+ All Categories
Home > Education > 10 geom bi_u

10 geom bi_u

Date post: 22-Jan-2018
Category:
Upload: 4book
View: 70 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
257
Transcript
Page 1: 10 geom bi_u

������������ ����������� ������������������������ �����!"#$%&'(')*+,-.-/01234("561786)*9*7:(;;<$0=(0>(*$4*7:(">6)*57*10$?@ABC@DEBFGDBHIJDJKL@MKLFBCBKFJLNHJHDGOANHPAMGQDN

Page 2: 10 geom bi_u

�������������� ���� ������������������� !"�#"�$ %�$��& $�"�'�� ('��)* ��"����" �$���)��� !"�+�$�� � !"���%��& %� !�,�� �����- ,�� .�/&0�) '�"�) ���'�#�)�& ���1��$��- �'��/���$�� �� 0��%��$�� "���2�3 !"�2))���4 5�1�- �����6���7��8�9��:���;8����<���;��=���>�����;���?7 ��8��@��;A�9���=��;�9�?��B��>�8@�:7����� ���?��:��7:6@��;4 C�������- "�(�D,(���, 2�*3 !"�./�'� (�����) '�"�) (�/�1��& ��% $���� (�$��*��, '���'�����4 E�'� '���'����� F .�(��� %�$2�!/���4 G��� F �$���� %/, �$!�0��#� �������, � (�$��*��, .�#��&�� $!�2��/&���� %�$2�!/�� � "�(��� #�/�(,�4H"�!���*'� ��.� ����� !�%"����� IJ��'��"�,4 KL �/�$M ���%�'�����#� "���,- ,��� '�$���& �����/&���!"�������� '���"��/ �������, �����/�0�&�#� $����- �%1� #��'��"�, ,� ����� F �%�� �( $!�2�+����� (�$�.�� ��#� ��%�."�1���,4 E� �1� (��*0- N� 0��/&��� ��"$ #��'��"�3 "�(%�/��� �� O ��$�����P !/���'��"�) �� $��"��'��"�)4 Q�� !�%"����� * !������' ��������, $��"��'��"�3 F �����- ,�� �����* +�#�"� �� 3��� �/�$����$�� � !"��$��"�4 G�� $�/�%�*�&$, �( R '�%�/��- $�"����"� ,��� * ����)P ��(�� '�%�/,- ��#� ��"����� ('�$� � ��"����"�$���� 2�/�� �������,S ����/�% ���"������#� '���"��/� (� ("�(��'� "�(�D,(���,S �!"���- $�/��%��� ��%!���%�� %� ����"&�� "����� $�/�%��$��S (�%��� !"��/�%��#� ('�$��S �$��"����� '���"��/ � "�."�2� TUVWXYZ[\]V_ZaYbXcdSV(�!������, %/, $�'�����"�/)S ��$� %/, $�'�����"�/)4C"�(�� "�(�D,(���, (�%�� '�)�& %�%������ !�,$����, � +�"'� TeZa V]faVYfghdijQ� %�!�'�1� ��.� �"�*�������$, � ('�$�� (�%��� �� ��.�"��� $!�$�. 33 "�(�D,(�����,4 k�%�/� K � R '�$�,�& '���"��/� %/, �(�#�/&����, �� $�$��'���(�2�3 ��%!���%��� ��"$�� !/���'��"�3 �� �������#� � KL �/�$�4 E�'� ���/�% 3� ���"������#� '���"��/� ��$��& .�/&0 ��+�"'�2����� ��"����"- ��1 �$� ��0� '�%�/�4 l�("�(���� "����& $�/�%��$�� (�%�� !��������#�- $�"�%�&��#�- %�$����&�#� � ��$���#� "����� %�!�'�1��& ��%!���%�� !�(�����P ImM- ImmM- InM- InnM4 o .�/&0�$�� ��!�%��� (�%��� !��������#� �� $�"�%�&�#� "����� '� !"�!���*'� � ��$����� +�"'�4 E��� (�%��� '�1�� ���������� �$�� �.� !�$&'���4C�!�����, �� ��$�� $�'�����"�/) %�!�'�1��& ��.� !����"��� �� (��"�!��� ������� � '�%�/�- !�%#�������$, %� !����#� ��%� ����"� /)4 5�"�'� (��%���, "�."��� IH"��/�%�� (�%���M '� ����%�'� �.� ( ����(����'�- �.� ( !����' "�(�D,(���,'4 p���, $������'� !�"�% ��.�) ���� (�%���- �/� $!�%���*'�$,- N� ���3 (����,- ��.��� � 0��/�- %�%��& ('�#� 3� (��1%� "�(�D,(����� ,��$��4 l�."��� TUVWXYZ[\]V_ZaYbXcd �'�N�* �$��"����� "�(����� #���'��"�3 � q��"�%����� J"�2�3- q��"�%���&�'� r#�!��- s(�3- r�"�!� ��N�4 5����%��- N� #��'��"�, * �����) �� 0�����)- � !"�"�%��) � ���.��%���) %/, 1���,4 G��� �����/� ( !��"�. /)%���4 J��'��"�, F 2� !"�������- /�#���- +����(�,t C� $/���'� k4 G4 u�'���$���- I?@�8@��7;�v�����:�� ���7>���9�8���>�����>�:7�wx�y�1�*'� ��.� �$!���� � ��������t z{YZb\

Page 3: 10 geom bi_u
Page 4: 10 geom bi_u
Page 5: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������ �! "#$%&�' (&) *&�'!+%#,-.�#/��01% *%#�' %2..2��341# ,5�'!+%#,-.�#/��6789:;<=6>:?@�A8BCB�67A�:C:D@EC>�FBG6B�HFIJ?IC<K�9:LM6<N�G�O9<P�?7Q�R7S7C:�P7F79CIF<AC<9T�9:;BFK�C8IFJBAC>K�PBM?BD6<N�A9;7JK�F:G?BF<K�U:F?@�B�C��J���7HF<9;7JK�9F@S�F7JB@A7�VW�A?�?:L67�8<FBG7C<�G�?IC7;I8:S:�;<AC7�7R:�G�7F9@=7�H7HIF@���F:G@?B;:K�X:�:R<J87�HFIJ?IC<�?7EC>�B�:J679:8B�P7F79CIF6B�8;7AC<8:ACBK�B�FBG6B��Y:R�8<8D<C<�HI86B�8;7AC<8:ACB�C:S:�D<�B6M=:S:�HFIJ?IC7K�@�=9:;B�8<8D7EC>AO�FBG6B�=9B;>6B�J<AZ<H;B6<���9X:�H:FB86E87C<�8<XI67G876B�HFIJ?IC<�G7�U:F?:E�C7�9B;>M9BA6<?<�P7F79CIF<AC<97?<K�C:�ZB�UBS@F<�:J679:8B�[�J87�9F@S<�F7JB@A7�VW�A?��\9B;>6B�J<AZ<H;B6<K�O9B�8<8D7EC>�HF:AC:F:8@�U:F?@�N�9B;>9BA6B�P7F79CIF<AC<9<�HFIJ?ICB8�B�O8<X�6789:M;<=6>:S:�AIFIJ:8<X7K�67;IL7C>�J:�?7CI?7C<D6<P�[�7;SIRF7�B�SI:?ICFBO��]_ abcde[�ZI�67@97�HF:�HF:AC:F:8@�U:F?@�N�9B;>M9BA6B�P7F79CIF<AC<9<�HFIJ?ICB8�FI7;>6:S:�A8BC@���6=B�P7F79CIF<AC<9<�HFIJ?ICB8�6789:;<=6>:S:�AIFIJ:8<MX7�8<8D7EC>�B6=B�=9B;>6B�J<AZ<H;B6<���9X:�HBJ�D7A�8<8DI66O�HFIJ?IC7�FI7;>6:S:�A8BC@�6I�8F7P:8@87C<�N:S:�P7F79CIF<AC<9<K�9FB?�HF:AC:F:8:f�U:F?<�B�9B;>9BA6<P�8<?BFB8K�C:�:CF<?7Q?:�7RMACF79C6<N�:RgQ9CK�O9<N�67G<87EC>�SI:?ICF<D6:E�UBS@F:E�;:8:�hSI:?ICFBOi�[�SFIZ>9:S:�H:P:JLI66OK�X:�8�HIFI9;7MJB�@9F7f6A>9:E�?:8:E�:G67D7Q�jklmklnopqrs�t67G87�H:P:J<C>�8BJ�8<?BFE876>�67�?BAZI8:ACBu���I:?ICFBOK�O9@�8<8D7EC>�@�=9:M;BK�67G<87QC>AO�krvmnwsrsx�G7�B?gO?�J786>:SFIZ>9:S:�8DI6:S:��89;BJ7�tJ<8��F@RF<9@�h��;BC:H<A@�SI:?ICFBfi�J:� :J@;O�Vu��\9B;>67�SI:?ICFBO�A9;7J7QC>AO�G�J8:P�D7AC<6T�yz{|c abc}~B~�a b_ abc}�~��H;76B?ICFBQE�8<�:G67N:?<;<AO�8�:A6:86BN�=9:;BK�7�ACIFI:?ICFBE�8<8D7C<?ICI�8�AC7F=<P�9;7A7P���z{|c abcd�[�ZI�F:GJB;�SI:?ICFBfK�@�O9:?@�8<8D7EC>AO�SI:?ICF<D6B�UBS@F<�67�H;:X<6B�tF<A��V�Vu���a b_ abcd�[�ZI�F:GJB;�SI:?ICFBfK�@�O9:?@�8<8D7EC>AO�UBS@F<�8�HF:AC:FB��F<9@C6<9 �F@S �:C<F<9@C6<9 6:S:9@C6<9��<A��V�V�kslkqo���ne�n��o��[�ZI�7RACF79C6B�UBS@F<K�O9B�67S7J@EC>�HFIJ?IC<K�X:�67A�:C:D@EC>��Y:R�8BJFBG6OC<�:J6@�SI:?ICF<D6@�

Page 6: 10 geom bi_u

���������������� ���� ��� ������������������������������������ !"�#$%&''&(�)�*��%+$,-�,.�$#"/�0'1���)"�2&*��')3�*43%5%&-�&63�%78")70'1��9���������:;<=>?<<@ABAC3�')3�*43%%&-�&63�$#"/�D��/'$'%��)27/'")$/5'��#�3*E3'7� #$%&''&(-�F$�*7D�8E$���)�*��8%"'"�G$�$�)�*��%+".H�I6�8J&/�)72$/&-�$8%7!"'"�)/���3$E3'�"!%�������"�%3E$42")$H�K7#�"627*-�'$!67-�#�&E7-�#2$F"%7H�L.�%78")70'1�<?M;<=>NO=P<QRQ-�7S$�TM>=UVMOQRQW 8�&6".��/3�#$!"%7D'1/&(-�7S$�MX<MOP<QRQ-�&6�%78")72"�,.���#27%�E3'��,HY$��!%��#$S�*$)��#27%�E3'��,�E$4%7�$#"/7'"�87�'76"E"�3'75#7E"HZH�["S����3$E3'�"!%".�#$%&'1-�&6��%78")70'1�$/%$)%"E"�#$5%&''&E"� 7S/'�76'%".������(H\H�]$�E�20)7%%&�$/%$)%".�)27/'")$/'3G�*2&�C".��3$E35'�"!%".�#$%&'1�87�*$#$E$�$0�')3�*43%1-�&6��))7470'1/&��/'"%%"E"�S38�*$)3*3%1HH�_$S�*$)7��%+".�#$%&'1-�&6��$8%7!�0'1/&�!3�38�$/%$)%��#$5%&''&�'7�,.%��)27/'")$/'�-�'7�')3�*43%1-��/'"%%�/'1�&6".�)/'7%$)20D'1/&�+2&.$E�*$)3*3%1-�$#"�70!"/1�%7�)�*$E�H76��#$S�*$)��%7�6"�%78")70'1�=VXaMR=UQ><MbH�L,�%78)7�#$.$*"'1�)�*�/2$)7�c76/�$E7dH�e3�/2$)$���3C16$�$�#$.$*43%5%&-�F$�)�#3�3627*���6�7,%/16$0�E$)$0�$8%7!7D������-�����f�g���-���9�����������g��H�hVXaMR=AB�C3�')3�*43%%&-�&63�#�"GE7D'1/&��/'"%%"E�S38�*$)3*3%%&H�i/%$)%��)27/'")$/'��%7G5#�$/'�+".��3$E3'�"!%".������-�&6��))7470'1��/'"%%"E"�S38�*$)3*3%%&���&6��D�)".�*%"E"�#�*�!7/�*$)3*3%%&��%+".�)27/'"5)$/'3G-�%78")70'1�=VXaMR=RQAj?MAR?UkalmWn2&�+6�21%$�$�6��/��#27%�E3'��,�)"8%7!3%$oZH�i/%$)%���3$E3'�"!%�������"� #$%&''&(�p����q�-������H r��q��s�%7G#�$/'�+7��3$E3'�"!%7������7H�t/���%+���3$E3'5�"!%�������"�/627*70'1/&�8�'$!$6-���'$E��!"/2��G������H(\H�u6/�$E"�#27%�E3'��,�p�C3�$/%$)%��)27/'")$/'��%7G#�$/'�5+".��3$E3'�"!%".������H�H�v"/'3E��$8%7!3%1�#27%�E3'�"!%".���������'3$�3E-�F$�)"5�7470'1�,.%��)27/'")$/'�Hn$�$8%7!�)7%".�#$%&'1����3$E3'��,�)�*%$/&'1�#$%&''&�)�*��8567-�#�$E3%&-�'�"6�'%"67�'$F$-�$/6�216"�*2&�%".��/%�0'1�#$5&/%3%%&�cF$�C3�'763wdH�i8%7!�)7%".�#$%&'1�S7�7'$H�K7)3*3E$�#�"627*HK3.7G�%7�#�&E�G���87*7%$�*)����8%��'$!6"�x���y��]�����-�F$�/627*7D'1/&�8��/�.�'$!$6�#�&E$,��-�&6��2347'1�E�4�'$!67E"�x���y-�)620!70!"�'$!6"�x���y-�%78")70'1�Oazka;VMRA �"/H�ZH\(H�$!6"�x���y�%78")70'1/&�q�{��g�)�*��867-�7�)/���%+��'$!6"�p��� ��|��g����q��g�)�*��867H�76"E�!"%$E�)�*��8$6�p�$8%7!�)7%3�#$%&''&H� }"/H�ZH\

Page 7: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������������������� !"#�$��%&'�() $*+,*!*-./012 31/.4!*-./012 $*.5/6-2!+!*-./01� �-./012!7*58970.4/�:��;� �:����<=�>�?@�>AB=�CDEFG=H�IJ?AKLM�LNO<PH�QN�?=B@R=LM�SIT�CDEFGITH�I�LNO<PH�QN�?@�?=B@R=LM�UT��;���V@D@W�>AXMFE<I�XYI�LNO<P�GNR?=�CDNY@JFLP�CDEGA�I�XN�LNZN�R�LIBM<P�NX?A [YI�DIW?I�CDEGI�=>N�?@�C@D@LP?=KLMJEH�=>N�C@D@LP?=KLMJE�LIBM<P�Y�NX?IT�LNOFSI�� �-./012!\0+1/]877��:���;� ��:����LDMN_�LNON<�?=�CDEGIT�NX?=�I�LIBM<P�NX?=�B@RPLM�GIR�XYNFG=�I? PGP���;��aDEG=�DNW>PY=b�CBNQP?A�?=�XYI�CIYFCBNQP?P �<QN�<I?SI�>AXMFE<NZN�YIX�DIW<=�?=B@FR=LM�NX?IT�CIY��CBNFQP?IH�LN�YIXDIWN<�?@�C@D@LP?=b�CDEGA���<QN�<I?SI�YIXDIWF<=�?=B@R=LM�DIW?PG�CIYCBNQP?=GH� LN�YIXDIWN<�C@D@LP?=b�CDEGA����-./012!,21/\c,*77���:����;� ���:��dNR?PT�YIXDIWN<�G=b�C@Y?A�XNYRP?AH�>IBM A�YIX�?ABE��[NY�FRP?=�YIXDIW<=�XNDIYF?Kb�JAGI�XNYRP?�O=JFLP?H�?=�E<I�YI?�DNWF>PY=bLMJE�>AXMFE<NK�TNZN�LNO<NK����;��dNR?PT�<AL�G=b�C@Y?A�ZD=XAJ?A�GIDAH�>IBM A�YIX�?ABE��eNWFZND?ALPT�<AL�XNDIYF?Kb�:�fg���D=XAJ?=�GID=�<AL=�XNDIY?Kb�JAGI�ZD=XAJ?P_�GID�<ALIYH�?=�E<I�YI?�DNWF>PY=bLMJE�>AXMFE<PG�CDNG@?@GH�QN�CDN_NFXPLM�GIR�TNZN�JLNDNF?=GP �<QN�LDP�LNO<P�hHij�I�k�B@R=LM�?=�NX?IT�CDEGITH�LN�LNO<=�k�B@R=LPG@�GIR�LNO<=GP�h�I�jiA�YPC=X<AH�<NBP�hjilihk�mikjn�<QN�YIX�X=?NU�CIYFCDEGNU�YIX<B=JLP�Y�NX?A�T�LA�J=GA�CIYFCBNQP?A�XY=�<ALPH�LN�JLNDN?=�G@? NZN�<AL=H�YIXGI??=�YIX�X=?NU� CIYCDEGNUH�CDN_NXPLPG@�GIR�JLNDN?=GP�>IBM NFZN�<AL=

Page 8: 10 geom bi_u

���������������� ���� ��� ������������������������������������������������ �� !�"�#$%&'( )'%$*"�#$%&'( ��$+%,#(" "�#$%&'-. /#$%&'("!%,#+�,�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�"]��+_+0&$*%.23 .234aUDUO4IGH?:T4RG4LU4MUKJI<4L84;8L@A4BD>E@AT4EGKL84BDG=CUNIJ4LU49@M<VU4>?4G;L:4BD>E:T4B8D8=MUM<L:4;8L@A Z?RG4BD>E84BUDU=IJL8[4G;L:4O4;CG\4B8D8MUM<LJ\4BD>=EJ\T4IG4CGL84BUDU=IJL8[4A4;D:P:bG94:NI8LGCJIJ4BD8CJM<L@NI<4ICUD;KULL>4BDG4CM8NIJCGNI@4I@[F4HJ4@LVGF4PUGEUIDJHLGF4c@P:DJT4;GCG;JI<N>4CJNMGCMSC8IJ4;U>?@4E@D?:C8LL>34dUDU;4eJ\4E@D?:C8L<4[4I8?@T4>?@4BGIDU9:SI<4;GCU;ULL>4f�������T4g����h34iCUD;KULL>T4@NIJLL@NI<4>?GPG4CNI8LGCMS[I<N>4VM>\GE4;GCU;ULL>4@4>?U4CJ?GDJNIGC:[I<N>4;M>4;GCU;ULL>4@LVJ\4ICUD;KUL<T4L8OJC8SI<4jklmknlop4iUGDUE84N?M8;8[I<N>4O4;CG\4H8NIJLq4 �����@�������r 34sM>4;GCU;ULL>4IUG4DUE4:4V?@M<LGE:4?:DN@4PUGEUID@F4CJ?GDJNIGC:SI<4C4GNLGCLG=E:4I8?@4EUIG;J4f;JC34t4236hq4

Page 9: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� �������������� !"# "!$�%�&'%'(()�*��!)+,-�.�(�/$ ,0(,-�$��,( '1 ,0(,-�2�&$%��"�!� ,&(�3�45�����&,#�!,� �((6�+� '+� ,0(�3�����!� "�*��/3'5!�70(,-2�#��!%,(� (,-2�&'# �!(,-�$� ��%���$�+$!#"&�(()��$%�0���%�&'%'(()� '�!'+�%�&$/8(,+�+' �%�+���,!�6 8�)�(���#�$�+,� ��&$%�+$�%�&'%'($�9�# ,����5 ���$%�0���%�&'%'(()� '�!'+,�%�:&�/); 8�)�#�!,� "&� ,�)� $/8#,���(�&1(,+,�&/�� ,&�� )+,�(�-�!�� $<,=�9$3"!�.�#�$�+�+,��$�!�($1<'�%�&'%'(,+,�&/�� ,&�� )+,�. '�!'+�+,����$)#,+,�$(<,+,�&/�� ,&�� )+,�9$3"!2�(�&$ 8�)#>��&�(,�:%�6 8�)��0'&,%(,+,2�#�!,� "&� ,�)�('�+�?(������!,#/�%2��$%�0���%�&'%'(()� '�!'+�+�?(��#�!,� "&� ,�)�!,�"(#�+��@%(�#�A'�/,<'�3'�+' !,0(��+�%'/8�:+$� "� '#� "2�&,!�?'(�3���/�&�+,����+"�!�5, ,�:��!,1�"(#�+�&,�(�&#,��!��&/�� ,&�� $�9$3"!�('�%�:&�/); 8�)��@ ?'2�BCDECFGHIJKILKHKHMNHKEOFCEOFPQMHKMORLPJKSRTRUFVWIKXOKFOLDYKWZCEDY[KW\DQOFLRK\DFGHSMDK]]CWFPKDWMD]MHK\DMIFFIJKXOTOFPKOLWHDEPK_abcdaefcgJKOK\HXMHNCJKD\PGOYQPWVKMOKOLWHDhEPJK]P]DTPFPKHMNHKiOLFPK_jbjkclcefmenaebcnoapqocrce_asbcdarcteuvwexeoqym_qqpocrcerwzeyj{j|g}~}~�}K�,5'!$ 8�:��!,�"(#�+�%&���!�&,/81($�+� '+� ,0($� &'!%?'(()��������4�� � �������4��������4�� ���������������4~}��}�����%($-��!)+$-���:(�0'(�� !,� �0#,��2���$��� �#2�>��������2���%+2�������2���%+�$�������2���%+���,:(�0 '��!�&,/8($� &'!%?'(()�>�%��!�:+$>'(()��%($;7� �0#,�+$?�%&�+��$(<,+,����������4���������4���������4���������4 ����������~}��}K�$%�+�2�>��&$%!$:�#����%�&<,-�:��&$%!$:�#����"���!�:,���#�?$ 8�%&��+� '+� ,0($� &'!%?'(()2�>��&$%��&$%�6 8� '#� "�:�%�0$������������4�� �����������4�� � � �����������������������4��� ����������������4��~}��}K�#�?$ 8�%&���!�&,/8($��#�!�0'($�:��,�,�"+�&,�:�%�0$����$%!$:�#����#�!� <,-�:��&$%!$:�#����(�����+������������������+4��� �����������+�����4����������������+4�� � ����������������+������������+�����4

Page 10: 10 geom bi_u

����������������� ���� ��� ������������������������������������ !"#$%&'()!#*+ *',$)*'-*%!'./01'2-34'5./6'7'�89�1'!'5./0�*':')!;<'=$>&?<"';!'56/0'@A'B'C *%)$? 2'%4D-!'5./6EFGE'89�H IE'�99�H JE'K8�H LE'M9�H NE'�:9�F��O���� !"#$%&'#4CP< <'C$#)$;-$C'QA'$'RA'@A'S'QRE1'2-34'#4CP< !'C$#)$;-!'QR'#4)$C TU'�:'+,1'!'C$#)$;4-'QA'-4)4%?<"';!'C$#)$;4-'RA' !'M'+,F'GE'�18'+,'$'V18'+,H''' JE'K18'+,'$'�918'+,H''' NE'8'+,'$'K'+,FIE'V18'+,'$'K18'+,H''' LE'W'+,'$'X'+,H'��Y���'Z!'4# $"'[)2,$"'[4; !D<><':�'%4D-*'%!-1'34'C$#+%! &',$P'=*#&\2-<,<'#C4,!'+*+$# $,<'%4D-!,<'#4)$C TU'M'+,F'� !"\#$%&'C$#+%! &',$P'-)!" $,<'%4D-!,<FGE'WM'+,H IE'W9'+,H JE'WW'+,H LE'8K'+,H NE'8V'+,F��]���'Z!'C$#)$;-*'QR';!C#4CP-<'V:'+,'[4; !D 4'%4D-*'A'C$#[4C$# 4'#4'*,4C'@GBNEF'N4=)$%&'#4'-4P 4_';' <'[)!C<>& $'%C)#P 2'@�BWEFGE'QA�a�RA' !':'+,H �E'QA'7'�b'+,H GIE'QA�c�RA' !'W'+,H :E'RA'7':b'+,H IJE':QA�7�RAH ME'QA'7'::'+,H JLE'QA�d�RA'7'M'd'VH VE'RA'7':V'+,H LNE'918RA�7�QAF 8E'QA'7'�V'+,H NWE'RA'7':9'+,F��e���'f)4,$ &'�Q'[)44#<%&',$P'+%4)4 !,<'-*%!'g�A1'()!#*+ !',$)!'2-4(4'#4)$C TU'�W9�F'N4=)$%&'#4'-4P 4_'*,4C<'@GBNE'[)!C<>& $'%C)#P 2'@�BWEFGE'5g�Q�a�5Q�A' !'V9�H �E'5Q�A'7'��9�H GIE'5g�Q�c�5Q�A' !'W9�H :E'5g�Q'7'�:9�H IJE'5Q�A�7�91W5g�QH ME'5Q�A'7'W9�H JLE'5g�Q�7�M5Q�AH VE'5g�Q'7'�99�H LNE'5Q�A�d�5g�Q'7'M'd'8F 8E'5Q�A'7'V9�H NWE'5g�Q'7'89�F���h��F'i->!#$%&'-$>&-!'[)!C<>& <',!%,!%<D <'%C)#P &'#4'-4P 4(4';')<+* -$CFj' ' �E' ' ' :E������F�Z!'[)4, $'�k'C$#->!# 4'#C!'C$#)$;-<d'�Q'7'K1M'+,'$'�R'7'81b'+,F'J<; !D%'#4CP< *'C$#)$;-!'QR�

Page 11: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ��������������� !"#$%&'�()#�!�%*+,-�%,$,).�/'�0'�1�2�3&4 %+�564�78,95#�6": 5 ��;�/1�<�=�>5'�/0�<�?�>5'�01�<�@�>5A���;�/1�<�B�>5'�01�<����>5'�/0�<��C�>5A��=;�/1D<��B�>5'�01�<�@�>5'�/0�<����>5A��E;�/1D<�C�>5'�01�<����>5'�/0�<����>5A@;�/1�<����>5'�01�<�=B�>5'�/0�<��F�>5AF;�01�<��?�>5'�/1D<�==�>5'�/0�<��@�>5����G���� !"#$%&�7,84 "H�867*6!)#�I1'�()J,�%,$)#�K�*,!7693(L�867*6!,)�/0�"#�78#�867*6!) �!#87,84) ��?�>5�6��E�>5'�#�%,$) �I�6�1�2�>&*&7 " �867*6!)68�/K�6�K0����M����#�867*6!)H�/0�!#87,84) �E?�>5�N,!"#$&",�%,$)H�KO��"#P76%+�7,84 " �867*6!)68�/K�6�K0'�()J,�/KD.�K0�<�=�.�@����Q����"#P76%+�7,84 "H�867*6!)#�10'�()J,�%,$) �/'�0'�RD6�1D3&4#%+�"#�,7"6P�N*(56P'�N* $,5H�/R�<����>5'�R0D<�@�>5'�#�1�2�>&*&7 "#�867*6!)#D/R����S���T*,56"+�K1�N*,-,7 %+�564�>%,*,"#5 �UIKR'�V*#7H>9"#�56*#�(),V,�7,*68"WL��@=X���"#P76%+�)H% �IK1�6�1KR'�),3 �867,5,'�J,�UIK1�H���*#! �Y63+: P�!#�U1KR����Z����#�867*6!)H�/0�!#87,84) �B@�>5�N,!"#$&",�786�%,$) �1�6�I�[\D]�I'�ID]�\_;�%#)'�J,�867*6!,)�/1�"#�@�>5�7,8: P�!#�867*6!,)�1I'�#�867*6!,)�I0�H���*#! �7,8: P�!#�867*6!,)�/1���"#P76%+�7,84 " �N(% �H%8,*&" -�867*6!)68����a����T*,56"+'�J,�3&4 %+�564�>%,*,"#5 �)H%#'�*,!Y 8#L�P,V,�"#�78#�)H% ��b,8&76%+'�J,�Y6>&)%* > �c -�)H%68�H%8,*WW%+�)H%�H786$6�5&": P�867�8&3 $ " �!#7#",V,�)H%#����d����b#",�$,% * �N*(56�e'�f'�g�6�h'�N* $,5H�),4"6�%* �!�" -�N&*&% "#W%+>(�8�,7"6P�%,$c6��b,8&76%+'�J,�8>6�$,% * �N*(56�N*,-,7(%+�$&*&!�,7"H�%,$)H�ij����jklmnopjqrstujsvnwvjlxropyztnp{b#" P�N#*#V*#|�N* !"#$#L%+>(�73(�N,8%,*&""(�)H*>H�N3#9"65&%*6}��T,%*&Y#�8�"+,5H�!H5,83&"#�% 5'�J,�Y#V#%,�N %#"+�)H*>H�N3#"65&%*6}�"#�N&*:,5H�&%#N6�"#8$#""(�H�:),36�*,!9V3(7#W%+>(�7&J,�N,8&*-"&8,����-,$�H�"#>%HN" -�)3#>#-�*68&"+�8 8$&""(�5#%&*6#3H�N678 JHL%+>('�"&�!#847 �87#L%+>(�N,8&*9"H% >(�6�N,V3 Y % �*#"6:&�8 8$&"6�%&5 ����7#",5H�NH")%6�> 9>%&5#% !,8#",�%#�H!#V#3+"&",�,>",8"6�867,5,>%6�!�N3#"65&%*6}'�()6�H5,8",�*,!Y %6�"#�Y3,) .�8!#L5"&�*,!56J&""(�N*(5 -�"#�N3,J "6A�),3,�6�)*HVA�5",V,)H%" ) A�%* )H%" )�6�P,V,�&3&5&"9% A�,NH)36�$,% * )H%" ) ��

Page 12: 10 geom bi_u

�������������� ���������������������������� !��"#���$�% $�&'����%(!#&�")*+,-./0+,12,-34561+,04789:,-;.;961296</,36=;,*,4>1+?,94@A+,2B4,1;,-;.;961296</C,94B94,B896,-2.23;3:1606D,E.6,-;F.;961+,>*4G,-./06G,89*4.HH9:</,IJ�"K�",+,L� M&N�(O�",P896D,Q80+71+,P896,>4-4*1HH9:,4>61,4>14R4,>4,�STUC,2,*;.96P23:F1+,V,.+*1+D,W;1=6?,X,16G,12X6*2Y9:</,NJM!���"K�% $�&�&Z,[2,.6<81P8,�D�,X4B.27;14,>*+,-./0+,\]�+,_C,/P+,-;.;9612H9:F</,*,94@A+,�C,89*4.HH@6,<80+71+,92,*;.96P23:1+,P896,�a,b_c],92,b\c C,b\c_,92,b c],V,*;.96P23:1+dea,b\c_,92,b_c]C,b_c],92,b]c C,b\c ,92,b\c_C,b\c ,92,b c],V,<80+71+DfP54,4>61,X,P89+*,-.6,-;.;961+,>*4G,-./06G,>4.+*1HY,gTUC,94,*<+,+1=+,V,<80+71+,92,*;.96P23:1+,P896,V,92P47,>4.+*1HH9:,gTUD,h2P+,-./0+,12X6*2H9:,L�����!�%� %��i&NJ($ �&�&�,j2F-6<8H9:C,12-.6P32>C,\],k,_,2B4,l,k,mD�"iIM���n�L"i�M!oN&�p�i!�% $�!q��,r.6<D,�Dsa,12X6*2H9:,>4*7618,*+>.+XP2,�tC,-;.-;1>6P83/.14R4,>4,-./04u,�C,>;,94@FP2,�,V,!I�!L��%� %��i&NJ($ �Z,v+><921:,*+>,94@P6,t,>4,B8>:F/P4u,94@P6,-./04u,�C,*+>0+114u,*+>,94@P6,�C,B+3:=2,X2,*+><921:,*+>,94@P6,t�>4,-./04u,�D,h4B94,B8>:F/P6?,*+>.+X4P,twC,>;,w�V,94@P2,-./04u,�C,*+>0+112,*+>,94@P6,�C,>4*=6?,X2,*+>.+X4P,t�D, ,, x6<D,�D� , x6<D,�Ds)*+,.+X1+,-./0+,��+,mC,/P+,3;729:,*,4>1+?,-34561+C,12X6*2FH9:</,������y����C,/P54,*416,1;,02H9:,74>14u,<-+3:14u,94@FP6D,z4.49P4,X2-6<8H9:,l,{,mD,fP54,-./0+,1;,-2.23;3:1+,rl,|,maC,94,*416,-;.;9612H9:</,rl,},m,~,\aD�12<3+>4P,-;.;9618,>*4G,-./06G,9.;9:4H,-./04H,89*4.HFH9:</,*+<+0,P89+*,r.6<D,�D�a,r-./0+,l,+,m,04789:,-;.;961296</C,23;,-./02,�,@;.;X,uG1H,94@P8,-;.;9618,1;,-.4G4>69:a,��*189.+=1+,4>14<94.411+,rP896,�,+,�C,�,+,�ad��*189.+=1+,.+X14<94.411+,rP896,�,+,�C,�,+,�ad��X4*1+=1+,4>14<94.411+,rP896,�,+,�C,�,+,�ad��X4*1+=1+,.+X14<94.411+,rP896,�,+,�C,�,+,�ad��*+>-4*+>1+,P896,rP896,�,+,�C,�,+,�C,�,+,�C,�,+,�aD�������������y�����������a,fP54,-.6,-;.;961+,>*4G,-./06G���+,m,9.;F9:4H,-./04H,*189.+=1+,r2B4,X4*1+=1+a,.+X14F<94.411+,P896,.+*1+,2B4,*189.+=1+,4>14<94.41F1+,*,<80+,<9214*3/9:,�STUC,94,��+,m,V,-2.23;3:1+Dea,)*+,-./0+C,-2.23;3:1+,9.;9+?C,-2.23;3:F1+,0+7,<4B4HD x6<D,�D�

Page 13: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� !"#$%&#'!()*�!+ !�,+-.!/0���+-!)10 !2-,)3 /04!)-35) !�-2+46!2-,�-7)-2!-!8���7!96+-!)-+:-!;��2�/04!; � 3�35+-!;�<�-=!*�!;���04+ >05!,�1?1!/0���+1!)10 =!0�!2�+4!2-,-0+105!+ !,�1?-.!/0���+-!0�@!�-2+-!2-,�-7)4'!�ABCDEFAGH�IEJK�LL�!M!NN�H�BCDOKPQ�RS!T!LUH�VK�RS�!T!S�U��WCDX����YZ�[\$\]]_abcCQd�e�EKFK�PD�fQXVCeOAgPK�BKhXiGD��[ ab\j�f�klmVCKPnRne�CAGeQXKP�onmAfDhApiVq�redQCQH�IEA�QVhKClmA�hXePA�VKOEAPD�BFKJDmDH�IEe�heGGAFlme�heG�VKOED�snmA�heGXVAmqH�ml�teFquQ�fA�ov�w�1?!�x��@�y+4.!)�3����[\$\j�ef�klmVCKPnRne�CAGeQpXKP�onmAfDhAiVq�PmKzDmQ�VKOKE�BFKJDpmDH�heGGAFlmD{�heG�VKOED�snmA�heGXVAmqH�JK�GKCehmig�onWCDX����|H�}Zv�~eGCefEDH�JK�f�gGmQiVq�klmVC�f�VKOEAPD�EKFA�VA�PAiVq�GKhzDmQnoH�mAfDhAiVq�#�a&#j��EKFA�WECQdAZ��AXVDmD�ECQdAH�mA�IEe�hem�GeFDVqXI�GhKPA�CAGeQXAPDH�mAfDphAiVq�_ab\��j�]&%_�\#j�]WCDX����|H�tZvn n n }� ��DX����|�\�#!��heGCefKEH�JK�f�gGmQg�Ghe�VKOED�EKFA�W��ZH�GeFDVq�ECQd�mA�GhA�&%bj%���H�A�EKFK���mA�Ghe�GQdD���#j%� !��mA�pteFquA�{KCGA�EKFA�W��Z���lClf�VCD�VKOEDH�JK�ml�FlzAVq�mA�KGme��BCIPe�H�BCK{KGDVq�gGDml�EKFK���eAPlVCH�BlCBlmGDEQFICmD��GK�{KCGDH�GeFDVq�mAhpBeF�ki�{KCGQ�e�KtDGhe�GQdDH�IEe�XVIdQiVqXI�mliH�e�mAhBAEDH�IEJK�GeAPlVC�BCKhlGlmK�OlClf�XlClGDmQ�{KCGDH�VK�hem�BlCBlmpGDEQFICmD��GK�ml��e�GeFDVq�mAhBeF�GQdQH�IEQ�XVIdQg�kI�{KCGA�WCDX�����H�}Z��QdDH�JK�PeXVIVqXI�Pez�BACAFlFqmDPD�{KCGAPDH�Cehme�Pez�XKtKi���ehme�GQdD�XVIdQiVqXI�CehmDPD�{KCGAPDH�e�mAhBAEDH�Cehpme�{KCGD�XVIdQiVq�Cehme�GQdD���ehme�{KCGD�KGmAEKhK�heGGAFlme�heG�klmVCAH�e�mAhBAEDH�{KCpGDH�KGmAEKhK�heGGAFlme�heG�klmVCAH�Cehme�Pez�XKtKi���eFquA�f��DX����Y

Page 14: 10 geom bi_u

�������������� �������������������������������� !���"��#$� #��"��%� &�#'�"� #�(#)*'�+�����������,"$-!#�&#'�.)#��� !���"��#$� #��"��%� &�#�/�*01��12'��314���5��6���7��8��������7���5����9:�+;$. ����)�$��"+�%� &������"�(�.�<�=�/�*01��12'�>3��?�&�@)*���(���������(��(� �*)<$.�����(�.��A�=��B��#C�D�E��0 ��#�%-�F;��(��(� �*)<$.�#1�G�H$*�"�&�*��*(#�)*I�&�@)#�D��"0&*&-0.�(�+#�)�$���/DJ3'� #�)�$"�/DK3�"��0����* "�)�$#�/D�31�L�)�H ��<�"+�%*���*(#�)"��)�$��"�(�.�#�=�#,�� ���#M&-�0("$- *��&�@�)'�#,���#M&-��� <�0("$- <�&�@)<�DK�/=K�E�N��O���N����3'�#,���#M&-���"�0("$- "�&�@)*�/=��E���O��31� � ��� � � � � � >�� � � � � � � � � P:*01��12Q�.�#'�R��(�����*&-�@���+�&�@)<�)�$#'�S�TUVWXYUZ[TU[\U]�&��"�"�&"$-)*�&��"'�)�$*��� #�(��(� �*)<$.� #�����#�"<0#'�(��F���� �;����%M�&�@)<1�_)R����&*@ #�(#�#$�$- #�����"�)�$#'�&��&�@)#���&*)<��"$*&-� #�("$��<;<'�.)<�0&.;<S�����#�/�*01��12'�P�Da�bcde'� 31_)R��+��� "SA�&�@)*����)�$#�(������ ����"���&*@ "'�&���"�F�"+)*�%*����&*@ *��/�"��&�@�)���&*)<�����# �A�&�@)*3��"� "��"H�0�,�M'�#�(���" -'�(������ *C�@���+��# <�&�@)<�"�%� &��)�$#'��"$*&-� #�("$�)<&��"H���&*@ *�*�/�*01��12'�P�Da�f�gh'�ijgk�f�ikgh31lmnopqnrstuvwr�<�)�$�� #+*�#M&-�)<&'�<&���� *C�����#�����#�*'�R���*F���.&-�+��� "SA�&�@)*� #�)�$"�/�*01��1x31�y(*0# *C�)<&��*�"�MS&-0.�(�$��* �M��<;*'� #�.)<��" �0(*�#S&-0.1�y(*0# "�)<&*'�R��0(*�#M&-0.� #��� <��<;<'��"H�0�,�M��"� "1�y(*0# *C�)<&'�R��0(*�#S&-F0.� #�("�)�$��/ #��"#��&�3'�z�(�.�*C1�{<&�+����!* �M�<�%� &�"�)�$#� #+*�#FS&-0.�|}qv~p��qnr[tuvwr1��� &�#$-F *C�)<&'�0&��� *�.)�;��(���&* #M&-�)�$����&*��0#�*��&�@)#�'�R��"��(*0# *C'� #+*�#S&-0.��"�(��"� *��%� &�#$- *��)<&�������(*0# �;��/�*01��1��31�G"�#��mnopqw�w[)<&#����"� MS�(�$��* "��"�*��"�(��"� �;��%� &�#$- �;��#,����F(�� MS�C�;��(�$��* <�����2��1�{<&'�<&���� *C������M�"���&*@F:*01��1x

Page 15: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� !�"#�$�%&'(�)*#*+� ,�*-(�$�#%&��.&/,#�0'(1��"�2�.&3����%45&��6��/,1'&'(1��/,7�1'�#��!/&�-(�5�� 4'!�8#&1������9:���;4'��4'.�#*�&<�%.�/!�$�#%!/&��6��"*#*'&�!3�'(1��.1*#*%&�,� �2!��.&/,#�0'(1��",.14/���%.�$�%45���%�!�+�� &$�/,1'&'(1��/,7�1'�#��!/&�-(�5�� 4'!��!�%#45!�=�/,7�"#�3%�.7*���/&�-&$�1'�#,��>&1�����? >&1������;4'��4'.�#*�&<�%.�/!�%�'&)�&/&���!+&.!0'(1��@ABCDEFBGH8#&1����I��J:�KLMN9OHP"&1!�&<� 4'�.&/,#�0'(1��",.3#,+�&-*��%.�$�%45��6��/,1'�'(1��/,7�<�5��1'�#���!�/&��Q�.7&�4� �2!�+�!$�%�'(�+!�R�#/42��S�T�U�VW�U�XVY��%*�W�=�%,!/*'#� �2!��Y�=�#!%,41� �2!��!�%�.7&�4�%45&� �2!�=�+!�R�#/432��S� ��%*�Z�=�5#!%41�!�/,#!�.,%"�.,%��5��-*�'#!2(��5�� 4'!��[2�6!� #45!S� ��"2�6!� #45�.�5��1* '�#!S���%*�YH\H#!%,41� #45!��Z�=�5#!%41�!�/,#!�.,%"�.,%��5��-*�'#!2(��5�� 4'!��[2�6!�1*5/*�'!S� ��%*�Z�=�5#!3%41�!�/,#!�-*�'#!2(��5�� 4'!��� &<�/,1'&'(�%454�-(�5�� #45�3.�5��1*5/*�'!��!�]�=�"2�6!�'#& 4'�& !�+�.*#_&�!/&�.�-*�'#,� #45!�'!��!� ,�-�$�#!%,41,.��6���/*74�'(�.,%"�.,%�&<�1* '�#����! �a=b�'#*!�#!'&�� �2&�Z�c��I?d��!�+�! �a�e�b�=� �2&�Z�f��I?d�gF@h@ijkFBiBlgF@h@ijkFBi@GH�!+&.!0'(1��"#�1'!�+!/ �*�!�2!/!�!���!3"#& 2!%��GF@h@ijkFBi@Glmnmopmq��!+&.!0'(1��2,�,���� 4��'#&/4�'(�"#&�"�12,%�.��/4�1"�24)*��,�r�#,+�&$�'�)� �s���sX��t��sr�.,%#,+ !/&�'! ��6�� �7�!�'�) !�42!�1"�24)*�!�+��!31'4"�����!��1'!����+�"*#_���8#&1�����X9��>�+#,+���'(�/��5�3

Page 16: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������������ !�"�#��$�� !�"%�&'()*+,-./(0(*12/+*�3�45!���5��� 6���7� 89$:$�5�9� ; ������ 9%� �������� � � <�� � � � =�� � � � >�� � � ���?@�!%��%�AB� ; �������9 :$�8���� �����#�58 ��$� �����#%�B� ; C�������(D1*'+,7�E�6 �F"���$:��G�F� H�"#��"F�� 6��"�F"H� !C� �� :� I��JE9 I7�6 ��J K H��G�4$J$L�HF"�# ; �!�!"H�"�F$JM�C���NJ�!%��%�A7�<7�>7�?O%�B� ; ���������5L�F5P�G�QRS/+.+7-E�6 �F ����J���5��5CH5��"�!�9"65P�G!E%�T�E� ���� ; �UC������5�!�95�F���J"M�"K����"F�H J"F�PV��WXYNU�3�AO7�5��"�G�"!�G�H"5; �5�$#�8�HGCE� ; �UC������5�H J"F�PV� %�Z�6 �F!"�!� J ��� ���� ; �9� C; ������5�J"F�"�9":�! 8 P�"�F!"�������$:�J"F�"�9":�! 8 P7�� �# ; ��5L�F5P�G�DQ[S+'\/+.�NJ�!%��%�A7�?O��Z�6 �F!"�F$JM����9� ; ������5��$:5�G��5�H$E� 9��� �"7�� �F"���5L�F5V�G!E�SD+])[/+.���$�� � �NJ�!%��%�_7��O%�Z�6 �F!"�!� J ���9� ; ������5�H ���5P�G!E�H �H$E� ; �� �57�� �F"���5L�F5V�G!E�(D+)[/+.-/[]S*('(-*('[-NJ�!%��%�_7�<O��5��"�G�"!�P�!� J"��UC������5�# 9��H5P�G��5LF�%�a5�J���5H7��J��������NU�b�_O7�4 ��J��������NU�b�cO7��dE���������NU�b�eO�"��%�H%�� � � � � ��� � � � � � � � � � � <@�!%��%�_f���<�?�=������=��g��h�Ui������jZ�6 �� � �� H"������5�U�J"F��K�45!����"�� 4���� !�"H FC� �!� ��4����F"HJ"L�59�7�� �H"!�5�$9 ��J5F��G��#�UC������7�F��!5��#���� � �NJ�!%��%�cO%�

Page 17: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� �������� � ��� � � � � ��� � � � � ��� � � � � � !"�����#�$%&�$&'&�(&)*'!+!�,-�.�/*0,!1�2-"+!,�*�23/34�+&2$!�(&)*'5�(/&03"+!�)&+!2,*�)&�$&'-6�+&�0*)/*4$!�7!1�)&+!2,!1�5+0&/8+9�(/-0!'9,!:�.;$5+,!$6�&(!"-,!:�,-0$&'&�$&'-�</!"�����=>�� � ��� � � � ������� � � � � ����� � � � � � � !"�����=?@ABCDCEBCFGCHCEIJ@AKDLGCHCEMGCHCBNOGKB@EMCFG@ECIKPQ@OKEBCDCE@RCEAEBCFGKSEIJ@AKDLGKSEMGCHCBNOGKBEMCFG@EAIKQ@OKEBCDCT��(/-0!'9,&U5�U,&V&$5+,!$5�73,+/!�&(!"-,&V&�*�0(!"-,&V&�$*'�4W*V-X+9"8��(*'9,!:�73,+/�&(!"-,&V&�*�0(!"-,&V&�$*'�,-;4!0-Y+9"8�Z[\] _�(/-0!'9,&V&�U,&V&$5+,!$-�� -)*5"�0(!"-;,&V&�$&'-�,-4!0-X+9��a_b[_c�(/-0!'9,&V&�U,&V&$5+,!$-�d5+6�5+0&/3,!:�)0&U-�/-)*5"-U!6�(/&03)3,!U!�23/34�"5;U*e,*�03/f!,!�(/-0!'9,&V&�U,&V&$5+,!$-6�,-4!0-Y+9"8�:&V&�Z[\]��gh\i �jk]_l��"*�73,+/-'9,*�$5+!�(/-0!'9,&V&�U,&V&;$5+,!$-�/*0,*�U*e�"&W&X6�0&,!�)&/*0,XX+9� 6�)3�.�m�$*'9;$*"+9�"+&/*,�<$5+*0>�U,&V&$5+,!$-���(/-0!'9,&U5�.;$5+,!$56�8$�*�0�)&0*'9,&U5�.;$5+,!$56�"5U-�0"*1�$5+*0�<0,5+/*f,*1>�"+-,&0!+9���no<.�m�p>���&U5�$&e;,!:�:&V&�$5+�0!4,-2-Y+9"8�4-�q&/U5'&X� �d&'&6�0(!"-,3�0�(/-0!'9,!:�U,&V&$5+,!$6�)&+!$-Y+9"8�)&�:&V&�"+&/*,�0�r1,*1�"3/3)!,-1���3,+/�$&'-6�0(!"-,&V&�0�(/-;0!'9,!:�U,&V&$5+,!$6�Y�+&2$&X�(3/3+!,5�"3/3)!,,!1�(3/(3,;)!$5'8/*0�)&�:&V&�"+&/*,�</!"�����=>���$%&�"+&/&,-�(/-0!'9,&V&�U,&V&$5+,!$-�)&/*0,XY��6�/-;)*5"�0(!"-,&V&�0�,9&V&�$&'-�m�s6�-�/-)*5"�&(!"-,&V&�,-0$&'&�,9&V&�$&'-�m�t6�+&�U*e�,!U!�*",5Y�04-YU&40u84&$6�%&�0!/-e-;Y+9"8�q&/U5'-U!v

Page 18: 10 geom bi_u

�������������� ��������������������� ��� �������� �!�"#$%&'()*'+�,$'�-,*'�.��,�/���� �������� �0�"#$%&'()*'+�1�,'$'�-,*'�.��,�/���� �������� �2�"#$%&'()*'+�345,'�-,*'�.��,�/���� �6%+#$�5,73'8�8*�9��-,*'��8�:�,$'�-,*'���;�<-=)>?�'+�,$'�-,*'��8�@*%�&#'5%,'���(���#$'1�8-�,7()�'��=*4��6%�$'>5-*�-����2����A�<$%@4*����(��7A�B4*,$�8����&#'5%*4�&�,$'>�-,*'��CDE��F� �GH�I�+�9��$%=7-5��J4*,$���(%��&#'5%*�9��&�,$'�-,*'���:�,�1��K�#4$4,'*-�+�9��<754�,$'5�7�A*%L�=',)5?�&54$4='*7�,$'�-,*'�%��M5�7()�'�#(��-�,$'�-,*'�%�A*%L�=?,)�A%�N�$8-(�K�OP� �QF��=4��I�#7&#4$'84,$�,$'�-,*'�%��,��A&7=5'��=4����R����I�5,�$�*'�,$'�-,*'�%�J4*,$���(%��&#'5%*�9��&�,$'�-,*'���$7&*�&7==%(4*'+�&7=�+�9��5,�$7*�� � � � � ��� � � � � � � � � � � ST'5�����2U���V���W�S�XYZ[��\�]����������W���������D�X�W�XY��64�8�@*%��;�1�,'$'�-,*'��8�@*%�&#'5%,'���(��A%�-8�&'�����5-8'�=�&@'*�+�9��#$�,'(4@*'L�5,�$7*�$7&*7�

Page 19: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ��������������� ��!�"#�$��%&'�(%#'���)�*#���+',�%'�����-�+&'./�)(�%!�"�'�� #0�1&',��2�23-�45���0#%&�����-��+',�#�$��#�������%&'�(%#'��-�6�%�/��7�+0&0%'#(�,0&0 '##'8�+0&+0# '�(�9&!�-�+&��0 0#'8� ��:�$��,%�&!#���0#%&������;-��+',�#�$��#�������%&'�(%#'���<=>-�&!�#��! ��0#':��! �:�$���0&?'#�����&',(#�(�2�23-�4@A�B&�*0#�������!A�C0#%&�)�;-��+',�#0�#��.�����%&'�(%#'���<=>-�D�E�FG@H�:�$��&� !(,����I��&� !(,��+'.,�#�$�������D-�,%�&�#'�%&'�(%#'��-��+',�#�$��������-�J-�K�!@L-�%�� -� 0�M�H�+!�+0&')0%&�%&'�(%.#'���NO@PQRSJ@QTOLJUO@VQWQ@SJXVQWQ@YQXZW[SQ\Q@]QUOOV_USOVJ=ZYTQXZY[a��0�)�*#�����������/�%'&'�(%#'���)�*#���+',�.%'������%!�"�'�%� !-����'�,()'�+&�%'�0*#'8��(%!�� �&!�#77%"�2b�c�defghijkghdldmnondpqprpkjgefghijkghnr@#�A'��6%",9�s!$(&�-�9���,��� �6%",9�A�%&"�8�%�/��-�I��#0��0*�%"�#��� #!:�+&9)!:-�!�%&"�8��! &!A.�!�-�I��+�+�&#��,+��(/�7%"�C!�%�/�'��t�A$�9#0)��uGvw�1&',��2�2x5-�(�9��)(��' !�97%"�?!,%"��,#��#'8�0�0)0#%!�y�%&'��#(%&!?#!��(%'�z-�{-�|@!�%&'��! +�.�! #��+&�%'�0*#!�})�,%�&�#'�J-�K-�~a@�&'�(%#'��#�A'��6%",9�ji�nhijkgr-��f�rnhijkgr��B��on�jfnhijkgr-�9�I��:�$��#�:B!�"?':��#(%&!?#!:��(%��! +�.�! #��B!�"?':-� �&!�#76��B��)0#?':�A����c��&'�(%#'��#�A'��6%",9�fl�kn�p�fpkgr-�9�I����#"�$�� �!�,%�&�#'�&!�#!�1B!/#!�,%�&�#'5���,#���7�&!�#�B0 &0#�$��%&'�(%.#'���6�%��,%�&�#�-�9���#0� �&!�#76�*� #!:�A�!#?'8� ��8�&!�#'8�,%�&!#��&'�(%#'�-�(,!�,%�&�#'�9��$��&!�#!-�#�A'��6%",9�fl�kn�jn�fnkklr���B�d�f��gq�kgr���l��l�kn�pkk�drl�d�jnfnk�rgdldhij�rgdjfghijkgh��@�@+&�%'�B!�"?�}�,%�&�#'��0*'%"�B!�"?':��(%-�!�#��+��'���@+&�%'�&!�#'8�,%�&!#��0*�%"�&!�#!��(%'���@%0�&0)��,'#(,!�y� ���@%0�&0)����,'#(,!�y� �1��� &�%�B( ".9��}�,%�&�#'�%&'�(%#'��� �&!�#76�,()!���� &�%!�� ��8�!#?'8�,%�&!#�B0A�+� ��6#�$�� �B(%�(�C'8�,%�&!#�#����,'#(,��(%��)!*�#')'5��&'�(%#'��)�*#���'A#�/'%'�B( ".9��7�%&!:��7�%��'8��,#��#'8�0�0)0#%!�y��B�� ��)��,%�&�#�)'�!��(%�)�)!*�#')'-�t',��2�2x

Page 20: 10 geom bi_u

�������������� ����������������������������� �!"�#��� ����$�%��&'"�%()�����"#*�%��!"�#���%(+�,�-#(&.��)�/01234��!"�#���%(3�)�5)�6�%�7���4���"(�"�&8�9�:)�5�;�2<�5)�6�;�0<�:)�6�;�1<�9�:)�1�;�2<�5)�0�;�2<�6)�0�;�1<=9�:)�5���6+>?@AA@BCDEFCCGHI@JHACKLM@EC@INH@HODAC@EC@INHPKLQINHLMNPKLCNPQR��'�*ST&(U�4�$��V��U�&'"�"#(&'"�(&����#�$� ��!'%���$�W�$�'"#�V��W�&'"�$)��X�!'%�7�(W�4��(%+Y�"#*�W�$��#�4&�$�%�7���'"$�#("(�"#(&'"�(&�"������"�.*&(�"���)�&�.(��'�*ST&��U�Z��!"�#������.*V��4��#�4�([ ���%X�V��4��!'%'��$�W���V(W�U�Z��!"�#��+�\��'�*ST&�%'�"#(&'"�(&'�%�7���-#�$X!"(�"#(�%X����()�"#(���!X&"#(!(���"#(�$(!�"(+] Q_LNAD_L@H@_FPLMN_NHPKLQHLMNPKLCNPQRa b��������a "#(S&'"�(&��-X#X"(�� "*!T�$�����U�"�c[�)�T&��.X7("*�'!X#X�(���"#(S&'"�(&������[X�"#�%�$-(!���Z��$�"#(&'"�(&�&�.�+�d�!X&"#(!����.("*�-#�"(.X7�'�!"�#��'����c�!"(�()�-#�-�#[�U���-#(.XZ.(%�����Xe�!"�S#���%�f#(!+��+�g<�1h�i���!X&"#(!�)�0h�8�h2�j�01�8�129+�k_CDAC@HAQ_LNAD_L@HIFB@QCHLMNPKLCNPQR�+�lX����(�"#(&'"�(&��-X#X"(�� "*!T�$�����U�"�c[�)�m��.XS7("*�'!X#X�(���"#(&'"�(&�+��+�lX����(�"#(&'"�(&��"�c&� �eW�*�Z��-X#X"(�'���.T"*!T�'�$����VX������8���f#�W' c(�$���$X#V(��"#(&'"�(&�9+=+�lX��������.("*�"#(&'"�(&�����$��"#(&'"�(&()�-.�m��T&(W�#�$���f#(!+��+�g<�1n�i�%X�����)� 9+o+�p#(�%X����(�"#(&'"�(&����.T"*�"#(&'"�(&����V�!"*�"#(S&'"�(&�$)�-.�m��T&(W�#�$��+q#T%�)����T&(W�.X7�"*�AN_DLN�"#(&'"�(&�)�-X#X"(�� "*!T�$�����U�"�c[��r�DMLDsFCLM@H"#(&'"�(&�)�T&��%�7X�%�!"("(!T�'�$�'"#�V��U�����4�$��V��U���.�!"��"#(&'"�(&�+�t(!�"(�"#(S&'"�(&�)�-#�$X�X������!"�#���"#(&'"�(&���)�5����)�-�4��c� "*!T�u:)�u5���u6�$��-�$����+�t(!�"��"#(&'"�(&��u:�$(4��c��"*!T�cX#X4�!"�#��(�"#(&'"�(&��4��v�#%'.� 8� )��X� +lX������"#(&'"�(&��w:)�-#�$X�X������!"�#��(��)�$(4��c�S�"*!T�cX#X4�!"�#��(�"#(&'"�(&��4��v�#%'.� 8�+� x(!+��+�g

Page 21: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������� !"�� �"�������#�$�%�&�'# "� !"�()*)+,-./-0,-1232'4&!45�"6�7�4�8$�9�:#; <�8=!=&"�"�&'�>�8 �!4�� !"�� ?�"�#��=!=&�7�94�47� !"�� �"�#�$#!#9=9<�#� != 4@�8 �!��4� !"�� �"�#� #�&�!4'�;A�BB�$�9�'"�4��=!=&�7�94�47� !"�� �"?�#�'4& "�#A�'4&� !"�� �"�#�$�&4%�"@� !"�� �"���C9�D#��=�?E�F�� !"�� �"�#�'4&��8" <87�&��$9�D4��8��'��F�� !"�� �"�#�7��G�H�I�J/K(LMNO(L-.*-N,OP)+*),OQO.L*MRSL,MRKH2�� "�$!"��8��?'4� !"�� �"�#�!4'�4T�'"8� #6�$!�'=&=�#�&���8��'"6�A� #����%4?8=� !"8�;�4��=&4#��;�J/K(LMNO(L-.*-N,O(LO*O,,UOQO.L*MRSL,MRKH2�84��� "�!4'�4�V����"@��� �&�!4'�;A�WXYZT�����#�5� !<�>�@�F��'"8� �A� #?����%48=� !"8�;�4��=&4#��;T�[=� !���9#6��$"8#��F���#'��9�� !"�� �"�#6�5%4F#A <87�45�[=� !�����9#6�'$"8#��F��'��<�F��\*] ORSL,M_. !"�� �"�� �#A�8 �!���6�7�#�9=�" <�$!� "�$!7��F���� #6��Q-aOL),SbS2VcZ� #�&'4�8 �!��"6�7�4�� '�!;; <�$!7�"@��� 6��RKL)LM2Vd�4�eZ2V!"8��G�GfZg� �!��"�$!7���� ��?F�� !"�� �"�#�d6�e�4�h2Vc��F4$� =��5#Z�5'i75#�4��4��8�%�;�8$4''4&��E=��7�6�D���#5"'#A <87� =�!=��;�C4j#F�!#H�c�2k2d�2l2e���m����:" #A <87� #�H�RNK+*KL.+ONnM,M.Q-aOL),SbM.+O*-N,op.(S -.RNK+*KL-N.+ONnM,.RKL)L-Nq�J/K(LMNO(L-.a*] ORSL,OQO.L*MRSL,MRKHGZ�r# = �A�8=!=&�4��$!�$�![4@�"���4��F4$� =��5�;�4�$!�=�?[4A;�[<�F���# = #��#�F4$� =��5�H�e�2k2ec2s2c24�d�2k2dc2s2c2V!"8��G�GfZ�2�Z�m"8� #6�$!�'=&=�#�5�'=!E"�"�$!7��F���� #6�A�8=!=&�4��$!�$�![4@�"���4��$!�=�[47�"��# = 4'��#�F4$� =��5�H�t�2k2ec2s2dcguZ��=� !���9#6��$"8#��F���#'��9��$!7���� ��F�� !"�� �"?�#6�9=�" <��#�8=!=&"�4�F4$� =��5"��IZ�v97�8 �!4��$!7���� ��F�� !"�� �"�#�48 "��4�'4&��E=�?�7H� 6� ��#$#�i7 #@ =w�x uXY IyY WXY JRKb-NRK.+/].R*KzOQO.bKaK {]LO.NS.NK,.,]HGZ�5#$"E4 <�!"8�"�&!�%4'�&97������F��5�#?:=��7�'"!#5��|}~x�4���|x� #�5�#�=��"�"6�D��&�!4'�;; <��T�Z�5#$"E4 <���:"8=9<�"�#>�:"89#H�G6��6�u�V&97�|}~xZ�46��#'$#�"H�u6��6�G�V&97���|xZT�uZ�&�$"E4 <�5�#��!#&"�#9#�&�������F��:"?8=9<�"�#�&!�%���m!#>�'�;:"� =6�D�� 6�� !"��A���5#$�'�=��� #%9"[;|}~x��|x �"8��G�Gf

Page 22: 10 geom bi_u

�������������� ���������������������������� !"#"��!$"�"%&'()(*+',(*-./)&'(012,3.4'&)&,(.5*&6&./&/7),&./7)780109,3-.,7:(;7<'945.�=#=�>� ?#=@ @�A�=B!"C B!���=#=�>� ?#=@=D.EF.G1)1H(,7.H376&,703./7)7010&86)7I7.<.J&6&.K1,')&I.4(.I1'.)3LM�F.N)&'(012,3.4'&)&,(./7)7010&86)7I7.)3;,3M�F.N)&'(012,3.*+'(./7)7010&6)78I7.)3;,3MOF.P&2,7.H376&,709./7)7010&6)7I7.H30('9.J&6&.,7.H;7.)3;,3.')(*+',(*(MQF.R376&,703./7)7010&6)7I7.H305'945.'&S*&T./1)1'(,+.,7;8/30MUF.G+I7.*;7H)7'3;.H376&,701J./7)7010&6)7I7.VWE�3.W�F.H&)3;8,T<.4+I3.*;7H)7'3;.+43X.J&6&.4'&)3,Y. MZ&[.H&;14'(-.\&.H15*(J.:7H7,(J.S&'()(*+',(*.<./7)7010&86)7I&I-.')1[7-.:63H,&.:.&:,7S1,,5I-./1)1*&,7'(45.;./7)701098,&4'3.J&6&./)&'(012,(X.4'&)3,M.],*&0(.'7*3.I3)*+;7,,5.<.6)&8I3:H*(I(-.7.3,*&0(..:7J;(I(M.]4,+T'9.3,_3.H&;1H1,3.&:,7*(-.,7./3H4'7;3.5*(X.I&2,7.4';1)H2+;7'(-.\&.H7,(J.S&'()(*+'8,(*.<.4/)7;H3./7)7010&6)7I&IMabcdedfcghihajgkhajdlmineopjqgrlsdtjorusandvdgnahwdjxceDdyzdmicgh{|pk}dlgcickhdmcmnikcdi}ek}~d�zdoe}dmicgh{|pk}dlgcickhdi}ek}d}dmnin{|{rk}~d�zdmicgh{|pk}dajghdmcmnikcdi}ek}~d�zdo}n�ckn{}dedgcf�}dm|i|ghkjdo}{sgrlsdknem}{�dgcdgnah�dfcghuihajgkhadqdmnin{|{c�inxcx��#�@ ��!$"��.K1./7)7010&6)7I-.+.5*&I+.;43.*+'(.)3;8,3M.�4*309*(.4+I7.*+'3;.S&'()(*+',(*7.H&)3;,T<.E���VO..�F.�.���U��-.'&.;./)5I&*+',(*+.;43.*+'(./)5I3M.N)5I&*+',(*.I7<.;43.;074'(;&4'3./7)7010&6)7I7M.P)3I.'&6&-.;3,.I7<.\1.&H,+.;074'(;34'9Y.��=? $=����#�@ ��!$"�=�#�C$��@���B � ���R05./)5I&*+',(*7.4/)7;H2+<'945.3.&[1),1,7.'1&)1I7./)&.'1-.\&.*&0(.;./7)7010&6)7I3.H376&,703.)3;,3-.'&.'7*(J./7)70180&6)7I.<./)5I&*+',(*&IM.�5.'1&)1I7.<.&:,7*&T./)5I&*+',(8*7M.� @����K1./7)7010&6)7I-.+.5*&I+.;43.4'&)&,(.)3;,3M.P)3I.:786709,(X.;074'(;&4'1J./7)7010&.6)7I7-.)&I[.I7<.\1.J.3,_3.;0748'(;&4'3-.X7)7*'1),3.0(_1.H05.,9&6&MR376&,703.)&I[7.;:7<I,&./1)/1,H(*+05),3.3.H305'9.J&6&.*+'(.,7;/30M.G/)7;H2+<'945.3.&[1),1,7.'1&)1I7-.5*7.<.&:,7*&T.)&I[7Y.5*\&.;./7)7010&6)7I3.H376&,703.;:7<I,&./1)/1,H(*+805),3.7[&.5*\&.;.,9&I+.H376&,703.H305'9.*+'(.,7;/30-.'&.'7*(J./7)7010&6)7I..)&I[M �(4M.EM��

Page 23: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� !"!#$�%&'&($()*'&+,�-�./)+-�012�/-34�'2052�2�012�13)6')54�'2052��738$,�/0&9'&3�"!#$�%'.+)/-354/�:�'2054+4�13)')65&+4�&;)�/0&9'&3�"!#$�')+;�:�'2054+4�/-3&+4�<%'.+4+4=��7>$60495),�?)�/0&9'&3�+&@�012�0(&1340)132�%'.+)/-354/&�2�')+;&�A��BCDEF!G�#$�>)34'4/-354/,�-�./)+-�32(H/4�902�%')34($8652�13)')54�%&'&($(H52���2�%&'&($(H52�13)')54�5&:40&I3H1.�JKLJ��MNO3'&%$#2P,�902�25Q2�13)')54�G�RESLNMNOK J�JL�MNT�/?)�;2>52�13)')54�3'&%$#2P�'20652�+28�1);)I,�3)�3&/-�3'&%$#2I�5&6:40&I3H��E�LJRESLJUO<'41��V��V,�WX!Y!Z[=�\E�LJRESL�O ��BCDEFOM�]O �EO�_�K N�JK EV=�a-34,�%'4($*(2�9)�)15)04�'2065);2>5)P�3'&%$#2P,�'2052��%'&098-6@3H1.�2�);$'5$5$�30$'98$55.b�./?)�/-34,�%'4($*(2�9)�)15)04�3'&%$#2P,�'2052,�3)�3&/&�3'&%$#2.�'2065);2>5&��=�c2&*)5&(2�'205);2>5)P�3'&%$#2P�'2052�d=�-+&�%')34($854e�/-320�'205);2>5)P�3'&%$#2P�9)'205I@�Vfgh��i29'2:)/,�?)�1%)(->&@�1$'$9454�;2>54e�13)'25�3'&%$#2P,�5&6:40&@3H1.�PP�KC�C�LjJUO_ELE]UO<'41��V��V,�kl!"!1$'$95.�(252.,�mk�Y�kn,�ol�Y�l[=��pC�C�LFO_ELEFO ��BCDEqOB���_C_jL�OqqOJKLJ��MOEO�J�E�LU]OqrLEsOBE�KtMEO<'41��V��V,�kl�u�m[,�kl�u�no,� =�v41��V��V

Page 24: 10 geom bi_u

�������������� ����������������������������� �!"�"# $%�!�&' (�)�%�*�+#,-� .-/&�0-# � �1+# �2� /3�43��5��63�7898:#"�1-;$%:�<�+'-,�2=>?6�'-;. , :�$8/.%@9-1�24>�63=6�A��B�ACD 46�AC�B�AE�B�FG�D =H6�A��I�AC�B�4JG�D �6�A��B�A��B�AE�B�FG�D HK6�A��B�A��B�FG�D L6�A��%�AE�>�/+'%;$%D KM6�A��I�AE�B��NG�D O6�A��%�AC�>�P-/#�%D� M?6�AC�B�FG�3 �6�A��%�AE�>�,"�# 18.Q$%3 ?�������R'-,8' �24>S6�+18<8$-�P�89+/$+�'%�+�9"&1 (�1+#%,3�K T"�%#Q�/"�"9�$ (�#%5�&1%�'-;+#Q�T+# �/+'%;$ ' 3�46�4J�D �6�S��D L6�4�J�D�O6�N��D��6��J�D�N6�4GJ�D�S6�LJ�3=6�4�%��D� H6���%�ND� K6�L�%�OD� M6�4�%�SD� ?6���%��3�������K T"�%#Q�!�8, .Q$ :�, /$-,-15�1-. �,%9-'-5�U-�A��B�AV�2� /3�43��5�W63�=6�)�X�*D �H6�)�Y�*D K6�)�Z�*�� � � � � � ������ � � � � � �� W[ /3�43�� [ /3�43�L���\��3�7$8:9%#Q�P�89+/$+�'%�+�AC�2� /3�43�L65�&1U-�] �X�_ 5�A��B�A���%�A��B�S��3=6�S��D� H6�4OO�D K6�4GJ�D� M6�LN�D� ?6�4�O�3���a���7$8:9%#Q�P�89+/$+�'%�+�<-,$%b$Q-@P-�1+#8�cde�#� 1+#$ 18�cdf�2� /3�43�O6�=6�4L��D K6�4GJ�D� ?6�O��3H6�4���D M6�44S�D���g���7$8:9%#Q�P�89+/$+�'%�+�1+#8�'%;�T%/"1#� /-h�1+#8�!� �,"�b $%��%,$-T"9�"@$-P-�#� 1+#$ 18�#8�:-P-�T%0$-h�/#-�-$-h5�&1U-�1+# �#� 1+#$ 18�_ ]�,%9$-/&#Q/&�&1�L�i�O�i�L3=6�4J�D H6�LN�D K6�S��D M6�NG�D� ?6�LG�3�[ /3�43�O

Page 25: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� �������������� !"#$%&'�()$*!+,#-�)-*#./&-�0)!/��1��23��3�456789847:;< 3�65898:;< =3�>657898>;:7<?3�45768984:7;<��3�>576898>;7:< 3�>657898>:;7����@����#$AB-&,�CD&!�&)!CD&#!C$�67:80)!/��1���3��3�EF�G�EF�G�FE�< 3��E�G�1H��G��E�< =3�EF�G�1H��G��I��?3�1H��G�EF�G�EF�< �3�E��G�JI�G�EF�<���K����B'#&!L-CDA&'�C.M#.ND�O'/&!CD&#!CD�(')!N'&)$�P�C.+.�)$B-D/$�QG�.(!/$#'�#$*C.+.�#,.R.��3�S�9�E��/N< 13�Q�9���/N< �?3�S�9�1��/N< �38Q�9�F�/N< ? 3�S�9�FE�/N< H3�Q�9���/N< ��3�S�9�EF�/N< E3�Q�9�1E�/N< ��=3�S�9�H��/N� 23�Q�9�T�/N� =����U���VW%!/+-&,�(')!N'&)�&)!CD&#!C$�"�*')O!#$N!�*�X'#Y&)$Z�&),.Z�C-+�"�)$B-D/$N!���/NG�T�/N�-�F�/NG�[.�(.($)#.�B.&!C$Y\&,/]�".*#-�0)!/��1��T3��3��F�/N< ?3��J�/N< 3��T�/N< �3�E��/N< =3��1�/N�!/��1��2 !/��1��� !/��1��T��_��a !W')-&,�*!)$"!G�]C!N!�*!"#$%$\&,/]�)$B-D/�*(!/$#.YR.�C.+$�*�()$*!+,#!A�&)!CD&#!C�"-�/&.).#.\�b�&$�)$B-D/�.(!/$Y#.R.�#$*C.+.�#,.R.�C.+$c13� <��3� <�H3� <�E3�< 23� ��3�1�-��<?3���-�H< 3�H�-�E<�3�E�-�2<=3�1�-�2���_�����#$AB-&,�B-$N'&)�C.+$G�]C[.�()]YN$�d�e�B.&!%#.\�B.�#,.R.G�5�f�&.%C$�B.&!YCDG�76�9�1��/N�&$�D&*.)\e�"�B.&!%#.\�CD&�HI��0)!/��1��F3��3��E�/N< ?381��/N< 3���/N< �3�1F�/N< =3�E�/N���_����&.).#$�C*$B)$&$�B.)-*#\e� �/N���C$M-&,�B.*M!#D�)$B-D/$�C.+$G�*(!/$#.R.�*�X'A�C*$B)$&� !/��1��F

Page 26: 10 geom bi_u

�������������� ����������������������������� ��� ���� ��!����� "�� ���� #��$���%&'(()'�*+,-�.�/�,/0�12-34567�,-�8����96:;<-�.-�6,<=>�-��424+,?�:6,6?�12-34567�+/260,@A�!����%�B,-C+61;��4,<=�/�,/0=�12-34567%�������� ���D���� ��E���� "��8���� #��!����%&'(F)'�*9GH�:61;�3:/I=�2/�9->�+6-J/,-:6�?K/J/�+/260,@@1;�!�����6�LE���%���M����������M������� ��!8�������"��!8D�����#��LE�����%&'(N))%�B,-C+61;�K=1��6O�32?�H�H�P�6�Q>�?KI/�32?�6�R�6�S�3-T2-:4:;,6�U2H�%�!%�M�%���$�)�� ���8�)� ��!��)� "��E$)� #��!!$)%&'(V))%� H.,-G14�+/0OH,H�2-+6=�60�+0/W�K6:>�I/�+/1HK-@1;�?�./0,6>�?KI/�06+�1-,;��6O�7W,6�H�54,12-�H�!8���>�-�+/0OH,-�/+T,/J/�.�,HW��1-,/0H1;�$��X�+/0OH,H�6,</J/%���M����6�E����� ��!�����6�E���� #���D����6�!����%���!�����6�8����� "��!D����6�D�����&'(Y))%�ZK-O61;�0H2-.>�I/�0H.,-G-A�+/0OH,=�K/:->�?K4�/9T�4O=A�K2=J�3:/I4@�M[����%���L[���� ���M[���� ��!�[����"��!8[���� #��E[���%&'(\))%�B,-C+61;�3:/I=�K2=J->�03H�-,/J/�=�K0-+2-1�.6��1/2/T,/@�E���%���M[����� ��LE[����� #��!8[����%���!DD[����� "����[�����&'(]))%�B,-C+61;�3:/I=�12HK=1,HK-�U2H�%�!%L���U+/0OH,H�06+T26.K60�,-04+4,6�0��-,1H�412-W�%����E������ ���M����� ��!������ "���D����� #��L�����%&'F))%� H.,-G14�342H�412�260,/94+24,/J/�12HK=1,HK->�?KI/�1/GK-�+/1HK=�03H�-,/J/�0�,;/J/�K/:-�+6:H1;�C/J/�96G,=��1/2/,=�,-�06+26.KH�E����6�$���%� H94261;�32-0H:;,=�K/�96,-56@��/O:HT0HW�06+3/06+4C%!���!���� ���L������ L���L����� D��LD���� $��LL���%���!�-9/��������-9/�D� ����-9/�L��"��L�-9/�$��#��D�-9/�$%_H�%�!%�M _H�%�!%L�

