
(B) logarítmica.
(C) modular.
(D) quadráti ca.
(E) linear.
(A) modular.
(B) linear.
(C) exponencial.
(D) quadráti ca.
(E) logarítmica.
Gabarito: A SoluçãoCinco dias após o início da hora zero representam um total de 5 ∙ 24 = 120 horas.
Assim, tem-se: Para t=120h
bactérias. Logo, o crescimento é exponencial.
B 120 =212012 =210=1024
B t =2t
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2³ 2³ 2 2
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Num regime de juros compostos o montante é calculado pela relação M=C∙(1+i)t. Um capital de R$ 10 000,00 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos terá o montante ao fi nal dessa aplicação de R$ 15 735,20. Considerando esses dados a expressão matemáti ca correspondente ao montante é uma função
Observe a expressão a seguir: [52 ∙ 53 ∙ 1252 ]3 ∙ [252 ∙ 625 ∙ 5]2
4.
5.
(A) linear.
(B) quadráti ca.
(C) modular.
(D) logarítmica.
(E) exponencial.
Gabarito: E SoluçãoObservando a resolução a seguir perceba que o tempo é o expoente da taxa de juros, que somado ao valor um e posteriormente multi plicado ao capital inicial obtêm-se o montante. Logo, temos que a função é exponencial. O cálculo do montante é M = C ∙ (1+i)t
M = 10 000 ∙ (1+0,12)4
M = 10 000 ∙ 1,124
M = 10 000 ∙ 1,57352M = 15 735,20
Uti lizando a propriedade da multi plicação de potências de mesma base, essa expressão simplifi cada corresponde a potência
(A) 520.
(B) 538.
(C) 542.
(D) 551.
(E) 555.
Gabarito: D Solução[52 ∙ 53 ∙ 1252 ]3 ∙ [252 ∙ 625 ∙ 5]2=[52 ∙ 53 ∙ (53)2 ]3 ∙ [(52 )2 ∙ 54 ∙ 5]2=[52 ∙ 53 ∙ 56 ]3 ∙ [54 ∙ 54 ∙ 5]2=[511 ]3∙[59 ]2=533 ∙ 518=551
Gabarito: C SoluçãoCom base nos valores apresentados, podemos construir o gráfi co que passa pelos pontos (t; 512) e (0; 2048) determinando o seguinte gráfi co de uma função exponencial
2048
Q
512
a t
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Observe a expressão a seguir: [(8 ∙ 26∙ 4-3) ∙ 22 ]-1 ∙ (23 ∙ 22 )-2
Observe a expressão a seguir: [(27 ∙ 34 ∙ 9-3) ∙ 32 ]-1 ∙ (3 ∙ 32)2
Observe a expressão a seguir: [1254 ÷ 52 ∙ 53 ]3 ÷ [252 ÷ 52 ∙ 5]-2
6.
7.
8.
Uti lizando a propriedade da multi plicação, de potências de mesma base, essa expressão simplifi cada corresponde a potência
Uti lizando a propriedade da multi plicação, de potências de mesma base, essa expressão simplifi cada corresponde a potência
Uti lizando a propriedade da multi plicação, de potências de mesma base, essa expressão simplifi cada corresponde a potência
(A) 2-15.
(B) 2-5.
(C) 27.
(D) 210.
(E) 215.
(A) 312.
(B) 38.
(C) 36.
(D) 33.
(E) 3-1.
(A) 549.
(B) 545.
(C) 538.
(D) 533.
(E) 529.
Gabarito: ASolução[(8∙26∙4-3)∙22 ]-1∙(23∙22 )-2=[(23∙26∙(22)-3)∙22 ]-1∙(25 )-2=[23∙26∙2-6∙22 ]-1∙2-10=[25]-1∙2-10=2-5∙2-10=2-15
Gabarito: DSolução[(27∙34∙9-3)∙32 ]-1∙(3∙32 )2=[(33∙34∙(32 )-3∙32 ]-1∙(33)2=[(33∙34∙(32 )-3∙32 ]-1∙36=3-3∙36=33
Solução[1254÷ 52∙53 ]3÷[252÷52∙5]-2=[(53 )4÷52∙53 ]3÷[(52)2÷52∙5]-2[512÷ 52∙53 ]3÷[54÷52∙5]-2=[510∙53]3÷[52∙5]-2=[513]3÷[53 ]-2=539÷5-6=545
Gabarito: B
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Observe a expressão a seguir:
Observe a expressão a seguir:
9.
10.
Utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base, essa expressão simplificada corresponde a potência
Utilizando as propriedades de potências de mesma base, a expressão anterior ao ser simplificada terá como solução a potência
(A) 7-1.
(B) 71.
(C) 74.
(D) 76.
(E) 77.
[(343 ∙ 76 ÷ 77 ) ∙ 72 ]2 ÷ (74 ÷ 72 )2
Gabarito: C Solução
[( 343 ∙ 7 6 ÷ 77 ) ∙ 72 ]2 ÷ ( 74 ÷ 72 )2 =[( 73 ∙ 76 ÷ 77 ) ∙ 72 ]2 ÷ ( 72 )2=[( 7 9 ÷ 77 ) ∙ 72 ]2 ÷ 74=[ 72 ∙ 72 ]2 ÷ 74=[ 74 ]2 ÷ 74=7 8 ÷ 7 4=7 4
[ ( 512 ∙ 23 ÷ 162 ) ∙ 2-2 ]-1 ÷ (2 ∙ 22 )3
(A) 2-11.
(B) 2-8.
(C) 2-4.
(D) 28.
(E) 212.
Gabarito: A Solução[ ( 512∙23 ÷ 162 ) ∙ 2 -2 ]-1 ÷ ( 2 ∙ 22 )3={ [ 29 ∙ 23 ÷ ( 24 )2 ] ∙ 2-2 }-1 ÷ ( 23 )3=[ ( 212 ÷ 28 ) ∙ 2-2 ]-1 ÷ 29=[ 24 ∙ 2-2 ]-1 ÷ 29 = 2-2 ÷ 29 = 2-11
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 2
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe ati vidades relacionadas a uma expectati va de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemáti ca, da 1ª Série do Ensino Médio.As ati vidades foram elaboradas, tendo por base um descritor e quatro subdescritores. As ati vidades
propostas não seguem uma gradação de complexidade, mas há algumas mais complexas que outras. Assim, pretende-se alcançar o desenvolvimento das habilidades dos estudantes em simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação e identi fi car equações exponenciais.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base a seguinte expectati va de aprendizagem: E-49 Resolver equações exponenciais simples.O descritor contemplado a parti r dessa expectati va é o D29 com foco em seus subdescritores D29C, D29D,
D29E e D29F. As habilidades a serem desenvolvidas são: simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação e identi fi car equações exponenciais.
Nesse senti do, as ati vidades foram elaboradas, permiti ndo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos, embasadas nos subdescritores que diagnosti cam a consolidação dessas habilidades no estudante.
Professor(a), a expectati va E-49 Resolver equações exponenciais simples não será contemplada na íntegra, uma vez que está contemplada em outras unidades. Assim, uti lize cada ati vidade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua práti ca pedagógica.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), os subdescritores aparentemente direcionam para as mesmas ati vidades, porém
ressaltamos que o descritor D29 e seus subdescritores deverão focar em simplifi car as expressões que envolva potenciação. Assim, nas ati vidades 1, 2 e 3 os estudantes deverão simplifi car expressões que envolva potência de potência.
Nas ati vidades 4, 5 e 6 os estudantes deverão simplifi car expressões com expoente negati vo. Já nas ati vidades 7, 8 e 9 deverão simplifi car as expressões de potências com expoente fracionário. A ati vidade 10 trabalha com a identi fi cação de equações exponenciais.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 2
CONTEÚDO(S)î Função Exponencial.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)î Números e operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMî E-49 Resolver equações exponenciais simples.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)îD29C - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência de potência).îD29C - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência de potência).îD29C - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência de potência).îD29D - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente negati vo).îD29D - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente negati vo).îD29D - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente negati vo).îD29E - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente fracionário).îD29E - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente fracionário).îD29E - Simplifi car expressões que envolvam as propriedades da potenciação (potência com expoente fracionário).îD29F - Identi fi car equação exponencial.
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UNIDADE 2ATIVIDADES
Simplifique as seguintes expressões:1.
