RESERVOIR GEOLOGY

MATEMATIKA DASAR II3 VektorRahmadi Hidayat, M.EngDepartment of Geological Engineering Gadjah Mada University

1

OUTLINEPendahuluanNotasi VektorKomponen VektorPenjumlahan Vektor Dengan Metode AnalitikMenentukan Arah Resultan VektorVektor SatuanPerkalian VektorSistem Koordinat

2PendahuluanVektor pergeseran (displacement) dalam latin digunakan untuk menggambarkan perpindahan partikel yang bergerak atau gayaPergeseran suatu partikel berhubungan dengan perubahan posisi dari partikel tersebut.Jika sebuah pertikel berpindah dari A ke B, maka pergeserannya dinyatakan sebagai vektor ABJika berpindah dari B ke C, pergeserannya dinyatakan sebagai vektor BCHasil kedua pergeseran tersebut didefinisikan sebagai pergeseran dari A ke C sehingga dinyatakan sebagai vektor AC resultan/jumlah dari pergeseran AB dan BC

3

Vektor Kinematika Sesar4

Vektor Analisis Paleocurrent5

Skalar VS Vektor6

Secara matematika besaran fisika dikelompokkan menjadi dua :Besaran skalar : bilangan dengan satuan yang sesuai ditentukan oleh ukuranBesaran vektor : besaran yang mempunyai besar dan arah ke mana vektor itu beroperasiNotasi Vektor7

Notasi VektorVektor A besar dan arahnya sama dengan vektor B A = B Vektor A besar dan arahnya tidak sama dengan vektor C A C Vertor D besarnya sama dengan vektor E, tetapi arahnya berlawanan D = - E Vektor G besarnya 2 kali vektor F dan arahnya sama G = 2F Vektor H besarannya 2 kali vektor F tetapi arahnya berlawanan H = -2F Note: Tanda negatif (-) menunjukkan arahnya berlawanan. 8

Komponen Vektor/Mengurai VektorSebuah vektor, misal F atau V, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 2 vektor lainnya dinyatakan sebagai komponen-komponen vektor Fa dan Fb; serta Va dan Vb

Komponen yang dipilih komponen-komponen pada sumbu Kartesian yang saling tegak lurus. 9

Komponen Vektor/Mengurai VektorMetode yang digunakan komponen suatu vektor dapat dilakukan dengan memproyeksikan ujung vektor itu pada sumbu x dan sumbu y berdasarkan rumus fungsi trigonometri.Besar komponen-komponen F, yaitu :

Vice versa, jika komponen diketahui, maka besar dan arah vektor :10

Contoh Komponen Vektor/Mengurai Vektor Tentukan komponen komponen dari vektor di bawah ini :

Jawab :

11

Resultan Vektor dengan Metode Analitik12

Cara mencari R sebagai resultan vektor a dan b ?Putar hingga berhimpit sumbu aMakaResultan Vektor dengan Metode Analitik13Bagaimana mencari resultan dengan jumlah vektor-vektor lebih dari dua?

Uraikan masing-masing vektor pada sumbu-x dan sumbu-y Jumlahkan semua vektor komponen sumbu-x dan sumbu-y, Jumlahkan vektor tersebut menghasilkan vektor resultan r dengan persamaan

Jika = 900

Exercise 1Diketahui tiga buah vektor seperti gambar. Tentukan resultan dari ketiga vektor terdebut (satu kotak sama dengan 1 Newton)14

Jawab:

Exercise 2Dua buah vektor masing-masing v1 = 6 m/s dan v2 = 6 m/s, mengapit sudut 600, satu sama lain seperti gambar.V1 + V2V1 V215Jawab:

Menentukan Arah Resultan Vektor16

1.2.Exercise 1Dua buah vektor masing-masing F1 = 8 N dan F2 = 6 N, dengan titik tangkap berimpitan. Tentukan besar dan arah resultan vektor, jika kedua vektor :Saling tegak lurusMembentuk sudut 60017Jawab:

a.Exercise 1Dua buah vektor masing-masing F1 = 8 N dan F2 = 6 N, dengan titik tangkap berimpitan. Tentukan besar dan arah resultan vektor, jika kedua vektor :Saling tegak lurusMembentuk sudut 60018Jawab:

b.