Page 27: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ����������������� !"#$%�&$'('�)�*+,$(-.)$�-. ,/012�34-& �'5'�3�.'6'�( "#)& �7,8(-&��9�:9;���;�7<���=;� <���>;� <����;� <���?;� ����@�����"A�$-B#.)!$A�4 ( C-�&$'('�)�4( D3-6%�'5'�$(-.)$�-. �E,$ �( "#)&�F�34-& �'5'�3��%'5'�.'6 ��;� �&C<�=;� �&C<>;� �&C<��;� �&C<�?;� �&C� 9;� �&C< ��;� �&C<� =:;� �&C<� >G;� �&C< ��H;� �&C� ?����I����J "#)&�.'6 2�34-& �'5'�3�.3 "( $2�"'(#3�KL�H�&C���� !D"#$%�"# 5'� 6%�.3 "( $ ��;� �&C<=;� �&C<>;� �&C<�;� �&C<?;� �&C���������� �(-&)�.)�9�:��M'N( OA�'�"3 �$(-D.)$�-.-�P*+�#�+QR2�&$'('�-�S.-T�P*,#�UQ,V�4 ( 6A6%�#���� !"#$%�"'3O-�)�3#"(#M. �/Q2�S.W'� 2�1Q�X�92H�&C���;�:�&C< >;�Y�&C< ?;�Z�&C�=;�G2H�&C< �;�[2H�&C<���\�����. O#$%�.#6%.#&$%�&$'(#��4( 3-6%�'5'�C�'5'.)$�-. 2�3�)$(#]�#!�.)$�S.'5'�"'(#3�KL�9Y���;�9�< =;�9G< >;�9Y<� �;�9�<� ?;������_������ !"#$%�4A(-CA$(�('CN 2�"# 5'� 6#�S.'5'�"'(#3�KK$%��G�&C�#�9��&C���;�9��&C<�=;�Y�&C<� >;��G�&C<� �;�9��&C<�?;�9GG�&C��������>#"'C'2�W'�4A(-CA$(�4 ( 6A6'5( C �"'(#3�KL�G��&C2� �'"� �M�!'5'�&$'(#��� ���&C�"'3] �M �#�])���� !"#$%�CA�])�&$'D('�)�4 ( 6A6'5( C ��;���&C<� =;�9Y�&C<� >;�Y�&C<� �;�9��&C<� ?;�9�&C����a�����'3�#�(#3�'NA"(A�'5'�$(-.)$�-. �/01,4'N)")3 6-�"3 �(#3�#�.)$-�/0U�#�10b2�&$'('�-�S.-T�4A(A$�)6-�4('"'3OA��S�'&�'3-�/1�3#"4'3#"�'�)�$'c. T�U�#�b��?'3A"#$%�(#3�#&$%�$(-.)$D�-.#3�U01�#�b0/,8(-&��9�::2�E;� J-&��9�:9J-&��9�:�

Page 28: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������������ !"#$�#!%&�'(!)*+*,!�+)-�).&/0,!�'*('*,+$#1%2(,-�3!(+$�+!)4$,!5�6�70�-�8��70���,&9+- :�)-+7 &,:�0-4�#-,;20$�3!(+���<=>��?$.,&" *�).&/0,*�(!.0-@*,,2�'(20$3�AB�-�CD�.&�+&,$E0$�($71,#&�8�FFG�H��?-+'!)-+:�!IJ(1, 19 *�� HK$7��8�FF K$7��8�FL��<�>��M� ($#1 ,$#�ABC�)'$7&,!�#!%!�N($7��8�FLOG� !"#$�+!E $#1�2#!P!�QG�R�'!+-%25 :�+)-�9!P!�7 !(!,$�AB�S�AC�,&�)-+(-.E#$G�(-.,$;2�2#$3�)-+'!)-+,!�+!(-),5/�F�70�-�L�70�NAQ�T�QBG�AR�T�RCO���,&9+- :�7 !(!,$� ($#1 ,$#&�ABCG�2#@!�9!P!�'*($E0* (�+!(-),5/��U�70���<V>��W&)#!%!�(-),!7 !(!,,:!P!� ($#1 ,$#&�!'$7&,!�#!%!G�(&+-17�2#!P!�+!(-),5/� �70��XI"$7%- :�(&+-17�)'$7&,!P!�#!%&���<Y>��W&)#!%!�#!%&�!'$7&,!�(-),!I-",1� (&'*;-5G�#1 �'($�!7,!)-�2#!Z�+!(-),5/�F[���?$7! &� (&'*;-Z�\�]�70���,&9+- :�+!)E4$,1�7*(*+,:!Z�%-,-Z� (&'*;-Z���<�>��W&)#!%!�#!%&�!'$7&,!�(-),!I-",1� (&'*;-5G�#1 �'($�!7,!)-�2#!Z�+!(-),5/�86[���*(*+,2�%-,-2� (&'*;-Z�+!(-),5/��70���,&9+- :�+!)4$,1�)$7! $� (&'*;-Z���<<>���,&9+- :�I-",1�7 !(!,1�(-),!I*+(*,!P!� ($#1 ,$#&G�!7,!)&�2#!P!�+!(-),5/�8_�70G�&�)$7! &G�'(!)*+*,&�+!�,*ZG�\�86�70���<>��?$7! &�ab� ($#1 ,$#&�acd�+-%$ :�9!P!�7 !(!,1�cd�,&�)-+(-.#$�cb�-�bd���,&9+- :�+!)4$,1�)-+(-.#&�bdG�2#@!��70GeAB�f��_�70G�gB�f�L6����<h>�� !(!,&�(!0I&�+!(-),5/�8[�70G�&�!+,&�.�+-&P!,&%*9�\�8��70���,&9+- :�(&+-17�)'$7&,!P!�)�(!0I�#!%&���<i>��M�#!%-�(&+-17&�86�70�,&�)-+7 &,-�8��70�)-+�9!P!�;*, (&�'(!)*+*,!�3!(+1���,&9+- :�+!)4$,1�;-/Z�3!(+$���<�>��j-7*# ($7&� 1'!P!�#1 &�'&(&%*%!P(&0&�+-%$ :�9!P!�7 !E(!,1�,&�)-+(-.#$�_�70�-�8[�70G�(&315"$�)-+�)*(k$,$�P!7 (!P!�#1 &��XI"$7%- :�'%!@1�'&(&%*%!P(&0&G�2#@!�9!P!�P!7 ($9�#1 �+!(-),5/�_[����=>>��M�#!%-�'(!)*+*,!�+)-�3!(+$G�@!�'*(* $,&5 :72��X+,&�.�,$3� !"#!5�'*(* $,1�+-%$ :72�,&)'-%G�&�+(1P&�\�,&�"&7 $,$�.&)E+!)4#$�6�70�-��[�70���,&9+- :�+!)4$,1�#!4,!Z�3!(+$�

Page 29: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������������ !"#�$ %&�" ' (�$) *+,+- �./!-0�/�, �#!-0���-&12,/�3�, *4#-0�, �#!- 56�7"8 �* -&�-&�9�.(�:/'3;&�*/,�% *-/;2-3 5�!&.�#-#�/�-&�.�/'3"#�.&( �(+-;&�*/,�*-0�)/;-3 5�!&.�#-#�./!- 5����<������� !"#�$ %&�" ' (�$) *+,+- �./!-0�/�, �#!-06�.0(&�, *4#-�7"#=�, )/*->?�@9�.(6�&�% *-/;-7�!&.�#-&�./!- 5�-&�A�.(�(+-;&�*/,�, �#!- 5���-&1,/�3�, *4#-#�./!- 5�/�, �#!- 5����B�����-&1,/�3�$' 80�$)7( "0�- C ��)#"0�-#"&6�7"8 �� !"&�, �#"0�*$#.&- C �" '&�,/'#�3�C/$ �+-0%0�-&�*/,)/%"#�%&*2, *4"#�D�.(�/�E�.(����F������$)7( "0�-/1��)&$+G/5�(+-;&� .- *&�, )/*->?�H�.(6�&�(+-;&�:/!-&�.� ) -&�I� �.(���-&1,/�3�$' 80��)&$+G/56�7"8 � ,#-�%�55�"0�/*�, )/*->?�@A�J����K�����&*" ' ��)&$+G/56� .- *#�7" 5�, )/*->>�3�L��.(�/�@L�.(6�&�*#. �&�I��E�.(6� $#.&- �" ' ���-&1,/�3�1 C �)&,/0.���������@M�N/&C -&'/��)&$+G/5�, )/*->>�3�A��.(�/�@9�.(6�*#. 2�&�I�@A�.(��O:!#.'/�3�$' 80��)&$+G/5�AM�N/&C -&'/��)&$+G/5�, )/*->>�3����.(�/�AD�.(6�&�*#. �&�I�AL�.(��O:!#.'/�3�$' 80��)&$+G/5����P����Q/'3;&�,/&C -&'3�) (:&�, )/*->?�AL�.(6�&�)&,/0.�*$#2.&- C �" '&�I�D�.(��O:!#.'/�3�$' 80�) (:&����R����� ) -#��)#"0�-#"&�, )/*->>�3�@S�.(6�A9�.(�/�AH�.(��T ' �%�G+-�) (�-&�-&1:/'3;/1�.� ) -/�, �#"&?�3.7�, �,* =�/-2;#=�.� )/-��O:!#.'/�3�$' 80�")0C&����U�����-&1,/�3�$' 80�$&)&'+' C)&(&6�7"8 �1 C �.� ) -#�, )/*->>�3�D�.(�/�L�.(6�&�"0��(/4�,/&C -&'7(#�I�D�J�VW��B�WXYZY[\W\W] _ZaWbcWdefgheifYjjhN'7�C+ (+�)/5�%&" - (/)-#(�?��+6�8 �**+,+-/� .- *-/�$ -7�2�7��&�.k )(0'3 *&-&�&"./ (&�#"&�."'&,&>�3� .- *0�,'7�%&) 2,4+--7�- *#=��*+),4+-3��O,-&"�5=->�/.�#--/.�3�$ �)/:- �, 2* ,#�#�;'7= (�$+*-#=�(/)"0*&-36�7"/� $#)&>�3.7�-&�)&-/;+�, *+,+-/��*+),4+--7�&: �&"./ (#��l=�-&%#*&>�3�mnopmnoqrstqmquvnwnrnmq�xyz{|}~z�|{~�|{���|z�|�|�|��.-0>�3�)/%-/� %-&!+--7�G3 C �$ -7��76�-&$)#"'&,6��|{~��|{���|z�|�|�|�I�G+�:0,327"&�*#( C&� :!#.'#�#6�$ :0,0*&�#6�, *+.�#�&: �, .'/,#�#�8 2-+:0,36�&: �%&$#�&--76�)/*- .#'3-+�,&-/1�*#( %/���" 4-/1�%&,&!/�8 .3�,&- ��0( *&M�/�8 .3��)+:&�, *+.�#�!#�%-&1�#��*#( C&6�*#.- * "M���#" -&�#�$ .�&*'+-0�*#( C0�I�G+�

Page 30: 10 geom bi_u

����������������� �������������������������� �!�"��#$%��&'���(� )*�+�)#�,'-�.�/��%0/��12&'��12&3�45#��6�.� �2&����2&�2�#)#���6��-�&5-�&' ��6��&#5"(,5�7�%�#2&���#85���-1"0)#���%-'�9(�#5(5��%-:.�&��&�05�&#5"7(,5��%����'#�;&3�� �� ��<*�=�# '&'2%�(�#�('&'�&5�"5-'.�"��#$%�)#�&'���(� 1�>��2��#���-5&��0�,��6��?0�8%"�*@'�-�,���2&#5"(,)#�&'.�/��(8%�)241?��6��"��#$%�)#���%�65�-5&"' �'A���(� �1�(�#5(5��%�&5�"5-�(�2&�&�3��#183���#�8�7(1&'�#21-�&5�"5&' �'-�-�&5"1�8�-B�=1*�C5��5�!�(�2&�&�3�;�)-�#�;*�D"'�A�"�?'A������%A�&5�7"1E�281(���F)&'�4"�0&' �'A���#' �0*�G�H5�-�,8'#��8'?5�41(� �2�"��#$%�)#���%���(� .�4� '��; '�#1(�4"�2&1?'A�1�4�2&)4�#��45"5A�(% '�(��F183?�208�(�'A*�I�&5-�&' �1���(� 1�)-�#���4�(18%;&3���� �&'"'�#'('�#1(74�#1(���(��EA�1A�#'-�6J���(� 1�����F '285��%.�(�#5(5��%.�(�7281(,5��%�1�4�F)(�#)*�+��'-'�#'�#,5�������-'8'2%�#�0)"21�48��1-5&"1E*�D"'2&)4�; '�(��"��#$%�)#���%���(� 1.�&"5F��#'F"�&'�-5&�(*�I5&�('�4�(18%;&3J�:����2&")0&)"�;�>�2'�&5&' �'�.����81&' �'�.�#1(�2)4"�&'#7��6��&�/�KF:����#'0�"'2&���%-�-�&5-�&' ��6���4�"�&)�>��865F"�E 7�'�.�#50&�"�'�.�0��"('��&�'�.�-5&�(�48�/.�-5&�(�65�-5&"' 7�'A�45"5&#�"5�3�&�/�*�LMNOPQRSNTNRUSVWVP-5&�()�4�8%6�!�#�&�-).�/�.�#'A�(% '���)-�#'���(� 1� '�&5�"5-'�1�#'0�"'2&�#); '�#1(�-1�&#5"(,5��%.�F)()!&32%�8��H;6�8�61 �'A�-1"0)#��3.��2&���!���%0'A��F16�!&372%���#'-�6�;���(� 1*�=�#5(5-��4"'08�(*XYZYUYP[\]1250&"'2��0)&��4"%-�0)&�'0��(178'&3�F183?)�2&�"��)����(#��#1("1�70'��2-�1�_�2-*�+���(1&3�45"'-5&"�H3�6��4"%-�0)&�'0�*`���Jabcd�e�4"%-�0)&�'0K�af�e�F1250&"'2�.�f�g�bcK�hf�i��2-.�fc�i�_�2-�9�F��hf�i�_�2-.�fc�i��2-:*+���&'J�jabcd*klmnopmqrrp sltuvwqtxvyqz{af�e�F1250&"'2��4"%-�6��0)&��h|d.�bc�}�ad.�|f�e�21 ��.�&�-)�~��i�~��%0�#�)&7"1?�1�"1���2&�"���1*� =5A������)-�#�;�|f���(�7���F1250&"'2����� 0��f�"��F'7#�!�#1("1��0�bc����(#��#1("1�70'�bf�1�fc*��81.�#"�A�#); '

Page 31: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� !"#$%&!'(�$)*+�,-�.�,/��0$1"�,2�.�,/���3�4�5�,2�.�,/(�$)*+�3�4����% 67)�"8%"7&9� ��4�.�:��;<��#=)�:��.�>�!*(��?�.�@�!*(�$)��4�.�:��.�>�!*� �:?�.�;A�!*�B�4?C�.�D>�E�;A<�F���.GHA�D!*<���<��#=)�:��.�@�!*(��?�.�>�!*(�$)�I:�.�:��.�@�!*� �:J�.�;A�!*�B�4?C�.�D@�E�;A<�F���.�KL�D!*<��:MNOPQMNRS�HA�!*�'�)�KL�!*�� T'%'U"UV7 !$V�T%)$&U"17&W�!$)% 7�T%X*)#+$7&#'�$'�YW�T"%"$&7�! Z7)[�D������ !"#\$%&!'<(�6!$'7)6U[]*)�% 67 !$V�86)W�#+$ 6�$%&#+$7&#'���"�6&7'Z']�6&8�$%&#+$7&#'�_�% 67)�"8%"7&9(�'�7'Z&$V(�% 6\7 !$V�86)W�!$)% 7���)�$)�I4�.�.G4���#=)�:��.�>�!*(�$)�I:�.�.�>�!*(�:J�.�>�E�@�.�;A�D!*<(�$)*+�T"%&*"$%5�B�.�D>�E�;A<�F���.�HA�D!*<���#=)�:��.�@�!*(�$)�I:�.�.�@�!*(�:J�.�>�E�@�.�;A�D!*<(�$)*+�T"%&*"$%5�B�.�D@�E�;A<�F���.�KL�D!*<��0$1"(�T"%&*"$%�T%X*)#+$\7&#'�*)1"�8)% 67[6'$&�'�)�HA�!*(�'�)�KL�!*��X�'8'Z'�]�POPaPb(�)!# UV#&�7'�$'# 9� 8"Y��+8+]$V!X��'c'$)�'8'Z� �8UX�T'%'U"U)c%'*'(� �8UX�$%'T"d Y����d&W�e c+%'W�� !"#\$%&!'�#+$'�6 8$&7']�'618&�% 67)�"8%"7&9�$%&#+$7&#�fghQgijkP(�=)�!#)%)Z"7"�T)7'Z"77X�#+$ 6(�+�6&cUX8 �,2(�,-(�l(�!T%)=+]�'T&!&�$'�"#)7)*&$V�Z'!(�$)*+�6�$'#&W�6&T'8\#'W�7&*�#)%&!$+6'$&!X�%+Z7 m"��#��'Z&*)(�+�T%)d"! �%)6nX+6'77X�'8'Z �;�6&#)%&!$)6+\[$V!X�U&m"�6 8)* �c")*"$%&Z7 �$6"%81"77X�$'�T%)6)8X$V!X�6 8T)6 87 �)�Z&!U"77X��o%&Z)*+�8UX�#)17)Y�c")*"$%&Z7)Y�'\8'Z �$'# �* %#+6'77X�!6)Y�pqrstuvuwxryzv{|{�*"$)8+�T)UXc']�6�$)*+(�=)(�6&W)8XZ&��6&*)c&�D6&!7)6#+<�$6"%81"77X�D$")%"*&�Z&�'8'Z <� �!T&%'[Z&!V�7'�6 8)* �$6"%81"77X(��+8+]*)�U'7d[c�U)c Z7&W�* %#+6'7V(�X#&9�T)#'+](�=)�6&*)c'�]�7'!U 8#)*�+*)6&���'6"8"*)�T%&#U'8�}u~uzut���)6"8 $V(�=)�!"%"8&7&�!$)% 7��+8V\X#)c)�)T+#U)c)�Z)$&%&#+$7&#'�]�6"%m&7'*&�T'%'U"U)c%'*'��'7)5�4?C���Z)$&%&#+$7&#�������4(����.��4������4?(�4��.��?������?C(�?��.�.G�C�������C(����.��C��)6"!$&5������_�T'%'U"U)c%'*�

Page 32: 10 geom bi_u

����������������� ����������������������������� �!"#$%!�#&%'()*+,�-./010234.5673839:;723:<.)=.*=.+=.,.-.>?8?13923.@A1B6@A123C.>768A2<.DE.A.FG.-.1A0H620IA.567383:;7923:0.DJEG<.K.LMFNO.)*�P�>?8?12Q.IA92AQ=.76R;.)*.S.MN<K.LMGNO.,+�P�>?8?12Q.IA92AQ=.76R;.,+.S.MN<T0UR6O.VW.)*.S.MN.A.MN.S.,+=.76R;.)*.S.,+�X/0.6/20:6Y.B080I?IZ23C.B8Q9R3CW<[W.\20I6HA526.),.S.*+.Q:.>?8?12A.IA2A].783:;723:[email protected]<7_?=.;.567383:;7239:;.)*+,�B8673I?_2A.>7698623. B080I?IZ2A=. 76R;[email protected]?I6.H80R=./HA126./.6/20:6Y.B080I?I6H80R0<.`6.4.@3R0H0I6>Q.16@?>73.Xa<.@<.1<W< b3R6H0./0105AO.16@?>73<.c?.6/2050U=.a6.A>7322A>7Z.7@?81_?22Q.>IA1.BA17@?813973.dI02eY_:[email protected]:;9@022QR<.`6g.567383:;723:.)*+,.g;@.B080I?I6H80R6R=.16>70792Z6.B6:0/[email protected]?_2A.>768623.B0809I?IZ2A<.hIQ.eZ6H6./010234.567383:;723:.86/[email protected]@0.783:;723:3.612AUY.1A09H620IIY=.0.B67AR.-.A2i6Y<.j?8?12A.IA2A].612AU].B083.783:;723:[email protected]?IZ2A.6192A4.1A0H620IA=.0.18;H6].B083.-.A2iA<.XbA18A/6:=.a6.>B6I;50U.>?8?1323.1@6C.>768A2=.U.>?98?12Z6Y.IA2AUY.783:;723:0=.Q:0.R0U.@I0>73@A>7ZO.B0809I?IZ20.16.78?7Z6].>768623.783:;723:0<W.k@A1>3=.>?8?12A.IA2A].:6_26].B083.783:;7239:[email protected]?IZ2A.RA_.>6g6Y<.l0:3R.5326R=.6783R;[email protected]:;723:;.)*+,.B8673I?_2A.>768623.B0809I?IZ2A=.76R;[email protected]?I69H80R<�����m���=�a6.16@?1?22Q.76H6=.a6.567383:;723:=.@?8i323.Q:6H6.U.>[email protected];:I6H6.567383:;723:[email protected]?7610R3<.E�� � ���n�70����o ���n�R?7613.a?.20/[email protected]��q����.R?7610R3.86/@rQ/;@022Q.R07?R073523C./0105<7_?=.a6g.86/@rQ/073./0105;.B8QR3R.R?7616R=.>IA1.86/B69532073./.020IA/;./RA>7;./[email protected]:6H6./[email protected]?9761;.86/@rQ/;@022QW<.h0IA.16B6R6H73.>6gA.>7@68?22QR.R61?IA.;[email protected]>;2:0.A.B8616@_373.RA8:;@073.201.:6_26Y.1AUY=.Q:A.@.>;:;B26>7A.;[email protected]=.a6.@?1;7Z.0g6.@A1.;[email protected].@3R6H3=.0g6.@[email protected].;R6@3<stuvwxyuz{tw|}{w~t��zu�|�z�[email protected];=.a6=wR0Y53.7@?81_?22Q=.g;1;UR6.26@?=./0B?8?53@i3.@3>26@6:.B6B?8?12Z69

Page 33: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ���������������� !�"#$�%���&'()*(���(�+)(**$��,&-�+$.&�/��&#*�0�12�%���&'()*������(�+)(**$3�42+2!5��6'7*8 �9�:#�&**&-���(�+)(*"3�%�1&�*(����&57!5����(�+)(**$3�$1(�#2%(�(.&�"�74��25��:3�74���:+�5:;�71#:�5:�.&��(��(5:3�74��%�&%2<(** ��=�)(3����&52!5���&#*���13�<��%���&'()*(���(�+)(**$�-&40*(3�7���52�%�.7�1��(�>�:#�&**(�?�2��+:!�'��:.*&;�/71�*@�/�+��-�%���&'()*&-���(�+)(*"��+*(�:#�&**(3�+�2�(�-&4*(3���(�"����*(�+7*�A��B�/�'$*(5��%�&1'7+��CDEDFDGHIJ��(+:�"���(�+)(**$@�$1<��+�:�%�$5:�%7�7'('"*:���(�:;3������*&�%7�7'('"*:�5:)�#�4� �K2+2!5��%���&'()*(���(�+)(**$@�:#*2 �"�+�:�%�$5:�%7�7'('"*:���(�:;�:�*(�%7�7'('"*:�5:)�#�4� �LMNOPOQQR SMTUVWXTOVYXZ[,:+�#2%���&�*�����\�&0%2#�&5�3�<��]��_3���_3�7'(�]�a�����+:�]�b��c�d�=��&57'&� ��(�+)(**$3�$1(�%���&�:.&�"�71#:�5:�%70�7'('"*�#�:@�.(�(/���.12�e�*7�%'�<&*:�%��-�+$�"�+�:��:/*:�%�$5:3�%7�7'('"*:���(0�:;��=�)(3�%���&'()*(���(�0+)(**$�-&4*(3���52�%�.7�01��(���(�+)(**$�>�:#�&**(����4���+�:�%�$5:3�%7�7'('"*:���(�:;3�%7�7'('"*:��+*7��+0*:;��f�����+� ,&-�+&5��/��&#*��12�*�0�������(�+)(**$@�*(-7;�%�$05:�g��7�3�$1:�%7�7'('"*:���(0�:;�%�$5:;�_3�*(�%7�7'('"*:�5:)�#�4� ����+:���*&�%(�(0�&*7 �"#$���+($1:;���.8:�e��=��&57'&3�<��.(�(/���.12�%��-�+$�"�+�:��:/*:�%�$5:3�%7�7'('"*:���(�:;���(�#2%(0�(.&�"�71#:�5:�%7�7'('"*�#0�:��\�&;h'&�+��%���&�:..$��=#�7**!���(�+)(**$�>�-&40*(��=�)(3�%�.7�1��(���(�0+)(**$�>�:#�&**(��7�(57�&.*2�/7+7.2���7)7 �"���/�i$/7*� 3�$1<�@�jA�/7%&0#7*���:+%��:+"�2��&�'$+:�.&#'73��&�7/23��17/7*��7'���&�5�%�420+��&��&#2*173�1�'&�8(�/7+7.7�*7��4.&#'(**$3�%�42+��2�.&�+�#':0+)(**$k�lA�%:+��(�+)(*��#m��52'"��7*(���/7+7.:���(�+)(**$3�1�'&�8(�/7+7.7�*7�+��(+(**$���(��+��:+�#2%���&�*����*7/&�7 �"�nopqrsts�5(��+�5���/�i$/2�7**$�57�(57�&.*&-�/7+7.�B�/�'$*(5��+($1:�:*h:�5(��+&���/�i$/2�7**$��(�5(��&.*&-�/7+7.3�$1:�%�+:'$ �"�*7��&+&�/7��&1��&#�7**$5�57�(57�&.*�0���7%7�7�2�

Page 34: 10 geom bi_u

����������������� �������������������������� !"#$%&'�()*&�)+,-.+/, ##.&+ * "01234526789:2;<;86:;=>?@A;B8C9D:D?E1<1DF:G=H<:IA9<H=9E9:63;>6:E;J9D:?E;I;DKLM:N1<?=73;CC5:E?JGE6:2;<;8H:2;:<1I1D1>17:A9G6CJ;:O6:@H=PQ1GEH:39I;<JH3RMSM:T3?<?CC5:I12C;8?CP:Q6J;C9U:3?=989C:;@1:E9UF:5JH:IA931V<5EP:<1:Q6J;C9U:OC;W8;GEHQ?:=HE?A;D9:=;E9CGPJ1>1:;=X;3HE6RM�M:YJ=;<;CC5:AH3C5CC5:;@1:G9GE?D9:AH3C5CPF:39J1A9GE136V789:33?<?CH:I12C;8?CC5:E;:3H<1DH:>?1D?EA98CH:GIH33H<C1Q?CC5:DHZ:Q6J;C9D9:H:<;C9D9:3?=989C;D9M[M:012345263;CC5:GJ=;<?C1>1:AH3C5CC5:;@1:G9GE?D9:AH3C5CPM:\13?AC?CC5:<1:33?<?C9U:I12C;8?CP:H:392C;8?CC5:Q6J;C9U:>?1VD?EA98C9U:3?=989CM:];:I1EA?@9F:39J1C;CC5:<1G=H<Z?CC5:2C;WV<?C9U:A123452JH3M�M:];I9G63;CC5:3H<I13H<HM:T;D:<131<9=1G5:C?1<C1A;2131:A12345263;E9:>?1D?EA98CH:2;V<;8H:;=>?@A;B8C9D9:D?E1<;D9M:];<;8HF:6:5J9U:2;<;C1:2;=?ZVCHGEP:DHZ:<31D;:39DHA;D9F:231<5EPG5:<1:A12345263;CC5:AH3C5CVC5M:;IA9J=;<F:1<C;:2H:GE1AHC:I;A;=?=1>A;D;:C;:�:GD:<13Q;:2;:HCQ6F:;:I?A9D?EA:_:�:GDM:\1EAH@C1:2C;WE9:<13Z9C9:GE1AHC:I;VA;=?=1>A;D;M:a1<HF:63H3Q9:2DHCC6:�:5J:<13Z9C6:GE1A1C9:bP1>1:I;A;=?=1>A;D;F:D;cD1:<13Z9C6:<A6>1B:GE1A1C9:O��d��RM:TA;U1V36789:12C;8?CC5:I?A9D?EA;:I;A;=?=1>A;D;:E;:3H<1D?:W1>1:2C;V8?CC5F:1EA9D6cD1:AH3C5CC5K:Oe:f:e:_:�R:g:S:h:�M;3?<?D1:i?:IA9J=;<9:A12345263;CC5:2;<;8:;=>?@A;B8C9D:D?E1<1DMj * " &kl\?A9D?EA:IA5D1J6EC1>1:EA9J6EC9VJ;:<1AH3C7c:�m:GDM:nHI1E?C62;:3H<VC1G9EPG5:<1:J;E?E;:5J:�:K:�M:]C;W<HEP:GE1A1C9:EA9J6EC9J;Mo;C1Kpqrs:Otr:h:uvRw:xp:h:�m:GDw:qs:K:qr:h:�:K:�M]C;WE9K:yzF:y{:H�z{M|}~���~���� �}������������:\12C;89D1:J1?XHVbHcCE:IA1I1AbHWC1GEH:8?A?2:���a1<H:qs:h:��F:;:qr:h:��M:qsS:h:qrS:f:srSF:S��S:h:u�S:f:srSF: xp:h:�m:GD:_:c<9C9W:=HCHWVC9W:39DHAF:2:5J9D:I13452;CH:GE1A1C9:EA9J6EC9J;M:M:

Page 35: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ��������������� �!����"�#$�%�&��'�&��'��� �()*�+!�'��!�'�,!�%��� �-.!�%��� �!�%���&��%�+�/���%�-+��01" �&��%���/���%�2��01" ���%�,�/���%�-.��01"�345678459:�-+�01 �2�01�;�-.�01� �<=(>� �?@;A0B&��%�+! �&��%��!��#$�%�&��'�&��'�����CB?D(EBFB�0F*G*DH�3I�1*JD(�?(�F<*�G<1*K�L;M(N*G(O�&�.�%�&�.�'���. �?@;AP0B� ������� ���%�,!���<F*A�G*?@QR?H@(DDR�S�TUVWXYTZ[\] �*0_;a_B�@B_*PGB0F*@HbFa0R�1(F<1(FBED(�1*PA<a�S�G;@DRDDR�+!�'��!�'�,!�%�%c���defegehij��k(G(<*NG(1;�A;(N*D(;�A*G;@DKPKFa�-��01�;�.��01���<Dl(�?�DB=�k<GPk<DAB_HRGD(�A*�>*N*�0F*G*DB���D(>PA;Fa�k*mH�na*N*�k(G(<*NG(1(�o(D*O&��pqrqk(G(<*NG(1s�t&���t� �&��u��ps�&��v�&� �&��v��p �&��%�-��01 ��p�%�%c.��01��D(>FBO�w&��p�xyz{|}z~��} �y����~����~���<=(>�&��p�S�?(A(DB>�k(G(<*NG(1 � H� R_*1H�&�qv��pq;�&��v�&��L*?D(EB1*�0F*G*DB�k(PG(<*NG(1(O�&�q%�� ���q%�����*A;�1(bP1*�G;@DRDDRO.��.�'��."�%�-�.�'�.�. ?@;A0B� ��.�'��.�%��.���(�F<*G<1*K�L;M(N*G(�?�$�&���t&�%�2��"O� L;A�E(0�G*?@QR?H@(DDR�n;b��?(A(E;�0k*E(F_H�@B)BG(b1*�M*G1HH�AR�*)EB0<DDR�k*Pm;�k(G(<*NG(1(�w&��p�%���/��� �A<�Tqrq*0D*P@(�k(G(<*NG(1( ����S�@B0*PF( �kG*@<A<D(�A*�D<���&��v�&� �F*1H�&�qb�@B0*F*K�k(G(<*PNG(1( �kG*@<A<D*K�A*�0F*G*DB�&�q()*��p �A*@JBDB�R_B=�D<P@;A*1;��F*G*DB�k(G(<*NG(P1(�k*@QR?(D;�?�>*N*�A;(N*D(RP1B�M*G1H*K� �o*@JBDB�0F*G;D�k(G(<P*NG(1(�b�D<@;A*1B1B �F*1H

Page 36: 10 geom bi_u

����������������� ������������������������������ ����!�"#$"#�%&'%#(�)����*+�� �,�!�&$#�,��-�)�� �*+�./01&2&'%#�343"5%6�789:;<;=(�� �)����,��-�>,��-�)�?� ���@�A�A��B+!��)�� ���!�)�� ��+!�>)�C�D?!�)� �+.E���F� ����G���� � H+�3%�G�*+�3%� �I+�3%�.�J�K���L��I+�3%�.� #M5942;#!�N#"78$;#�301&3"4�343"5%6�789;<;=.�O2;5�P�789:;<;=�%#Q;&�#"74%&"4�P&�94:R590&P&;#S� T#7%61#S!� &�276U5!�97&V#96SM4�N57N5;24:061<7;83"=�28&U#;&18�N&7&15:1#U7&%&!�%&'%#�N7<%#06";4W�"7406";40�P�29#%&�;5982#%4:%4�3"#7#;&%4!�<08�'�W#U#�3"#:7#;&%4.�X&69&Q4%#!�R#!�$576M4�2#�69&U4�94%#U6�P&2&M8!�%#Q;&�;5�Y60&"4�#$4298�3"#7#;4�N&:7&151#U7&%&!�&�14Y5!�;&N74:01&2!�3"#7#;6�ZJ.[\] _abc`d0R#�6%#9&�P&2&M8�%83"4"=�2&;8!�P�<04V�15U0#�P;&W"4�N1#R6�#2;4%�P8�3N#3#$89!�#2;&0!�940#743"#96SM4�8;Y4W�3N#38$�21<�982Y60&;;<�N1#R8�e8'f�3&%#f�T8U674!�%&'%#�#24;�P�18;8W;4V�94:%8789�;5982#%4W!�"#!�N74789;SSM4�N1#R8!�#"74%6S"=�789;<;;<�P�#2;4%�;5982#%4%.gh_hihjk/"#7#;4�"7406";40&�2#789;SS"=�*��3%!�*l�3%�8�*B�3%.�O$M4318"=�943#"6!�N7#9525;6�2#�3"#7#;4!�<0&�%&'�2#9Q4;6�*l�3%.mnopqrosttr unvwxysvzx{s|}~5V&W��!��!�����3"#7#;4�25<0#U#�����!�N74M#%6��� � H*��3%!��� �*l�3%!��� �*B�3%.�������8�����������A�943#"&!�N7#9525;&�2#�35752�;=#f�3"#:7#;4.X&�T#7%61#S��57#;&(&�P&�8;Y#S�T#7%61#S( �&SM4�"74�3"#7#;4�"74:06";40&��!��!��!�%#Q;&�P;&W"4�W#U#�N1#R6�P&�T#7%61#S��5:7#;&(� !25� .X�8;Y#f�$#06!�N1#R6�"74:06";40&�%#Q;&�P;&W"4�P&�T#7%61&%4(��25����A�943#"&!�N7#9525;&�2#

Page 37: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ��������������� !�"�#$�%��& #$�%�'��������()*+,-)*./0'����� )12��345467���897:794�;�<71=5837��34546>�357?>367?8�@�4357�837�5@<6;66;A� �>�;?4�>�6B<@�C4�7��=>CB�#D��EFG-FHIJ, �K4�L4M80N@C�M8��54O<P;O><866;�O8C8M@�Q�<7?4157�34<><894�;�89RB=582M6B�5@<6;66; �4C68?�=@9S:��>33T<7��>�54O<P;O><866@�O8C8M@�T��@5?><866;�N54�N94K>�U@R>57 �34�>�381?7V��B34C�4357�8<�68O<>�JWX,*0+Y,Z/[\]\\_ab83B37�N5;�4?>364R4�357?>367?8�C415@<6cc3S������@�Q������68VC@3S�C4<d716>�=@�B?357�7�N5;�4R4�?>38�e864Afg(h��ij�%�klm�n�jo0p�=@�B?1357�8n�qj�%����� �rj�%�Q�����68V37A�jo/stuvwxuyzzx {t|}~�y|�~�y���BL8V�g(h�p�C867V�N5;�4?>367V�357?>367?��ij�%�klm� �>�;?4�>�qj�%�%����� �rj�%�Q����@�jo0p�=@1�B?357�8�N5;�4R4�?>38���<BCB�4�N4O68MB66;A�jo�%�����68VCB�4�N94K>�fg(h�C<4�8�5@O67�7��N41�4=8�7A�'�� ������n�����frqj�%��fqjo����frjon �94K>�fg(h��4d68�O68V137�O8�U45�>94c� �CB�F0@�$�p�C<8�?83B37���@�B?357�8�54OC@9798�fg(h�68�C<8�357?>367?7 �N94K@�;?7L�6B<@C4�@���L6@�N94K@��4d68�O68V�37�O8�U45�>94cA� CB�X0@�+0�0�345467�357?>3671?8 �8���p�?>3��@d�67�7 �34=34���%�&�m��

Page 38: 10 geom bi_u

����������������� ��������������������������� !"#$%� &�' ��(')*�!���� !%)*+,-���. �/)�� �0%1*%� �)$�2�3���4�� �)$�� � �5)6�786��9:;<=�>�9:<=?�@�9:;=?A�'�1�)+6*��)'�=?�#�!+ �/%$%"A�*%�%*��$'#$%��� !B!!B�C�%/!�$�!+ �/%$�$�DEFGHIJEKFGLMJN%1�C')*%)% O '*��$+*%/� +6*%�� �/%��%C PBCO '!!B�C'/'(�A�&%*��1!%� �6%!'*��*'6��/�Q-R���+�+ +)*��C'/'(O�!'�$% O� +6*%�� A�*%1*%��%CS7B!O*��/+B6��/'!�� �C'/'(�� �/��C6��B6� +6*%���*'�)67')*�� +6*%�!O��� !�)*8�T��./�,)!�*��&+�+* %�+!!B�/7B� +6*%�!%Q��� !%)*�A�6%��)*OU"(�)B� �/&% �/!�$�� 7')*� %)*B$��/�,�!'/� +6*%�'$��*'� �/%U$�$�� +6*%�!�$���� !%)*B$������% +�!O*�)B� �/� +6*%�!%Q�$% ��/%�S+%$+*��(!%Q��V��.'&�)'*�� �/&% �/8��W+*%/� +6*%�� �!',(')*�X+� �6%��)*% O#*8)B�&�/�(')��%C� PBUCO '!!B�C'/'(A�O�B6�Y� �$'S'#*8)B�/% +)*�-�&'�'7+78!�)*8�&�BU$�Y�Z �/��C6� [A�&%/�7� �/��C6'� �&+ !%$O� �/!%X+!!�\�]%�*���*%(6��7+ '*8�!'�%/!�,�&�B$�,\�]%�/'!�,�(%*���6O*!�6�_�&'U�'7+7%S�'$�Z�%$1A�&�B$%6O*!�6A�6 '/�'*A�*�'&+�B[����%�7"U)*�O#$%�)O*8�8%S%�$+*%/O�!'�&��67'/���%C PBCO '!!B�C'/'(��abHbcbIdef% +/�*8A�]%�)+�+/�!��)*%��!�1O/8UB6%S%�%&O67%S%�(%*���6O*!�6'�#� +�X�!'$��&'�'7+7%S�'$'�f'!%-;<=g�h�(%*���6O*!�6\�?�i�;<A�;?�>�?<\�j�i�<=A�<j�>�j=\�k�i�=gA�=k�>�kg\�l�i�;gA�;l�>�lg�f% +)*�-�?jkl�_�&'�'7+7%S�'$�

Page 39: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� ! "�#$%&'#�%(')*+��,-.-/-0-12�340456�74�12/6�/-892.:/;�341:7</=<�/:0>.:38<�/-892.41<?� ;� ;� ;�;� ;� ;� ;� ;� �@��82.<A94B12AC�D.4/<E21�9.<8697<84�0EC�0204/477C�/-8>92.:/?� ;� ��F.4G2/6H5<;�I2� �JK�L�A-.-0<74�MNO�:� �JP�L�A-.-0<74�NQO;�29.<16B12�.:/7:A9R?� �S9T-;� ���74E2U:572� ��V���216� ���2W92�/-8>92.<�207482/2�74D.C1E-7:;�E->T49R�74�D4.4E-ER7<G�D.C1<G�:�14H9R�207482/6�02/T<76���-�02/20<9R;�I2�KPXY�L�D4.4E->E2U.41��Z��/��0� ,-.-/:/=<�340456�74�12/6�/-892.:/;�29.<16B>12�/<12U6�34045:?�02/-A9<�.:/7:A9R�/-892.:/� �:� ��82.<A94/=<AC� D.4/<>E21�9.<8697<84�0EC�374>G20T-77C�A61<�/-892.:/;�14B12?� ;�S0748� ;�;�9216� ���74E2U:572� 29.<16B>12;�I2� ��S9T-;� ;�I2�[�/<14U4E2AC�02/-A9<��\] _ab__cdefg23/hC36H5<�340456�822.0<7497<1�1-92021;�AE:0�/<82749<�948:�0:i?+���4D<A49<�U-21-9.<576�340456�12/2H�822.0<749��@��,-.-9/2.<9<�/<.43�5<�2W5<AE<9<�[2U2�3745-77C�V��,-.-/-A9<�374[0-7<[�.-36ER949�74�12/6�U-21-9.:i�����4D<A49<�/:0D2/:0R���-92021�822.0<749�74[54A9:=-�.23/hC36H9R�34045:?�L�74�/:0=68477C�U-21-9.<57<G�1:AjR�92528k�L�74�02/-0-77C�34E-T72A9-[�1:T�E:7:[7<1<�-E-1-7941<�U-21-9.<57<G�l:U6.�

Page 40: 10 geom bi_u

����������������� ��������������������������� !"#$�%&%" $'()�&�'$*��+,&#-%).$/�)+01-�$+%20�-%34-�$�#1+%)#$5#5)(' $*��+&#-%)6$&%- $708 + $530&$+��'05)#)#$�0&-�5-�$�5(9$*��+&#-%)$)%*.$:�1$�*-%91034;($*��+&#-%)$/�,)+01-#<$)�"�*$&�+0�-!�%3�$- 3!.$%$)%*�=$�&-�' $0$)�' $5%'�' $"#5,3 >$?%/+#*3%&.$*��+&#-%)#$�(+;#-$/+�'�* )-#*%$@ABC$'�=-%$�#1+%)#$)%*.$�*$-%$+#5 -* $�>DE6$ .$ .$ .$ >F+�03!5)+ G'�$5 )4$'()�& $-%$/+#*3%&0>HIJIKILMNO��(&0)4.$:�$*�3#$�$/%+%3(3�$8+%'%$&0%8�-%30$+0�-0.$)�$�0-$/+�'�* ),-#*> PQRSTSUUV���'05)#'�$/%+%3(3�8+%'$ $5#5)('0$*��+&#-%)$)%*.$:�1$9�8�$�(+;#-#$'%3#$*��+&#-%)#6$ .$ .$ .$.$/+#"�' $W$X$Y.$Z$[$Y.$\$X$Y>$]%$ '���!$@ �_�AC>$#,+%�#'�$�0&5)%-0$'0=$)�"*%'#$a�0$.$b�0$C$"(+(�$c<-0$*��+&#,-%)#6 .� �d�&0$ .$%1�.$��0&5#$ >$e5*034*#$ .$)�$ .$%$2($��-%"%G.$:�$)�"*%$ $3(,=#)4$-%$�50$fg>$d�' $* )$A@C$/+�'#9>$]�0&5#$�#/3#�%G.$:�$/%+%3(3�8+%'$@ABC�h�/+�'�* )-#*>ijklJLmjlnjkopKqprLsjojktlojquv�'()�&$/���+�) .$'()�&$5#'()+0c.$'()�&$/%+%3(34-�8�$/(+(-(5(--�.$'()�&$8�'�)()0c>$������� !"#$�%&%"0$'()�&�'$8(�'()+#"-#<$/(+()��+(-4.$+��83�&%!)4$/�+�&$�$&%-#'#$708 +%'#$-��0$708 +#.$�*0$�)+#,'%3#$�$&%-#<$�%$&�/�'�8�!$/(�-�8�$/(+()��+(--�>$]��5�� !)4$�3%5)#��5)0$-��#<$708 +.$/(+(-�5�)4$20$�3%5)#��5)0$-%$&%-0$70,8 +#.$%$&%30$w$�-%<�&�)4$5/�501$+������ �%--�$�%&%"0>$x%= )4.$:�$�%&%"0.$�*0$+������%-0$'()�&�'$�(*)�+0�.$'()�,&�'$*��+&#-%).$'()�&�'$8(�'()+#"-#<$/(+('0:(-4.$'()�&�'$/3�:$)%$0-;#'#$'()�&%'#.$ $�*#<$�#*�+#5)�� G)45�$1034;($�3%5)#��5)(9$8(�'()+#"-#<$708 +.$+������%-0$y �� ��������� ������ �#5>$�>DE

Page 41: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� �������������� !"#$!%"�&'"'(!()*"'$'�+,-.�/)"01234��5�6$7�6%)")82'�+,�9�:�6$���2';/0%<�/)1=#2>�02?)@�6%)")2#�&'"'(!()*"'$'��A#B!"0%<�"012C22C7�CD!�4�$)/!((3�/'2)@�E'/'F0��G�H�I�:�9��5J AG�KH�I�:�9��5J LG��H�I�:�9�M5�NG��H�I�:�9��5J �G�OH�I�:G�P���9��5J������� !"#$!%"�&'"'(!()*"'$'�E0�6%)")2'$#�QR6$�0�S�6$�/)8"01234�:5�6$���2';/0%<�6%)")2#�&'"'(!()*"'$'���/!2%#T0D>;%!�D)=20;�>$)10�'(*!B"'@F2!�"012C22C7�CD!�$)=!�B>%#�$)/!((3�>%1)"!2)@�E'/'F0��G�U�V�S�9���V�KJ MG�OH�I�K�I�HG�P���9�:5J �NG�U�W�S�2'�K�6$J �G�OH�X���I�HG�P���9�:5J NAG�U�W�S�>���"'E#J KG�OH�I�KHG�P���9�:5J A�G�U�Y�S�2'���6$J �G�O�H�I�KHG�P���9�:5J ��LG�U�Y�S�>�K�"'E#� :G�OH�I��HG�P���9�:5� L����Z����!2%"'(<2#;�D>%�)&#"'4%<6C�2'�[)"/>7�CD'�6%C*>4�/>*>�M55����2';/0%<�D>%#�%"#D>%2#D'7�>%1)"!2)*)�6%)")2'$#�\!2%8"'(<2)*)�D>%'�;�[)"/)3���D'=0%<�"#6>2)D7�CD#;�4�$)/!((3�E'8/'F0��R R R�G�� � � � � NG�� � � � �AG�� � � � � �G���]�����D)(0�E�\!2%")$�R&")1!/!2)�/0'$!%"#�_ R0�-.�O"#6��M�KaG��b>%�_ c�>�Md�"'E01�$!2?#;�E'�6>$>�02?#[�%"<)[�D>%017�e)�>%1)"#(#6C���2';/0%<�1&#6'2#;�D>%�_ cf��G��5�J NG��5�J AG�M5�J �G�g5�J LG�Ma5�����h����2';/0%<�D'%!%7�&"#(!*(#;�/)�D>%'�1�a5�7�&"C$)D>%2)*)�%"#D>%2#D'7�*0&)%!2>E'�CD)*)�/)8"01234�M5�6$��G� �6$J NG�:�6$J AG� �6$J �G� �6$J LG� �6$����i�����"012)B!/"!2)$>�%"#D>%2#D>�_ cR/)�)62)1#�+-R&")81!/!2)�1#6)%>�,j��A0/)$)7�e)�kl+,-R9�Mg�6$7�kl+,jR9�M��6$�0�+,�V�+-�9�:�V�g���2';/0%<�10/2)?!22C�1#6)%#�"012)B!/"!2)*)�%"#8D>%2#D'�,j�/)�;)*)�)62)1#�+-f m#6��M�Ka

Page 42: 10 geom bi_u

����������������� ������������������������ ���� ���� ��� !��"#$%&'$�(�)*+,-./012./�3*24"�5"�6�7�89:;-1:<=�+.-;-�8-*9>1?@�5��4,7�)-A1:BC1-�0-B.2�D7�E7�F�9�G�H�4C*C8212�I-;-�40-*91"��2JKC*90=�;C-,C0*2B19�0>C*8LC11+7�+.9�)-0*9K19�8<+�A1:M-8LC11+�)C*2,C0*:�B-02*2./012.:�DEFG�5��NA1:BC11+�)*+,-./012.:�O��><:402>-409�)*+,-./012.:����><:402>-409�)*+,-./01-;-�0*2./012.:����-A1:BC11+�0*2./012.:�P��-A1:BC11+�4C*C81=-Q�<919Q�0*2./012.:�R��><:402>-409�4C*C81=-Q�<919Q�0*2./012.:�6��-A1:.2�):*:<C<=1-409�)*+,2M"���57�O7���9�6����O7��7�P�9�6����O7�P�9�R� ���7�P�9�R�!���7�R�9�6"S24"�5"�6 S24"�5"�T#$%%''$�U1:I890=�*:89/4�.-<:7�-)24:1-;-�1:>.-<-�)*:>2<=1-;-�0*2./012.:�A9�40-*-1-?�O��4,"��� �4,� ���5O�4,� !�� �4,"��� �4,� �� �4,�#$%V''$�NKB24<90=�)<-W/�):*:<C<-;*:,:7�8>9�40-*-12�+.-;-�8-*9>1??0=�X�4,�9� �4,7�:�./0�,9L�12,2�Y��P'"��� �4,O� ����P�4,O� !�� �4,O"��� �4,O� ��OO7P�4,O�#$%Z''$��2KC*90=�0*2�)-4<98->1-409�)*:>2<=1-;-�A1:M-8LC11+�)<-W9�*9>1-K9B1-Q�0*:)C[9Q�\] _�3*24"�5"�T�"�5���2.-*240:11+�:.49-,2�>2,9*?>:11+�>98*9A.9>�O��A1:M-8LC11+�40-*91�/0>-*C1-;-�0*2./012.:����8->C8C11+�*9>1-409�8>-M�/0>-*C12M�0*2./012.9>����/40:1-><C11+�>28/�B-02*2./012.:�P��>2.-*240:11+�><:402>-40CI�B-02*2./012.:�] GF"���57��7�P7�O�9��� ���P7��7��7�5�9�O� !���7�P7�O7���9�5"���O7��7��7�P�9�5� ���7�O7��7�P�9�5�

Page 43: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������� !"#$%�& "#'(�)*+( �,-,�'�&,./�0,1 2�304,�"# -,� 51#�&,./ �",&#)�66$%�7�(.�#�8�(.���9��28�(.: ;9�<27�(.: =9�>2��(.: �9�?28�(.: @9�?2>�(.������A����$&+0'$�+0'�BCDE*&,)F"F�,�* & 1F1%�,�GH�)#"&#5I,0�JKELJ�M�BC2�K�M�CD9���� !"#$%�($,&,�'�GNE$&+0'$�+0 �BCD2�0,1+�)#",.,2�4,�JK�O���(.2�JC�O�7�(.2�BD�O�?P�(.�����QA��=+(,$+�* & 1F1,-& . �",&#)�66$%�8�(.�#�?>�(.2� �0'$�.#R��+.+�S�7P����� !"#$%�*1,4'�* & 1F1,-& . �����TA��U $F$�*&3.,0'$�,-,�$&+0'$�+0 �",&#)�6V�7�(.2� �.F5"# � 2�*&,)F"F� �",��%,-,2�S�W�(.���� !"#$%�-#*,$F�'I'�$&+0'$5�+0 ����XA�YZ"+��I�0 $F$#)�*&3.,0'$�,-,�$&+0'$�+0 �",&#)�6V�<P�(.2� �& "#'(�,*+( �,-,�� )0,1,��%,-,�0,1 �S�?[�(.��Z/\+(1#$%�*1,4'�" �,-,�$&+0'$�+0 ����]AA��$,&,�+�$&+0'$�+0 �",&#)�66$%�>�(.2�>W�(.�#�7�(.���� !"#$%�",)R+�'�)+(,$+�$&+0'$�+0 2�*&,)F"F�,_�",�� !.F�5`,_�($,&,�+����aAA���� !"#$%�*1,4'�*&3.,0'$�,-,�$&+0'$�+0 2�304,�/#5(F0$&+( �-,($&,-,�0'$ �"#1+$%�*&,$+1FR�+!�0 $F$�� �)#"&#I0+�I )",)R0+�>��(.�#�W?�(.����bAA����$&+0'$�+0'�,"� �($,&,� �",&#)�6V�>��(.2�.F"# � 2�*&,)F"F� �",��F_2�S�?��(.2� �&#I�+c3�"),d�#� +d�($,&#��S�8�(.��Z/\+(1#$%�*F&+.F$&�$&+0'$�+0 �����AA����$&+0'$�+0'�")#�($,&,�+�#�.F"# � 2�*&,)F"F� �I�)F&5`+�+�0'$ 2�'$),&F�,-,��+.+2�)#"*,)#"�,�",&#)�66$%�?��(.2�>>�(.�#�?��(.��Z/\+(1#$%�*F&+.F$&�$&+0'$�+0 ����eAA����$&+0'$�+0'�GNHE*&,)F"F�,�.F"# �+EGG?2�NN?2�HH?fE@,)F"#$%2�4,� ���e�AA��@,)F"#$%2�4,�(F&F"+�+�($,&#��&#)�,/F"&F�,_�$& *Fc#_�V�)F& +� .+�&,./ ��L=+0,&+($ !$F�&#I�#�.F$,"+�&,I)g3I') ��3�9��e�AA����0) "& $�)*+( �,�0,1,�& "#'( �h��@,)F"#$%2�4,�('. �0) "& $#)�)#"($ �F!�)#"�",)#1%�,_�$,\0+�0,1 �",�($,&#��0) "& $ �($ 1 �#�",&#)�6V�7h>��L=+0,&+($ !$F�&#I�#�.F$,"+�&,I)g3I') ��3�9ijkljmnopYS�,"� �I�� !" )�#+d�. 5$F. $+\�+d�� '0��)#"\F��3�*&,�*F& #�-F,.F$&+\�#�q 0$+�)#",/& RF�,�� �) )+51,�(%0+d�01+�,*+(�+d�$ /1+c3d2�V-+5*F$(%0+d�* *#&'( d�$ �#� +d�"RF&F1 d�LrsS����($��",����F�9��� I) �� '0+�tuvwxvyz{|}�~Y" )�%,5-&Fc%0,-,�*,d,"RF��3��=,� �(01 " V$%5

Page 44: 10 geom bi_u

������������ �� ������������������������� !���"#�$�%&'()�*���+�,-. ��/�#�%0'12'()�*3�4���+�,-5���667�8�����!4 9����3�4�#:�3�;���� ���4!�<=>?@A@B=CD=EDFBGHAF=I@7�JHAK@LBGHAF=IBMBNOPQRSTUUV-WTQXTYPZ[-V\-UO]\_-#���#�ab9������9�c4���������39�d�!e4#f���!"��#�4��g���#:�*e�!b"!�a������h��47�����7��7+7�c�3������i�j���9j��#����3�4�!���4����!"!�e��k#�����"��#��� ���3#����4#���e�!���#�4���#�4���!"!�:�������"�;���4���3#;����3�4�!j�!3!���"!j!��3!7�l������m�e��ab"�3�m����3�4�#��4����e��#��9�b9"���bj!�"�������� !��e"�n�#��bop3#�7�q��#j�!���br�9�49�����9�����j���b9"���9;��3�"�7���������39����3�4�!j�#��"��4!���4#��!���!"!������e�� 4!ja�!3!��e��4���;����3!f�e�k9 �3��� ���3#����4�if��! ��!�a4����3�����#�9f�4�b4���3e#�!j��7sAtu@LBGHAF=I-,-vQPX]wOUUV-WTQXTYPZ[-]-xYP]\Y]PU]-xyxYTX]_-8�hzz��47�����7��7����3�4�#��b9"��%e���������)���d�!e49���g���#m7�{#��j���������e��#��9����3�4�!�e���m��"!������!a�4�3�4!���#pm��� �e!j��!��#����!�������f���4����"m��"!���o�� !�3#;����3�4�!j�!3!�|� 4�3!f��!��b"�"!�e�!i�3!���a������7�8�����!4� �3�4�3�4! !f��� ��3�����3�4�#:f�9���i�e�a�#������j�!i������ ����b!"!�{#|����f�{"�4��f�}�#�4�4�"�f�~�a"��f�}�� �!���f���3� �#4f��� "#�7�8� �!�#�%��j�"�)��� "#����|��39"�������e���44��e���|#�9�9f�e������3�4�!j�#�4����;��a���4��e������������7�����p�� 49�"���m�#������k!����#�7��AH?FLBGHAF=IBMBRQ�QwUTUUV-WTQXTYPZ[-UQwX -XTYQROX _-���e�j!��p4������i�e��#���9�e��k#i�e�"��!�#��hzz��47�~���a�9�� !i�9j��!i�������� ��4�9�#��3�4��� ����!��47����b9"����a"! !3�����������3f�4�#93|�3f�� !i��93#��e��o���4!�4�!���9 !$����3�4�#mf��"��b�9�#�3�4�3�4!j�!i����"#�7�! ��!�4�����3�a4��#���!����9 �9����3�4�#:���"���3��9��4���!4!����#���9 !f�� #�b9"!�4#����e��o����#����� "#����m����3�4�#pm7���������"#4!j������3�4�#�f���e#��#k�����!|�����#�"�������3�4�#�f�e��� 4!�������3�4�#�f����!�������3�4�#�7��� !3�j!��3f��� "#��������3�4a�#��e#���"�������� #�������!i��49e#���e��#�������#��4������a���m����3�4�#pm7�8��#i�e�j�"!�����"���4!������j�������"��#k#�|#�9�!�4���! ��!�4��9��4!����944p������#k#�3�4��!7�H?EHA?@LBGHAF=IB,-xYwQPTUUV-UTTw\�ZRQwQ[-WTQXTYPZ[_-��ae�j�4 9����i�������#i�� !i�9j��!i��! �"��������!j�q�b�aj���� !i7�#��9���������#��e��k�����e��#��f�n��4�!����e������������ #�f��#� �!��3�;"!���4#��"���4������������ "#���!�����3�4�#i7��!3�b9"��e�b9�����������#3�����f����� "#��������a3�4�#�f�� 9�4�e������!��m4�����3�4�#pm�q�b�j���� ���7l��b"!�#�4���������e��#��9���#�4��#:����3�4�#:f����e�j�4�����7��7�q�b�j���� !3f�e�"���p���4�39f�n��e#�"��i�������3�4�#:�e�j�"!�����!��4!������#����3�4�!j�#�4���#:f����#�%���3�4�#:)�4���#�e��#��#�9����"���������3����e���3�4�����3�4�#:7�8���i�e��#����!�! "��e���44��e����#����!�!�e���4��9�*4��3#��%e��a

Page 45: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������� �!" #��$"%���&!'(�&$���)�&�*+!*,*�-*. /�#0�&1'2"(!'(��03"45!'(�6�*����/�"�&�+� ,*,*�7�"-���".�!'(�8$"�0$"�'2!'(�6�*3�����9��:+!���0*��;��.4"+"4'�<�1�0�0+'!��01.4�+*1'=�,0*$0���(/� �1',4<+��;;�*�*-4'1'=��*&+�4�1/�"�6�&!�>0�*��'$ 1"4'���"� ���"$*���(!*��������!>��7�6*+�-!*�,0*$0���;��*-"201�5.*,*/�11*3+'4'�&$�!'�".��*$������ .� � 1"4'�<�!"�*�!*1��#'=�&$�!/� &"3,"45!??2'��"�- + ?2'�!" . ��"$0��".�- 4*���1*�0!*�,0*$0���?�@�$"!"�A�0*�,�B��+��=�C0�!="�+�@�$"!�ADEF�7DE��9�7�!�$0#5.'(� 20!'(9��"�;;� &"3,"45!0!!<�ADEG�7DE��9/�<.��&!"(>4'�1"H4'10�&"��*� 1"!!<�1��0*��;�1�+!*�!*���/� �$0="!�#���"��!����>.�45!*$ �. ����$'�1'12"%$*�IJKLJMNOPQRSTUOVW��X03�0.4"1�.!'H. �8�"2"4"�� .�";!�5.'(�$"�0$"�'.��'="(4*�Y,*�*1'2�Z"[0!.*3�"="�20!.*�ADEFG7D\DF9� �DEE]��*#����"�*�!*1��#�%;�.!'H.'�!"6'�"!*�(�6'> �5�<���&!��6�+� 2!'.'�&�,0*$0���;���"6�'.4"+/�1'.4"+"!!<�,0*$0���;�1��"+<!�5.�(�>.*4��$"(H0�+*�D\EF��*. �&+�(�!?1"4*�<�&"�6�+� 2!'.*$��*3��(�5.*,*�60+",*,"3$"�0$"�'."����X��'�045*1"�ADEGF7D\�]9����D\E]3=��*."=�- 4*���1*�0!*�!*1'(�!"12"45!'(�6*��-!'./�!"36'�"!'(� .�";!�5.'$�$"�0$"�'.*$�:��Z��X*,*�%4*1'$/�<.'(���!'!��%�1�-�-4�*�0."=�&","45!**�1��!�=�!"12"45!'=�&".4"+�1�5*,*+!��,0*$0���<�%�-","�*10.�*�!*?����".*?/�[*�>1'+3.*��*&1'1"%�5�<�1���&!'=�� . 6!*��<=�$"�0$"�'2!'=��0*��(/�<.��1'12"?�5���&!��6�*��*�'��"�;=!��_�, �'���!"2!'(�1!0�*.� �,0*$0���?�&�*-'4'�(�!">��1��2'&!<!��,0*$0��')����Z��:���*3,�"+�5.'(/�:���������<-/����X��'�045*1/�:�����40.�"!+�*1/�������*4$*,*�*1/�:��Z��X*,*�%4*1��"��!�ab��.��_�, �'�!"�64*['!��%�*�!*1!'$'cdb��.��6*!<��<�%�*&!"2 1"!'$'/�"�<.��7�!0*&!"2 1"!'$'ceb�f*��".0�".��*$"g��0*�0$"chb��.��*�!*1!��14"��'1*����!"40H!*�����*2*.���6�<$'=cib��.'(�1�+��&*.�!"40H'�5�6�164*['!�cjb��.��*�!*1!��14"��'1*����1&"%$!*,*��*&$�[0!!<��*2*.�!"�6�<$�(g�64*['!�ckb��.��*�!*1!��14"��'1*����1'$��?1"!!<�1�+��&.�1g�. ��1clb��.��*�!*1!��14"��'1*����1�+.4"+"!!<�1�+��&.�1g�. ��1cmb��"&1��5�14"��'1���5�6"�"4045!'=�6�<$'=�anb��."���� .� �!"�6*- +*1"�64"!�$0���;caab���<.*$ �1'6"+. ���'��*2.'�64*['!'�- + �5��*&$�[0!��!"�*+!�(�6�<$�(cadb�f*��".0�*&!"20!!<c��"10+��5�6�'.4"+'�*&!"20!5�aeb��.0�$*H4'10��*&$�[0!!<���5*=��*2*.�!"�64*['!�c

Page 46: 10 geom bi_u

������������� ������������������������� �!"#$������%&%#����'��&��&�(��)%������*�+����� ����,�"���)"���-��������.�/0��&�&"���!"#$�*�1�������)"������ �!"#$��$)��-����'� &�"���%#����*�2�����)� %�$"� �$"#���!"#�$)��-����)"�'� &�"���%#��*�3�����(0 0(�"#�����%&%#��$"#������4*�5������0-)"#�6)"���0���/&����0%0��������*78������ %�$"� 0$"����9�(0"�,���(0��0%�*7���������0:0�)"��������� �!"#$���%0$����*77�������)"������ �!"#$�� ��$������ ��0%0*7;��������%&-��$"#���-� ��$�������<&�"��%#�����)"���*7���������="��<&�"���0%�.� ��$��0:0� �"���)"������0��$��0:0��� �0%0��#0:0*7+��������:�%#���>0��)%���0 ?��)!"#�$"0�0�)���� �%#�0:0�@A�)"���������(�)$0�� ��$��0:0��0%�*71��������:�%#���>0��)%���0 ?��)!"#�$"0�0�)���� �%#�0:0�@A�)"���������(�)$0��0��$��0:0��0%�*72������ %�$"� �$"#��&��&�(��)%���.���0 &(&�0:0�,&�&��$&�&A(��)�40�(���0%�*73��������%&-��$"#���-���"&"������:��0"&�)�0!� �����0�)"�0A�)�"���)"���)*75��B�� �"#� %�$"� �$"#��&(����"���)"����C;8��B�� �"#� %�$"� 0$"��6�$&�"��$���)"��"���)"����C;���������"��=�0!�&%&�&�"� �"���)"����.�$&�&(����4�0(���%�A��=��=.��0-���=0:0��0� ?���"�*;7������"&0�&���(0�0��:�!"#������0� ?��) �����"���)"����*;;����� ����,�"�� �(�,0"����)"����*;�������&�& ���"�.�/0�(���=�,0"����)"����9�����%&%0:���0�'�����0�)"���0�'��0�60�'�� �(��"0�'�"���&<�9!*;+������)�0 �� ����,�!"#��$�) �����"���)"����*;1��������0:0�)"�����9��� ����.��������0(�6����*;2������>0��)%���0-��� ��0��$"0 ) �"��(%�����40(-&�����%0/������%&%0:����'�����0�)"����'��0�6�'�� �(��"�'�"���&<�D*;3�������&"0(���0� ?��) �������(�,� �����9"&*;5������0� ?���"��:&0�&"��,�)���(�,)��%:&6��D,�����&"0(0�*EFGHIJKGELMNOPNQQRS�T�1SUNVWXSONYZNQW[SOZP\]OZP_SaSRb[cS\YNO[dXeQNSWZdXb[SfghiSNj]Sb]QbYWQNSbZdXbZkWX�Sl[jYZWXS\YNO[dXQmSOZP\]OZPX��n�So����,"&� &%�,�����)"� .�/0�)" 0��%�$�������&�&"����( 04������4.���/0�0(�������4�(0�� �!9�pqnC

Page 47: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� ������������������������ !��"�������������� #��������$"��������%���"����������"�� ���"�����$�����$�� &�'(�)*+,-.�/01234)��5*�6*3070�8)494�74+3*�5/4:0-0�;0134<;4)��=4�>/87,�?�,�@AB�>*/*CDC.3,�A A A A A A ��AA A A A A A A A A %�A A A !�AA A A A A A ��AA A A A A A A #�E�'(��>/874)2-30)2�FGHI�6,*943*C,�FHA,�GI��>D/D-03*JK01.�2�-4KL,�M��2-;4</JJ-.�NFOG�P����QR/01����ST����3*U6,-.�;DC0K032�NOGHV���"�� � !����� � #���S���%���"� ���"�� W�'(�3*U6,-.�>C4=2�);*6/*-*��3*;)4<C4�8)494�4>01*34�)4C4�/*6,21*�XV��� �17" !�� �17" #���X"�17"�%�� �17" ��� �17" Y�'(�3*U6,-.�>C4=2�-/*>DL,Z��1D/D638�C,3,8�8)4Z�64/,;3J[��"�17��*�;014-*�B���17��������17" �%�����17" �!��$��17" ����S��17" �#��\"�17"�]�'(:K01C,-.�>D/07D-/�/,;34:D6/D3494�-/0)2-30)*��8)=4�)4C4��;>01*3D�;�-/0)2-30)��-4K)4J�64-0)2�6,C0-.�U494�:,K32�1-4/432�3*�;,6/,5)0�5*;64;+)0���17�,�$�17��/*_2JK0�;,6�4134;0����"S�17 %��""�17 !��"��17 ���"\�17 #��"��17��'(�41-/0U�)2-�>/874)2-34Z�-/*>DL,Z�;�$�/*5,;�7D3a0U�;,6�ZZ�-2>494�)2-*���3*U6,-.�;DC0K032�-2>494�)2-*�����"b� � %���S$� � !������ � ����$b� � #����b��c01����ST

Page 48: 10 geom bi_u

������������� ������������������������� !��"�#$���%�$���&!�'(����')��*%�+&��!,�!��*�)!&!-���)#$�.��!"#�/��#�0�%�������1��(�&��1'�.2���.3%�#�0'�����1�%�4��32�5����1!�&���6.72�8�9:�;<&'=>�?>�@A>BA�?�C�DE FA�?�C�GE HA�?�C�I>JA�?�C�:E KA�?�C��EL����M!&'1!�&�#���&������&���*N� �=1>�F'-��)�!�&���$=�#�0�%��+'=���/�����#�0��#���&���>BA�I%D�=1E�FA�D�=1E� HA�I@�=1>JA���=1E KA�?@�=1EOP�������������&�-�'Q*�#$����R���S%�#�0'�����1�%�4��(�&���32�8�T%��!�T�5�&���$=�#�0�;<&'=>�?>�?A>BA�9@�E� FA�:@�E� HA�?I@�>JA��D�E KA��@�EOO����U���$=�#�0�%��+'=���/�����#�0��#���&���%���&���*N��=1>�VW)'=0����+!&'1!�&�#���&���>BA�9I�=1E JA� �=1E FA�?:�=1E KA�:��=1E HA� �=1>OX�������������+0�4$�-� �&'(�����Y�)�=�'�'�Z�/$&';<&'=>�?>�IA>BA�<I[�5�IA�=1IE� FA�<\�5�I[A�=1IE� HA�<��5�I[A�=1I>JA�<I�5�I[A�=1IE� KA�<I[�5�\A�=1IEO]����F'-��)�!�/&��$=�$�1�&$�#$���;<&'=>�?>�9A>BA�?I@�E� FA�GD�E� HA��D�>JA�:@�E KA�?@D�EU'=>�?>�? U'=>�?>�I U'=>�?>�9O_�����#�0�%�&���$=�"#�/����&���*N�?9�=1%�+&��!�!���(�&�$�-��,���a#'�I��=1>�������������=���������Q!��&��#�0���������Y�(�&�'>BA�?@�=1E� JA�?I�=1E� FA�?9�=1E� KA�D�=1E� HA�?�=1>Ob�������������+0�4$�+&"1�#$���/���&'#$��'#�%�/�+��!�$-��"#�/����&���*N�I@�=1%�����'��-�#��!����5�?:�=1>BA��:�=1IEJA�?I@�=1IE�FA�?:@�=1IEKA�?�I�=1IE�HA�I�@�=1I>U'=>�?>�@

Page 49: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������� �������������� !"#$%&'�($)*+�&,"-+&."-/0�12%�#&),)."�3-)4)�1),%25.66&'� �#7�%�8�#70�/�-+&�7%9�."7"�:�;�����<�;8�#7=>�?<�=;�#7=>�@<�AB�#7=>��<�C=�#7=>�D<� �#7=�EFGHIJKGELMNOPQRSTUVWOXPYXZZRW�[\]WOW_NNU_abWOXcadNbWeNYfWbT_fgPXZV�W�[h�W�./i1%&'�2%1#)&-)2j�2%1.)kj..3� %$'k)4)�%l�#+7%9."m�-+&%2�1)�7j.k)4)0�3-*)�#+7/�&,')m�-+&%20�+&2),j."m�(,"�(j,j5&".%�12)m�(,37"m0�1),%2.6n�=;�����h�W�./i1%&'�#+7+�12)m�4)#&,"m�-+&%20�+&2),j."m�(,"�(j,j&"5.%�12)m�(/,/$j$'."m�(,37"m�#%!.)60�3-*)�)1".�l�."m�+�o�,/l"� %$'k"i�l/�1,+4"i��ph�W��&)!-"�-)$/�(,)2j1j.)�12%�2l/n7.)�(j,(j.1"-+$3,.%�m),1"�l/21)29-"�8�#7�%�C��#7���./i1%&'�,/1%+#�-)$/�]qh�W��&)!-"�-)$/�(,)2j1j.)�12%�m),1"0�3-%�+&2),66&'�-+&�o�����./i1%&'�1)29".+�2%1,%l-/0�*)�#()$+!/n�rm.%�-%.s%0�3-*)�,/1%+#�-)$/�1),%2.6n���#7�]�h�Wt),1/�l/21)29-"�8�#7�2%11/$j./�2%1�sj.&,/�-)$/�./�;�#7���./i1%&'�1)29".+�-)$/�]]h�W&),)./�(,/2"$'.)4)�kj#&"-+&."-/�1),%2.6n� �#7���./i1%&'�,/1%+#�-)$/0�2("#/.)4)�2�kj#&"-+&."-�]uh�W?%!.%�#&),)."�&,/(js%r0�)("#/.)r�./2-)$)�-)$/0�2%1.)5#3&'#3�3-�v�w�A0�/�#j,j1.3�$%.%3�1),%2.6n�o=�#7���./i1%&'� %!.%�#&),)."�&,/(js%r�]xh�W��-)$)�,/1%+#/�;�#7�2("#/.)�&,/(js%60�1%/4)./$'�3-)r�n� %#j-&,"#)6�4)#&,)4)�-+&/�i�+&2),6n�l�7j.k)6�)#.)2)6�-+&�o�����./i1%&'�2"#)&+�&,/(js%r�]yh�W@%1)7)0�*)�12/�2%1,%l-"�z{�%�|}�(j,j&"./6&'#3�2�&)!s%�~0�(,"!)7+�z~���~}0��~����~0��}���=��#70��}���C;�#7��,"#��C�;;<���./i1%&'�(j,"7j&,�&,"-+&5."-/�z~|�]�h�W��&,"-+&."-+��|{������;��0������B��0������ �#7���./i1%&'�1)29".+�#&),)."��{��][h�WD%/4)./$%�,)7 /�2%1.)#3&'#3�3-���w�C=0�/�i)4)�($)*/�1)5,%2.6n�C=��#7=���./i1%&'�(j,"7j&,�,)7 /�] h�W@"#)&/�|}�&,"-+&."-/��|{�1%$"&'�i)4)�#&),).+��{�./�2%1,%l-"��}�%��}���./i1%&'�1)29".+�2%1,%l-/�{}0�3-*)�z�W�W �#70��������#70��z���B��� �"#��C�;;

Page 50: 10 geom bi_u

������������� ������������������������ !"#�$�%$&&�#'()*'#�#+��&,-#�./01&!1�$&&�-2#'(3324567894:;<=<894=6>8<?@A=@8<B<4;=CDE;8CD94A<=6>8FG4HI4:JK494>C:<;9K4<LEM@894894<:8<>EK4N4�O4:JP4QCR897;@4=9A6E:C4D6SK4>LC:98<B<4E4;=CDE;8CD4;94<LC:98<B<489>D<S<48T<B<P*U332456:@D;=C:94L=VJ<B<4DE;94A6SC;T4B6L<;@8ERE4894>6A=6RDC4E4>6A8<W@8864�4X4�HP4Y?7C:S6;T4L@=CJ@;=4;=CDE;8CD9K4VDM<4J@ZA6989K4L=<>@A@894A<4B6L<;@8ERCK4A<=6>8FG4HI4:JP4*[3324\>64:;<=<8C4;=CDE;8CD94A<=6>8FF;T4]4:J464�4:JK494J@A69Z89K4L=<>@A@894A<4;=@;T<4:;<=<8C4;=CDE;8CD9K4N4]K�4:JP4_89A6;T4DE;4;=CDE;8CD9K4<?J@a@8<B<4A98CJC4:;<=<89JCP*'3324\69B<89ST4=6>8<?678<4;=9L@b64A6SC;T4>C:<;EK4L=<>@A@Z8E4R4>@=WC8C4;EL<B<4DE;9K4894>6A=6RDC4R9>A<>aDC4��4:J464�H4:JK494?67894:;<=<894;=9L@b64A<=6>8FG44J@8W64<:8<>6P4_89A6;T4LS<ME4;=9L@b6P

Page 51: 10 geom bi_u
Page 52: 10 geom bi_u
Page 53: 10 geom bi_u

��������� �� ���������������������������� �!�"��#$$#��$%&%�'%$&!(��)*�!�'+��$%&%�'%$&!(,-�./0/123/45�6�7�898:�.;/<;=1>?�@�A;�BC6-C�D1/�03C4=20/4E=>�.;/<;=12FB2G�H>.61:�?-C�4-3CICJ=54?�K�I0/G�FC4=2BL�MNOPQRSTUVWQX�=C�YUTWTZSTUWQX9��3CB><;=1>[�@�1/KI>3�.;/<;=1>\:�6�?-/E<6�020FC[=5�03C4=20/4=>�H>.61�BC�D3/]2B>:�02�0 ;�020F2329� �</I63>�8�424=;<C=2K/0CB/�_�6KC.C35B;B/�HC-=2�>�03C4=20/4=>�I3?�=C-2G�H>.619��=;1;/<;=1>[�020FC[=5�6�4=C1 2G�-3C4CG9�a;�1/KI>3�.;/<;=�1>\:�6�?-/<6�020FC[=5�03C4=20/4=>�H>.61�6�D1/4=/E1>9��G;<C=2FB/�A;�02.3?ICJ�=C-L�

Page 54: 10 geom bi_u

����������������� �� ����������������������������������������������� !"#"$�#�%&%�'"��()%�&�������*+�,�&%�(-�� ��.(.'"/�0���.�)�1-��" �2�)"3(."/�0���4������5�����6�47�89���":��2���������+�;"��(�%) %�<+=�3�:�"2�)��#�� ��>��?�����.��@�&%�(A�>��"��#"-�>"�"!�!�>�>�#-� �)%�-�B(!�)#�+C(�+�<+=;"&"#"$��-�D�����% �%�"�!�&�')�*�>�:%#�.(�>!")������*��"$�.(&!�#AE� �!0 (��������������F�#�%&"�� !"#�."�&�������*-����.�)"�:%#%$�0����" ��"��+�G�� ��>�)�����$���������H�8I�����J�9��-���K�8578����L+�G!��)(M�@���%!//�0�����)�.)��.!"��(?.�����F�8�����N�"�#"!����3&!�#"/�0����)O���3)"'%.")��>�)������"�*M)��.!"��(.����+�P��3%��!�-�D��.���@�&%�(-�� ����3&!�#"!(���)"�>!�D()�-���2)"���3&!�#"�(�1�%�>�������+�Q��%���)�.)��@�&%�(�H>�)����L�>!")������*�F���' "���>���"�F�".���"�(')����"/�0���)�.)(�(�@�&%�"�(������������*+�E>(�%/�0���.�)(��" ��"��+�R�>�����?�����3&!�#"$�0���D���#)"���)�.)"�@�&%�"�F��ST��8+�U*���2)"�%�.(�(�� ��#�"!0)��&!"#�)0 %�>�.��M)/�#�O (-�>�.��M)/�"�? %O"�>">��%-�� ��>��#�.2�)��.�%��������)(�#��)�� �)'�))����+�V!�D()%���3%��/�0��" �2�� ��)�2()%���'� +;"�:"3����)�.)(M�>�)��0�.(3)"'"/�0����)O����)�.)���3)"?'%.")��>�)����A�.�#��")0���2���' "�(-�.�#��3� -�>����)0-���(? %�)( ����+�#+V���"�F�>�#�)�2()"���'� �>!�D()(-�.�#��3� �F�>�#�)�2(?)"���'� �>����*+�G�� "�>�#�)�2()"���'� �>!�D()(�$�>!�� (����( %�)( ��-�'��(�( %�)( ������+�#+-�"�#�� ��F�)�>!�� (�(�@�&%�"�(+�V�������� !"#"$�0���3�)�� �)'�))�*��)�2()(���'� +E�2�-�%������������*���)�.)(�(�@�&%�"�(�H>�)�����(L�$��59�8N��� �8����ST��8+�W��>�)�������K�8578����X�2)"�>�����?