Professor(a), as atividades 1, 2 e 3 têm como foco, simplificar potências, logo poderá ser utilizada a propriedade potência de potências (conserva a base e multiplica os expoentes).
a) ( 32 )3
b) ( 53 )5
c) [ ( 24 )2 ) ]2
d) ( x5 )6
sendo ( x ≠ 0 )
SoluçãoAplicando a propriedade de potência de potências, tem-se:
a) 3 6 b) 5 15 c) 2 16 d) x 30
Observe a expressão a seguir: com x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ 1 e y ≠ 1
Simplificando as potências o resultado é
2. ( x3 ∙ y2 )³
(A) x6 y5
(B) x9 y6
(C) x6 y9
(D) xy8
(E) xy15
Gabarito: BSoluçãoAplicando a propriedade de potência de potências, tem-se:( x3∙ y2 )3 = x3∙3 ∙ y2∙3 = x9∙ y6
(A) 236
(B) 224
(C) 26
(D) 20
(E) 2-1
Mat
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ica Simplificando a expressão, obtém-se
Observe a expressão a seguir:3. [ 22 : ( 22 . 2 )2 ]33
Mat
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ica
21
O valor da expressão 3-1 + 2-2 - ( -4 )-1 é4.
Gabarito: CSolução Aplicando a propriedade de potência de potências, tem-se:
[ 22 : ( 22. 2 )2 ]3 [ 28: ( 23 )2 ]3 [ 28: 26 ]3 [ 22 ]3 = 26
3
Professor(a), as atividades 4, 5 e 6 têm como foco simplificar expressões com expoente negativo, caso os estudantes apresentem dificuldades informe que as potências com expoente negativo são bem simples, basta aplicar a potência no inverso do número.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1626364656
Gabarito: ESolução
3-1 + 2-2- ( -4 )-1=13
+12
2- -
14
=
13
+14
+14
=
4+3+312
=1012
÷22
=56
Simplifique as expressões a seguir: (sendo x ≠ 0 e a ≠ 0)5.a) ( 2x² )-3
b) ( 3a2 x-1 )-2
Solução
a)
b)
2x² -3 =1
2x 3=
18x6
(3a2 x-1 )-2= 3a2 ·1x
-2
=(3a2 )-2·1x
-2
=1
9a4·x2 =
x2
9a4
Observe a expressão a seguir:6.
Sabendo que x ≠ 0 e y ≠ 0, ao simplificar está expressão temos
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x+yxy
2
2x-yxy
2x-yx+y
2( x∙y )²
x+yx
x-2 1 + y2 -1 + 2(x𝑦)-1
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22
7.
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), uti lizando a propriedade da potência de potência e expoente negati vo, tem-se:
x-2 +y-2 +2(xy)-1A expressão pode ser escrita da seguinte forma:
Determinando o mínimo múlti plo comum dos denominadores e encontrando as frações equivalentes, tem-se:
Uti lizando a ideia do trinômio quadrado perfeito, no numerador, podemos simplifi car a expressão para:
1x2
+1y2
+2xy
y2 +x2 +2xyx²y²
=x2 +2xy +y2
x²y²x+y 2
xy 2=
x+yxy
2
Veja as expressões a seguir:
8. Observe a expressão a seguir:
Ao simplifi car essa expressão tem-se o resultado
232
6413
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
22
42
82
43
83
Gabarito: CSolução
232 = 23
2= 82 Professor(a), as ati vidades 7, 8 e 9 objeti vam simplifi car as expressões de potências
com expoente fracionário em sua representação na forma de raiz. Recomenda-se ao estudante que ao realizar a conversão da forma potencial para forma de raiz faça um teste para o expoente 1/2, pois caso o estudante aplique a regra, a raiz tornar-se-á inviável, ou seja, o índice da raiz fi caria 1, o que não existe, logo, tem-se o contrário.
Ao simplifi car essa expressão tem-se o resultado(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 8.
Gabarito: D SoluçãoProfessor(a), a proposta da ati vidade é aplicar a propriedade do expoente fracionário. Tem-se:
a) 6413 = 64 3 = 4
x-2 1 + y2 -1 + 2(x𝑦)-1
Mat
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23
Observe a expressão a seguir:
Observe as equações a seguir:
Dentre estas equações as que representam uma equação exponencial são
Ao simplifi car essa expressão tem-se o resultado
9.
10.
103
53
(A) 1 000275
(B) 1 0002435
(C) 10 0002435
(D) 10 0002433
(E) 100 0002433
Gabarito: ESoluçãoProfessor(a), a proposta da ati vidade é aplicar a propriedade do expoente fracionário.
103
53
=103
53=
100 000243
3
I) 5x - 1 = 0II) 3x+1 = 27III) - x² – x – 30 = 0IV) (22 )x+1 = 25
V) x - y + 2 = 0
(A) I e II
(B) II e III
(C) II e IV
(D) III e IV
(E) IV e V
Gabarito: CSoluçãoI) 5x - 1 = 0 → é uma equação de primeiro grau.II) 3x+1 = 27 → é uma equação exponencial.III) - x²– x – 30 = 0 →é uma equação do segundo grau.IV) (2²)x+1 = 25→ é uma equação exponencial.V) x - y + 2 = 0 → é uma equação da reta.
Professor(a), caso os estudantes tenham dúvidas, explique que uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 3
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas com duas expectativas de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 1ª Série do Ensino Médio.As atividades foram elaboradas, tendo por base três subdescritores, seguindo uma gradação de
complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar as habilidades dos estudantes em identificar equações e funções exponenciais, bem como determinar a solução de equações exponenciais.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:î E - 49 Resolver equações exponenciais simples. î E - 50 Compreender, reconhecer e calcular as funções exponenciais. O descritor e os subdescritores contemplados, a partir dessas expectativas, são: D27A, D29F e D29GAssim, as atividades foram elaboradas, de forma que proporcionem aos estudantes a aprendizagem dos conceitos aplicados, possibilitando a consolidação dessas habilidades.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), o descritor e os subdescritores aparentemente direcionam para as mesmas atividades.Nas atividades 1 e 2 o estudante deverá identificar equações exponenciais. Nas atividades 3, 4, 5, 6 e 7 o
estudante deverá determinar a solução de equações exponenciais. Observe que tais equações apresentam gradação de complexidade passando por conceitos de radiciação, inverso de um número e equações polinomiais de 1º e 2º grau. Nas atividades 8, 9 e 10 o estudante deverá identificar funções exponenciais.
Os estudantes poderão resolver, individualmente, as atividades, mas é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das atividades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestarem.
Ressaltamos a importância de você, professor(a), discutir outras situações que possam colaborar/ampliar/sistematizar o conhecimento dos estudantes. Portanto, é fundamental provocar os alunos e percebendo as suas dificuldades procurar saná-las. Lembrando que o caderno do estudante contempla as expectativas de aprendizagem e alguns descritores. Desta forma, caso identifique alguma lacuna no ensino e/ou aprendizagem do estudante, pesquise outras situações que demonstrem essas habilidades presentes na unidade.
Professor(a), utilize cada atividade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua prática pedagógica.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 3
CONTEÚDO(S)î Função Exponencial.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)î Números e operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMî E 49 ─ Resolver equações exponenciais simples.î E 50 ─ Compreender, reconhecer e calcular as funções exponenciais.
SUBDESCRITOR(ES)î D29F ─ Identificar equação exponencial.î D29F – Identificar equação exponencial.î D29G – Determinar as soluções de uma equação exponencial.î D29G – Determinar as soluções de uma equação exponencial.î D29G – Determinar as soluções de uma equação exponencial.î D27A – Identificar uma função exponencial.î D27A – Identificar uma função exponencial.î D27A – Identificar uma função exponencial.î D27A – Identificar uma função exponencial.î D27A – Identificar uma função exponencial.
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27
UNIDADE 3ATIVIDADES
Observe as equações a seguir:
Considere as equações a seguir:
Observe a equação exponencial a seguir:
Assinale a alternativa que apresenta a solução dessa equação.
Sobre as equações apresentadas é correto afirmar que são, respectivamente,
1.
2.
3.
I: 16x + 2 = 128 II: 16 x+2 = 128III: x2 + 16 = 80IV: 4 2x = 2
Das equações apresentadas, são exponenciais as correspondentes aos números(A) I e II.
(B) II e III.
(C) III e IV.
(D) I e III.
(E) II e IV.
Gabarito: ESoluçãoO estudante deve saber que as equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Portanto, as alternativas corretas são as de número II e IV.
(A) polinomial de 1º grau e exponencial.
(B) polinomial de 1º e polinomial de 3º grau.
(C) modular e exponencial.