Exercise 2Dua buah vektor V1 = V2 = 10 N, saling mengapit sudut 1200. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor itu?19Jawab:

Vektor SatuanJika sebuah vektor terletak dalam ruang (3 dimensi), vektor tersebut dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x,sumbu-y dan sumbu-z diuraikan menjadi komponen-komponennya, yaitu Vx, Vy dan Vz. Berdasarkan penjumlahan vektor dapat ditulis :

Untuk memudahkan analisis, ditetapkan vektor satuan : pada sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z diberi nilai i, j dan k Vektor satuan vektor yang besarnya sama dengan satu satuan. Secara matematis dapat dituliskan bahwa besar setiap vektor satuan adalah sama Resultan dapat dicari dengan :20

Exercise 1Tentukan resultan A+B dan A-B?

Jawab:21

Exercise 2Tentukan r1 + r2 dan r1 - r2?

Jawab :22

Perkalian Skalar/Dot Vektor23

Sifat hasil kali skalar :

Hasil kali titik antara vektor A dan B adalah sebuah besaran skalar. Perkalian Skalar/Dot Vektor24

Fungsi Perkalian Skalar/Dot Vektor Dalam fisika, usaha = gaya jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar, maka:25

Exercise 1Tentukan perkalian dot A . B dan B. A

Jawab :

26

Sifat komutatif A . B = B . A berlaku di dalam perkalian dot Exercise 227

Perkalian Cross Vektor28Perkalian silang ( x ) antara dua vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru. disebut juga sebagai perkalian vektor. Hasil perkalian silang vektor A dan vektor B (A cross B ) menghasilkan vektor C. Vektor C selalu tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B ( vektor C tegak lurus vektor A dan vektor B )

Perkalian Cross Vektor29Arah vektor C adalah mengikuti aturan putaran skrup. Jika A diputar ke arah B, hasilnya vektor C dengan arah ke atasSebaliknya, jika vektor B diputar ke arah vektor A ( B x A ) hasilnya vektor C dengan arah kebawah

Sifat hasil kali cross :Perkalian Cross Vektor30Mempermudah perhitungan cross product Sarrus law

Jika AXB dari vektor :A= 4i+ 3j 2kB= 7i+ 2j+ 5kMaka dapat dijabarkan sesuai hukum Sarrus :

Jabaran metode SarrusTambahkan dua kolom susunan SarrusBeri tanda plus minus dan lakukan perkalian menyilang dimulai dari I j k

ExerciseTentukan perkalian silang (cross product) :AxBBXAdari dua vektor A= 5i+ 0j 3k dan B= -i+ 2j+ 3kJawab:

31

sifat non-komutatif A x B = -( B x A ) berlaku di dalam perkalian cross Sistem KoordinatVektor adalah besaran yang ditentukan oleh besar dan arahnya dapat diaplikasikan dalam sistem ruang dengan bantuan koordinat sistem untuk menjelaskan besar dan arah vektorBerbagai macam koordinat:Kartesian :2 Dimensi3 DimensiSilindrisBola/Sphere32Kartesian 2DDalam koordinat kartesius 2 dimensi terdiri dari 2 sumbu yaitu : sumbu horizontal (mendatar) sumbu x sumbu tegak (vertikal) sumbu y33

Kartesian 3DKoordinat kartesian 3 dimensi3 sumbu koordinat sumbu x, y, dan zSudut yang dibentuk antar sumbu koordinat adalah 90034

Koordinat SilinderJika dalam sistem koordinat kartesian dikenal dengan adanya sumbu x, sumbu y, sumbu z sistem koordinat silinder diperkenalkan variabel: r,, dan z. untuk menggambarkan suatu posisi titik.35

Konversi Sistem Silinder - KartesianKonversi dari koordinat silinder ke koordinat kartesius :

Konversi dari koordinat koordinat kartesius ke silinder :36

ExerciseTentukan posisi titik koordinat kartesius dari titik A (10; 53,13; 5) pada suatu sistem silinder!37

Z = 5Exercise 2Diketahui titik A(2, 3, - 1) dan B (4, - 50o, 2). Hitung resultan B A!Jawab:

38titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.

Koordinat Bola/SphereJika dalam sistem koordinat kartesian dikenal dengan adanya sumbu x, sumbu y, sumbu z sistem koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, , untuk besaran vektor.39

Konversi Sistem Bola - KartesianKonversi dari koordinat bola ke koordinat kartesius :

Konversi dari koordinat koordinat kartesius ke bola :40

ExerciseNyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola.Jawab :41