Page 55: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������ !��"#�$���%&'�(�)�*%+�,��!�-�!���� �&.���,/�'+!����&$0�!����%$!&$�1.1.� �!*����2����3�!�4�� &�56�71���0���4 �%��!��8�+��95�#������!�:�4 �%��!��8'�;�!5.�<��!+���&$0��)�&��(�����=�"#�$���8'�!#����#>. �%���������#>���,�'+(�)�*%+�0#'*3���(/!#)>�8'�;�!�.����%�#��%&'�(�)�*%+�,�0�,'# #�8'�;�!6�8�+��9�#��� �&.����$��%#��&%#����8'�!#����#>�4(��.�?�7.75���@�*��#%A��#���%��/�������#>.��(!�&�8���A*��$�BCDEFGHGIJKGILMNOPLQRSGFITUVUGHWFXROY���&6��&%#�����7�$�8'�!#����#>�%����(-$)6�;��#%!$@�*��� &��8�,��(�!�@�8�+��@�ILGZ[U\JIF]G$�+&#:�'�/-��*�8�+��.����������&��$���,$�#!!#�A+��&/%#����,�%��%��$��'�%*�$�8��A�%#�8�0$(�����������#>�!��8'�;�/!#.���8���A+��&%#����%����(-$)��,���'#�#%!$��!!+��� �&6�+&#�!��'�-��*�!��(�!#:�8�+�#:�OGZUXRUFYG_�!�>�0�,8�%���(!*��!����8'���)6�;��#%!$@�*��� &��8�,��(�!�@�8�+��@�!��8'�;�!#6�$�+&#:�'�-��*�8�+��.���8����0$)��-��%8�A#�'*!����(���(�!!+.a���$'@��!!+�(�+&�9��&%#���8'�!#����#>�+&��&%#���%�����/����#>�8����0$@�*�$�� !�!!+.���%��%$)�*%+6�!�8��&'�(6��&%#/�����16�bc16�bcd6�c7.�e���(����A#�$�� !�!#�"���$'@��!!+.��1.���+��6�\UGIL[CfJRSGZ[U\JIF6���,0���)�A@�8'�;�!$�!��(�#�8#�8'�;�!�.bc1.�#(�0$(*/+&�>�8#�8�+��>�ILGZ[U\JIF]G\UGWFXRJRSGgg]�$�,�(�!$�8#�8'�;�!$���-!���#(&'�%���&$��#,�,�(�!�@����($%!�@��#��@6���!3�@�,��72hi6�#�(�������-��#'*&���(�!.bcd.�j&�:�0��!��0$�����&$�!�&6�#%!$)����&$�!�&6�;��(��#�/!@)�:��$�PGBLIFkGZ[U\JIF���,�(�!��$���,�#;�!!#��#(!�%!��(�/!�>�8#�8�+��>�PGlFkGZ[U\JIF.c7.�mLGZ[U\JIF� ���,��� &$6�;��!��'�-��*�!��(�!#:�8�+�#:6���-!��8����%���!��0#'*3��+&��(!$�8�+�$6�8���'�'*!$�(�!#:._��,$�#'�6�;���%&#'*&��,0#'*3�'�%+�&#'*&#%�*��%!��!�9�"#/�$�6����,n+��'�%+�!��#��&%#����8���>9!#��'�%����%�#o�7.pqrstutvwtuxystzy{|}vs~t��vx���t�{�r}~t|{tvsyw�s��t���tzy{�|}v�~t�t�{�r}~t�r�tvwtvsyw�s��t���4��%.�1.d6�s5.��%.�1.d��%.�1.1

Page 56: 10 geom bi_u

�������������� ���������������������������������������������������� ��������� �� �! "��#�"$���#������%��&�� ������� !��"������'�&���! ����"()*+,�(��-.(/0�-��������������� !�������� �� �! "��#�"$������ ���1����� ��� � ����2$��� �%��� �#�����3���#�"()*+,�(��-.(�0�45,6789(:(;59<=>(?9(@A.(B7(C=DEFG59(HI7B+?9(;A,E(H*7,@6*(?A(;+JA*H=>�(K(@7J5+(H*7,@7*=.(G56(LM(?A(?9IAN9@E�(45,6789(�(,@;A*DN=>.(B7(D;6(H*G86.(G56(HA*A@+?9O@E,G(=(H*7,@7*6.(<9;ND+(;+<?9J9O@E(>D+?=(HI7B+?=�(P(95,678+(-(;+HI+;9>.(B7(G5B7(D;6(*6<?6(HI7B+?+(89O@E(,H6IE?=(@7J5=.(@7(;7?+(89O@E(CA<I6J(,H6IE?+Q(@7J75.(G56(=@;7*OO@E(H*G8=.(B7(86,@+@E(RO(@7J5=�S6(@*+(95,678+(D7H7;?OO@E(HTG@E(U*=H(95,678(HI9?68A@*6L(6(*9<78(<(?+8+(=@;7*OO@E(95,6789@+5=(,@A*A78A@*6L�(45,678=(:(,@A*A78A@*6L(;6D?A,A87(D7(U*=H+(�������!�&����)H7<?9J+F87(V-0$�9(95,678+(�(6(-(W(D7(U*=H+(���������X�'���������);6DH7;6D?7(H7<?9J+87(VV-.(VVY0�(ZI7B+?+(H7<?9J9O@E,G(89I+8+(I6@A*98+(U*ARE57U7(9I[9;6@=(\.(].(.(���_(@7J5+(W(;AI+5+8+(I6@A*98+(I9@+?,E57U7(9I[9;6@=($�a$�b$����_(H*G86(W(89I+8+(I6@A*98+(I9@+?,E57U7(9I[9;6@=(c$�d$�e$�����9C7(D;789(;AI+5+8+(I6@A*98+(I9@+?,E57U7(9I[9;6@=(a$�bf$����(�gIG(57*7@5+Q(<9H+,6;(@;A*DNA?E(;+57*+,@7;=O@E(,+8;7I+(hij(W(?9IAN+@E.(hkj(W(?A(?9IAN+@E.(hlj(W(H6D8?7N+?9(@7B7�(m7*7@56(<9H+,+(;<9>8?7U7(*7<86BA??G(@7J75.(H*G8+Q(6(HI7FB+?n:�(o7J59(��?9IAN+@E(H*G86M(�()@7J59(�(IAN+@E(?9(H*G86M��$(H*G89(�(H*7Q7D+@E(JA*A<(@7J5=(�0�(Z7<?9JA??Gn((ip����(o7J59(��?A(?9IAN+@E(H*G86M(�()@7J59(�(?A(IAN+@E(?9(H*GF86M��$(H*G89(�(?A(H*7Q7D+@E(JA*A<(@7J5=(�0�(Z7<?9JA??Gn((kp��-�(o7J59(��?9IAN+@E(HI7B+?6(\()@7J59(�(IAN+@E(?9(HI7B+?6(\$(HI7B+?9(\(H*7Q7D+@E(JA*A<(@7J5=(�0�(Z7<?9JA??Gn((ip\�Y�(Z*G89(��?9IAN+@E(HI7B+?6(\()H*G89(�(IAN+@E(?9(HI7B+F?6(\$(HI7B+?9(\(H*7Q7D+@E(JA*A<(H*G8=(�0�(Z7<?9JA??Gn(��lp\�o7D6.(;+57*+,@7;=OJ+(*+,=?75(��-.(95,678+(87N?9(<9H+,9@+(@95nV-�(V,?=O@E(@7J5+(q$�a$�r$����s(ip\p6(@7J5+(qt$�f$����s(kp\�VV-�(u5B7(c(lp.(d(lp(6(c(vpdpwpx.(@7(pWp>D+?9�VVY�(u5B7((ipy(6((ip.(@7(y(vppwpc.(H*+J78=((ipc�ZI7B+?+(<7C*9N9O@E(H7F*6<?78=�(z9(*+,=?5=(��Y(H759<9?7(DAG56(H*+5I9D+(*6<?+Q(<7C*9NA?E(HI7B+?(?9(9*5={6(H9HA*=�|+,�(��Y

Page 57: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������ ����!�"�#� ��$%&��%���$�$��%�$����'(�)�$�(��*�+(,��,�*��(� ����!-�#�*�$(.$��%�!/�(�$% %-�,&��0-�$���(�-������� ��+�%)(% %-�1�� ��.$��%����#�$�#%�%�$����%$�����*�������$%/�1�2��34&�"�)% �-���'(%5�� �6���2�)(�.�*�"�#�$�.�*��(� ����!��������� ����!�(� �0-�$�#��'(,.�7�,�$�(%� �6���"�.��%8��#�+,&% �' ���� ���(�$(%/�*�(,�7-��&��� -��'(�)�(7-������ 39:;:<:=>?��)&%�@ABCABD-BE�(����6��7�(���#(�F�*��G%(�3���$�#��7-�G��*�,+ ��@C���DE�(��*����%(�.�7�,3HIJKLKMMN��$�#� �� ���#� �$�#���*���%$(�2�3���%*���% �-�G��*�, ��@C���DE�*����%(�.�7�,�O�%�3�P3�Q3���#�-�'���&���+ �.���R-�)���'�(%/� �6(��*��$���%�*��+G%(�-�,&�F�(���6��% ��7�5��*�, �3�S���'(�)�0-�G����)&%�@ABCABDABE���6�(���+6��7�5�F�*��G%(�-�G����*���)%�7�� �+$�3���%*�G�((,�(�*��$%�7(�3���, ��@C���DE�(��*����%(�.�7�,-�G��F�$% �2�+���,�#�$���%3TUVWUXYZ[-�G��8&��7(%F�&����2�� ����!�*�%�$,)�(%F��$+&��#�$�F�2�� ����!3���/�)���'�)��� �2�� ����,��$&��#�����% ����"�2����(�$%/�#�*�$(�(7-����)(�(7-�&���&5�F�,&���*��# ��(� ��' ����-���&���$� ���#�/�#����#6�((,-�!!�*��#�$6�.�7�'�$��%&�.�8�(�.�(�'%$��%�\W] _[W[aBb\[Z\cd_eaf���&%F��$���%����$�(��'����6%���)���'�*��&�%)(��'������$�((,�$�����7(� ��6%�+��3�g�.�&��%���.�7�,���/(�)(��(��&%-�&����2��1�,-�2��#�'�,-������(� �,�����(8��(��&%3h?ij?� &�6��7�&��7&���7���)�&-�G��(���6��7�*��G%(��k�O�%�3�P3lQ3mQ��#(�n���oQ�#$�n�� Q���%n������pQ�PqrPn�� �Q�"�'��)3���%�3�P3�

Page 58: 10 geom bi_u

�������������� �������������������������������������������� �� �������� � ������� !"!#"�$%�&��'()'�����*+,&%-.(+�/01�2&341�5�1�67�8+�2.&.9�(%:;9<�3�0�9+=>1���9%�0�*(%=%;9<�2?+8�('�@��A)%-19<B�3)%�)1?<)1�9<�2&34�CB�8+�2&+C+/39<�=.&.*�9+=)'��B�?.-�9<�(%�2?+8�(1�@�DE�F+/(+GH�� IE�/01H�� JE�,.*?1=�KE�+/(%H��� � LE�9&�H���!"M#"�I�,.&19<�/?3�/0+C�&1*(�C�2?+8�(�N�1�O�+/(%)+01�*%�*41�:9+4�90.&/-.((3�PE�Q?+8�(��N�1�O�2.&.9�(%;9<�3H�E�2?+8�(��N�1�O�4%;9<�?�R.�+/('��21?<('�9+=)'HSE�2?+8�(��N�1�O�4%;9<��21?<('�9+=)'HTE�2?+8�(��N�1�O�4%;9<�(.�,1?<R.�/0+C��21?<(�C�9+=+)H�E�2?+8�(��N�1�O�4%;9<��21?<('�2&34'�DE�PB���1�TH��KE�PB�S�1��H�� IE��B�T�1��H��LE��B�S�1�TH�� JE�PB�S�1�T�!"U#"�J01�&1*(1�2?+8�(��4%;9<��21?<('�9+=)'�V��I�*(%=9.B��)1?<)��2&34�CB�3)1�2&+C+/39<�=.&.*�9+=)'�VB�W��21?<(�4��/?3�2?+8�(�N�1�O�X&������ E�DE�Y/(%H�� IE�9&�H�� � JE�,.*?1=�KE�/01H��� � LE�-+/(+GH�!"Z#"�Q?+8�(��2.&.9�(%;9<�3��I�*(%=9.�)1?<)1�9<��21?<(�C�2&34�CB�3)1�0+(��4+-'9<�4%9��DE�Y/('H�� IE�9&�H�� � JE�/.�39<�KE�/01H��� � LE�,.*?1=H�!"[##"�J+0./19<B�8+�/01�2&341�0�2&+�9+&1�(.�4+-'9<�2.&.9�(%:9��3�,1?<R.�(1-�0�+/(1\�9+=>1�!"]##"�+=)���7�_7��?.-%9<�'�)+-(1\�*�/0+C�&1*(�C�2?+8�(��J+0./19<B�8+�>1�9+=)��?.-%9<�(%�+/(1\�2&341\�!"ab"�J%(+�/01�2?+8�(�B�3)1�2.&.9�(%;9<�3�2+�2&341\�cB�1�2&34'�dB�3)%�?.-�9<�0�+/(1\�1*�>�C�2?+8�(�1�2.&.9�(%W�/&'e'��J+0./19<B�8+�2&341�c�1�d�2.&.9�(%;9<�3�!"fbb"�J%(+�9&��&1*(1�2?+8�(�B�3)1�2+2%&(+�2.&.9�(%;9<�3��J+0./19<B�8+�)+?��/01�*�2&34�C�2.&.9�('�>�C�2?+8�(�2.&.9�:(%;9<�3B�9+�9&.93�2&34%�2&+C+/�9<�=.&.*�9+=)'�GC(<+e+�2.&.:9�('�

Page 59: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������� !"�#��!��$%��&'('$%'&(�)�*+,-,./012,234�256�57,0,-6�*,-/368�9+:-,�5;26*<:12,;48�=+�.+>/?-,�@+A1<+2,�>6+96;*/B�9,C�24>.D<E�+?65-6�9/5F6�2�>6+96;*/B�0,G9,H;I�,75/+94J�+-4�24*,:,KH;I�-,GA/.I3�2,:.42/�2.,5;42+5;/�+5-+2-4L�>6+96;*4?-4L�M/K>1*J� 5/�/-3/�2.,5;42+5;/�>6+96;*4?-4L�M/>1*�25;,-+2.HH;I5D�9/*712,--D94�;,�+@4*,H;I5D�-,�,75/+94�,A+�-,�<+26<6-/�;26*K<:6--D8�D7/�+@4*,.45D�-,�,75/+94J��,7/�9/*712,--D�-,042,KH;I�NOPQNQRRSTUJ��26*<:6--D8�/5;4--/5;I�D7+>+�<+26<6-+�/�D76�247+*45;+21H;I�<.D�<+26<6--D�/-34L�;26*<:6-I8�-,042,KH;I�VQOWQTOXJ�Y,G@*+5;/3494�0�-4L�C�;26*<:6--D�<.D�+5-+2K-4L�M/>1*�5;6*6+96;*/B8�D7/�-,042,H;I�RZ[\]NZTU__Z[]OT_[VQWQOTQVW]ab_�+0>.D-69+�;6+*6948�D7/�C�-,5./<7,94�,75/+9�5;6*6+96;*/BJc'$('%��d��e'('#�f(g%h���&$i!hj�k$�l'�l��'m"&n�)oj�%$ml��f($pq'�&"�f�$k"lh��� $�&$r$�m�&��n!"�$ lh��stuvwvxxyz�Y6L,G�{|}~�<,-,�@*D9,�/���~�;+?7,8�=+�-6�-,.6:4;I�BG��*45J��J��J��6*60�;+?74��}/�{�@*+26<69+�@*D91��J��*D9/�{|�/���*/0-/�;,�@6*6;4-,H;I5D�2�;+?F/�{J��,�,75/+9+H����8�?6*60�-4L�9+:-,�@*+265;4�@.+=4-1��J��+26<69+8�=+�2+-,�C<4-,8�96;+<+9�2/<�51@*+;42-+>+J��*4@15;49+8�=+�/5-1C�/-3,�@.+=4K-,��8�D7,�9/5;4;I�@*D91�{|�/�;+?71��J��+</8�0>/<-+�0�,75/+9+H����8�@.+=4-4���/���@6*6;4-,H;I5D�@+�5@/.I-/G�@*D9/G8�D7/G�-,.6:,;I�;+?74��8�{8�|8�=+�51K@6*6?4;I�19+2/J��*4@1=6--D�-6@*,K24.I-6J��.+=4-,���~�C<4-,J��vt�v��}wtuvwvxtz�45J��J�

Page 60: 10 geom bi_u

�������������� ��������������������������������� ��!"#�$�%�&�'�(��)�*�+�,�$-�'+� &*#.�$��#�"/(�'�(���*�+�,&$-�0#1�'+� &*#��2�3���4456789:;<7=;>;?@7ABCDE7�F7AG@HI?E7J7K7L@MNOI7P7L;7Q7ABCD@R7�F7COK7?;G9S;LT7J7UBIV67W6�XY67ZI[9B9ND@7L@MOE7\F7H@7?97?;G9SILT7ABCDK<7�67]9B9=7L@MOE7\7K7ABCDE7�7AB@9>9D@7AG@HI?E7_67OH@7J7K7_7=[KS;LTVCF7L@7ABCD;7�7?;G9SILT7AG@HI?K7J67OH@7S7AG@HI?I7J7K7_7BK=?K7K7D;aLT7>K7VAKGT?K7L@MOI7P7K7QF7L@7@?I7A9B9LI?;aLTVC7A@7ABCDK<7��F7H@7DKVNLILT7bK7L@MOI67cLS9F7M9B9=7>K7L@MOI7P7K7Q7AB@:@>CLT7>K7ABCDK7�7K7��F7H@7VEA9B9MILT7;OVK@DK7?;G9S?@VLK7dW67e@DE7�7K7��7f7=[Kg;NaLTVC67hG97@VOKGTOI7��7?;G9SILT7AG@HIN?K7JF7L@7K7ABCD;7�7L9S7?;G9SILT7J67i�����j���3���4����������k��l���m�$�&�$�%�&.� ��*��*�+�,�$-��!*#1�'�(�#1.���,*��'��"�/$&�'+� &*n�#�!��$�o��,�$#+-�&��!*n��2�3���445�789:;<7Pp�Qp�\7f7=;>;?K7L@MOI7UBIV67W6��Y67qB@9>9D@7M9B9=7L@MOI7P7K7\7ABCDE7rF7;7M9B9=7L@MOI7P7K7Q7f7ABCDE7�67qBCDK7�7K7r�BK=?K7L;7D;aLT7VAKGT?E7L@MNOE7P67]9B9=7?I:7D@S?;7AB@9VLI7AG@HI?E7J67s@9>9ND@F7H@7@?;7t>I?;F7D9L@>@D7K>7VEAB@LI?@g@67qBIAEVNLID@F7H@7KV?Et7K?u;7AG@HI?;7_F7H@7DKVLILT7L@MOI7PF7QF7\67e@>KF7=;7L9@B9ND@a7WF7ABCDK7�7K7r�?;G9S;LT7AG@HIN?K7_67cLS9F7AG@HI?I7J7K7_7D;aLT7>K7VAKGT?K7ABCDK7�7K7rF7COK7A9B9LI?;aLTNVCF7H@7VEA97B9MILT7;OVK@DK7ddv67cLS9F7AG@HI?;7J7f7t>I?;67i�����j���3���w4��x�j3�y ��p7COH@7AG@HI?;7I=?;M9?;7LBT@D;7L@MO;DIF7COK7?97G9S;LT7?;7@>?K<7ABCDK<F7?;ABIOG;>7PF7QF7\F7L@7E7L;O@DE7INA;>OE7O@BIVLEaLTVC7A@=?;M9??CDz7UPQ\Y��]IL;tLTVCz7{AG@HI?;F7CO;7=;>;?;7L@MO;DI7PF7Q7K7\|F7;[@7VO@B@M9?@7{AG@HI?;�PQ\|6OH@7gB;?T7D?@g@gB;??IO;7f7M@LIBIOEL?IOF7?;ABIOG;>7PQ\}F7L@7I[IB;aLT7=;AIV7AG@HI?I7>@KGT?@a7LBK<O@a7<@g@79BN~IV67W6�X~IV67W6��

Page 61: 10 geom bi_u

��������� �� ���������������������������� �!"�#$%&'"�#(%&'�)��#($%'���!����*��+ ��,�-���.*�� +/����-� ���012�,.*�)+1����34�����"������� �!�#($%&'�5676869:;<��=+>���)4�4-�1+)�,��4�41��,�!3+?�!���?���@=�?���+34.1��1�410���@=,"�@���A��4� 4>� ��-���=��3�+!�*B�� +/��*CDEFGHIFJKKI LEMNOPJMQORJST<4�4-���@=*�U�*�VW#��.�����X�'"�@�*�=�012�.�* 2�,�1+)�,�Y"�=+>�����+34.1��� +/��,�Z��*-2=4=+�1+)�,�$"�@����4��� 4[>�12�Z��<4�4-�1+)���Y�*�$���+[34!4=+���@=,�\����@=��\��4� 4[>�12����� +/��*�Z"�A+�@�A����@=��\��� 4>� ��� +/��*�Z"�1+�*�1+)���$��� 4>� ��A�� +/�[�*�Z���1>4"�)4�4-�1+)�,��4�41�[�,���@=�?�UW*�VW=+>�����+34.1��1�410���@=,"�@����4� 4>�12�-���=��3�+!�*B�� +/��*�$]_a]bc��+>���� �)43�!�+"�/+�1+)���� +/���� -�!�3�1�=,12���@=*"�@�*�A,!,12��� 4[>�1��d*B�.�=*B�� +/��*��e�/+�>�3-@1��1+)�,��4[�41��,�!3+?���@=�?����� +/��*�1��1+)�,��+-��� +/��+0"�1+�)4�4-�A,!2[@�*�!3*�1+)�����+.1+�,�=+>�����+34.1����@=,��f@���@=��=�1�=4� ��4�+!�,�.�* 2�,�1+)�,�-�� +[/��+0"���-��)�12"�A,!4�gg��4�41���1����.����X� ��.����Xh ��.����Xi5676869j;�+34!*12"�/+�3.*���@=*"�@�*��4�41���012�!3*�!��*����� 4 2�*���@=*"� 4>�12�3�+!�*B�� +/��*�kEGQlQKKI�.�* 2�����@=*�U�*�VW���� 4 2�*"�1+"�-��+-��)4��@="�d*���@=*� 4>�12�3�+!�*B�� +/��*�Z�#��.����Xh'���+3* 2�����@=��\"�@����4�41���m�U�*�V"�=�m�-�� +/��+0�Z�!3*�.�* 2[�*�1+)���n�1+)����4�41��,��op*!�+�-�14+�4=+0��"�d@���@=���� 4>�12�� +/��*�Z���1>4"�3.*���@=*"�@�*��4�41���012�!3*����� 4 2�*���@=*"� 4>�12�3�+!�*B�� +/��*"�/+�B�3�=�p� +[.@�!+34.1��

Page 62: 10 geom bi_u

�������������� ����������������������������� ���� !"#$%�&��'�()�*+,-"�./�"�01�2 �( 34#$����!2"5�*(�&)2"%�#��*+,-"�.0�"�/1�# 3�2 �( 34#$����!2"5�*(�&)2"6789:;:<<= >8?@ABC?:ADCEF��� ! -��- #�!�-��"!�GH*+�I#)�2�J�6�K+)*HG#)-�%�&��*+,-"�.0�"�/1�( 34#$����!2"5�*(�&)2"�L+)G6�M6NOP6�Q�!"�#�R')�.%�/%�0%�1�24( 34#$�S"5�*(�&)2"%�4�#�-H�*+,-"�./�"�01�24( 34#$�S"5�*(�&)2"%�&��GH* + R)#$�H-��"6�K+)*H& 22,�2 *+4�)($2 %�#�-H�*+,-"�.0�"�/1�2 �24( 34#$��!I2"5�*(�&)2"%�&��5��)-4J4(�G,�!�� G#)6 K"!�R4G�!�� ! 22,�24I( 32�G#"�R)�2 24�( 3I2�G#"�R4G#���)'�+)G#��HIT#$�- #�!�!���� �! 22,��"!�GH*+�#)�2�J�6�U�S$�-H��)*4!'H��"2��!+4VH��)I��!)#$�24�GH* + R2"G#$%�4�V24R)#$�W�!���!)#$��)I-�JH�V4!4R"6�������X� �Y'"($')��G$�J��"G2HZ�+"V2)[�*(�&)2%�,'"�*+�[�!,#$�R + V�*+,-H�"�#�R'H���*+�G#�+"\]89_=C<<= >8?@ABC?:ADCEF'&����*+�G#�+"�!42��*+,-H�"�#�R'H%�&��( 3)#$�24�2"5%�#��2)-)��)V24R4Z#$G,�a V("R�*(�&)2%��G'"($')�R I+ V�*+,-H�*+�[�!)#$�a V("R�+"V2)[�*(�&)26�'&��3�#�R'4�2 �( 3)#$�24�*+,-"5%�#��V4�24G("!'�-�V�4'G"�-�G# + �- #+"b�#4'H�*(�&)2H�-�324�*�aH!H�4#)�()c ��!2H6/�d�e�f�� g V("R� 4a���!246� hV,�c)�*�V4�S"ZT�*+,I-�T�!��"($2H�#�R'H%�-)�'�32�J�� +4VH� -4#)- -��"2cH�*(�&)2H%�,'4�2 �Va"IJ4#)- #$G,�V�+42"c �*�aHI!��42�T6�Q4')[�*(�&)2�W�a V("R6�i + V�!42H�#�R'H�*�V4�*+,-�T�-�324�*�aH!H�4#)�4a��*+,-H%�&��* + #)24#)I- �!42H�*+,-H%�4a��*+,-H%�*4+4( ($2H�!42"56�ja)!�4��)*4!')�V4!4T#$��!2H�*(�I&)2H6�

Page 63: 10 geom bi_u

��������� �� ���������������������������� !"�#$!����!%��&'�(()*�)+ �%�,(-#-.!"�/&�( 0!"�12$3�(�456�78&"9)+ �&% �!$#+��1�$0!$�8:76��8&"9)+-�1�);-�1�$0!$�8� �!$#+-�(-�( <:6��8&"9)+-�1�);-�1�$0!$�8� �!$#+-�1$,-�(�.:=6��8&"9)+ �!���1�); �1�$0!$�8:�6��8&"9)+ �!���!$#+��1�$0!$�8:�6��8&"9)+ �&% �1-�-2�2"( �1�); :>6��8&"9)+ �&% �1�); :?6��8&"9)+ �&% �1�); *�3$�1���!�(-.!"0)4������� +-' !"�12$3�(�*�)+�;�(-2�'�!"�!$#+-�@�A��04�B4CD64�C6�AEFG6: B6�AEGH6: I6�AEFH6: �6�AFGH6456�C� �B: 76�B� �I: 6�I� ��: =6�C� ��4������� +-' !"�+ 2"+ 0!"�12$3�(*�)+ �;$'(-�1�$%�0!��#���,�!���!$#+�*�3$�2�'-!"�(-�$&( <�1�); <456��&(8: 6�(�0+ (#�((8�+ 2"+ 0!":� �6�!��476�&% :� =6�0+ (#�((8�+ 2"+ 0!":���J��� +-' !"�1�);8�1���!�(8�12$3�(�AHKL6M MAKFL6NM3$�,$��-'�( �(-���08(+8�B4C�456�HL: 76�KH: 6�KF: =6�LF: �6�KL4���O���P-�&%$Q�����-Q�1 �-; &��1$,(-#�($�!$#+��KM MR�A��04�B4CS6T� +-' !"�12$3�(8*�%�)+ <�2�'�!"�1�);-�KRTM56�AUVE6: 76�AWUE6: 6�AWVE6: =6�AWUV64��04�B4CD ��04�B4C� ��04�B4CS���X�����,(-#!��+ 2"+ 0!"�� ,(�Q�12$3�(*�)+ �;$'(-�1�$9%�0!��#���,�1Y)!"�!$#$+*�)+3$�#$!����,�(�Q�2�'-!"�(-�$&( <�12$3�( �A��04�B4C�6456��&(8: 6�1Y)!": �6�0 ;476�#$!���: =6�Z 0!":

Page 64: 10 geom bi_u

�������������� ���������������������������������� !"#$�%&'��(�)��!#�*+#,�!�-�,#�*.�./�!�0/12�3�*#�*�3$�4-�3"5�$5�/3/1��.)���*5��$56�&�7�8!�9/.��.�.6�!�:29.!�(.6.!�4�/(.�6:.!1�*��(�+1!5&';�<=>?;�5�<=?@;A B;�<=?C;�5�<=>@;A �;�<=?@;�5�<=>C;A%;�<=>?;�5�<=@C;A D;�<=>?;�5�<?@C;A �;�<=?C;�5�<>?C;&E;�'�5�BA F;�%�5��A 7;�B�5��A G;�'�5�DA H;�%�5��&���I����7�8!�9/.�*�3$5-�8�3"�$��$#:.�*.�./�!�/��3�*�3$��=J�<���&�%&'K;��';�LMA %;�LNA B;�LOA D;�ONA �;�MNA �;�OM&E;�'-�%�5�DA F;�%-�B�5��A 7;�B-�D�5��A G;�'-�B�5��A H;�%-�D�5��&���P����7�).�5/1�6(5�*+#,�!�-�3"�$�!�+.:�/1�/#9"��Q�<���&�%&'R;�E;�<>?@;A 7;�<=?@;A H;�<=>C;&F;�<=>?;A G;�<=@C;A���S����H�!#�/��*.T50�UVWC�5�/#9" �XY�,#�!�+.:�/1�#�!#(5�VW�<���&�%&'Z;&�7�28!�9/.�6(��/(.�6:.!!3-�8��3"�$��$#:!��6#(.�/�-�,#�(�5�(.�[�!��/��*.T5\�+.:�/1�(�#6!5]�*+#,�!5�&E;�>�_ -�?�_ -�>?�a AF;�?�_ -�@�_ -�b�_ A7;�>�_ -�C�_ -�b�_ AG;�@�_ -�C�_ -�>�_ AH;�?@�a -�b�_?@-�b�_ &���cd��e���*�3$5-�3"5�*�#4#63/1�9.�.8�/#9" �X-�*.�./�!�0/1�9./(.�/ �*�3$ �(�/#9"�4�U-�V�5�W��H#(.65/1-�,#�/#9"��U-�V-�W�5�X�+.:�/1�(�#6!5]�*+#,�!5&����d��H(5�(.�[�!��5�/#9"��*.�./�! �$.65�!�/��" /!�"��+.2:�/1� �*+#,�!5�f&�H#(.65/1-�,#�]�/�./3�(.�[�!��/��" /!�"��!�+.:�/1�*+#,�!5�f&����d��H#(.65/1-�,#�9.�.8�*�3$ �$#:!��*�#(.�/��6(5��58!5�*+#,�!�&���gd��H#(.65/1-�,#�(�5�*�3$5-�3"5�*.�./�!�0/1�6�! �*�3$ �5�*�#4#63/1�9.�.8�6�! �/#9" �*#8��*�3$#0-�+.:�/1�(�#6!5]�*+#2,�!5&���hd��H�!#�9#/����/#9"�-�,#�!.�+.:�/1�(�#6!5]�*+#,�!5&�i"5+1"��$#:!��*�#(.�/���58!�4�*+#,�!-�3"5�*�#4#63/1�9.�.8�/���8�T�4�/#9#"j���kd��i"5+1"��*+#,�!�$#:!��*�#(.�/��9.�.8l�';�#6! �/#9" A�%;�6(5�/#9"�A�B;�/���/#9"�j m��&�%&'Rm��&�%&'Z

Page 65: 10 geom bi_u

���������� �� ����������������������������� !�"��#�$%���&'�(&$��)��%*%#+�(%#&�,�*��%(&-.� /0!����1�'����*2%(%�$�3&� �����(�1�,$�"%(�4���5������)#%�6!�7!�8�(��$�3&� �(&���(�1�,*09�14�:;<;=>!�?;<;=@!�A;<;:?4�������� !�"����)#&�B�(&$�3%� �,$�"%-(�;C678D4���E����F�*�G���*2%(+�6�*�9H&�678I�,*�����(��,*09+�J!�0#&�,&*&$�$ (&���&'�(&$��7I4�������� !�"��,*09��J���8I�,�*��%(&-.� /04KL��M�LNOPOPQRST(&$�G+.)%�(&�#�$%2(�1�/������/%/��9&�%G+.)%�1�'��,*��-9��%�G&�U�*9�.!�,�*�#�(+V9�/0!�"��H&'&���,*��9�����W,�*�*�-G&(�X�&H��W/#$�V(�X4���GYV�(+.)%�Z[!�9&V9��,���*[(.!�0#+�(&-G%�&.� �Z[�\]]_abcd�,�*�*�G&9%�G+/�*�)&.� /0�+�*�G(%[�/%�+&e�0[f�+�,�H+��!�/��$0*/���!���#&*/�������4��4���G�Y0G+�&((09�G&�&)�(&�\]]_gL'��9��*%)(%[�U�'+*�&H���(2%[���$�G&19&.� /0�+�#*�/$�((�!���#�(/�*+#��*/ #�1�,*&#�%e�4� �*�*�G%��%#�(+.� ��$0�,*�/��-*��%[�'��9��*%)(%[�U�'+*4���G'$0�&�%9�9��,�*�*�G%��* �[�,*�/��*��%[�U�'+*f�,�*&-9��%!�#+H&���,*09�#+�(�'��,&*&$�$�,�,��&�CZ[����(�/0� ����9(�'�'*&((%#��h�G�,�(0��09�9(�'�'*&((%#&��G(&1�9%9�/0�,�G(�2�D4��$0������((0�,�(0��0�,�*�*�G+�'��9��*%)(�Z�U�-'+*%�(&'&�&V9��,�(0��0�,*�����*�G�#!�0#%1�,�*��%(&V�&H��(��,�*���%(&V�,*09+f�0#"��+�G&�&(�1�,$�"%(��#�(e�����*�G#&�$�3&� �+�*�G�(%[�,��,$�"%(&[����(�/(��G&�&(�Z�,*09�Z!�������*�G�#�,�*��%(&V�,*09+!�0#"��3�����(�1!�i����(�4�T(&$�'�V.��&#�Z�/%�+&e�Z�+�,*�/��*��V�,$�"%(&������*�G�#!���H���Z[(V��G&V9(��*�G9�"�((04�j�3(&�,$�"%(&�*�GH%�&V�,*�/��*�(&���&�,��,*�/��*%!�&�#�(e�����*�G#&�9�3+� �$�3&�%�+�*�G(%[�,��,*�/��*&[�C*%/4�k4kl!�JD����(�/(����0#�Z�,$�"%(%!�(&�,$�-"%(��C*%/4�k4kl!�mD�&H������(�9+�,��,*�/��*��C*%/4�k4kl!�nD4�� �%/4�k4kl

Page 66: 10 geom bi_u

�������������� ����������������������������������������� !���� �" #���!����$��%���&��'!�(�'���) '*��������*�%� ���&�����&!����+���",��!������� �����������������" �� �-����� ���%��������#��!��-��� �" ������"�����'�������&.� �������"���/(� ��� ��������"�%��"���$�+��(��"����$�0 +&"������������" �� �-����� ���������!����+���",��!������������)*�0 +&"&���"�����'.�1�����(&�"�� ����&�������&�������*���23456.7 +&"�!�,���%�����'��%,���&% ��%� ������������+��(��"����$�0 +&"�� �% ���$��������!�������'��%,�89:9:;<=>?@9=>9A:BCDE=FGH;@I:B.�J��"�%&��&�K.KL���"�" �����-"�����������"�(.�M�%.�K.KLN�"�" ������*���&(���*������ .�O�������� ��)���&(��� ���#���&*�����-&���&���"�" �&.�P"����&*����( %���������+�!�-&��#(��"���Q,�&���������� !���,������"�" ������'��%,��"��(�������#(������",(�*� ������*��������*.�O���"�" ��(����(���������%,��"�)*�����(�/�����&%��(&��&"% �%��"��(��" $.�R%�&*���" �� �(��������-&�������"�" � �.�J�/- ��S���S�#"���/�&��"����) ��������,��&"%&�+��(��" $�%�"�����$�S�����T�U�V5W�2XWY.�M��+�,��(��/�+�!��Q,%&'(�!�&���(&����,+�'�%&���)��+��(����&. ������������+"�� �(��+�+"������� �����������"�" �&�(�*����� �%� ��� ������!�����������"�����*��%,�����",( /!�����"����������"���) ������.�Z*��",(&�������*���X4[6�\��]V�4�������������.N���������"�" �&�(��+�+"�������(�'�%� ��� ��",( ������#����(��+"���/�(��+�+"������.�N",(&!����,� /�����������"��" �&���"�����'�������&�-&��#,��$�+"�� �(��+�+"������!�������*���2XW5U�\X5_�4��\���.�� � ��%� ����!�%� ������������+"���/���"�����*��%,����������*���"�" �&.

Page 67: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������� !��"#"#�$�� �#%����&'(%�%!)�*��"#"$�� ��%��+!,�-��.�/"0�%1��/�-!.�,��#�2��!%1�%�/1+!���.���#(&�,���3(��#(&��%"0�.�/"0!%1�3�4��/�-!.�5�*�-��������� �%!�/�.�6��"#"%!.��� �2��/�-!.,�."��2��.�� ��7�+�%!�� ��%��+!,�(+��.�/"0�%1����&��/�-!.�&,����"8#"$�.!2��#� "�%!�/�.�6��"#"%!.�5*��#!������� ���"#"#�$� �&.�9�9#�..!+� ����.�6��/�-!.�6�%#"��� ��7�+�%!� ��#�$+!,����(+!2����.���/�-!.���"#"%!8.�:%1�(�$�9#�.(&!�&.�9�9#�..!+�;���$9/(."&���#!+/��!������� !��"#"#�$��&.�9�9#�..!+�����.�6��/�-!.�6;<=>=?=@AB �������4%"��"#"#�$�+�����/�-!.�6,�-���#�2��!%1��"#"$��"�#"�!�.!�#"�"#�$�����/1.�6� "#7!.�6;CDEFGDHIJ"2�4�KLMNKOLOMONOP*�$���.!4�+���Q#!�;�R;RRS;�!�"#"8&����.��$� "#7!.,�.��#!+/��PTUP(+��:����/1.�6��/(�%#1�2�#"�"#PTL,�KKOP��KNVP��$.��!&��.��3!2�#"�#�2�%��+!�W,�XP��YP ���� ��.�U�(+��:�Z2.�&!��"#"�!.�&!;����+!�W,�XP��YP."�/"0�%1�.����.�4��#(&�4,���%�&�� !$.���86%1����.���/�-!.��QWXYS;����+!�WP��Y�*P���/1.��%��+!��/�-!.!��"#"#�$����9#�.��KLMN,�%�&��[W�\�QWXYS�]�QKLMNS,�[WP*��%�#�.���"#"#�$�;�.�/�9��.��[X�\�QWXYS�]�QKKONONS���WX�\�QWXYS�]�QKLLOKOS,�%�&��[XP��WXP*�� ���.7���%�#�.!��"#"#�$�;��%0",�_WXYP*�7�+�.!4��"#"#�$;<=>=?=@B �������4%"��"#"#�$���#�&��!�WKLMP�/�-!.�6,�-���#�2��!%1��"#"$�#"�#��WKP%���"#"��!.��#"�#��LMVCDEFGDHI�/�-!.���"#"#�$��$���:%1�(��#(&�6�WKP���"�#"�!�.�6�#"�#��LMPQ��$.��!&��ZZ�%��+�6�aS�Q#!�;�R;RbSVPQWKaS�*��/�-!.���"#"#�$�;�c.�4�"&���#(&���"#"%!.��3�:Z��/�-!.!�$��/�-!.�&!�QKLMSP��QWLMSVPJ!&!�����%1� ���� ��.���#(&��KaP��aW,���_WKa,��% �#".!4��"#"%!.�&��#(&!2�WK,PKa���aW,�*�7�+�.!4��"#"#�$;�!�;�R;RR�!�;�R;Rb

Page 68: 10 geom bi_u

�������������� �������� ����������������� ����!"��#�$%&'��(�)#*�+,�)�����-��#�.�/��� ���#���/0#,�10��(�2!�.�3����3��*��*!�����!-�%$,�$',�&'4567896:;<� =(1*�"��3#�!��0,�0�(#�2��*!� ���1"#-,�)�����-��1�.�/��� �>����/0#,�*��������!�!(�(.*�+�?����*!"�=�!*��4�@�-!��A�BC%$,�D�BC$',�E�BC&',�F�G�?�/*!��(�)#*!,�)������-��#�.�/��� � !�!*����/0#�A,�D���H4�������I"�������� ,�3#0�*�+/#���?(���3*��0��0#JK4�ABCL%$'M,�DBCL%$'M,���"��AD�N�L%$'MO�AD�P�F�Q�L%$'M�R4�DBCL&$'M,�EBCL&$'M,���"��DE�N�L&$'MO�DE�P�F�Q�L&$'M4�S#� *!�T(#��3��?����*#�U�=��#������� �J�3���� 0#�AD���DE�L�#?4�R4RV,�WM4�X�/0!�E�G�?��(.*!���/0!��3�-��(�)#*�L%&'M���LADEM4�X!0���(�)#*#�L !�!0?��"�+�YYVM������#*!Z+�.?1������1"��,�)�����-��#�.�/��� ���/0��E��[(1�������Z3#��!0�\���1"�\�������*!����=!���/0!4�]4��(�)#*#�L%$'M���L%&'M������#*!+�.?1������1"���%'4�AD,� !��"�3�+,�*���!�!(�(.*!�%'���AD�N�L%$'M,���"��AD�Q�%'�P��L�#?4�R4RV_�M4�V4���1"!� E�G�(�*�1������#*���(�)#*�LADEM���L%&'M4������#*�>�I\���1"�\� ������"�ab��!I���/0��c,�10!�I�3��T#*�+������� �4�d�2�,�/��#�#0��*#0�ADEc�e�T�0!*#�������� �L�#?4�R4RV_�fM4<#?4�R4RV ������g� ����������������� ���1"�0��*�=���!�!(�(������!�%&'$%h&h'h$h��(�)#*�+,�)�����-��#�.�/��� �?����#*#�A���D�������%$���&&h�����/0��E������#*����!=�*!(���=�!*��%h&h'h$hiL�#?4�R4Rj,�WM4

Page 69: 10 geom bi_u

��������� �� ���������������������������� !"#$��%&" '�()�*# '�+�,�-./012�#3� !4$��(��%)&56�7 ��38�3#9�:'3!;"#�<&='8'9�'>7�8? '�()�*# �;�(?8?58&�'2@2�A !B6?$��>�"3'�(?8?># '�(8C$�D�/0���()�*# �;�-EE@F@F12�GC�(8C$!�)?H#>I�'�()�*# &�-JJ@F@F19�C3!�(?58?># !4>I%C���()�*# �;�-EE@F@F1�(��(8C$&B�FF@2���"53!�K@�L�>�"3!�(?8?># '�(8C$#M�/0N&�FF@2���"3!�K@�L�:'3!5 !�-8#%2�O2OP9NQ12O2�R !)�=&" ��� !M�6#$��>�"3'�KO9�C3�>�"3'�(?8?># '�(8C$�D�/0���()�*# �;�-EJSF12���"3!�KO�L�:'3! !2T2��)�*# !�+U(?8?># !4�()�*# '�-EE@F@F1N(��(8C$&B�[email protected]�!�()�*# '�-EJSF1NL�(��(8C$&B�KO.VN�8C$&�[email protected]&�KO.N(?8?># !;>I�8?W8!�(8C$�3'> �=��(!8!)?)?(&(?6!�E@F@�&�EJN'�>�"3!M�KTN&�KXN7&6(�7&6 ��-8#%2�O2OP9�Y12X2��8C$!�KT0N(?8?># !4�8?W8��(8C$�3'> �=��(!8!)?)?5(&(?6!�J@S@�'�6?C3&B�>�"Z&�KP�L��%>! &B�7?8:# &�(?8?8&�'�-8#%2�O2OP9�Y12�>H?9�([C>#3'> #3�.KTKP/KX�L�:'3! #B�(?8?8&��-8#%2�O2OP9�\12 �#%2�O2OP]!7?6?$��3�8�>3&��(#%#�(�W'6�7#�(?8?8&�'�3'W!�()�*# �;9�*��(8�M�6#>I�"?8?��>8#�>�"3#2�

Page 70: 10 geom bi_u

�������������� �������� ����������������� �!��"��#�$%&�'(�$�����)��%�*�+��� ���+!%�,(�-(�.(�/!��&"#�0"�*�1����1��&������"2�34(�44�(�55�6789:;8<=>�+&"��#�$%&"�?,-@A�?�%B6�C6CDA6�A�E�+!%�-���.�#�0"�*���?@45A6����1���2����/2��.-(�@-�F�45�G�H6CA�E�+!%�H(�,�#�0"�*���?3I5A6����1���2����/2��H,(�H,�F�3I�G�J(�H,�F�I5�G�K6LA�E�+!%�K(�@�#�0"�*���?II�@A(�K@�F�II��G�M6NA�@-,JM�O�P�!"&%�������� 6Q%B6�C6CD �� Q%B6�C6C� ������R� ����������������� �!��"��#�$%&�'(�$�����)��%�*�+��� ���+S!%�J(�,(�T(�/!��&"#�0"�*�1����1��&������"2�II�(�33�(�4�5�6789:;8<=>�+&"��#�$%&"�?J,TA�?�%B6�C6C�A6�A�E�+!%�,���J�#�0"�*���?33�I�A(�J,�F�3�I��G�H6CA�E�+!%�H(�U�#�0"�*���?3�I�5�A(�HU�F�I�5��G�K(�U�F�3�4��G�@6LA�E�+!%�,V�@�#�0"�*���?33�4�A(�,@�F�44��G�-6NA�,JKU-�O�P�!"&%�������� 6 ������W� ����������������� �!��"��#�$%&�'(�$�����)��%�*�+��� ���+!%�J(�,(�-(�/!��&"#�0"�*�1����1��&������"2�55�(�I�5�(�456

Page 71: 10 geom bi_u

��������� �� ���������������������������� !�"#$%& !�'()*+�',&-.��.�/+.0+��$�1&�)2�(3#45!67�8�'90:0:+2�)(3;3<<0�=�>2�)(3;3<:�=�?.�+��$�1&�?��3*3#45!67�8�'@<A+2�?*3;3B:�=�C2�?*3;3@<�=�D.E+��$�1&�>��3D�#45!67�8�'@<<0+2�>D3;3@@0�=�F2�>D3;3@0<0�=�G.H+�)(C*FG3I3J81! &K�"4,4,�L.MNMOPN�&Q4,�67�"#$%& &2�R1��"4,46& !S�",RT!�(U38�",RT$V186 $T8�"!,!#4#4"�"4W��@<AB@0<0A0B0�',&-.��.�X+.Y+�'@<A+Z�[+�'@0B0<0+Z�+�'<0<B+Z���\+�'@BB0+Z������+�'@<<0+.� �� �&-.��.�X �� � �&-.��.E]MN_PN�!�,&-8 18��.E]�L$Q,!54 $�"4,4,�L�",RT$186 $a$�"!V,!#4#4"�"4W!2�R1&K�",$b$W&67��4,4L�6,&�6$�1&.� 1!5�67�6!1��6,�K1&�6$�$12�W#R�R1&b�"4,4,�L�"$Q8W$c! $�",!c&#7 $.�0+�d2�:3��e0Z�+�92�d���:ZE+�d2�d0���:ZH+�e02�:03��dZf+�:2�:0���d0.Y+�02�����HZ [+��2�E���fZ+�02�E���HZ \+�E2�H���fZ �+�02�����f.MNgPN�!�,4Q,!b�"�,!T�W&�B@<A2�L$Q,!54 $h� !�,&-8 18��.E02�"$L !�4 $�6$�1&�)3�3*.�&Q4,�67�6,&186 &12�R1&K�T$54�Q86&�"4,4,�L$T�i�Sh�"�,!T�W&.Y+�jB)*Z [+�j)*AZ +�j)*@Z \+�j)*<.MNMPPN� �18Q��",$c4W4 $�",RT8�)*3',&-.��.E�+k3�W4 6&l�18KV64�"!,!T&�",!c&#7 ��6c4,W54 R.�&-.��.�/

Page 72: 10 geom bi_u

�������������� ������������� ����� ����������������� ����� ����������������� ����� ���������������� !��� �"#$ �� �� � "#$ �� �� "#$ �� ��%&''((&�)*+,-./�0123#4#5�6*-�0787.#4+.#9:./$6�02�086;9-<�����8#$ �� �������������� ��������� �����=��� !�������� >���?��� ����-���� �����-�!� �����-�>� �����-�>� @����-�! %&'A((&��#*24+<.7�8#$:42*�� �!�-�02B:C:<.7�.2D*:�0787.#4:�08692E�?F�G�0123#42H�������%&'I((&��#*24+<.7�8#$:42*�� �>�-�02B:C:<.7�.2D*:�0787.#4:�08692E�JF�G�0123#42H�������%&'K((&��#*24+<.7�8#$:42*�� �L�-�02B:C:<.7�.2D*:�0787.#4:�08692E��M�G�0123#42H�������"#$ �� �! � "#$ �� �> � "#$ �� �L%&'N((&�)�.8#*:.4-<�0-8+9-C-������.2D;*+�O�4+17,#./�87B8:�PQ��8#$ �� �����R2;B:C:<.7�1-4-H�0787.#4:�0123#4�������-�������%&'S((&�)�*:B-��������������:*+,-./�1-;4-H�0787.#4:�0123#4��������-��PQQ�� %&'TU&�R2B:C:<.7�07878-G�.8#*:.42E�0-8+;9-C#������0123#42H5�32�082V2C#./�D787G�87B82����-�.2D*:�0787.#4:�97C-+4�W8+4-����� "#$ �� ��

Page 73: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������ !"�#"$"$%&�'��(�)*+,)-*-+-,-.#/�012�34�0��#$�5��1!6�7"$"&�$"�$��89�%�!�7'��#"$"!12���%(:�2(/" �:$(2%�)-*-+-,-;���<��������� !"�#"$"$%&�#$=>�'�!2�:��#($(/"/"#%#"�(�#/�?012�34�0��#$�5��1!6�7"$"&�'%2@%�!$6�5�$"�"$4�='%�A15��=!6�&���2%BC�A"$D121E�������������� !"�#"$"$%&�'��(�)*+,)-*-+-,-.#/�012�34�0��#$�5��1!6�7"$"&��%(:�2(/6�),-�:$(2%.))-,-,�%�A"$D12��9;���F���������� !"�#"$"$%&�'��(�)*+,)-*-+-,-.#/�012�34�0��#$�5��1!6�7"$"&��%(:�2(/6�),-�:$(2%.))-,-,.%�G"$"�12��$"�?$(�**-E�������������� !"�#"$"$%&�'��(�)*+,)-*-+-,-.#/�012�34�0��#$�5��1!6�7"$"&�A"$D12��9-�%��A%�!�7'1�H.%.IJ.='%�/"K(!6�2(�$"�?$(5�))-�%�++-E���&:/=26!"�$%&2%�A1#(�'1�$�&>%0"22=�!�7�'�H.%.IE���L���������� !"�#"$"$%&�!$1'�!2�C�#%$(>%�1�)*+,.#/�01?2�34�0��#$�5��1!6�7"$"&�!$1�!�7'1�M4�N.%.O.PM.Q.),4�N.QR)+4�O.Q.P),*SSE.��<��T�>���/=�$�&>%!'1�'�!/�A(2��#%��2"A"/1'�����%A/3�'�$1G!�3!6G=�2(!=:2�!1>�D2�$�>U9VWXYZVW;.�"$"!12�>��A�5�#/�012�B�#$=>(E������%��7(G�[�$>�A(22=�@":/121�P(������%A"/62�:���/�'(S�#��#($(/"/6215�'$(=5�[�$>14�2(#�A2"2�C�A%�#�A%�2�3�>(?G�34�'�A&(B�#$=>�/%2% 21 ��$�G�'E�T�>��#$1�@6�>��:$(26�@":/121�P�/�'(S4�0��$�&$%A23B!6G=4�G!(B�#/�G'�3U��F���!�/=$�#"$"A%$=B4�71�/"K(!6�'%2@%�7�!1$6�5�2%K�'�G!%/6@=�A���2% �#/�012%4�#$1'$%#1AD1����'%2@%A�2%K�'�2(A?5$"G!��A%�21!'1E�\(�7�>��]$�2!�B!6G=�!('(�#"$"A%$'(U9VWXYZVW;.�A%�#$=>%4�0��#"$"!12(3!6G=4�A1&2(7(3!6�#/�?012��%����!�:��K�!%/6'1���2�E�����'�!"G/=�A%�#1/3B�7(G!12��A%���"$"A_=2�:���$�G'(4�0���&$%&���A�#/�G'1>U9YabZYc;�\(��A�5�G�>%K215�:$(2=5��$�G'(�'$"G/1!6�A%�?$%&'14�2(#$1'/(��89.%�8d;.��!%>�A%�#1/3B�!('4�0���#�/�!2��#1/'1� D/��#��@15�A%�$%&'(5E��G'%/6'1�#1/'(����"�$�5(!1?G=�#���A�5�A%�$%&'(5�P7(G!12(5�#$=>15S4�='%�#"$"!12(3!6G=4�!��&$%&����"�#/�G'1>E���L��e!(!1A1��/=��(:(!6�5�%2G!$�>"2!%A�P[�!�(#($(!(4�:"��"&17215�#$1/(�%A�f�2%A"/%$(4�!"���/%!(�!(�%2ES�A1:�!�A?/"2����A1:/=�%�!$12�:1E�T�>��#%�G!(A'(�&�!('�3�'%/6'%G!3�2%K�'�B�G!% '�3U9VWXYZVW;.T"$"&�!$1�!�7'14�0��2"�/"K(!6�2(���2% �#$=?>% 4�#$�5��1!6�/1D"���2(�#/�012(E�ghijklmnopqlmlro

Page 74: 10 geom bi_u

������������ �� ���������������������������� !�����"#�"$ ���#��%���&��"#'�!(�("����)!�*������+��,�'-���.��"#�"����/�0���#1� 2�3(�+�4'�5#'�6'�6,���6(!(�0�#�� #!(789:;�<9:=�>!?���� �6�+!��0#�4�/��(��.(6,�0��?�� *�6�� �����0#�4(��(��.�6,�0��?�� 2��@��A�4'��6 ��$,�-�6#,�4(�� .!(4�*�#�-4 ?���4��0��!��'*�-(�.����6�/6,��(�0 ���- ��6 B!�*�(�-�+�6�#4(�C����-(�.��789:;�<9:=��#��6�+!�*�?�������.(6,��(���� B�0#�4 B*���D-�(+(E6,�0��?��'� ����6�&��.�6 �,!�����'2��F��A�4'�4�6�$�!��-�!����!�E��6�/6,��(���#�- ��6 B!�*�(�����4�6�$�!�(�"�-�!����!��0�6# "�(����(6!��(��0�#(789:;�<9:=��#��6�+!�*�?�������.(6,��(���� B�0#�4 B*���D-�(+(E6,�0��?��'� ����6�&��.�6 �,!�����'2��G��A�4'���-(4!��� ����# �� �+���E6,��*�(�-(4!��� �C���#'1�4 7�89:;�<9:=�A�#�-�0#�4'� �6�+!'�0�-(���E�4�.�(�0#����6��0��?��'� ���)�����'2��HI��J! �,!��0#�"��-���$�&����0�6# "�������"'� ���$6�(�KL��6��0$ ������6�E�M�4�-�0�#�# -�4�'���&��� �!�(�#(6(�- ��6�#�D��E����47�N�-4 #�$�&�����KOK*�OP��42�Q6#(6���6(�����6,���R2�8�S��<�ST=�LUVV�$�&���2WXYZ[\]"�2�UMC�ML�����2��2_8�S�:�<��� 9�<���<����a�:� �:�9:b�c��;d::e���<����aS�< S ddfb=�g���:��9�hT������9�:<�i:� = j2�k'#6 '�l(����m ��6�,!�B�C��(��,�&#�$,!�B�n D����n*�4(6�4(6�!*�(�6#���4*�-(������!� �� B�,!�/�)!�����(6'#n ����n /*�!'0�$,� �0�� 6�+��B�� �+2�o�1�����- �-�(6��&��n D� ! B�,!�&��#��'2�p�����4'�.�66 �6(�6��#D+��6 �0����'�(��0�6(����0#(!6�!��-�6��D#�6�+��4��0#�"��4(4�*�?���6��'�(�����0#�"��4�Q���� 6'2�Q ��"(&(6��0���#�.'�(�*�-�!#�4(�'�4������6 �� �� �(��q&�0�6*������)!��(1�m�4n �(� �l �����+(��# -� ��('!�2�o���#�'�)��,��(�"(6,! �?��'*�-(��'�(��'�m ��6 �n ����n�,!'�)!��'2�p� ����/��(6'#Dn ����n�,! �0 -�(����l(������!�#��6��'D�(�������6��#�����-(��#)���&��n ����n�,!�&���+����2��(!*�� ����(.(�*�?������ ��'E+��0�#��.��������E2�Q��(�C�$���.�#���*�-��!�&������0��6 B�������!(�2�o#��$,�4'����(�B�'��*�?��-���/���D��!��*������4�#6��4�*��������')����� 2�

Page 75: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������� �!�"��#�$�%���&'#�&���"�(�))$�)�&��"�*� ���+ ��#�#,� ��������"-�(.��"�$���($*� ��� ��#�#�%&��($/�0�1�2�3�"�3�))2����(� ,�4�5��!'#-���1�#6�%� �� $($"�%�3�"��1)2���"$3-�"$31�)��-#��))2�72�89:���������:� �;&�1:�-�(.# �&��"$�$�-����"#"�%�-#��))2�7/� &89�$�&�-$.)��"$3-�"$"�)��)1�'�,�<#)$�"$3� �:�5��;�'���� ��� ��#/)#6�-(�"#��;&�#�"$3�(#�$�)�;�'����(�)$.�:�)$��&����(�3�")$=�>(�?$*,�@���&�$�A�3���$3)# �.�26� ,���(�'����'$/)��3�"�3�))2�-(�"#�1)���$��"�(3��)1�)��-$3���"$�%�'��1)#6�-�����)1:�-(#=)2�#6�%��3����"$()$�$��#)#:�;&���"#+)�=3�)��'(��� #,�B�(����()��$�%�"�$ �)�"��(#���'(�?1��*� ���+ ��#�#�-��2'�!�"�-���&-�"� &�-�(�6�3$�"$3��3)�'���"�(3��))2�3��$).�'��%��3�-� �'�0�3�"�3�))2,��� �����#=�6�(����(� ���+ ��#?$�)�3�"������,���)�"$�1��1�'�3)$:�-(#��&-�0/#�3��3�"�3�)+)2:�)�-(#���3����(� #�-(��"����#"���$�(� ;�:� #:�-���&�$:� $(+�&! �� �=��������� �:�2��?��(�;#�#�&/)$�������,"���!�1�2:�5��������-�(.# �-�%)�=� #"�'(��$"�%�'�� �+�($!0,�C� &�-(#-#�&0�1�"$3�(#��2�$�3�"�3�))2�(23&����(� D�-(��-�3$�������3$� ��(� �)�"-$�E�-(����:�5���&�:�"-#��)#=�&�-$"����:�!�-(2 # E�-(��($")$��1��&�$"�-(#���)�"$�($")�;�3(�)�'���(#�&�)#��E�-(��($")$��1�"�(�#���1)#6��&�$"E�-(��-(�-�(?$=+)$��1�"$3($%�$":�&�"�(�)#6�)��-(2 #6:�5��-�(��#)�0�1�2��$�1+�� ��-�(����1)# #�-(2 # #,�������&���)�"#":�5���(#�&�)#��-�")$��0�"#%)�/�!�1�2����(�)�0�$�-(#��'�# #�3��)�*��&�� #,������"$3�(#"�?$��"#=��-��$;�"#%)�/�))2�"$3���)$�"$3�;�(�+'��3��"#3# �'����(�;�2,���2�$�$���(#�#���"�(3�&0�1:�5��3�2�?1�'��"$)�"#��(#���"��%)��&�-�3$;)���$�-(2 ��&�)#6��(#�&�+)#�$",������&�-(#-#�&0�1��������-��$;�"#%)�/�))2�"#����($%+)#6�-(�3 ��$":�%��(� ��-$(� $3:�%��3�"�#)�0��$)$:����#���)?��-$3)$ �!�1�2�)�3�'�(#%�)�� �)��FGH, �$�?$�3��2')�))2�-(#)���#������&����"&�-�(.�'�� &3(�?2���(�3�%)� �)#�#6�7�� #� &3(�?$"9�3�")���$,IJKLMNOPQ;�,�GRSAGSS�3��),��,TUVWXYXZ[V\]X >���")#=�-(#)?#-��$_�'�(��$_�'�(�)�(�3#"�2�)�����(�"$��� ���&��$ *�;�'���'��0"��$(�,�a��;�'��1 ���)+�#/)# #��"$3/�))2 #:�)�"�)�(�3��)#=�6��-/#��;&"���%��"���(��#"#=:���)�%�;�+(� �"#2"#"�$��"�*�)��;#2�$�%3$;)���$,��$_�'�(�&"��)����&6�"�&��$���$����?$*��������$�=�'��&/)2�@)���# �)3(��A�"#3��+)�'��_$����_�:�'��'(�_��������(�)� �,�b�'����"���#"#6�%)�)1�%3�;&"��$_�'�(�%��/����"�'��-�(�;&"�))2�"� $����1�$=�.���$,����"�����������-�(��� �)3&"�"�=� &�-(�3�"�#�#���"$�&�"�c'#-�$,

Page 76: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������������������ !��"��#�""�����������$%���&�'� %���"�(�)"���"���!�#!�����%���!�)'�*"�)�)�#!&%+��,���&%&���"�����!"-!���./�0�$%���&������������1���1�2�!�%�3&4�!�!�5%�-��!�������!��)�6��!+�"'� %��������7%�8�������/�9)����"'���������%���!�!'��&���"���:'��%���:��)1!�!'�������53+!��&�4��!�#��!��%+���:�����)+4�!'����"!�")�!�����&�%��;� ��3"4�:�����:/�<%�����&���!�!����5�;�4'�7����������7%��%�"!=�#�&��%�%,)��������>" �:/?+!14���@AB��/� ��"/�%/���������1�"����!#%"!�!�1"�""��!����1 �,)�!�� �&�� ���"��%C������%�")�&��"��,��4���7!")/�D�E����"����"�1�&")����&��2�� "%��%+���="�3%�!#"%�,���&���'��,����2�"!=�#%�"%#!=��� %"�F*��������=&4�!=�&�;1.G'�#+%"!�������1�,��H�1)��+!&���%&�!�����1��"!=���������=&4�!=�&��&�,�5!���/�I%�,)��� "�#�&"�����%+���="!=�&�;1'�����+��!#"!=��+),'���"�)���%������!&���/�J�1��1"���+4"!��1"�����#+%"���-4����,���&����,)+���H��!�)�"��1�����K��%"�������'���)���"!�"�31!��+!�&!���+���1 ����H�/�>���7�����&4��1�#+%"���,���&������3����+���)�,� )'����+!C%�-4����1"��)��!&��#�+�'�7�,�=��)���!3=C+!�"�� ������)��"C����������=-�/6��5�;�4'�7���������� ����%�C%� ��% %""���%��%�!'�7��"�&!�4�=������H��F&�����%��%���,)+���� ����"�,��������"�C%G/�0��+%�%" �;'���������"��#%&�4�-4������ ��!������!"�&�)�5%��3�)�,!���F %���'����� �'����5�2'�7��,!��&����5%����;��� ��!�3���������)�"������!�)�"!���1��&����"��!�A'�L'�@G/���!#!"���%+!#%1"�:����)+��"�&����%��%�!������������!2 !"�M����&��3���N����&��N�1"�#)7�&�4/�>&")2���+4���&��%"4���1"!�� ��% %"4�-�2:��%��%�!�F�%��%��!#"�'��+�%,��:#"�'��%��"�#"������"/G/<��#!&+�����%���!#"!��"�)����������=-���� "�&!+!���!�3�%�!�)'��%��%���;'��&���"���;����)1!�)/�6�"!��&��"��!+!'�7���!&����1�)#�""��&��)"!�1�+%5!�4��� �::� ��5!"!'���,���1"��)��� �#!&+�'���&����!+!��%�C)����%���!#")��%���;��)1!�!/�6� 3��!�������������)'�7��&����"���� ����"�+4���� �����"%&)���"�'�&��+���%+!��;�1�&+)��;���������=-��/���!�-4��)���%�C%�,)+��1�&��&���"���%�� � ��% %""���� �&)����!�"���/�I%��� ��!������!�%+�� ���%�C�:���!1!����&"��������%���!�!'��� �+�""�����:�)��� �+4C��)�FO� ��&�����"/G����H�1�"%�1���1C!�%""�����3"�����#!&+��F&����%""���%���:�����-��"�+4"!��#!&%+G/�������)���!�!&);�4�����5��%��%�)�����&)�)��")���C"����)������!�)�"!�����1� �#)���������!�����+�7!"!�����!+4"!3�!�� "�=�%""!�!��"����)�"!���!�F��5+!���+!C%���!������"3�!M���!�)�"!���!'���� �����!���C%&�!�)�"!���!G/�P��� ���&3��'�7������������,) )����*��&��#"�.����)�!'���,�������!+4"���"������""!�!�F����1��"����+���+���"�G/�Q+%�"�=,�+4C�������3"�'�7����������=-��1"�+!�+!C%���!�1�"!�M��),'��%���% ���� � %3��% �/�Q�����% ��������&�% �'�������"�'�,)+!���%�C%��� ��!���9%%�%���/

Page 77: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������� ���!��"�� #���$�%�!����&� ��'�('!��%�)!�*���+�,��-.��)+�/+�-��)� �#/�)!-�0�������1)2�����('!�$,� ,���� 34$+�++%��'�('!��5�"���#�('!#��-6�"��$�0�(���-�7���� ,���"+�1�$'+��)0�)� ���"/3%",/�++%�"�$�76�%���!'0'��"/�$%!2)%�$���/�$���!+#8���/+%+26���!���9��'�('!�#7+��$�/'$'+��$'%���7#)*��/����/+�)!�.��������� ���!��"�1(�/)%�0��0��:�%(#�!��0����'*)�%(#��6�1(�/��+�6�0�$� +�)!-����,�.�;�#�('!#���%��0���!#���� 7#)�'+2�+'�:���/#�����������6���/�+�"����$�)!-�"�%/�%/6�&��<0�)!�/#/���#�('!#�,�/#&'�"���+!'�')#�!����/:%=. �0�$��2>�(,��$'5������������"/#/��#6����(��+!#7+#8�,7'*+#86�/#$�!+��$�)��$+#�#�+�/����7�),?�@�0'�+#����@'0�'�6��-�'����A'�+��$��$���+7�6��$$�+�!�+��� ���!���+>#8�"�!#86�8!��"+�1>�/�,�+�,��/�*����)��)2��(,�)0�$�,�(#)�#!'�%�+'� 8�$+'�0�$B�,+!%�$�%�/)!�+�/�'++%�"���+�(��+�)!'1�)/�!� ,$�/#.�('+'(����������+�"/�+�����!'��+��/#$#(�1�)!���+����)%:%6���!���9� ���!��+�,��/#8�0�'(�1���/,�#:2�,���"+#8�(�)!�8�)/�!,.CD�E���)!�,�!,���>���2+�����,�),��'�('!��5FGD�E�� ,$,4!2)%��'�('!��%�%��+�,��FHD�E�����"+#:%�(�9�0��+�('!��4-���)!'�'�('!��4-FID�E����'�('!�#7+�����,�#�4��)+�/+#(#�,�)!'�'�('!��5FJD�E�'�!/'�$9'++%�+�"#/�-!2���)��(�-FKD�E����'�('!�#7+��0�+%!!%�+�"#/�-!2��"+�7,/�+#(#6���%���L�+'�"+�7,/�+#(#FMD�E�#(#���)��(�(#�$�0�/+'+��)!'�'�('!��-FND�E��/#"+�7�-!2�4$#+,�0��&#+,FOD�E���+�)��$�#�"���)��(�)!'�'�('!��5�/#�"+�4!'FCPD�E�'�!/'�$9'++%�+�"#/�-!2�!'��'(�-FCCD�E���)0�)� #�$�/'$'++%�!'��'(#�/#�"+�4!'FCGD�E�,����2��)!2�0��&#+�(�9+��0��/')!#�7'�'"�!�#�!�7�#FCHD�E��0'�'/��#!#6�7#�+��'9#!2�0�%(��0��&#+�FCID�E�#1�/�$��"���0'�'!#+�!#('�0��&#+,FCJD�Q��+�"#/�-!2�0'�'��"�(����,�#�0��&#+�-FCKD�E������,�#�4�0��)�#(#6���%���L�+'0��)�#(#FCMD�E��/#"+�7#!#�0�%(,�0'�'!#+,�0��&#+FCND�E��0� ,$,/�!#�0'�'��"�('!�$�(�)��$�/F

Page 78: 10 geom bi_u

������������� �������������������������� ! "�#�$%&���'(��%)��(�*+�(�,-.�/��0)1�*'��)2&3���%(2&0)�4567��8+�0+�0',%���0(2&0(9%&:�;)8,'(%&�*'��)2&�<��(�*+�(�&: =:>?@ABCDE>DF@GDHIC>DIFJKBFLLM>KH>G@HJHNFLHOH>PAQRGS>TUVWVXYZ[\>]HN@A>U�LAFBRDE>QJM_C>Xab\>DHN@A>U�LAFBRDE>QHcRLC>Xad\>DHN@A>U�FBRDE>LA>QJM_C>Xae\>QJM_A>XVQJHfHKRDE>NFJFP>DHN@S>Uag\>QHcRLA>XVQJHfHKRDE>NFJFP>DHN@S>UZh=:>dRiFJCDE>DIFJKBFLLMj>M@F>CLDFJQJFDSk>PHiJABFLR>JRGSlLH@>mZnoZ[\>p�WVqj>r�W�pj>s�tVpab\>p�uVqj>r�W�pj>s�tVpad\>p�vVqj>r�W�pj>s�tVpae\>p�uVqj>r�W�pj>s�WVpag\>p�vVqj>r�t�pj>s�WVpZw=:>dCKH_Hj>cH>xj>sj>y>z>GQCELC>DHN@R>KM>KIHf>QHcRL>XVC{qZ>?@AlBCDE>KIA>QJAIRELC>DIFJKBFLLMZ[\>| HcRLR>QFJFDRLA}DEGM>QH>QJM_C>j>QJRNH_S>x�WVj>s�W�j>y�WVab\>QHcRLR>QFJFDRLA}DEGM>QH>QJM_C>j>QJRNH_S>x�WVj>s�W�Xj>y�tVXad\>QHcRLR>LF>QFJFDRLA}DEGM>QH>QJM_C>j>QJRNH_S>x�WV>C>x�W�qj>s�WV>C>s�WVqj>y�WV>C>y�WVqae\>QHcRLR>LF>QFJFDRLA}DEGM>QH>QJM_C>j>QJRNH_S>x�WVj>s�WVj>y�WV>C�XV~{qag\>QHcRLR>QFJFDRLA}DEGM>QH>QJM_C>j>QJRNH_S>XV�{qV�Vxj>XV�{qV�Vsj>XV�{qV�VyZ�=:>dCKH_Hj>cH>DHN@R>��j>�mj>�n>FBADE>LA>HKLC>QJM_C>�Z>dRiFJCDE>QJAIRELH>PJHiFLR>IRGLHIH@Z[\>�FJFP>�>QJHfHKRDE>LF>iCE�F>DJEHf>QHcRLab\>NFJFP>�>QJHfHKRDE>HKLA>AiH>KIC>QHcRLRad\>NFJFP>�>QJHfHKRDE>iFPCN>QHcRLae\>NFJFP>�>QJHfHKRDE>KIC>QHcRLRag\>NFJFP>�>LF>QJHfHKRDE>BHKLH�>QHcRLRZ�=:>dCKH_Hj>cH>QJM_C>�j>�>C>��LF>_A}DE>GQCELH�>DHN@Rj>HKLA@>QHQAJLH>QFJFDRLA}DEGMZ>?@ABCDE>QJAIRELF>DIFJKBFLLMZ�RGZ>mZno

Page 79: 10 geom bi_u

��������� �� ��������������������������������� �!"#$%&�'�()*+���,-.+�/!*0.-$+1�2��/������������ �!"#$%&�'�%�&*+���,-.+�/!*0.-$+1��/������������ �-$!"#$%&�3",!�4��/!*0.-15��/������������ �-"��*#'%&�!"#$%.�)�#*(-�6��7-'84�6�/!*0.-�1���/������������ �-$!"#$%&�!.9"�*(-�6�/!*0.-�:;<=� �4*%.�.>'%-.>'�?@AB�("�>��)"�9.-.�!"#$%&�'�/!*0.C-��D:E >$#�%&�%)"�(#"--���,��>.+�)./!.)$F�-$!"#-�7%&�'7�+�)"�9.-�4*%.�.>'%-.>$�?@ABG($-�6�/!*0.-�:H��?GIED��AGIED��JGIE?A���JGIED1 K��@GIED��AGIED��BGIED1L��?GIED��@GIED��MGIE@A���MGIED1 N��AGIED��BGIED��?GIED:O��@GIED��BGIED��PGIE@B���PGIED1���H��L���K1 2��L��K���N1 ��O��K���N1 5��H��O���N1 ���L��O���K:Q<=� �R?@AG/�*)"("-*�7"�"(-8�!�-�8�JS�TJGIE?@�GSGIE@A���-$��>�6�!"#.%&�%*4>$�P:�.,-$4%"�/�$).!&-��%)"�(#"--��0*(*��*,��0"--��%*4>.�P:H��PGIEJ@1 K��PGIET?J@�1 U��PGIETA@J�1L��PGIEJS1 N��PGIE?A1 ���PGIET?AS�:O��PGIETJ@S�1 V��PGIET@SA�1���H��O��N���V1 ��O��K��U����1 ���L��O��U����:2��L��O��N���V1 5��K��N��V���U1W<=��("-%.X�>'6%"�(*�>*#-*Y*�/"�"%.-'�/!*0.-�/���'�Z+-&*CY*�/"�"%.-'��>*�.7%'84.7&�,*3�$#"--���>'3$�T�.7:�L:O[�:���T?HBH@H��\�T@@HB�1 H��?HAH1 �2��T?H@HAH��\�T@@HA�1 L�GAHBH1 2��T@A?H��\�T?BBH�1 O�G@HAH1 5��T?HAH@H��\�TAAHB�1 K�G@HBH1 5���T@HAHBH��\�T??HA�: N�G?HBH: �]<<=� �%�$/"�Z�?@AB�T@AG_G?B��/�*)"("-*�7"�"(-8�!�-�8�JS�TJGIG?@��SGIGAB�� >$#�%&��,$��>.�.�,�'�*)�T�a����*#-$�,�*C3.%.�).7-*)*>��0*�%�$/"���?@AB�!"#.%&�'�($-�6�/!*0.-��D:���?AG\E@BEbEc1 5��ABGdED���SGIED12��JSGdED1 ���?@GdED���JGIED:��JSGdED���?GIED1ef<<=�g'3�?@AB?H@HAHBH�/"�"��,$!.�/!*0.-*8��0*�/�*+*C(.%&�4"�",�7"�"(.-.�%�&*+��"3"���0*�).+*(�%&�,�)"�9.-.�h:�.C,-$4%"�).(�X�Y'�.�/"�"��,':����'/*>'%-.6�%�.>'%-.>1����������)-*7%*�*--�6�%�.>'%-.>12��/���*>'%-.6�%�.>'%-.>1���5����,-*7%*�*--�6�%�.>'%-.>:

Page 80: 10 geom bi_u

������������� ���������������� ������������������ !"#$�%&'(�)�*�+,"��-. �% ! #�)/#��%!+0/�12�3!��������4��4�3565�47 �4�388�547�4�388�9�47�4�3688�47 :4�35�6�9�4�;4��*���"��7<4��*���"�:7�4��*���"�:7 =4��*���"�:7 >4��*���"����?������� !"#$�� ! .�!��-),"@������#/,�A*�)/�+,'0-�B'�!/C D)'�% ! !"B*�-#@'! )�A�%&'(�)'E*�('�%!'F'.�#$�G ! B�� ! .�)��.@'F��-0"C)�F��#'!")�'.)"HI�J!/)"�#/�@ !K�)-*��-�".)E�.'�#'G,��% ! #�)-�! � !*�)/�+,�F�@��!/)'�� ! .�)�������������L������B)/G# �.@/�%!/@�&$)"�#@ !.C ))+��;4�M,('�,'&'�0/H�B�%&'(�)'E�.@"��%"&$)"�#'G,�*�#'�@�"�#'G,��N$'J'�,'&/�& C/#$�)/�N"A�%&'(�)"7<4�+,('�.@"�#'G,��O�,")N"�."/0 #!/�,'&/�O�& C/#$�)/�%&'(�)"*�#'�@�"�#'G,��,'&/�)/& C/#$�N"A�%&'(�)"7�4�+,('�.@"�.'@"&$)"�#'G,��,'&/*�('�) �-#@'!EE#$�."/0 #!*�& C/#$�)/�%&'(�)"*�#'�@�"�#'G,��,'&/�)/& C/#$�N"A�%&'D(�)"7=4�+,('�F'!./�,'&/�"�#'G,/�,'&/*�('�) �& C�#$�)/�)"A*�)/& DC/#$�'.)"A�%&'(�)"*�#'�@�"�#'G,��,'&/�& C/#$�)/�N"A�%&'D(�)"7>4�+,('�.@"�F'!.��,'&/�)/& C/#$�. +,"A�%&'(�)"*�#'�@�"�#'GD,��,'&/�& C/#$�)/�N"A�%&'(�)"��P�����".'0'*�#!��#'G,��-�%!'�#'!"�!'B0"( )"�#/,*�('�G ! B�)�F�0'C)/�%!'@ �#��) �0 )K �����!"B)�F�%&'(�)����B)/G# �%!/@�&$) �.'%'@) ))+�N$'J'�#@ !.C ))+�;4�Q"�#'G,��& C/#$�@�'.)"A�%&'(�)"7�<4�N"�#'G,��& C/#$�)/�'.)"A�%!+0"A7�

Page 81: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������� �! "#�$��#��%��&�'()*�&+,�����������! "#�$�-��%��&�'!�.���/�#! ��#��%��&�'()*�&+������������! "#�$�-��%��&�'!�.���/�#! �� ��#��%��&�'()*�&0123345�%�*�/�.������(��������6/�7/�89��:�� �! "#�$�-��%��&�'!�.���0� �#"��$�'()*;�' ( ���;�<=>?����"��@�'#(��'!�.��/�A#%#��B�;*�-#*��<C>��0C��<678����<67:�+ =��DE+ CF��<68:����<678�+ ���DG+ F��<78:����<678�+ H��6:+ ,��<68:����<78:�+ I��7:+ ,���<7:8����<6:7�+ J��78+ �K��<67:����<68:�0 ?��8:0 �1L334�M#�( N(#B�DD=���EE=�'()*��;���O��'#(#! ! '�' %#�'�A�#P� ���������Q���R0��A�#�� �'()*�/�)���' ( ���#��* �'()*#�SRTC��6:���7=8=+ �98:���6=7=+ ���7:���7=:=0F��679��8=:=+� ,�968���6=8=+�UVWXYZ[WU\] _abcdef5_ghgiib51jklm5_5noenpq5_grpsq5thu5qdonuvgif451jw4��()*#�x9' ( ���#y�%-��z��(����{6780��A�#�� /����*�" �'()*#�x9' ( ���#����( �|�z��(��;��(��;����#01mw4��(��'()*�/�)���'(�B�%)�$�� ( A�����;�}/�' ( ���#|�$�� �- (�;�'()*;�-�����#B�S/�R9�9~T��A�#�� �(�A*�. ��)��������/�S/�R��9~T�1�w4���#O��#!��(�*N#�S���9' ( ���#|�$z)�-�������R0��%�*�/�.��- (�����(�*N#�S������#! "#�$�% )��&�'!�.�����0��A�#�� /�����#! "#��*;�$���&�'!�.�����������9���0�<�%'�-�%$�A#'����$�;���(*����#����������0�l�w4��A�#�� �(�A*�. ��)�����($�B��������/��/�7���E/���!��-�%�*�/�.��'()*��DG9��DE9' ( ���#|�$z)�A�% )��|�'()*�|���;�����#B��9�9��-�%'�-�%��0l1w4��-��- (������(��;����#�������#�' ( ���;�* %�#��! "#�$�-��%��&�'!�.�����0��A�#�� /����N;% �! "#���-���&�'!�.��������#�' ( ���;�-�z����(��;����#0llw4��#�������(���������=/���/��H����I/�.��� �! "#�$��#��%��&�'()*�&T9�#'����$�;z��*�"!�-��'!�.���/�)���'(�B�%)�$�� ( A���"����(��A���B0l�w4��A�#�� �*#�z�*#!$�;���!$��z�$�'!�.��/�)���*�"�#�'(�- z���� ( A�����(�������/�)�.��"�%����(��A���B�� �! "#�$��#��%��&�'()*�&0l�w4�����#&� �(�z;����%��-z�B�-�'#%��-�(�A*�. ��)�% )��@�'()*�@�x���������G��9E/�.��� �! "#�$��#���&0

Page 82: 10 geom bi_u

������������� ��������������������������� !��"�#$%�&'�#�����(��$�)�*���!���*+,$�-'�.'�/�0�$12�324352�6������������������ !��"�#$%�&'�#�����(��$�)�*���!���*+,$�7'�8'�9�0�$12�324�52�:������������������ !��"�#$%�&'�#�����(��$�)�*���!���*+,$�;'�<'�=�0�$12�324452>$12�3243 >$12�324� >$12�3244 >$12�324?�@������������������ !��"�#$%�&'�#�����(��$�)�*���!���*+,$�A'�B'�C�0�$12�324?52DEFGHIJFDKLMNOPQRSTUVNWOXWYYQV�Z[\�VNV]MOY_VMabcYTcOWYYQ_�V�Z����d ��e�'�#���f ���ge ������$%h&�)1g�f���*i �jk�l�f�� �)'�#��f1 ���ge '�g, �%�����(��g�)�*���!���*,��j'�h"�������$%h&�)���$�f �!h�h% ���ge '�"�mh�)�f���% ���"�#$% 2\n����l�f�� �)'�#��,�"$���1g�)���ge$(����(��g�)�*���!���%����*,�� ������$%h&�)���$%h�ig�����ge��f� %o$(���*,h('�f �+e %%$(�f ���,h!h%�p'����f1 ���$%h�ig�)���ge$(�"�mh�)�f���% ���"�#$% 2\q������������������� !���$,��%�p�� �he �$�/r-.��"�+#$�%�&'�g,h����(��$�)�*���!���*,$�8'�9� �7'�g,#��8�s�r/'�9�s�/.'�7�s�-r2\�������������������� !���ge�,��%�t���h�h"�"�� ���h�897u8v9v7vuv��"�#$%�&'�g,h����(��$�)�*���!���*,$�w'�x� �y'�g,#��w�s�8u'�z�s�99v'�h���*,h�y�s�08v9v7vuv52

Page 83: 10 geom bi_u
Page 84: 10 geom bi_u
Page 85: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� !"!�#$%&'()�*+$',-)((.�/*.'01�2�/*+34+*,�567�879:;<=>?@�=AB�C8<DB�E>�C;76@EBF�?7�A7E@�>G7�EH�CHI8H?@E>J?KL<F�>G7�CH8H?@E>J?KL<�;@MH�A�7=EBN�?7OPB���B�C8<DBF�<5B�EH�CH8H?@E>J?KL<�B�;HQ>?K�A�7=EBN�C;76@EBF�E>9@A>J?K�RSTUSVWVXYZ[Z����?BF�<5B�CH8H?@E>J?KL<F�\�D>J?K�758HD]�E>9A]�;@MH�A�7=E7D]�A@C>=5]F�57;@�CH8H?@E>J?KL<�CB=�C8<D@D�5]I?7D���>5B�C8<DB�E>9@A>J?KL<�RWURWYZ_VaUYZ[Zbc@�BLE]J?K�]�C87L?78B�C8<DBF�<5B�CH8H?@E>J?KL<�B�<5B�EH�CHI8H?@E>J?KL<d�B=C7AB=K�E>�PH�9>C@?>EE<�=>J?K�7G8>9@�E>A57I;@MEK7:7�LAB?]��c@�D>J?K�?>5B�C8<DB�LA7J�E>9A]�?>�<5�ef�879I8B9E<?@�\�A@�=B9E>g?HLK�]�PK7D]�C>8>:8>hB��>�>5LB7D7J�L?H8H7DH?8Bei�<567�=AB�C8<DB�CH8H?@E>J?KL<F�?7�OH8H9�E@f�D7QE>�C87AHL?@�g=@E]�C;76@E]��jH�79E>O>gF�67�G]=KI<5B�=AB�C8<DBF�<5B�CH8H?@E>J?KL<F�A@9E>O>J?K�C;76@E]F�>�C;76@E@F�]�LA7J�OH8:]F�\�C87L?B8��?QHF�]�C87L?78B�C8<DBF�879DB6HEB�A�7=EBN�C;76@EBF�D7Q]?K�CH8H?@E>?@L<�>G7�G]?@�C>8>;H;KE@D@���>�>5LB7D7J�C>8>;H;KIE@f�C8<D@fF�OH8H9�?7O5]�C79>�C8<D7J�D7QE>�C87AHL?@�g=@E]�C8<D]F�C>8>;H;KE]�=>EBN���>�E>L;B=57D�9�>5LB7D@�L?H8H7DH?8Bei�OH8H9�C8<D]�B�?7O5]�C79>�EHJ�D7QE>�C87AHL?@�g=@E]�C;76@E]���7D]�9E7A]�Q�?>5@�A@f7=@?KF�67�=AB�C>8>;H;KEB�C8<DB�9>=>J?K�C;76@E]�kAB�C8<DB�]�C87L?78B�E>9@A>J?KL<�RSUSVWVXYZ[ZF�<567�A7E@�;HQ>?K�A�7=EBN�C;76@EB�B�EH�CH8H?@E>J?KL<��567�=AB�=7AB;KEB�C8<DB�l�B�m�C87L?78]�C>8>;H;KEBF�?7�A@57I8@L?7A]J?K�L@DA7;�nop�B�9>C@L]J?K�nq�o�mp�rO@?>J?Ki�nC8<D>�l�C>8>;H;KE>�C8<DBN�mpF�>G7�nC8<DB�l�B�m�\�C>8>;H;KEBps��B=8B9I5@F�67�;HQ>?K�E>�C>8>;H;KE@f�C8<D@fF�?>57Q�E>9@A>J?KL<�RSTUSVWVXYZ[Zb�79:;<EHD7�D7=H;K�5]G>F�A@:7?7A;HE7:7�9�n=87?<E@f�AB=I8B95BApF�<5B�;HQ>?K�E>�AB=C7AB=E@f�C8<D@f���H8H=�C8<D@fF�E>�<5@f�;HQ>?K�8HG8>�5]G>F�g�?>5BF�67�EH�CH8H?@E>J?KL<�B�;HQ>?K�A�7=EBN�C;76@EB�rtu�B�vwF�txux�B�vxwxF�txwx�B�uv�B�?��=�sF�?7GI?7�\�C>8>;H;KEBF�7=E>5�g�N�?>5BF�67�EH�CH8H?@E>J?KL<�B�EH�g�C>I8>;H;KE@D@�rttx�B�vwF�uux�B�twF�txu�B�vxw�B�?��=�s���>5B�C8<DB�E>9@A>J?KL<�yzy{|}~��zyz��kAB�C8<DB�C87L?78]F�<5B�EH�CH8H?@E>J?KIL<�B�EH�C>8>;H;KEBF�E>9@A>J?KL<�[Z[����TYZ[Zb�879]DB;7F�67�=AB�D@D7GBQEB�C8<DB�EH�D7Q]?K�;HQ>?@�A�7=EBN�C;76@EB���7D]�6H�5>Q]?KF�67�=AB�C8<DB�D@D7GBQEBF�<567�ef��@L����x

Page 86: 10 geom bi_u

������������� ������� ������������������������������ ��!"#$#$�%��&�'� (�)$�'*�+(,� �-��.���,��$��/0!��$1� 2,�$1�%$3�2$"#�%'4#5�"$�%�(�678*�9� 2$3(�&�:�7�;�<.$#�4#5=�6 2,�!�:�!�;�>��$��0!��!8��0��6 2,���:��$��0!����-� 2,��4�;8?*�@32��$��%$ �&3���2�-�!)���,� 2,�$1�A�B1���/3(�&���,�>� 2,�!�-0!C�4#5",*DEFGH�IJKLMNGOOPQRSJTQUIPLVTQWQUIJXEJIMQLJFGQYWEVQEZ[VL\]?� 2,�!� �2�#$��4#5",H�,3)��%��$���4#5�#!(53$��&�'�" !(5�'�#�.3'_?� 2,�!� �2�(�(5�!H�,3)��%��$���� �2�#$��4#5",�!�(���#5�%��&�!� (�)$�!a?� 2,�!��$��0!��!H�,3)��%��$���� �2�#$��4#5",�!���� �2�/(�(5�!b?� 2,�!�-0!C�4#5",H�,3)��%��$���4#5� 2$����!�&%!�" !(5/�!�#�.3$*c�-C(,�����%(�"#$%�"#!H�,3$�$�%�(�&!4#5� �2�(�(5�!� 2,�!�'� 2�"#�2!*defgehijkljmegenjopqrstupjvfwupjxgfyvfgpzjtuij{ej|e}~vrj{ijqis{��jxgth��zjhf}{ijxgf�eyv~jxgthpzjxigi|e|r{pjqi{��zj�jqfjvf�fj}jv�|ru~jfq{pl��� � �����9�1��:�&�%!(5��� 2,��� 2�"#�2'H���>�#�.3�H�)�������(��$#5�B�<2$"*�a*_?*���2�-� 2,�'�:�!�#�.3'��������� 2�%�"#$� (�)$�'*�9�1�����0'&�� (�/)$����*�9�� (�)$�!���(��$#5� 2,���!�#�.3�� �-����4*���2�-��4�#�.3'������� 2�%�"#$� 2,�'H� �2�(�(5�'�&��!*�9�1�� 2,���;���:�!�����;*�+�/%�&���H�)�� 2,���;�A&$��*��2$ '"#$/��H�)��!"�'A�!���� 2,���;]H�,3�����-0!C�A#5",�-� 2,��4�;H� �2�(�(5��� 2,�!�:�!� 2�1�&$#5�.�2�-�#�.3'��*�@"3!(53$�:���;]H�#�H�-���-��.���,�H�%��$�(���#5�%��&�!� (�)$�!H��� 2$/3(�&��*�@#��H���!�����4#5�" !(5�'� 2,�'�:�#��#�.3'��H���#��'�-0!C�4#5",*��� (�)$�!���.�2�-�#�.3'��� 2�1�&,#5�&%!� 2,�!�;]�!�;H� �2�(�(5�!� 2,�!�H�)��"' �2�.$#5��3"!��!� �2�(�(5��"#!*�@&�2��($� 2�#$/2!..,H�,3��&�%�&$#5�A&$�!"#5� 2,��B�;H�)���%$��C�(�/",�&�%�"#$*�� �� ������ � ���c$"*�a*_

Page 87: 10 geom bi_u

���������� �� ����� ���������� ������������������� �!"#$#%&'()*)+,)-)./.0(&123+,-456789:;<�#=>?#@ A!?#@" "B�BCD?#E �E?F#@ A!?FG#E�#>�DH#@" "B�BCD?#!?I#J�K�L9#MNOPQPRRS���TUVW�XYZ[\�]�\��XVYV_T_a\�XYZ[\W�b�cYde��f�fg��hijTkT[il�mi�XYZ[\�]�\��XVYV_T_a\��dXVnkiol�oi_d�XYZ[\�pl�l�b�_TqVr�j�ika\W�X_imda\l�st_i�Yiuv_Zatri�j�X_Va\[TrY\w��xy�j_Verdj\er�mT�aVudjVnyr�iuaVoiy�XVYV_T_aier\�XYZ[dU���i[t�jjVqVrd[Tn[il�mi�z\�XYZ[\�aT�_TqVr�j�ika\W�X_imda\l�\�kijTkT[il�mi�rVoV�iuaVoV�[V{�[\ezT�\�j�XYieriY\���de��f�fV�t[ijiy��|�}l�V�ri[t�z\�XYZ[\�_TqVr�j�ika\W�X_inmda\l�aTUVW�zT�stkT�X_imdaV�~�+�aV_iv\�ai�]�|�}l�ri[t�z\�XYZ[\�_TqVrd[tr�t�kTZo\W�\a�\W�X_imda\���X_inmda\����dsTYT[i�aV�XYZ[\W��ri�ot�����TYTu�XYZ[t�]�\�ri�ot���XYijTkT[i�X_imdat��l�ZoV�XTYTraT�X_imdnat�~�Xi�kTZo\W�XYZ[\W���c��\�~�[Vyr�eX\_at�ri�ot��g���eo\_od��TYTu�ri�ot���t�X_imda\�~�jqT�XYiUikdr�XYZ[V��|�}l�ri�����}l�risri���XTYTrdaVrd[T�b�t�kTZo\W�ri�z\��������}l�V�uaV�dr�����~�\���������_T������l�ri[t��������isri�ri�oV���aV_Tqdr�rYi[�X_imdaV[��l�~�\�����_T�je\�ri�odl�eX\_a\�k_Z�X_imda���\��l�_TqVr�aV�XYZ[\W�p���i[t�XYZ[V�]�XYiUikdr��TYTu�ri�ot��l�mi�etXTYT�dr�t[ij\�]�|�}���rqTl���aT�XTYTrdaV{�XYZ[t�bl�risri���XVYV_T_aV�b���_T�j�X_imda\�~��TYTu�ri�ot���XYiUikdr�r\_od�ikaV�XYZ[Vl�XVYV_T_aV�XYZ[\W�b���i[t�XYZ[\���rV��us\vVyreZ���eo\_od�XYZ[V���aT�XTYTrdaV{�X_imdat��l�ri�XYZ[V���aT�XTYTrdaVrdn[T�XYZ[iw�]�\�aV_Tqdr�X_imda\�����rqTl���|�]l�risri��|�]l�mi�W�jd[VvV_ieZ�kijTerd���PN�P���QNOPQPRN�

Page 88: 10 geom bi_u

������������� ������� ���������������������������� ��!"#�#$% &'�(")*+#�("��*�&�,"-./0102"34567689:7;<78=6>7?@3AB>7CDEBFG7H78D34;I7?C65B9;J7:78@HK:7?@3A:7?D@DFB9:L7MN7?C65B9H7=7F6OM;J734:79D7CDEBFG79:7?D@P;I7?@3QA;IJ7F67M;7?@3A;7ABA6R;E9;7S)*$)$'T,#$"U$�V���"��#$�� W'$XY"Z[\][7"� U$#$"_$")*+# "" "a"�V&��!"'�"$U' W")�$_�' Y"bc�d& �!"#$&��� "�e�,#' "*$e# _V''+"f�(")*+#�(YgX"" "a")V*V��'�h�!�+i jX"" "a"'V")�*��V�!' ikX"" "a"'V")V*V��'�h�!�+i lX"" "a"#�#$% &' Y�X"" "a")�*��V�!' iZ[m][7"l� ")*+# "n" "o")�*��V�!' ")*+# W"�Y"bc�& �!"�e�,#'V"*$e# _V''+")*+#�("n" "oYgX"p�#$% &' i kX")�*��V�!' i �X")V*V��'�h�!�+YZ[Z][7"q�"*��T'cT"rYs"e$%*�&V'$"U� ")�$_�'�"t" "u"+c ")V*Vd��'�h�!�+")$")*+# W"aY"bc�& �!"�e�,#'V"*$e# _V''+")*+#�("" �v"c$��"� U$#$"_$""w"a"v"x"aYgX"y�*��V�!' i kX"#�#$% &' i �X")V*V��'�h�!�+YZ[z][7"{$|c�"}"'V"�V&��!"'�")�$_�' "�*�cT�'�c�"~��"S*��Y"rY�XY"l$%V* �!"#�#$% &' "U$")*+#�("Sg��X"�V*VU"S��rXYgX"}~i �X"~�i gkX"}�i �X"~�i k�X"}�Y" rX"��Y ����Y"rYs ���Y"rY� ���Y"rY�Z[�][7y*+#�"��"_$"'V"�V&��!"'�")�$_�' ")*+#$cT�'�c�"~���")�*��V�!'�"��"S*��Y"rY�XY"l�W�V"'�e�T"c$&' W")�* ")*+d#�(YgX"��" "~�i �X"p�#$% &' i" gkX"��" "��i �X")�*��V�!' i" k�X"��" "~�Y rX")V*V��'�h�!�+Y �

Page 89: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� !�"��#$%&�'�()&*#+,-./0�1#(&�12#3,)#4�-5,%6-),%&�789�:5,/��;�<=���&�/>5>+,)&*�?@+5@(%@?�'7A�'9�@�'8�1#()&$>)#�-#$B%,�CA�D�@�EF?@+1#?@+)#��,G>5@-.�-5,�1&5,�1&5&2>2.),*�150H,*��I=�CJK ;=�CDK L=�J'K <=�78K �=�79�M=�JDK N=�C'K O=�D'K P=�89KQ=�I�@�OK =�M�@�NK R=�;�@��K =�L�@�PKS=�I�@�<K T=�M�@�PK �=�;�@�LK U=�N�@�����V!!����50H@�W�@�X�1>5>-,)&4-./0A�&�150H&�Y�1&5&2>2.)&�150BH@Z�X���%&[@-.�H#[2,?>�?(&\H)>�5#(H@3>))0�150H#]�W�1#�?@+B)# >))4�+#�Y���=��&5&2>2.)@K S=�1>5>-,)&4-./0K =�H,H#G@[)@��,/��;�< �,/��;�P��_!!���&�5,/6)%6�;�P�(#G5&[>)#�%6G�789 7I8I9I I��,G>B5@-.�-&%>�?(&\H)>�5#(H@3>))0�150H,*�6�15#/-#5@�:�a=A�0%>�G�?@+1#?@+&2#�$#-,5.#H�@(�1b0-,�(&+&),*�1&5�150H,*�:IaL=A�@�-&%>A�0%>�)>�1@+*#+,-.�[#+)@Z�1&5@�150H,*��=��&5&2>2.)@K I=�I �@�8I9K �S=�H,H#G@[)@K M=�8I9I�@�I9K� S=�1>5>-,)&4-./0� ;=�7I8�@�I9K N=�7 �@�I8IKL=�9 �@�89I���c!!���R?&�1&5&2>2#d5&H,�789 �@�78Ce�)&2>[&-.�5@(),H�12#3,)&H���%&[@-.�1&5&2>2.)@�150H@��=�7�@�C8K =�9 �@�CeK R=�98�@�C8�S=�89�@�7eK T=�7�@�e7K��fg!!��,()&$->�d>#H>-5,$)6�h@d656A�0%6�6-?#544-.�6/@�?@+B5@(%,A�3#�/1#26$&4-.�G6+.B0%@�-#$%,�+?#*�5>G>5�150H#%6-)#d#�1&5&2>2>1@1>+&A�0%@�2>[&-.�)&�H,H#G@[),*�150H,*��=��5,%6-),%K =�12#3,)&K R=�?@+5@(#%�S=�$#-,5,%6-),%KT=�-5,%6-)&�1@5&H@+&K

Page 90: 10 geom bi_u

������������� ������� ��������������������������������������� !"#$%&'() (*"+",(-+./0(/ 123(-+ !"4%5(#!$(+$,2$(-6 )5257���8����32 (* %5+5(% *95'() (2"(6"13%&(!( #2$:(-6 )52$7(;9$6&95(/ 123(-+ !"4%5(+$,25<(-6 )52'(.9$(-+ < #.%&(*"+",(%+5(,(=5<(% * 9>�������? *95(@'(A'(B(6"13%&(0(9 12$:(,(#! <(+$,25<(-6 )527(� !"#$%&'() (=$(% *95(6"13%&(23( #2$:(-+./$:7���C����32 (#!$(-6 )525'(.9$(-"+"%523D%&4.(- (-+./$:('($(-+./0(E'(.93(6"15%&(!( #2$:(,(=5<(-6 )52($(-"+"%523F(#+0G07(� !"#$%&'() (-+./$(H($(E(-"+"%523D%&4.7���I����32 (%+5(+$,2$(-6 )525'(.9$(- -3+2 (-"+"%523D%&4.7(� !"#$%&'() (9 65(#!$(,(-+./5<(-"+"%520(=5<(-6 )52(-"+"%523JD%&4.'(% (%+"%.(-+./3(-+ < #5%&(*"+",(% *90(K<2& G (-"+"%5207���L���� !"#$%&'() (9 65(#$3G 236$(* %5+590%2593(-"+"%523JD%&4.'(% (: G (!"+M525(6"13%&(!( #2$:(-6 )52$7���N���(?+590%259(OPQ($(-3+36"6 G+3/(OPRS(2"(236"13%&( #2$:(-6 )52$7(? *95(T($(U(V(!$#- !$#2 (4"+"#525(4% +$2(OQ($(PQ7(� !"#$%&(-3+36"6&2$4%&(-+./5<(TU($(RS7���W���(X3+36"6 G+3/(@ABY($(%+3-"=$.(OABP(ZAB(V( 42 !3(%+3-"=$K[(2"(236"13%&( #2$:(-6 )52$7(� !"#$%&(-3+36"6&2$4%&(-+./5<(OP($(@Y7(���\���(?+3-"=$K(@ABY($(RQBY(ZBY(V(4-$6&23( 42 !3(%+3-"=$:[(2"(236"13%&( #2$:(-6 )52$7(? *95(T($(U(V(4"+"#525(!$#+$,9$!(BA($(Y@'(3(% *95(O($(P(V(4"+"#525(!$#+$,9$!(YR($(BQ(!$#- (!$#(2 7(� !"#$%&(-3+36"6&2$4%&(-+./5<(OP($(TU7��8]���(? *95('(Q'(O'(P(F(4"+"#523/5(!$#+$,9$!(S@'(@B'(AB'(SA(%+590%2 K(-$+3/$#5(S@AB7(_23:#$%&(-"+5/"%+(* %5+590%25J93(QOP'(.9) ($*2$(+"+3(# +$!2DD%&(E'(3(4% + 25( 42 !5(V(H7��8����(a %5+5(% *95(-+ 4% +0(@'(A'(B'(Y(2"(236"13%&( #2$:(-6 )52$7(? *95(O'(P'('(Q(V(4"+"#525(!$#- !$#25<(!$#+$,9$!(@Y'(AY'(AB'(@B'(-+5* /0(BY(b(@A7(� !"#$%&(-"+-"2#5906.+J2$4%&(-+./5<(O ($(PQ7c���8��defghij�klehmnjiio�pkohlq�m�prlnsis�t�pkluvlkmX+./3(F(-$#/2 152 D(% * 9(-6 )5257(w 23(4963#3F%&4.(,(",6$*$(% * 97(?39$(/$+90!322.(-+5! #.%&(# (% G '() (-+./3($(-6 )523(/ 10%&(/3%5(",6$*(4-$6&25<(% * 9'( #20(3 (1 #J2 K(4-$6&2 K(% *957(w5-3#95'(9 65(-+./3(236"15%&(-6 )52$($(9 65(-+./3(-"+"%523F(-6 )520'(23/(,23: /$(Z+547(x7�[7(y2M$(!5-3#95(+ ,/$)"22.(-+./ K($(-6 )525(+ ,G6.#3%5/"/ (!(23J4%0-25<(-3+3G+3z3<7

Page 91: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������ � � � � � � �� �!��� � � � � "�#�$�%�&�'(��)��*+,-+./012345,0,67/08069,:0;/0-/<+<=07>:0;-?.>:0;+-+@>7/A0;<,5>7BC0@,0D06-BE/0;-?./0@/4,F0;+-+@>7/A0GH0;<,I5>7B20JKLMNMOOP���QRST�USVW�XSYSZQZ[V\�XY] \�_�\�a�WUVS�b�V'R�c�_a�XQYQd'VSe�XZWf'Vg�!�g�dWhi\�j�kY'(��)�lmn��oWpQUQWa�fW�UYgqS�XY] S��dSrWs�XQYQd'VSe�XZWf'tVg�!a�dWudW�Se�b�VQv�(X\Z[Vg�dWhrg�\�UW�dWqW�s�d\Z[r'�WUVg� �WbVSh' W�w�c�XZWf'Vga�]r\T�VStZQsSd[�XSYSZQZ[V\�XY] \�_�\�x��(r\Z[tr'�Y\bV\�XZWf'V'�!�\�w�Svd[�(X\Z[Vg�dWhrg�ja�dWa�bS�Sr(\WWv�(dQYQWQdY\ya�pWV'�Svd[�UQ]rg�(X\Z[Vg�XY] g�z���S�XZWf'V\�w�WUVS�b�XSYSZQZ[V'R�XY] 'R�_�XQYQd'VSe�XY] g�z���Wg�yy�XQYQtd'VSe�UYgqSa�XSYSZQZ[VS�yTa�XY] S�x��WhrS�{�e�dWhrWv�XQYQd'Vg�XY] 'R��\�z�c�(X\Z[VWv�dWhrWv�XY] Wy��\�XZWf'V'�!x�Y'Xg(d' Wa�fW�XY] S��Se�b�XZWf'VWv�!�fQ�]rg([�\V|g�(X\Z[Vg�dWhrg���WU\a�bS�VS(Z\UrW�b�Sr(\W�(dQYQWQdY\ya��VSZQs'd[�!���(r\Z[r'�XY] S��VSZQts'd[�\�XZWf'V\�wa�dW�pWVS�bu\qSed[(]�b�XY] Wv�za�]rS�e�Z\V\ev�XQYQd'Vg�XZWf'V�!�\�w����i[WqW�p'XZ'pSea�fW�XY] S�_�WUVWhS(VW�\�XQYQd'VSe�XY] g�a�\�XSYSZQZ[VS�yT���dY' SZ'�(gXQYQhV\(d[a�fW�T�p' SqSZW(]�UWpQ(d'��}MK~M���NKLMNMOKx�������\UY\bWr�j{�XQYQd'VSe�XZWf'Vg�!�p�dWhi\�����QYQb�TWqW�r\Vi\�ja�{�\�dWhrg��a�]rS�U\Z'd[�p\UY\bWr�g�p\UVW|QVV\������a�YSRgvh'�p\U�dWhr'�ja�XYWpQUQVW�XSYSZQZ[V\�XY] \a�]r\�XQYQd'VSvd[�XZWtf'Vg�p\UXWp\UVW�p�dWhrSR�jla�{la��lx��VSTU\d[�UWps'Vg�p\UY\brS�{{l��rWZ'�p\UWWa�fW�jjl�%����(a���l�%�lm�(��'(��)�lm

Page 92: 10 geom bi_u

������������� ������� �������������������������������������� !!�"#$%&'$()*+,-%)../0)��/0)11/)*2+2&3&'4%)%)*3+35(4265')*+,-7).�0)58)984()&3:25')9)8;4%<)*&8=(4%)>)?+(#@)�@//A@)B8C$()./0)�/0)1/)&3:25')42)8;4%<)*+,-%<)D)*+,-%<)*3+35(47)*&8=(4()>)%E)*&8=(486)F@) GH(#@)�@//I+893;3-8)7)*&8=(4%)>)C3+3E)58C$7)�/)*+,-7)J/KL)M)J.0);3).L)D)58C$2)*3+35(47)N%OP)*+,-8P)E)*+,-86)../0)2)1L)D)E)*+,-86)11/@)"#$%&'$()C85(+($754($()��/1L1)%)��/.L.)D)*2+2&3&8Q+2-(0)58)11L)R)..L)R)JJ/@)I8E42C(-8);89:(47)N(S)9%;+%E$%9)C3+3E)T@)B8;%)./.L)R)..L)U)../)R)V)U)WX0)1/1L)R)11L)Y)11/)R)V)Y)YZ/[)?9E2O-43)+8E-%=344,)58C8$)10)1/0)1L)-8:3)\75()+%E43])+(#@)�@//0))%)+(#@)�@//0)GA@))*8;%\48#5%)5+($754($%9)�/1/1L)52)�/./.L)-2O-8]) @)"5:30) 0)E9%;#()V)R)W)#-)2\8)V)R)�L)#-@��_���_a�)W)#-)2\8)�L)#-@b�c���0)=8)*+,-2)*3+35(42O)*&8=(470)$8&()7)43P)E)*&8d=(486)8;42)#*%&'42)58C$2@efgghf)i(\3+%5')*+29(&'43)593+;:344,@jA)k3+3E)58C$7)*+8#58+70)=8)43)&3:(5')42)*+,-%<0)-8:42)*+893#5()\3E&%C)*+,-(S0),$%)*2+2)&3&'4%);24%<lmA);9%)*+,-%0),$%)*2+2&3&'4%)5+35%<0)*3+35(4265'#,)9)8;4%<)58CN%liA),$=8);9%)58C$()*+,-8P)42&3:25')*&8=(4%0)58)9842)PP)*3d+35(42Ol

Page 93: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������������� !"!#�$"%&'�(�)* +'�$*#,�-!.�&*/-,�$"*0!1)2�30(�"(#-(�$4*52-267�� !"!#�)* +'�$"*1)*"'8�5*�-!�4!/2)9�-,�$4*52-(8�&*/-,�$"*0!1)2�:!#4( �$"%&2;8�%+(�$!"!)2-,)2&')9�<.�$4*52-'�=>?=@>��* +2�A�(�B�-,4!/,)9�$4*52-(�C8�)* +2�D�(�E�-,4!/,)9�$4*52-(�F���+,/()9� *)2"2�$"%&(8�%+(�$!"!)2-,)2&')9�$4*52G-'�F�����AB6 H��IE6 ��JE6� ���KJ6�� 7��JI6 ���KE�L=>?M@��(3"(#+2�AD8�AB8�NJ8�NE�$!"!)2-,.)9�$4*52-'�C��2G:!"()9�0(3"(#+28�%+(�$!"!)2-,)2&')9�$4*52-'�C��O��KN6�� P��KE6�� Q��JE6�� ���NI6�� R��IE����O�(�Q6 H��P�(��6 ��Q�(�R6 ���P�(�R6 7��O�(���=>?S@>�(3*&*8�5*�$"%&(�AD8�AB�(�AE8�%+(�4!/,)9�-,�*3-(T�$4*G52-(8�$!"!)2-,.)9�$4*52-'�C�0�)* +,;�DO8�BO8�EOU�2:!"()9�V(GW'"'8�%+'�&*/-,�*)"2&,)28�$*14(3*0-*�1$*4' 20X2�)* +2�DO8�BO8�EOU����"2+')-2+6 H��$"%&,6 ��0(3"(#*+6 ���$"*&(-9�=>?Y@>��"2+')-2+�ADB�$!"!)2-,Z�$4*52-'�C�0�)* +,;�DO�(�BO�["21��Q�OP����-,T3()9�3*0/2-'�0(3"(#+,�DOBO8�+*42�0(3*&*8�5*�KJO�\�JOJ�]�P�\�Q8�,�JI�]�OR�1&8�JI��JOIO����R�1&6 H��O_�1&6 ��8R�1&6 ���a�1&6 7����1&�=>?b@@>�c!"!#�)* +'�$*#,�$4*52-*.�$"*0!3!-*�$"%&(�dA8�dD8�dBe�%+(�$!"!)2-,.)9�$4*52-'�C�0�)* +,;�AO8�DO8�BO�0(3$*0(3-*U��* +2�N8�f8�g�h�1!"!32-2�0(3"(#+(0�dAO8�dDO8�dBO�0(3$*0(3-*U��-,T3()9�0(3-*X!--%�$!"2&!)"(0�)"2+')-2+(0�Nfg�(�AODOBO�["21��Q�OQ�����O�\�Q6 H��P�\�Q6 ��O�\�P6 ���O�\��6 7��O�\�O_��21��Q�OP �21��Q�OQ �21��Q�O�=>?i@@>�c!"!#�+(-<(�0(3"(#+,�AD�["21��Q�O��8�%+2T�-!�$!"!)2-,Z�$4*52-'�C8�),�T*W*�1!"!32-'�B�$"*0!3!-*�$,",4!49-(�$"%&(8�%+(�

Page 94: 10 geom bi_u

������������� ������� �������������������������������������� !�"#�$%&��'#(#)#�%*+ ,#-./#�./#0.#)12�%)12�%�#3� 421�"#2%)5��'#)12�16+ #00./#7+&%#88.#9#.:#;</#==.#9#.>#;<?@A#>#;<B CA#D#;<B EA#.:#;<B FA#.G#;<B HA#:I#;<?JKLMNNK#H)1#)��O���#-#1#�#���+'���+ #-�0#P��;?#Q?.�A#� $�5 �"#�$%&��1#(/# #0#R#��#� $�5��"#S4?#T���6#�%*+'#U/#&%#� $�5��"#;�%�%�1#-0/#��%)�2��%#��7V<'#UU.#W#=X?#3� 421�"#2%)5��'#)12�16V+ #UU./#+%$�#)12%<%/#&%#8U.#9#G/�#;</#U.=#9#./�#;</#=X#9#D#;<?@A#>#;<B EA#:#;<B HA#G#;<?CA#Q/�#;<B FA#>/�#;<BJKJYNN?#T���6#+1�Z1#)12�16+ #[\/#7+�4#��#������� ]#�$%&�V�'#(/#� #4%%#;���2��'#_#��%)�2��%#� � $�$"�1#��7<1/#7+1#����V��� !�"#�$%&��'#(#)#�%*+ ,#[./#\./#_.#)12�%)12�%�#3� 421�"#2%)5��'#)12�16+ #[[./#7+&%#__.#9#�#;</#\\.#9#.�#;<?@A#Q#;<B CA#�#;<B EA#D#;<B FA#>#;<B HA#G#;<?JKJNN?#3#�%*%+#a#1#b#�$%&���#(#��%)�2��%#�%6 #��!#� � $�$"V�1#)12�16+�#a_#9#>#;<#1#b[#9#�#;<?#c�7< #[_#������� ]#�$%&�V�'#(#)#�%*Z1#d?#3� 421�"#)12;� �"#ed/#7+&%#[_#9#>#;<?#@A#.:#;<B CA#�#;<B EA#.�#;<B FA#.D#;<B HA#.I#;<?JKJLfK#g�%�%� #-�#���+'���+ #-�0#� $�5��"#�$%&��1#(/# #2)1#1�O1#R#��#� $�5 �"#S4?#h%*+ #i#R#2%)1$"� #�%*+ #��%<��7#-0?#c%j'2'4��#�%*+'#�������'#��7<%S#kk.#W#=X#6#�$%&��%!#(?JKJJfK#C1*� #;�%�%� #-�#�� ��Z1S#8=XU#� $�5��"#�$%&��1#(/# #���#1�O1#;�%�%��#�� ��Z1S#��#� $�5 �"#S4?#c%j'2'4��#�%*V+'#i#l#�%*+'#�������'#��7<%S/#&%#<1;���"#2�''#j1*�'#;�%�%�'#�� ��Z1S/#6#�$%&��%!#(?JKJmfK#3� 421�"#���#6 6� *���,#)�<% ,#6 2 *1#Q?QQ#2%)5��'#)12�16+ #-i/#7+&%#8U#n#=X#9#:#n#Q/#8=#9#:#;<?JKJofK#g�%�%� #8U#��7<%+'���+ #8=XU#� $�5��"#�$%&�V�1#(/# #);1#1�O1#p#�1?#q #;�%�%�1#UX#)�j� $�#�%*+'#e#� +/#&%#U[#n#[X#9#:#n#Q?#c%j'2'4��#�%*+'#�������'#��7<%S#[k#6#�$%&�V�%!#(/#7+&%#[k#W#8X?#JKJrfK#g�%�%� #st#��7<%+'���+ #saut#� $�5��"#�$%&�V�1#(/# #);1#1�O1#R#�1?#q #;�%�%�1#ut#)�j� $�#�%*+'#[#� +/#&%#t[#n#[u#9#:#n#Q#1#��%)�$�#��7<'#[\#W#su/#�%*+ #\#� $�5��"#�$%&��1#(?#3� 421�"#2%)5��'#)12�16+ #s\/#7+&%#st#9#.I#;<?JKJvff?#h%*+ #0#21$��"#)12�16%+#-�#'#)12�%O���1#8X#n#X=#9#:#n#Q?#c � $�$"�1#��7<1/#7+1#��%,%27�"#*���6#�%*+�#-/#�/#0/#������� V!�"#2�7+'#�$%&��'#)#�%*+ ,#-./#�./#0.�#3� 421�"#)12�%O���7#8.=.#n#8.X.? w�;?#Q?.�

Page 95: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������������� !!���"#$#%&�'(�)�(*�+,$,-.-#/$,0,�1234�+.$."&%,5"6�+-#7&%8�9��:#;.<)"6=�7#�+$>0)�14�)�4*�",?#@�+.$."&%,5"6�+-#7&%8�9����A!!���$&?8"%&?&�'(*�)�124�%.�-.@,"6�%,�#<%)B�+-#7&%)��:#;.<)"6=�7#�C8<6D>?,�+$>0,=�+,$,-.-6%,�;)<$)E?8�34=�+.$."&D%,F�+-#7&%&�<,%&G�"$&?8"%&?);�HI����IJKLKMNMOPQRSOITLUVWXIQITMWYZPZ�#E/->%8")�8�+,$,/$,[,G�\�]�)�\��;&+,<?&�%.�;&_.$+85"6�8)G�0#@-&;&G�$#E0)7.%6�+$>0#a�;)<%#%#�+-#7&%&���,-&b&D-#>�$#E/->%8"&�;&+,<#?=�?#-&�8�+$>0#a�E�+-#7&%#5�%.0,F�@#<%#a�+)-6%#a�"#_?&=�"#<)�?,@8"6=�7#�+$>0,�cdedfgfhid�cfjklmino� �$>0,�%,E&;,F"6>�pqrqstsuvwxy+-#D7&%)=�>?7#�;#%,�%.�0,F�@#<%#a�+)-6%#a�"#_?&�E�%.5��,$,-.-6%)"6�+$>0#a�)�+-#7&%&�+#DE%,_,5"6�&0;#-#0�z���,+$&?-,<�{�z|9�}$&��\�]�~���.$.;)$&"&�+,$,-.-6%)"6�+$>D0#a�)�+-#7&%&�0#@%,=�?#$&"85_&6�#E%,D?#5��NWLNVKI�I�w�vq�qypqrqstsuvw���ypr��w�y�ypsw���v���I��YWITLUVK�IU�KIPNIPKMN�ZSOITMWYZPQ�ITKLKMNMOPKIU�Q��PN���OITLUVQ�I�Q�XITMWYZPZ�ISWI�WPKITKLKMNMOPKIQIRKVQ�ITMWYZPQ��j�g�gii�o��.G,B�9���+-#7&%,=�����+$>0,=�>?,�aB�%.�%,-.@&"6=��]���+$>0,=�>?,�%,-.@&"6�9=�)��]�z|����?7#���z|�]�}$&��\�] ~=�"#�;#%&�-.@,"6�;�#<%)B�+-#7&%)�¡���#<)��]���+$>0,=�;)�"#_D?&�>?#a�+)-6%)�<->�+-#7&%�9�)�¡o��.G,B�+$>0,���+.$."&%,F�+-#7&%8�9=�"#<)�¢>�"#_D?,�+.$."&%8�F�+)-6%#5�"#_?#5�<->�+-#7&%�9�)�¡=�"#C"#�%,-.@&"6�+$>0)B��]��£.�#E%,D_,F=�7#�+$>0)���)��]�+.$."&%,5"6>���"$&D0,-&�8+.$._%)"6�80#;)���"@.=�+$>0,���%.�0#@.�0,"&�E�+-#7&%#5�9�+)-6%&G�"#D_#?=�"#08�+,$,-.-6%,�aB=�7#�B�;&0,/,-#>�<#;."&��¤gjeg¥¦§�j�g�gijo�&��\�]��&��\�] 

Page 96: 10 geom bi_u

��������������� ����������� ����������������� �!" #$%&'�()*)+,+-./01(+23/.45�'�6��"���� 789:!$%�;�'<�=>�'� �; � 898%� �;8�6!��?�@ ;�!�8 �>�A�;�!<�769���>�'�9�< #�B��<A�;�'<��A$��C��; � 8989;�;9� >�&$!�!�&$������&$989D�; � 898%���;��8���>���� "; �!�E�&$!�!�&$�����;��8�C�D�; � 898%���&$98����$?��?�F� 8�C�G���<�:� ����C8'� $!�$ �9����7<�69��'�� �<��98��;�'<��A$��C��; � 8989;�;9� �H�!&?�I?JKLMNNJ�OPHQQJRJRL> RRJ�OPHSSJQJQL>SSJ�OPHNJNRRJL> NNJ�OPHSSJQJQL>NR�OPHSSJQJQL> NRJ�OPHSSJQJQL���$?��?TUVWXYZ[\]\_ ���������������������� 5����a�b��c�d���ad�e f�����������c������g�������� h�����d5���i����d�j�� h����� h?@ ;�!�8 �>�� �;8�6!���k�<�&$!$%&'�l9�8�G�;�'<!m>�'�!<�; � 898%� �;�'< �n�H�!&?�I?J�L?o!&?�I?JK o!&?�I?J�TUVWXYZ[\p\q��df�rb a������s5�� ������� ��j� h� �� h���� h������ ?�@ ;�!�8 �>�;�� �;8�6!��D�k�<�&$!$%&'�l9�8�G�; � 898%�!m�t=�;�'<!m>�'���<�:A$%�� 89: $!� l���9�� 89: $!�����=�;8�76!���H�!&?�I?uvL?TUVWXYZ[\w\_ ������������������c� h�b������>�� ��i�����x����>����g������������ ����� h��s���y�������d�@ ;�!�8 �>�� ��!&A��A�I?uJ���l� :9���k�zP{�|�}>�~�OPk���~�O�{?��!&��"��M�~�OP}?o!&?�I?uv o!&?�I?uJ��c�\a�b���ad�����b��������x�k���c������g�������l9�8�G�;�'<!m>�; � 898%�!m�;8�6!���k>�

Page 97: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������������� !"�#$%&"�'(�#)$)*+*,!"�#$%&-.�/�#*�01!1�2(���3+4*-5�#$%&16(�&1&�3-7!16�4�#$%&�8�/�#*�01!1�2�9:;:<:=>?@�A+ -B,(�0��AC-�#$%&-(�%D-�#+$+B1!)E8B,�� !"�4� A�6�&1&�3-7!16�#$%&16�-�#)$)*+*,!-� $"F-.(�*+7)B,�!)�� !-.�#*�01!-�@)!�G#$%&-�H(�'�I�&1&�3-7!-�@�A+CB1(�0��AC-�#$%&-(�%D-�#+$+EB1!)8B,�'�-�#)$)*+*,!-�/(�*+7)B,�A�� !-.�#*�01!-�JKLMNMOOP QKRSTUVRMTWVXY�$�A+ +&��D-*,D)� �EA-*,!16�#$%&16�Z[(�Z\(�](�Z(�%D-�#+$+B1!)8B,�� !"�4� A�6�&1&�3-7E!16(�!)#$1D*) �'(�-�#)E$)*+*,!-�#$%&-.�/_$1C��a�\\bc_�CD-*,D1�Z[�d�/�-�Z\�d�/(�B��Z[�d�Z\(�B�3B��Z[�-�Z\�!)*+7)B,� +%D-.�#*�01!-���)4A+&��ee�2���A- C1�C*- "f(�0��#$%E&-�Z[(�/(�Z\�g�2���!)*�EF-5!��&-$D"851(��B$1E&"f&�(�0��#$%&-�Za(�Zh(�i(�Z(�i�B)D�7�!)*+7)B,�#*�01!-�2���B7+(�AC-�#$%&-�Z[(�Z\(�Za(�ccc�!)*+E7)B,�#*�01!-�2� �1&�3-7!-�#$%&-�H�-�'�!+�#+$+EB1!)8B,C%�-�!+�#)$)*+*,!-���$+3)�A13$)B1�� !"�-4�!16(�4�%D�8�A1D�E!"A)B1&+&��#+$+B1!(�!)#$1D*) �'c��� -�!)�#$%&-.�'�A131$)f&�� +E%D"�B�5D"(�5+$+4�%D"�#$�A� 1&��#$%&"(�#)$)*+*,!"�#$%&-.�/�4)�)DC-�&�8b���+6).�j+�#$%&)�Z[��k+�A14!)5)f�f 1!"�#*�01!"(�!+6).�2���)�#$%&-.�A131$)f&��0+�� !"�B�5D"(�5+$+4�%D"�#$�A� 1&��#$%E&"�Z\_d�/(�#$15�&"�Z\�l�'���$16�E 1&�� ��A1C!�AD"G�Z[�d�/�-�Z\_d�/(�B��Z[�d�Z\(�)�j+��4!)5)f(�0��Z\_g�2���)D-�&-$D"A)!!%�&�7!)�#$�A+CB1� *%�3" ,E%D�e�#$%&�e(�%D)�#+$+EB1!)f�#$%&"�'�-�#)$)*+*,!)�#$%E&-.�/�9:;:<:=m?�*�01!)�2�#+$+B1!)f�CB�$�!1�no�-�np�B$1ED"B!1D)�nop�A- #�A- !��A�B�5D)6�o[�-�p[(�qr�d�2s$1C��a�\ab���!). -B,� �A71!"�CB�$�!1�or�B$1D"B!1D)�nop(�%D0��q[r[�t�u�C&�-�rr[�G�r[v�t�a�G�\�@)!�Gwvqr(�2(�qr�d�2(�vq�l�2�t�q[(�vr�l�2�t�t�r[(�rr[�G�r[v�t�a�G�\(�q[r[�t�u�C&��!).B1G�qp��1C��a�\\�1C��a�\a

Page 98: 10 geom bi_u

����������������� ����������������������������� ��� !"��#!$�%&'()(* +* ,-./0* ,1-123456*78')9*:*;<*=>*?*;@*2A/6*=>*?*'()(@*BC=(>(*D*BC=>*7E0*F620/39<)>(*G*HI@*)(C*G*JI@*2AK:*C)*G*GLMI< **=(>(*G*N*O/@*JI*G*N@*I*G*H@*=>*G*MI*G*M*P*H*G*G*(M*7O/9<'�Q��R�Q�*(M*O/< STAU350* 2-3F62534F0*C=>*,1-1*2350V2WO.*E*,TAU35AX*;*6*KYAZ*2A[F0Z*'(*:*)(@*[1-1E*.F:*,-AZAK32W*VK350*,-./0*'()(*+*,-./0*,1-12356*,TAU35<*=>*?*;@*2A/6*=>*?*\@*\*]*;<*K50F*[1-1E*')*:*_*,-AZAK32W*VK350*,TAU350*7'))('(9<*2 1@*=>*?*=(>(<*a0T:*Y3FA-3O2AY6V/A*6E0b0TW45156*21A-1/6*c0T1O0*7,-A*,-A,A-d:e5:*Y:K-:EF39*0fA*,AK:f5:O2W*2-3F6253F:Y<*ghijkh*l3E50[21@*OF:TWF3*,-./3Z@*,0-0T1TW53Z*,TAU35:@*/A 50*,Af6K6Y023*[1-1E*2A[F6*,AE0*d:VX*,TAU35AX<m9*K56n o9*KY:n l9*2-3n p9*f1ET:[n a9*AK5Aq<ghirkh*l:KA/A@*UA*,-./0*�*,0-0T1TW50*,TAU35:*;<*l3f1-:2W*,-0Y3TW5:*2Y1-K 155.<m9*S-./0*�*,0-0T1TW50*T3s1*AK5:e*,-./:e*,TAU353*;no9*,-./0*�*/3/Af:50*E*f6KW4.FAX*,-./AX*,TAU353*;@*AF-:/*AK5:Vqnl9*50*,TAU35:*;*:O56V*f1ET:[*,-./3Z@*,0-0T1TW53Z*�@*:*f1E4T:[*/3/Af:53Z*E*�*,-./3Znp9*50*,TAU35:*;*:O56V*T3s1*AK50*,-./0@*,0-0T1TW50*�@*UA*,-AZAK32W*[1-1E*f6KW4.F6*2A[F6*,TAU353na9*,-./0*�*/0V*50*,TAU35:*;*f1ET:[*,-./3Z@*UA*,-AZAK.2W*[1-1E*AK56*2A[F6@*:*T3s1*AK50*E*53Z*,0-0T1TW50*qe@*0*YO:*:5s:*+*/3/Af:5:<ghitkh*l3E50[21*F:TWF:O2W*,TAU35@*.F:*/A 50*,-AY1O23*[1-1E*Y1-s356*)*2-3F6253F0*C=>*,0-0T1TW5A*8'�*m9*K56n l9*AK5Aqn a9*f1ET:[<o9*KY:n p9*AK56*0fA*AK5Aqn

Page 99: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������� �!���"#$%&'�(�)*+*,%&'-�.,#+#&%�/0�1�/2�,+%34,&%3'�/025617)#617&#�6�,#83'9�0��1�2�:�;<��=�<<��>�?�=��:�<�@��>��A�.B:�<@�C�(��%D&'8,*�.,#+#&4�02�,+%34,&%3'�/025E+%.��?�AFG��G��H�.BI JG��K�.BI� G��L�.BI MG�AF�.BI NG�A��.B��%.��?�AF �%.��?�AH�� !���"#$%&'�(:�$#�)'+'"*"O&'�#.&#61�;P�,+')*Q1R�;<@P:�)*+*,%&'-�RR�S18&1�.,#+#&%�6�,#83'9�T�1�UV�W31�-�R9&1B%�.*+*7%X&'B%���&'Y71,O�7#6Z%&4�617+1D3'�TU:�W3$#�;P�>��[�.B:�<@�>�\�.B�E+%.��?�AHG��G��K�.BI JG��A�.BI� G��?�.BI MG����.BI NG��?:H�.B��� ]!���"#$%&'�(:�W3'�)'+'"*"O&'�#.&#61�+16&#S18&#R�,+'X)*Q1R:�)*+*,%&'-�.,#+#&%�/0�1�@P�4�,#83'9� �1�U�617)#617&#:�;P�>�A��.B:�TU�>��K�.B���&'Y71,O�)*+%B*,+�,+')*Q1R�;<@P:�W3$#� �_�.*+*7%&'�/0�1�;<�>�L�.B�E+%.��?�AHG��G�FF�.BI JG�F��.BI� G�HA�.BI MG�FL�.BI NG�?K�.B��� !!���"#$%&%�(�1�a�)*+*,%&'b,O.W�)#�)+WB1Y�c���'�)"#$%X&1�(�)+#6*7*&#�)+WB4�d:�W3'�)'+'"*"O&'�)+WB1Y�c���3'Z1,O�6D'-B&*�+#DB1$*&&W�)+WB#R�d�1�)"#$%&%�a��G��+WB'�d�)*+*,%&'-�)"#$%&4�aI�JG�)+WB'�d�&'"*Z%,O�)"#$%&1�aI�G�)+WB'�d�)'+'"*"O&'�)"#$%&1�a��� e!!���3'Z1,O�f+'&1�34S'�;<@P;�<�@�P�:�W3%B�)'+'"*"O&'�)+WB'�/�0��E+%.��?�AKG��G�;;�P�PI ?G�;<@PI HG�<�@�P�;�IAG�<<�@�2I FG�PP�@�2I KG�;P�P�;�g�G���1�AI JG�A�1�?I G�?�1�FI MG�F�1�HI NG�H�1�K��� h!!��N'&#�,+%34,&%3�ijkg��"#$%&'�(:�)'+'"*"O&'�)+WXB1Y�ik:�)*+*,%&'-�.,#+#&4�ij�4�,#8Q1�l:�'�.,#+#&4�jk�_�4�,#8XQ1�mg�%D&'8,*�7#6Z%&4�.,#+#&%�ik�,+%34,&%3'�ijk:�W3$#�lj�>�[�.B:�lm�>�?�.B�1�li�>�?H�.B�E+%.��?�A[G��G��[�.BI JG�A��.BI G��L�.BI MG�AA�.BI NG�?��.B��%.��?�AK

Page 100: 10 geom bi_u

���������������� ����������� ���������������� ��������� !"#$$!�%&'(&)*+�,-�)./'*/0+���1��2�34(45�6.758�9�3:*;�<6*=�>�/�5*?@&�AB�9+.�'&:�58�C*D*�E�/&'6*F466&���G�HB�3*?�6.=<?��/&'�5*?+��,��I4(4)�+&6@&�/&'(&)+.�,�&�-�3(*/4'46*�3.(.:4:8<6&�3(92&B�9+&�34(45�6.=58�3:*;�6E�>J/&'3*/&'6*�/�5*?+.K�L�&�M��%�)6.?54��E2E�'*/0�6�/&'(&)+&/�LA�&�,AB�9+;*�NM�O�����2�P(��������Q�RQ��H��2S TQ�����2S� %Q�����2S UQ�����2S VQ��W��2� !XYZ!�[.�(��E6+E����\�)*](.046*�/&'(&)+���%&'*2*B�;*�^ ��_� �B� ��_�aa�B�aa��O� ���V*/4'&58B�;*�a� ��O�a ���������\ ��������� !XbZ!�[.�(��E6+E������)*](.046*�'/.�?*5�(�+E56�+���%&'*<2*B�;*�� ��O� �5.�� ��_� B�a� ��O�a �5.�a� ��_�a ��V*/4'&58B�;*� ��_�aa�� !XcZ!�d.(.:4:*D(.2��a M�&�a �M��6.:40.58�(&)6�2�3:*;�<6.2��V*/4'&58B�;*�?*5�(�+E56�+�MM� ��e�540�3.(.:4:*D(.2� !X Z!�V.6*�(*2]�a MB�/�9+*2E�246F.�'&.D*6.:8�'*(&/6=7�C*D*��5*(*6&��d:*;�6.B�3.(.:4:86.�@&C�'&.D*6.:&B�34(45�6.7�'/&��E2&06&��5*(*6��(*2].�/�5*?+.K�f�&�g�e��4(4'�6.K�@�K��5*<(&6��h6.C'&58�34(�245(�(*2].B�9+;*�fg�O�W��2�

Page 101: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� !"# �$%&'�()*+,(&*+�-./���0'1*&%2�3+%�4%)%0506&%�4)3789:�-.2�45)5(*&%;�<(')'&,�-/�=�('>?9�@2�%�<(')'&,�./�A�=�('>7?9�BC��&%:D9(6�D'=E*&,�=9D)9F+%�/B2�3+1'�@G�H�I�<82�-.�H��J�<82�G.�H�K�<8�� !!# �L5)5F�'D*&�+9&5?6�M�=9D)9F+%�MN�4)'=5D5&'�40'1*&,��L5)5F�D),O*:�+9&5?6�N�9�('>+,�P�?6'O'�=9D)9F+%�4)'=5D5&'�4%)%70506&9�4)3892�3+9�45)5(*&%Q(6�40'1*&,�=�('>+%R�N��9�P����&%:7D9(6�D'=E*&,�=9D)9F+%�NN�2�3+1'S�T�UU��H����<82�VU�S�WU�H�J�S��XJT�UU��H��K�<82�VW�S�VU�H�Y�S�JX�T�VW�H�K�<82�VU�S�UU��H�Z�S�YX�ZT�VU�H�[2�WU�H�\2�UU��H�]�� !##���'>+%�_�&5�&%05E*(6�40'1*&9�()%45?9�WUab�F�'<&'7='Q�Wb��$'=5D9(62�1'�4)38%�Wb�4%)%0506&%�40'1*&9�cU-aTC� !d##��$'=5D9(62�1'�40'1*&%�e2�3+%�4)'R'D*(6�>5)5F�<5)5D*7&*�D='R�)5f5)�'<&'=*�(5()%5D)%�9�=5)g*&,2�1'�&5�&%05E*(6�:'O'�'<&'=92�4%)%0506&%�()5(6'8,�)5f),�'<&'=*�(5()%5D)%�� !h##���9D)9F'+�NP�45)5(*&%;�40'1*&,�e�=�('>?9�MC�L5)5F�+9&7?9�N�9�P�=9D)9F+%�4)'=5D5&'�4%)%0506&9�4)3892�3+9�45)5(*&%Q(6�40'1*&,�=�('>+%R�N��9�P��=9D4'=9D&'���&%:D9(6S�T�NN�2�+'0*�=9D'8'2�1'�VW�S�VU�H�Z�S�Y2�UU��H��Y�<8X�T�MN��9�MP�2�3+1'�NN��S�UU��H�Y�S�i2�W�U��H����<8�j� k ��+�)'F8915&9�'<9�F%09F&*>&*R�=%O'&9=�89E�<'f'Ql� m ��+�)'F8915&9�'<9�F%09F&*>&*R�=%O'&9=�=9D&'<&'�)57:'+l� � ��%F=9(6�<5)5D�4)5D85(9=2�1'�=%<�'('>,Q(62�8'D509�4%7)%0506&*R�9�8*8'f9E&*R�4)38*R�� " �L'8,�g,R03D*�g%n�%f'�4*<68'=*R�<('09=�9&'D9�),R%7Q(6<3�)*=+%8*2�9F�F,4*&+%8*lPopqrsopC��9D)9F+*�4%)%0506&*R�4)38*R2�3+9�89<(3(6<3�89E�D='8%�9&g*8*�4%)%0506&*8*�4)38*8*2�)9=&9�� ! �L'8,�=<(%=05&*:�,�&%<'<�4')g5&62�3+�4)%=*0'2�),R%7;(6<3�f5F�45)5g+'D2�40%=&'lPopqrsopC��9D)9F+*�4%)%0506&*R�4)38*R2�3+9�89<(3(6<3�89E�D='8%�9&g*8*�4%)%0506&*8*�4)38*8*2�)9=&9�� ��)5f%�45)5=9)*(*2�>*�4%)%0506&9�409&(,<*�49D0'O*�+')*D'),��L*�8'E&%�?5�F)'f*(*�F%�D'4'8'O'Q�=*89)Q=%067&'�<()9>+*2�>*�D'<(%(&6'�D'=O'�4%0*?9l� d ��4906&%�D'(*>&%�D='R�+'&9>&*R�+%(+9=�D')9=&Q;�����88�9�,(=')Q;�F�=9<<Q�'f5)(%&&3�+'E&'O'�+'&,<%�+,(*�=9D74'=9D&'�J�t�9�i�t���f>*<09(6�)%D9,<*�'<&'=�+'&9>&*R�+%(+9=�Pruvwsrux��Y��88X�y�Kz�88�{|}~������������

Page 102: 10 geom bi_u

������������ ������������������������� ��!�"��#�$%&'���()*�+,&��-(�.��/�� �(�/((���,(0�1.()2&3��.��/�(/�4�5�,�.��.(��-6�.��7���������&��8 9:;<=>?@A=>BCDEFEG@A=;HIE;JK@@L;<MNOCDP;FP=JA;>A;QRAIASOEGLT;QPOK?KOKGL;OK?A;U��;OAVSA>DK;C;>P=SEOEM>C?A;�;EG>EM>P;=ESE;HIPVWL;�;MKDP@>C;XYPZPOP[:;BE>K;GNOPDP\@]GL;Q;��;N>KST;LNC;FCG@L@];EG>EMK;HOP>CFA@ICT;G@AIAEFA@ICT;PIK_FA@KNK:;EOEM>P;EGERVOKMCG@];XYPZPO[;a;@EFaT;bE;ME>K;HERaVDEMP>C;QP;cDK>E\;OESCZ>E\;GdAFE\T;LNP;GHIPMADOKME;MMP;JPc@]GL;QIPQNEF;DADaNV@KM>E;GKG;@AFK:;YAMAOKNA;ZKGOE;EG>EM>Kd;HEOEJA>];HIK=FPc@]GL;RAQ;DEMA;DA>>LT;C;>P;EG>EMC;DP>E;GKG@AFK;PNGCEF;@P;C>?Kd;DEG@EMCI>Kd;CG@K>;<MNOCD;CQ;DKMEMKJ>E\;G@Ia>NCG@\T;LG>CG@\;C;IEQFPdEF;HERaDaMPM;GME\;MAOKZ>a;RaDCMVO\T;GME\;SIP>DCEQ>a;SAEFA@IC\:eOL;GaZPG>ESE;FP@AFP@KNP;N>KSK;XYPZPO[;MGA;bA;FP\@];>PDQMKZP=>a;ZPICM>CG@]T;P;d;OESCZ>P;HERaDEMP;MHOK>aOP;>P;>PaNEMA;FKGOA>>L;RCO]?AT;>CJ;RaD]VLNK=;C>?K=;@MCI:YPaNP;FPc;>AQ>PZ>C;MCDEFEG@C;HIE;JK@@L;C;DCLO]>CG@];<MNOCVDP:;fIENO;gh;G@:;>:;A:iT;NEFA>@P@EI;HIPW];<MNOCDPT;>A;QFCS;@EZV>E;MNPQP@KT;DA;C;NEOK;>P;IEDKMGL;=;HEFAI;<MNOCD:;jP;fIENOEFT;XWA=;aZA>K=;FaJ[;JKM;a;HAICED;WP;I\MP>>L;f@EOAFAL;k:;eALNC;RCESIP_CZ>C;DP>C;QRAIASOKGL;>P;G@EIC>NPd;PIPRG]NESE;IaNEHKGa;lmm;G@:n;X<MNOCDT;GK>;YPaNIP@PT;MCDEFK=;HCD;CFA>AF;AEFA@IPT;MZA>K=;DPM>]ESE;ZPGaT;QP;GMEF;HEdEDJA>>LF;SIANT;QP;FCGWAF;HIEJKMP>>L;GKICcW]T;IEDEF;Q;oKIa[:;YP;QPHIE?A>>L;WPIL;f@EVOAFAL;k;HAIAdPM;M;9OANGP>DIC\T;DA;EISP>CQaMPM;FP@AFP@KZ>a;?NEOa;C;>PHKGPM;DOL;;aZ>CM;GME;Q>PFA>K@C;XYPZPOP[;gROKQ]NE;�Up;IENa;DE;>:;A:i:fCGOL;qCROC;N>KSP;<MNOCDP;XYPZPOP[;�;>P=HEHaOLI>C?P;HKGAF>P;HPFrL@NP;DPM>K>K:;fIE@LSEF;DMEd;@KGLZEOC@];XYPVZPOP[;<MNOCDP;RaOK;>PG@CO]>E\;N>KSE\;DOL;?NEOLICM;aG]ESE;GMC@aT;Q;HPHCIaGa;HAIA=?OK;>P;HAISPFA>@T;P;HE@CF;�;>P;HPHCI;C;AOAN@IE>>C;>EGC:;fIE@LSEF;EG@P>>Cd;ZE@KI]Ed;G@EOC@];XYPVZPOP[;DIaNaMPOKGL;Up��;IPQCMn;a;GAIAD>]EFa;MKdEDKOE;bEICZV>E;s5t;MKDP>]:;eE;HEZP@Na;ll;G@:;N>KSP;MMPJPOPG];EG>EM>KF;HCDIaZ>KNEF;Q;SAE;FA@IC;>A;OK?A;DOL;?NCOT;POA;=;DOL;a>CMAIVGK@A@CM:j;CG@EIKZ>Kd;GMCDZA>];fPHHP;9OANGP>DIC=G]NESE;gmmm;G@:;>:;A:iT;<MNOCD;RaM;O\DK;>E\;FrLNESE;dPIPN@AIaT;DaJA;GNIEF>E\;

Page 103: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������������� !"#$!% &'���(�)&"*&+�,#-./01�+�&, �2�"�$!3! ,4�&, &3&�)#"5�6#)��.&$!7!2���+8)�98+�+8+:8.8�3!&7!.)�'���*&($8(#+��+($�;,#4�<&=�.&2�5(#"#+�2&75�$!3(82�9$1>�,&�7#.!7#.8(8���:! 82�+�,*&+�+?�@A&�3!&7!.)�B� !7#-�6#)0/(8>�9$1>�+C��� 9#�$!3! ,#�0.+!),%5-4�<&�1(&0/�,&��+($�,#�*)829&+�' #(���0.#+�*�,�2&3&�(!)�+ 86.+&7�+8+:#.8�3!&7!.)�'���*# 5+#+98�,!(�$/(#�*!);98>�.!&)!74�+� �"#*8.#+4�<&�=5,!�7#.8�+�,�+8+:! 1�@�#:#$C���+($�,� !�+�,*&+�+�5: !+����� �*&($8(#+�)#=#��� #(#"#+?�@A#2�2&75�3)�94�+� �>&:!�7#.8�$89!�(&)80./�"� #+:# 1C��#,�+>&,&7�,&� (#,!7�B��$#.& #�=5$&� #*80# &?�@�#� !�5+�;2,!�0',8��&24�>.&� !�" #-�3!&7!.)�BC�DEFGFHIGJIKJFLHMNOPQHORISRTQNU����)&"7&+ �2�*)#(.86��78�� &,��+%8+#-7&�+80$&+8�VWXYZ�[W\]4�W_WaZ�VWXYZ4�VWXYZ�WbW\c4�\]dcVc�[�ef\VaWg�VWXYc4�VWXYZ�ahi_hY]4�Y\cVcXjZ�VWXYZ4�a_]XcVc�a�VWXY]4�ihkVc�iW�VWXYc�.&<&���&%$8+&4�+8�*)&,&+%8.!�6!2�)1,l��&�&" #:#-�(&%! ��"�68>�+80$&+�+l��&�0*�$/ &3&�+& 8�7#'./l��*�$/ !�*&7�.8.8� !�0($#, &�m�6!�0$&+&�@.&:(#C�� $!�*&.)�= &�"+!) 5.8�5+#35� #�05./�+80$&+�+?�(&% &;3&�)#"5�2,!./01�*)&�.!4�<&� !�7#-�*)&.1% &0.����0 5-�=#3#.&�"#;,#:�5�*)#(.86�4�(&$8� !&=>�, &�+8" #:8.8�" #>&,%! 1�.�$#�5�*)&0.&)����&,��)&"7�)8�.�$#� !�=!)5./�,&�5+#38���(<&�78�95(#-;7&�*!+ 82�3!&3)#n�: 82�&=o-(.4� #*)8($#,�7�0.&�:8�0!$8<!4�"#�(#).&'4�.&�.#(&%�.5.� !�+#%$8+��2&3&�)!#$/ ��)&"7�)8���&%; #� #+!0.8�2�� 9��*)8($#,8�p #+!,�./q���&=.&�:#0.&�,&+&,8./01�#=0.)#35+#.801�+�,�+87�)�+�*)!,7!.#���#(87�:8 &7�*)8>&,1./�,&� !&" #:5+# &3&4��,!#$/ &3&�*& 1..1�m�3!&7!.)8: &B�.&:(8���1+8.8�BB�7&% #4� #*)8($#,4�1(�0$�,�+�,�5(&$5�3&$(8�:8�0$�,� #�*#*!)��+�,�.& (&�"#3&0.)! &3&�&$�+614�+�,�()!2,8� #�,&96�4�+�,�"#3&0.)! &B�*#$86�� #�"!7$��.&<&���#.!7#.8: ��7&,!$��"o1+$1'./01�1(�0*!6�#$/ 82�0*&0�=� #;=$8%! &3&�&*805�*!+ &3&�&=o-(.#4�1+8<#4�=5,/;1(&B�*)&=$!78���)&"57�$&4�<&�)!#$/ &�B>� !��0 5-���&,��:&75�B>�0.+&)''./l��(��n5 (6�B�7#.!7#.8: 8>�7&,!$!2l���+�,*&+�,�� #�*&0.#+$! !�"#*8.# 1�=#%# &�+�,&=)#"8.84�<&�7#.!7#.8: #�7&,!$/�)!#$/ 8>�1+8<�,#-�"7&35�,&0$�,8.8�BB�7#.!7#.8: 878�"#0&=#78�.#4�+�,*&+�, &4�)&"+o1"#.8�*!+ 5�*)#(.8: 5�"#,#:5��#�# #$&3�: &'�0>!7&'�0.+&)'-7&�� 95�7#.!7#.8: 5�7&;,!$/�m�3!&7!.)8: 5�*)1754�*)&�1(5�+8�.#(&%�" #-.!�"�(5)05�*$# �7!.)�B���0�7�")&"57�$��+80$&+8?�b\reZ�eWaZ4�b\reZ�iWs\WtZ4�b\reck�ubZiYWvefw�ZW�\WicX4�b\ref�ubW_]Xfjjr4�b\rseh�acW\c4�b\reZ�aYZ[haYZ4�b\reZ�b\WVc_fxjhuV 4�b\reZ�YWs\cuV �.&<&�p*)&,&+%�./�)1,q���5.�78�+%8+#-7&�*)8(7!. 8(�@*)1782C4�#$!�5�1(&75�" #:! �l��#=5./4�2,!./01�*)&�.!4�<&�+�,=5+#-./01�+�&, &75� #*)17�4� !�)&"3#$5%5-./014�7#-�$89!�

Page 104: 10 geom bi_u

������������ �������������������������� !"�#$����%#��& '�(%����)*���$������+,!����������"���-%���"��� ��! !�+(���*��)��*�(��.!+��������#%'/��+ �"��)��$�%��)*�*�� ��! !"�(!�!(%����*�� ��! !�)*����$�0��$��� ��*��1 ����2�)��-�& '�*����%#���(�#��,�%����"�,�0������"�2��0����"���& '�(!��*� ��3��*��4%!����+,!���5!��!�)!/�* '����*����"�)�����(!�6!�5�$��%# '+#���2��3!��#��$���� "���$��� �3���7���0�+�(���!�!��#�$��*��$�5��"���(��$%���!%!$/ ��0�����$�)!%&���)*���$�,"� !-�2�)��-�& '�8,"��!�2�!� �&0��*�������� ��3��*�$�)!%&��9�-������!+ ��3!�0���%��(��$%�/����:���!�� ';"�$�%���)+ ���*& '+#������� !���%*"������#$�+ �� ���������"�2�%�6�&0�����-��*��4%!��!�2�)*�' !"�3���%#���/ !�� �0��8����!%���!��! ��0��8�(�#��8�+* <����<� !"�3��������!+$��0!���� ���!�<�,��%#+ �&"�2�$�*0!��&� �3���=�)%�-!�!�*#�%!��#�(���0�+ ��*�(�#��8���-!��� ��+�� %�����(�����'"� *����� #��* ��+ �*��"���� "�+%�������$�!���"�(�� #��* �8������65���2���-�%����$�"�+%����%��5#"�(�� #��* �����2���-�%����/$����2�6� �� �3��>�%��(!�!,���������3!���������!�2��0*�������(��# #��1(�/0� $*�2����<�����+%���?�@AB���@��������CA�D�E��F@�G���HI@�"�J����K����L��G���I@�"���M �K@����A@@K�E��@B�G���I@��:(�����-� '��#�;��N�"���)* '"�2������%�+#"�3��� ��! '+#�(���+ ���!��#� �! '�8��� !�� �0��8����!%��O�(%�/3�����P#�� ��0�+ ��*�(%�3�����(���-!���)�!����(�%����������6$�"��%����'��2!���*� �,*�(����*�0����$���!�+$%�"��2!�$�%�� �3���Q$���!�%'���2���0��(�����# '�����!�),����+ ��+ ���!��#�5'������!�%'�����(��# #"����0!��#�������%�+ ���+ !�R�=�/(��$%��"�2���0��)*���!%'��$��:+ ����$���� ��(�������)* ��(�/��%!%'�����-�+�)�&� ���� ���%��!�'$*�(��!�,�&"���-(��!�,�/���(!�!$�� #;"�2���0��2�$�����$�� �3��Q$3�����2��2*��%��+* '�(�)*������� !�� �0��,����!%!�"� �������!��-$��)*�!��� �����(����'���� �$!�2�(� ���#?�ST����-!�������� ���+������!�%'�����)U<$ �+%*�*�� ���������*���/(��$*�O����!%%&��%#� �0$�"�����6��*�O��%#�(�#��8"�(� ��"���/(��$%��"��%#�(�#��$* ��$��0��(�#��$* �����(���%!%!(�(!��R�=��!�� '�(��$%���V��N��(����'���-!�)* �� �$�&?�SW�$"���(��/$%��"�)*����$��X�%����+�5�$��� '��������+5!2��,��-!��#����$�� �"� ������!�)!�!������*������������2�����:���!%'� �0$�;��Q$3��5�$��� '���2��3!��#������+���(!���8��*%�5��O�(!�(!�/��$*%#����0��(���%!%'��"� ��5!����!%'������2$���Q$3��<���/������)0�+%� ��(%�3*"�#$*�2����<�.*����!� �)*���$*"� �����2�)��-�<��������#$�(�#��$* ��$��=!�),����+ '����� ��� ����$! �)*���$*�������<�+(����� ��)*����$�#$����!%'�(�#��/$* �����(���%!%!(�(!��V�

Page 105: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� ��!�"#$%&'�(%&)�*#+",-./,�0*1",�%�0*#2&#*,34 ��!,�0*1",�/5+)657&'21�05*58.8'/)")9�5�1!,�:�")"#(,$/)")3; �<)�"#$%&'�05*58.8'/,�0*1",�(%&)�")"#(,$/)")3� �")"#=(,$/,�:�05*58.8'/)")3��,>0#6,>'�#(?*%/&%@&.�A �<)�+56$>)�"#$/5�0*#6.2&)�08#-)/%�B.*.+�B#&)*)�&#B!)3C ��!,�#+/5!)�05*58.8'/#2&,�0*1")D�6)�+/5E&.3F �<)�"#$%&'�>6,�0*1",�(%&)�05*58.8'/)")9�1!-#�/.�,2/%E�&*.=&'#G�0*1"#G9�>#�1!#G�6#/)�05*58.8'/,3H �<)�"#$.�08#-)/5�0.*.&)/5&)�8)I.�#>/%�2&#*#/%�05*58.8#=J*5"5K�&*50.L,GK�#0%!8#J#�B#&)*)!%&/)!53M ��!5�#+/5!5�")"#(,$/#2&,�0*1")D3N �<)�"#$%&'�>6,�0*1",�(%&)�")"#(,$/)")9�1!-#�6#/)�#()>6,�05*58.8'/,�&*.&,@�0*1",@3�O �<)�"#$.�0*1"59�")"#(,$/5�+�#>/,E7�+�>6#D�05*58.8'/)D�0*1")D9�(%&)�05*58.8'/#7�>*%J,@�0*1",@3�� �<)�"#$/5�%�0*#2&#*,�0*#6.2&)�&5!%�0*1"%9�1!5�(%85�(�05*5=8.8'/5�>#�>6#D�*,+/)D�0*1")D9�1!,�/.�/58.$5&'�#>/,@�08#=-)/,3�4 ��!�"#$%&'�(%&)�*#+",-./,�0*1",�6�0*#2&#*,�6,>/#2/#�08#=-)/)3�; ��!5�0*1"5�/5+)65E&'21�05*58.8'/#7�08#-)/,3�A ��!�"#$%&'�(%&)�*#+",-./,�>6,�0*1",9�1!-#�#>/5�+�/)D�/5=8.$)&'�08#-)/,9�5�>*%J5�:�0.*.&)/5E�L7�08#-)/%3�C ��!�"#$%&'�(%&)�*#+",-./,�>6,�0*1",9�!#$/5�+�1!)D�")"#=(,$/5�+�&*.&'#73�F ��!%�P,J%*%�%&6#*77&'�%2,�0*1",9�1!,�0.*.&)/57&'�#>/%�+�>6#D�")"#(,$/)D�0*1")D�,�05*58.8'/,�>*%J,@3�H ��<)�0*56)8'/.�&6.*>$.//1Q�R0*1",9�1!,�05*58.8'/,�>6#"�")="#(,$/)"�0*1")"9�")"#(,$/,S3�M ��!5�#+/5!5�05*58.8'/#2&,�0*1"#G�,�08#-)/)3�N �<)�"#$%&'�(%&)�>6,�0*1",�05*58.8'/)")9�1!-#�!#$/5�+�/)D�05*58.8'/5�#>/,@�+�>6#D�")"#(,$/)D�0*1")D34O �<)�#>/5!#6)@�+",2&�&6.*>$./'Q�R0*1",�/58.$5&'�*,+/)"�08#-)/5"S�,�R0*1",�/.�/58.$5&'�#>/,@�08#-)/,S34� �<)�"#$.�(%&)�&5!9�-#(�0*1"5�T�(%85�/.�05*58.8'/#7�08#=-)/,�U9�58.�/5�08#-)/,�U�(%8)�(�0*1",9�05*58.8'/,�T344 �<)�0*56)8'/.�&6.*>$.//1Q�R1!-#�>6,�0*1",�05*58.8'/,�#>=/,@�,�&,@�25",@�08#-)/,9�&#�6#/)�05*58.8'/,�",$�2#(#7S34; ��!,8'!)�0*1")D9�05*58.8'/)D�>5/,@�08#-)/,9�"#$/5�0*#=6.2&)�B.*.+�>5/%�&#B!%34A ��!,�&*.(5�"5&)�6,>#"#2&,�0*#�0*1"%�,�08#-)/%9�-#(�+*#()&)�6)2/#6#!9�-#�6#/)�/.�05*58.8'/,3

Page 106: 10 geom bi_u

������������� � ��� ������������������� !"!# $�%&' ��()��&* �)�+,�)�-./ 0 �1*2 +(��*3'4�� &)3'1* 5678 �9, 1,�1(-&�� 1)3'1):&'; <*9-()&' +(��*3'�= �)�+,�)�';!>; ?@ABACDEFGEHDBDIJIAKBDLDEFMNGEBAOLPQJCDECDEHIAQRSCPETUEDEV@ABACDEWXECJEIJYR@ZECDECP[\E] DYP@ZEBAOLPQJCC_EHB_SLAEWXEaPbCAVCAEHIAQRCRETEcBRV\Ed\d�e\feEgJBJ@RCDhEHIAQRCijEEkeEIJYR@ZECDEHIAQRCPjleEHDBDIJIZCDEHIAQRCP\m>; naPEHIAQRCRETEPEoEHJBJ@RCDp@ZV_EHAEHB_LP[E�EcBRV\Ed\dqe\EgB_LDErEHJBJ@RCDhEHIAQRCRETEPEoEaE@AsDtEuEPEWEaPbHAaPbCAUE_PECJECDIJYD@ZEHB_LP[E�\E] DYP@ZEaODhLCJEBAOLPQJCC_EHB_LRtE�EPEr\feEgJBJ@RCDp@ZV_jEE leEHDBDIJIZCP\keELRLAvPYCPjEw>; lPbALAUEQAEHB_LDE�EBAOLPQJCDECDEHIAQRCPET\EgAV@Da@JEbAEAYCAEiLAaREcfxleEaRVCAaAEc�xdeEHBAEaODhLCJEBAOLPQJCC_EHB_LRtE�EPEr\feEgB_LDErEHJBJ@RCDhEHIAQRCiETEaE@AsyPUEQAECJECDIJYR@ZEHB_LP[E�j�eEgJBJ@RCDp@ZV_jkeEHB_LDErECJEHJBJ@RCDhEHB_LiE�EPECDIJYR@ZEHIAQRCPETj qeELRLAvPYCPjleEHB_LDErEHJBJ@RCDhEHIAQRCiETEaE@AsyPUEQAECDIJYR@ZEHB_LP[E�\ deEHDBDIJIZCP\ Efklz>; {DEBRViCiEd\ddEOAvBDYJCAEivEFMNGF�M�N�G�\ElRvJSBP@ZEbI_EHB_LAUEQAELPV@R@ZEBJvBAEivDEGG�UE@BREHDBDIJIZCPE[EHB_LP\feEuu�j keEu�W�j leEWW�j |eEXX�j neEuW\}RV\Ed\d� }RV\Ed\dq }RV\Ed\dd

Page 107: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� !"�#$%&'()�#*+,-'./0,-(�1*2+$%34456�#.2$)�7+56&)�6,6*82&%4&�1�7+56*/�9:�;+,-��<�<<=� =�>?@ A=�>�?�@ �=�>>�@ B=�:�9�@ C=�??��D !"�#$%&'(�E+$4&�#.2$�;+,-��<�<<=)�5#,6�7$+$F3F(43�+32+*�>?G =�99�H�H@ �=�H�I�J�9�@ C=�JIH9�A=�99�J�J@ B=�??�:�:@K !"�#$%&'(�E+$4&�#.2$�;+,-��<�<<=)�5#&�73+3',4$L�7+56$�?�:�G =�HII�H�@ �=�9JJ�9�@ C=�9HIJ�A=�99�H�H@ B=�J�9�H�I�@M !"C$4*�'+,#.'4,#�NOP�;+,-��<�<Q=���F*R,4$�S�73+3',4$L�-'*+*4,�NO�&�NP�.�T*E*�-3+3U,4$V�W�'*0#$V�>�&�?�X&U7*X&U4*��NH�Y�Z�-6)�HI�Y���-6)�IP�Y�[�-6���*-'$X'3�.�X&U7*X&U4&-'(�#*%4*86.�3F3634'.�'+,#.'4,#$�T*E*�0,-F*X3�14$03445� =�C*X%,4$�NO@ �=����-6@ A=�U*X%,4$�OP@ \=�QZ�-6@ A�=�U*X%,4$�NP@ <=��\�-6@ �B=�73+,63'+�]NHI@ Q=��Z�-6@ BC=�73+,63'+�]NOP� =�\<�-6� C�,-��<�<Q �,-��<�< �,-��<�<Z_ !"3+31�*U,4�#&43a(�b�X&U+&1#$�bc�7+*X3U34*�7F*R,4.�S�;+,-��<�<=���*0#$�d�4$F3%,'(�X&U+&1#.�bc��3+31�'*0#,�d�&�c�7+*X3U34&�7$+$F3F(4&�7+56&)�5#&�73+3',4$/'(�7F*R,4.�S�X&U87*X&U4*�X�'*0#$V�e�&�P���4$TU&'(�U*X%,4.�X&U+&1#$�de)�5#R*�be�Y��-6)�eP�Y�\�-6)�NP�Y��Q�-6�� =�[�-6@ A=���-6@ �=����-6@ B=��\�-6@ C=����-6�fg !��+56$�d>)�1*2+$%34$�4$�+,-.4�#.�<�<Z)�73+3',4$L�7F*8R,4.�;>?:=��N�h�Hi)�j�h�JI)�P�h�JI)�j�h�JP���,14$0'3�X1$L643�+*16&R3445�7+56,V�ij�&�NP� =��,6*2&%4&@ A=�73+3',4$/'(-5@ �=�7$+$F3F(4&�ff !�C$4*�7+$X,F(4,T�'+,#.'4,#�kie�;+,-��<�<l=)�-'*+*4$�5#*E*�U*+&X4/L�Z�-6���*0#$�j�43�4$F3%,'(�7F*R,4&�'+,#.'4,8#$�kie)�7+,0*6.�jk�Y�ji�Y�je�Y���-6���*0#,�H)�I)�J)�9�W�

Page 108: 10 geom bi_u

������������� � ��� �������������������������� �� !��!�����"#$����#%�&�'(��)*�"���+�)��,)�#���#-#�"'�'$.�.#-�'+'�/012345��6��+7 85�9:��+7 ;5�:<��+%=5�:6��+7 >5�?��+7@ABBC�D')�)��"�E+#�,)�#-#�)���,)��$�'�/01�FG1�H���B5���#I�'J��#-#��'����,��,�9%9<���#����KK)*�9��+���6��+%�L�����������$����')�)���"'�'.�.*�#�-�"#)��,���"�#�����#�".#M��,�N��E�'�"���)�,.'�)���,)����"#����$����,�O�P�%�&�'(��)*��#�J��,�Q*#-#��������'%45���R��+7 =5�:��+7 85�9�R��+7 >5�:�R��+7 ;5�R��+%S��%�9%9< S��%�9%9� S��%�9%6�@TBBC�U)#�#���"�E+#�,)���'�/012V��#I�'J��#-#��'����,�$�,�9%9����#����KK)*�W��+���<��+%�X#Y�'�Z�����'.�J�)*�".#M����F/0125%�&�'(��)*�".#M,�"�E+#�,)���'�/�0�1�2�����E�#+,�/���0���1���2��[��������������������ZO��ZP��Z\��]2����"#����#%45�6<��+:7 =5�:6��+:7 85�9W��+:7 >5��:��+:7 ;5��W��+:%@BBC�_'����,��,�9%6���#I�'J��#�"�E+#�,)��(�)���,)����/01���')�)�E�#-#�/1�H�W��+��'.�J�)*�".#M����N%�8�� ��'�P�Q�(�".#M��������'.�J�)*%�a�E+'����M#�"�#b#��)*�Y������������,�-�"#)��,����"'�'.�.*�#��')�),�P\��"���)��'c�".#M��,�N���)#Y$Q��d%�&�'(��)*��#�J��,��������'�ed��E�M#�0!�H�R��+%�45�R��+7 =5�9��+7 85�6��+7 >5�:��+7 ;5�:�R��+%@fBBC�L�����)#Y�,�g��������'�g/�"�#�����#�".#M�$�,�N�F���%�9%6�5%�X#Y�'�P��'.�J�)*��������,�Og��"��Y#+,�/0�h�0g�H���h�:%�8�����#��10�"'�'.�.*��(�".#M����N����#����Kc�R��+%�a�E+'�O\�"���)��'c�".#M��,�N���)#YQ��2%�&�'(��)*����$�)'�*�+�J�)#Y�'+��g���2%45�����+7 =5�?�R��+7 85��:�R��+7>5��R��+7 ;5��?�R��+%@iBBC��_'����,��,�9%6:��#I�'J��#��#+I�/012�������#I�Y�,�)�'$"�Q�K�/0�j%�OP�[�.���E�"���)��,�Q�b�".#M��%�! �[�������E�S��%�9%9?

Page 109: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������� �!�"#$%&�'(�)�*�+,��-"#./�)��0�+,��� 123�45�36789 :�7�3;<�=>1�%$��?�@A�+,B C?����+,B ?��D�+,B E?��F�+,B G?����+,��9+��A�F� �9+��A�F@ �9+��A�FAHIJKLMNJHOPQRSTUVWXYZR[S\[]]UZ_ abZRZcQdQXcefZR[gehQfZiQ\jZfWdcjkS[]YlZ_mlZno<o=�>14o4�pq�r<!,6>:4 6s6�4<9>:4 9>1�"#.�tu.�)�v�w?�r<67o3o 6�r�6x9 :�y��no<o=�46z>:�/&�x6��o8945� 1�s�r64o :=��{p&�r<67o3o 6�r<!,:�|&�r1<1�o�5 :�3<:s6,:�>14o4:&�!>1�ro<o;49 1}�r�6x9 :�7�46z~��/���� 123�45�36789 :�>14o41�{q&�!>x6�#/���/"�)�@���*&�1�//��)�*�+,��bmlZno<o=�46z>9�'���(&�x6� 1�o8145�7�3r67�3 6�>14o41,�q{���qp�r<!,6>:4 6s6�4<9>:4 9>1�{pq�=�s6+4<9,�>:46,�A�w&�r1;<1�o�5 6�s�r64o :=��r<67o3o 6�r�6x9 :��� 123�45�ro<9,o4<�4<9>:4 9>1�.'(&�!>x6�s�r64o :=1�"#�)��A�+,&�".�)�D�+,&�1�.'���'"�)�����F��mlZ�3<�=6>�{p� o�ro<o49 1}�r�6x9 :�y�t<9+��A�FA?��no;<o=�>� ~��7�3<�=>1�41�26s6�+o<o39 :�r<67o3o 6�r1<1�o�5 ��r<!;,�&�!>��ro<o49 1�45�r�6x9 :�y�7�3r67�3 6�7�46z>1��{�&�p�&�q���� 12�3�45�36789 :�7�3<�=>1�{{�&�!>x6�##��)����+,&�1�qq�� 1�F�+,�367�92&� �8�{{���a�mlZno<o=�>� o~5�{�7�3<�=>1�"$�r<67o3o 6�r�6x9 :�y&�1�zo;<o=�46z>:�p�7�3<�=>1�"$�r<67o3o 6�7�3<�=6>�p��36789 6����+,&�r1<1�o�5 92�r�6x9 ��y���<!,1�$��ro<o49 1}�r�6x9 :�y�7�46z~������ 123�45�7�3+41 5�,�8�46z>1,9�r�6x9 9�{�41��&�>6�9�7�36,6&�x6�$#���#"�)�F���*�amlZG1 6�4<9>:4 9>�-������6x9 1&�r1<1�o�5 1�-�&�ro<o;49 1}�+46<6 :�-��~56s6�4<9>:4 9>1�7�46z~����&�1�+46<6 :������7�46z~������� 123�45�36789 :�7�3<�=>1�-���&�!>x6�-��)�A��+,&�1�--����-��)�@���A��aamlZ�1�:,676��=131z��@��= 123�45�36789 :�7�3<�=>1�-���&�!>x6�-��)�@*�+,&�1�--����-���)�@���*��a�mlZG1 6�4<9>:4 9>�{pq����6x9 1&�r1<1�o�5 1�r<!;,�2�{p&�ro<o49 1}�+46<6 :�{q�~56s6�4<9>:4 9>1�7�46z~��{�&�1�

Page 110: 10 geom bi_u

���������������� �������������������������������� !"��#�"��$%�����"��&' �(���)�*'+��,���-��.��/)�0,�1�,2�-�3�1�4�56789: �����%'���%'�(����;<�+%� )�= � <><#� �=�*/�!�(�)�=>�>�%� ?���������(���#�@����%'���%' ���������(�)� ����A������������������������ !"��#�"��$%�����"��&' �(���)�*'+��00��-�B)�0,�-�C)�0�2�-�D��EF�%�<��#�&� �>��*��%� &�)�*'+��B�-�G.��/)�C�-�G3��/)�D�-��.��/��5H789I�"��&�'�(��=>�>�%� ?�=<�+%���J���������K��L>�>&�'�������"��&' �(�����=���>">���= � <><#���=�*/��((�������)�*'��=>�>�%A� M�#�=<�+%��������' N�(���������� !"��#�"��$%�����"��&' �(�)�*'+��((��1�����-�G�1�O�����"��&�'�K(�� �O��/�'����P%!)���$���"A��&�'��KQ5R789I�"��&�'�(��=>�>�%� ?�=<�+%���J���������K��L>�>&�'�������"��&' �(�����=���>">���= � <><#���=�*/��((�������)�*'��=>�>�%A� M�#�=<�+%��������' N�(������)�">�(�)���������'%�=>�>�%���&�=<�A+%��M�J���� !"��#�"��$%�����"��&' �(���)�*'+��0S�1�S,�-�G�1�4�����"��&�'�K���� �T��/�"��P%!)���$���"��&�'�K(��5U789I�"��&�'�(��=>�>�%� ?�=<�+%����L>�>&�!�@��'��������>A�>"%��������'��V����=���>">���= � <><#���=�*/�)�*'��=>�>�%A� M�#�" ���=<�+%�����"=���"��������' N�0�)�,�)�V���I%&� ��>�"��$%�����"��&' �VV�)�*'+��00��-�W��/)�,,��-�����/�5X789I�"��&�'�2Y�=>�>�%� ?�=<�+%����L>�>&�!�@��'��������>A�>"%��������'��Z���=���>">���= � <><#���=�*/�)�*'��=>�>�%� AM�#�" ���=<�+%�����"=���"��������' N�2�)�Z�)�Y���I�"�/�)�+��2���-�3��/)�YY��-��[��/���� !"��#�"��$%�����"��&' �\\�Q]]_abc_]defghijklmn9gohpoqqj95rst59g9ufhqvw9fxyz{qm{hoqqjw895r778�: �����%'���%'�(��)���*'�/��(��-�T��/��I�"�/�)�+��=<�+%� )�= � <><#� �=�*/�!�(�)�=>�>�%� ?���������(�������A���|)� ������������}���������\�� ')�+��Z��-��4��/)� �|Z�-�3��/��I%&� ��>�"��$%�����"��&' ���Qt~778�: �����%'���%'�(�����=<�+%���J)�*' �!�@���>�=>�>�%A� ?�����'%�Z)��)�|�}��>�>"%�%��������(�)���)�(����"=���"��Q�L>�>&����'%�0)�,)�2)�Z)��)�|�=���>">���= � <><#���=�*/��0(�)�,��)�2��)�Z\�)����)�||���0�)�,�)�2�)�Z�)���)�|�������'%�=>�>�%A���= � <><#�%N�=�*/%N�&�=<�+%��M�J���I�"�/�)�+��||��-��.��/)�����-�T��/)�,���-�����/���� !"��#�"��$%�%���"��&'���0(�)�2��)�Z\��t�778�L>�>&��>�P%���(���/F �0,2Y�=���>">���=�*/��)�*' �= � <><#� �"� @�� <��,Y��:��>"��#)�+��=�*/�����2Y�=>�>�%� AM�#�*�t5778�L>�>&��>�P%�������/F �0,2Y�=���>">���=�*/��C)�*' ��>�<>$%�#���=<�+%�����/F )� ��>�>&��>�P%���(���=�*/����*' �= � <><#� �"� @�� <��,Y��:��>"��#)�+��=�*/�����C�/%/�F�$���

Page 111: 10 geom bi_u
Page 112: 10 geom bi_u
Page 113: 10 geom bi_u

���������� �� ����������������������������������� ! �"#$%&'(�)*#&+,(''-�./*0�12*,3'�4�1)*56*)+ �7$)$2(28'+�12*,3'3�9:;�<;=>?@ABCD�AEF�G?;:DHD�I�G<;JC;<FK�C;�LMHN�<;=OF:PHQH@�=B?PRDCS�EFA�FJHIEBHH@�I�HDM�JGF?SHDM�C;T;9U��;R?DEF�EDQGBA9DV�U��9:;�I�AE;M�G?;:DH�N�WXYZ[\]_YZ[aWbcZK�C;�E;HD�]dedfagYZha \i[]W[]eijkK�:;�G<;M;ADCS�TP<P=�lm�C;T9I�nB9JF;OB�<;=OF:PHH@o�n<DJU��U�K�poU��B�HB@EH;JCF�XqWr[\]_Ygr[C;T;9�JDQCIBlF@�HP�=OFHDCSJ@V�TP<P=�A;EF?SHF�AEF�C;T9D�O;RHB�G<;EPJCD�CF?S9D�;AHI�G<@OIK�@9B�sIAP�JGF?SH;m�A?@�lDM�AE;M�G?;:DHK�C;sC;�E;HD�]dedagYZha \i[]W[tk[]eijkU��CRPK�@9:;�AEF�G?;:DHD�OBmCS�WXYu[ZvW[vdw_b[\]_Ygr[aWbWcK�ic[_dxZa [YZ[WXYk[]eijkK�C;�lF�G?;:DHD�]dedagfYZha \i �yU��9�EFA;O;K�TP<P=�C<D�A;EF?SHF�C;T9D�G<;JC;<IK�:;�HP�?PQRBCS�HB�;AHFz�G<@OFzK�O;RHB�G<;EPJCD�G?;:DHI�F�A;�C;>;�R�CF?S9D�;AHI�nHBJ?FA;9�F=�B9JF;O�JCP<P;OPC<FLoU��;AF�;TPEDAH;K�:;�@9:;�AEF�G?;:DHD�OBCDOICS[aeg[[v_{d[\]_Ygr[aWfbWcK�ic[Yd[_dxZa [YZ[WXYk[]eijkK[C;�E;HD�HB9?BABCDOICSJ@�n<DJU��U�K|}oU���CB9;OI�<B=F�9BRICSK�:;�G?;:DHD[wv~Zha \i ��EFAJD�EDG?DEBNK�:;�G?;:DHD�wv~Zha \iK[@9:;�E;HD�OBmCSV�Bo�JGF?SHI�G<@OI�F�C;T9IK�:;�HP�HB?PRDCS�Lz��so�AEF�JGF?SHF�G<@OFK�:;�GP<PCDHBmCSJ@��Eo�G<DHBzOHF�C<D�JGF?SHF�C;T9DK�:;�HP�?PRBCS�HB�;AHFz�G<@OFzU�U��9:;�AEF�<F=HF�G?;:DHD�HP�OBmCS�R;AH;L�JGF?SH;L�C;T9DK�C;�E;HD�HB=DEBmCSJ@�]ZeZ_d_Ygjg[n<DJU��U�K|�oU[�?@�G;=HBQTPHH@�GB<B?P?SH;JCF�G?;:DH�ED9;<DJC;EImCS�JDOE;?����U��BQGDJImCS������K�TDCBmCSV��G?;:DHB���GB<B?P?SHB�G?;:DHF���K�Bs;��G?;:DHD���F�����GB<B?P?SHF�U�����K������K�C;����������U��?;:DHD�GP<PCDHBmCSJ@ �����K�G?;:DHD�=sF>BmCSJ@ �����K�G?;:DHD�GB<B?P?SHF| | | | p|| | | | | | | }|| | | | | | ��DJU��U��CRPK�]_W�gYg[u[]eW\aWe[jWxua �[]dedagYZag\iK�wvf~Zag\i[ZvW[vuag[]ZeZ_d_Ygjg�

Page 114: 10 geom bi_u

�������������� ������� ��������������������������������� !"#$%$ � &'()"# �*('"+�,'$"#�-$.(/("'$"0�,'�+1"0%�2!3"#� (2!"1"4$5!6"4(-0("#��7!8'�9�"7!0'$6"'�:1:!�'!":/!'("0!+'$/(".("#!� �9$"!":/� ;6"#�%�0%(//;"1"-$9$/�#�7�%)!72!6"%!7<'�":0 $��'!"7"1#$0�70$)"�(:0(6"#!�%1.'(0("/�*�=">?;:17$/(6".("# �*('("#$%$ � &'!6"�$@"A+�91"���B���� �C������������=DEFGEHIJKLJMNOFJPQRJSGTHRUJTNRJSEGEVWXIYVZ[TUJFPXR\]JSFOW_XWUJQRPSFQRPXFJSIGIEZXRJPQFHJSGTHWHJPGaF]JSFOW_XWUJVFJbRJSFOWXWJSIGIEZXRLc�� � ����"d�)$8"e"!"f�g"�$'!"# �*('("h%(:="i=jk6""!"l"g"�7!"#%;+!6"*�" �,$/&"'$"# �*('!"e"!"#�%�/('$m/&:;"7"/�.2!"n="o%;+!"�"!"l�" �,$/&"'$"# �*('!"f"!"7!�#�7!�<'�"#$%$ � &'!"#%;+(+""!"l="p�7���+�6"*�"# �*('("e"!"f"#$%$ � &'!6"qrstutqvwxuvyz{|ts}w~t�t="�(:="i=jo%(#1:/(+�6"*�"e"!"f"#�%�/('$m/&:;"#�"��;0!8"#%;+!8"�=">$"/��%�+�m"#%�"#$%$ � &'!:/&"#%;+��"!"# �*('(6"#%;+!""!"l6";0!"#$%$ � &'!"#%;+(+"�"!"l�6�#$%$ � &'!"# �*('!"f���/,�6""!"l�'�"#�%�/('$m/&"# �*('("f6"$"A'$.(/&"'�"#�%�/('$m/&"!"#%;+1"�6";0$"'$ �,(/&"f�"�$0(+".('�+6"'$"# �*('!"e".�%�A"/�.01"n"#%�)��;/&"�7!"#%;+!""!"l6"#$%$ � &'!"�6"*�"'�+�, (7�"A$"$0:!�+�m"#$%$ � &'�:/!="�/%(+$ ("#%�/(%!..;="�/,�6"#%(#1*�'';"'�#%$7( &'�6"# �*('("e"!"f�#�%�</('$/(:;"'�"+�,1/&6"/�+1"e"!"f"g"#$%$ � &'!6"*�"8"7(<+$9$ �:;"��7�:/(="� �� ������ � ���DEFGEHIJ�L�EGE�JVF�NJSF�IJPIXFYJSFOWXFYJHF�XIJSGFQE[VWJSFOWXUJSIGIEZXJPIXR�UJRJPFJVFaFJ�JVRZNWJFPXLc�� � ����"d�)$8"e"g"A$�$'$"# �*('$6"n"g"/�.0$6"*�"'�"'$ �,(/&"�8="o%�7���+�"1"# �*('!"e"�7!"��7! &<'!"#%;+!""!"l6"*�"#�%�/('$m/&:;"7"/�.2!"�"h%(:="i=�k6

Page 115: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������ �!�"#�$%�&�'�()*�+ ,-*�.��*�/�0�+� �1�123*�4-�56�7�6�0�/�7�/�89��1#:;3��<0�:#�+ #=#(;"2��� �!�+ ,-*�.��*�/�0�+� �1�123��+1#:;3*�>9��"?�0�+1#:;3��<�'�+#@%(#)�A3�9�B#)�(�-#0�:#�)#3��C(;3�0�"#@"#�3��!�1�?;"2�)*(�);A@# %�+ ,-;=�.��*�/�9�� ;+%D";-#0�:#�*D3%C�*3E��+1#:;A3��F0�,$��+ #=#(;"2��� �!�"#�$%�&�*�+�A �1�123��+1#:;3*�>9�B�1*�);$#3�C-#�:��()*�(#(�"$#)*�+#@%(#);G�8��#@%(%C-#�+1#:;3%�H�0�,$��-*DA";"2�+� �1�123*�+ ,-*�.�*�.�9��D$*12$;�)#3��-�C�!�FID+*123%�"#�$%�&0�"#�)#3��+�A �";3�C�44�+#�(�,$*J�+ ,-*J�.K0�,$��+ #A=#(;"2��� �!�LM�"#�$%9��1��#D$*12$;�F�7�>0�"#�6K�7�60�"#(*�L��D%+� ��;"2��$D*#�-*�+� �1�123#D"*9��"?�0�+ ,-*I.K�*�.��!@*N�AM"2D,9�K8��#@%(%C-#�+1#:;3%�HK0�,$��-*DA";"2�+� �1�123*�+ ,-*�/��*�/9�#3��+� �"3��+1#:;3%�F�+#�(�,$*J�+ ,-*J�/K�9��* $%M�;��3�1#N*�3#0�(#)#(;-#0�:#�/K�!@*N�C"2D,�!�/�9��"?�0�-�C-#0�:#��� �!�()*�+ ,-*�.��*�/�0�,$*�+� �";A3�M"2D,0�+ #=#(,"2�()*� *!3*�+1#:;3;�F�*�<0�#(3�$�L��D%+� ��;"2��$D*#-*�3�1�?3#D"*9�� ;+%:�33,�*D3%)�3A3,�()#=� *!3;=�+1#:;30�+� �1�123;=�(�3*J0�,$*�@�+ #A=#(;1;��� �!�#(3%�J�"%�D�-%�"#�$%0�3�+ �);123�9�O� �!�"#�$%�+#!��(�3#M�+1#:;3#M�-#?3��+ #)�D";�+1#:;A3%0�+� �1�123%�(�3*J0�*�(#�"#N#�?�"*12$;�#(3%0�:9�)9�(9�PQRSQTUIVRWQVQXRYZ[\[][_�#�$��a�3��1�?;"2�%�+1#:;3*�" ;$%"A3;$��&bc9����)*( *!$�=�a&0�ad�*�ae�);@ �3#�"#�$;�&�0�b�0�c��)*(+#)*(3#0�:#�a&�IGI&&�IfIab�IGIbb�IfIac�IGIcc�9�B#)�A(*"20�:#�+1#:;3;�5&bc8I*�5&�b�c�8I'�+�A �1�123*9B�3#Gg&bc0�a�h�5&bc80�&��i�a&0�d��i�ad0�e��i�ae0�a&�IGI&&�IfIfjab�IGIbb�IfIac�IGIcc�9B#)�D";G�5&bc8�7�5&�b�c�89�;D9�k9l

Page 116: 10 geom bi_u

�������������� ������� ��������������������������������� �!!" #�$%&'($�&)(*+,-. /01213. 4-5-678.9:��8�::��;�9���8�����;�;<9=��8�==�>.?10/.:�.@.:���>.�=.@.��=�.?-.:=.@.:�=�.A4-./4-B-CDEFE13.?F1GF013.H-CFI-JK:���.L.��=��;���>.?10/.A:���=�J.M.N5OE-.PC1QORE-S.:�.L.�=�;��>.A:�=J.M.N5OE-.PC1QOE-KT?UF>.4-.14E-V13.P-RG-CFCDE1I?7.PC1QOE>.0-NR01>.Q1.A:�[email protected]:���=�J>.QK.2K.5K ,-./4-B-CDEFE13.?F1GF.013.H-CFI-.P-G-CFCDE7.PGW07.275R?OE-3?D.E-.I?1G1E-X.V/?-.PG1RP1G..Y7Z.E7.275G74VOK.[10/>.2G-X1R2/36O./012/.4-5-67>.1?GO0/N01.P-G-CFCDE7I?D.?GD1X.P-G.275P1R275EOX.PGW0OX8.:�.7.:���>.�=.7.��=�.?-.:=.7.:�=�K.[16V-0O.:>.�>.=.2O4E-6-RN?DIW.15E-.PC1QOE->.-.:�>.��>.=�.M.7E\->.WV7>.4-.14E-V13.P-G-RCFCDE1I?7.PC1QOE>.P-G-CFCDE7>.QK.2K.5K] _ `abcd-E1.527.P-G-CFCDE7.PC1QOEO.e.7.fK.[16V-.g.EF.CFUO?D./.U15RE7Z.4.EOXK.,E-Z57?D.BF1.0F?GO6EF.07IYF.PGW0OX>.WV7.PG1X15W?D.6FGF4.?16V/.g.7.P-G-CFCDE7.5210.PC1QOE-0.e.7.f�h�i�j"i(!!" #�$%&'($�&)(*+kFX-Z.PC1QOEO.e.7.f�M.P-RG-CFCDE7K.[16V-.g.EF.CFUO?D.E7./.PC1QOE7.e>.E7./.PC1QOE7.fK.l74D0F01./.PC1QOE7.e.51R27CDE/.?16V/.:>.6FGF4.WV/.PG1R2F5F01.527.PGW07.��7�m��nFGF4.?16V/.g.PG12F5F01.275P1275E1.527.PGW07.���7��m>�WV7.P-G-CFCDE7.��7�m>..-.4E-6O?D>.7.PC1QOE7.e��d27.PGW07>.Q1 [16V-.g.EF.E-CFUO?D.5210.5-EO0.PC1QOE-0.e.7.f��op.G1407QFEEW./.PG1I?1G7.5127CDEF8.-q1.07U.PC1QORE-0O>.-q1.P14-.PC1QOE-R0OK.k-.G142rW41V.4-5-67.YF.EF.2PCO2-NK.nFGF4.?16V/.P14-.PC1QOE13.01UE-.4-R2U5O.PG12FI?O.qF4C76.PGWR0OX>.P-G-CFCDEOX.5-E7Z

Page 117: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������ !"#$ %&'(� )!*"#+#$ %�,-!".��/01!".(�"�2#3�4��5.-���/01!"#�67��0-8�6�9�:(�*#�0*"#;<0$��#�#/�/%"0& 8��/01!"7��"#/0=8+"0�-0)0-! %&'(�10�6�9�>7�?���*� 0+<.�@(�'<#�"��/�;A! %�.�A0-"83�*�-)02��/01!"(�B0A"#���0)�& !�5�*/8+���';B!2(��#�#/�/%"!2��/01!"#B�:�8�>(�'<8�/�A# !B. %�)�0-"83��/01!"8(��#�#/�/%"83�-#"!B��/01!"#B7CDEFGHDEIJ��/01!"#7K �/01!"87�L0A"#���'B#(�'<#��#�#/�/%"#�0-"83�*�-)02��#�#/�/%"!2��/01!"(�5.-���#�#/�/%"0$�8�-�.=83��/01!"87��&<8/%<!�+���*�-)8���'B8(�10����� !"#$ %;&'(�B0A"#���0)�& !�,-!".��/01!".(� 0�)&8��#�#/�/%;"8�-#"!B��/01!"#B���'B8(�'<8���020-' %�+���*�*#-#".� 0+<.�@(�"#/�A# %�0-"83�8� 83�&#B83��/01!"87�M�0B�; �!+"!B�B8&4�B� #<!2���';B!2�,��/01!"#7NOPQOR�<#A8 %��0*B81�""'�-)02��/01!"�:�8�>(K'<10�)0"!�"��B#$ %�A0-"0S�&�8/%"0S� 0+<!7�T����� !"#$ %&'U VT�*58=#$ %&'U T��#�#/�/%"87NOWQOR�<#A8 %� �!��!&."<!(�"#�'<!2�*05�#A�"0�-)8��/01!"!(�10����� !"#$ %&'7NOXQOR8-0B0(�10��/01!"!�:�8�>KY��#�#/�/%"8(���'B8�Z�8�[�"#;/�A# %��/01!"8�:(�#���'B8�\K8K]�"#/�A# %��/01!"8�>7��<#A8 %���#)!/%"8� )��-A�""'7��T TVT MT T

Page 118: 10 geom bi_u

�������������� ������� ������������������������������������ !� "��#��� !� $��%���&!� '������&!(��%��� !� )��#���&!� *��+��� !� ,��+���&-.���/�"/�)�0�'! 1��"/�)/�'�0�,! 2��)/�$/�*�0�,-3��(/�)/�$�0�*!� 4���/�"/�$�0�,!565768�9:;<=>=�&�0� �?�@ABA:C:D>0-�ECBCF�G;HIJ�K/�LIA�>C�>AM:CN=GD�N;O>0P�F�>=Q/�@B;RCOC>;�@:;<=>J�S-�TIAN0GD�GB=�@BAMR=:D>0�GRCBONC>>L-.��S�?�UO=>A�V;N:=RA�@:;<=>A/�LIA�@ABA:C:D>A�@:;<=>0�&!�3��S�?�UO=>A�V;N:=RA�@:;<=>A/�LIA�@CBCG=>AU�@:;<=>J� !�1��S�?�UO=>A�V;N:=RA�@:;<=>A/�LIA�@ABA:C:D>A�@:;<=>0� !4��S�?�UO=>A�V;N:=RA�@:;<=>A/�LIA�@CBCG=>AU�@:;<=>J�&!2��S�?�UO=>A�V;N:=RA�@:;<=>A/�LIA�@ABA:C:D>A�0�@:;<=M>0�&/�0�@:;<=>0� -56W768�2R0�XG;B;>=�K��0��Y�@ABA:C:;ZBAVA�[\] /�F;_BANC>;MZ;�>A�B=XJ>IJ�)-)/�@ABA:C:D>0�OR;V�@BLV=V��0�#�R0O@;R0O>;/�LI0�@CBCG=>A GDXL�0�>A:CNAGD�@:;<=>0�&-�TIAN0GD�RFAUV>C�B;FV0M<C>>L�@:;<=>=�@ABA:C:;ZBAVA�[\] �GA�&-.��9CBCG=>A GDXL! 1��@ABA:C:D>0-3��F_0ZA GDXL!56a768�10O;V;/�<;�XG;B;>A�K��@BLV;IJG>=IA�[\] �@ABA:C:DM>A�OCLI0P�@:;<=>0�&/�A�XG;B;>A�[ �?�>C�@ABA:C:D>A�b0P�@:;<=M>0-�1=F>AHGC�RFAUV>C�B;FV0<C>>L�@:;<=>�c[\] ��GA�&-.��9CBCG=>A GDXL! 1��F_0ZA GDXL-3��@ABA:C:D>0!56d776��eA�B=XJ>IJ�)-$�F;_BANC>;�@BLV;IJG>=P�@ABA:C:C@0@CO�[\] [�\�]� �-�TIAN0GD�RFAUV>C�B;FV0<C>>L�@:;<=>/�FAOA>=Q�JV;RAV=�c.?2�-.��[�\�]� ��0�\�[� �]�! ���9CBCG=>A GDXL! .3��[ �[��0�[\] !� (��@ABA:C:D>0! 31��[\\�[��0�]� � ]!� "��F_0ZA GDXL- 14��\[ ]�0�[\\�[�!� 42��]]�\�\�0�[ �[�� 2f=X-�)-) f=X-�)-$

Page 119: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� !!�����"#$%&'()*&%(�"+#+,-,-"."-/.�012#+*&�0-#31*(�456#178�98:;8��12-#.)<�)#1�"+#1�=#+*->�7-#-/�6�?@;A�$'.�"-#-)1*+BC)<7$�"&�#-2#(A�D&�%.7)1)<�)&E'(�48��;�FGHIJ5 K;�GHH�G�J5 :;�HII�H�J�;�F�G�H�I�J 9;�FII�F�J @;�FGG�F�L ;���.�9J M;�K�.�@J �;�K�.�:J N;���.�KJ O;���.�@8��P!!����'+Q.)<�=#+*<�"#$%&'()*&=&�"+#+,-,-"."-/+A�$'+�"#&BR&/1)<�E-#-S�)&E'(�T��"+#+,-,<*&�=#+*.�FGHI56#178�98:;8 ;�I�F�FIJ �;�I�F�G�H�J O;�FGG�F�LM;�I�H�HIJ N;�I�F�GIJ��UV!!��O0.�/.+=&*+,.�#&%2+�"+#+,-,<*.�",&D1*.�W8��1S*+E)-�#&S%.D-**$�",&D1*1A�$'.>�*+,-Q1)<�#&%2�.�",&D1*+�W8 ;��+#+,-,<*.J M;�S2.=+C)<7$J �;�"-#-)1*+C)<7$8��UU!!���&E'+�I�*-�*+,-Q1)<�",&D1*.�)#1'()*1'+�T4X56#178�98@;8��&E'1�YA�ZA�[�?�7-#-/1*1�0./#.S'.0�ITA�I4A�IX�0./B"&0./*&L5�1S*+E)-�0S+\%*-�#&S%.D-**$�",&D1*�6T4X;�.�6YZ[;8 ;��-#-)1*+C)<7$J M;�S2.=+C)<7$J �;�"+#+,-,<*.8��U]!!���&E'+��*-�*+,-Q1)<�",&D1*.�"+#+,-,&=#+%+�FGHI56#178�98_;8��&E'1�YA�ZA�[A�5*+,-Q+)<�0./#.S'+%�TA�4A�XA�I�0./"&0./*&A�"#1E&%(�Y5a5TYA�Z5a5GZA�[5b5[H5a5�5b5�A� 5b5I5a5a5�5b5�8��1S*+E)-�0S+\%*-�#&S%.D-**$�",&D1*�6FGHI;�.�6YZ[ ;8 ;��-#-)1*+C)<7$J M;�S2.=+C)<7$J �;�"+#+,-,<*.8�178�98@ �178�98_��Uc!!��O0.�"+#+,-,<*.�"#$%.�d5.�e�)+�)&E'+�YA�$'+�*-�,-Q1)<�*+�Q&/*.>�S�*1RA�*+,-Q+)<�",&D1*.�f8�g-#-S�"#$%(�d�.�)&E'(�Y�"#&0-,1�",&D1*(�hA�+�E-#-S�"#$%(�e�.�)&E'(�Y�?�",&D1*(�i8��1S*+E)-�0S+\%*-�#&S%.D-**$�",&D1*�h5.�i8� ;��-#-)1*+C)<7$J M;�"+#+,-,<*.J �;�S2.=+C)<7$8��U�!!��O+*&�/0.�%1%&2.Q*.�"#$%.�j�.�k8��'+Q.)<�'.,<'.7)<�",&BD1*A�$'.�"#&R&/$)<�E-#-S�"#$%(�j5.�"+#+,-,<*.�"#$%.>�kL� ;��/*+J M;�/0.J �;�)#1J N;�Q&/*+J O;�2-S,.E8

Page 120: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������������ !"#$%&'�&( ) *&+,!$-./"&!�"&010�+"23"&4).0"&0�2-35&4)�� 6#1&7!13,&45),&45)58 8$319&48�'13:���;���<8�'131&=&"&>&45)58 8$3":&��� !"#$%&'�&/�235&4).05&48�'131&=&45)58 8$35&48�'13"&>:���?���@�(/5&A&B&64"8$35&6 ) !135&/�23�C�&*&�"!)"*/"�&DD�%&���%&EE�%&./"&3 &8 25#$&�&�!3"F&48�'13":&��� !"#$%&'�&48�'1-31&GD�EH&"&GD���E�H&45)58 8$3":���I���@)1&4).0"%&./"&4)�9�!.#$&( ) *&�!3,&#�(/,%&4 ) #135-J#$&!53,&48�'13,&�&#�(/59&D%&�%&E%�5&45)58 8$3,&KF&48�'13,&B&�&#�(/59&D�%&��%&E�:&��� !"#$&4�!"+3"6#$&#)1/,#31/"�&D�E&"�D���E�:���L���&�53�&45)58 8�C)50&D�EM&"&48�'13,%&./5&F�C�&3 &4 ) -#1357:&N ) *&� )O131&45)58 8�C)505&4)�� ! 3�&45)58 8$3"&4).-0"%&./"&4 ) #135J#$&!53,&48�'13,&�&#�(/59&D�%&��%&E�%&M�:&P35F-!"#$&!��213,&�"!)"*/5&MM�%&./'�&DD��Q&R&0%&���&Q&S&0%&EE��Q��&0:��TU���&��� !"#$%&'�&�6"&4).0"%&./"&4)�9�!.#$&( ) *&!53,&#�(-/,&45)58 8$3�&!53"F&48�'13"%&8 25#$&�&�!3"F&48�'13":��T����&<8�'131&=&"&>�45)58 8$3"&48�'13"&V:&W1*35(# %&(1&0�-2,#$&48�'131&=&"&>�4 ) #135#16.:&W"!4��"!$&�+X),3#,F# :��TT���&Y5&) +)59&DD��"&���&/,+5&Z[\MZ�[�\�M��4�*35( 3�&�"!4��"!3"&#�(/1&]&"��G)16:&R:_H%&./"&7&6 ) !13501&19&) + )%&5&35&C)53"&EMM�\��B&#�(/,&A%&./5&7& 3#)�0&"7K&C)53":�H&W1*35(# &�*5703 &)�*0"' 33.&48�'13&G] AH�"&GZ[\Ha&G�M]H�"&G[�\�M�H��H&b&�145!/,&4 ) #13,&48�'13%&4�+,!,F-# &K93J&8"3"J&4 ) #13,:SH&c+(168"#$&48�',&4 ) )"*,&/,+5%&4�+,-!��53�C�&48�'13�J%&./5&4)�9�!1#$&( ) *&#�(/1&[�&"&M��45)58 8$3�&) +),&DD�%�./'�&) +)�&/,+5&!�)"�3J7& &60:d���T��efghijklhim�ngogfpfqrjs�nfltjr<5)58 8$3"&48�'131&05J#$&4 �3"&�5281�"&�856#1��6#":&u�*-C8.3 0�&K9:W856#1�"6#$&�:&vwtl�xkm�ngogfpfqrm�nfltjrj�npopiryzij�iopiql{|�il�no}~m��srql�l�npopijry�ngogfpfqrm��� �������&Y 95F&V&B&6"(35&48�'135&!8.&48�'13&=�"&>%&V&�&=&Q&�%&V&�&>&Q&�&G)16:&R:�H:&@�!"&0570�&!�"&4).0"&&"&�%&./"&0�2,#$&3 &4 ) #135#16.&5+�&4 ) #135#16.&81O &�&�!3"F&#�("%&./&4).0"&�!3"7K&48�'131&V:&c!35/&�&�&=%&�&�&>%&4)1(�0,&=��&>:&c#2 %&4).0"&&"&�&3 &4 ) #135J#$6.&"&8 25#$&�&�!3"F&48�'13"&V:&c#2 %&��31&45)58 8$3"%&�&�&�%&':&�:&!: u16:&R:_

Page 121: 10 geom bi_u

���������� �� ������������������������������������� �! ����� ��"#$�%�&'�%(����)*+*,-,./012,345/5612-+-75/*8951:;012*+*,-,./012+<=061;0:75/*87.1/*1/5>1+0;/01;0:+0?@5ABCDEFEGGHI��JK$L�M�'�N�O�P$Q'�R$S$#J#(Q'�RSTU'V�WX'�YXO�R$S$#J#(Q'�R#Z[�Q�V�[Z�RJSJ%�Q$\%(�]K�&'PRZ&'PQZ�&�%Z_$K�V�aV��V�a��bS���� ��"c���_'#(_��RSTU'�M�'�N�R$�S$�#J#(Q'V�%Z�&ZQ��#Jd$%(�&�ZPQ'L�R#Z[�Q'�e���#Z[�Q$�e�RJSJ%�Q$f�R#Z[�QgXW�RZ�RSTU'L�aV�$�R#Z[�QgXY�RZ�RSTU'L��a�V�T_'�h$�&#$�%�&'�%\���R$S$#J#(Q'���ZUg�aa� ��O�R$S$#J#ZiS$U���%dJV� ��j�aa�V�[��&��P���#$�%�&'�%(���'Q_Z#��kZSUg�#\f%(�T�%$_l�DmFnmopqXrMnMsEstuGqvXrnHwqvxXHpmXwmyzHztyHXwm{XFDCwMXrMnMsEstGqwqXrsC|quGMwqxXnmDGm�#$�%�&'�%(�}��~;012,345/5612*+*,-,./017+-70�12,3145�/0612*+*,-,./01=0�1�3�38ABCDEFEGGHI��JK$L�W���eV�Y���e���S�Rg�%�UZV�[Z�R#Z[�Q��W�'�Y�QJ�R$S$#J#(Q'���ZP'�R#Z[�Q��W�'�Y�U$\%(��R'#(Qg�%Z_g���J�SJh��\�%Z_g�RSZKZP�%(�P&'�R#Z[�Q��W�'�YV�T_'�R$S$#J#(Q'�R#Z�[�Q'�e���SZ%J�&'PZUZV�[Z�JSJh�%Z_g�RZh$�P$QZ\�R#Z[�QZ\�UZdQ$�RSZ&J�%��R#Z[�QgV�R$S$#J#(Qg�P$Q'L�'�PZ�%ZiZ�d�%'#(_��ZPQgV�%ZUg�U��RS�L�#��PZ�RSZ%�S' T���%dJV�W���YV�[��&��P������������Z&JP'%(V�[Z�R#Z[�Q$V�T_$�RJSJ%�Q$f�ZPQg�h�P&ZK�R$S$#J#(Q�K�R#Z[�QV�RJSJ%�Q$%�UJ�L�PSgig�R#Z[�Qg��$QZl WV�YV�e��W���YV�e���W�j����Z&J�%�l�R#Z[�Q$�e�RJSJ%�Q$f%(�T�h�R#Z[�QZ\�Y���������� ����� ¡���¢¡£¤��Z&JPJUZV�[Z�R#Z[�Q$�e�RJSJ%�Q$f%(�T�h�R#Z[�QZ\�YV�UJ%ZPZU� &'P� �gRSZ%�&QZiZ�bS���� �!c���JK$L�e�'�Y�QJ�RJSJ� �'P�$��PZ&JPJQQT�&�UZ�i��h$P$'�&$d#�&Z�&�¥S$%��UJ%ZP�PZ&JPJQQTl�RSTU�L���&'P��gRSZ%�&�QZiZ����h$�

Page 122: 10 geom bi_u

������������� ����������� ����� ���������� !�"#$!%!&!'(!)�!*+",!-"�!.�#�/$ !0!&!'!$!%!1!0!2!3 !�"#$!3!4!0!$!3!4!%(!5"6�"!$��*7!��8�!�"/8�!9!��!:;�+$<!3 !/=;=.!�8*!:;"-=#=�"!#-$!;$.�$!:>"?��� !�8$!:�;�>=>��$!:>"?��$!'(!@=!�*:=;=/���!�=";=+$!:;"!$��*,-����!:>"?��� !:�;�>=>��"A!#��$<(!B�C= !%!D!' !�"6�"!:>",?���!%!:=;=����7����!.!:>",?��"�!' !?"!<!-�+�E�>"��!#",-=���(! E�>���F!-�:�#8�F!6$>�G=!-�8";���"-*���!+=�"#!-$#!�*:;"��-�"E"(!);"6�-G�!:;�:*?=��� !:;"��>=C�=!#"!-�+"E�!.�#�/$ !+�!:;�,F"#�+"!#"!-���"-!8*H!%!&!' !0!&!'(!)-$#�� !.�!�;��.���-,�$��� !%!&!0 !?"!�*:=;=/���!*+"-$!.�#�/$(!B�;�+���!�*,:=;=/�$���!#"-"#���!-�+",E*!.�#�/$(!B�C= !IJKLMNO !PQORISTSUMNOVRKWNXRYRWZK[RIOTOJSJ\NM[RIJKLMN !ISTSUMNOVR]RN_X!aOWObORcd"-=#$�� !?"!:;�+� !�8�!:=;=����7!"#�*!.!:�;�>=>���F!:>"?�� !:=;=,����7!<!$�G*(d��"H 0!&!' !e!f!0!$!e!f!' !e!1!0!2!9(d"-=���H!:;�+�!e!:=;=����7!:>"?��*!'(! ghijkjllmn"6*#*7+"!#"-$>��*!:>"?��*!%�o;��(!p(��q !�8�!:;"F",#���!/=;=.!:;�+*!e(!r!s!�:$>���!�"/8�!:;�+"A!e�$!:>"?�,��!0 !�!.��/���!$!:>"?���!%(!5"+*!0!1!%!2!3 !9!t!3(!5"#$ !.�!.�#�/=�!� !%!1!'!2!u !#=!u�v�:;�+�!:=;=���*!%!$!'�!B�;�+�>� !?"!3!&!u(!n;�+�!e !�8�!��>=C���!% !:=;=����7!:;�+*!3�-!�"/w$!9 !�!"�C= !$!:;�+*!u !�"6�"!:>"?��*!'(!x"C��!6*>"!6!#"-=���!-�+"E*!.�#�/$!+=�"#"+!-$#!�*,:;"��-�"E"H!:;�:*����� !?"!:;�+�!e!�=!:=;=����7!:>",?��*!'(!5"#$ !�8?"!e!1!0!2!9!$!e��=!:=;=����7����!.!' !�"!e!4!0 !?"!�*:=;=/���!*+"-$!.�#�/$(!B�C= !:;�+�!e!:=;=��,��7!:>"?��*!' !?"!<!-�+�E�>"��!#"-=���(B�C= !yXW\zPQORITP{O RPQORISTSUMNOVRKWNXRYRWZK[RIOTOzJSJ\NM[RIJKLMN !ISTSUMNOVR]RN_XR |��(!p(��

Page 123: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� �!�"#$%&'�()*)+,+-.'�(+/01.1�23'�43(,*,516.)75-�85/*/.9�:;�<95)�;:=�&�5/><)?�@�'3@�A�)�85/*/.9�:=�B�&'C(/&'C./�&�5/>6<)?�D�'�D�E��.)FC'5-�C/&G1.9�&'C*'H6<)�@DA�I<0/�:@�J����8KA�:@��J��L�8KA�@�M��J�N��8K�O*18E��E��PE%)./Q(+/01.1�2�'�4A�2�R�4A�;:�S�2�J�@A�;:�S�4�J�@�A�:=�S�2�J�MA�:=�S�4�J�M�A�@�M��J�N��8KA�T@�J����8KA�T@��J��L�8KE�.)F51Q�@ME�UVWXYZW[\\Z ]V _a[ bc[de�,?)F�2�R�4A�(+/01.)�23(,6*,51.)f� 85/*/.1� <95)� ;:=�&�5/><)?�@�'�DA�)�(+/016.)�4�B�&�5/><)?�@��'�D�E��)�9K/6&/7�T@�J����8KA�T@��J��L�8KA�@�M��J�N��8KE��*)?/&97>1A�0/�@M�R�@�M�A�K)fK/Q�g@TM�(/C'h6.1F�g@�TM�E��5G,A�i� i��O8KPE�:jklmnjkop�qr�8KE s,*,H�5/><1�;A�:A�=�(*/&,C,K/� (+/01.9�O;:=PA�I<)�(,*,51.)f�C&'�()*)+,+-.'�(+/016.1�2�'�4�(/�()*)+,+-.1?�(*IK1?�@M�'�@�M�E��/C'�/5*1K).'� 5*1<95.1<1�@TM�'�@�TM��B�(/C'h.'�'�t?.'�&'C(/&'C.'�85/*/6.1�B�(*/(/*u'F.'E��.)6?/C1K/�.,&'C/K1F�>+,.�(*/(/*u't�'�/5*1K9fK/�*/H&vIH/<�H)C)>'E�wxyz{x��'C/K/A�0/�(*IK'�(,*,51.9�C&/?�(+/01.�23'�435*,5-/7�(+/01./73|�B�()*)+,+-.'E��1h,*'5-�&H)fK.,�*/HK'0,..I�(+/601.�23'�4E P��,*,51.)75-8Ii��P�()*)+,+-.'�)h/�(,*,51.)75-8IE}P�()*)+,+-.'iwxyw{x��)�*189.<9��E�q�H/h*)G,./�()*)+,+-.'�(+/01.1�23'�4E��/><1�~A�TA��A�@A���.)+,G)5-�(+/01.'�2A�)�5/><1�~�A�T�A���A�@�A����B�(+/01.'�4E��'C/K/A�0/�(*IK'�;;�A�::�A�==�A�@@�A�����B��18E��E��

Page 124: 10 geom bi_u

������������� ����������� ����� ���������������� �!�"�##��$�%�&'(�)*�+!, �-.��.!-�!/*01�-�.+0���2*03�,�*�+�-��!.�45�%�&'(67�88�9 :7�;<�9 =7��;�(>7�?8�9�� @7�<<�9ABCDEB�F���/�-.!�������� �!���2G'!�?H�!�I;����.��0����J0�K�L1�2*������,�K���������� �!����J0�0�M�!�N������2'03�?I�!�H;�.!-��.!-��(�H;�$����&'(�:0O��!, ����.0� ���,.��-+���2�-�2�.!-��!/*��?8�P�0&(�Q(�Q7(�67�#I�$�R�&'9 :7�#I�$����&'9 =7�#I�$�RS�&'(>7�#I�$���&'9 @7�#I�$��S�&'9T0&(�Q(�Q T0&(�Q(��ABCUEB�V��J0���W1�2*!"�����+�, �-.!�������� �!���2'!��!�X�P�0&(�Q(��71�����,0��5�-.!�������� �!����J0�0�M�!�N������2G'03�?��!�8;(�:0/��Y,��Y�,0�0�'�+�0.!���/.0�Y�,0�0*K,�0G*��?�;8(67�Z.�-��,9 :7���'O9 =7���������[��'(>7���2'�*K,�0*9 @7�,����\!29��ABC]EB�:0/��Y,��./�5'�����/,� K.���2����J0��M�!�N1�2*J����2'��_�����,0��5����J0�K�M�!�����+0, ����J0�!�N(67�V���,0��4, &29 :7�������� �!(>7�/O![�4, &29ABCEEB�)*�+!, �-.!����0�'0'�O!+�03���2G'031�J������+�, �������� �0'����J0��'�P??���7�!�P88�;�7�*KO��P�0&(�Q(�a7(67�?��!�;�;9:7�?����!�8;9=7�����!�;;��>7�??��!�88�9@7�?���!�;89 T0&(�Q(�RT0&(�Q(�a

Page 125: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� !""���#�$%&'()'�*+���,-.$#/0(-�)'.�12341�2�3�4�+��&5#6(-7859�78:;-78:(8&59�;$#7%<9(%=�570$:/0(9�> ?@A�8�>�?BA�:<C�;$CD%=E�F-�(#<0/#59�;#$#<0<9(%D�;<-F%(#D�>GHH�A�8�>II�4�AJ A��%D-.8/(8�;$CD8K �A�I4�8�HG�K� @@A�;#$#<0<9(8�;$CD8+ �A�I�4�8�GH�K�LA�I�4��8�GHK*A�44��8�G�H�K�BA�I�4�8�G�HJ��MN""��O78�;$CD8�P�8�QE�;0$05%(#RS%&9�7�5-ST8�UE�;0$05%(#R59�;#$#<0<9(8�;<-F%(%�V�8�WX78:;-78:(-�7�5-S)#=�IE�G�8�HE�4JX�%.06$859E�)-$%&5'RS%&9�$%&'()-D�*+�YE�5$%�;$#7%<9(8�570$:/0((C+ A�Z[34X\XZ[21K� ]A�[34X\X[21K@A�Z34[X\XZ12[K� OA�3[4X_�2[1J�A�3[X�[2X\X[4X�[1K��Ma""���)#/859�,#�'D-7-R�,#:#S8�*+Lb�:-7/%('�78:$8,)#�HU�:-�)-/(-c-�,�7%;#:)87�> ?OA+ A�3[��[2�\����LE�32�\����&DK �A���&DK @A�34��12�\����*E�[2�\���&DK �A�L�&DK @�A�1[�\�[4E�[2�\�L�&DK LA��EB�&DK �]A�12�\�34E�[2�\�*EB�&DK *A�*Ed�&DK ]OA�3[�?�[2�\��EB�&DE�H2�\��bEB�&D+ BA�*EB�&D+ O��M ""���-S)%�IE�GE�H�(#<0/#59�;<-F%(8�VE�C)#�;#$#<0<9(#�;<-F%(8�W+�e0$0,�T8�5-S)%�;$-70<%�;#$#<0<9(8�;$CD8E�C)8�;0$065('<%�;<-F%('�W�7�5-S)#=�I�E�G�E�H��>$%&+�*+�dA+��(#f:859�;0$%6D05$�g1�2�3�E�C)F-�Z123�\�hb"E�12�\�B�&DE�23�\����&D+� A��h�&DK @A�L*�&DK �A�Lb�&DK ]A����&DK OA��*�&D+�%&+�*+�Y �%&+�*+�d��MMi�jO#(-�:78�;#$#<0<9(8�;<-F%(%+�e0$0,�5-S)%�I�8�G�-:�(8kl�;<-F%(%�;$-70:0(-�;#$#<0<9(8�;$CD8E�C)8�;0$05%(#R59�:$'6

Page 126: 10 geom bi_u

������������� ����������� ����� ��������� ��!�"�#$%&�'��(���)�* %+,("-�,�!.� ��!(,/(0$%�'���1�2$���'��3�)45647589��:�.�"-�:%"��/(! (�,�!.� ��!(,/(0$�� ;�%/%�;�-< �&��/2:�&1�2$(�:(="2"-=2�:(.��%/%�;�- �:������� %:�>456?758@% ��$�A�BCDEB�C�D�E��(�"�#$��F1�G1�H�I�=;/;,� ��!(,/(0$(!�D�E�1�D�C�1�D�D�!(,��!(, ���@�!;,("-1��������� ��JFGHK�(�JE�C�DK��%/%�;�- (�456L758@% ��$�A�BCDEB�C�D�E��(�"�#$��M1�N1�O�I�=;/;,� ��!(,/(0$(!�B�E�1�D�E�1�E�E�!(,��!(, �)�@�!;,("-1��������� %�JMNOK��%/%�;�- %������ (�JB�EP�K)456Q758R�#$%�S� ;� %�;.�"-������ (�"/�$�" �$%�'�P)�R�#$��H1�G1�T� %�;.%"-�!(,/(0$%:�S'1�S�1�SP�!(,��!(, ��(�"%$(1����UMBC�V�UBHG�3��WXY1�UMTH�3�UMDB)�@�!;,("-1��������� ��J'�PK�(�JHGTK��%/%�;�- (��456Z758R�#$%�E� ;� %�;.�"-������ (�"/�$�" �$%�'�P)�R�#<$��[1�\1�F�I�=;/;,� ��!(,/(0$(!�'�1�'P1�'E�!(,��!(, ���@�!;,("-1��������� %�J[\FK��%/%�;�- %������ (�J�PEK)456]758@% ��$�A�BCDEB�C�D�E��J/�=)�)�_K)�@�!;,("-��%/%�;�- (="-������ �JC�E�TK�(�JCE K1�,;�"�#$��T�(��a�=;/;,� ��!(,/(0$(!�PP��(�'B��!(,��!(, �)454b775�@% ���%/%�;�- (������ ��c�(�d)�9;/;0�"�#$��S�(�N������ ��c��/�!;,; ���%</%�;�- (��/2:(1�2$(��;/;"� %e"-������ ��d�!�"�#$%&�T�(�)�@�!;,("-1����#�"�/�$�" �$�SN T�I��%/%�;���/%:)�fA#�=�("-��;/�:;"/�#�"�/�$�" �<$%�SN T1�2$���M �3���=:1�NT�3�W�=:�(�ST�g�SN�3�_�g��)454h775�@!%��/�:; (�iF�(�ij��;/;"� %e"-��%/%�;�- (������ ��c�(�d�!�"�#$%&�F��(�j��"%�F��(�j��!(,��!(, �)�k�0 %#";�ij�1�2$���F�G��3�l�=:1�F�G��3�m�=:1�G�G��3��=:)454n775�@!%��/�:; (�0���#%"$�:���"�#o(�i��;/;"� %e"-��, ��0��%/%<�;�- �&������ ���"�#$%&�'��(���1�%�,/����I���"�#$%&�'��(���)�fA#�=�("-�,�!.� ��!(,/(0$%�'���1�2$���pB��3�3q�r�=:1�B�B��3���=:1�B�C��3�mX�=:)4546775�*�"�#$��j1���� ;� %�;<.�"-�,% (+������ (�c1��/�!;,; ��#�"�/���/�:; (1�2$(��;/;"� %e"-�oe������ ��!�"�#$%&�B1�C1�D1�E��s�A�,�+";�#;/;0�"�#$��T�I�=;/;,� ��!(,/(0$%�j��J/�=)�)�XKg��K������ �1��%/%�;�- ������� (�J'�PKt�K������ �1��%/%�;�- ������� (�JjP'K� u�=)�)�_u�=)�)�X

Page 127: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������� ���!"#$�%&�'($�)&�"*$�+,�+-.,/-01�23+$4�5.267+$&�5,!,07+-8019"�:�02;<$�=(>!79?�@?��AB��-�*2/+$4�$C�<7D�5!"#7D�:C"02�02;*7�E�&�E�&�F�&�F�&�G�&�G��0-*&�62�HI��J�HI�&�HK��J�HK�&�HL��J�HL�?�M2:,3$01�5-!-.,.1+$901�5.267+�>I�K�L�A�$�>I�K�L�A?���N ��M2:,3$01&�62�#2/+-�52OP3PQ:-07�3:$�5-!-.,.1+$�5.267+7&�"*$�:$3Q07+-801�+-�0!12D�3-+7D�525-!+2�#7Q#2O$/+7D�5!"#7D�!$:+$�:$3!$C*7?���R ���!7�5.267+7�5-!-.,.1+$?��!"#$�%�$�'�5,!,07+-801�<$�5.267+7�:$352:$3+2�:�02;*-D�E�&�E�&�ES($�F�&�F�&�FS?��$32#2&�62�I�I��J�T�9#&�K�K��J�U�9#&�K�K��V�K�KS�J���V�T?��7C+-;0,�32:/7+P�:$3!$C*$:�E�ES�$�F�FS?WX��Y�XZ[\[]]_ Xa\bcdefg[ h�Xibj\[k `hXa]blcmnXeXa\blob\bgmnXpeqr\X[Xa]bsme�2O�C2O!-C707�5!2902!2:$�t$uP!7�+-�5.267+$&�*2!790P8019"�!$C+7#7�#,023-#7?��37+�C�+7D�v�5-!-.,.1+,�5!2,*<$8:-++"?wxyxz{z|}{~�y�{�����x}}��v�<,�C2O!-/,++"�32:$.1+2��u,2Q#,0!7;+2��t$uP!7�+-�5.267+$&�5!7�"*2#P�:9$�02;*7�t$uP!7�5,Q!,+29"019"�+-�5.267+P�52�5!"#7D&�5-!-.,.1+7D�C-3-+$4&�"*-�+-C7:-�019"�[a\h�b��5!2,*<$8:-++"?�23,.$�5-!-.,.1+2u2�5!2,*<$8:-++"�#2/+-�52!$:+"Q07�C�P0:2!,++"#�0$+$�+-�5.29*$4�52:,!D+$�90$+7&�C,#.$�C-�92Q+";+2u2�29:$0.,++"?��0/,&�62O�:7*2+-07�5-!-.,.1+,�5!2Q,*<$8:-++"&�952;-0*P�C-3-801�t$uP!P�$�5.267+P&�+-�"*P�5!2,*<$8801&�v��z���}�~�y�{����?�M-.$�C-3-801�5!"#28�+-Q5!"#�5!2�,*<$8:-++"�v��y�{�������~�y���B(�2+-�#-��5,!,07Q+-07�5.267+P�5!2,*<$�?�,D-4�C-3-+2�32:$.1+P�5.267+P��&�5!2,*<$88;P�5!"#P���$�02;*P�E&�62�+,�+-.,/701�+$�5!"#$4��&�+$�5.267+$��(>!79?�@?��&�%A?( ( ( ( ( %(( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ��79?�@?���79?�@?��

Page 128: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������������� �!��"#�$�%&�&'�'()��*�%�+�#�,�+"&�%���!-)&.�%'�/-)#�0���!��12�$3�4�-56�76��,�89��:)&;��)&���!&"-;�5%�52<�!��"&�$3�)& -�&.!(5+�=>?>@A@BCDE�=?DAFGHIEJKDLFMJN�)&�%'�/-)#�06�O�<!���-��-"�)&'-�%&�&'�'()��%���"12P�&))+�!��"-�$�)&�%'�/-)#�06Q"��2����,�"�R)&�S����!�-�)&�T2S#�&�5"'&�&.!(5+� �!���"6�O��#,�%���"12PP�-�%�5'2���)��!��"-�T2S#�-�)&�%'�/-)#,��!�-�#.��� �<�&R�))+,�+"��)& -�&P!(�������U��12.V�T2S#�-,�&�5%�52<��-"�)&))+� �<�&R�))+�W����� �XY������������Y6:&#�&R-��,�/��#��-%&�"#��� �2/�))+�!��"-�)&�%���"12PZP�2;�%�+�2;,�VV�%���"12.P�<#���!��"&�%���!-)#�%�+��V� �%'�Z/-)�P�4!��"&�[�)&��-5#)"#�76��96�Q"/��!��"&,�+"#�!��<&�%���"12P�&!-,�)&'�R-!(�%'�/-)2�%���"12V,�!��VV�%���"12+� <2ZS&.!(5+� �!��"�P�%'�/-)-6\� S'+)����%&�&'�'()��%���"12P�&))+��'+� �<�&R�)Z)+�S����!�-�)-]�T2S#��)&�%'�/-)#6� �]&;�_����2'()&�S����!�-�)&�T2S#�&,�+"#�!��<&�5%���"12P�&!-�)&�%'�/-)#�06�'+�1(�S���2 (��������2'()#�%�+�#�*,�+"&�%���!-)&.�%'�/-)#�0,�2�%������������� �!��"-,�+"2�.����a-)&�-�T2S#�-�_�4$,�b,�c,�d,�e,�f9,�%�+�2,�%&�&'�'()2�*6�O��"-�$�,�b�,�c�,�d�,�e�,�f��W�!��"-�%���!-)#�1-]�%�+�-]� �%'�/-)�P�%���"12V�0�W�<#�#!(�%���"12.P����a-)�T2S#�-6�:�� #�2'�,�/���2��2 "-�4ed,�dc,�cb,�g9�%���;�#!(�#��2��2 "-�%'�/-)-�%���"12V�4e�d�,�d�c�,�c�b�,�g9,�#52�!��"-�T2S#�-�%���;�#!(�#�!��"-�%'�/-)-�%���"12V,�#!���-�a-� �<�&R�))+�_��T2S#�-�_�4�-56�76�h96\-56�76�hi���-�)�,�/���'+�%&�&'�'()�S��%���"12P�&))+��&R'-��� )&!-�;�S��)&%�+�6�j2��)(�S�� &'�R-!(� &S&'()-;��-S'+�� �<�&R�))+�%���"12V6� &%�-"'&�,�%���"12P��2��2 "&,�%&�&Z'�'(�)�S��%���"12PP�2;�%�+�2;,�<#���!��"&�4�-56�76�7,�9,�&�%���"12.P��2��2 "&,�)��%&�&'�'()�S��%���"12PP�2;�%�+�2;,�W��2��2 �"�4�-56�76�7,�896i!R�,�%&�&'�'()��%���"12P�&))+��&.�5��V��'&5!-��5!2��'+�%�+�-]�2��2��2 "2�,�)��%&�&'�'()-]�)&%�+�#�%���"12P�&))+k

Page 129: 10 geom bi_u

��������� �� �������������������������������������� !"#$%&�'�() *�%�'�()+,�+�'� !"#$%&�-$.�$/"+�0�-$.�$/ "�1���� !"#$*�'+�+2!23456�'�()56�'+�+2!234$�+7 �/7$8+&93:(�����$.4 ;!44(�. -<54�-$.�$/"$-� .4$%*�'�() *�+7 �'+�+2!23=456�'�()56�/7!�$8+&93:(�>�5:��?�1?,�@A,�9 79 �. �$-4&&93�-$.=4 ;!44()�. -<54�:- *6�'� !"#$B,�/ "�!)+�:!�!.54+�-$.�$/"+�'� !"#$&%93:(�-�:!�!.54C�B 8 �'� !"#$B�D D D D D EDD D D D D D D D D D D @�5:��?�1?FEGHEIJKL,�M �. -<545�'� !"#$B�-$.�$/"$-,�'+�+2!23456�'2 M54$�'� !"#$B,�/7!�$8+&93:(,�9 79 �. �$-4&&93�. -<54+)�:+)56�-$.�$/"$-���-$.:5�-5'25-+%,�M �'2 :"+�N$8C�+,�'2 M54+�(" *�'+�+2!234+�'2 M54$�'� !"#$*,�'� !"#$&%93:(�-��$-4C�: 7$�N$8C�C��+-!.!) �.!("$�-2+:95- :9$�/ 7�+<!44(�N$8C�5�4+�'2 M54$,�("$�-5'25-+&93�/�-5M! '5:+4 *�' 7C. -5�OPQRSTUVUWVUXYUZPU[\]X U_P]X[SaPbcbdefgQXVbXhTSi]VUXP]gV\bXYUZPU[\bR]�>�5:��?�1?,X@Aj�'�+-.$,�-:$�'�()$,�M �'� !"#$&&93�9 k"5�-$.�$/"+�lm,�2!=<+93�-� .4$B�'2 M54$,�("+�'!�!954+%�'2 M54C�n�' �'�()$BDl�m���o -$234+�9 k"+Dp�-$.�$/"+�lm�/ 7�+<+%93:(�9 k" &�p�D-$.�$/"+�l�m�qFEGHEIJKL,�M �-5M!� /82(4C9$�-$.�$/"5,�("$�'� !"#$&&93=:(,�4!�'+�+2!234$�4+'�()C�'� !"#$&-+44(��ObPbTrTfVUXYUZPU[\]XU_P]X[SaPbcbdefgQXVbXhTSi]VUXP]sgV\bXhbPbTrTfV]R]XYUZPU[\bR]�>�5:��?�1tAj�'�+-.$,�4!6+B�lm�$�uvD0�'+�+2!234$�-$.�$/"5�.!(" *�N$8C�5��w64$�'� !"#$*�0�-$.�$/"5�l�m�D$�p�Dv��0�'+�+2!234$,� :"$23"5�*6� 9�5)+25�-��!/C239+9$�'!�!954C�'+�+2!23456�'2 M54�/�'2 M54 &�n�>'!�;+�/�#56�'2 M54�'� 6 .593�k!�!/�'�()$�lmD$Dll�,D+�.�C8+�0�k!�!/�'�()$�uvD$�pp����"M �.-$�'�()$,�M �'!�!954+&93:(,� .4$%*�'2 M545�-$.' -$.4 �'+�+2!234$�.- )�'�()5)�.�C8 *,�9 �'2 M545�'+�+2!234$A�

Page 130: 10 geom bi_u

��������������� ����������� ����� � ���������� � � ���������� !"#$%""&'!#()*"'( !+ ,- ('#!" ./'0+&1#/'23#'02+24%456"*7'0+&1*7',3%+ 829:5;&'0+*'02+24%45"#1<'0+#%-= 9(2"" >?@ABCDE@F�GBHI�AJBKF�L@� �MI��������N��?IOEP�QR�P�Q�R��JDCBST�U�@KGPV�HJ@L�GP�W��?I@UDKDE@�U�GPV�XDIDY�S@XAZ�[�HIOEZ�Q�R�F�HBIBJDJTGZ�Q�R���\I�AZSG�A��[QQ��P�[RR��H@KP]GP���H@KP]G@�SP�SI�AZSG�APU�P�IPUG@�SDV�Q�[��_�Q�[�P�[�R��_�[R��U�HJ�UB�HI@H@IaPOb� �cdedfdghBG@�HBIBJDJTGZ�HI@DAaPi�SI�AZSG�AB��jA�H@]ZKZUBS��HI@DAkaPl�EDKPBG�aT@m@�SI�AZSG�ABnopqrstquvvt?I��HBIBJDJTG@EZ�HI@DAaPiUBGGP�Y]DIPmBST�O�UPKG@kwDGGO�UPKIPYAPU�HIOE@l��\@EZ��DIDK�GB��S@I@G��SI�AZSG�kAB�HI@DAaPi ST�O�U��DIDK�GZ�HI@DAaPl�aPl��S@I@G���UPK���U�HJ�UBF�L@�HI@DAaPl�EDKPBG�SI�AZSG�AB�]ZKZST�EDKPBGBkE��V@m@�HI@DAaPl�x>xyz>�{�]DIPST�SI��|PmZI�F�OAP�E@CZST�]ZS��HBIBJDJTG�E��HI@DAaPOE��KU@}�HBIBJDJTG�}�HIOE�}�~N�?IOEB� {N�HI@EPGT� hN�KUP�S@XA���N�S@XAB� �N�KUP�HBIBJDJTGP�HIOEP� �N�UPKIPY@A�x>x�z>�{PK@E@F�L@�����HI@DAaPiiXB�HIOEB�HBIBJDJTG@m@�HI@kDAaPiUBGGO�����P������UPKIPYA�F�HI�X@EZ��������F�������F���������

Page 131: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������ !"#�$%�&'()�*+%'!,)((-�.*+)�/!0�1�2�3!�4�5��$!6*!%�!$�783!�45�(��.9+,:(;�<= >�1�2�3?�4�5�@ �>�1�2�3A�4�5�@ B>�1�2�3C�4�5�=D>�1�2�3E�4�5�@ F>�4�5�3A�1�2�@GHGIJH�B�(+�K�L�(�.*-'�.�*�9)9#(+M+�.*+)�/!N$�((-O�78�P�K=��:Q)*!"#�R!M;*;O�-���'+ )�Q;":�.*+)�/!&N�$!6*!%���12=� >��*-'�@� �>�6$!�"+S�:@� B>�$!6*!%+�=D>�"+S��@ F>�.*+'!(#@GHTUJH�B�(+�K�L�(�.*-'�.�*�9)9#(+M+�.*+)�/!N$�((-O�V�E�W�X�YO�V�P�K�!�W�P�K=���� !"#�6$!�R!M;*:O�-�!�'+ ;"#�Q;":�.*+)�/!-':�.*-':Z�[�!�W=� >��6(��.*-'�@ F>�6$!�':'+Q! (!�.*-'!@D>�6$!�.*-'!O�,+�.)*)":(�N"#\-@ B>��;"=�>�6$!�.�*�9)9#(!�.*-'!@GHT]JH�B�(+�K�L�(�.*-'�.�*�9)9#(+M+�.*+)�/!N$�((-O�7845�L�.�*�9)9+M*�'O�K�P�7845>=�_+":*:�;"(:��7�8�4�5��L�.*+)�/!-�7845�(��.9+,:(;�<=���� !"#O�-�:':�R!M;*�':�'+ )�Q;":�S+":*:�;"(:��7�8�4�5�= >��+'Q@� �>�.*-'+�;"(:�@� B>�.�*�9)9+M*�'=D>��$�6*�"@ F>�"*�.)/!-@GHTaJH���� !"#�.b-"#�R!M;*O�$�-�!�'+ )�.*+)�/!N$�":\-��$�6*�"�7845= >���*�9)9+M*�'@ �>�"*�.)/!-@ B>��$�6*�"@D>�.*-'+�;"(:�@ F>�*+'Q@� �>�$!6*!%+�=GHTcJJH��:%(�S")�"��;�R!M;*;�%�;'+$� L�>O�-���'+ )�Q;":�.�*�9)9#(+N�.*+)�/!&N�S+":*#+Z�!%�.b-":�%�6�(:Z�R!M;*��Ld>O�!�"��;O�-���()�'+ )�Q;":�.�*�9)9#(+N�.*+)�/!&N�69-� +6(+e�%�(:Z=��*-'��.�*�9)9#(+M+�.*+)�/!N$�((-�()�.�*�9)9#(��.9+,:(!�R!M;*:=> >��*�.)/!-@ �>��*-'+�;"(:�@ D>�.�*�9)9+M*�'@�>��$�6*�"@ D�>�"*:�;"(:�= �>�.*-'+�;"(:0�"*:�;"(:�@��f>�*+'Q@�d>�.�*�9)9+M*�'=GHTGJJH��!6+'+O�,+�S+":*:�;"(:��7�8�4�5��&�.�*�9)9#(+N�.*+)�/!&N�"*�.)/!e�7845�84�?�75>�(��.9+,:(;�<=��:%(�S")�$:6�S+":*:�;"(:���7�8�4�5�=� >��+'Q@� D>�.�*�9)9+M*�'@

Page 132: 10 geom bi_u

��������������� ����������� �������������� �!"�#��$�%�&��' (���� )*+,�-.+/0��������� �!"�&��$�#�%��'1233442���5*)*6�7*�8"�#�%��9�����:�:;-*<���*�+��9<�8"#%�-���:*7.-,�='�>?�@�)�5��-��8"#%6�>A���>B�@�C�D�+��.D����E.D*F���8"#%'�G�6�A�6�H��@�E�5�*E�5-*�����:�:;-����*�+��I��*J*+�G6�A6�H�-���:*7.-,�=/�K+�L��;����E.:;-���E��5L�-- /���M+7*�8"#%�@����E.:;-.N6��*�8"�#�%��@����E.:;-.N'�O�� +7*�8"#%�@��� )*+,�-.N6��*�8"�#�%��@��� )*+,�-.N'���� +7*�>?�@�)�5��-��8"#%6��*�>�?��@�)�5��-��8"�#�%�'�P�� +7*�>A�@�C�D�+��.D��8"#%6��*�>�A��@�C�D�+��.D��8"�#�%�'�Q�� +7*�>B�@�E.D*���8"#%6��*�>�B��@�E.D*���8"�#�%�'�R�� +7*�#A�S�A%�T�O�S��6��*�#�A��S�A�%��T�O�S��'U�� +7*�V"�T��W46�#%�T�OW�D)6��*�V"��T��W46�#�%��T�OW�D)/X���6�����Q' �������O' (��P���U/Y��O6�R���U' 0������R'123Z442���5*)*6�7*�"�#��@�����:�:;-����*�+�� �E�5��[+��>\�!�.D/�P/OU��-���:*7.-,�='�%��]�"�#�6���@�����:�:;-����*�+�� ��*J+.�6�5��%�]�"#'�"#�T�P_�D)6�"�#��T��R�D)/�KD��-*E��;�E�5�*FE�5-�D�;�)�L�,)*E*<�!X@(����E.D-*E+*)�!�@Q�/X��"%�T�OP�D)' ���"�%��T��D)' XY��"%�T��O�D)' O��"�%��T�R�D)' Y���"%�T�_�D)' ���"�%��T�OU�D)' �0��"%�T��O�D)' P��"�%��T��_�D)' 0(��"%�T��R�D)/ Q��"�%��T�OP�D)/ (123ab2�c�)�:<N���5*E�:;-.N���.+,�-.+6�E.C����;��� ),���F��:�:;-*d*���*�+��<E�-- ����*C,5,N�������:�:;-,���*�+��<��;*d*���.+,�-.+��-��5� +,��:*7.-,�=/123eb2�(*E�5��;6�7*�+*:.�8"�#�%��@�����:�:;-����*�+�� �8"#%���!"�#�%���$�!"#%�6��*�8"�#�%��T�8"#%/123fb2�c���.D,-+,�P/O_�[*C��L�-*��� )*+,�-.N�����:�:���F��5�"#%&"�#�%�&�/�M+.g�*D-*E-.g�E:�D�.E*D��N�����:�:;-*d*���*�+��<E�-- �5*��.),<�;D ���5�J�D�N*d*��*C,5*E.hi.D/�P/OU i.D/�P/O_

Page 133: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� !"���#$%&'()*+,�-%./0(.�-$1'2$/0�+,+%.,2%.3�� 4"��50�&$6,�-.%.(,(78$)�-%$,9:;<)�-.%.(,($=%.&.�1'+0�+%.-,:;>?��;2-$/;27�$1@%'8+'*+,3�� A""���$B90�CD;�E�(,6.+7�-$�$208�1;9�/;2�-($F080�GH�+$B90�I�D;�J��K�/;2-$/;28$�-.%.(,(78;�-%$,9:;L�+$B$9�CD;�E�8.�-($F08'�G3��M��$1'2'*+,�+$B9'�N�-,%,+08'�-%>&$L�CE�O�-($F08$)�GP�>9F$�II�DQDJJ�3RM��$1'2'*+,�-.%.(,(78'�-%$,9:;)�+$B90�S�K�T,%,2080�/;2U%;O9.�EN�K�8.�-($F08'�G3�M��.-0V;+7�&$6(0/;�/;28$V,88>�/;2%;O9.3�� W""���0O8.B+,�#;='%'�-.%.(,(780X�-%$,9:;*�/;28$T8$�-%>U&$L�-%$,9:;)/.88>�CC��8.�-($F08'�I�J�Y�S��'�-%>&$9'+8$&'�-.%.(,(,-;-,2;�IJYSI�J�Y�S�Z�M�=%.8;�IJYSH [M�-,%,%;O'�ENS�C�HRM�=%.8;�NN�S�SH \M�/;2%;O9.�CN�H�M�=%.8;�CC�S�SH ]M�JSYH�M�-,%,%;O'�CSN�E�H _M�-,%,%;O'�CE�S�3�� �""���$1'2'*+,�9'1�IJYSI�J�Y�S��;�O8.*2;+7�-($F'�-.%.U(,(78$L�-%$,9:;L�SJ�YZ�M�8.�=%.87�E�N�NEH�RM�8.�=%.87�IJYSH�M�8.�=%.87�I�J�Y�S�P�>9F$�%,1%$�9'1.�2$%;/8)<�\�T&3�� ""���%09'+809�I�J�Y��K�-.%.(,(78.�-%$,9:;>�%;/8$T+$U%$887$=$�+%09'+809.�CEN3��$B9.�a�(,60+7�8.�T+$%$8;�CNP�Ib�Z�IY�c���Z��3��$1'2'*+,�-%$,9:;)�-%>&$LP�>9.�-,%-,8209'U(>%8.�2$�-%>&$L�CN�;�-%$X$20+7�B,%,O�+$B9'�ad�� ""���.%.(,($=%.&�I�J�Y�S��<�O$1%.6,88>&�-%0�-.%.(,(7U8$&'�-%$,9:;)/.88;�%$&1.�O�=$T+%0&�9'+$&�\ef3��$1'2'*+,�O�/,%V080�:7$=$�9'+.�/0T$+0�%$&1.3�� g""���%09'+809�I�J�Y��<�O$1%.6,88>&�-%0�-.%.(,(78$&'�-%$,9:;)/.88;�-%>&$9'+8$=$�+%09'+809.�O�=$T+%0&�9'+$&�\ef3��$1'2'*+,�O$1%.6,88>�1;T,9+%0T0�:7$=$�9'+.3���4��h$68.�=%.87�2,%,/i>8$=$�1%'T9.�K�-%>&$9'+8093�j$/,2;+7P�F$�>90*�10�T-$T;1�%$O-0('�:7$=$�1%'T9.�-$�-$O2$/U68;X�%,1%.X�8,�/010%.(0P�9$680*�$+%0&.80*�-,%,%;O�1'2,�-.%.(,($=%.&$&3�

Page 134: 10 geom bi_u

������������ ������������������������� !�"#�$���%%�&'()*+��,-.�//012��34��56�7�������3�89 �:�;�9<==��;���9����6��4�9��>�<>8����<���<�=97��6���6�5�?�@6���AB�6C D*+EF(GHIJKLMJGNOPJ+QHRNGSTIFUV+(H)TWM+KHPJXFU+YHP+YOHRKFSTIJX+ZH(JGN[[HV+(\K+JPGFX+R+JSGJKJYJ)J]GFIHK+XNMXNFIF+GJKJ_J+[NS\+K+NaHPGHU+bKOJYH*+EJ)T+UJ_J+IGF_+\+OJRKFI\+XNMXNFIF+H+YJWFOMGGc+K+bKOJdYH+XNMXNF[GFa+RGNGT+KN]IJ+YMOMJeHGFdF*+fHG+GNOJPFKSc+\+X*+QHRN+'gN)Hc1*+hJ_J+(NTIJ+(\K+PH)JKJPJX+YHRNGSTIJi+jNIJOHi+K+k)]FOHV+PM+LMJGNOPJ+U+JOFXNK+XNMXNdF[G\+JSKH\*+QHP+IMOHKGFeKJX+XHSeMKJ_J+K[FM)c+KHG+JRGNUJXFKSc+R+NOFjXMFIJl+H+N)_M(OJl+NON(HKV+N+R_JPJX+OJRWFOFK+H+YJdYJKGFK+SKJi+RGNGGc+YHP+[NS+YJPJOJ]MU+PJ+b_FY\V+mFOHiV+nOMeHiV+mFeF)Hi+N+QOJKNGS\*QJKMOG\KWFST+GN+(NTIHKoFG\V+LMJGNOPJ+KFOHWFK+pYOFqPdGNF+PJ+HGPHUSTIJ_J+XMJP\+PMoJ+KHP+SM(MV+PMoJ+KHP+_MJXMOF[dGJ_J+XFSMeKN+rKI)HPN+N+SI)NSF+ONINsV+cIFU+XNK+RN+XM\+JRGNUJXFF+pOHP+)NFGcGs+R+JSGJKGFXF+PJSc_GMGGcXF+XNMdXNFIF+H+GNPNKNK+(F+iX+XJ])FKHST+\SYHWGJ+KMSF+JO_JKM)TGH+SYONKF+R+KFIJOFSNGGcX+XNMXNF[GFa+OJRONa\GIHK*tMU+ONIN+(\K+GNYFSNGFU+\+�/-/+O*+H+GNRFKNKSc+pDGF_N+YOJ+N(NIsV+J(J+eM+IGF_NV+K+cIHU+\+��+OJRPH)Na+N(NI+OJR_)cPNqTSc+GM+SH)TIF+cI+YOFSOHUV+SIH)TIF+cI+[FS)MGGc+KRN_N)H*uJ+JSGJKGFa+YONeT+\[MGJ_JV+IOHX+KFoMKINRNGJ_J+RGNXMdGFJ_J+ONIN\V+GN)M]NT+oM+PKHv+pQONIF[GN+_MJXMOHcs+'�//-+O*1+H+pDGF_N+IKNPONNs+'�//�+O*1*+pQONIF[GN+_MJXMOHcs+XHSFT+RNSJS\KNGGc+N)_M(ONi[GFa+XMJPHK+PJ+OJRKwcR\KNGGc+_MJXMOF[GFa+RNPN[*+DJOFS\l[FST+YONecXF+rKI)HPN+N+HGdWFa+_OMeTIFa+NKJOHKV+ZH(JGN[[H+KFI)NPNq+YFNGGc+YOJ+Y)JdoH+Y)JSIFa+jH_\OV+YOJ+KFXHOlKNGGc+IO\_NV+YOJ+XGJ_JI\GFIFV+SjMOF+H+eF)HGPOF*+QONeH+ZH(JGN[[H+YJGNP+PKN+SJ)H c+(\)F+GMdKF[MOYGFX+P]MOM)JX+P)c+KFK[MGGc+XNMXNFIF+H+YHPxO\GcX+YJPN)TWFa+\SYHaHK+HN)HUSTIJi+XNMXNF[GJi+WIJ)F+K+PJ(\+fHPdOJP]MGGc*+

Page 135: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� !"#$ %$"%&'!('�)�*+,-�+�./0123452167829433:5345;1945<<=9=>?6:56@A=<93B1C53=DE1CF5:EG15<1315345@A1HI715J4A4K5;=>4;=>?J34521<42433:L�MNOPQRN�RP��SOTS��QUQNRP�VNWROPXP�Y�NZN[S��MNOPQRN�\P]_M�YZS�X RZabS�cPXPO�cU�-�YSR�OPRdYUTP]ONe�YQNRU�S�fSdUTONe�RNZbNOPXNZcS�RN�SOcMXMbcgPXaONe�S�RghNYONe�YZMNZi_ONZcSj�kMOSe�cPbNlN�QSYOi�dmiYXi caZi�QPd�OP�cUZiTNXSccij�PQNRUYZi��MNOPQRN�OMVNRPXSb��MOMnSe�Y�\j��SOTSj����*�QNbSY��MNOPQRN�ZcPY�gTOM\�fXNQMOcS]ZabNlN�hgRN_OUbP� ORQMP��MQNbbaNo�NZbSXabU�dP�ZYNe\�VNhNR_MOOi\�OM�\Sl�dP]\PcUZi�[SXap�VNYP_ON �ZVQPYN o�OS_�_U�YNVUZN\j���,q�QNbSY�YSO�[gY�VQNlNXNpMOU]�r\P]ZcQN\so�ZP\N[gcOS\�S�OMVMQMZSTOU\�hgRN_^OUbN\j��MNOPQRN�_UY�S�VQPn YPY�g��SXPOSo��MOMnSeo�tXNQMOnSeo��U\So��PQU_S�cP�SOpUh�\SZcPh��YQNVUj�ugRN_OUb�YUOP]pNY�VQUOnUV�QNdZSYPOOi�)P[N�Zfg\PcN/j��QMR\McU�OP�]NlN�VNXNcOPh�OM�\P ca�TScbUh�\M_v�gZMo�ib�g�_UccSo�QNd\UcNo�VMQMhN�RUca�d�NRONlN�ZcPOg�Y�SOpU]o�P�cN\g�RUhPWo�_UYMo�VQN[gR_gW�fPOcPdSj��PY�RibU�MfMbcg�Zfg\PcN�)VQU]N\�Y�N[QPdNcYNQTN\g�\UZcMncYS/�dmiYUXPZi�OMdQSYOiOOP�VNZ\SpbP�]NlN�dOP\MOUcNe�rw_NbNORUsj��ZS��,q�cYNQSY�lMOSi�cPbN_�QNdZSiXUZi�VN�[SXN\g�ZYScg�S�VN�ZcgVNYN�YSRbQUYP caZi�X RZcYgj��MNOPQRN�RP��SOTS�Rg_M�YUZNbN�nSOgYPY�\PcM\PcUbgj���dYmidbg�d�nU\�YSO�QNdQN[UY�cMNQS�VMQZVMbcUYUo�P�cPbN_�[PlPcN�gYPlU�VQURSXiY�cMNQSe�VN[gRNYU�VQPYUXaOUh�\ONlNbgcOUbSY�S�VNRSXg�bNXP�OP�QSYOS�TPZcUOUj�wMibS�VN[gRNYU�YU�bNOgYPY�cNTONo�P�RMibS�-�OP[XU_MONj��ONRS�YSO�OPbXPRPY�VMYOS�N[\M_MOOio�dlSRON�d�ibU\U�bQMZXMOOi�YUbNOgYPY�NROU\�S�cU\�ZP\U\�QNdhUXN\�nUQbgXij

Page 136: 10 geom bi_u

������������� ����������������������������� !"�#$%!&&��#�'( �"$���"&�")�$*$+�,�-�(�������".��!"�#)�/(��! !0(�#���#�'( �"(�#����*(%&$*!����"-&�")�$*���� !&��(�*�(�(1�2)�) ��&/$+��)��)%�$0&$+��! !0���*�����".��("!"�(0)&$3��4��&!+� 5)&&��"$6�%$�#�) �)%!��!�3����%�&&7�%!��&!+� 5)&&��/$�$&$���0*$��8��9�(&%(7%�6��&!�#� �'&�6%��%�$*(%&$*�"1:)�&!� ��&!�)5$%��(") )&&��%)���&!�;����%$3�#)�)���<� ���#��&!�0)&&��#� ��(�"� ���*!�"�*�!3&���(���6)�) &���(�"� &�-/)&&�1�=!*$3�#� ���"$"0!"6��8)� !"&��$���)*!�$��!�#��&�/)�4�:(*�7�>!0����"�*&$���;?�5)6%")&&!�#��#�����<����76%�!��@� ���*�@�"$*�&!"�:)�&!� �1A6�'�$"��6�� ���! !%$��! !0��#���"$�&!0)&&���)&%�!��!6�#�"*�(�!���%)%�!) �!�����".��(70$��*���"0)&$3�"$6��"$"�0$�!-�����$��&!��&$+� (���*1�B��&!+� 5)&&��#��8��)��#6!�:)�&!� ���!6%�6("!"��)%� ���*$3��%�$�!"����"$%�*��$/)�(��!%)�!%$*�"�&!6%(#&$+�#�*���&��#� �&!�"�7�;�)%� �&)#� ���&$+<1�������#�$��(��!%)�!%$0&$+��&!&��"�&�*�!8)����(��"�#)�6#)*%$"(�*!�%$&�����$'/)�#��&$*!"�(�&!"*��$/&�3�6"�%1�C!%)�!%$*!�"�3����5$%%��'(�!�"��&$����&! �3&$��#���0&$*��1DE��F*��#��8$&$�&!�$"!7%�6��#!�!�)��&$�$GHE�I$�J�#�����&!�#��8$&��K���*��#)�)%$&!%$�(%��#��8$&(�L���*8��K�M�LGNE�I$���5&!�6%")� 5("!%$��8��#��8$&$�#!�!�)��&���*��$� "��#������ &�J@�#��8$&$�#!�!�)��&�� "���#���$�� �(��@�#��-8$&$GOE�F*������8)&!�#��8$&!�%�$*(%&$*!�#��"� &�/)&&7� �� )-�*�@�#��8$&$���*8�� "��6%���&$�%�$*(%&$*!�#!�!�)��&����3�#��8$&�GPE�F*�,���(�7J%�6����&!*!�#!�!�)��&�6%��#��8$&GQE�2*���*$�#��8$&��#!�!�)��&$+�#��8$&��%�$*(%&$*!����5-&!�#��")6%$�0)�)��%�0*(�#��!�%�$*(%&$*��GRE�I$���5&!�""!5!%$�#��8$&(�K�%!*�7��8���'��!J%�6���� )-*���*��!�#��8$&!�$GSE�B��*��(�"$#! *(�#��8$&$�#)�)%$&!7%�6�GTE��F*)�"�!J�&)������8)&&��#��8$&�(�#��6%���GDUE��I$���5)�#���!��8��#)�)%$&!J�� &(��� "�+�#��8$&���*��#)�)-%$&!7%�6���&)�#)�)%$&!%$��&/(GDDE��I$���5)�#���!��8��#)�)%$&!J�� &(��� "�+�#��8$&���*��#!-�!�)��&���&)�#)�)%$&!%$��&/(GDHE��I$��!"5 $�'( (%����"&$�$�"� ���*$�#!�!�)��&$+�#���$+���*��"� %$&!7%�6��#!�!�)��&$�$�#��8$&!�$G

Page 137: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� �!"�#$%&'(�#)%�*+,+-.-(/"#"�*-$0"/+#"�1&'"�,)2/"#"�2)3,)45"�/.*+,+-.-(/"6�*,7#"68�9 �!"�#$%/+�:'2.,3%&2+'"�*,$�*+,+-.-(/):'(�*-$0"/�;<)�=>�750$�*-$0"/+�?�*.,.'"/+@�A)�*-$0"/"�*$�*+,+-.-(/"6�*,7#"68�B ��5�,$4#)0./)�*-$0"/+�',+*.A)C�)�*-$0"/+�;>�750$�3)+D$/+E-)�A)@C�',+*.A)C�*+,+-.-(/)�*-$0"/)�;8�F �!"�#$%&'(�#"#$1)%/)�*,7#)�/+-.%+'"�*+,+-.-(/"#�*-$E0"/+#8�G ��!"�#$%&'(�',"�D,+/)�5&1+�1&'"�*+,+-.-(/"#"�$3/)H�*-$0"/)8�I ��5�1&3&J'(�*+,+-.-(/&�*,$.5A)J�D.$#.',"K/$C�L)D&,"8�M ��5)�$:/$2/)�2-+:'"2$:')�*+,+-.-(/$D$�*,$.5A)J2+//78NO ��5+�L)D&,+�#$%.�1&'"�*+,+-.-(/$J�*,$.5A)@J�',+*.A)C8N� �!"�#$%/+�:'2.,3%&2+'">�0$�5$-"�*,$.5A)@J�@�*+,+-.-(/)�*,7#)>�'$�D.$#.',"K/$J�L)D&,$J>�75&�*,$.5A)JJ'(>�@�'+5$%�*+,+-.-(/)�*,7#)8NN �!"�#$%&'(�3$2%"/"�*,$.5A)H�2)3,)45+�)�:+#$D$�2)3,)45+�1&'"�,)4/"#"8N� �!"�#$%.�*+,+-.-(/+�*,$.5A)7�52+3,+'+�1&'"�*,7#$5&'/"E5$#P�*+,+-.-$D,+#$#8N9 ��5"H�.-.#./'�',"5&'/"5+�*,$.5A)J@'(:7�:+#�&�:.1.8NB ��5.�24+@#/.�,$4#)0.//7�*,$.5A)H�32$6�*,7#"6>�75)�*.,.E'"/+J'(:78NF �!"�#$%&'(�*,$.5A)C�#"#$1)%/"6�*,7#"6�41)D+'":78NG �!"�1&3(E75.�4$1,+%.//7�D.$#.',"K/$C�L)D&,"�@�CC�*+,+-.-(E/$J�*,$.5A)@J8NI �!"�#$%/+�,)4/$:'$,$//)H�',"5&'/"5�22+%+'"�4$1,+%.//7#�,)2/$:'$,$//($D$P�,)2/$1.3,./$D$�',"5&'/"5+8NM �!"�#$%/+�'&*$5&'/"H�',"5&'/"5�22+%+'"�4$1,+%.//7#�*,7#$5&'/$D$P�D$:',$5&'/$D$�',"5&'/"5+8�O ��5)�4+D+-(/)�2"#$D"�3-7�2"5$/+//7�4$1,+%.//7�*,7#$5&'E/$D$�*+,+-.-.*)*.3+P�5&1+P�*),+#)3"8�� �!"�#$%/+�*+,+-.-$D,+#�22+%+'"�4$1,+%.//7#�,$#1+P�52+3E,+'+P�*,7#$5&'/"5+8�QRS>�0$�2$/"�/.�*+,+-.-(/)8TUVWXYZVT[\]Q]__a�b�Fac]defaQ]gh]_eiaQhjRQhklmanaSioaehpfSiaqrstajg]Qipf_]a]uRaSR_Sgke_]aShpfShvef awiukghefajg]Qipfx_yma_]aQ]zyaycSymaQhjRQhf �{ a�|2)�:'$,$/"�}~�)�}��',"5&'/"5+�}~��*+,+-.-(/)�3.75)H�*-$0"/)�;��,":����������5+%)'(�,$4#)0.//7�*-$0"/��}~��<)�;� ���.,.'"/+J'(:7P ���41)D+J'(:7P ���*+,+-.-(/)�

Page 138: 10 geom bi_u

������������� � ��� ���������� ��������������� !�"��#�$�%�&'('�)�*"$�+(��������,��- ./��01�2�"'�)34'5*�&� !�"$�#1�'�5 ./��61�7�8�&� !�"$�%�$�06�9�27��� ($:";<5)�= :�4�"��:$=($>/$:�06�$�27�?,�06�@�27A B,�06�C�27A D,�06�E�27�F�G��H/'4$5*�>'�IJ : K�& &)()="* L�>'='.$�=:$�&'(��($:"�M�:$=3($>/$:��,�06A �,�07A �,�27A �,�02A N,�26A O,�76G?,���$��A B,���$��A D,���$�NA P,���$�NA Q,���$�O�R���Q:$�&'('�)�*"$�&� !�"��&)()5�"'K5*�;�5()5* K�&� !�3" K��H/'4$5*�:>'SJ")�( >J$!)"";�&(;J�M�&)()5�"I�?,�TU$V'K5*�;A D,�J�J U$4"$AB,�&)()5�"'K5*�;A P,�&'('�)�*"$�W���Q:$��5 ( "��XY�$�YZ�5('&)[$L�\] _�&'('�)�*"$�&� !�"$���D�>"'.5)�:>'SJ")�( >J$!)"";�&� !�"�+\] _,�$��?,��'('�)�*"$A B,�&)()5�"'K5*�;A D,�>U$V'K5*�;�a���Q:$�&� !�"���$�b�&'('�)�*"$�=);/$<�&(;J$<�XY��D�>"'.5)�:>'SJ")�( >J$!)"";�&� !�"��$�b�?,��)()5�"'K5*�;A B,�>U$V'K5*�;A D,�&'('�)�*"$�c���D�>"'.5)1�;/ K�d$VI( K�J 4)�UI5��/:'=('5�&(��&'('�)�*3" JI�&( )/[$K:'""$��,�Q :$�*"�<�. 5�(�/I5"�/A N,�( JUA�,�($:" U$."'�5('&)[$;A O,�5('&)[$;A�,�&'('�)� V('JA e,�&(;J /I5"�/A�,�&(;J /I5"'�5('&)[$;A f,�/:'=('5�?,��1��1�O�$�eA D,��1��1�N�$�eA Q,��1�N1�O�$�e�B,��1��1�O�$�fA P,��1�N1�e�$�fAg���D$=($> /�X�Y��8�&'('�)�*"'�&( )/[$;�:$=($>/'�XY�"'�&� !�3"I�1�5 ./'�h�8��)()=�"'�:$=($>/'�XY1�h��8�&( )/[$;�5 ./��h�"'�&� !�"I���T"'<=$5*�= :4�"I�:$=($>/'�h�Y�1�;/! �\�]��E��O��J�?,��f��JA B,�����JA D,����JA P,��O��JA Q,��e��J�

Page 139: 10 geom bi_u

��������� �� ������������������������������������ ��!"#$%&'�("$)*#'�+,"*-.'##/�01,.!#�0'+'+-"-(�",2+$34'#,5,�#$�+!67#87��9:��872$�;<=>?�<�=�>�@�/8.,�&,%8!�A@�B@�C@�D�E�6'+'F!#!�+'2'+�;G@�H>@�HH�@�GG��(-F0,(-F#,9 I��'+'&!#$J&K6/L MI�0$+$1'1K#-L �I�"2-5$J&K6/9�!69��9:� �!69��9:NOP�� ��!"#$%&'�("$)*#'�+,"*-.'##/�0+/3*!Q�RAS-�C�A�@�/8.,�0$+$1'1K#-�01,.!3#!�TS-�US0'+'&!#$J&K�VQ�7�&,%8$Q�R@SA@�R�@�A��W+!69��9:NI@�0+!%,*7�CC��X�AA�9 I��!*,2-4#-L �I�0$+$1'1K#-9MI�0'+'&!#$J&K6/LOO�� ��!2'+-&K�0+$(!1K#-�,2Y+7#&7($##/�0$+$1'1K#,6&-�01,.!#�W;GG�I�-�W>>�H�I�",32+$4'#,5,�872$�?<=>?�<�=�>��"$�,"#$8,J�0$+$1'1K#,6&-�01,3.!#�W+!69��9::I9�I�?<�Z�=�>�@�<�<�Z�>�>�-�<�?�Z�=�>LNI�?<�Z�=�>�@�<<��Z�>>��-�?<�[�<<�@�=�>�[�>>�L:I�<�<�Z�>�>@�?�?�Z�=�=@�?<�Z�=�>��-�?�<��Z�=>L�I�<<��[�<�?@�>>��[�=�>�-�<�<�Z�>�>@�<�?�Z�>=�L\I�?�<�[�?<�@�>�=�[�=�>�-�?�<�Z�>�=@�<�?�Z�=�>9 I��@�N�-��LMI�N@�:�-�\L�I�N@���-�\L]I��@���-�\L I�N@�:�-��9O_�� ��!2'+-&K�0+$(!1$�0,27F,(!�",2+$4'##/�0+,'8-a�0+/3*,87&#,5,�0$+$1'1'0-0'F$9�I��+,&!1'4#-�+'2+$�0+,'8-a�E�+-(#-�(-F+-"8!LNI�0+,&!1'4#-�+'2+$�0+,'8-a�E�0$+$1'1K#-�(-F+-"8!L:I�87&!�(6-Q�5+$#'a�0+,'8-a�E�0+/*-L�I�76-�5+$#-�0+,'8-a�E�0+/*,87&#!8!L\I�76-�5+$#-�0+,'8-a�E�0$+$1'1,5+$*!LbI�76-�5+$#-�0+,'8-a�E�8($F+$&!9 I��@�N�-��LMI��@�N�-�\L�I�:@���-�bL]I�N@�\�-�bL I��@�:�-�b9�!69��9::

Page 140: 10 geom bi_u

�������������� ������������������������� !��"#$�% �&" ���' ��()�**$�%�(��#�* +����,&�* +�%��(��"��- .* �(�%��(��"��/�%�(��#�*�0����,&�*�,1���2*��!�(*��%��(��"��/����* ��"��*�0����,&�*�,34�3�5���(� .* ���%��(��"��/����*����"��',�673�*���.������(� .* ���%��(��"��/����*����"��',�683���2*������(�%��(��"��/����*����"��',�6�3�*���.����2*������(�%��(��"��/����*����"��',�693�&.��!�(*��%��(��"��/����,&�*�,�4:3��1�8���96;3��1�����96�3�71�8���96<3�71�����96 =3�71�8���94�>����?�$�(��#�)����*(�%# @�*��A1�%�$�(�B�/�*(�%# @�*��C1�%��2 �&�A�D�C4�E,()����,�#�,�.���� )#���F�.%�#�*�F�� 2 ,�"#$�%�$��F����B�-��.4��48�34:3�G"*(6 ;3�"��6 �3����6 <3���'#�26 =3�) "* +4�H����I���'�%(�(#�#�*��%�$���J���K�%� ��"�* �%# @�*&�L1�$,(�%�����*(M�%(�(#�#�*��%# @�*��A���C�% �%�$��F�NO���N�O�4�E,()����� )#���0���"�2 ����,&�*�,(�NOO�N�4�3�P�(%�Q�$6 �3�� ��673�%(�(#�# !�(�6 93�%�$� ,&�*�,483�" ��#�*�0�2 ����,&�*�,6:3���(� �71�(� ��6 �3�8�(� ��1�(� �96 =3���(� ��1�(� �94;3�7�(� ��1�(� �96 <3���(� �81�(� ��6�R����P 2,��S���T�*(#�)(���%# @�*��A1�(�� 2,��N���U�/�%# @�*��C1�A�D�C1���"��',��SN���TU�%�����*(V��.$���� 2Q��W�-��.4��48934�X*(0"����" �)�*&���"��',(�SN�%�����, *(**��" Y"(�, ��F�&� ��'�-:/=34�Z"�*��[�,&0���&� �&�-:/=3���%�(��#�*&���"% ��"��-�/934:3�ST�\�]�.�1�NU�\�9�.�1�N�\��_�.�6�3�SN�\�7_�.�6 :;3�N�\��.�1�T�\���.�1�U�\��7�.�6 73�SN�\��_�.�6 ;�3�ST�\�8�.�1�NU�\���.�1�N�\�a�.�6 83�SN�\�77�.�6 �<3�S�\�a�.�1�T�\�]�.�1�U�\��.�6 �3�SN�\����.�6 <=3�ST�\��_�.�1�S�\���.�1�NU�\��9�.�493�SN�\��7�.�4 =5�.4��48� 5�.4��489

Page 141: 10 geom bi_u

��������� �� ����������������������������������� !"#$ �%&'()*+,-./0(1)2133+0456780(09':'.9;<0(1=;>'<0?'2@0<-:9@A)13/B045CB0DEFG�HIJ�KELEMNMOFJ�KMGPQFQ�RSJ�TU��GVWQ�X�JSY�FEMNZ[E\O�KMGPQFJ�R]�\GVWQ��J�_��KMGPQFJ�TU��JHLJaWQ�X_�J�Y�KNZLN\QFEb\Ocd�I�\GVeJ�fU��FEgHJ\O�HGI[QFh�IJHLJaWE�f_]�dWPG�Xi�j��k]l�cm]�Xn�j�o]p�cm]�qr�j��]l�cmU48CB0�ELEMNMOFJ�KMGPQFQ�RSJ�T�KNLN\QFEb\O�c\GLGFQ�Wh\E�s t�h�\GVWEu�s�]�t�]�s�]�t�SIJHKGIJHFGU��FEgHJ\O�HGI[QFh�IJHZLJaWE�t�]�dWPG�qv��w�v�s��j���w�k�J�qx��j����cmU4yCB0�\GLGFE�st�\LQWh\FQWE�vzx�KELEMNMOFE�WG[FJg�a�KELEZMNMOFQu�KMGPQF�RSJ�TU��MGPQFQ�RSJ�T�KNLN\QFEb\O�c\GLGFh�vz�IJHKGIJHFG�I�\GVWEu�s�SJ�s�]�E�c\GLGFh�t ��I�\GVWEu�t��J�t�U��FEgZHJ\O�HGI[QFh�IJHLJaWE�v�x�]�dWPG�vx�j��{�cm]�s���cNLNHQFE�IJHZLJaWE�vz]�E�s���cNLNHQFE�IJHLJaWE�v�z|7}CB0DEFG�KLdmGWh\FQW�vxq~�J�\GVWh�z]�PG�FN�FEMN[Q\O�KMGPQFJ�eOG�G�KLdmGWh\FQWEU��GVWh�zSa��HFEMQ�IJHLJaWEmQ�a�hcJmE�INL�QFEmQ�eOG�G�KLdmGWh\FQWEU��NLNa�\GVWh�~���cNZLNHQFh�IJHLJa���WE�z~��KLGINMQ�KMGPQFh�R]�KELEMNMOFh�KMGPQFJ��vxq~�]�dWE�KNLN\FhME�IJHLJaWQ�zs]�ztSJ�z �I�\GVWEu�v�]�x�]�q��IJH�KGIJHFG|��FEgHJ\O�KNLQmN\L�VG\QLQWh\FQWE�v�x�q�~�]�dWPG�v~�j�{�cm]�vx�j�p�cmU�74CB0��\GVWQ�z]�PG�FN�FEMN[Q\O�[GHFJg�a�HIGu�KELEMNMOFQu�KMGPQF�R]�T�J�FN�MN[Q\O�mJ[�FQmQ]�KLGINHNFG�\LQ�KLGmNFJ]�dWJ�KNLN\QFEb\O�KMGPQFh�R�I�\GVWEu�v�]�x�]�q�]�E�KMGPQFh�T��I�\GVZWEu�v�]�x�]�q�U���VQcMJ\O�KNLQmN\L��v�x�q�]�dWPG�v�x��j�{�cm]�x�q��j����cm]�v�q��j����cm�J�zv��w�zs��j���w�kU77CB0��\GVWQ�z]�PG�FN�FEMN[Q\O�[GHFJg�a�HIGu�KELE�MNMOFQu�KMGPQF�R]�T�J�FN�MN[Q\O�mJ[�FQmQ]�KLGINHNFG�\LQ�KLGmNFJ]�dWJ�KNLN\QFEb\O�KMGPQFh�R�I�\GVWEu�v�]�x�]�q�]�E�KMGPQFh�T��I�\GVWEu�v�]�x�]�q�U���VQcMJ\O�KMGPh��v�x�q�]�dWPG�\LQWh\FQWQ�v4x4q��J�v�x�q���KLEIQMOFJ]Sv�q��j�� �cm]�zv��w�zs��j� �w��U7�CB0DEFG�KELEMNMOFJ�KMGPQFQ�RSJ�TU��GVWQ�s�J�t�MN[E\O�FE�KMGPQFJ�R]�E�\GVWQ�SJ�~��FE�KMGPQFJ�TU��JHLJaWQ�s SJ�t~�KNZLN\QFEb\Ocd�I�\GVeJ�X|S�FEgHJ\O�HGI[QFh�IJHLJaWE�X~]�dWPG�vx�j���cm]�q~�j���cm�J�Xx�j�l�cmU7�CB0�E�KELEMNMOFQu�KMGPQFEu�RSJ�T�IQ�LEFG�KG�KELJ�\GVGW�s�]�s�SJSt�]�t��IJHKGIJHFG�\EW]�PG�v�x�SJ�v�x��KNLN\QFEb\Ocd�h�\GVeJ��U���VQcMJ\O�HGI[QFh�IJHLJaWE��s�]�dWPG�v�x��j�p�cm]��v��j��]l�cm]��x��w��s��j�k�w��U7�CB0�E�KELEMNMOFQu�KMGPQFEu�RSJ�TSaG�LE[NFG��v�x�q��J��v�x�q��IJHKGIJHFGU��FEgHJ\O�KMGPh��v�x�q�]�WGMQ�IJHGmG]�PG�v4v70��x�x����q�q�]�v�x��j���cm]�x�q��j�k�cm]��v�x�q��j�o��U7�CB0�LQ�KELEMNMOFGmh�KLGNWeJbIEFFJ�LGm�E�vxq~�FE�KMGZPQFh�R�G\LQmEMQ�VG\QLQWh\FQW�v�x�q�~�]�I�dWGmh�v�x����q�~�U�

Page 142: 10 geom bi_u

������������� � ��� ����������������������� �!"#�����$���%���&�'$%(�)����$��*(����+����,�-�+��.�/%�01"�2�1�34$%(�3"1�"5���6�����#�'�������,��7�8*.9:;<=>�$�����& &2%�*(���� �!"?3�%@%"��"3%�A"�%�B����� !"B���CD�E6F����8%�@3�G����$*�&$����$�$��(�%$������C�D�.�H"�I�%�&2����� !"B������?�J�1"&$�2�BB�8 � 1%?�&"%"?�KL�(�3"1%�M %%"���+�7.�/%�01"�2�1�34$%$�3"1�"5�"3�N�J��"�J�L��EK���O���L��P���� �!"B�������K��J��L�3"1��3"1%��%���&�'$%(�)G��#�'��K�L��,�-��8*.9Q;<=R���$8(%�(��.�S�5�A��4 %������@& &2% ���� �!"?3�%%#��3�1�������CD�%���&�'$%(�)��T���%���#*���� �!"?3�%@%#��J���! %����3�1����.�>&�'$%$�E6UFG�"�)�������& &2%"������V�����V�CC��V�DD�.�/%�01"�2��&�'(���� �!"B�����C�D�����&$�3"1�*���'���O�,�W�8*.XYZ[\]ZX_abcdefghi=bjckjlle=9mno9=b=paclqr=astuvlhvcjller<=9m;;<�H�%���"3%�A"�%(����� !"?���CD�E�C�V��D���C�w��DG��K����C�"��K�+�KC�,���+��.�G�>�A(1(0� �����& &2%(���� �!"?���CD�%���&�'$%(�).-G�>�A(1(0� �����& &2%(���� �!"?�����$�N�%���&�'$%(�).�G�>�A(1(0� �����& &2%(���� �!"?�� �� %1$�(&#�������3 @1 %�I��5�����$�N�1���8%�3$��D.�G�xA�$8&"�2�1�34$%$�3"1�"5�"3�U�N��"�N�F���#�'����C��,��W�8*.oy;;<�z���$�6�"�U�& 4��2�����1$%�A"��3"1��&�'$%$�){������������� �!"B�������6��U�3"1��3"1%��%���&�'$%(�){�J���8 � 1$%��3"1@�"5���UU�������w����.�G�>�A(1(0� �����(�� � �$%(�F���#*�B�6J�5��&�'$%�?�).-G�/%�01"�2�1�34$%(�3"1�"5���6�F��#�'������,�W�8*������,���8*�������,�|�8*.o};;<�~ � 5�8 � 1$%$�� A ���D��DF�"���D���(A����CD����C�D�����3 1 %���&�'$%(�� � �"5(�EKL�G����� � 5�66��"�����(�F�����&�'$%(�� � �"5(�E66�F�G.�H�3 1"�2��'��EKL�G�V�E66�FG.o9;;<�H�%�����$�$�����$�6��U��F��D��#�"�% �& 4��2�3��1%"0��&�'$@%".�H�3 1"�2��'��A(12@#����&�'$%�������& &2%����#*$*�6U�"�FD��� � �$%�����#*"�6F��6D��UD��UF�(�3 �M$%�������& &�I��*�.�$8.��.�S

Page 143: 10 geom bi_u
Page 144: 10 geom bi_u

деякій площині простору

* як побуду• яквйкори'

перпендикулярності прямих і площин

НІ і««мигміІгі{а, 10 кі (ВИ)аг

Page 145: 10 geom bi_u

V I

. 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН...

Перпендикулярність прямих у просторі

а В

У третьому модулі ми розглядали взаємне розміщення пря­мих у просторі. Очевидно, що прямі, як і перетинаються, утво­

рюють кути. Кутом між прямими є менший з двох суміжних. Наприклад, на рисунку 5.1 зо­бражено дві прямі А В і СІ), які перетинаються. /.ЬО В - кут між ними. Очевидно, що найбіль­шим кутом між прямими може бути кут 90°. Такі прямі називаються перпендикулярними.

у просторі називаються перпендикулярним и,

Рис. 5.1 Дві прямі

якщо вони перетинаються під прямим кутом.Властивості перпендикулярних прямих простору виража­

ють теореми 1-4.

можна про- *Ш Ї 'Ш

Доведення. Нехай а - дана пряма і А - точка на ній (рис. 5.2). Візьмемо поза прямою а яку-небудь точку X

і проведемо через цю точку і пряму а площину а (наслідок з аксіом). У пло­щині а через точку А можна провести пряму Ь, перпендикулярну до о (6 ± а), що й вимагалося довести. Теорему до-

рис. 5.2 ведено.

Т ео р ем а 2.Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно па- ■

ралельиі двом перпендикулярним орямнм, то воин * теж перпендикулярні. •

Доведення. Нехай а і 6 - дані перпендикулярні пря­мі й ах II а, Ь1 II Ь, а також пряма а перетинає Ь в точці О, а пряма ах перетинає Ьа в точці Ох (рис. 5.3). Тоді а х і Ьу лежать у площині р, а прямі а і Ь - у площині а , які будуть паралельні за ознакою паралельності площин. Сполучимо точки О і С^. Виберемо на прямій ах точ­ку А ,, а на прямій Ь, - точку Вг Проведемо А А г || ООл і В В 1 II ООу Тоді А А г II В В У

І

Page 146: 10 geom bi_u

Чотирикутники ОуА-уАО і ОгВ хВО - паралелограми, звідси 0 1А1 = ОА і 0 1В 1 = ОВ. Оскільки А А Х || В В г, то вони лежать в одній площині у, яка перетинає площи- ....................... 7 ну Р по прямій А 1В 1, а площи-

— В, у ну а - по прямій А В , які паралель-ні, тобто А 1В 1 Ц АВ.

; / Отже, чотирикутник АА1В1В - / паралелограм, у якого А1Б 1 =АВ.ш ш г-,7 Таким чином, трикутники ОАВ і

Ь 0 1А1Б 1 рівні за третьою ознакоюрівності трикутників. а ± Ь, звідси

/ /Л О В = 90°, тому / А ^ ) ХВ Х = 90°. -------------- Отже, пряма ах перпендикулярна

Рис. 5.3 до прямої Ьх, що й вимагалося до­вести. Теорему доведено.

Т е о р е м а 3.Черед будь-яку точку простору, що не належить

прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної (рис. 5.4, а).

Т ео р е м а 4. ІЯкщо пряма перпендикулярна до одній' з двох па- %

Доведення теорем 3 і 4 виконайте самостійно.Розміщення трьох прямих у просторі, коли вони між собою

попарно перпендикулярні і мають спільну точку, є окремим випадком (рис. 5.4, в).

Рис. 5.4Зауважимо, що у просторі існує безліч площин, як і можна

провести через одну й ту саму пряму. Вибираючи точку А поза прямою, ми попадаємо на одну із цих площин, і у вибраній площині до даної прямої через точку А проводимо пряму, пер­пендикулярну до даної.

Page 147: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

Отже, у просторі до прям ої можна провести безліч пер­п енд икулярних п р ям и х , що проходят ь через дану т очку цієї прямої.

Задача 1.Прямі АВ, АС і АХ) попарно перпендику­лярні (рис. 5.5). Знайдіть відрізок СО, якщ о АВ = 3 см, ВС = 7 см, АО = 1,5 см.Д ан о : АВ 1АС, АСХАО, А В ±АО;

АВ = 3 см, ВС = 7 см,АІ) = 1,5 см.

З н а й т и : СО.

Розв’язанняЗ ААВС ( / А = 90°)

за теоремою Піфагора АВ2+АС2 = ВС2.

А В = 3 см,ВС = 7 см, тому 9 + АС2 = 49, звідси АС2 = 40 см2.З ДАСО (ZA = 90°)

за теоремою Піфагора АС2 + АО2 = С£>2.

АС2 = 40 см2,АО = 1,5 см, тому 40 + 2,25 = С2)2,СО2 = 42,25 см2,С£> > 0; СХ) = 6,5 см. Відповідь. 6,5 см.

Кожна пара даних прямих АВ, АС і А В - перпендикулярна, тобто утворюють прямі кути. Сполучив­ши послідовно точки В з С, С з 2) і И з В, отримаємо прямокутні три­кутники.

1) ДАВС (.■'А = 90°): відомі катет і гіпотенуза, невідома - сторона, що є другим катетом. СА - сторона ЛАСО.

2) ДАСІ) (ZA = 90°): один катет ві­домий за умовою, другий - знайдено з ДАВС; невідомою є третя сторона - гіпотенуза. За теоремою Піфагора складаємо вираз і виконуємо обчис­лення довжини відрізка С£>.

5.1°. Виберіть правильне означення перпендикулярних пря-мих у просторі.

A) Прямі, що перетинаються під прямим кутом;Б) прямі, що леж ать в одній площині, перетинаються і утво­

рюють рівні кути;B) прямі, що перетинаються і утворюють рівні кути;Г) прямі, як і при перетині утворюють два рівні суміжні

кути;Д) прямі, що лежать в одній площині і не є паралельними.

148

Page 148: 10 geom bi_u

5.2°. Укажіть кількість перпендикулярних прямих, як і можна провести до прямої простору через дану точку на ній.

А) Одну; Б) дві; В) три; Г) чотири; Д) безліч.5.3°. Укажіть кількість прямих, перпендикулярних даній,

що проходять через точку поза даною прямою.А) Одна; Б) дві; В) три; Г) чотири; Д) безліч.5.4°. Відомо, що прямі а, Ь належать площині а, а а 1, Ьх -

площині р, а || а 1 і Ь || Ьг, причому а і Ь - перпендикулярні. Ви­беріть правильне твердження.

А )а 1 І|61; Б ) а 1±&1; В) а,, || Ь; Г )а г Х6; Д ) а ± Ь 1.5.5°°. Укажіть взаємне розташування прямих у просторі,

перпендикулярних до однієї і тієї самої прямої.A) Перетинаються або мимобіжні; Г) тільки мимобіжні;Б) перетинаються або паралельні; Д) тільки паралельні.B) паралельні або мимобіжні;5.600. На рисунку 5.6 зображено куб А В С 0А 1В 1Сї0 1. Укажіть

трійку попарно перпендикулярних прямих.A) Ш>!, АА1? АО; Г ) А ІВ 1,С 1В 1, В 1В;B )А 1А ,А В ,В С ; Д )С ХА В С ,А В .В) А^ії^, А1Х)1, 0 1С1;5.7°°. Обчисліть периметр ААВ1С, якщ о ребро куба дорівнює

•1 см (рис. 5.6).А) 12 см; Б)6л/2см; В )4\/2см ; Г)12\/2см; Д )16\/2см .5.8°°. Обчисліть площу АО^АС, якщ о ребро куба дорівнює

К см (рис. 5.6).

А )1в73см 2; В)24%/Зсм2; Д )1б73см 2.Б) 32л/§ см2; Г) 36>/3 см2;5.9*. На попарно перпендикулярних променях О Х, ОУ, 0 2

(рис. 5.7) вибрано точки М , N . К так, що ОМ = ОЛТ = ОК. До­падіть, що трикутник МЛ^йГ - правильний. Запиш іть формулою периметр і площу ДМ/У#, якщ о ОМ = а.

£ 5.1. Перпендикулярність прямих у просторі

/ А

В,//

и \

7Рис. 5.6 Рис. 5.7

149

Page 149: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

5.10*. На попарно перпендикулярних променях О Х, ОУ, 0 2 вибрано точки А, В, С відповідно (рис. 5.8). Знайдіть периметр утвореного трикутника АВС, якщо:

1) ОА = ОВ = ОС = 5 см;2) ОА = ОС = 5 см, ОВ = 6 см;3) ОА = 3 см, ОВ = 4 см, ОС = 5 см;4) ОА = а, ОВ = 2а, ОС = За.5.11**. Дано куб АВСВА1В 1С1П1, в якому точки 0 і 0 1- цент­

ри протилежних граней. Доведіть, що пряма 0 0 1 перпендику­лярна до діагоналей цих граней.

5.12**. У прямокутному паралелепіпеді АВС2)А1В 1С1І)1 (рис. 5.9) через відрізок £)СХ і точку В проведено площину. Об­числіть периметр утвореного перерізу, якщ о а ,Ь ,с - виміри па­ралелепіпеда, причому а = З см ,Ь = 4 с м ,с = 6см .

5.13” . Дано прямокутний паралелепіпед АВСДА1В 1С1І>1. Обчисліть периметр перерізу, утвореного площиною, проведе­ною через відрізок DCy і точку В, якщо а, Ь, с - виміри парале­лепіпеда, причому а - 4 см, 6 = 2 см, с = 8 см.

5.14**. На ребрах AD і ВС правильного тетраедра ABCD позна­чено точки М іК , які е серединами цих ребер. Доведіть перпен­дикулярність прямих:

1)К М iAD ; 2) K M і ВС.

R H R m Перпендикулярність прямої I J Q C H r та ПЛОЩИНИ у просторі

Ми вже розглядали взаємне розміщення прямої і площини, детально ознайомилися з випадком, коли пряма не перетинає площину. У цьому параграфі ми розглянемо випадок, колипряма перетинає площину і, крім цього, утворює з довільною прямою цієї площини, що проходить через точку перетину, прямий кут. Таку пряму називають перпендикулярною до площини. Всі інші неперпендикулярні прямі, як і перетинають площину, називають похилим и .

В с С

Рис. 5.8 Рис. 5.9

Page 150: 10 geom bi_u

Моделлю прямої, перпендикуляр­ної до площини, може бути встанов­лена вишка, стовп, закопаний у зем­лю, цвях, забитий у стінку, і т. д.

П ряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площ ини, якщо вона перпенди­кулярна до довільної прямої, що ле­жить на цій площині і проходить че­рез ЇХНЮ точку перетину. рис> 5 .1 0

Щоб визначити, чи буде пряма а перпендикулярна до площ ини а , треба через точку її перетинуз площиною О провести безліч прямих лс1, х 2 х П (рис. 5.10) ідовести, що вона перпендикулярна до кожної з них. Цей ш лях дуже довгий і практично нездійсненний. Тому для встанов­лення перпендикулярності прямої до площини користуються ознакою перпендикулярності прямої та площини.

Т о р с і ї а 5 (ознака перпендикулярност і пря- м ої та площ ини).

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині та перетинаються, то вона перпен­дикулярна до даної площини.

Доведення. Нехай а - дана площина, с - пряма, яка перетинає її в точці О, а і Ь - прямі, що належать пло­щині а , проходять через точку О (рис. 5.11) і перпен­дикулярні прямій с (с 1 а, с ± Ь). Доведемо, що с 1 а , тобто що пряма с перпендикулярна до будь-якої пря­мої х площини а , яка проходить через точку О. Для

цього зробимо додаткову побудову:1) відкладемо у різних півпросто-

рах на прямій с від точки О рівні від­різки 0(2у і 0<?2;

2) позначимо на прямій а деяку точку А , а на прямій Ь - точку В; спо­лучимо точки: А і А і (?2, В і ( ) 1, В і (?2 та А і В;

3) проведемо через точку О довіль­ну пряму х, яка перетне АВ в точці X , яку теж з ’єднаємо з і <?2.

Розглянем о утворені при цьому трикутники.

1. /\QyAQ2- АО - медіана і висота; Рис. 5.11 - 0 3 2 за побудовою; ОА - спільна

$ 5.2. Перпендикулярність прямої та площини у просторі

151

Page 151: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

сторона трикутників Я {ОА і Я2ОА; ZQ^OA = ZQ2OA == 90°.

Отже, Д(?хОА = Д(?2ОА за двома сторонами і кутом між ними. Звідси (^А = ()%&..

2. ДQ1BQ2. Рівність відрізків <?г.В і Я^В доводиться аналогічно, як і рівність відрізків (^А і ф^А.

3. к()уВА = ДЯ2ВА, о с к і л ь к и (^А = (?^ і Я ХВ = <?2В, А В - спільна сторона. Звідси випливає рівність відпо­відних кутів: Z<?1.BA = ВА, А(^1А В = ZQ2AB.

4. Д(?гХА = Д(?2ХА за двома сторонами і кутом між ними: (^А = Х А - спільна сторона; £<£1А Х == ZQ2AX' за доведенням вище. Отже, С^Х = Я^Х, тоб­то &&1Х(}2 - рівнобедрений: ( ії(22 ~ основа трикутни­ка, О - середина ЯХЯ2, тому ХО - медіана А (ігХ(}2.У рівнобедреному трикутнику медіана є висотою, тобто ХО 1 а це означає, що х 1 с . Оскільки пря­м а * - довільна пряма площини а , яка проходить через точку перетину прямої с з площиною а , і за доведен­ням х 1 с , тому с X а . Щ . в. д. Теорему доведено.

Зауважимо, що вам вперше трапляється таке громізд­ке доведення. Доведення не треба заучувати напам’ять чи запам’ятовувати кроки, його треба розуміти і послідовно, спи­раючись на відомі факти, викласти міркування. Для цього важливо спланувати послідовність логічних кроків і не допус­кати помилок.

Отже, для встановлення перпендикулярності прямої і пло­щини достатньо перевірити перпендикулярність прямої до двох прямих площини, як і проходять через точку їхнього пе­ретину (за ознакою).

З даної теореми випливають два наслідки.Н аслідок 1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з

двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до дру- і гої прямої.

Доведення. Нехай а - площина, о1 і а2 - дві прямі, що пере­тинають її в точках Аг і А2, причому а 1 II а2, а11 а (рис. 5.12).

Проведемо через точку А 1 довіль­ну пряму л:1 на площині а , а через точку А2 - пряму х 2, паралельну х 1. Оскільки пряма а х перпендикуляр­на до площини а , то прямі а г і х г перпендикулярні. Тоді, за теоре­мою 2, прямі а2 і х 2 також перпен­дикулярні. Таким чином, пряма а2 перпендикулярна до довільної пря-

І152

Page 152: 10 geom bi_u

§ 5.2. Перпендикулярність прямої та площини у просторі

мої х 2, яка лежить на площині а і проходить через їхню точ­ку перетину А 2. Це визначає перпендикулярність прямої а2 до площини а .

Н аслідок 2. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

Доведення. Нехай а і Ь дві прямі, як і перпендикулярні до площини а (рис. 5.13). Припустимо, що прямі а і & не пара­лельні. Виберемо на прямій Ь точку С, яка не належить площині а . Проведемо через точку С пряму Ь1, паралельну пря­мій а. Вона перпендикулярна до площи­ни а , за попереднім наслідком. Нехай пряма Ь1 перетинає площину а в точці В1, а пряма Ь перетинає а в точці В.Тоді пряма В В 1 перпендикулярна до прямих Ь та Ьх, як і перетинаються. А це неможливо, припущення неправильне.Отже, прямі паралельні.

Задача.Доведіть, що через будь-яку точку А можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини.

ДоведенняРозглянемо два випадки.П ерший випадок. Нехай точка А належить площині а

(рис. 5.14). Тоді через точку А в площині а проведемо п р я ­му а. Вибравши точку К , що не належить а , проведемо ч е ­рез неї і пряму а площину Р (наслідок із аксіом). Проведемо у площині а пряму с і. а , а у площині р - пряму Ь 1 а . Ч ерез ці дві прямі проходить площина у, яка буде перпендику­лярна до прямої а (теорема про перпендикулярність прям ої і площини).

Page 153: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

Тоді у площині у достатньо провести пряму Л _І_ с. Вона буде перпендикулярна і до прямої а, оскільки лежить у у і проходить через точку перетину. Оскільки Л перпендику­лярна двом прямим площини а , то вона перпендикулярна і самій площині. Отже, ми побудували пряму Л, яка перпен­дикулярна до площини а і проходить через задану точку А.

Д ругий випадок. Нехай точка А не належить площині а. Вибравши довільну точку В на площині а , аналогічно попе­редньому випадку, проведемо пряму 11 а , що проходить че­рез точку В. Тоді через цю пряму та точку А можна провес­ти деяку площину ф, а ня ній деяку пряму Л, що проходить через точку А паралельно І. Пряма Л буде перпендикулярна до а (якщ о одна з двох паралельних прямих перпендику­лярна площині, то друга теж перпендикулярна). Побудова виконана. Отже, пряму побудувати можна. ІД. в. д.

Підсумовуючи сказане вище, приходимо до таких висновків:

1. Через точку поза прямою у просторі можна провести єдину пряму, перпендикулярну до даної (рис. 5.4, а).

2. Через точку на прямій у просторі можна провести без­л іч прямих, перпендикулярних до даної (рис. 5.10).

3. Через задану точку на площині можна провести одну і т ільки одну пряму, перпендикулярну до даної площини (рис. 5.10).

4. Через задану точку, що не належить площині, можна І провести одну і т ільки одну пряму, перпендикулярну до да- !

І ної площини (рис. 5.14). |

5.15°. У кажіть кількість спільних точок площини і прямої, перпендикулярної до неї.

А) Одна; Б) дві; В) безліч.5.16°. На рисунку 5.15 зображено площину а і пряму а, що

| перпендикулярна до а і перетинає площину а у точці М . ПряміЬ1г Ь2, ..., Ьп проходять через точку М і належать площині а . Ви­беріть серед заданих і>1, Ь2, ..., Ьп усі прямі, як і будуть перпенди­кулярними до прямої а.

А) П ряма Ь1;Б) прямі Ьх і Ь2;

154

Page 154: 10 geom bi_u

$ 5.2. Перпендикулярність прямої та площини у просторі

В) прямі Ь2, ..., Ь10;Г) прямі Ьр Ь2, ..., Ьп, де п - скінченне натуральне число;Д) прямі Ь2, ..., Ьп, де п - нескінченне натуральне число.

Рис. 5.15 Рис. 5.165.17°. Пряма в В - перпендикулярна до площини паралело­

грама АВСО (рис. 5.16). У кажіть прямі, до яких перпендику­лярна пряма БВ.

1)АВ; 2 )ВС; 3 )А 0; 4) ВО; 5) СО.А) 1, 2 і 3; Б) 1 ,2 і 4; В) 2, 3 і 4; Г ) 2 ,3 і5 ; Д) 1 ,3 і 5.5.18°. Відомо, що деяка пряма І перпендикулярна до сто­

рін АВ і АС трикутника АВС. Визначте взаємне розміщення прямої І і площини (АВС).

A) Пряма І перетинає площину (АВС), але не перпендику­лярна до неї;

Б) пряма І належить площині (АВС);B) пряма І перпендикулярна до площини (АВС);Г) пряма І паралельна площині (АВС).5.19°. Пряма КО - перпендикуляр­

на до площини паралелограма АВСО (рис. 5.17). Виберіть пару прямих, які перпендикулярні до прямої КО.

A) АВ і ВО; Г)АО і ВС;Б) АВ і СО; Д)АС і СО.B) АС \ ВО;5.2000. Одна з прямих, яка містить

сторону паралелограма, перпендику- Рис- 5-17илрна до площини а. Визначте взаємне розміщення прямої, яка містить протилежну сторону цього паралелограма, і площ ини а .

A) Належить площині а ;Б) паралельні між собою;B) перпендикулярні між собою.

К

155

Page 155: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н .

5.21°°. Пряма М В перпендикулярна до сторін А В і ВС трикут­ника АВС. X - довільна точка сторони АС (рис. 5.18). Визначте вид трикутника М В Х .

5.22°°. Площина а перпендикулярна до прямої Ь, а пряма Ь перпендикулярна до площини ер. У кажіть взаємне розміщення площин а і ф.

А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються.5.23°°. Площина а перпендикулярна до прямої Ь, а пряма Ь

паралельна прямій с. Укажіть взаємне розміщення площини а і прямої с.

А) с II а; Б) с X а ; В) с а а ; Г)сП а , Z(ca) * 90°.5.24°°. Через точки М , N , К - середини відрізків А А Х, В В х,

ССj відповідно (рис. 5 .1 9 )- проведено площину (M N K ). Визнач-Т 6 П Л О Щ И Н И П Л Crx/*T*V f\\TTrn п о п г т о п п н w п a n n o n n f i n n 717")

5.25*. Площина а перпендикулярна до прямої т, а пряма т паралельна прямій п. Доведіть, що площина а перпендикуляр­на до прямої п.

5.26*. Через точку А деякого ААВС проведено пряму А М , перпендикулярну до площини (АВС), а через точку В проведено пряму ВЛГ, яка паралельна АМ . Знайдіть кут ЫВС.

5.27*. Пряма, що містить основу А В трапеції АВСО, перпен­дикулярна до площини а . Доведіть, що пряма, яка містить основу СІ) цієї самої трапеції, перпендикулярна до площини а.

5.28*. Через точку В трапеці\ABCD (ВС II АО) проведено пря-

С - пряму СК, яка паралельна прямій ВН . Доведіть, що пря­ма СК перпендикулярна до діагоналі АС трапеції ABCD.

5.29*. Через вершину В прямокутної трапеції ABCD (ВС IIАО, ZA = 90°) проведено пряму І, перпендикулярну до площини (ABC), М є І. Доведіть, що пряма А В перпендикулярна до пло­щини (ВМС).

А) Гострокутний; Б) тупокутний; В) прямокутний.

l)(AO Oj); 2) (СВО); З)(M N K ); 4)(CD XD); 5)(A 1DlC1). А) 1 ,2 і 4; Б) 2, 3 і 4; В) 1 ,3 і 5; Г) 2, 3 і 5; Д ) 2 ,4 і5 .

Рис. 5.18 Рис. 5.19

му Н В , яка перпендикулярна до площини (АВС), а через точку

156і

Page 156: 10 geom bi_u

5.30**. Через вершину А прямокутника АВСІ) проведено пря­му АКТ, перпендикулярну до площини (АВС). Доведіть, що пря­ма А В перпендикулярна до площини (АВК).

5.31“ . Побудуйте переріз куба АВСІ)А1В1С1Й1 площиною, яка проходить через середину ребра АВ перпендикулярно до прямої АС.

5.32**. АВСВ - паралелограм, В К і РВ - прямі, перпендику­лярні до площини (АВС). Доведіть, що площини А В К і ВРС па­ралельні.

5.33**. АВСВ - паралелограм, A N і СК - прямі, перпендику­лярні до шшщини (АВС). Доведіть, що площини АІУ£> і КВС па- ралельні.

5 .34". У чотирикутнику АВСВ діагоналі перетинаються в точці О, причому ВО = ОВ. Точка М , що не належить площині чотирикутника, сполучена з його вершинами В, і), С та з точ­кою О. Доведіть, що пряма В В перпендикулярна до площини (МОС), якщо М В = М В , В В - 6 см, ОС = 4 см, СВ = 5 см.

П В т Перпендикуляр і похила.Теорема про три перпендикуляри

Розглянемо зображення прямої а, перпендикулярної до площини а (рис. 5.20). Позначимо на прямій а довільний відрізок.

Відрізок називається перпенди­к уляр н и м до площ ини , якщ о він ле­жить на прямій, перпендикулярній до площини.

Отже, на прямій а, яка перпенди­кулярна до площини а , можна розмістити безліч відрізків, як і будуть перпендикулярні до площини а .

На рисунку 5.21 зображено різні випадки розміщення пер­пендикулярного до площини відрізка:

1) відрізок АВ лежить по один бік від площини а і не пере- гнмає її (рис. 5.21, а);

2) відрізок СВ перетинає площину а (кінці відрізка знахо­дяться у різних півпросторах) (рис. 5.21, б);

8) відрізок МО леж ить по один бік від площ ини а і точ­нії О - кінець відрізка - належить площині а (рис. 5.21, в).

Найчастіше на практиці мають справу з третім випадком. Тмісий відрізок М О називають перпендикуляром , проведеним * гіаної т очки до площ ини.

§ 5.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри

157

Page 157: 10 geom bi_u

М О ДУЛ Ь 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

Рис. 5.21П ерпендикуляром , проведеним з даної точки на площину,

називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площ и­ни і лежить на прямій, перпендикулярній до цієї площини (рис. 5.21, в). Кінець відрізка, який лежить на площині, нази­вається основою перпендикуляра.

П охилою , проведеною з даної точки до даної площини, на­зивається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точ­

кою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінець відрізка, що лежить на площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основу перпен­дикуляра і основу похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої.

На рисунку 5.22 відрізок А В - пер­пендикуляр, проведений з точки А на площину а . Відрізок АС - похила, про-

Рис. 5.22 ведена з точки А на ту саму площину а.Точка В - основа перпендикуляра, а точка С - основа похилої, відрізок ВС - проекція похилої АС на площину а . Кут АСВ, утворений похилою АС та її проекцією ВС, називають кутом нахилу похилої АС до площ ини а.

К ут ом між похилою і площ иною називається кут м іж по­хилою і проекцією цієї похилої на площину.

Власт ивост і перпендикуляра і п о хи ли хЯкщ о з однієї точки поза площиною провести до неї перпен­

дикуляр і похилі, то:1 ) з точки, що не належить площині, можна провести один і

тільки один перпендикуляр і безліч похилих;2) довжина перпендикуляра менша за довжину будь-якої

похилої;3) похилі, що мають рівні проекції, рівні м іж собою, і нав­

паки, рівні похилі мають рівні проекції;

Page 158: 10 geom bi_u

4) з двох похилих більшу довжину має та, яка має більшу проекцію, і навпаки, більша похила має більшу проекцію.

Доведіть ці властивості самостійно.Ш ироке застосування має властивість прямої, перпендику­

лярної до проекції похилої чи до похилої, яку називають тео­ремою про три перпендикуляри.

І <■ и р <• м а в (про т ри перпендикуляри).Якщо пряма, проведена на площині через основу

похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона пер­пендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпен­дикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Д ан о : В є а ,А В ± а , а є а ,С є а ,А С ± а .Д о в е с т и : пряма а _1_ СВ.

Доведення. Доведемо другу частину теореми. Нехай А В - перпендикуляр до площини а , АС - похила. П ря­ма а належить площині а , проходить через основу С

похилої і перпендикулярна до неї (рис. 5.23). Тобто а ± АС. Проведемо через основу похилої С пряму Ь, пара­лельну АВ. Матимемо Ь ± а , тобто Ь ± а. П рямі Ь і А В лежать в одній площині (3. Оскільки а і. АС і а ± Ь, то за ознакою а і. р. СВ с р. Отже, а ± СВ, що й вима­галося довести. Першу частину теоре-

Рис. 5.23 ми доведіть самостійно.

$ 5.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри

Задача. §Л точки до площини проведено дві похилі. Знайдіть довжини похи- мих, якщ о одна з них на 26 см біль­ша від другої, а проекції похилих дорівнюють 12 см і 40 см.

Д ан о : а , А В - перпендикуляр до площини а (рис. 5.24); АС і АО - похилі; АС < АО на 26 см; ПрцАС = ВС = 12 см; ПраАО = ВО = 40 см.

'.імайти: АС ІАО.Рис. 5.24

159

Page 159: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

Розв 'язанняНехай АС - х см, тоді

АО = (х + 26) см. У ДАВС (/.В = 90°): АС = х см - гі­потенуза; С В = 12 см - ка­тет. За теоремою Піфаго- ра: АС2 = ВС2 + А В 2, звідси А В 2=АС2- В С 2,А В 2 = х 2- 144. (1)

У ДАВ£> (АВ = 90°): АО = (х + 26) см - гіпоте­нуза; ВО = 40 см - катет. За теоремою Піфагора: АО2 = В.02 + А В 2, звідсиа в 2= а о 2 - в о 2,АВ2 = (де + 26)2 - 1600 == х2 + 52ж + 676 - 1600, АВ2 = х2 + 5 2 х -9 2 4 . (2)

З (1) і (2) маємо: х 2 + 52х - 924 = х2 - 144, 52х = 780, х - 15.АС = 15 см,АО = 15 + 26 = 41 (см).

Відповідь. 15 см і 41 см.

АВ - перпендикуляр до а , тому АВ _І_ ВС і АВ ± В£). Пер­пендикуляр, похила і її проек­ція утворюють прямокутний трикутник. Дві різні похилі, один перпендикуляр і дві про­екції утворюють два прямо­кутні трикутники зі спільним катетом. Скласти співвідно­шення між сторонами прямо­кутного трикутника можна за теоремою Піфагора. Алгебраїч­ний метод розв’язування спро­щує процес пошуку розв’язку. Знаходимо спільний катет для ДАВС і ААВБ:

А В 2 -А С 2 - ВС2 ІАВ2= А 0 2 -В£>2.

Звідси маємо рівність:АС2 - ВС2 = АО2 - ВО2

і відповідне рівняння з одні­єю змінною, що приводить до розв’язку задачі.

5.35°. Точка М не належить площині а , а точки ф, А , В - на­лежать їй, М Я 1 а . Доберіть до кожної назви відрізка всі мож ливі його позначення.

A) Перпендикуляр; Б) похила;B) проекція похилої.

АБВ

1) МА;2)АЯ;

‘ З )М Я ;4 )ВЯ;5)М В .

5.36°. З точки А до площини а проведено похилі АВ і АС ти перпендикуляр АО (рис. 5.25). Порівняйте проекції похилих, якщ о АВ = 2,5 см, АС = 3 см.

А) ОВ = ОС; Б) ОВ < ОС; В) ОВ > ОС.

Page 160: 10 geom bi_u

§ 5.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри А К

Рис. 5.25 Рис. 5.265.37°. До площини а проведено перпендикуляр КО та похилі

К Н і КЬ. Виберіть три правильні твердження (рис. 5.26).A) Якщо ОН < ОЬ, то КО > ОЬ;Б) якщ о ОЬ > ОН, то КЬ > КН ;B) якщ о КО > ОН, то К Н > ОЬ;Г) якщ о К Н < КЬ, то ЬО > ОН;Д) якщ о КО 1 а , то КО < К Н і КО < КЬ.5.38°. Через точку О - перетин діагоналей ромба АВ С Б — про­

ведено перпендикуляр КО до його площини (рис. 5.27). Вибе­ріть трикутники, я к і є прямокутними.

1) АВОК; 2) А ВИК; 3) ААКБ; 4) АКСВ; 5) АКОС.А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В ) 1 і4 ; Г) 2 і 5; Д) 1 і 5.5.39°. Відрізок М В - перпендикуляр до площини квадрата

АВСБ (рис. 5.28). Виберіть правильні твердження.1 )М В < М С ; 3) М А < МС; 5)М А = МС.2) МС > М Э; 4) М А < М Б;А) 1 ,3 і 5; Б) 2, 3 і 4; В) 1 ,2 і 4; Г) 2, 3 і 5; Д) 1 ,4 і 5.5.4000. Відрізок М В - перпендикуляр до площини квадрата

ЛВС£). У кажіть, користуючись рисунком 5.28, прямі кути.1) /.М АВ; 2) /М А В ; 3) АМ БА; 4) ZM.DC; 5) ZMCZ>.А) 1 і 2; Б) 1 і 3; В) 2 і 4; Г) 2 і 5; Д ) 3 і5 .

Рис. 5.27

II коситаЛгЦа, 1 0 кі(Вйіаліпа)

Page 161: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . . .

5.41°°. Відрізок Н А - перпендикуляр до площини прямокут­ного ДАВС (АС = 90°). У кажіть прямі кути (рис. 5.29).

1) АНВА; 3) АС НА; 5) АНСВ;2) АНАС; 4) А ВАН; 6) АНВС.

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 1 і 4; Г) 2 і 5; Д) 1 і 5.5.42°°. До площини квадрата АВС£> зі стороною а см проведе­

но перпендикуляр ИМ. Довжина проекції М В на площину ква­драта дорівнює І см. Ідентифікуйте кожному значенню а відпо­відне значення І.

1) І = 4\І2 см;2) 1 = 6\І2 см;3)1 = 4 см;4) / = 8 см;5)1 = 6 см.

АБВГ

д

A) а = 2\[2 см;Б) а = 4 см;B) а = 4\І2 см;Г) а = 3\І2 см;Д) а = 6 см.5.43°°. До площини квадрата АВС Б, площа якого дорівнює

в см2, проведено перпендикуляр І)М завдовжки 10 см. Довжи­на похилої М А дорівнює т см. Ідентифікуйте до кожної заданої площі квадрата 5 відповідне значення т.

А) 5 = 21см 2; 1 ) т = 12см;2) т = 16 см;3) т = 14 см;4) т = 13 см;5) т = 11 см.

Б) 5 = 96 см2; В) й = 44 см2; Г) Я = 69 см2; Д) 8 = 156 см2.

АБВГ

Д5.44°°. Дано куб АВС£ІА1В 1С1І)1 (рис. 5.30). Укажіть проек­

цію похилої І)С1 на кожну з площин, заданих умовами (А-Д).А) (АВС);Б)(А 1В 1С1);В) (ВВ1С1); Г)(А ^ Б ) ; Д )(В В 12)1).

1) х>х>і;2 )СІ);3 ) 0 1Х>;4 )С 1С; 5 )С 1£»1.