(D) modular e polinomial de 3º grau.
(E) modular e logarítmica.
Gabarito: CSoluçãoA primeira equação é modular, pois apresenta o módulo na incógnita e a segunda é exponencial, pois apresenta a incógnita como expoente.
(8) x-5 = 512
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 12
2x+3 = 13 e 133x-1
= 81
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28
5. Observe a equação a seguir:625-x+6= 125�
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
45 8.42 4.32 9.28 5.25 8.
45 8
3 2
3 2
Gabarito: ASolução: 625-x+6=( 54)-x+6=55-4x+24=5
-4x+24=
-8x+48 = 3- 8x = - 45 8x = 45
x =
3 2
125�
Considere a equação a seguir:
Gabarito: CSolução( 8 ) x-5 = 512( 23 ) x-5 = 512( 2 ) 3x-15 = 293x - 15 = 93x = 9 + 153x = 24x = 24 3x = 8
4. 102x -4=0,001O valor de x que torna verdadeira essa equação é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
27.38.59.72.83.
38
Gabarito: BSolução: ( 102x )-4 = 0,00110-8x = 1/(1 000)10-8x = 10-3- 8x = -3x =
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29
6. Observe a equação a seguir:17
2x
= 495
O valor de x que torna verdadeira essa equação é igual a 1 5. 1 3.
1 3. 1 5.
(A) -
(B) -
(C) 2
(D)
(E)
Gabarito: ASolução: Professor(a), a ati vidade propõe ao estudante determinar a solução de uma equação exponencial. Basicamente consiste em fazer as bases da igualdade fi carem iguais. Assim, tem-se:
( )2x=
(7-1)2x=
7-2x=7
-2x =
2x=
x=
x=
2 5.
2 5.
1 7.
1 5.
2 10.
495
725
2 5.
7. Determine a solução da equação(A) {2; 6}
(B) {2; 7}
(C) {3; 6}
(D) {3; 7}
(E) {4; 6}
19
-x2 +8x= 81-6
Gabarito: ASolução
19
-x2+ 8x= 81-6
3-2 - x 2
+ 8 x = 34 -6
32x2
-16x=3-24
2x2 - 16x = - 242x2 - 16x + 24 = 0x2- 8x + 12 = 0
x = - (-8) ± -8 2 - 4∙1∙12�
2∙1
x = 8 ± 64-48�
2
x = 8 ± 16�
2
x = 8 ± 4
2xʹ= 6xʹʹ= 2
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30
(A) I e II
(B) III e IV
(C) II e IV
(D) III e V
(E) I e III
I: f(x)=2xII: f(x)=x2
III: f(x)=2x
IV: f(x)=x+2V: f(x)=2x+2
Considere as funções apresentadas a seguir:
Observe as funções a seguir:
9.
8.
10.
Assinale a alternati va que apresenta os números correspondentes às funções exponenciais.
Gabarito: DSolução Pela defi nição de função logarítmica tem se que são funções as leis representadas em III e V.
I: f(x)=(-3)x
II: f(x)=x3
III: f(x)=3x
Um estudante calculou o valor numérico da função exponencial apresentada, uti lizando x=5. Assinale o resultado correto encontrado por esse estudante.
(A) -243
(B) -125
(C) 125
(D) 243
(E) 729
Gabarito: DSoluçãoDas funções apresentadas a exponencial é a representada pelo número III. Assim,
f x =3x
f 5 =35 =243
Assinale a alternati va que apresenta a lei de uma função exponencial.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
f x = -49
x
f x = -7 x
f x = 0x
f x = 1x
f x = 6 x
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), o estudante deve saber que dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a, uma função f de em defi nida por ou
ℝ ℝ+∗f(x) = ax y = ax.
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31
MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 4
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe ati vidades relacionadas a quatro Expectati vas de Aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemáti ca, da 1ª Série do Ensino Médio.As ati vidades de 1 a 5, tem como foco apenas a Expectati va de Aprendizagem E-52, pois não há descritores
e nem subdescritores relacionados a ela. As demais ati vidades estão relacionadas as Expectati vas de Aprendizagens E-53, E-56 e E-57 com o foco
principal no subdescritor D27D. Assim, pretende-se que os estudantes desenvolvam, por meio das ati vidades propostas nessa unidade,
as habilidades referentes às Expectati vas de Aprendizagem E-52, E-53, E-56 e E-57 e ao subdescritor D27D.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectati vas de aprendizagem:î E -52 Resolver problemas signifi cati vos uti lizando a função exponencial. î E -53 Construir e analisar gráfi cos de funções exponenciais. î E -56 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráfi cos.î E -57 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráfi cos que as representam e vice-versa.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS? Professor(a), conforme as habilidades das Expectati vas de Aprendizagem abordadas nessa unidade, as
ati vidades 1, 2, 3, 4 e 5 têm o objeti vo de resolver problemas uti lizando a função exponencial, as ati vidades 6 e 7 identi fi cam gráfi cos de funções exponenciais, a 8 construir e analisar gráfi cos de funções exponenciais, a 9 resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráfi cos e a 10 associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráfi cos que as representam e vice-versa.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 4
CONTEÚDO(S)î Função exponencial.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)î Números e Operações.
EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEMî E 52 ─ Resolver problemas significativos utilizando a função exponencial.î E 53 ─ Construir e analisar gráficos de funções exponenciais. î E 56 ─ Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.î E 57 ─ Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)î D27D – Identificar gráficos de funções exponenciais.
N(t) = 1200 . 20,4t
N(t) = 19 200
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33
UNIDADE 4ATIVIDADES
O Produto Interno Bruto (PIB) de um estado, foi de 500 bilhões de reais (dados fictícios) no primeiro trimestre de 2015 e ele cresceu, de forma cumulativa, 3% ao ano. Conforme essas informações, o PIB desse estado em 2035, dados em bilhões de reais, será de (Use 1,0320 = 1,81)
1.
Sr. Januário aplicou R$ 1 200 por um período de 6 anos a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.Com base nessas informações, qual será o saldo, do Sr. Januário, no final de 12 meses?
2.
(A) 1 810.
(B) 1 030.
(C) 905.
(D) 890.
(E) 755.
Solução Após 12 mesesM = ? C = 1200 i = 1,5% = 0,015 t = 12 meses
M=C 1+i t→M=1200 1+0,015 12 →M=1200 1,015 12→M=1200 1,195618 →M=1 434,7416
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1 434,74.
Um laboratório iniciou um experimento com uma determinada bactéria. O número de bactérias dessa cultura é dado pela expressão: N(t) = 1200 . 20,4t
Após o início desse experimento, quanto tempo essa cultura terá 19 200 bactérias?
3.
Solução
Portanto, essa cultura terá 19 200 bactérias depois de 10 horas do início do experimento.
1 200.20,4t = 19 200 → 20,4t =19 2001 200
→ 20,4t= 16→ 20,4t=24 → 0,4 t = 4→ t =4
0,4→ t = 10 horas.
Gabarito: CSolução
Portanto, o PIB desse estado em 2 035 será de R$ 905 bilhões de reais.
P X = P0 . 1+it → P X = 500 . 1+0,03
20→ P X = 500 . 1,0320 →
P X = 500 .1,81 → P X = 905
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34Gráfi co I Gráfi co II Gráfi co III
Roberto aplicou R$ 10 000 a uma taxa de 12% a.a, por um período de 4 anos. Ao fi nal desse período, o montante, em reais, que Roberto resgatou foi de Use M = C.( 1+i )t
5.
Dentre os gráfi cos a seguir, assinale o correspondente à função f (x)=2x. 6.
(A) 15 735,2.
(B) 1 573,52.
(C) 157,35.
(D) 15,735.
(E) 157 352.
Gabarito: ASoluçãoM = C.( 1+i )t → M = 10 000 . ( 1 + 0,12 )4 → M = 10 000 . 1,124 → M = 10 000 ∙ 1,57352 → M = 15 735,2
5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
4,5
2,5 -2,5 2 -2 1,5 -1,5 1 -1 0,5 -0,5 0
5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
4,5
2,5 -2,5 -3 -3,5 2 -2 1,5 -1,5 1 -1 0,5 -0,5 0
5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
4,5
2,5 -2,5 -3 -3,5 2 -2 1,5 -1,5 1 -1 0,5 -0,5 0
y y y
x xx
(Vunesp) Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q (t) indica a quanti dade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfi co a seguir, determine os valores de K e de a.
4. Q (t) = K . 2 -0,5t
Q
t
2048
512
Solução A função exponencialQ (t) = K . 2-0,5t passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048), apresentado no gráfi co. Logo, para o valor de k temos: Q (t) = K.2-0,5t→ Q (0) = K.2-0,5.0 = 2048 → Q (0) = K.20 = 2048 → K = 2048 Para o valor de a: Q(a) = K.2-0,5a = 512 → 2048.2-0,5a = 512 → 211.2-0,5a = 29 → 211-0,5a = 29 →
11 - 0,5 a = 9 → -0,5a = 9-11 → -0,5a = -2 → a = 4
a = 212
→ a = 4
a
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35
SoluçãoProfessor(a), em método para resolver seria atribuir valores para “x”: quando x = 1 → f (x) = 2, x = 2→ f (x) = 4; Portanto, o gráfi co que representa f (x) = 2x é o gráfi co II.
(A)
(D)
(B)
(C)
(E)
Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), é importante que os estudantes observem que o expoente é negati vo, isso implicará que se atribuir para x um número positi vo, a imagem se tornará um número fracionário, e se atribuir um número negati vo a sua imagem tornar-se-á um número positi vo e quanto menor o valor para x, maior será a imagem. Outra observação é o gráfi co que passa no ponto (0,1) que é um dado fundamental que garante a resposta.
x
5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
4,5
y
2,5 2 2 1,5 1,5 1 1 0
Dada a função f (x) = 5-x. 7.Assinale, dentre as opções a seguir, a que indica a representação gráfi ca dessa função.
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8. Construa o gráfi co da função f (x)= . 12
x
SoluçãoProfessor(a), atribuindo valores para “x”, tem-se:
x = - 2→ f x = 4 e x = -1 →f(x)=2, quando x = 0, f(x) = 1 e quando x = 1,
f(x) = 0,5; portanto, o gráfico da função f x = 12x
será assim
9. (UFPA) Uma reserva fl orestal possui 10 000 árvores. Determine em quantos anos a quanti dade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quanti dade de árvores por ano é f t = 10 000.2-t .
10. Observe a tabela a seguir:
Soluçãof t = 10 000 . 2-t = 10 000 .
18
→ 2-t = 18
= 1
23 = 2-3 → -t = -3 → t = 3
x f x = 1,8 x
-6 f x =1,8-6 =0,03
-3 f x =1,8-3 =0,17
-1 f x =1,8-1 =0,56
0 f x =1,80 =1
1 f x =1,81 =1,8
2 f x =1,82 =3,24
Assinale a opção que indica o gráfi co que representa as informações descritas na tabela.
2 1,20,4 0,6 0,8 10,
(A)
0-1 -0,6 -0,2-0,4-0,8-1,2-1,4-1,6-1,8-2-2,2-2,4-2,6-2,8-3-3,2-3,4-3,6-3,8-4-4,2-4,4-4,6-4,8-5
2,4
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), a ati vidade tem como proposta identi fi car, por meio de uma tabela dada, qual é o gráfi co que a representa. Peça aos alunos para observarem na tabela dada, quais são as imagens para os valores dados. Assim, observa-se que ela é crescente, não possui imagem negati va, ou seja, não intercepta o eixo x e que para x = 0 a imagem é igual a 1.
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37
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,4
1,6
1,6
1,8
0,20 ,4 0,60 ,8 11 ,2-1,2-1,4-1,6-1,8-2,2-2,4-2,6-2,8-3-3,2-3,4-3,6-3,8-4 -2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
(B)
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
0,40 ,6 0,81 1,2-1,2-1,4-1,6-1,8-2,2-2,4-2,6-2,8-3-3,2-3,4-3,6-3,8-4-4,2-4,4-4,6-4,8-5 -2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
(C)
0,4
0,8
1,2
2
1,5-1,5-2,0-2,5 -1 -0,5 0-4,5 -4,0 -3,5 -3,0-5
1,6
10,5
(D)
1,8-0,6-0,8-1-1,2-1,6-1,8-2-2,2-2,4-2,6-2,8-3-3,2-3,4 -1,4 -0,4 -0,2 0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,8
2
2,2
2,4
1,6
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
(E)
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39
MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 5
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE? Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas com três expectativas de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 1ª Série do Ensino Médio.As atividades foram elaboradas, tendo por base as expectativas de aprendizagem, seguindo uma gradação
de complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar as habilidades dos estudantes em identificar a representação gráfica de uma função exponencial; identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto e exponencial e utilizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas significativos.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:î E 54 ─ Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial. î E 55 ─ Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto. î E 59 ─ Utilizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas significativos.
Assim, as atividades foram elaboradas, de forma que proporcionem aos estudantes a aprendizagem dos conceitos aplicados, possibilitando a consolidação dessas habilidades.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), as expectativas de aprendizagem aparentemente direcionam para as mesmas atividades.As atividades 1, 2 e 3, foram elaboradas com o intuito de identificar a representação gráfica de uma
função exponencial. As atividades 4, 5 e 6 visam identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto. As atividades 7, 8, 9 e 10 utilização das propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas significativos.
Os estudantes poderão resolver, individualmente, as atividades, mas é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das atividades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestarem.
Ressaltamos a importância de você, professor (a), discutir outras situações que possam colaborar/ampliar/sistematizar o conhecimento dos estudantes. Portanto, é fundamental provocar os alunos e percebendo as suas dificuldades procurar saná-las. Lembrando que o caderno do estudante contempla as expectativas de aprendizagem e alguns descritores. Desta forma, caso identifique alguma lacuna no ensino e/ou aprendizagem do estudante, pesquise outras situações que demonstrem essas habilidades presentes na unidade.
Professor(a), utilize cada atividade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua prática pedagógica.
Boa aula!
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40
MATEMÁTICAUNIDADE 5
CONTEÚDO(S)î Função Exponencial.î Função Logarítmica.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)î Números e operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMî E 54 ─ Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.î E 55 ─ Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.î E 59 ─ Utilizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas significativos.
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UNIDADE 5ATIVIDADES
O gráfico que melhor representa a função , definida de em * é 1. f x = 12
xℝ ℝ
4
3
5
2
1
-3 2 -2 1 -1
-1
0 x
y (A) (B) 5
4
3
2
1
3 4 x
y
2 -2
1 -1
-1
0
2
1
-1
-2
-4
-5
-3 2 -2 1 -1 0 x
y
(C) (D) 2
1
-1
-2
-4
-5
-3 2 -2 1 -1 0 x
y
-3
-2
3
2
1
3 4
y
x 2 -2 1 -1
-1
0
(E)
Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), discuta com os estudantes que uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um. É definida como f de em , tal que f(x) = ax, em que Nos gráficos das funções das atividades 1, 2, 3, 4, 5 e 6, permitem observar todas as propriedades das funções exponenciais.Professor(a), construa os gráficos das funções exponenciais utilizando o GeoGebra, assim, os estudantes poderão perceber melhor como esses gráficos se comportam.
ℝ ℝ a 𝜖 ℝ, a > 0 e a ≠ 1.
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42
(SAEPE). O gráfi co que pode representar a função y = 5x é:2.
(A)y
1
12
-2
-15 x
(B)5
1
10
y
x
(C)
-2
-10
y
x
(E)50
1
2
y
x
(D)
Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), peça aos estudantes para substi tuir em valores como 0 e 1. Assim, perceberão que formarão os pares ordenados (0,1) e (1,5). Logo, o gráfi co da função é o da alternati va C.
𝑥
(A)
4
3
2
1
1 2 30-1-2-3
(C) 1 2 30-1-2-3
-1
-2
-3
-4
(D)1 2 30-1-2-3
-1
-2
-3
-4
(B)
4
3
2
1
1 2 30-1-2-3
(E)1 2 30-1-2-3
-3
-4
-5
-1
-2
O gráfi co que melhor representa a função defi nida de em * é f x = 2 x, ℝ ℝ3.
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Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), construa a tabela a cima com os estudantes e marque no plano cartesiano os pares ordenados encontrados. y = 2x
x y
-1 2-1 =
0 20 = 1 1 21 = 2 2 22 = 4
12
A população P de certa cidade cresce de acordo com a função P(t) = 56 000 (1,01)t, onde t signifi ca o tempo, em anos. Assinale a alternati va que indica o gráfi co que melhor representa essa função.
4.
(A) p
t
(B) p
t
(C) p
t
(D) p
t
(E) p
tGabarito: BSoluçãoProfessor(a), retome com os estudantes as propriedades da função exponencial. Nesse caso, a situação problema trata-se de uma função exponencial crescente, pois, a base está elevada ao expoente t, com a > 1.E começa, para t = 0, em 56 000 a população.