В

АБВГд

Рис. 5.30

162

Page 162: 10 geom bi_u

5.45*. Побудуйте проекцію діагоналі В г£> кубаАВСОА1В 1С1Б 1 на площину:

1) (АВС); 2) ( В Б ^ ) ; 3) ф С С ,).5.46*. Трикутник АВС прямокутний з прямим кутом С.

Відрізок А М перпендикулярний до площини трикутника АВС. Доведіть, що ДМ СВ - прямокутний.

5.47*. З точки М, яка лежить поза площиною трикутника АВС, проведено до цієї площини перпендикуляр М А, завдовж­ки 12 см. Знайдіть довжини похилих М В і МС, якщ о катети АС і ВС дорівнюють 4 см і 3 см відповідно.

5.48*. З точки А, яка лежить поза площиною а , проведено до площини перпендикуляр А В завдовжки 12 см і похилу АС, яка на 8 см більша від своєї проекції. Знайдіть довжину похилої.

5.49*. З точки А до площини а проведено дві похилі АВ та АС і перпендикуляр АСІ. Знайдіть довжини проекцій похилих А В і АС, якщ о АБ = 13 см, АС = 15 см, А(? = 12 см.

5.50*. З точки в , яка лежить поза площиною а , проведено до площини перпендикуляр БО завдовжки 15 см і похилу вА . Знайдіть довжину проекції цієї похилої на площину а, якщ о похила довша за свою проекцію на 3 см.

5.51*. З точки А до площини а проведено дві похилі А В і АС ;швдовжки 26 см і 30 см відповідно. Проекція похилої АВ до­рівнює 10см. Знайдіть довжину проекції похилої АС на площ и­ну а .

5.52*. З точки М до площини а проведено дві похилі М В і МС завдовжки 13 см і 15 см відповідно та перпендикуляр МА. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщ о одна із проекцій по- к илих на площину а на 4 см довша за іншу.

5.53*. Точки К і Б належать площині а, а М і N - площ и­ні р (а || р). Відрізок К М перпендикулярний до площини а . К М = 5 см, БАТ = 7 см. Знайдіть проекції відрізка БІУ на площ и­ни ех і р.

5.54*. Точки А і Б належать площині а , а точки С і Б - Площині р. Відрізок АС перпендикулярний до площин а і р, Л(' 10 см. Проекція відрізка В Б на одну із площин а чи р до-ріинює 24 см. Знайдіть довжину відрізка В Б.

5.55**. Діагональ В Б паралелограма АВСБ перпендикуляр­нії до площини а , вершини А і С належать площині а . Знайдіть інриметр паралелограма АВС О, якщ о АВ = 6 см.

5.56**. З деякої точки до площини проведено дві похилі, дов- жини яких відносяться як 5 : 6. Знайдіть довжину перпенди- и уляра, проведеного з цієї точки до площини, якщ о відповідні проекції похилих дорівнюють 4 с м із Тз см.

# 5.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри

163

Page 163: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

5.57“ . З деякої точки простору проведені до даної площини перпендикуляр завдовжки 12 см і похила, що дорівнює 15 см. Обчисліть довжину проекції перпендикуляра на похилу.

5.58". З точки М , узятої поза площиною р , проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Довжини проекцій цих похилих відносяться я к 7 : 1. Знайдіть довжину перпендикуля­ра, проведеного з точки М ДО П Л О Щ И Н И р .

5.59*. Через вершину прямого кута С прямокутного три­кутника АВС до його площини проведено перпендикуляр С£> завдовжки 1 дм. Знайдіть площу трикутника А В В , якщ о АС = 3 дм, ВС = 2 дм.

5.60“ . Сторони трикутника 15 см, 37 см і 44 см. З вершини найбільшого кута трикутника побудовано до його площини пер­пендикуляр Л завдовжки 9 см. Знайдіть довжину перпендикуля­ра Ах, проведеного з кінця перпендикуляра Л, який не належить площині трикутника, до більшої сторони трикутника.

5.61". Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 13 см і 20 см. Через вершину найменшого кута проведено перпендикуляр до площини трикутника, а з його кінця, що не належить трикут­нику, опущено перпендикуляр завдовжки 24 см на протилежну цьому куту сторону. Знайдіть довжину перпендикуляра, про­веденого до площини трикутника.

5.62". З вершини прямого кута С рівнобедреного трикутника АВС проведено перпендикуляр СР до площини трикутника. По­будуйте перпендикуляр з точки Р до гіпотенузи і знайдіть його довжину, якщ о СР = 24 см, А В = 36 см.

5.63” . З центра круга О радіуса 4 см проведено до площини круга перпендикуляр ОА. Через точку В кола проведено дотич­ну іШ і на ній відкладено відрізок ВС завдовжки 4%/3 см. Похи­ла АС дорівнює 10 см. Знайдіть довжину перпендикуляра О А

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпенди­куля р н и м и , якщо третя площина, перпендикулярна до пря­мої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (рис. 5.31).

Якщ о у П а = а, уГір = Ь, а П р = с, с ± у і а ± Ь , т о а ± р .Моделями перпендикулярних площин у навколишньому

світі є різні конфігурації предметів. Наприклад, ш катулка кришкою, двері, вікна, що відчиняються тощо. Принцип «від­кривання* частин моделей ґрунтується на перпендикулярності прямих, проведених перпендикулярно до прямої перетину (до лін ії кріплення) (рис. 5.32).

164

Page 164: 10 geom bi_u

$ 5.4. Перпендикулярність площин

Рис. 5.31 Рис. 5.32Перпендикулярні площини мають такі властивості:1) Будь-яка площина, яка перпендикулярна до лінії пере­

гину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпенди­кулярних прямих. І навпаки, площина, перпендикулярна до двох площин, що перетинаються, перпендикулярна до їхньої лінії перетину.

2) Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь- яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до їх ­ньої лінії перетину, перпендикулярна до другої площини.

3) Якщо дві площини взаємно перпендикулярні і з якої- небудь точки однієї з них опущено перпендикуляр на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Розглянемо їх дещо пізніше. Доведемо спочатку ознаку пер­пендикулярност і двох площ ин.

Т е о р е м а 7 (ознака перпендикулярност і пло- [ГП щин).

Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Д ан о : а, а ± а; а Г\ а = О; площина р проходить через а. Д о вести : Р ± а .

Доведення. Побудуємо довільну площину Р через пряму а і деяку точку К поза нею (рис. 5.33). О - спільна точка площин а і Р, тому вони перетинаються по деякій пря­мій Ь, що проходить через точку О. Проведемо на площині а деяку пря­му с ± Ь (на площині така пряма єдина). Оскільки а і а і а Л а = 0,

165

Рис. 5.33

Page 165: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

то а 1 с (О є с, О є Ъ, О є а). Отже, пряма с перпен­дикулярна до двох прямих а і Ь, як і перетинаються (с 1 а і с 1 £>). Побудуємо через прямі a i e площину у. Вона перпендикулярна прямій b (оскільки дві її прямі перпендикулярні до Ь). Отже, її лінії перетину з пло­щинами a і р утворюють прямий кут. Тобто площина у, яка перпендикулярна до прямої перетину b площини a і р, перетинає їх по перпендикулярних прямих a i e , що за означенням доводить перпендикулярність пло­щин a і р. Теорему доведено.

Тепер повернемося до властивостей перпендикулярних пря­мих і площин та доведемо деякі з них.

Т е о р е м а 8.Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то

будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпенди­кулярна до їхньої лінії перетину, перпендикулярна до другої площини.

Д ан о : а ± р, а П р = с, а 1 с а і а х і. с, с П а х =А.Д о в е сти : а х 1 р.

Доведення. Нехай площини а і р взаємно перпенди­кулярні (рис. 5.34), тобто деяка площина у, яка пер­пендикулярна до прямої с, перетинає їх по перпенди­кулярних прямих а і Ь.

Проведемо через точку А пряму Ьх, Ьх с Р , &1 Лс. Тоді аг і. с і Ьх X с, звідси площина, що проходитиме через прямі а.у і Ь1г буде перпендикулярною до прямої с. Ч е­рез те, що а ї р , перпендикулярними будуть і прямі а х X Ьх. Крім того, а х ± с (за умовою), тому а х 1 Р, що й вимагалося довести. Теорему доведено.

à166

Page 166: 10 geom bi_u

£ 5.4. Перпендикулярність площин

Т е о р е м а 9.Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з де­

якої точки однієї з них опущено перпендикуляр на дру­гу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Д ан о : а ± р, а П р = с ,А є Р, В є а , А В X а.Д о в е с т и :А В є р.

Доведення. Нехай площини а і р взаємно перпенди­кулярні (рис. 5.35). Тоді деяка площина у, яка перпен­дикулярна до прямої с, перетинає їх по перпендику­лярних прямих а і Ь.

Отже, дано а ± Ь та Ь ± с. Тобто Ь і а . У площині р через точку А проведено А В ± а. За наслідком, дві пря­мі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, будуть паралельні. А В || Ь. Отже, вони лежать в одній площині. Покажемо, що це площина р. Якщ о одна з двох паралельних прямих перетинає у площині пря­му с, то й друга перетинає її. Звідси випливає, що точ­ка В повинна належати прямій с. Тоді вона спільна для двох площин. Але якщ о дві точки А та В належать р, то вся пряма належить р. Щ. в. д. Теорему доведено.

Решту властивостей доведіть самостійно.

У

Рис. 5.35

:І точок Р і (?, як і лежать на двохи.пісмно перпендикулярних площи­нах (рис. 5.36), проведено перпенди куляри PH і <?С на пряму перетину н моїцин а і р. Знайдіть довжину від- ріика Рф, якщ о P H = 6 см, <?С = 7 см, ІІС 6 см.

Задача.

Рис. 5.36

167

Page 167: 10 geom bi_u

Дано: а і р , а п р = с; PH 1 с , Н є с; ОС 1 с, С є с; P H = 6 см, ОС = 7 см, НС = 6 см.

З н а й т и : Р(?.

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . . .

Розв’язанняОскільки а ї р , PH <= а ,

PH ± с, то P H X р, звідси PH 1 НО.

АРНО и Н = 90°) - прямо­кутний: P H = 6 см - катет, НО ~ катет, РО ~ гіпотену­за (шуканий відрізок). Роз­глянемо на площині р ДНОС: ОС 1 с, а отже, ОС 1 СН, тому АОСН = 90° і ДОСН - прямо­кутний.

З ДОСН (АС = 90°): ОС = = 7 см - катет; НС = б см - ка ­тет; НО - гіпотенуза, яка є не­відомим катетом для АР НО.

З А ОСН : НО2 = ОС2 + НС2 = = 49 + 36 = 85.

З ДРНО: РО2 = P H 2 + Н О2 = = 36 + 85 = 121.

Звідси, враховуючи що РО > 0, маємо РО = 11 см.

Відповідь. 11 см.

Для кожної геометрич­ної задачі важливо побу­дувати ланцюг логічних міркувань. У цій зада­чі важливо побачити не лише прямокутні трикут­ники на площинах а і р, а й використати ознаку та властивості перпендику­лярних площин. У такий спосіб можна вийти на но­вий прямокутний трикут­ник РНО чи ОСР, третю сторону якого знаходять за відомим і знайденим катетом. У цьому чи в ін­шому випадку РО залиш а­ється похилою, міняються лише перпендикуляри до відповідних площин а і Р та проекції похилої на пло­щину а чи на площину р.

і5.64°. Площини р і у перетинаються

по прямій с (рис. 5.37). Площина а перпендикулярна до прямої с і пере­тинає площину р по прямій т, а пло­щину у - по прямій п, причому т ± п. Укажіть взаємне розміщення пло­щин Р і у.

Б) перпендикулярні;В) перетинаються, але не перпендикулярні.

1 6 8 Іі т т вш ш

Рис. 5.37 А) Паралельні;

Page 168: 10 geom bi_u

Г ) а ± р .

5.65°. Дано дві площини а і р, я к і перетинаються по прямій І. На площині а лежать точки А і С, а на площині р - точки В і С, причому АС 1 ВС, 11 AC, I JL ВС. У кажіть можливе взаємне роз­міщення площин а і р.

А) а П Р; Б) а ||р ; В )а = Р;5.66°. Дано паралелограм ABCD і

ААСК. К Н - відрізок площини АКС, точка Я є АС (рис. 5.38). Виберіть умову, за якою можна стверджувати, що площини (АКС) і (ABC) перпенди­кулярні.

A) К Н - медіана ААКС і В Н 1 АС;Б) К Н - висота ААКС і В Н ± АС ;B) К Н - бісектриса ААКС і В Н 1 АС;Г) К Н - довільний відрізок площини (АКС) і К Н ±АС;Д) К Н - довільний відрізок площини (АКС) і К Н 1 (ABC).5.67°. У кажіть дві пари перпендикулярних площин куба

/IBCDAjBjC -Dj (рис. 5.39).A) (ADDj) і (BB^CJ; Г) (BCD) і (A jB ^ j) ;Б) (СС,D X) і (BBjC); Д) (А,АВ) і (С,СВ).B) (BjBA) і (DD^CJ;

§ 5.4. Перпендикулярність площин

А /і11

_/ /

Сі В

Рис. 5.39

5.68°. Площини, в яких лежать паралелограм АВСО і трапе­цій АОКЬ, перпендикулярні. В Н - висота паралелограма. По- і тинте у відповідність до кожної пари прямих (А -Д) їхнє вза- і мне розміщення (1-4) (рис. 5.40).

Л) ВН і LH; 1) Мимобіжні; АU )AD iK D ; 2) перетинаються, але не Б\ \)B H iK L ; перпендикулярні; ВV) ВС і LK; 3) паралельні; ГД) ВН і Н К . 4) перпендикулярні. Д

169

Page 169: 10 geom bi_u

5.69°°. Площини рівносторонніх трикутників АВС і ADC перпендикулярні (рис. 5.41). В М - медіана ДABC, В М = 5 см. Обчисліть довжину відрізка BD.

А) 10 см; Б) 5 см; В )5\/2см ; Г)2,5>/Зсм; Д)ч/бсм.

N

М О Д У Я Ь 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н ...

Рис. 5.425.7000. Площини квадратів АВСІ) і МИС В перпендикулярні,

ВС = 5 см (рис. 5.42). Обчисліть довжину відрізка АЛГ.

А)5>/2см; Б)5>/Зсм; В )5\/5см ; Г)2>/бсм; Д )3\/5см .5.71°°. Площини прямокутного трикутника АВС (/.С = 90°) і

квадрата АСРІЇ перпендикулярні (рис. 5.43). Сторона квадрата 6 см, гіпотенуза А В = 10 см. Знайдіть довжину відрізка ВР.

А) 6 см; Б) 10 см; В) 8 см; Г) 14 см; Д )1 2 см .

Рис. 5.435.72°°. Відрізок М К перпендикулярний до площини прямо­

кутного трикутника АВС =90°). КИ || АС, А К =К В , АС - 12 см,М К = 8 см. Знайдіть довжину відрізка М і'/ (рис. 5.44).

А) 20 см; Б) 16 см; В) 14 см; Г )10см ; Д )8 см .5.73°°. Площини рівнобедрених трикут­

ників АВС і АОС перпендикулярні (рис. 5.45), АС - їхня спільна основа. В К -

С медіана ДАВС, В К = 8 см, ИК= 15 см. Знай­діть довжину відрізка ВО.А) 8 см; В) 17 см; Д) 11,5 см.Б) 15 см; Г) 23 см;

Рис. 5.45

170

Page 170: 10 geom bi_u

Прикладні задачі

5.74*. Дано три різні площини а , Р і ер. Відомо, що а перпенди­кулярна до Р, а р перпендикулярна до <р. Яке взаємне розміщен­ня площин а і <р? (Відповідь обґрунтуйте.)

5.75*. Площини квадрата АВСО і прямокутного рівнобедре- ного трикутника А В К (АА = 90°) перпендикулярні. Сторона квадрата дорівнює 2 см. Знайдіть довжину відрізка КС.

5.76*. Точка в не належить площині прямокутника АБСІ). ЯВ 1 ВС і &В X АВ. Доведіть, що площина (ЙАВ) перпендику­лярна до площини (АВСО).

5.77*. З вершин А і С трикутника АВС проведено два відрізки: ЫА ± АВ, МС 1 АС, причому МА || МС. Доведіть, що площина (ANMC) перпендикулярна до площини (АВС).

5.78*. Відрізок МС - перпендикуляр до площини трикутника ЛВС, М£) ± АВ. Доведіть, що площини (МСІ>) і (АВС) перпенди­кулярні.

5.79*. Перпендикулярні площини а і р перетинаються по прямій а. У площині а проведена пряма, перпендикулярна до прямої а. Доведіть, що ця пряма перпендикулярна і до площи­ни р.

5.80**. Доведіть, що коли дві площини, як і перетинаються, перпендикулярні до третьої, то пряма їхнього перетину перпен­дикулярна до цієї площини.

5.81**. Три площини попарно перпендикулярні. Доведіть, що прямі їхнього перетину також попарно перпендикулярні.

5.82**. Відрізок завдовжки 25 см опирається кінцями на дві перпендикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до пло­щин дорівнюють 7 см і 15 см. Обчисліть проекції відрізка на кожну з площин.

5.83**. Відрізок завдовжки 25 см опирається кінцями на дві перпендикулярні площини. Проекції відрізка на ці площини порівнюють 24 см і 20 см. Обчисліть довжину перпендикулярів доданих площин.

Р 5.1. Як перевірити за допомогою вимірювань, чи є /А перпендикулярною до підлоги лін ія, по як ій з ’єднуються і, 'д в і суміжні стіни кімнати?5.2. Як перевірити за допомогою рулетки вертикаль­

ність стовпа?5.3. Як перевірити, чи перпендикулярна площина ко­

леса до осі, на яку воно насаджено?5.4. Чому бурульки, як і звисають з даху навесні, мож­

на вважати паралельними між собою, нехтуючи їхньою товщиною?

171

Page 171: 10 geom bi_u

ПР

ИК

ЛА

ДН

І З

АД

АЧ

І

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

Рис. 5.46

5.5. Під час виконання завдання з визначення вертикаль­ності стовпців для паркана учень перевірив вертикальність першого стовпчика, а далі, вимірюючи висоту кожного стовпця та відстані між стовпцями внизу і вгорі прийняв рішення щодо встановлення їхньої вертикальності. Чи пра­вильно виконував завдання учень?

5.6. Чому поверхня дверей, незалежно від того зачинені вони чи відчинені, розміщена вертикально до підлоги?

5.7. Наочною моделлю перпендикуляр­ної прямої і площини є колесо зі спицями та вісь (рис. 5.46). Вісь перпендикулярна до кожної спиці. Під час руху колеса спиці описують площину круга, на як ій містяться безліч відрізків, що перетинаються в одній точці. Якщо вісь розміщено горизонтально, то в якій площині буде обертатися колесо?Чому?

Вказівка. У площині, перпендикулярній до осі колеса.5.8. Десятикласники виконують на уроці фізичної культу­

ри стрибки у висоту. Підставкою для планки є куби з ребром 25 см і прямокутні паралелепіпеди, основа яких 25x25 см, а висота - 50 см. Як організувати стрибки у висоту на:

1) 125 см; 2) 150 см; 3) 175 см?5.9. На рисунку 5.47 зображено два вертикальні стовпи

та їхні тіні.За цими даними потрібно знайти положення джерела

світла (лампочки, ліхтаря) та його основи (проекції джере­ла світла на горизонтальну площину). Розв’яж іть задачу та дайте відповідь на запитання.

1) Чи істотно, що стовпи вертикальні?2) Чи істотно, що площина, на яку падають тіні, горизон­

тальна?3) Чи всі дані, наведені на рисунку, є необхідними?Розв’язання . Побудови, необхідні для розв’язування

основної задачі, представлено на рисунку 5.48.

І

Рис. 5.47 Рис. 5.48

172і

Page 172: 10 geom bi_u

Прикладні задачі

Для знаходження положення світла напрям стовпів не має значення; для знаходження положення основи джере­ла світла потрібно бути впевненим, що стовпи вертикальні. Якщ о стовпи вертикальні, а тіні падають на горизонтальну площину, то для розв’язування задачі достатньо задати на рисунку один стовп із тінню і лише напрям тіні від другого стовпа.

5.10. Круглий стіл накрито квадратною скатертиною з тонкої тканини (центр квадрата збігається з центром кру­га). На скільки кути скатертини ближче до підлоги, ніж се­редини П сторін? Прийняти сторону квадрата (скатертини) яя а.

Відповідь. а^ ~ 1) * 0,207а.2

5.11. Перпендикулярність стіни перевіряють за допомо­гою виска (шнур з тягарцем). Якщо він щільно прилягає до її поверхні, вважають, що вертикальність витримано. Чи пра­вильно це? На чому ґрунтується такий спосіб перевірки?

Вказівка. Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до іншої площини, то ці площини перпен­дикулярні.

5.12. Як намітити лінії, по яких потрібно відпиляти час­тину балки, щоб площина розпилу була перпендикулярною до будь-якого ребра цієї балки?

Відповідь. Щоб розпил був пер­пендикулярним до бруска, через точку А ребра слід провести перпен­дикулярно до нього прямі А В та АС, а потім розпиляти по них брусок.

5.13. Треба перевірити, чи пер- Рис. 5.49 пендикулярні одна до одної сусідні стіни в кімнаті. Як ви­користати для цього теорему Піфагора?

Розв’язання . Припустимо, що стіни у кімнаті вертикаль­ні, а підлога горизонтальна. По нижньому краю стін від точ­ки, яка лежить на лінії їхнього перетину, відкладемо відріз­ки А В та АС завдовжки 3 та 4 довільні одиниці (наприклад, дециметрів). Відрізки будуть перпендикулярними до лінії перетину площин стін. Тоді кут, який утворили побудовані відрізки, - це лінійний кут двогранного кута між стінами, і він буде прямим тоді і тільки тоді, коли довжина відріз­ка ВС дорівнюватиме 5 одиницям.

5.14. Щ об перевірити вертикальність стовпа, спостере­ження ведуть з двох пунктів, як і не лежать на одній прямій з основою стовпа. Обґрунтуйте такий спосіб перевірки.

Вказівка. Скористайтеся ознакою перпендикулярності прямої та площини.

173

Page 173: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

5.15. На недоступному узвишші встановлено високий стовп. Я к за допомогою виска перевірити його вертикаль­ність?

Розв’язання . Достатньо перевірити, що стовп знаходить­ся в одній площині з деякою вертикальною лінією, а також в одній площині (іншій) з деякою іншою вертикальною л і­нією. Якщ о розмістити висок перед собою так, щоб верхні кінці виска та стовпа опинилися на одній лінії з оком, то л і­нії виска та стовпа повинні збігатися. Обґрунтуванням цьо­го способу перевірки є, по-перше, те, що вертикальний стовп повинен лежати в одній площині з довільною вертикальною прямою. По-друге, якщ о дві паралельні прямі лежать у двох площинах, як і перетинаються, то ці прямі паралельні лінії перетину площин.

5.16. Горизонтальний промінь, паралельний площині од­ного з двох вертикальних плоских дзеркал, відбивається від другого дзеркала по прямій, яка перпендикулярна до пло­щини першого дзеркала. Знайдіть кут між дзеркалами.

Вказівка. Скористайтеся законами відбивання світла.Відповідь. 45°.5.17. Горизонтальний промінь відбивається від двох вер­

тикальних плоских дзеркал. Причому, спочатку промінь є паралельним площині одного дзеркала, а після двох відби­вань - площині другого дзеркала. Знайдіть кут м іж дзерка­лами.

Відповідь. 60°.5.18. Квадратну стальну платформу товщиною 5 м і пло­

щею 4 м2 підвішено горизонтально на чотирьох тросах. Дов­жина кожного троса 2 м. Обчисліть кути нахилу тросів до платформи. Чи вміститься на цю платформу циліндричний бак, висота якого 0,9 м, а діаметр основи 0,6 м?

Відповідь. 45°; бак вміститься на платформі.

і174

Page 174: 10 geom bi_u

З літопису геометрії

ЛІТОПИС'ÜOMETPI

Абу-ль-Фатх Омар Ібн Ібрахім ель-Хайям (1048-1131)

Абу-ль-Фатх Омар Ібн Ібрахім ель- Хайям - видатний середньоазіатський учений і поет. Наукові праці присвячені математиці, астрономії, філософії. За­пропонував детальну класифікацію і тео­рію графічного розв’язування кубічних рівнянь. Особливу увагу приділяв теорії паралельних прямих і вперше явно замі­нив V постулатів Евкліда більш простим твердженням. Можна вважати, що саме він уперше вивів деякі теореми неевклі- дових геометрій Лобачевського і Рімана. Світову славу принесли Омару Хайяму його чудові рубаї, як і по праву належать до шедеврів світової лірики. Математич­ні твори Омара Хайяма, як і дійшли до

наших днів, характеризують його як видатного вченого свого часу.

Микола Іванович Лобачевський(1792-1856)Зі всіх мов світу найкращою є мова мате­матики.

М. І. Лобачевський

Народився М. І. Лобачевський у Н иж ­ньому Новгороді в родині землеміра. «Бід­ність оточила його колиску», - згадував один з викладачів науковця. Але стан ро­дини ще більше погіршився після смерті

батька. Мати залиш илася з трьома малими дітьми та, рятую- чися від крайньої бідності, переїхала до Казані з надією отри- мпти підтримку родичів. У Казані М. Лобачевський прожив майже все ж иття. Завдяки своїм феноменальним здібностям пін у 14 років був зарахований до університету, у 18 років став магістром, у 21 - ад’юнктом (доцентом), у 23 - професором. З Цього часу починається його 30-річна професорська діяльність v рідному університеті, ректором якого він обирався шість ра- <іІ а поспіль.

Н історію математики М. Лобачевський увійшов як перша людина, яка виступила з новою теорією геометрії, тим самим іітюював собі почесне звання «Коперник геометрії». Лоба- Цвнський зробив сміливий висновок про те, що можливе іс- нvаання геометрії, яка ґрунтується на запереченні аксіоми

175

Page 175: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН..

паралельності Евкліда. Усе ж иття він присвятив створенню цієї «уявної геометрії», яка зараз називається геометрією Ло­бачевського. У цій геометрії до даної прямої можна провести нескінченно багато прямих, їй паралельних. Це була справ­ж ня революція в науці. «Легше було зупинити Сонце, лег­ше було зрушити Землю, ніж звести паралелі до сходження» (В. Ф. Каган).

За життя вченого його геніальні ідеї не були сприйняті. Геометрія Лобачевського отримала поширення лише через 15 років після його смерті, коли нарешті стало зрозуміло, що «Лобачевський був не лише Коперником геометрії, але й Ко- перником усього нашого мислення* (Е. Т. Белл).

Георг Ф рідріх Бернхард Р ім ан (1826-1866)Моя головна робота - нове розуміння відо­мих законів природи.

Г. Ріман

Г. Ріман - людина з блискучою інтуї­цією. Своєю всеохоплюючою геніальністю він перевершує всіх своїх сучасників. Там, де пробудилася його цікавість, він завжди приступає до дослідження по-новому,

його не стримують традиції, він не визнає обмежувальних ра­мок якоїсь системи.

Народився вчений у селі Брезеленц поблизу міста Данен- берг (Нижня Саксонія) у сім’ї лютеранського пастора. Він ріс хворобливим хлопчиком, відрізнявся від однолітків несміли­вістю та скромністю. У школі Ріман не був блискучим учнем. За бажанням батька він вступив на теологічний факультет Гет- тінгенського університету, але дуже швидко його схильність та цікавість до точних наук взяли гору, і молодий студент ви­рішив повністю присвятити себе математиці. У 25 років він захистив дисертацію й отримав ступінь доктора математики, у 29 був призначений професором університету в Геттінгені. Лише 15 років тривала наукова діяльність Рімана, але її р<> зультатом став значний внесок майже в усі галузі математики.

Надзвичайно великий вплив на розвиток математичних 1 фізичних ідей мала праця Рімана «Про гіпотези, що лежать її основі геометрії», в якій він дав класифікацію всіх існуючих видів геометрії, вклю чаю чи вж е знайдені неевклідові геометрії, і показав можливість створення нових геометричних просто рів. Успіху в науці Ріман досяг завдяки своєму універсальному підходу до явищ природи, незвичайному відчуттю і розумінню зв’язків між, як здавалося раніше, різнорідними явищами.

176

Page 176: 10 geom bi_u

Ф

1. Я кі прямі простору називаються перпендикулярними?2. Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, мож­

на провести через точку цієї прямої?3. Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, мож­

на провести через точку, що не лежить на цій прямій?4. Я к розміщені дві прямі простору, як і перпендикулярні до

однієї і тієї самої прямої?5. Я ка пряма називається перпендикулярною до площини?6. Я к спрощує вимоги перпендикулярності прямої і площини

їхня ознака?7. Чи можна стверджувати про перпендикулярність прямої

до площини круга, якщ о вона перпендикулярна до одного з його діаметрів?

8. Чи можна стверджувати про перпендикулярність прямої і площини паралелограма, якщо вона перпендикулярна до кожної з його діагоналей і проходить через точку їхнього перетину?

9. Відомо, що пряма а перпендикулярна до деякої прямої Ь і площини а . Яке взаємне розміщення прямої Ь і площини а?

10. Площина у перетинає площину а , але не перетинає площи­ну р. Яке взаємне розміщення площин а і р?

11. Які дві площини називаються перпендикулярними?12. Чи можна провести пряму, перпендикулярну до кожної з

двох площин, як і перетинаються?13. Який відрізок називають перпендикуляром до площини, а

який - похилою?14. Я к побудувати проекцію похилої на площину?15. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.16. Як порівняти довжини похилих, проведених до площини з

однієї точки, маючи довжини їхніх проекцій?17. Як порівняти довжини проекцій похилих, маючи довжини

похилих, проведених до площини з однієї точки?18. Чи може перпендикуляр мати більшу довжину, ніж похи­

ла, якщ о вони проведені з однієї точки?19. Чи може проекція похилої бути довшою за саму похилу?20. У прямокутному паралелепіпеді АВС£)А1В 1С1і31 сполучили

точки і В. Як пояснити, щ оЛ 1В ± ВС721. Чи буде у прямокутному паралелепіпеді відрізок пер­

пендикулярний до ВС?'•’2. Відомо, що площини а і р - перпендикулярні. Чи кожна

пряма площини а буде перпендикулярною до площини р?

Запитання для самоконтролю

Запитання для самоконтролю

• <йютвМ)а. 10 И (Вйіапіпа) 177

Page 177: 10 geom bi_u

23. Відомо, що пряма а перпендикулярна до площини р і нале­жить площині а . Чи можна стверджувати, що площина а

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . . .

перпендикулярна до площини Р?

Частина 1Завдання 1—16 мають варіанти відповідей, з яких правиль

на тільки ОДНА або конкретна кількість. Виберіть правильну відповідь.

1°. Дано пряму т і точку М , що лежить на ній. Укажіть кіль­кість прямих, що проходять через точку М перпендикулярно до прямої т.

А) Одна; Б) дві; В) три; Г) безліч; Д) жодної.2°. Дано площину а і точку О є а . Укажіть кількість прямих,

що проходять через точку О перпендикулярно до площини а .А) Одна; Б) дві; В) три; Г) безліч; Д) жодної.3°. Дано площину со і точку ф ё ю. Укажіть кількість прямих,

що проходять через точку перпендикулярно до площини со.А) Одна; Б) дві; В) три; Г) безліч; Д) жодної.4°. П ряма А М проходить через вершину А трикутника АВС

і А М 1 А В , А М ± АС. У каж іть взаємне розташ ування пря­мої А М і площ ини трикутника АВС.

A) Пряма паралельна площині трикутника;Б) пряма лежить на площині трикутника;B) пряма перпендикулярна до площини трикутника;Г) пряма перетинає площину трикутника, але не перпенди­

кулярна до неї.5°. Пряма М В перпендикулярна до площини прямокутника

АВСО (рис. 5.50). Виберіть прямі, як і перпендикулярні до пря­мої М В.

1) АВ; 2) АО; З)В£>; 4) ИС ; 5)ВС; 6) АС.

А) 1 ,3 і 5; Б) 2, 4 і 6; В) 1 ,2 і 5; Г) 3, 4 і 6; Д) 1 ,3 і 6.6°. На рисунку 5.51 зображено прямокутник АВС Б, Б е (АВС),

5В _1_ (АВС). Виберіть трикутники, у яких один я кутів прямий за теоремою про три перпендикуляри.

1) ДА5В; 2) ДА&О; 3) ДЯВІ); 4) Д5СІ>; 5) ДЯВС.

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 2 і 6; Д ) 1 і4 .

178

Page 178: 10 geom bi_u

вТест для самоконтролю

Рис. 5.50 Рис. 5.517°. Відрізок КС перпендикулярний до площини паралело­

грама АВСВ (рис. 5.52). У кажіть взаємне розміщення площин (КСБ) і (АВС£>).

А) Паралельні; В) перпендикулярні;Б) збігаються; Г) перетинаються, але не перпендикулярні.8°. З точки А до площини а проведено перпендикуляр АО і

похилу АВ. АО = 6 см, А В = 9 см. Знайдіть довжину проекції по­хилої АВ на площину а.

А) б см; Б) 9 см; В) 7,5 см; Г) 3%/б см; Д)5ТЗ см.9°°. Через вершину В ромба АВСВ проведено пряму БВ пер­

пендикулярно до площини ромба. Виберіть три правильні твер­дження.

А) БВ ± АВ; В) Б В 1 СИ; Д) Б В І В В .Б) ЯВ 1 ВА; Г) ЯВ 1 СВ ;10°°. Через вершину В квадрата АВСВ проведено перпенди­

куляр В Н (рис. 5.53). Визначте взаємне розміщення діагоналі квадрата АС і похилої НО (О - точка перетину діагоналей квад­рата).

А) Мимобіжні; В) перпендикулярні;Б) перетинаються; Г) паралельні.

В

Рис. 5.52 Рис. 5.5311°°. З точок А і С, що не належать площині а , проведено до

площини два перпендикуляри А В і СИ. АВ = 9 см, СВ = 17 см, АС - 10 см. Знайдіть довжину відрізка ВВ.

А) 8 см; Б) б см; В) 10 см; Г) 5 см; Д) 12 см.

12°°. Сторона квадрата АВСВ дорівнює 42 см. Через верш и­ну В до площини квадрата проведено перпендикуляр 5В = 1 см. < ><>числіть довжину відрізка БА.

І 179

Page 179: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І п л о щ и н . .

А)л/2см; Б )\/З см ; В )\/5см ; Г) 1 см; Д )2 см .13°°. Знайдіть довжину В2)1 - діагоналі куба А В С БА 1В 1С10 1,

якщ о ребро куба дорівнює 2 см.А)3>/2см; Б) 272 см; В )2%/Зсм; Г )4 \/2 см; Д)4%/Зсм.

14°°. У прямокутнику АВС Б проведено осі симетрії МЫ і К Ь, що перетинаються в точці О (рис. 5.54). З точки О проведено перпендикуляр ОБ. Визначте пари пер­пендикулярних площин.1) (М БЮ і (АВС); 4) (КБЬ) і (МЯЛГ);2) (МЯІУ) і (А5С); 5) (АВС) і (ВЯЯ).3) (КБЬ) і (АВС);

А) 1, 2 і 3; В) 3, 4 і 5; Д) 1 ,2 і 5.Б) 2, 3 і 4; Г) 1 ,3 і 4;

15°°. З точки А до площини а проведено дві похилі АВ = 15 см і АС = 13 см. Обчисліть проекцію похилої АС, якщ о проекція похилої АВ дорівнює 9 см.

А) 9 см; Б) 12 см; В) 5 см; Г) 10 см; Д) 6 см.1600. З точки А до площини а проведено перпендикуляр А К

і дві похилі А Г = 13 см та АО = 7 см. Знайдіть довжину проекції похилої АО на площину а , якщ о проекція похилої А Т на а до­рівнює 12 см.

А )2ТЗсм; Б) 4 см; В )4\/2см ; Г)3>/3см; Д)2>/бсм.

• Частина 2Розв’яжіть завдання 17—28 з коротким записом ходу мірку-

ВЯНЬ«

17*. До площини прямокутного трикутника АВС ( / С = 90°) через вершину С проведено перпендикуляр МС завдовжки 3 см. Знайдіть довжину похилої М А, якщ о АВ = 6 см, а ВС = 2\/б см.

18*. Через точку О перетину діагоналей прямокутника МЫКЬ проведено перпендикуляр БО до його площини. Знайдіть дов­жину відрізка БО, якщ о М Б = 13 см, М Ь = 6 см, ЬК = 8 см.

19*. Сторона квадрата АВС Б дорівнює 2 см. З точки А до пло­щини квадрата проведено перпендикуляр М А = 1 см. Знайдіть довжину відрізка МС.

20*. Відрізок &В - перпендикуляр, проведений до площи­ни квадрата. Знайдіть довжину відрізка вХ), якщ о АВ = 12 см, ЭС = 16 см.

21*. З точки К до площини а проведено перпендикуляр КО і похилу К М . Знайдіть довжину похилої, якщ о вона на 2 см дов­

180

Page 180: 10 geom bi_u

Тест для самоконтролю

ша, ніж перпендикуляр, а довжина проекції цієї похилої дорів­нює 10 см.

22*. З точки М до площини а проведено перпендикуляр М В і похилу МА. Проекція похилої більша за перпендикуляр на 7 см. Знайдіть довжину проекції похилої, якщ о похила М А = 17 см.

23*. Площини рівносторонніх трикутників М Ы К і МЫР перпендикулярні. Висоти цих трикутників дорівнюють 4%/2. Знайдіть довжину відрізка К ґ .

24*. Діагоналі квадрата АВСБ перетинаються в точці О. ОМ - перпендикуляр проведений до площини квадрата.МА = 53 см, АВ - 28л/2 см. Знайдіть довжину відрізка МО.

25*. З даної точки до площини а проведено дві похилі, різни­ця довжин яких дорівнює 6 см. їхні проекції на цю саму пло­щину а відповідно дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину а .

26*. З точки до площини проведено перпендикуляр і дві по­хилі завдовжки 4 см і 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо їхні проекції відносяться як 1 : 7.

27*. У правильному ААВС зі стороною 8 см провели медіану АО. Через точку О побудували перпендикуляр ОБ до площини трикутника завдовжки 4 см. Знайдіть довжину відрізка АО.

28*. Відрізок В К - медіана рівнобедреного трикутника з основою АС завдовжки 24 см і бічними сторонами, рівними 20 см. Через вершину В проведено перпендикуляр до площини трикутника ВБ, що дорівнює 8^5 см. Знайдіть довжину відріз­ка БК.

• Частина ЗРозв’яжіть завдання 29—32 з повним обґрунтуванням.29**. З точок А і В, як і лежать у перпендикулярних площи­

нах, опущено перпендикуляри А Н і В(} на пряму перетину площин. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщ о А Н = а, В() = Ь, ІИ) = с.

ЗО**. З точок М і N . як і лежать у перпендикулярних площи­нах, опущено перпендикуляри М К і Л^Т на пряму перетину н пощин. Знайдіть довжину відрізка МЫ, якщ о М Т = а, N1С = Ь,К'Г = с.

81**. Відрізки АС і В Б - два перпендикуляри, проведені до и іющини а. Точки А і В лежать по різні боки від площини а. Ііиіійдіть довжину відрізка АВ, якщ о АС = 30 см, В Б - 18 см і ( ’/) 16см.

32**. Площина трапеції АВ С Ь і площина трикутника А В М ін'Ііптинаються по прямій І. А В = 8 см, В М = 6 см, А М - 10 см. Ин іннчте умови, за яких пряма І буде перпендикулярною до и цини (СВМ ).

181

Page 181: 10 geom bi_u

М О Д У Л Ь 6

" і ж щ т т

п о с ? о | р і

Кожна людина зі здоровим глуздом

не сумніваєт ься в т ом у, що геометричні твердження

повинні одержувати чисто практичне застосування

в от очуючому середовищі.Г. Гельмгольц

Page 182: 10 geom bi_u

Кути між прямими у просторіКути між прямою і площиною у просторіКути між площинамиВідстані у просторі

між точками та прямими між точкою і прямою між точкою і площиною між площиною і паралельною їй прямою між паралельними площинами

Ортогональне проекціювання. Площа ортогональної проекції многокутникаПрактичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин

Опрацювавши цей модуль» ви дізнаєтеся:як визначити кут між двома прямими простору, що лежать в одній площині:як визначити кут між двома мимобіжними прямими; як визначити кут між двома прямими простору, що не лежать в одній площині;як визначити кут між прямою і площиною у просторі; як визначити кут між двома площинами;як знайти довжину відрізка, що визначає відстань між точкою і прямою (площиною);як знайти довжину відрізка, що визначає відстань між двома прямими (площинами); як знайти довжину відрізка, що виражає відстань між двома мимобіжними прямими; як застосувати ортогональне проекціювання при розв’язуванні задач; як знайти площу ортогональної проекції многокутника;як застосувати відношення між прямими і площинами у просторі, вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об’єктів оточуючого світу.

Page 183: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Кути у просторі

У планіметрії кут - це геометрична фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки - вершини кута (проме­ні - сторони кута). Таке означення поняття кута переноситься і в стереометрію. Кути у просторі розглядаються між двома пря­мими, прямою і площиною, двома площинами.

Опишемо та означимо кожний із вищенаведених випадків.

1. К ут між двома п рям им и у просторіДві прямі, як і лежать на одній площині, при перетині утво­

рюють суміжні та вертикальні кути. У модулі 1 ми повторили всі властивості таких кутів, зокрема важливо пам’ятати, що вертикальні кути рівні, а суміжні - доповнюють один одного до 180°. У просторі також зберігаються всі назви і поняття, що іс­нують про кути та їхні величини з планіметрії. Так, менший з кутів, які утворюють дві прямі, що перетинаються, називають кут ом між прям им и . Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90°. Вважають, що паралельні прямі теж утворюють кут, який дорівнює 0°. Також у стереометрії розглядають кут між мимобіжними прямими. Нехай дано мимобіжні прямі а і Ь (рис. 6.1, б). Виберемо у просторі довільну точку і проведемо через неї дві прямі, паралельні мимобіжним (рис. 6.1, а, в), або ж виберемо точку на одній із мимобіжних (рис. 6.1, б) і побуду­ємо тільки одну пряму, паралельну інш ій. Кут м іж побудова­ними прямими називають кутом між мимобіжними прямими.

К ут ом між мимобіж ними п рям им и називається кут між прямими, як і перетинаються і відповідно паралельні мимо­біжним. ф - кут між мимобіжними прямими Ь і а (рис. 6.1). Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються, оскільки паралельне перенесення зберігає рівність відповід­них кутів з паралельними сторонами. Наприклад, якщ о Ь - а, а с а , то кутом м іж прямими Ь і а буде кут м іж прямими а та Ь2, де Ь2 II Ь,Ь2с а (рис. 6.1, б).

а бРис. 6.1

в

184

Page 184: 10 geom bi_u

§ 6.1. Кути у просторі

Отже, аЬ) = Z (a1£>J) = Z(ab2) = Z(fra2) = /,(а3Ь^. Якщо Z (a2b) = 90°, то Z(ab) = 90°. Однак про перпендикулярність ми­мобіжних прямих не кажуть, оскільки витримується означен­ня поняття перпендикулярних прямих.

2. К ут між прям ою і площ иною у просторіПро кут нахилу прямої до пло­

щини говоритимемо, коли пряма Аперетинає цю площину. Щоб по­будувати, наприклад, кут між пря­мою а і площиною а (О є а, О є а), послідовно виконують такі кроки (рис. 6.2):

1) вибирають точку А прямої а (А е а);

2) проводять з точки А перпен­дикуляр на площину а (АС 1 а ,С є а);

3) проводять через точки площини О і С пряму Ь.Пряму Ь називають проекцією прямої а на площину а.К ут ом між прямою і площ иною називається кут між цією

прямою і її проекцією на площину. Якщо пряма а перпендику­лярна до а , то кут між нею і площиною дорівнює 90°, якщ о па­ралельна, то - 0°.

Коротко позначають кут між прямою а і площиною а за до­помогою символів «Z» або «Л»: Z (aa) або (аа). Читають: «кут між прямою а і площиною а » .

3. К ут між двома площ инам и прост оруПряма на площині розбиває її на дві півплощини. Дві пів-

нлощини можуть мати спільну пряму і не утворювати одну площину. У цьому випадку вони утворюють фігуру, яку нази­вають двогранним кутом.

Д вогранним кут ом називається фігура, утворена двома пів- іілощинами разом зі спільною прямою, що їх обмежує. Цю пря­му називають ребром двогранного кута.

Якщо двогранний кут перетнути площиною, перпендику­лярною до його ребра, то промені, по яких вона перетинає за­дані півплощини, утворюють л ін ій ­ний кут , наприклад Z(a6) (рис. 6.3).За міру двогранного кута прийма­ють міру його лінійного кута.

Площини, що перетинаються, утворюють чотири кути. Щоб ви­тичити кут між двома площинами, щюводять площину, перпендикуляр- Рис. 6.3

185

Page 185: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

ну до прямої їхнього перетину. Вона перетинатиме дані площи­ни по двох прямих. Кут між цими прямими називається кутом між даними площинами. Тобто кут між двома площ инами, які перетинаються - це кут між двома прямими, які належать цим площинам і перпендикулярні до прямої їхнього перетину.

Z(aP) = /.(аЬ), д е а П р = с , а 1 с , а с а , Ь 1 с , Ь с Р (рис. 6.3).Якщо лінійний кут - прямий, то площини - перпендикуляр­

ні. Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°.

Т е о р е м « І,Кут між площинами не залежить від місця побудо­

ви лінійного кута.

Доведення. Виберемо точки А і В (рис. 6.4), як і на­лежать прямій а, лінії перетину площин а і р, та по­будуємо два лінійні кути для площин а і р. Для цього

проведемо площини у, і у2, перпендикуляр­ні прямій а, як і перетнуть площини а і Р по прямих аг і Ьх та а2 і Ь2. Прямі а 1 і а2 лежать в площині а і перпендикулярні до прямої а, тому вони паралельні, аналогічно 61 || Ь2. Якщо до площини уІ застосувати паралель­не перенесення, яке переводить точку А в точку В, то пряма а 1 збіжиться з прямою а 2, а пряма Ь1 з прямою Ь2. Це можливо, оскільки прямі паралельні. А тому площи­ни ух і у2 збігаються, звідси збіг лінійних кутів і відповідно їх рівність. Теорему дове­дено.Рис. 6.4

Рис. 6.5

Задача.Кінці відрізка завдовжки 24 см належать двом перпендикулярним площинам. Від­стані від кінців відрізка до лін ії пере­тину даних площин дорівнюють 12 см і 12уі2 см. Знайдіть кути, утворені відрізком із цими площинами.Д ан о : а , р, а 1 р, а П р = с; А В - відрізок,

А е а , В є Р; ААХ і. с, В В 1 - іс ,А 1 є с, В 1 є с; А В = 24 см, АА1 - 12\І2 см, В В 1 = 12 см.

З н а й т и : кути, утворені відрізком А В з площинами а і р.

186

Page 186: 10 geom bi_u

§ 6.1. Кути у просторі

Розв’язанняА, і В х - проекції точок А і

В на площини Р і а відповідно. Оскільки а і |3, с (або А 1В 1) - пряма перетину цих площин, тому В В Х1 а , АА1 ± р.

Отже, ДАВАХ і ААВВ1 - пря­мокутні, у яких:А А Х = 12^2 см, В В г = 12 см, А В = 24 см, за умовою.

З ААВВ1 (ZAB1B= 90й):

зіп /В А В у = АВ 24 2

ZBAB1 = 30°.З А А В А 1 ( /А А 1В= 90°):

sinZABAj =

ZABAj = 45°.

AAj _ 12^2 уі2АВ 24

Відповідь. 30°; 45°.

У цій задачі важ ли­во побудувати проекції кінців відрізка на іншу перпендикулярну до неї площину. При цьому слід пам’ятати, що вони повин­ні лежати на прямій пере­тину даних перпендику­лярних площин, згідно з властивостями перпенди­кулярних площин. Далі, розглядаючи прямокутні трикутники, слід пра­вильно використовувати означення синуса кута як відношення протилежно­го катета до гіпотенузи і таблицю значень:

1 /2s in 30° = —, sin45° = — .

2 2

6.1°. Відомо, що прямі а і Ь, як і розміщені у просторі, перпен­дикулярні та кут м іж ними дорівнює а . Виберіть правильне твердження.

А) а = 30°; Б) а = 45°; В) а = 60°; Г )а = 90°; Д )а = 1 2 0 ° .6.2°. Пряма а перпендикулярна до а

площини со і перетинає ї ї в точці О (рис. 6.6). Пряма Ь проходить через точ­ку О і належить со. У кажіть величину с0 О ькута між прямими а і Ь.

А) 60°; В) 120°; Д) 30°.Б) 90°; Г) 45°; Рис- 6 66.3°. З точки В до площ ини у проведено перпендикуляр ВА і

похилу ВС, кут між якими 45°. Визначте довжину перпендику­ляра, якщо довжина проекції 6 см.

А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см; Д) 9 см.

187

Page 187: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

6.4°. Дано прямі а і Ь, кут м іж якими а. У кажіть до кожного можливого взаємного розміщення цих прямих (А-Г) величину кута а (1-4).

1) 0° < а < 90°;2) а = 90°;3) а = 0°;4) 0° < а < 90°.

АБВГ

А) а || Ь Б )аГ \Ь В )а ± Ь Г ) а ^ Ь ,6.5°. Виберіть три величини кутів, як і можуть виражати ве­

личину кута між мимобіжними прямими.А) 0"; Б) 50°; В) 180°; Г) 75°; Д) 45°.6.6°. З точки Т під кутом 45° до площини у проведено похи­

лу ТМ . Укажіть два рисунки, на яких правильно зображено кут між похилою і площиною.

о

6.7°. Через вершину С паралелогра­ма АВС Б проведено перпендикуляр МС до його площини (рис. 6.7). Поставте у відповідність до кожного кута між пря­мою і площиною (А-Г) його позначення ( 1- 6 ).

A) Кут між М В і (АВС); Б) кут між М И і (АВС);B) кут між МС і (АВС); Г) кут між М А і (АВС).

1) /ІМ СБ2) Z^fБC3)^М О С4) АМСВ5) г.МАС6) АМСА.

АБВГ

6.8°. Перпендикуляр БВ проведено до площини квадрата АВСЭ (рис. 6.8).

188

Page 188: 10 geom bi_u

§ 6.1. Кути у просторі

Виберіть таку назву кута, яка відповідає чотирьом із п’яти ви­значених умов (1-5), і таку, яка б не підходила до жодної з них.

A) Прямий кут; Б) гострий кут;B) тупий кут.

1 ) /Б А Б2) ZSAB3) ZS.DB4) ZS.DC:5) ZS^)A.

АБВ

Рис. 6.8 Рис. 6.96.9°°. Через катет ВС прямокутного трикутника АВС проведе­

но площину ф (рис. 6.9). Укажіть кут між площинами (АВС) і <р.А) ZACD; Б) ZBCO; В) ZABO; Г) ZAOC; Д) ZABO.6.1000. Площина а проходить через

основу АС рівнобедреного трикутника АБС, В Н - перпендикуляр до площини а , В£> - медіана ДАВС (рис. 6.10). Ука­ж іть кут між площинами (АВС) і а .

А )/В И Н ; В )/В С Н ; Д) /А Н С .Б) /.ВАН ; Г) /В Н Б ;6.11°°. З точки К до площини проведе­

но перпендикуляр і похилу завдовжки 24 см. Кут між похилою і площиною до­рівнює 30°. Знайдіть довжину перпендикуляра.

А )24\/Зсм ; Б)24%/2см; В)12>/3см; Г)12\/2см; Д )12см .6.12°°. З точки А до площини проведено перпендикуляр і по­

хилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.

А) 10 см; Б)10Т 2см ; В)10%/Зсм; Г)20>/2см; Д )20>/Зсм.6.13°°. З точки М до площини проведено перпендикуляр і ЫО-

ч илу, кут між яким и 60°. Знайдіть довжину похилої, якщ о пер­пендикуляр завдовжки 20 см.

А )20Т2см; Б )10 \ /З см; В)20л/3см; Г )40см ; Д)10>/2см.

Рис. 6.10

189

Page 189: 10 geom bi_u

6.14°°. Площини квадрата АВСО і прямокутного ДАВМ ( / В = 90°) перетинаються по прямій АВ (рис. 6.11). У кажіть кут між цими площинами.

А) АМ КЬ\ Б) /М В Б \ В) ZMBC; Г) ZMAD; Д) /.М АС.6.15°°. До площини квадрата АВСО проведено перпендику­

ляр в Б . Точка в сполучена з вершиною А квадрата. Визначте, яким е трикутник ЙАО.

А) Прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.6.16°°. Кут АВС - лінійний кут двогранного кута з ребром т.

Укажіть взаємне розміщення прямої т і площини (АВС).A) Пряма і площина (АВС) паралельні;Б) пряма і площина (АВС) перпендикулярні;B) пряма т лежить на площині (АВС).6.17°°. Кут М КМ - лінійний кут двогранного кута з ребром с.

Укажіть взаємне розміщення площини (М КИ) і прямої с.A) Пряма лежить на площині (М К ЛГ);Б) пряма паралельна площині (М К И );B) пряма перпендикулярна до площини (М КМ ).6.18°°. На площині а лежать дві прямі а і Ьх, як і перетина­

ються під кутом 30°. П рямі Ь і Ьг - паралельні, а прямі а і Ь - мимобіжні. Визначте кут між прямими а і Ь (рис. 6.12).

A) (аЬ) = 150°; Г) (аЬ) = 60°;Б) (аЬ) = 0°; Д) (аЬ) = 90°.B) (об) = 30°;

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

М

В / ' .с к — 1 / \ ь

А У £>

Рис. 6.11 Рис. 6.126.19°°. З точки А до площини а проведено похилу АВ і пер­

пендикуляр АС. Кут м іж похилою і площиною а дорівнює 60°, АВ = а. У кажіть два вирази, за якими можна знайти довжину проекції похилої АВ на площину а.

А )азіп 60°; Б )асоз60°; В )— - — ; Г )— - — ; Д )аз іп 3 0 ° .віп60° сов 60°

190

Page 190: 10 geom bi_u

§ 6.1. Кути у просторі

6.20ОС. На рисунку 6.13 зображено куб ABC.DAjBjCj.Dp у якому проведено переріз А АВС1І)1. Визначте кут нахилу площини пе- 1 рерізу до площини (АВСІ)) (рис. 6.13). і / 1

5 .

/п<ч'і 1 1

' /А) 90°; В) 135°; Д) 150°.Б) 45°; Г) 30°;6.21*. З ТОЧКИ ДО П Л О Щ И Н И проведено ПО- р ИСі 6.13

хилу завдовжки 12 см. Знайдіть кут, який утворює похила з площиною, якщ о проекція похилої дорів­нює 6 см.

6.22*. З точки А до площини а проведено перпендикуляр АО завдовжки бТз см і похилу А К . Знайдіть кут, який утворює по­хила А К з площиною а , якщ о її проекція дорівнює 5 см.

6.23*. З точки до площини проведено дві похилі. Одна з них завдовжки 4%/з см і утворює з площиною кут 60°. Знайдіть дов­жину другої похилої, якщ о вона утворює з площиною кут 30°.

6.24*. Доведіть, що рівні похилі, проведені до однієї площи­ни з однієї точки, взятої поза площиною, утворюють з площи­ною рівні кути.

6.25*. Точка О - центр квадрата. ОМ - перпендикуляр до площини (АВСО). Доведіть, що похилі МА, М В , МС, М І) на­хилені до площини (АВСІ)) під однаковим кутом.

6.26*. Точка О - центр квадрата. ОБ - перпендикуляр до пло­щини (АВСІ)). Точки К , Ь, М , N - середини сторін А В , ВС, СІ), АБ відповідно. Доведіть, що похилі БК, БЬ, БМ , S N нахилені до площини (АВСІ)) під однаковим кутом.

6.27*. АВСІ) - прямокутник, М А - перпендикуляр до площи­ни прямокутника, І)С = 3 см, ВС = 4 см. Пряма МС нахилена до илощини прямокутника під кутом 60°. Знайдіть довжину пер­пендикуляра МА.

6.28*. Через сторону рівностороннього трикутника проведе­но площину а так, що проекції двох інших сторін цього трикут- мика на площину а взаємно перпендикулярні. Доведіть, що ці сторони утворюють з площиною а кути 45°.

6.29*. З точки А до площини проведено дві похилі АВ та АС, »псі дорівнюють 3>/2 см кожна, і перпендикуляр АО. Кут між по- хилими 60°, а кут між їхніми проекціями - прямий. Знайдіть довжину перпендикуляра АО.

6.30*. З точки до площини проведено дві похилі, кут м іж я к и ­ми дорівнює 60°, а кут між їхніми проекціями - 90° . Довжини проекцій цих похилих на площину дорівнюють 3 см кожна. ІІнайдіть довжину перпендикуляра, проведеного від точки до площини.

191

Page 191: 10 geom bi_u

М О ДУЛ Ь 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

6.31**. Через сторону ВС трикутника АВС проходить площи­на а , яка утворює з площиною трикутника кут 60°. З вершини А трикутника до площини а побудовано перпендикуляр А Н . Знайдіть довжину перпендикуляра А Н , якщ о висота трикут­ника А М дорівнює 6\/з см.

6.32**. Через гіпотенузу А В рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проходить площина а , яка утворює з площи­ною трикутника кут 30°. Знайдіть довжину перпендикуляра, опущеного з точки С на площину а , якщ о А В = 20 см.

6.33". Сторона А В рівностороннього ААВС належить а , а вершина С — не належить їй. З вершини С проведено перпенди­куляр СО до площини а , довжина якого дорівнює 2^3 см. Об­числіть кут м іж площинами (АВС) і а , якщ о довжина висоти ААВС дорівнює 4\ІЗ см.

6.34” . З вершини В квадрата АВС О до площини а проведено перпендикуляр ВО завдовжки 3%/3 см. Обчисліть кут між пло­щинами квадрата АВСІ) і а , якщ о сторона квадрата АО = 6 см і належить площині а.

6.35“ . Один з катетів рівнобедреного прямокутного трикут­ника завдовжки 6 см лежить на площині а , а другий - нахиле­ний до неї під кутом 45°. Знайдіть кут м іж гіпотенузою і пло­щиною а .

6.36**. У рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС ка­тет АС лежить на площині а , а катет ВС утворює із цією пло­щиною кут 45°. Знайдіть довжину перпендикуляра В Н , прове­деного до площини а , та кут нахилу гіпотенузи до площини а , якщ о гіпотенуза дорівнює ЗО см.

6.37". Дві площини перетинаються під кутом 60°. Кінці від­різка АВ, що дорівнює 25 см, лежать на цих площинах. До лі­нії перетину площин побудовано перпендикуляри АС = 5 см і БО =8 см. Знайдіть довжину відрізка СІ).

6 .38". Дві площини перетинаються під кутом 30°. Кінці від­різка АВ, що дорівнює 5 см, лежать на цих площинах. До лінії перетину площин побудовано перпендикуляри АС і БО. Знай­діть довжину відрізка БО , якщ о АС = 4>/3 см, СО = 3 см.

6.39". Через сторону рівностороннього трикутника проведе­но площину а так, що проекції двох інших сторін трикутника на цю площину взаємно перпендикулярні. Доведіть, що ці сто­рони утворюють з площиною а кути 45°.

6.40". З точки Б під кутом 45° до площини а проведено по­хилу ВА і пряму АС, яка лежить на площині а й утворює кут 45" з проекцією похилої АВ на площину а . Визначте довжину від­різка ВС і його кут нахилу до площини а , якщ о АВ = АС = а.

192

Page 192: 10 geom bi_u

§62 . Відстані у просторі

Відстані у просторі

Одним з ключових понять геометрії є довжина відрізка. Через нього вводиться багато інших понять, пов’язаних з по­няттям відстані. Я к відомо, відст анню між двома т очкам и А і В називається довжина відрізка А В (рис. 6.14). Відстань від точки А до прямої І дорівнює довжині перпендикуляра АО, проведеного із цієї точки на дану пряму (рис. 6.15). Оскільки всі інші відрізки А Х із кінцями у точці А і довільній точці X прямої, відмінної від О, - похилі, то вони мають довжину біль­шу за довжину перпендикуляра. Тому кажуть, що відстань від точки до прямої - це довжина найменшого відрізка з усіх можливих, проведених з цієї точки до прямої. Такий відрізок є перпендикуляром до прямої. Опираючися на такі міркуван­ня, означимо поняття відстані м іж деякими іншими фігурами у просторі.

Л А

А-------------------.В + - * / - Ь -X О

Рис. 6.14 Рис. 6.15 Рис. 6.16Розглянемо площину а і точку А , що не належить їй

(рис. 6.16). Зрозуміло, що за відстань від точки А до площи­ни а, потрібно вибрати довжину перпендикуляра АО, проведе­ного з цієї точки до площини, оскільки всі інші відрізки АХ, де X - довільна точка площини, відмінна від О, будуть похилими і тому матимуть більшу довжину від АО.

Отже, відст ань від т очки до площ ини дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Якщо точка належить площині, то у цьому випадку від­стань від неї до площини дорівнює нулю.

Відстань від т очки А до відрізка ВС (рис. 6.17) визнача­т ь с я за таким алгоритмом: 1) проводимо перпендикуляр АО з точки А на пряму ВС; 2) якщ о основа О цього перпендикуляра

•А

, рВ О

аРис. 6.17

і і (ІікхпеМіа. 10 кі (Віїіаліпа) 193

Page 193: 10 geom bi_u

Рис. 6.18

належить даному відрізку ВС, то ш укана відстань дорівнює довжині відрізка АО (рис. 6.17, а); в іншому випадку вона дорівнює довжині від­різка А В чи АС (залежно від того, яка з точок В чи С лежить ближче до точки О) (рис. 6.17, б). Аналогічно

визначається відстань від точки до променя.Відстань між двома паралельним и п р ям и м и дорівнює

довжині спільного перпендикуляра цих прямих (рис. 6.18). Це випливає з того, що всі такі перпендикуляри А 0А 1 рівні між собою, а кожний відрізок з кінцями X та У на даних прямих, який не є їхнім спільним перпендикуляром, має довжину, більшу від довжини спільного перпендикуляра АуА ^

Т о о р « м а 2 (про відст ань між паралельним и прямою і площ иною).

Відстань між паралельними прямою і площиною дорівнює довжині (спільного) перпендикуляра, прове­деного з якої-небудь точки прямої на площину.

Дана теорема доводиться міркуваннями, аналогічними ви- щенаведеним про відстань м іж паралельними прямими.

Т с о р « м « 3 (про відст ань між паралельним и С р площ инам и).

Відстань між паралельними площинами дорівнює довжині (спільного) перпендикуляра, проведеного з якої-небудь точки однієї площини на другу.

КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Доведення. Нехай маємо дві паралельні площини а і р (рис. 6.19). Оскільки пряма, яка перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикуляр­на і до другої, то перпендикуляр АА1? проведений з якої-небудь точки А однієї із цих площин на другу, буде перпендикуляром і до першої, тобто їхнім спіль­

ним перпендикуляром. Оскільки будь- як і два попарно взяті спільні перпенди­куляри ААр В В Х і ССг паралельних площин а і р паралельні, то вони рівні м іж собою як відрізки паралельних пря­мих м іж паралельними площинами. Для повного доведення теореми залишається показати, що будь-який відрізок СХ з кінцями в даних площинах а і р, який не є їхнім спільним перпендикуляром, біль-

194

Page 194: 10 geom bi_u

$ 6.2. Відстані у просторі

ший від спільного перпендикуляра СС1. А де випливає з того, що перпендикуляр ССХ до площини Р менший від похилої СХ до цієї площини. Теорему доведено.

Поняття відстані м іж точками має широке застосування в найрізноманітніших сферах ж иття людини - від високої нау­ки до побуту і дозвілля. Використовується воно тоді, коли роз­мірами реальних об’єктів, відстанню між якими цікавляться, за даних умов можна знехтувати. Так ми кажемо про відстань між зірками, планетами, передавачами і приймачами інфор­мації, населеними пунктами, ядрами атома і електронами на його орбіті тощо.

Відстань між мимобіж ними прям им иСпочатку розглянемо означення перпендикуляра, проведе­

ного до двох мимобіжних прямих, і доведемо його існування та єдиність.

С пільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендику­лярний до кожної з них.

Т е о р е м а 4.Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендику­

ляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпенди­куляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.

Доведення. Справді, нехай а і Ь - дані мимобіжні прямі (рис. 6.20). Проведемо прямі а1іЬ 1, як і відповід­но паралельні до а і Ь, так, що пряма аг перетинається з прямою Ь, а пряма з а. Через прямі а і Ьг та Ь і а 1, що попарно перетинаються, проводимо площини а і р.

Площини а і р - паралельні. Довільні прямі х 2, х г, х 4, х 5, як і перетинають пряму а і перпендикулярні

195

Page 195: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

до площини а, лежать в одній площині. Назвемо її у. Ця площина перетинає площину р по прямій а2, пара­лельній а. Нехай точка В - точка перетину прямих а2,Ь та якоїсь прямої х , а точка А - точка перетину тієї са­мої прямої х та а. Тоді пряма А В , перпендикулярна до площини а , перпендикулярна і до площини (3, оскіль­ки р II а . Звідси випливає, що А В ± а і А В і . Ь.

Відрізок А В - спільний перпендикуляр до площин а і р, а отже, і до прямих а і Ь. Доведемо, що він єдиний. Нехай прямі а і b мають інший спільний перпендику­ляр CD. Проведемо через точку С пряму Ь2, паралель­ну Ь. Пряма CD перпендикулярна до прямої Ь, а отже, і до Ь2. Оскільки вона перпендикулярна до прямих а і Ь2, що проходять через точку С, то вона перпендику­лярна до площини а . Тоді CD паралельна прямій АВ. Маємо, що через прямі А В і CD, як через паралельні прямі, можна провести площину, і вона буде містити мимобіжні прямі АС і BD. А де неможливо. Отримали протиріччя. Теорему доведено.

Відст анню між мимобіж ними п рям им и називається дов­жина їхнього спільного перпендикуляра.

Р.Задача 1.

Відрізок РА перпендикулярний до пло­щини трикутника ABC, сторони АВ, ВС і АС якого відповідно дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від точки

Рис 6.21 ? до СТ°Р°НИ ВС, якщ о РА = 16 см.

Розв’язанняНехай A N - висота даного гострокутного трикутни­

ка ABC (рис. 6.21). Тоді, за теоремою про три перпендику­ляри, PN 1 ВС і довжина PN буде відстанню від точки Р до сторони ВС. Визначимо її з прямокутного трикутника PAN (оскільки РА 1 (ABC), то /P A N = 90°). Для цього поперед­ньо знайдемо A N .

2SЗ формули для площі трикутника A N = — ААВС .ВС

Необхідну площу визначимо за формулою Герона:SAABC = n/21 • 8 • 7 ■ 6 = 84 (см2).

Тоді A N = 12 см і PN = siPA2 + A N 2 = 20 ( c m ) .Відповідь. 20 c m .

196

Page 196: 10 geom bi_u

£ 6.2. Відстані у просторі

Задача 2.Пряма ОК перпендикулярна до площини ромба, діагоналі якого перетинаються в точці О. Доведіть, що відстані від точки К до всіх сторін ромба рівні між собою.

ДоведенняНехай АВСБ - ромб і О - точка перетину його діагоналей

(рис. 6.22). Тоді О - центр вписаного в ромб кола. Нехай М, N , Р, Р - точки дотику сторін до кола. Тоді ОМ = ОЫ = ОР = = ОР = г. Оскільки ОР ± £>С, ОМ 1 А В , ОР ± АО, ОЛТ 1 ВС, то за теоремою про три перпендикуляри К М 1 АВ, ХЛГ ± ВС, КР ± ОС, КР 1 АО. Отже, К М , K N , КР, ЙГР - відстані від точки К до сторін ромба. З рівності трикутників КОР, КОР, КОМ , КОМ випливає, що К М = КР = КЫ = КР. Щ. в. д.

Задача 3.Точка М не лежить у площині прямо­кутного трикутника АВС ^ В = 90°) і знаходиться на відстанях М К і МО від прямих, що містять катети ВА і ВС (рис. 6.23). МО - перпендикуляр до пло­щини цього трикутника. Доведіть, що чотирикутник ВК О Б - прямокутник.

Рис. 6.23

ДоведенняОскільки відрізки М К і М Б - відстані від точки М від­

повідно до прямих А В і ВС, то М К 1 АВ і А4Х> 1 ВС. За умо­вою МО 1 (АВС), тому ОК і ОБ - проекції похилих М К і МО на площину (АВС) і ОК 1 АВ, 0£> ± ВС (за теоремою про три перпендикуляри). Але АВ і. ВС за умовою, тому ВКОЙ - прямокутник. Щ. в. д.

В п р а в и

6.41°. Точка К не належить площині со, а точки А , В, С, £>, М лежать на площині ю (рис. 6.24). Укажіть відрізок, що є від- і"пінню між точками К і С.

Л) КА; Б) КС; В )К В ; Г )АС; Д)СВ.

197

Page 197: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

м

Рис. 6.24 Рис. 6.256.42°. З точки М до площини со проведено перпендикуляр

МО (рис. 6.25). Точка М і со, а точки Т, Р, (?, Р належать пло­щині со. Виберіть відрізок, який виражає відстань від точки М до площ ини«.

А) М Т; Б )М Р ; В) МО; Т)М Р; Д )М Я .6.43°. М В - перпендикуляр до площини квадрата АВСБ

(рис. 6.26). О - центр квадрата, N - середина сторони СИ. Ука­ж іть відрізок, який виражає відстань від точки М до площини (АВСБ).

А) МО; Б) МА; В) М2); Г )М В ; Д )М Ы .6.44°. М В - перпендикуляр до площини квадрата АВС Б

(рис. 6.26). О - центр квадрата, N - середина сторони С2). У ка­ж іть відрізок, який виражає відстань від точки М до сторони квадрата СБ.

6.45°. Відрізок БО - перпендикуляр до площини ромба АВСБ (рис. 6.27). Укажіть відрізок, який виражає відстань від точ­ки 5 до діагоналі ВІ).

А) ЯВ; Б) ДО; В)й£>; Г)СО; Д)ЯО.6.46°. Площини а і р паралельні (рис. 6.28). Точки А , В, С

належать площині а , а точки К , Ь, М - площині р. AL ± р, СМ II Аі,, ВК -її AL. Укажіть відрізки, як і виражають відстань між площинами а і р.

А) МО; Б) МС; В )М Я ; Г) М В; Д) МАГ.

С

Рис. 6.26 Рис. 6.27

198

Page 198: 10 geom bi_u

£ 6.2. Відстані у просторі

\)А К ; А) 1 і 3;

2 )АЬ; Б) 2 і 4;

З )В К ; В) 3 і 5;

4) СМ; Г) 1 і 4;

К

5) С і. Д) 2 і 3.

Рис. 6.28 Рис. 6.296.47°. Точки А , С, В належать площині а , а точки К , Ь,

М - площині |3. а II р, В К ± Р, АЬ = 4 см, СМ = 6 см, В К = 3 см, В М = 5 см, А К = 7 см. У кажіть відстань між площинами а і р.

А) 3 см; Б) 4 см; В) 5 см; Г) 6 см; Д) 7 см.6.48°. Точка К не лежить на площині прямокутника АВСБ

(рис. 6.29) і віддалена від кожної його вершини на 10 см. Сторо­ни прямокутника дорівнюють 3 см і 4 см. У кажіть два відрізки, довжина яких дорівнює 10 см.

А )КО ; Б) ДО; В )В К ; Г)АС; Д)АГІ>.6.49°. Площини, у яких лежать паралелограм АВСИ і трапеція

АВК М , перпендикулярні (рис. 6.30). А В - лінія перетину площин. ИЯ - висота паралелограма. Укажіть відрізок, що є відстанню між прямою СІ) і площиною АВКМ .

А) АО; Б) ОМ; В)СВ; Г)ОЛ; Д )Б К .

Рис. 6.30 Рис. 6.316.50°. Дано квадрат АВСО, діагоналі якого перетинаються

в точці О (рис. 6.31). Пряма МС перпендикулярна до площини квадрата. Доберіть до кожної пари мимобіжних прямих відрі­зок, що виражає відстань між ними.

A) АВ і МС; Б) АО і МС;B) ВО і МС.

1) МО;2) СО;3) ВС; 4 )М А; 5) СО.

АБВ

199

Page 199: 10 geom bi_u

АБВГдЕ

A )A D iC C l; 1)B jCj ;B)A jB j і CCj; 2)C jOj ;В) BD і CCjj 3) ВС;T)A jD j і CCt ; 4) CD;Д) АВ і CCjj 5) Cj-Dj;E )B jD j iC C j. 6) ОС.

6.52°°. У прямокутному ДАВС ( /С = 90°) проведено МЫ || АС (М є АВ, N є ВС). Точка К е (АВС) і К М - перпендикуляр до площини (АВС). У кажіть відрізок, що є відстанню від точки К до прямої ВС (рис. 6.33).

А) КМ ; В) КС; В ) Ш ; Г)К В ; Д)МЛГ.6.53°°. Відрізок К М - перпендикуляр до площини трикутни­

ка АВС, проведений через точку М - середину гіпотенузи АВ (рис. 6.33). Знайдіть відстань від точки К до сторони ВС, якщ о АС = 24 см, К М = 12 см.

А )б7бсм ; Б )4л/І3см ; В )4Т Ї0см ; Г) 1272 см; Д) 2472 см.

М О ДУ л Ь 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Рис. 6.33 Рис. 6.34

6.54°°. Сторона паралелограма АВ належить площині со, DF - висота паралелограма, СМ - перпендикуляр до площи­ни ш (рис. 6.34). У кажіть відрізок, що виражає відстань від пря­мої CD до площини со.

A ) DA; B)DF; В) CM; Г )Б М ; Д)ВС.6.55°°. На рисунку 6.35 зображено коло з центром О, яке впи­

сано в ДABC, М , N ,K - точки дотику, S - не лежить на площині (АВС). Укажіть трійку відрізків, що є відстанню від точки S до сторін ДАВС.

6.51°°. На рисунку 6.32 зображено куб ABCDAj.BjCj.Dj та точки О і 0 1 пе­ретину відповідних діагоналей гра­ней АВСІ) ІА 1В 1С1£>1. Ідентифікуйте кожній парі мимобіжних прямих від­стань м іж ними.

200

Page 200: 10 geom bi_u

$ 6.2. Відстані у просторі

А) БА, ЯВ, ЯС; В) МО, N 0 , КО; Д) В К , КО, ОС.Б) ЯМ, вАГ, ЯК; Г) БО, БА, БМ;

6.56°°. Через вершину С прямокутного ДАВС проведено пло­щину у (рис. 6.36). Гіпотенуза АВ паралельна площині у, А К 1 у і В В ± у, СМ ± АВ . Укажіть відрізки, що виражають відстань від гіпотенузи АВ до площини у.

1) МС; 2)АК ; 3) ВС; 4) ВВ; 5) АС.А) 1 і 2; Б) 2 ІЗ ; В) 3 і 4; Г) 5 і 4; Д) 2 і 4.6.57°°.Данорізносторонній трикутник АВС. ТочкаМ і (АВС),

О - основа перпендикуляра, проведеного з точки М до площи­ни (АВС). М А = М В = МС -- 5 см. Укажіть три правильні твер­дження.

A) Точка М - рівновіддалена від сторін ДАБС;Б) точка О - рівновіддалена від вершин ДАВС;B) точка М - рівновіддалена від вершин ДАВС;Г) точка О - рівновіддалена від сторін ДАВС;Д) О - центр вписаного кола в ДАВС;Е) О - центр описаного кола навколо ДАВС.6.58°°. У ромбі АВСВ проведено висоти М И і КЬ, що пере­

тинаються в точці О (рис. 6.37). О - точка перетину діагона­лей ромба, і? - точка, що не лежить на площині (АВСВ), ТО - перпендикуляр до площини (АВСВ).

Укажіть три правильні твердження.A) Точка .Р - рівновіддалена від сторін ромба;Б) точка О - рівновіддалена від вершин ромба;B) О - центр описаного кола навколо ромба;Г) О - центр вписаного кола в ромб;Д) точка Р - рівновіддалена від вершин ромба;Е) точка О - рівновіддалена від сторін ромба.

в

А

ВРис. 6.35 Рис. 6.36

201

Page 201: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Рис. 6.386.5900. Кінці відрізка АВ, що не перетинає площину а , від­

далені від неї на а см і Ь см (рис. 6.38). Точка С - середина відріз­ка АВ, віддалена від площини а на х см. Ідентифікуйте кожній умові (А-Д) правильну відповідь (1-5).

1 )х = 7 см;2) х = 8 см;3) х = 5 см;4) х = 6 см;5 )х = 4 см.

А )а = 5 см, Ь = 7 см; Б) а = 3 см, Ь - 5 см; В) а = 6 см, Ь - 8 см; Г )а = 7 см, Ь = 9 см; Д )а = 4 см, Ь = 6 см.

АБВГД

6.60°°. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 10 см і 18 см. Через середину гіпотенузи - точку О - проведено перпен­дикуляр ОМ до площини трикутника. Визначте відстань від точки М до кожного катета, якщ о ОМ = 12 см.