A altura de uma planta triplica a cada mês, durante certo período de sua vida. Sua altura inicial é de 1 cm. A função H(x) = 3x representa esta situação, onde x é a altura da planta. Assinale a alternati va que indica o gráfi co que melhor ilustra o crescimento da planta em função do tempo.
5.
(C)(A) H(x)
x
1
(B) H(x)
1x
1
x
H(x)
(D) H(x)
x
1
(E) H(x)
x
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6. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por . Assinale a alternati va que indica o gráfi co que melhor representa o crescimento da planta em função do tempo.
B t = 2t2
(A)
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4-5-6-7
1
1 2
Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), mostre aos estudantes que a base é maior que 1. Logo a função é crescente. O gráfi co que melhor representa a situação é da alternati va B.
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), retome com os estudantes as propriedades da função exponencial. Nesse caso, a situação problema trata de uma função exponencial crescente, pois, a base está elevada ao expoente x, com a>1.Qualquer gráfi co de função exponencial do ti po passa pelo ponto (0,1), pois qualquer número elevado ao expoente zero é igual a 1
f(x) = ax
a0 =1
(C)
0
2
1
-2-3 -1
-1
-4-5
3
3
f
1 2
(D)
-1-2-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5
(B)
0-2 6-4
2
4
6
8
10
2 4
(E)
0-1
-1
3-2-3
1
2
3
4
1 2
-3
-2
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(UFGD) Uma empresa de derivados químicos considera que, quando x milhões de dólares são investi dos em pesquisas, o lucro anual, em milhões de dólares, passa a ser
7.
L x = 20 + 5 log3 x+3
(A) 84 milhões de dólares.
(B) 81 milhões de dólares.
(C) 78 milhões de dólares.
(D) 64 milhões de dólares.
(E) 58 milhões de dólares.
(Portal Positi vo) Por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto Proálcool, uma montadora esti mou que sua produção de carros a álcool teria um crescimento anual de acordo com a expressão P(t) = 105∙ log10 (t+1), onde P é a quanti dade produzida e t o número de anos. Dessa forma, daqui a 99 anos a produção esti mada de carros será de:
8.
(A) 260 mil
(B) 240 mil
(C) 220 mil
(D) 210 mil
(E) 200 mil
Gabarito: ESoluçãoA produção P após 99 anos será o valor de P(t) quando substi tuímos t por 99:P(t) = 105∙ log10 (t+1)P(99) = 105∙ log10 (99+1)P(99) = 105∙ log10 100P(99) = 105∙ log1010
2 P(99) = 105∙ 2∙ log10 10P(99) = 105∙ 2 ∙ 1P(99) = 105∙ 2P(99) = 100 000∙ 2P(99) = 200 000Portanto, a produção esti mada será de 200 mil carros.
Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), retome com os estudantes as propriedades operatórias dos logaritmos. Essas propriedades serão uti lizadas nas ati vidades 7, 8, 9 e 10.
Substi tua L(x) por 40:L(x) = 20 +5 log3 (x+3)40 = 20 +5 log3 (x+3)40 - 20 = 5log3 (x+3)20 = 5 log3 (x+3)
4 = log3 (x+3)34 = x+381 = x+3x = 78 milhões de dólares.
205
= log3 x+3
De quanto deveria ser o investi mento em pesquisa para que o lucro anual fosse de 40 milhões de dólares?
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(Portal Positivo - adaptada) Numa experiência realizada em laboratório, Alice constatou que, dentro de t horas, a população P de determinada bactéria crescia segundo a função P(t) = 25 ∙ 2t. Nessa experiência, sabendo-se que log2 5 = 2,32, quanto tempo levou para a população atingir 625 bactérias?
10.
(A) 4 horas e 23 minutos
(B) 4 horas e 38 minutos
(C) 5 horas e 4 minutos
(D) 5 horas e 20 minutos
(E) 5 horas e 23 minutos
Gabarito: BSolução625 = 25 ∙ 2t → divide 625 por 25 que é igual a 25 25 = 2t → decomponha o 25 em fatores de 5 ( 25 = 5 ∙ 5 que é a mesma coisa que 52) 52 = 2t → agora usa os logaritmos, multiplique os dois termos da equação pela logaritmo dado acima, log2 5
2 = log2 2t → usando as propriedades operatórias
2 ∙ log2 5 = t ∙ log2 2 → quando a base de um logaritmo for igual ao seu logaritimando, o resultado será sempre 1 2 ∙ 2,32 = t ∙ 1 t = 4,64 horas → para transformar o 0,64 horas em minutos multiplique por 60 0,64 ∙ 60 = 38,4 min Logo, levou 4h 38min para a população atingir 625 bactérias.
600300
= Log₃ (1+t)
Gabarito: BSoluçãoA função conforme enunciado é: N(t) = 300.Log₃ ( 1+t ) N significa o número de peças t significa os meses No segundo mês, teria-se: N(2) = 300.Log₃ ( 1+2 ) N(2) = 300.Log₃ (3) Propriedades: Logₐ a = 1 Essa propriedade diz que o logaritmo de um número em que o próprio número é a base, é igual a 1 Logo, tem-se: Log₃ (3) = 1 300.1 = 300 Considerando que nesse mês a produção foi o dobro do segundo mês, a produção foi de 2∙300 = 600 Logo, substitui-se N(t) por 600: 600 = 300 .Log₃ (1+t)
2 = Log₃ (1+t) Pela definição de logaritmo, tem-se: Log₃ (1+t) = 2 3² = (1+t) 9 = (1+t) 9-1 = t 8 = tLogo, o valor de n é igual a 8.
(UERN) O número de peças produzidas por uma indústria é dada pela função N (t) = 300∙log3 (1+t), sendo N (t) o número de peças produzidas em t meses. Considerando-se que, em n meses, a produção é o dobro da de 2 meses, pode-se afirmar que o valor de n é
9.
(A) 6.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 11.
(E) 12.
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 6
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe ati vidades relacionadas com ati vidades relacionadas a duas expectati vas de
aprendizagem, do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemáti ca, da 1ª Série do Ensino Médio. Além das expectati vas também foram considerados dois subdescritores, seguindo uma gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar o desenvolvimento das habilidades dos estudantes em uti lizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas signifi cati vos e conceituar e calcular o logaritmo de um número real positi vo.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectati vas de aprendizagem:î E 59 ─ Uti lizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas signifi cati vos. î E 58 ─ Conceituar e calcular o logaritmo de um número real positi vo.
Os subdescritores contemplados a parti r dessas expectati vas são D28B – Calcular logaritmos e D28C – Determinar as soluções de uma equação logarítmica.
As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectati vas, são: uti lizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas signifi cati vos e conceituar e calcular o logaritmo de um número real positi vo.
Assim, as ati vidades estão elaboradas permiti ndo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos através de uma gradação intencional embasadas nos subdescritores os quais diagnosti cam a consolidação dessas habilidades no estudante.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), nas ati vidades 1 e 2 os estudantes deverão uti lizar as propriedades operatórias do logaritmo
na resolução de problemas signifi cati vos.As ati vidades 3 a 8 focam no cálculo de logaritmos.Finalmente a habilidade de determinar as soluções de uma equação logarítmica será trabalhada nas
ati vidades 9 e 10.Os estudantes poderão resolver, individualmente, as ati vidades, mas é fundamental que eles socializem
com os demais colegas. É imprescindível a correção das ati vidades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestarem.
Ressaltamos a importância de você, professor (a), discuti r outras situações que possam colaborar/ampliar/sistemati zar o conhecimento dos estudantes. Portanto, é fundamental provocar os alunos e percebendo suas difi culdades procurar saná-las. Lembrando que o caderno do estudante contempla as expectati vas de aprendizagem e alguns descritores. Desta forma, caso identi fi que alguma lacuna no ensino ou na aprendizagem do estudante, pesquise outras situações que demonstrem essas habilidades presentes na unidade.
Professor(a), uti lize cada ati vidade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua práti ca pedagógica.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 6
CONTEÚDO(S)î Função logarítmica.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)î Números e operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMî E 59 ─ Uti lizar as propriedades operatórias do logaritmo na resolução de problemas signifi cati vos. î E 58 ─ Conceituar e calcular o logaritmo de um número real positi vo.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)î D28 B ─ Calcular logaritmos. î D28 C – Determinar as soluções de uma equação logarítmica.
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UNIDADE 6ATIVIDADES
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Considerando que a taxa de crescimento continuará a mesma, a população desta cidade irá dobrar
2.
Num processo de assédio moral no trabalho, um juiz determinou o pagamento de uma indenização ao réu até determinada data. Decidiu também que, caso o pagamento não seja feito, seria cobrada uma multa da empresa causadora, de R$ 2,00 que dobra a cada dia de atraso.Essa multa será superior a 1 milhão de reais no
1.
(A) 20º dia de atraso.
(B) 21º dia de atraso.
(C) 22º dia de atraso.
(D) 23º dia de atraso.
(E) 24º dia de atraso.
Conforme observa-se, as multas crescem em progressão geométrica. Para calcular em que dia a multa atinge 1 milhão de reais, deve-se resolver a equação:2x = 1 000 000 Para resolver essa equação é preciso aplicar a propriedade dos logaritmos nos dois lados:log 2x = log 1 000 000 log2x = log 106 Considerando a propriedade do logaritmo da potência: x∙ log 2 = 6 ∙ log 10Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 tem-se:x ∙ 0,301 = 6
Conclui-se, que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.
x = 6
0,301 = 19,93 ≅ 20º dia
(A) em menos de 18 anos.
(B) entre 18 e 19 anos.
(C) entre 20 e 21 anos.
(D) entre 23 e 24 anos.
(E) após 25 anos.
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), ajude os estudantes a compreenderem que a multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela aumenta com uma rapidez muito grande. Considerando x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja:1 dia de atraso → x = 1 multa = 21 = 22 dias de atraso → x = 2 multas = 2² = 43 dias de atraso → x = 3 multas = 2³ = 8 e assim por diante.
UNIDADE 6
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Gabarito: DSoluçãoPopulação do ano-base = P0 População após um ano = PO ∙ (1,03) = P1População após dois anos = PO ∙ (1,03)2 = P2População após x anos = PO ∙ (1,03)X = PxSupondo que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, tem-se: Px = 2∙PO PO∙(1,03)x = 2∙PO (1,03)x = 2 Aplicando logaritmo log(1,03)x = log2 x∙log 1,03 = log2 x∙0,0128 = 0,3010
x = 23,5, ou seja, 23 anos e 6 meses.
x = 0,30100,0128
(A) 0,236.
(B) 0,824.
(C) 1,354.
(D) 1,854.
(E) 2,472.
Se log = 1,236 então o valor de log é igual a𝐚� a33.
Gabarito: BSolução
Professor(a), o estudante deverá aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos.
Assim, tem-se que:
log a = 2,472
log a� = 1,236
4. A raiz da equação 2x = 12 é igual a
(A) 6.
(B) 3,5.
(C) log 12.
(D) 2log2 3.
(E) 2+log2 3.
12 ∙ log a = 1,236
log a� = log a12 =
12
∙ log a
Se log a = 2,472, então podem calcular log a3 :
log a3 = log a13 =
13
∙ log a = 2,472
3 = 0,824
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8. Calcule o log3 5 sabendo que o log3 45 = 3,464974:Professor(a), ajude o estudante a lembrar que para resolver este problema ele deverá recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.Assim, precisa-se de algum outro logaritmo fácil de calcular, que permita do Log3 45 chegar ao Log3 5. Uma forma seria parti ndo de 45 chegar a 5, é dividir 45 por 9.Pode-se facilmente calcular o Log3 9, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente para solucionar esta questão.A parti r do explicado acima pode-se escrever que:
Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente tem-se:
log3 5 = log3459
log3 5 = log3459
→ log3 5 = log3 45 - log3 9
log3 5 = log3 45 - 2 → log3 5 = 3,464974 - 2 = 1,464974
5. Sabendo que log 2 = x e log 5 = z calcule log 10 em função de x e z:
6. Sabendo que log 3 = y, calcule log 27 em função de y:
7. Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z calcule log 7,5 em função de x,y e z:
O estudante deverá aplicar a propriedade operatória do logaritmo do produto e sabendo que 2∙5 = 10, tem-se:log 10 = log (2∙5) = log 2 + log 5 = x + z Portanto, log 10 = x + z
O estudante deverá para determinar log 27, uti lizar o logaritmo da potência, uma vez que 27 = 3³. Sendo assim, tem-se:log 27 = log 3³ = 3 ∙ log 3 = 3∙y Então, log 27 = 3y
Solução
O estudante deverá encontrar uma forma de representar o número 7,5 em função de 2, 3 e 5. Passando
para a forma fracionária podem simplifi cá-lo por 5 e tem-se a fração . Sabe-se ainda que 15 é o
produto entre 3 e 5. Sendo:
Portanto, log 7,5 = y + z – x
log 7,5 = log152
= log 3 ∙ log 5
log 2 = log 3 + log 5 – log 2 = y + z – x
7510
152
x = log2 3+2 log2 2
Gabarito: ESoluçãoProfessor(a), ajude o estudante a compreender que ele deverá aplicar log dos dois lados: log2x = log12
x ∙ log2 = log12
x = log12log2
x = log2 12
x = log2 3∙22
x = log2 3 + log2 22
x = log2 3+2∙1x = 2 +log2 3
log (3 . 5)
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9. Determine o conjunto solução da equação log12 (x2-x) = 1Professor(a), ajude o estudante a encontrar as condições de existência: x > 0 e x ≠ 1 x2 - x > 0 → x > 1 e x < 0Em seguida, uti lizar a defi nição de logaritmo, tem-se:log12 (x
2 - x) = 1121 = x2 - xx2 - x - 12 = 0∆ = (-1)2 - 4 ∙ 1 ∙ (-12)∆ = 1 + 48∆ = 49
x = - (-1) ±7
2
xʹ= 1+7
2 = 4
xʹʹ= 1-72
= -3
xʹ= 4
xʹʹ = -3 →indefinidoS = {4}
10.Encontre o conjunto solução da equação logx (10+3x) = 2, em :ℝ
10 + 3x > 0 → 3x > - 10 → x > - 103
O estudante deverá determinar as condições de existência.Condições de existência: x > 0 e x ≠ 1
Uti lizando a defi nição de logaritmo, tem-se:10 + 3x = x2
x2 - 3x - 10 = 0∆ = (-3)2- 4 ∙ 1 ∙ (-10) ∆ = 9 + 40 ∆ = 49
x = - (-3) ±7
2
xʹ = 3+7
2 = 5
xʹʹ = 3 - 7
2 = -2 →indefinido
S = {5}
Não faz parte do intervalo x > 1
Não faz parte do intervalo x > 0
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 7
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas a uma expectativa de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, do 1ª Série do Ensino Médio.As atividades foram elaboradas, tendo por base três subdescritores do descritor D28 seguindo uma
gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar o desenvolvimento das habilidades dos estudantes em identificar uma função logarítmica, determinar as soluções de uma equação logarítmica e identificar gráficos de funções logarítmicas.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:î E-61 ─ Construir e analisar gráficos de uma função logarítmica e os seguintes subdescritores: î D28A─ Resolver situações-problema envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de figuras planas.î D28C─ Determinar as soluções de uma equação logarítmica; î D28 – Identificar gráficos de funções logarítmicas.
Os subdescritores do descritor D28 contemplam essa expectativa de aprendizagem por meio das habilidades dos estudantes em identificar uma função logarítmica, determinar as soluções de uma equação logarítmica e identificar gráficos de funções logarítmicas. Assim, as atividades estão elaboradas permitindo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos através de uma gradação intencional embasadas nos descritores os quais diagnosticam a consolidação dessas habilidades no estudante.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), as atividades 1 e 2 apresentam como habilidade a capacidade do estudante em determinar
as soluções de uma equação logarítmica, enquanto nas atividades 3 a 6 evidenciam as habilidades de identificar uma função logarítmica.
Nessa mesma direção, as atividades de 7 a 10 tratam-se da habilidade de identificar gráficos de funções logarítmicas.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 7
CONTEÚDO(S)îFunção Logarítmica.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)îNúmeros e operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMîE-61 − Construir e analisar gráficos de uma função logarítmica.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)îD28A – Identificar uma função logarítmica.îD28C – Determinar as soluções de uma equação logarítmica.îD28D – Identificar gráficos de funções logarítmicas.
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UNIDADE 7ATIVIDADES
Toda função definida pela lei de formação f (x) = logab, com b > 0, a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a.Identifique, nas funções a seguir, qual não representa uma função logarítmica.
3.
Observe a função logarítmica a seguir:
O valor de x para que a igualdade seja verdadeira é:
1.log2 3x+10 - log2 x = log2 5
(A) 0.
(B) 1.
(C) 3.
(D) 5.
(E) 6.
2. (UEL – 2013) Considere a equação logarítmica a seguir:
A solução da equação é igual a
-1 = log5 2xx+1
(A) .
(B) .
(C) -1.
(D) -5.
(E) -9.
19
-15
Gabarito: ASoluçãoProfessor, primeiro é importante encontrarmos as condições de existência do logaritmo. logb a ( a>0, b≠1 e b>0 )
(A) f (x) = log2 x + 1
(B) f (x) = log(-1) x2 + 3
(C) f (x) = log4 3x
(D) f (x) = log - 2x + 3
(E) f (x) = log0,5 x
Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), para o estudante resolver as atividades 3 até a 6, ele precisará ter o conhecimento em determinar soluções de uma equação logarítmica. Para isso, ele deverá observar a definição de função logarítmica, que foi pré-definido no enunciado dessa atividade. A opção B é a única que possui irregularidade, logo a opção correta.
-1 = log5 2 x
x + 1 → 5-1 =
2 xx + 1
→ 15
= 2 x
x + 1 → 10 x = x + 1 → x =
19
Resolvendo a equação logarítmica.
Assimlog5 está definido para
2x>0x>0
x+1>0x>-1
2xx+1
Gabarito: DProfessor, primeiro é importante encontrarmos as condições de existência do logaritmo. logb a ( a>0, b≠1 e b>0 ) Assimlog2 3x + 10 está definido para 3x + 10>0 3x > -10
elog2 x está definido para x>0 Aplicando a propriedade entre diferenças entre logaritmos, tem-se:
Portanto, o valor de “x” para que a equação seja verdadeira é 5.
log2 3x + 10 - log2 x = log2 5 → log2 3x + 10
x= log2 5 →
3x + 10x
= 5 → x = 5.
x > -103
-103
0
0
2xx+1
>0
0
0-1
-1Logo o logaritmo está definido para
x < -1 ou x > 0
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Considerando que a função logarítmica tem como lei de formação f (x) = logab, com b > 0, a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a.Nessas condições identi fi que, dentre as opções, a função logarítmica.
4.
Sabe-se que uma função logarítmica é defi nida pela seguinte lei de formação f (x) = loga b, com b > 0, a ≠ 1 e a > 0.Das opções a seguir a que representa uma função logarítmica é
5.
A função logarítmica f(x) = logx a intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0). Caso somarmos uma constate c no logaritmando, esta produzirá um deslocamento horizontal no gráfi co. Ainda se for positi vo o gráfi co será deslocado para esquerda e se for negati vo será deslocado para direita.
Disponível em: . Acesso em: 20 set. 2017.
Considerando essas informações, faça os gráfi cos das seguintes funções:
7.
(A) f (x) = log-3 3x - 3
(B) f (x) = log-10 x + 7
(C) f (x) = log4 3x2
(D)f (x) = log1 3
(E) f (x) = log-0,5 50
Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), a ati vidade propõe ao estudante analisar as opções dadas e verifi car qual delas sati sfaz as condições de existência da função logarítmica, como a base nas opções, ora são negati vas ora são iguais a um, então a opção correta é a que possui base igual a 4.
(A) y = log-10 200 x.
(B) y = log-2 2x.
(C) f(x) = log1 3x.
(D) y = log-4(x-1)3 .
(E) f(x) = log2 60.
Gabarito: ESoluçãoProfessor(a), para responder essa ati vidade, deve-se analisar os critérios de existência. Dentre as opções algumas tem na base do logaritmo um valor que não respeita os critérios de existência.
(A) f(x) = log2 2x.
(B) f(x) = log2 (2x+3).
(C) f(x) = log2 (2x-3).
Solução:Professor(a), para resolver as ati vidades de 7 a 10, o estudante precisa ter a habilidade de identi fi car gráfi cos de funções logarítmicas. Vejamos algumas observações: Sempre que a > 1, tem-se que a função será crescente para qualquer valor real positi vo de x; Sempre que 0 < a < 1, tem-se que a função será decrescente para qualquer valor real positi vo de x. A função na sua forma básica f(x) = loga x intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0). Caso somando uma constante c no logaritmando, esta produzirá um deslocamento horizontal no gráfi co. Se c for positi vo o gráfi co será deslocado para esquerda e se for negati vo será deslocado para a direita.
6. A função logarítmica é defi nida pela seguinte lei de formação f (x) = loga b, com b > 0, a ≠ 1 e a > 0.Identi fi que a seguir a função que não é logarítmica.
(A)
(B) y = log4(-3x+9)
(C) f(x) = log - 5x
(D) f(x) = log4(x2-5)
(E) f(x) =
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), para resolver essa ati vidade, leia as orientações na solução da ati vidade 3.
x = log-3 x
log22x+ 25
3
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Sabe-se que uma função logarítmica é defi nida pela seguinte lei de formação f(x) = loga b com b > 0, a ≠ 1 e a > 0.Sobre gráfi cos de função logarítmica é correto o que se afi rma em
8.
= log² 2
-4
(2 -3)
(A) A função na sua forma básica f (x) = loga x intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0).
(B) Quando a>0, a função é decrescente.
(C) Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é crescente.
(D) O gráfi co passa pela origem do sistema cartesiano.
(E) Caso somarmos uma constante c no logaritmando, esta produzirá um deslocamento verti cal no gráfi co.
Gabarito: ASoluçãoProfessor(a), para resolver essa ati vidade, observe as orientações na solução da ati vidades anterior.
9. A representação geométrica que melhor representa o gráfi co da função logarítmica, dada por é af x =log1
2x
(A)
(C)
(B)
(D)
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Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), para resolver essa ati vidade, observe as orientações na solução da ati vidade 7. Além de uti lizar a técnica de atribuir valores para “x” e encontrar o valor de “y”, formando o par ordenado.
(E)
(UFRGS - 2011) Na fi gura, a curva S representa o conjunto solução da equação y = loga x e a curva T, o conjunto solução da equação y = logb x. Tem-se:
10.
Y T
S
X1
(A) a < b < 1.
(B) 1 < b < a.
(C) 1 < a < b.
(D) b < a < 1.
(E) b < 1 < a.
Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), para resolver essa ati vidade, observe também as orientações da ati vidade 7 e ainda: Os dois gráfi cos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Fica-se então entre as alternati vas B e C. Deve-se então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do que a curva T, então sua base é maior (a > b).
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MATEMÁTICAAPRESENTANDO A UNIDADE 8
O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?Professor (a), esta unidade propõe ati vidades relacionadas com três expectati vas de aprendizagem, do
Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemáti ca, da 1ª Série do Ensino Médio.As ati vidades foram elaboradas, tendo por base três descritores, seguindo uma gradação de complexidade
entre eles. Assim, pretende-se alcançar as habilidades dos estudantes em identi fi car a representação gráfi ca e algébrica da função inversa da exponencial, bem como resolver problema que envolva função logarítmica.
QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?Esta unidade tem por base as seguintes expectati vas de aprendizagem:îIdenti fi car a função logarítmica como a inversa da função exponencial.îIdenti fi car a representação algébrica e/ou gráfi ca de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial.îResolver problemas signifi cati vos uti lizando a função logarítmica.
O descritor e os subdescritores contemplados, a parti r dessas expectati vas, são: D28G, D28F e D28E. As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectati vas, são: identi fi car a representação gráfi ca ou algébrica de uma função logarítmica e com isso, reconhecer que essa função é a inversa da função exponencial. Outra habilidade a ser desenvolvida é a capacidade dos estudantes em resolver situações- problema que envolvam a função logarítmica.
Assim, as ati vidades foram elaboradas, de forma que proporcionem aos estudantes a aprendizagem dos conceitos aplicados, possibilitando a consolidação dessas habilidades.
QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?Professor(a), pensando na consolidação do conhecimento dos estudantes, nesse módulo, os subdescritores
possuem mais uma ati vidade. Nas ati vidades 1, 2 e 3 são abordadas a capacidade dos estudantes em identi fi car a representação gráfi ca da inversa da função exponencial. As ati vidades 4 e 5 abordam a mesma habilidade, porém com a representação algébrica de uma função logarítmica. Nas ati vidades 6, 7, 8, 9 e 10, os estudantes deverão resolver situações-problema que envolvam a função logarítmica.
Os estudantes poderão resolver, individualmente, as ati vidades, mas é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das ati vidades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestarem.
Ressaltamos a importância de você, professor(a), discuti r outras situações que possam colaborar/ampliar/sistemati zar o conhecimento dos estudantes. Lembre-se que o caderno do estudante contempla as expectati vas de aprendizagem e alguns descritores. Desta forma, caso identi fi que alguma lacuna, pesquise outras situações que demonstrem essas habilidades presentes na unidade.
Outrossim, uti lize cada ati vidade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua práti ca pedagógica.
Boa aula!
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MATEMÁTICAUNIDADE 8
CONTEÚDO(S)îFunção logarítmica.
EIXO(S) TEMÁTICO(S)îNúmeros e Operações.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEMîIdentificar a função logarítmica como a inversa da função exponencial.îIdentificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial.îResolver problemas significativos utilizando a função logarítmica.
DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)îD28G─ Identificar a representação gráfica da função inversa da exponencial.îD28F ─ Identificar a representação algébrica da função inversa da exponencial.îD28E ─ Resolver problema que envolva função logarítmica.
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UNIDADE 8ATIVIDADES
Observe os gráficos a seguir:1.
Assinale a opção que apresenta gráficos da função inversa da exponencial.
(A) I, II e III
(B) II e IV
(C) I e II
(D) II, III e IV
(E) I e IIIGabarito: ESoluçãoProfessor(a), a atividade proposta é uma atividade que não exige muito da interpretação dos estudantes, uma vez que é sabido que o gráfico da função exponencial trata-se de uma curva, fato esse abordado com os estudantes ao ser ensinado a eles, assim, explique a eles que a característica da inversa é ser uma curva espelhada a exponencial.
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2.Observe o gráfi co de uma função exponencial.
Assinale a opção que apresenta o gráfi co da sua inversa.
5
6
7
-2 -3
-2-3 -2-3
-2
-2
Gabarito: BSoluçãoProfessor (a), o comportamento da função inversa da função exponencial apresentada, trata-se da função logarítmica, ou seja, ela é uma refl exão sobre a assíntota (y = x) da função apresentada, uma vez que o exponencial passa pelo ponto x = 1, e a função não intercepta a ordenada, então sua inversa também não interceptará.
(A)
(C)
(E)
(B)
(D)
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3. Observe o gráfi co a seguir:
Assinale a opção que representa a sua inversa.
(A)
(C)
(E)
(B)
(D)
-2-3 8 9
8
-2
Gabarito: CSolução
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4. Considere a seguinte função: f (x) = 3x.Assinale a opção que apresenta a inversa dessa função.
Gabarito: DSoluçãoProfessor(a), para determinar a função inversa de função exponencial, faz se a troca de x por y e vice-versa, assim, tem-se o cálculo:y = 3x x = 3y
log3 x = log3 3y
log3 x = y
5. Determine a inversa da função f (x) = 5x-1 +2.Solução5x-1 + 2 = y5y-1 + 2 = xlog5 5
y-1 = log5 x - 2y - 1 = log5 x - 2y = log5 (x - 2) + 1Logo, a inversa de f (x) será f -1 (x) = log5 (x-2) + 1.
Em uma aula de matemáti ca, um estudante afi rmou que logm 10 = 1,6610. Outro estudante afi rmou que logm 160 = 3,6610. Eles afi rmaram que m ≠ 1. Nessas condições, determine o valor de m.
6.
Soluçãologm 160 = 3,6610logm 16∙10 = 3,6610logm 4
2.10 = 3,6610logm 4
2 + logm 10 = 3,6610 logm 4
2 + 1,6610 = 3,6610 logm 4
2 = 2 2∙logm 4 = 2 logm 4 = 1 m¹ = 4m = 4Logo, o valor de m é igual a 4.
7. Determine o valor da expressão log5 125log3 81
Soluçãolog5 125 = x → 5
x = 125 → 5x = 53→ x = 3log3 81 = y → 3
y = 81 → 3y = 34→ y = 4Logo, log5 125
log3 81 →
34
= 0,75.
8. Considere o seguinte logarítmico:O valor desse logarítmico é um número que pertence ao conjunto
log13 (log4 64).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
ℕ.
ℤ+ .
ℤ
ℕ∗ .
ℝ+ .
Gabarito: CSolução
log4 64 = x → 4x = 64 → 4x = 43 → x = 3
Assim, log13 log4 64 = log1
3 3 → log1
3 3 = a
log13 3 = a→
13
α
= 3→13
α
=13
-1
→ a = -1
Logo, o valor do logarítmico é um número que pertence ao conjunto . ℤ
(A) f -1 (x) = log10 3x
(B) f -1 (x) = logx 3
(C) f -1 (x) = -3-x
(D) f -1 (x) = log3 x
(E) f -1 (x) = 13x
a a
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Determine a solução da equação 10x = 2,5. Considerando que log 2 = 0,301 .9.Soluçãolog 10 x = log 2,5
x = log 10 - log 4x = 1 - log 22 x = 1 - 2 ∙ log 2x = 1 - 2 ∙ (0,301)x = 1 - 0,602x = 0,398
x ∙ log 10 = log 104
10.Determine log9 a2 sabendo que log3 a = x.Soluçãolog9 a
2 = 2 ∙ log9 a Aplicando mudança de base.
loga b = logc blogc a
log9 a2 = 2 ∙ log9 a = 2 ∙
log3 alog3 9
log9 a2 = 2 ∙
x2
log9 a2 = x
Logo, log9 a2 é igual a x.
Ensino Médio
Caderno do ProfessorVolume 3
1ªSérieLÍNGUA PORTUGUESA
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Líng
ua P
ortu
gues
a
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LÍNGUA PORTUGUESAAPRESENTANDO A UNIDADE 1
O QUE SABER SOBRE ESTE MATERIAL?Professor (a), as atividades deste material pedagógico foram elaboradas considerando o Currículo
Referência do Estado de Goiás e a Matriz de Referência do Sistema de Avaliação da Educação Básica — Saeb. Para tanto, as referidas atividades envolvem as quatro práticas de estudo da língua: oralidade, leitura, análise da língua e escrita, bem como os gêneros textuais e literários do 3º bimestre e/ou que foram explorados em outros anos/séries. Este bimestre foi organizado em unidades e cada unidade equivale a uma semana de trabalho constituída por 10 (dez) atividades.
ATIVIDADES PROPOSTASProfessor (a), as atividades propostas neste material pedagógico permitem desenvolver as habilidades
dispostas na Matriz de Referência do Saeb e as expectativas de aprendizagem previstas no 3º bimestre do Currículo Referência do Estado de Goiás.
Para a melhor compreensão dos textos apresentados, sugerimos que sejam utilizadas diferentes estratégias de leitura, tais como: antecipação, levantamento de hipóteses, seleção, dentre outras. Procure, sempre que possível, realizar uma leitura coletiva, a fim de verificar as dificuldades de compreensão de palavras e expressões que os/as estudantes possam apresentar, trabalhando o significado dessas palavras de forma reflexiva, levando-os/as a inferirem seus possíveis significados. Verifique também se compreendem o que está sendo proposto em cada atividade. A não compreensão das questões propostas já oferece um indício das dificuldades em leitura apresentadas.
Vale ressaltar que você, professor (a), dispõe de autonomia para utilizar este material de forma que ele complemente seu plano de aula, com o intuito de atender aos conteúdos e às expectativas de aprendizagem da 1ª Série do Ensino Médio do Currículo Referência de Língua Portuguesa da Rede Estadual de Educação.
As atividades propostas neste material exploram as habilidades pertinentes aos descritores 4, 18, 17, 6, 19, 15, 2, 13, 3, 17, 1, 7, 8, 11, 12 e 20 por estarem em consonância com as particularidades dos gêneros contemplados no 3º bimestre da 1ª Série do Ensino Médio (Poema, Sermão e Epopeia), além de outros de períodos anteriores.
Neste material, a partir do trabalho feito com os descritores 1, 3, 4 e 6, elementos pertinentes ao tópico I da Matriz de Referência do Saeb, espera-se que sejam desenvolvidas habilidades linguísticas necessárias à leitura de textos de gêneros variados. Por meio das atividades realizadas com esses descritores, é possível que o/a estudante possa tornar-se um leitor competente, sabendo localizar informações explícitas, fazendo inferências sobre as informações que extrapolam a base textual, identificar a ideia central de um texto, ou seja, perceber seu sentido global, além de apreender o sentido de uma palavra ou expressão pela inferência contextual.
A competência referente ao campo de conhecimento do descritor 12, permite que sejam estabelecidas as relações entre informações de fontes diversas, ao mesmo tempo em que se reconheça a finalidade de um t