А) 13 см і 15 см; В) 12 см і 15 см; Д) 9 см і 12 см.Б) 12 см і 13 см; Г) 5 см і 12 см;6.61*. Відрізок К М не перетинає площину а . Точка К відда­

лена від неї на 1,8 см, а точка Р - середина відрізка К М - на 4 см. Знайдіть відстань від точки М до площини а .

6.62*. Через вершину В квадрата АВС£> зі стороною 8 см про­ведено перпендикуляр БВ до площини квадрата. Знайдіть від­стань від точки Й до діагоналей квадрата, якщ о ЯВ = 7 см.

6.63*. Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщ о сторона квадрата дорівнює 10 см.

6.64*. Дано рівнобедрений прямокутний ААВС ( / С = 90°). Через вершину С проведено перпендикуляр СК до площини трикутника. Знайдіть відстань від точки К до гіпотенузи АВ, якщ о АВ = 36 см, СК = 24 см.

6.65*. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорів­нює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщ о діагональ квадрата дорівнює 5 см.

202

Page 202: 10 geom bi_u

§ 6.2. Відстані у просторі

6.66*. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Поза площиною трикутника знаходиться точка 5 , яка віддале­на від кожної вершини трикутника на 10 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

6.67*. Точка віддалена від усіх вершин прямокутного три­кутника на 6,5 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника, якщ о його катети дорівнюють 3 см і 4 см.

6.68*. Точка О - центр квадрата зі стороною 4 см. АО - пряма, перпендикулярна до площини квадрата; відрізок АО = 2\[2 см. Знайдіть відстань від точки А до вершин квадрата.

6.69*. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. З вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр ЛІ), який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки £> до сторони ВС трикутника.

6.70*. Сторони трикутника АВС дорівнюють 11 см, 13 см і 20 см. Через вершину найменшого кута до площини трикут­ника проведено перпендикуляр ВМ . Знайдіть відстань від точ­ки М до площини трикутника, якщ о відстань від точки М до найменшої сторони трикутника дорівнює 15 см.

6.71**. Дві площини взаємно перпендикулярні. Точка А від­далена від них на 20 см і 21 см. Знайдіть відстань від точки А до лінії перетину цих площин.

6.72**. Дві площини а і р взаємно перпендикулярні. Точка М віддалена від площини а на 12 см, а від прямої перетину пло­щин - на 37 см. Знайдіть відстань від точки М до площини р.

6.73**. Точка М знаходиться поза площиною квадрата АВСИ на однаковій відстані від усіх вершин. Визначте взаємне розмі­щення площин (АМ С ) і (ВБМ ).

6.74". З точки О перетину діагоналей прямокутника до пло­щини цього прямокутника проведено перпендикуляр. Дове­діть, що довільна точка цього перпендикуляра рівновіддалена під вершин прямокутника.

6.75**. Доведіть, що відстань від середини відрізка до площи­ни, яка його не перетинає, дорівнює півсумі відстаней від к ін ­ців відрізка до цієї площини.

6.76**. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. І Іоза площиною трикутника дано точку, яка знаходиться на мідстані 10 см від кожної його вершини. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

6.77**. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М зна­ходиться поза площиною ромба і віддалена від усіх сторін ромба на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.

203

Page 203: 10 geom bi_u

М ОДУЛ Ь 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

6.78". Рівнобічна трапеція, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут - 60°, лежить у площині а . Точка, рівновіддалена від усіх сторін трапеції, знаходиться на відстані 3 см від площи­ни а . Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції.

6.79**. Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см і ЗО см. Точ­ка М віддалена від усіх сторін трикутника на 17 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

6.80**. Периметр правильного трикутника дорівнює 36\/3 см, а відстані від деякої точки до кожної зі сторін трикутника - 10 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

6.81**. Плотца рівностороннього трикутника дорівнює 27%/3 см2. Знайдіть відстань між площиною трикутника і точкою, яка від­далена від кожної з його вершин на 10 см.

6.82**. З точки до площини правильного трикутника зі сто­роною 8\/з см проведено перпендикуляр завдовжки 5 см. Осно­вою перпендикуляра є одна з вершин трикутника. Знайдіть від­стань від точки до сторони трикутника, яка не містить основи перпендикуляра.

6.83**. З точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см проведено перпендикуляр, основою якого є одна з вершин прямокутника. Відстань від протилежної вершини прямокут­ника до цієї точки дорівнює 39 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини прямокутника.

6.84**. Дано дві мимобіжні прямі а і Ь. Пряма а лежить у пло­щині а , а пряма b перпендикулярна до площини а . Точка К є Ь і віддалена від прямої а на 13 см. Знайдіть відстань від точки К до площини а , якщ о відстань між а і b дорівнює 5 см.

6.85**. Дано дві мимобіжні прямі / п і п . Пряма п лежить у площині а, а пряма т перпендикулярна до площини а . Знайдіть відстань між мимобіжними прямими, якщ о точка А прямої т віддалена від площини а на 6 см, а від прямої п - на 10 см.

Ортогональне проекціювання

Паралельне проекціювання, напрям якого перпендикуляр­ний до площини проекції, називається орт огональним проек- цію ванням . Проекція фігури, що утворюється при ортогональ­ному проекціюванні, називається ортогональною проекцією, або просто п роекц ію цієї фігури.

Оскільки ортогональне проекціювання є окремим видом па­ралельного проекціювання, то для нього виконуються всі влас­тивості останнього. Зокрема, ортогональною проекцією пря­мої а, що не перпендикулярна до площини проекції, є деяка

204

Page 204: 10 geom bi_u

£ 6.3. Ортогональне проекціювання

Рис. 6.39

т - J

н 1 « 'Рис. 6.40

пряма а' (рис. 6.39), а прямої а, паралельної площині проек­ції а , - пряма а', яка паралельна прямій а (рис. 6.40).

Зауважимо, що прямі, перпендикулярні до однієї з паралель­них площин, перпендикулярні і до решти, тому ортогональне проекціювання на одну з таких площин буде ортогональним і на решту площин. Очевидно, що ортогональні проекції фігури на паралельні площини рівні між собою.

Ортогональне проекціювання також має лише йому прита­манні властивості. Одну з них виражає теорема про площу ор­тогональної проекції многокутника.

П лощ а орт огональної проекції

Т е о р е м а 5.Площа ортогональної проекції довільного много­

кутника на площину дорівнює добутку площі самого многокутника на косинус кута між площиною много­кутника і площиною проекції.

Доведення. Я к приклад многокутника візьмемо трикутник АВС (рис. 6.41). Проекцією ДАВС на пло­щину а є ДАБ1С. Проведемо висоту В К трикутни­

ка АВС. За теоремою про три перпенди­куляри В ХК - висота трикутника А В ХС. Кут В К В Х - кут м іж площиною трикут­ника АВС і площиною проекції. Нехай /.В К В 1 = ф. Тоді

«АЛВС = ■ ВК; 8ААВіС = | л С В,К.

Але, враховуючи, що трикутник К В В г прямокутний ( / В х = 90°), маємо: В ХК = В К ■ соэф. Тому

®ДАВ1С = \ Л С ' = \ А С В К СОЗф = Я д АВС • СОвф.

Отже, 5 ДДВіС = ЯйАВС ■ созф. Теорему доведено.

205

Page 205: 10 geom bi_u

М О Д УЛ Ь 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Щоб довести теорему для довільного многокутника, його розбивають на трикутники. Тоді для кожного трикутника і його проекції можна записати рівність

проекції Ді = « Д і ' с о з Ф>

де і = 1, ..., £, оскільки кут між площинами цих трикутників і площиною їхніх проекцій буде один і той самий. Усі ці рівно­сті додамо почленно:

с _і_ о _і_ _і_ о _ опроекції Д1 проекції Д2 проекції й к проекції многокутника'

5 Д1 ^ Д 2 + ••• + ^ д к ~ Бмногокут ника'

Отримаємо в лівій частині рівності площу проекції много­кутника, а в правій - площу самого многокутника, помножену на косинус кута між їхніми площинами. Звідси

^проекціїмногокутника ~ ®многокутника ^О вф .

Тобто і для цього випадку теорема істинна.

Задача.Ортогональною проекцією трикутника є трикутник зі сторона­ми 13 см, 14 см і 15 см. Площина трикутника утворює з площи­ною проекції кут 60°. Обчисліть площу даного трикутника.

Розв’язанняСкористаємося рисунком 6.41. Відомо, що площу проек­

ції триктуника обчислюють за формулою:^проекції трикутника ~ ®трикутника СОвф,

де ф - кут між площиною трикутника і площиною проекції. За формулою Герона знайдемо площу ДА В гС:

5Д = у/рір - а)(р - ЬХр - с)у р ,е р - півпериметр трикутника, а , Ь , с - його сторони.

5ддв,с = 721(21 - 13)(21 - 14)(21 -1 5 ) = 721-8-7-6 == 84 (см2).

Тоді в ДАЄС = = - 8— - = 84 : - = 168 (см2).ЛА£С совф сов 60° 2

Відповідь: 168 см2.

206

Page 206: 10 geom bi_u

$ 6.3. Ортогональне проекціювання

6.86°. Ортогональне проекціювання на площину оо задається прямою проекціювання, яка утворює з площиною кут а . У ка­ж іть величину кута а.

А) 0°; Б) 30°; В) 45°; Г)60°; Д )90°.6.87°. Кут АВС - лінійний, що вимірює двогранний кут з

ребром а. Виберіть взаємне розміщення прямої а і площи­ни (АВС).

A) П ряма не перетинає площину;Б) пряма перетинає площину під гострим кутом;B) пряма перетинає площину під прямим кутом.6.88°. Дано дві паралельні площини а і р. Відрізки АВ і С£>

належать площині а , АВ || СБ. Відрізки А 1В 1 і СХБ Х - їхні ор­тогональні проекції на площину Р (рис. 6.42). У кажіть взаємне розміщення відрізків А1В 1 і С1В 1.

А ) А 1В 1 П СХБ Х, Б )А 1В 11 С ^ ; В)А 1В 1 || СХБ Х.

А

Рис. 6.42 Рис. 6.436.89°. А ХВ Х - ортогональна проекція відрізка АВ на площи­

ну а . АВ = 20 см, АС = 10 см, А1В1 = 12 см. Знайдіть довжину відрізка В 1С1 (рис. 6.43).

А) 9 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г )10см ; Д )8 см .6.90°. Виберіть дві фігури, як і можуть бути ортогональною

проекцією трапеції.А) Квадрат; В) прямокутник; Д) трапеція.Б) відрізок; Г) паралелограм;6.91°. Ортогональною проекцією відрізка АВ завдовжки 5 см

на площину со є відрізок АС завдовжки 3 см. Знайдіть косинус кута нахилу а відрізка АВ до площини ю (рис. 6.44).

207

Page 207: 10 geom bi_u

6.93°. Через сторону АВ трикутника АВС проведено площи­ну со (рис. 6.46). Точка Сх є со, СС1 і . со. Укажіть ортогональну проекцію ААВС на площину со.

А) ДССХА; Б) ДСС,В; В) Д С ^ В ; Г) Д А С ^ ; Д) ДАС^Б.6.94°. Дано дві площини а і р, як і перетинаються під ку­

том 30°. Точка А належить площині а і віддалена від площини р на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до прямої перетину цих площин.

А) 12 см; Б) 6 см; В) 24 см; Г) 18 см; Д) ЗО см.6.95°°. Дано куб АБС/)А1В 1С1£)1 (рис. 6.47). Укажіть ортого­

нальну проекцію АСуВБ на кожну з площин, заданих умовами (А-Д).

п с А) (АВСЯ);Б) (С Ш )^ ) ;В )(А 1Б ,С 1І)1);Г) (АА1£>1£>);Д)(АА1Б 1Б).

Рис. 6.47

1) ДІ^АО;2) ДСВБ;3) Д В ^А ;4) Д е д і ^ ;5) ДС1ІЮ.

6.96°°. Точки А, Б і С лежать на одній пря­мій. АВ = 2 см, ВС = 5 см. Точки А1, В 1 і Сх -

АБВГД

Рис. 6.45 Рис. 6.46

З

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

4 4А) сова = —; В) сова = —; Д) сова = —.5 5 3

3Б )соза = 1; Г)сова = —;

4

Рис. 6.446.92е. Знайдіть кут між площинами (АВС) і (АВІ)), якщ о від­

стань від точки С до прямої АВ удвічі більша, ніж відстань від точки С до площини (АВІ)) (рис. 6.45).

А) 90°; Б) 60°; В) 30°; Г) 45°; Д) 75°.

208

Page 208: 10 geom bi_u

їхні ортогональні проекції на площину а. Знайдіть відношення відрізків А1В 1 і В 1С1.

А) 2 : 5; Б) 3 : 5; В) 2 : 7; Г) 3 : 7; Д) 5 : 7.6.97°°. Площа ААВС дорівнює 18 см2, КС 1 (АВС). Знайдіть

площу ААВК, якщ о кут м іж площинами (А В К ) і (АВС) дорів­нює а (рис. 6.48).

А) а = 30°;

§ 6.3. Ортогональне проекціювання

Б) а = 45°; В) а = 60°.

®А А В К ~ З® СМ2 ;

2) З ААВК = 18>/2см2;3) вдАВК = ЗбТз см2;4) 12^3 см2;

АБВ

= 1272 см‘® А АВ К '6.98°°. Трикутник АС В є ортогональною проекцією трикут­

ника А К В на площину (АВС). Площа ДАВС дорівнює см2, а площа ДАК В - Я см2. Ідентифікуйте кожному заданию площ Я0 і 5 відповідне значення сова, де а - кут м іж площинами (АВС) і (АКВ).

A )Б 0 = 8 см2, 5 = 10 см2;

Б) Я0 = 5 см2, 5 = 15 см2;

B) 5 0 = 9 см2, в = 21 см2;

Г) 5 0 = 6 см2, 5 = 1 2 см2;

Д) 5 0 = 12 см2, 5 = 18 см2.

1)сова = —;З

2) сова = —;2

^ 43) сова = —;5

^ 34)соэа = —;7

5) сова = —.З

АБВГд

6.99°°. До площини квадрата АВСІ) через точку А проведено перпендикуляр А К (рис. 6.49). Знайдіть площу АКІУС, якщ о сторона квадрата дорівнює 8 см, а /.К Б А = 45°.

А) 872 см2; В) 3272 см2; Д) 12872 см2.Б)1бТ2

К

14-6еолтвиі)а, 10 кі (Віїіапіпа) 209

Page 209: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

Б б.ІОО00. Ортогональною проек­цією паралелограма АВСІ) на пло­щину у є чотирикутник АВС1Х>1. СК _1_ АВ, СК = 12 см, А В = 15 см, /С К С г = 60°. Знайдіть площу пара­лелограма АВС1£>1 (рис. 6.50).У

А

6.101*. Кут м іж площинами рівно- сторонніх трикутників АВС і АВІ) дорівнює 60°. Знайдіть відстань СІ), якщ о А В = 4>/3 см.

A) 180^2 см2; Г )4 5 с м 2;

Б) 180ТЗ с м 2; Д )30 см2-B) 90 см2;

Рис. 6.50

6.102*. З точок А і В, як і лежать у двох перпендикулярних площинах, опущено перпендикуляри АС і Ш) на пряму пере­тину площин. Знайдіть довжину відрізка СІ), якщ о АС = 3 см, ВІ) = 4 см, А В = 13 см.

6.103*. Дано паралелограм зі сторонами 6 см і 8 см та кутом між ними 60°. Знайдіть площу його ортогональної проекції на площину, нахилену до площини паралелограма під кутом 30°.

6.104*. Дано трапецію з основами 7 см і 9 см та висотою 5 см. Знайдіть кут м іж площиною трапеції та площиною її ортого­нальної проекції, якщ о площа цієї проекції 20 см2.

6.105*. Усі двогранні кути при основі чотирикутної пірамі­ди рівні між собою. Я ка з точок є основою висоти піраміди?

6.106*. Одна з бічних граней трикутної піраміди перпенди­кулярна до основи, а двогранні кути, утворені основою з двома іншими бічними гранями, рівні м іж собою. Яка з точок є осно­вою висоти піраміди?

6.107*. Через кінець А відрізка А В проведено площину а. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні 3 : 5 , починаючи від точки А. Обчисліть проекцію відрізка АС на площину а, якщ о проекція відрізка АВ на цю площину дорівнює 48 см.

6.108**. Ортогональною проекцією рівнобічної трапеції з ви­сотою 12 см і основами 3 см та 9 см на площину, паралельну основам трапеції, є чотирикутник, у який можна вписати коло. Визначте кут м іж площиною трапеції і площиною проекції.

6.109**. Пряма АВ паралельна площині а; пряма СІ) перети­нає АВ під кутом 45° і утворює з площиною а кут 30°. Доведіть, що площина, яка проходить через прямі АВ і СІ), утворює з пло­щиною а кут 45°.

210

Page 210: 10 geom bi_u

З літопису геометрії

6.110**. Ортогональною проекцією рівнобічної трапеції з основами 3 см і 9 см на площину, паралельну основі трапеції, є чотирикутник, у який можна вписати коло. Кут м іж площи­ною трапеції і площиною проекції 30°. Визначте площу фігури, що проекціюється.

6.111**. Рівнобедрені трикутники АВС і АБИ зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорів­нює а . А В = 24 см, АС = 13 см, А В = 37 см, СВ = 35 см. Знайдіть кут а та площу ортогональної проекції трикутника АВС на пло­щину (АВВ).

6.112**. Рівнобедрені трикутники АВС і А В В зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорів­нює а. А В = 32 см, АС = 65 см, А В = 20 см, СО = 63 см. Знайдіть кут а та площу ортогональної проекції трикутника АВС на пло­щину (АВО).

6.113**. Рівнобедрені трикутники АВС і А В В зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорів­нює а . АВ = 24 см, АС = 13 см, АО = 37 см, СВ = 35 см. Знайдіть кут а та площу ортогональної проекції трикутника АВО на пло­щину трикутника АВС.

6.114**. Рівнобедрені трикутники АВС і АВО зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорів­нює а . АВ = 32 см, АС = 65 см, АО = 20 см, СВ = 63 см. Знайдіть кут а та площу ортогональної проекції трикутника АВО на пло­щину трикутника АВС.

6.1. Я кі треба зробити виміри, щоб визначити:* / А 1) висоту башти, до основи якої неможливо підійти;

2) відстань до будинку відомої висоти, якщо до нього неможливо підійти?

6.2. Чому тіні зникають опівдні?6.3. Як виміряти висоту дерева, не підіймаючись до

його верхівки?

М и х а й л о Васильович Остроградський (1801-1802)Математика - найвища філософська на­ука, наука справжніх поетів.

М. В. Остроградський

Народився М. Остроградський 24 ве­ресня 1801 р. в селі Пашенна (нині Паше-

нівка) на Полтавщині в сім’ї поміщика середньої руки. М. Ост­роградський навчався у Харківському університеті, спочатку

14- 211

Page 211: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

на правах вільного слухача, а у вересні 1817 р. був зарахований студентом фізи- ко-математичного факультету. Однак на­вчався недовго, залиш ив його і переїхав у Париж.

У Парижі Остроградський старанно відвідував лекції в Сорбонні та Колеж де Франс і своїм математичним хистом невдовзі привернув увагу відомих фран­цузьких математиків - Лапласа, Коші, Ф ур’є, Ампера, Пуассона, Н ав’є та ін.

Повернувся у Росію (1828 р.) вже не як початківець. У грудні 1828 р. Петербурзька академія наук обрала Остроградсько- го ад’юнктом прикладної математики, у 1830 р. йому надали звання екстраординарного академіка, а через рік ординарного.

Остроградський увійшов в історію не лише як видатний учений. Він був також і великий педагог, чия діяльність мала вирішальне значення для підвищення рівня і ролі науки, і в першу чергу, математики, механіки та інженерії, у тодіш­ній Російській імперії. Учений був активним пропагандистом фізико-математичних досягнень, творцем багатьох підруч­ників з математики й механіки, за якими вчилися покоління науковців та інженерів.

Наша рідна Україна дала світові великого науковця М ихай­ла Васильовича Остроградського - першого вітчизняного вче­ного, який вийшов на рівень найвидатніших математиків XIX ст. і в епоху бурхливого розвитку науки разом зі славет­ною когортою європейських учених творив основи сучасної ма­тематики, механіки і фізики.

Давид Гільберт (1862”1943)Математичний аналіз можна назвати єдиною симфонією нескінченності.

Д. Гільберт

Гільберт поєднував у собі найкращі тра­диції видатних геніїв минулого. Надзви­чайно гостре абстрактне мислення поєдну­валося в нього з умінням не відриватися від конкретного фізичного змісту проблеми. Німецький математик Давид Гільберт наро­

дився поблизу Кенігсберга в сім’ї місцевого судді. Усе його творче життя пов’язане з Геттінгеном, який у той час був загальновизна­ним центром світової математичної думки.

У 1900 р. на Міжнародному математичному конгресі в П а­риж і Гільберт сформулював 23 найважливіш і математичні

212

Page 212: 10 geom bi_u

Запитання для самоконтролю

проблеми, як і були свого роду заповітом математиків мину­лого століття математикам наступного століття. Цими про­блемами й досі займаються вчені всього світу, а хто розв’язує хоча б одну з них, одразу завойовує світове визнання. Ім ’я Гільберта є в усіх розділах сучасної математики. Простір Гіль­берта, система аксіом Гільберта, теорема Гільберта про базис, проблеми Гільберта - ці поняття назавжди увійшли в науку і відомі тепер кожній людині, що має математичну освіту. Гіль­берта завжди вирізняла оригінальність суджень. «Іноді трап­ляється, - казав він, - що світогляд людини стає дедалі вуж ­чим і вужчим, прямуючи до однієї точки. Саме вона і стає його точкою зору». На запитання, що його спонукало займатися фізикою, Гільберт дотепно відповів: «Фізика занадто складна для фізиків, щоб вони нею займалися». Один з учнів Гільбер­та, полишивши заняття математикою, почав писати романи. «Чому він почав займатися цим? - дивувалися всі навколо. - Як може колишній математик писати романи?». «Але це ж зо­всім просто, - відповідав Гільберт. - Для математики в нього не вистачало фантазії, у той час як її цілком вистачало для на­писання романів».

Сучасники Гільберта ще за життя визнавали надзвичайний та­лант ученого. «У моїх спогадах Гільберт залишився великим ге­нієм, якого я коли-небудь бачив» (М. Лауе). «Давид Гільберт був одним з дійсно великих математиків свого часу. Його праці і на- дихаюча особистість ученого зробили значний вплив на розвиток математичних наук, навіть до теперішнього часу» (Р. Курант).

Запитання для самоконтролю

1. Я к знайти кут між похилою і площиною, до якої вона про­ведена?

2. Чи може кут між прямою і площиною бути тупим?3. Як знайти кут між двома площинами, я к і перетинаються?4. Чи може кут між площинами бути тупим?5. Як знайти відстань від точки до площини?6. Як знайти відстань між двома паралельними прямими?7. Як знайти відстань між прямою і площиною, які паралельні?8. Як знайти відстань м іж двома паралельними площинами?9. Я к знайти відстань між мимобіжними прямими?

10. Яку фігуру утворюють основи всіх можливих похилих, проведених до площини з однієї точки під однаковими ку­тами?

213

Page 213: 10 geom bi_u

М О Д У Л Ь 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

11. Чи можуть дві похилі, проведені з однієї точки до площини, що мають різну довжину, бути нахиленими до цієї площини під однаковим кутом?

12. Як порівняти довжини ребер тетраедра, якщ о вони утворю­ють рівні кути з площиною основи?

13. Чи може двогранний кут бути тупим?14. Яку фігуру утворюють точки, рівновіддалені від сторін три­

кутника?15. Що є геометричним місцем точок, рівновіддалених від вер­

шин прямокутника?16. Чи може відстань від точки до площини бути довшою за до­

вільну відстань від цієї точки до прямої, що належить цій площині?

17. Чи може перерізом куба бути прямокутний трикутник?18. Чи може перерізом куба бути тупокутний трикутник?19. Чи можна провести одну пряму, яка утворювала б прямий

кут з кожною стороною трикутника; квадрата; прямокут­ника?

20. Я к знайти відстань від відрізка до площини, якщ о він не знаходиться на прямій, що паралельна цій площині?

21. Чи можна стверджувати, що будь-яка точка прямої, яка проходить через середину відрізка, рівновіддалена від к ін ­ців цього відрізка?

22. Чи можна стверджувати, що будь-яка точка площини, яка проходить через середину відрізка, рівновіддалена від к ін­ців цього відрізка?

23. Чи обов’язково три точки, як і знаходяться на однаковій від­стані від площини, належать площині, яка паралельна да­ній?

24. Чи може ортогональна проекція відрізка дорівнювати довжині цього відрізка?

25. Чи може ортогональна проекція відрізка бути більшою, ніж довжина відрізка?

26. Чи можуть ортогональні проекції прямих збігатися?27. Чи може ортогональна проекція куба бути квадратом?28. Як побудувати ортогональну проекцію геометричної фігури?29. Який зв’язок між площею многокутника і площею його ор­

тогональної проекції?30. Чи може площа ортогональної проекції многокутника до­

рівнювати площі цього многокутника?

214

Page 214: 10 geom bi_u

Тест для самоконтролю

Ш Ж Е Е Ш Ш Ш іТГ»1

• Частина 1Завдання 1—16 мають варіанти відповідей, з яких правиль­

на тільки ОДНА або конкретна кількість. Виберіть правильну відповідь.

1°. Укажіть довжину сторони АС прямокутного трикутника АВС ( /С = 90°), якщ о А В = 10 см, ZB = 45°.

А) 5 см; Б) 2,5 см; В)2л/Ї0см; Г)5-Т3см; Д)5л/2см.2°. Через сторону А Х паралело- ь

грама АКЬР проведено площину 5 (рис. 6.51). РВ - перпендикуляр до площини б. Виберіть кут між пря­мою А Р і площиною 5.

А) /А Р В ; В) /А Р К ; Д) ZPAB.Б) /А Р Ь ; Г) /Р Ь К ;3°. З точки М до площини а під

кутом 45° проведено похилу М А і перпендикуляр М В . Знайдіть довжину похилої МА, якщ о дов­жина її проекції на площину а дорівнює 3%/2 см.

А) 5 см; Б) 9 см; В) 6 см; Г) 18 см; Д) 12 см.4°. Дано куб АВСХ)А1В 1С1І)1 (рис. 6.52). Укажіть величину

кута між прямими А В і І)1С.А) 0°; Б) 30°; В) 45°; Г)60°; Д )90°.5°. Трикутник М М А є ортогональною проекцією трикутника

МЇУВ на площину (МіУА) (рис. 6.53). Укажіть правильні твер­дження.

1) М В (МЫА) = /В М А ;2) МВ'ХМЫА) = /В М Ы ;3) (МЫВНМЫА) = /В М А ;

А) 1 ,3 і 5; Б) 2, 4 і 6;В,

4) (МЫВ) (МЫА) = /В Ы А;5) ВЫ'ХМЫА) = /В Ы М ;6) ВЫ^МЫА) = /В Н А .

В) 1 і 5; Г) 2 і 6; Д) 1 і 6.

К

*>1

//

Рис. 6.52 Рис. 6.53

215

Page 215: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

6°. Точка М віддалена від кожної вершини правильного три­кутника АВС зі стороною 3 см на 2 см. Визначте відстань від точки М до площини (АВС).

А) 1 см; Б) 2 см; В) 72 см; Г )7 3 см ; Д) 0,5 см.7°. Точки А, В, С лежать на прямій, яка перпендикулярна до

площини у (рис. 6.54). Точки В, Р, М належать площині у. У ка­ж іть кути, градусна міра яких 90°.

1) ААВР', 3)ZAFB; 5)ZABM ; 7 )/М С В ;2 ) /ВАМ -, 4) ZCB.F; 6) ZBFC; 8) /С В М .

А) 1 ,2 , 5 і 7; В) 2, 4, 6 і 8; Д )3 , 4, 5 і 6.Б) 1 ,4 , 5 і 8; Г) 2, 5, 7 і 8;

Рис. 6.54 Рис. 6.55

8°. Дві площини а і р перетинаються по прямій І під кутом 45° (рис. 6.55). ТочкаА належить площині р і знаходиться на відстані 6 см від площини а . Знайдіть відстань від точки А до прямої І.

А) 6 см; Б )ЗТ 2см ; В )2 7 3 см; Г)бТ2см; Д )8 см .9°°. На рисунку 6.56 зображено куб АВСІ)А1В 1С1І)1, у якому

проведено діагональ В хО. Виконайте ортогональне проекцію- вання цього відрізка на кожну з граней куба і поставте у відпо­відність кут між прямою В 1£) та відповідною площиною.

Я .. С.іАя-л1 1 А) В,£» (АВС);Б ) В 12)'СВ1С1Х>1); В ) В 1Щ В В 1С1); Г) В 1о 'ІА А 1В 1); М В Щ А В В г ); Е) В ^ ф С С і ) .

1) /О В 1С;г ^ в ^ ;3) ZB1Z>B;4 )ZAB1D;5 )Z B 1B1B;6 )ZA1BB1.

АБВГдЕ

Рис. 6.5610°°. З точки К до площини со проведено похилу завдовжки

16 см. Довжина проекції цієї похилої на площину со дорівнює 8 см. Знайдіть кут нахилу цієї похилої до площини со.

А) 30°; Б) 60°; В) 20°; Г)80°; Д) 50°.

216

Page 216: 10 geom bi_u

Тест для самоконтролю

11°°. Точка А знаходиться на відстані 12 см і 16 см від двох взаємно перпендикулярних площин (рис. 6.57). Знайдіть від­стань від цієї точки до прямої перетину цих площин.

А) 12 см; Б) 16 см; В) 14 см; Г )20см ; Д) 28 см.12°°. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від точки

перетину діагоналей однієї грані куба до вершини протилежної їй грані.

а а\І2 т ,чя7з „ч а ^6 т „А ) 2 ; В )~ ^ ; ~ 2 ~ ’ Д > -13°°. Ребро куба АВСІ)А,В1С1£)1 дорівнює а. Знайдіть від­

стань м іж прямими £)£)г і АС1.

А ) ^ ; Б) В ) ^ ; Г )аТ 2; Д )а 7 з .А А сі

14°°. Вершина А рівностороннього трикутника АВС віддале­на від площини у на 3\/3 см (рис. 6.58). Визначте кут між пло­щинами (АВС) і у, якщ о довжина сторони трикутника дорівнює 12 см.

А) 15°; Б) 30°; В) 45°; Г)60°; Д) 90°.А

Рис. 6.57 Рис. 6.5815°°. Ортогональною проекцією трикутника АВС є прямо­

кутний трикутник А К В з гіпотенузою 15 см і катетом 9 см. Кут між площинами цих трикутників дорівнює 30°. Знайдіть пло­щу трикутника АВС.

А) Збл/З см2; В) 54>/2 см2; Д) 108 см2.Б) 36n/2 cm2; Г) 54\ІЗ см2;16°°. Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см.

Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщ о його сторона 10 см.

А) 8 см; Б) 11см ; В) 12 см; Г) 14 см; Д )15см .

Page 217: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6 КУТИ І ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ

» Частина 2Розв’яжіть завдання 1 7 -2 8 з коротким записом ходу мірку­

вань.17*. Сторони трикутника ABC дорівнюють 10 см, 17 см і

21 см. З вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр AF завдовжки 15 см. Знайдіть від­стань від точки F до сторони ВС трикутника ABC.

18*. Ортогональною проекцією прямокутника зі сторонами 4 см і 6 см є чотирикутник, площа якого дорівнює 12 см2. Знай­діть кут нахилу між площиною прямокутника та його ортого­нальною проекцією.

19*. З точки, яка віддалена від площини а на 4 см, проведено дві похилі, як і утворюють з площиною кути 30° і 45° відповід­но, а кут між їхніми проекціями дорівнює 150°. Знайдіть від­стань між основами похилих.

20*. Дві площини перетинаються під кутом 60°. Точка А зна­ходиться на відстані 10 см від цих площин. Знайдіть відстань від точки А до прямої перетину цих площин.

21*. Дві площини перетинаються під кутом 60°. Точка В зна­ходиться на одній відстані від цих площин і на відстані 16 см від прямої перетину площин. Знайдіть відстань від точки В до цих площин.

22*. Кінці відрізка АВ належать перпендикулярним пло­щинам а і р. Точки і Bj - проекції точок А і В відповідно на пряму перетину площин. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщ о AAj = 3 см, ВВг = 4 см, AjBj = V il см.

23*. У середині двогранного кута, градусна міра якого 120°, задано точку, яка розміщена від кожної грані на відстані а. Зна­йдіть відстань від цієї точки до ребра двогранного кута.

24*. Площини рівносторонніх трикутників ABC і КВС перпендикулярні. Знайдіть кут м іж площинами (АКС) і (АВК).

25*. Ортогональною проекцією відрізка АВ на площину а є відрізок AjBj. С - середина відрізка АВ. Сх - проекція точки С на площину а. Знайдіть довжини відрізків А А Х і B B V якщ о ССг = 24 см, AAj : ВВу = 3 : 5 .

26*. Дано квадрат ABCD, сторона якого 6 см. Точка F відда­лена від кожної вершини квадрата на 7 см. Знайдіть відстань від середини відрізка FC до середини сторони АВ.

27*. З вершини В прямокутного рівнобедреного трикутни­ка ABC (ZC = 90°) проведено перпендикуляр M B завдовжки s/2 cm до площини (ABC). Знайдіть площу трикутника МАС, якщ о ВС = \І2 см.

28*. Точка М віддалена від площини правильного трикутни­к а ABC на 3 см, а від усіх його сторін - на 2V3 см. Знайдіть сто­рону трикутника ABC.

218

Page 218: 10 geom bi_u

• Частина ЗРозв’яжіть завдання 29—32 з повним обґрунтуванням.29**. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Знайдіть від­

стань від його вершини до протилежної грані.ЗО” . З точки до площини проведено дві похилі, що утворю­

ють з цією площиною кути, сума яких 90°. Доведіть, що проек­ції похилих на дану площину відносяться між собою як квадра­ти довжин похилих.

31**. Рівнобічна трапеція, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут 60°, лежить у площині а . Точка, рівновіддалена від усіх сторін трапеції, знаходиться на відстані 3 см від площи­ни а . Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції.

32**. Ортогональною проекцією трикутника, площа якого 48 см2, є трикутник зі сторонами 14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площиною цього трикутника і площиною його проек­ції.

Тест для самоконтролю |

Page 219: 10 geom bi_u

М О Д У Л Ь 7

Геометрія є пізнання всього існуючого.

Платон

Page 220: 10 geom bi_u

Основні фігури геометрії та їхнє розміщення у просторі ► Перпендикуляр і похила до площини► Відстані і кути у просторі & Перерізи

Проекціювання

Опрацювавши цей мОАУМ* о* д ізм естя;як розрізняти означувані і неозначувані поняття, аксіоми і теореми, властивості геометричних фігур;які просторові геометричні фігури є плоскими, а які - не плоскими; як називають основні поняття стереометрії;як формулюються аксіоми стереометрії та наслідки з них; означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; властивості та ознаки паралельності прямих і площин; означення перпендикулярних прямих у просторі, прямої, перпендикулярної до площини, перпендикулярних площин; властивості та ознаки перпендикулярних прямих і площин; як використовуються аксіоми стереометрії, вивчені формули, властивості для розв’язування нескладних геометричних задач; як розв’язати нескладні задачі на побудову перерізів куба, прямо­кутного паралелепіпеда та піраміди; на застосування властивостей та ознак паралельності та перпендикулярності прямих і площин; як знайти і зобразити паралельні та перпендикулярні прямі та пло­щини на малюнках і моделях;як побудувати зображення фігур і виконати на них нескладні побудови;як обчислити відстані і кути у просторі;як застосувати відношення паралельності та перпендикулярності між прямими і площинами у просторі та вимірювання відстаней і кутів у просторі до опису відношень між об’єктами оточуючого світу; вивчені властивості та ознаки до розв’язування задач; як установити та обґрунтувати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, взаємозв’язок паралельності й перпендикулярності прямих і площин, мимобіжність прямих;як класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі.

Page 221: 10 geom bi_u

Основні фігури геометрії та їхнє розміщення у просторі

Даний модуль призначається для повторення всього того, що розглядалося з курсу стереометрії у цьому навчальному році. У міні-конспекті систематизовано та узагальнено основні теми курсу, як і умовно розбито на блоки: основні фігури гео­метрії та їхнє розміщення у просторі; перпендикуляр і похила до площини, відстані і кути у просторі; перерізи та проекцію- вання.

Згідно зі структурою побудови геометрії я к науки для неї визначено:

Основні ф ігури (неозначувані) - точка, пряма, площина ( § 2 .1).

А ксіом и (§ 1.1, § 2.1)I. НалежностіІг Я ка б не була пряма, існують точки, що належать цій

прямій, і точки, що не належать їй.12. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того

ж тільки одну.13. Я ка б не була площина, існують точки, що належать цій

площині, і точки, як і не належать їй.II. Взаємного розміщенняП1. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між

двома іншими.П2. Пряма розбиває площину на дві півплощини.113. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них

можна провести площину і до того ж тільки одну.114. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони

перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.III. ВимірюванняІІІГ Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на як і він роз­бивається будь-якою його точкою.

ІІІ2. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на як і він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

IV. ВідкладанняІУ1. Н а будь-якій п івпрям ій від її початкової точки мож на

відкласти відрізок заданої довж ини і до того ж тіл ьки один.ІУ2. Від будь-якої півпрямої у задану півплощину можна

відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою 180°, і до того ж тільки один.

М О Д У Л Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

Page 222: 10 geom bi_u

ІУ3. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорів­нює йому, у заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

V. ПаралельностіУг Через точку, що не лежить на даній прямій, можна про­

вести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.Н аслідки з аксіом (§ 2.2)1. Через пряму і точку, що не належить їй, можна провести

площину і до того ж тільки одну.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма

належить цій площині.3. Через три точки, що не належать прямій, можна провес­

ти площину і до того ж тільки одну.

Взаємне розм іщ ення п р ям и х у просторі (§ 3.1)Дві прямі у просторі можуть:• перетинатися (якщо мають тільки одну спільну точку;

якщ о перетинаються під прямим кутом, то взаємно перпенди­кулярні);

• збігатися (мають дві і більше спільних точок);• бути паралельними (лежать в одній площині і не мають

жодної спільної точки);• бути мимобіжними (не лежать в одній площині).Властивості перпендикулярних прямих (§ 5.1).1. Через довільну точку прямої у просторі можна провести

перпендикулярну до неї пряму.2. Якщо дві прямі, як і перетинаються, відповідно пара­

лельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпен­дикулярні.

3. Через будь-яку точку простору, що не належить пря­мій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної (див. рис. 5.4, а).

4. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралель­них прямих і лежить з ними в одній площині, то вона перпен­дикулярна і до другої прямої (див. рис. 5.4, б).

Властивість паралельності прямих (§ 3.1). Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, проходить пряма, паралельна даній, і до того ж тільки одна.

Ознака паралельності прямих (§ 3.1). Якщо дві прямі пара­лельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

Ознака мимобіжності прямих (§ 3.1). Якщ о одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

§ 7.1. Основні фігури геометрії та їхнє розміщення у просторі

223

Page 223: 10 geom bi_u

МО ДУЛ Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

Взаємне розм іщ ення прям ої і площ ини у просторі (§ 3.2)Пряма і площина у просторі можуть:• перетинатися (якщо мають тільки одну спільну точку;

якщ о пряма при перетині площини перпендикулярна до до­вільної прямої цієї площини, що проходить через точку пере­тину, то пряма перпендикулярна й до площини);

• бути паралельними (не мають жодної спільної точки);• мати дві і більше спільних точок (пряма належить пло­

щині).Властивості перпендикулярності прямої і площ ини (§ 5.2).1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох пара­

лельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої прямої.2. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, пара­

лельні.Власт ивост і паралельності прямої і площ ини (§ 3.3).1. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площ и­

ну, то й друга пряма також перетинає цю площину.2. Якщо пряма паралельна площині, то через кожну точку,

взяту на цій площині, проходить пряма цієї площини, пара­лельна даній прямій (див. рис. 3.19).

3. Через довільну точку, яка не належить площині, про­ходить безліч прямих, я к і паралельні цій площині (див. рис. 3.20).

4. Якщо пряма паралельна кожній із площин, я к і перети­наються, то вона паралельна і прямій їхнього перетину (див. рис. 3.21).

Ознака перпендикулярності прямої і площ ини (§ 5.2). Якщо пряма перпендикулярна до кожної з двох прямих, як і лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна і до даної площини.

Ознака паралельності прямоіі і площ ини (§ 3.3). Якщо пря­ма, яка не належить площині, паралельна прямій цієї площ и­ни, то вона паралельна і самій площині.

Взаємне розм іщ ення двох площ ин у прост орі (§ 4.1)Дві площини у просторі можуть:• перетинатися по прямій (якщ о мають одну спільну точ­

ку; дві площини, що перетинаються, називаються перпенди­кулярними, якщ о третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних пря­мих (див. рис. 5.31));

• бути паралельними (не мають жодної спільної точки);• збігатися (мають дві спільні прямі, що перетинаються;

спільні три точки, що не леж ать на прямій; спільну пряму і точку, що не належить прямій).

224

Page 224: 10 geom bi_u

Власт ивост і перпендикулярності площ ин (§ 5.4).1. Будь-яка площина, яка перпендикулярна до лін ії пе­

ретину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпен­дикулярних прямих, як і утворюють кут між площинами. І навпаки, площина, перпендикулярна до двох площин, що пе­ретинаються, перпендикулярна до прямої їхнього перетину.

2. Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь- яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до їх ­ньої лінії перетину, перпендикулярна до другої площини.

3. Якщо дві площини взаємно перпендикулярні і з якої- небудь точки однієї з них опущено перпендикуляр на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Властивості паралельності площ ин (§ 4.2).1. Через точку поза даною площиною можна провести пло­

щину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.2. Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то

прямі їхнього перетину паралельні.3. Паралельні площини, перетинаючи дві паралельні пря­

мі, відтинають на них рівні відрізки (відрізки паралельних прямих, я к і містяться між двома паралельними площинами, рівні).

4. Дві площини, паралельні третій площині, паралельні м іж собою.

О знака перпендикулярності площ ин (§ 5.4). Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до дру­гої площини, то ці площини перпендикулярні.

О знака паралельності площ ин (§ 4.1). Якщо дві прямі, як і перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

$ 7.1. Основні фігури геометри та їхнє розміщення у просторі

Іі= 3

т іВправи ІІИГ'ШІ іГ

7.1°. Укажіть кількість площин, як і можна провести через три точки, що лежать на одній прямій.

А) Одну; Б) дві; В) три; Г) чотири; Д) безліч.7.2°. Укажіть кількість різних площин, я к і можна провести

через чотири точки, якщ о кожні три з них не леж ать на одній прямій.

А) Одну; Б) дві; В) три; Г) чотири; Д) безліч.7.3°. Точка К не належить площині чотирикутника АВСХ).

Визначте таке взаємне розміщення прямих у просторі, яке справедливе для чотирьох з п ’яти заданих (1-5) пар прямих, і таке, яке не задовольняє жодна пара прямих.

15-Оеотеігі(а. 10 М (Шіагіпа)22*і

Page 225: 10 geom bi_u

■. :ШМ! МОДУЛЬ 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

A) Паралельні;Б) перетинаються;B) мимобіжні.

АБВ

1 )К С ЇА В2) К А і ВС3) К В і СВ4 )К В іА В5 )К В іС В .

7.4°. Через основу АО трапеції АВСВ проведено площину а , а через середини сторін А В і СІ) - пряму Р(?. У кажіть взаємне розміщення прямої РЯ і площини а .

А )Р Я ± а ; Б) РЯС) а; В ) Р в І |а ; Г )Р £ с= а .7.5°. Відомо, що площина а перетинає бічні сторони А В і СВ

трапеції АВСВ, ВС || а. У кажіть взаємне розміщення площи­ни а і сторони А В трапеції АВСВ.

А) Паралельні; В) перпендикулярні;Б) перетинаються; Г) належить площині.7.6°. Відомо, що діагональ і сторона трапеції паралельні

площині а . У кажіть взаємне розміщення площини а і площи­ни, на як ій лежить трапеція.

А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються.7.7°. Три паралельні прямі а, Ь іс перетинають площину а у

трьох точках А, В і С, як і не належать одній прямій. Визначте взаємне розміщення площини, яка містить прямі а і Ь, та пло­щини, яка містить прямі а і с.A) Збігаються; Г) перетинаються по прямій Ь;Б) паралельні; Д) перетинаються по прямій с.B) перетинаються по прямій а;

7.8°. Дано дві паралельні площини а і р та дві паралельні прямі а і Ь, як і перетинають площини у точках А, А х та В, В 1 від­повідно. Укажіть пари рівних відрізків, якщ о А В фА А г

1 )А А 1 = В В 1; З )А 1В 1=АА1; 5)А 1В 1 = Б Б 1.2)А В = В В 1; 4 )А В =А 1В 1;

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 1 і 4; Д ) 2 і5 .7.9°. На рисунку 7.1 зображено куб

АБСІ)А1В1С1І)1. У кажіть площини, я к і пе­ретинаються по прямій ССУA) (АВС) і (СШ ^); Г) ( І Ш ^ ) і (В1С1С);Б) (В^ВС) і (ВСВ); Д) (СВВ) і ( С ^ В ^ .B )(В 1В 1С1) І ( В 1ВС);

Рис. 7.1

226

Page 226: 10 geom bi_u

7.10°. У каж іть пари паралельних площин куба ABCDAjB jCj-Dj Cphc. 7.1).

1) (ABC) і (CDjDj); 4) (ВССХ) і (CDS);2) (AjBjCj) і (BCD); 5) (AD D J і (CBBJ.3) (DtDC) і (ABBj);

A) 1 , 2 ІЗ ; Б ) 2, 3 і 4; В) 2, 3 і 5; Г) 1 , 2 і 4; Д) 1 , 3 і 5.7.11°°. Укажіть площини куба ABCDAlB lC1D l (рис. 7.1), як і

перпендикулярні до площини CDD1CV1 )A A 1D 1D; 2 )ABCD; З)АВВ1А 1; 4 ) 3 0 ^ ; б І А ^ С ^ .

А) 1 ,2 , 3 і 4; В) 1 ,3 , 4 15 ; Д) 1 ,2 , 3 і 5.Б) 2, 3, 4 і 5; Г) 1 ,2 , 4 і 5;7.12°°. Відомо, що площина а перпендикулярна до прямої Ь, а

пряма Ь перпендикулярна до площини у. Укажіть взаємне роз­міщення площин а і у.

А) Паралельні; В) перпендикулярні;Б) перетинаються; Г) збігаються.7.13°°. Площини (ABC) і со — паралельні. AAj || В В г || ССХ II

II DDV де Aj, Bj, Cj, Dj - точки площини ю; ААХ = 12 см. Знай­діть довжину відрізка CCV

А) 12 см; Б) 8 cm; В) 6 cm; Г) 4 cm; Д )15см .7.14°°. Дано три різні площини а , р і ф . Відомо, що а перпен­

дикулярна до р, а площина р перпендикулярна до ф . Укажіть взаємне розміщення площин а і ф .

A) Перетинаються або збігаються;Б) паралельні або збігаються;B) паралельні або перпендикулярні;Г) перпендикулярні або перетинаються;Д) паралельні або перетинаються.7.15°°. Відомо, що площина а паралельна прямій Ь, а пряма Ь

перпендикулярна до площини ф . Укажіть взаємне розміщення площин а і (р.

A) Паралельні;Б) перпендикулярні;B) збігаються;Г) перетинаються, але не перпендикулярні;Д) паралельні або перетинаються.7.16°°. Площина а паралельна стороні АС трикутника ABC

і перетинає його сторони в точках М і К. М - середина АС (рис. 7.2). Знайдіть довжину відрізка М К , якщ о АВ = 20 см.

§ 7.1. Основні фігури геометри та їхнє розміщення у просторі

15*227

Page 227: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

А) 15 см; В) 12 см; Д) 8 см.Б) 16 см; Г) 10 см;7.17°°. Прямі ОА, ОВ і ОС попарно перпен­

дикулярні, ОА = 4 см, ОВ = 3 см, АС = 5 см. Знайдіть довжину відрізка ВС.

А) Зсм ; В)3л/2см; Д) зТ з см.Б) 4 см; Г) 2-Уз см;7.18°°. Доведіть, що коли діагоналі чоти­

рикутника перетинаються, то його вершини лежать на одній площині.

7.19*. Точка С лежить на прямій А В , точка І) не лежить на прямій АВ. Доведіть, що площини (АВ£)) і (С£>£) збігаються.

7.20*. Дано дві прямі, як і перетинаються в точці А. Доведіть, що всі прямі, я к і перетинають обидві дані прямі і не проходять через точку А, лежать в одній площині.

7.21*. Дано дві прямі а і Ь, я к і перетинаються. Точки А і А 1 лежать на прямій а, а точки В і - на прямій Ь. Доведіть, що прямі АВ і А1В 1 лежать на одній площині.

7.22*. Точки А, В, С не леж ать на одній прямій. М є АВ, К є АС, X є М К . Доведіть, що точка X лежить на площині (АВС).

7.23*. Прямі а і Ь перетинаються в точці О, А є а, В є Ь, У є АВ. Доведіть, що прямі а, Ь та точка У леж ать на одній площині.

7.24*. Прямі а і Ь перетинаються. Доведіть, що всі прямі, які паралельні прямій Ь і перетинають пряму а, лежать на одній площині.

7.25*. Сторони АВ і ВС паралелограма АВСО перетинають площину а. Доведіть, що прямі АО і £)С також перетинають площину а.

7.26*. Доведіть, що середини сторін просторового чотирикут­ника є вершинами паралелограма.

7.27*. Доведіть, що відрізки, як і сполучають середини проти­лежних ребер тетраедра, перетинаються і точкою перетину ді­ляться навпіл.

7.28*. Через вершину А ромба АВСИ проведено пряму а, яка паралельна діагоналі ВИ. Доведіть, що прямі а і СІ) перетина­ються.

7.29**. Доведіть, що всі прямі, як і перетинають одну з двох мимобіжних прямих і паралельні другій, лежать на одній пло­щині.

228

Page 228: 10 geom bi_u

7.30". АВСІ) — паралелограм. Площина а проходить через його вершини А і В і не проходить через вершину С. Доведіть, що СІ) || а .

7.31". Площини а і Р перетинаються по прямій АВ. Пряма а паралельна площині а і площині р. Доведіть, що прямі а і АВ паралельні.

7.32“ . Через точку перетину діагоналей паралелограма АВСІ) проведено пряму ОМ так, що точка М не належить площині паралелограма, М А = МС і М В = МІ). Доведіть, що пряма ОМ перпендикулярна до площини паралелограма.

7.33". Пряма АМ перпендикулярна до площини квадрата АВСІ), діагоналі якого перетинаються в точці О. Доведіть, що пряма ВІ) перпендикулярна до площини (АМО).

7.34". Доведіть, що коли дві площини а і р перпендикулярні до прямої а, то вони паралельні.

7.35". У тетраедрі АВСІ) точка М - середина ВС, А В = АС,І)В = І)С. Доведіть, що площина трикутника АОМ перпендику­лярна до ВС.

7.36". Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна про­вести паралельні площини.

7.37". АВСІ) - паралелограм, ВЕ і — перпендикуляри до площини (АВС). Доведіть, що площини (АВЕ) і (D^'C) пара­лельні.

7.38". АВСІ) — паралелограм, А/У і СК — перпендикуляри до площини (АВС). Доведіть, що площини {АВЩ і (КВС) паралельні.

7.39". Площини а і Р паралельні площині 5. Доведіть, що площини а і р паралельні.

Перпендикуляр і похила Д° площини, відстані та кути у просторі

П ерпендикуляр і похила (§ 5.3)П ерпендикуляром , проведеним з даної точки на дану пло­

щину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини (див. рис. 5.21, в). Кінець цього відрізка, який лежить на пло­щині, називається основою перпендикуляра.

П охилою , проведеною з даної точки до даної площини, на­зивається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точ­кою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінець від­різка, що лежить на площині, називається основою похилої.

# 7.2. Перпендикуляр і похила до площини, відстані та кути...

229

Page 229: 10 geom bi_u

М О ДУЛ Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

Відрізок, який сполучає основу перпендикуляра і основу похи­лої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проек­цією похилої.

Якщо з однієї точки поза площиною провести до неї перпен­дикуляр і похилі, то:

1) довжина перпендикуляра менша за довжину будь-якої похилої;

2) похилі, що мають рівні проекції, рівні між собою;3) з двох похилих більшу довжину має та, яка має більшу

проекцію.

Т е о р е м а (про три перпендикуляри).Якщо пряма, проведена на площині через основу

похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона пер­пендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпен­дикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

К ут и у просторі (§ 6.1)Менший з кутів, як і утворюють дві прямі, що перетина­

ються, називається кут ом між прям им и. Кут між перпенди­кулярними прямими дорівнює 90°. Кутом між паралельними прямими вважають кут, що дорівнює 0°. К ут ом між м им о­біж ними прямими називається кут між прямими, як і перети­наються і відповідно паралельні мимобіжним.

Кутом між прям ою і площ иною називається кут між цією прямою і П проекцією на площину. Якщо пряма а перпендику­лярна до а , то кут між нею і площиною дорівнює 90°, якщ о па­ралельна, то 0°.

Д вогранним кут ом називається фігура, утворена двома півплощинами разом зі спільною прямою, що їх обмежує. Цю пряму називають ребром двогранного кута.

Якщ о двогранний кут перетнути площиною, перпендику­лярною до його ребра, то промені, по яких перетинає вона за­дані півплощини, утворюють л ін ій н и й кут (див. рис. 6.3).

К ут ом між площ инам и, що перетинаються, називається кут між прямими, утвореними перетином цих площин третьою площиною, перпендикулярною до їхньої лінії перетину. Кутом між паралельними площинами вважають кут, що утворює 0°.

Відст ані у просторі (§ 6.2)Відстанню між двома т очкам и А і В називається довжи­

на відрізка АВ. Відстань від т очки А до прям ої І дорівнює до­вжині перпендикуляра АО, проведеного із цієї точки до даної прямої (див. рис. 6.15). Відст анню від т очки до площ ини на­

Page 230: 10 geom bi_u

зивається довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини (див. рис. 6.16). Відстань між двома паралель­ним и прям им и дорівнює довжині спільного перпендикуля­ра цих прямих (див. рис. 6.18). Відстань між паралельним и прямою і площ иною дорівнює довжині спільного перпенди­куляра, проведеного з якої-небудь точки прямої до площини. Відстань між паралельним и площ инам и дорівнює довжині спільного перпендикуляра, проведеного з якої-небудь точки однієї площини до другої.

С пільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендику­лярний до кожної з них.

Відстанню між мимобіж ними прям им и називається дов­жина їхнього спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.

П ерерізи (§ 2.3)Якщо принаймні дві точки просторової геометричної фігу­

ри лежать по різні боки від площини, то кажуть, що площи­на її перетинає. У цьому разі таку площину називають січною площ иною . Фігура, яка складається з усіх спільних точок для геометричної фігури і січної площини, називається перерізом геомет ричної ф ігури.

Пряму, по якій площина перерізу перетинає площину якої- небудь грані многогранника, називають слідом площ ини пе­рерізу. Цим встановлюється кількість слідів: слідів стільки, скільки площин граней перетинає площина перерізу.

Під час побудови перерізу слід пам’ятати:- через дві точки, що належать площині, проходить тільки

одна пряма, яка належить цій площині;- щоб побудувати лінію перетину двох площин, необхідно

відшукати дві точки, як і належать обом площинам, і через них провести лінію перетину;

- під час побудови перерізів многогранників січною пло­щиною слід відшукати відрізки, по яких січна площина пере­тинається з гранями многогранника.

П роекцію вання (§ 4.3 і § 6.3)Щоб зобразити просторові фігури на площині, користуються

різними методами. Один з них - паралельне проекціювання.П аралельне проекцію вання - це метод зображення довіль­

ної геометричної фігури на площині, при якому всі точки фігу­ри переносяться на площину по прямих, паралельних заданій, яка називається напрямом проекціювання. Кожна геометрич­на фігура складається з точок. Тому, проекціюючи послідовно точки фігури на площину, отримуємо зображення, яке нази­

$ 7.2. Перпендикуляр і похила до площини, відстані та кути...

Page 231: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

вають проекцією цієї фігури, а спосіб виконання зображення - паралельним проекціюванням.

Властивості паралельного проекціювання для прямих і від­різків, не паралельних напряму проекціювання:

1. Проекцією прямої є пряма, а проекцією відрізка - відрі­зок.

2. Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються.3. Відношення довжин відрізків однієї прямої або паралель­

них прямих зберігаються (див. рис. 4.26), тобто дорівню­ють відношенням довжин своїх проекцій, зокрема середи­на відрізка проекціюється в середину його проекції.

Паралельне проекціювання, напрям якого перпендикуляр­ний до площини проекцій, називається орт огональним про­екцію ванням . Для ортогонального проекціювання виконують­ся всі властивості паралельного проекціювання.

П лощ а орт огональної проекції довільного многокутника на площину дорівнює добутку площі многокутника на косинус кута м іж його площиною і площиною проекції.

І Н Н Н

7.40°. З точки М до площини квадрата АВСХ) проведено перпендикуляр М І). Виберіть правильні твердження.

1) М Б - відстань від точки М до площини (АВС£>);2) М В - відстань від точки М до сторони АВ;3) МС - відстань від точки М до сторони ВС;4)А М - відстань від точки М до сторони АВ;5) М В - відстань від точки М до площини (АВ С Б ).

А) 1 ,2 ІЗ ; Б) 2, 3 і 4; В )3, 4 і 5; Г) 1 , 3 і 4; Д) 2, 4 і 5.7.41°. Умовами (А-В) задано геометричні фігури, а умовами

(1-5) - проекції деяких геометричних фігур. Виберіть таку ф і­гуру серед (А-В), яка може проекціюватися в чотири фігури (1-5), і таку, яка не може проекціюватися в жодну з них.

A) Трикутник; 1) Квадрат;Б)квадрат; 2 ) трапеція;B) трапеція. 3) ромб;

4) прямокутник;5) паралелограм.

7.42°. Дано куб АБСДА1В 1С1Х)1 (рис. 7.3). Виберіть правильні твердження щодо визначення кута нахилу між прямою та пло­щиною.

АБВ

Page 232: 10 geom bi_u

§ 7.2. Перпендикуляр і похила до площини, відстані та кути...

\ ) В 1А (АВ С ) = / В 1АВ-, 4 )D 1в 'U Б D ) = Z.D1CZ);2) С ^ В С Б ) = АС^ВВ^, 5 ) А ^^ О С В ) = / А ^ В .3) А ^ А С Я ) = ZA1CA;

А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) З і 5; Г) 1 і 4; Д ) 2 і5 .

7.43°. Точка О - центр кола радіуса Д, описаного навколо різ- ностороннього трикутника АВС, а точка К - рівновіддалена від вершин трикутника АВС (рис. 7.4). У кажіть правильні твер­дження.

1) ААОВ = АВОС = ЛАОС;2) АКОА = АКОВ = АКОС;3) АК'(АВС) = ВК'ЇАВС) = СК^АВС);4) АО = ВО = СО = Д;5) АВ = ВС =АС = а, де а - довжина відрізка.

А) 1 ,2 ІЗ ; Б) 2, 3 і 4; В) 3, 4 і 5; Г) 1 ,2 і 4; Д) 1 ,3 і 4. 7.44°. Точка О - центр кола раді- з

К

Рис. 7.3 Рис. 7.4

ж іть правильні твердження.

уса г, вписаного в різносторонній трикутник АВС, а точка 5 - рівно- віддалена від його сторін (рис. 7.5). ЄР 1 АС, ЯЯ 1 ВС, ЯБ 1 АВ. Ука-

1) АвАО = АБВО = АБСО;2) АБРО = АБЯО = АББО;3) ОР = СКІ = ОБ = г; В4) ОР ±АС , О Я 1 ВС, ОБ 1 А В ;5) ОА ±А Я , О В 1 ВЯ, ОС 1 СЭ.

Рис. 7.5

А) 1 ,3 і 4; Б) 2, З і 5; В) 2, 4 і 5; Г) 2, З і 4; Д) 1 ,3 і 5.

233

Page 233: 10 geom bi_u

М ОДУЛ Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

7.45°. Пряма М В перпендикулярна до сторін А В і ВС трикут­ника АВС, а точка належить стороні АС. Визначте вид три­кутника МВІ).

А) Прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.7.46°. Пряма КО перпендикулярна до діагоналей АС і В Б ква­

драта АВСО, які перетинаються в точці О. Визначте вид трикут­ника КОС.

А) Гострокутний; Б) прямокутний; В) тупокутний.7.47°°. Відстань від точки К до площини а дорівнює х см, а по­

хила, проведена з цієї самої точки до площини, на 3 см довша. Визначте рівняння, яке є математичною моделлю цієї задачі, якщ о проекція даної похилої на площину а дорівнює 15 см.

A) х 2 + ( х - З)2 = 152; Г) (* + З)2 + 152 = х2;Б) х 2- ( х - З)2 = 152; Д) х 2 + (х + З)2 = 152.B) х 2 + 152 = (я + З)2;7.48°°. З точки А до площини проведено перпендикуляр і по­

хилу, довжина якої 18 см. Кут між похилою і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.

А) 9 см; Б) 9ч/з см; В) 9>/2 см; г )б 7 з см; Д)6х/2 см.7.49°°. З точки поза даною площиною проведено до неї

перпендикуляр завдовжки 6 см і похилу, довжина якої 9 см. Знайдіть довжину проекції перпендикуляра на похилу.

А) 4 см; Б) 5 см; В)ЗТ2см; Г)2\/Зсм ; Д )6 \/2см .7.50°°. Точка, яку взято на одній із граней двогранного кута,

знаходиться від ребра на відстані в 2 рази більшій, ніж від дру­гої грані. Знайдіть величину двогранного кута.

А) 90°; Б) 45°; В) 30°; Г) 60°; Д) 15°.7.51°°. Точка О - центр квадрата зі стороною 4 см. АО - пря­

ма, перпендикулярна до площини квадрата, АО = 2\І2 см. Знай­діть відстань від точки А до вершин квадрата.

А) 4 см; Б) 8 см; В)4>/2см; Г)3%/2см; Д)8л/2см.7.52°°. Точка О - центр квадрата АВСО. ОМ - перпендикуляр

до площини АВСО, АВ = 8 см. Пряма М А нахилена до площини квадрата під кутом 60°. Знайдіть відстань м іж точками М І В .

А) 272 см; Б )3 \/2 с м ; В )4 \/2 с м ; Г) 8 см; Д )8 \/2 с м .7.53°°. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і

21 см. З вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр АО, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки Б до сторони ВС.

234

Page 234: 10 geom bi_u

А) 17 см; Б) 7241 см; В)17%/2см; Г )21см ; Д )2 Ь /2 см .7.54°°. АВС Б - прямокутник, М А - перпендикуляр до пло­

щини прямокутника, /.М СА = 60°, І)С = 3 см, СВ = 4 см. Знай­діть площу трикутника МВС.

А) 20 см2; В) 20>/з с м 2 ; Д) 4>/2Ї см2.Б)8л/21 см2; Г)15л/3 см2;7.55°°. З точки до площини проведено дві похилі, довжини

яких відносяться як 5 : 6. Знайдіть відстань від точки до пло­щини, якщ о відповідні проекції похилих дорівнюють 4 см і зТ з см.

А) 5 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см; Д) Т і ї см.7.56*. З точки М , взятої поза площиною р, проведено дві по­

хилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Проекції цих похилих від­носяться як 7 : 1. Знайдіть відстань від точки М до площини р.

7.57*. З точки, взятої поза площиною а на відстані 12 см, про­ведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Знайдіть відно­шення проекцій цих похилих на площину а.

7.58*. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М зна­ходиться поза площиною ромба і віддалена від усіх сторін ром­ба на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.

7.59*. Точка М рівновіддалена від сторін ромба і знаходиться на відстані 2 см від площини ромба. Знайдіть відстань від точ­ки М до сторін ромба, якщ о його діагоналі дорівнюють 12 см і 16 см.

7.60*. Рівнобічна трапеція, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут 60°, лежить у площині а. Точка, рівновіддалена від усіх сторін трапеції, знаходиться на відстані 3 см від площи­ни а. Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції.

7.61*. Трапеція вписана в коло, причому менша її основа, що дорівнює 16 см, стягує дугу в 60°. На відстані 12 см від площи­ни трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції. Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.

7.62*. З точки А , взятої поза площиною а , проведено до неї рівні похилі АВ і АС. Відстань ВС м іж основами похилих дорів­нює 10 см. Кут між ВС і А В дорівнює 60°, кут між ВС і проек­цією похилої АВ на площину а - 30°. Знайдіть відстань від точ­ки А до площини а .

7.63*. З точки до площини проведено дві похилі. Довжина од­нієї похилої дорівнює 13 см, а довжина її проекції - 5 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 120°, а довжина відрізка,

§ 7.2. Перпендикуляр і похила до площини, відстані та кути...

235

Page 235: 10 geom bi_u

М О Д У Л Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

що сполучає основи похилих, - 19 см. Знайдіть довжину іншої похилої.

7.64*. У трикутнику АВС сторони А В = 15 см, АС = 13 см, СВ = 14 см. З вершини А проведено до його площини перпенди­куляр, який дорівнює 16 см. Знайдіть відстань від його кінців до сторони ВС.

7.65*. Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 15 см і 8 см. Через вершину А меншого кута трикутника проведено пря­му А М , перпендикулярну до його площини. Знайдіть відстань від точки М до прямої, яка містить меншу сторону трикутника, коли відомо, що А М = 20 см.

7.66**. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 32 см. До площини трикутника з середини гіпотенузи проведе­но перпендикуляр, який дорівнює 12 см. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до катетів.

7.67” . З вершини гострого кута прямокутного трикутника АВС (/.С = 90°) проведено перпендикуляр А В до його площини. Знайдіть відстані від точки В до вершин В і С, якщ о АС = 15 см, ВС = 8 см, А В = 12 см.

7.68” . Точка М знаходиться на однаковій відстані від усіх сторін правильного трикутника зі стороною 12 см і віддалена від площини трикутника на 6 см. Знайдіть відстані від точки М до сторін трикутника.

7.69” . Точка М рівновіддалена від сторін правильного три­кутника і знаходиться на відстані 6%/з см від площини трикут­ника. Кут між перпендикуляром і похилою, проведеними із точки М до площини цього трикутника, дорівнює 60°. Знайдіть сторону цього трикутника.

7.70” . Ортогональною проекцією трикутника, площа якого дорівнює 48 см2, є трикутник зі сторонами 14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площиною цього трикутника і площиною його проекції.

7.71” . Ортогональною проекцією даного трикутника є три­кутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см. Площина трикутника утворює з площиною проекції кут 60°. Обчисліть площу даного трикутника.

7.72” . Рівнобедрені трикутники мають спільну основу зав­довжки 16 см, а їхні площини утворюють м іж собою кут 60°. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторо­ни іншого трикутника взаємно перпендикулярні. Знайдіть від­стань між вершинами трикутників.

7.73” . Рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16 см. Відстань між вершинами цих трикутників

236

Page 236: 10 geom bi_u

Прикладні задачі

дорівнює 13 см. Бічна сторона одного трикутника — 17 см. Ін­ший трикутник - прямокутний. Знайдіть кут між площинами цих трикутників.

7.74**. Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см, нале­ж ать двом перпендикулярним площинам. Відстані від кінців відрізка до лінії перетину даних площин відповідно дорівню­ють 12 см і 12л/2 см. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами.

7.75". З кінців відрізка, що належать двом перпендикуляр­ним площинам, до лінії перетину даних площин проведено перпендикуляри, що дорівнюють 4-У2 см і 4 см. Відстань між основами перпендикулярів дорівнює 4 см. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами.

7.1. Запроектовано чотирисхилий дах. Доведіть, що проекції ребер даху - це бісектриси кутів прямокутника, який є загальним контуром плану даху.

7.2. Для будинку прямокутної форми треба зробити чотирисхилий дах, зображений на рисунку, з розмірами АВ = 2а м, ВС -2 Ь м . Усі схили даху утворюють з горизонтом однаковий кут, що дорівнює а. Знайдіть, скіль­ки квадратних метрів заліза потріб­но для даху, коли на шви та відходи передбачається витрата заліза, що становить к % від площі даху.

.. 4аЬ ( Л к )Відповідь. 1 + ----- м.С080\ 100 )

7.3. У безвітряну погоду падає «косий» дощ. Як за до­помогою листа фанери визначити кут, який утворює тра­єкторія падаючих крапель з горизонтальною площиною? Зробіть відповідний рисунок.

Вказівка. Треба розмістити лист фанери так, щоб його площина була приблизно перпендикулярна до площини, яку визначають траєкторія руху краплини та її проекція на горизонтальну площину. Тоді на горизонтальній пло­щ ині отримаємо прямокутник А О Р£, на який дощ не па­дає. Далі слід виміряти РМ і РІУ та знайти тангенс кута м іж ними.

7.4. Над дитячим ліж ком, яке займає площу , плану­ють повісити полог з двох однакового розміру прямокут­них завіс, ширина яких нарізно дорівнює довжині л іж ка, а кож на завіса займає площу 5 2. Обидві завіси закріплено верхніми кінцями до планки, що є однаковою за довжи-

237

Page 237: 10 geom bi_u

МОДУЛ Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

ною з ліжком і яку закріплено над ліжком паралельно. Ви­значте висоту планки над ліж ком, якщ о її довжина дорів­нює п і краї завіс доходять до верхніх країв л іж ка (вважати, що завіси натягнуто у вигляді площин). Розв’язати зада­чу для таких числових даних: п = 1 м 20 c m , S j = 6000 см2, S 2 = 7800 см2. Зробіть відповідний рисунок.

J 4S0 - S?Вказівка. —— -----—. Відповідь. 0,5 м.

2л7.5. Основою чотирисхилого даху є прямокутник зі сторо­

нами 18 м і 12 м. Кути нахилу схилів даху однакові та дорів­нюють 40°. Скільки черепиці потрібно для покриття даху, якщ о на 1 м2 даху витрачається 15 штук черепиці?

Вказівка. Скористайтеся (частково) результатом поперед­ньої задачі.

7.6. Зобразіть геометричні образи кута між прямими, кута між прямою та площиною, кута між двома площина­ми, використовуючи як модель шестигранний олівець і роз­горнуту книжку.

7.7. Покажіть на зображенні даху (задача 7.1), що має дві площини симетрії, напрями, за якими буде стікати дощова вода.

Андрій Миколайович Колмогоров(1903-1987)Досконало викладати математику може лише той, хто сам нею захоплений.

А. М. Колмогоров

«Можна прямо сказати, що А. М. Кол­могоров не має собі рівних серед матема­тиків нашого часу*. (П. С. Александров)

Народився А. Колмогоров у Тамбові, де затрималася його мати, коли їхала з Криму. Вона померла під час пологів, і всі турботи за доглядом та вихованням дитини взяла на себе сестра матері. Не­легким був ш лях Андрія М иколайовича у велику математику. Він рано почав заро­бляти собі на хліб - їздив провідником на залізничному транспорті. Ш колу закінчу­вав екстерном.

У 1920 p. А.М . Колмогоров вступив на ф ізико-м атем атичний факультет Московського університету і став учнем М.М. Лузі- на. Будучи студентом, також працював.

Наукова діяльність А.М. Колмогорова вражає різноманіт­ністю інтересів, думок і глибиною проникнення в сутність

•ME]

Page 238: 10 geom bi_u

З літопису геометрії

проблем, які стоять перед наукою. Ось неповний перелік тих галузей математики, у яких учений отримав значні результа­ти: теорія ортогональних рядів, дескриптивна теорія множин, математична логіка, класична теорія ймовірностей, геометрія, випадкові процеси, математична статистика, функціональний аналіз, теорія наближень, топологія, диференціальні рівнян­ня, теорія стрільби, турбулентність, теорія алгоритмів, дина­мічні системи, класична механіка, метрична теорія функцій, теорія інформації, алгоритмічна теорія ймовірностей. Суттєву компоненту в його дослідженнях складали праці в галузі су­міжних наук: у фізиці, біології, геології, океанології, метео­рології, кристалографії, філософії, історії математики і т. д. У кожній галузі, якою займався учений, він досягав вершин. Його роботи можна назвати класичними: їхній вплив із часом не тільки не зменшується, але й постійно зростає.

Значний внесок учений зробив і в топологію. Він увів по­няття когомології, сформулював ідею топологічного векторно­го простору, а також отримав важливі результати про подання функцій декількох змінних функціями меншого числа зм ін­них. Він також вніс зміни в удосконалення ш кільних програм з математики, написав кілька ш кільних підручників.

Починаючи з 1920 р. вся діяльність А.М. Колмогорова пов’язана з Московським державним університетом, у якому він створив всесвітньо відому наукову школу. Учений був дуже захоплений наукою, і тому все ж иття його оточували таланови­ті учні. Серед них - 10 академіків; під його безпосереднім ке­рівництвом більш ніж 80 науковців захистили свої дисертації.

А.М. Колмогоров - лауреат Ленінської і Державної премій СРСР, нагороджений сімома орденами Леніна, отримав звання Героя Соціалістичної Праці. Він був членом більш ніж 20 зару­біжних академій і наукових товариств.

А.М. Колмогорова по праву вважають одним з найвидатні- ших учених XX ст.

Павло Сергійович Александров (1896-1982)

Павло Сергійович Александров - росій­ський математик, який прожив яскраве й красиве ж иття. Народився в сім’ї л ікаря в Бєлгородську (нині м. Ногінськ) Москов­ської області. Уже в 14 років П. Алексан­дров захоплювався математикою, однак він добре знав і любив і літературу, осо­бливо поезію, і музику, і театр.

239

Page 239: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

У 19 років, на другому році навчання в Московському уні­верситеті (1913-1917 рр.) на математичному факультеті, розв’язав задачу - теорему про потужність т ак званих боре- лівських множин. (Науковий керівник дослідження М.М. Лу- зін - представник нового в ті часи теоретико-множинного на­пряму). Це велике досягнення надало йому можливість одразу стати в перші ряди московських математиків.

Наступною задачею Лузіна, визначеною для молодого на­уковця, була так звана континуум-проблема. Це була одна з найважчих задач того часу. Саме ця задача змінила ж иття Пав­ла Сергійовича. Спроба її розв’язати була відносно невдалою, тому вчений засумнівався у своїх математичних здібностях. (Пізніше стало відомо, що в колі ідей і методів школи Лузіна ЇЇ розв’язати було неможливо). Він покинув університет і став режисером у театрі, завідував театральною секцією народної освіти, читав лекції з літератури і музики. Однак цей період ж иття вченого був дуже коротким. У 1921 р. він повернувся до Московського університету і ніколи більше його не залишав.

Найпродуктивніший період ж иття П.С. Александрова - пе­ріод, коли він співпрацював з П.С. Урисоном. Вони створюють новий напрям геометрії - основи топології. У 1921-1924 рр. ними зроблено фундаментальний внесок в основи теоретико- множинної топології. За ці роботи П.С. Александрова в 1929 р. обирають членом-кореспондентом Академії наук СРСР. З 1929 р. він стає професором Московського університету, а з 1932 р. - президентом Московського математичного товари­ства. Академік АН СРСР з 1953 р. стає в 1954 р. членом ред­колегії «Математичної енциклопедії», редактором журналу ♦Успіхи математичних наук». Звання Героя Соціалістичної Праці йому присвоюють в 1969 р.

Ученим розроблено гомологічну теорію вимірності, яка безпосередньо закріплена за ним як першовідкривачем. П.С. Александров - почесний президент Московського мате­матичного товариства (1964 р.), член багатьох Академій наук і наукових товариств, лауреат багатьох премій, відкривач ра­дянської топологічної ш коли, яка отримала світове визнання. Павлу Сергійовичу Александрову належить заслуга у створен­ні наукової школи. Це була висококультурна людина, яка во­лоділа вміннями організовувати і навчати талановитих моло­дих людей, що захоплювалися математичною наукою.

240

Page 240: 10 geom bi_u

З літопису геометри

Погорєлов Олексій Васильович(1919-2002)У школі є два головні предмети-рідна мова й геометрія. Одна вчить людину грамотно викладати думки, друга - дедуктивному мисленню.

О. В. Погорєлов

Народився Погорєлов Олексій Васильо­вич 3 березня 1919 р. у м. Короча (Бєлго­родська область).

Інтерес до математики у нього з ’явився ще в 13-14 років у зв’язку з успішним виступом на математичних олімпіадах для ш колярів у роки навчання в середній ш колі № 80, що і нині знаходиться на вулиці Другої п ’ятирічки м. Харкова. Це і ви­значило подальшу долю Олексія Васильовича. У 1936 р. він стає студентом фізико-математичного факультету Харківсько­го університету, а у 1941 р. з початком Великої Вітчизняної війни його було призвано до армії і направлено до Військово- повітряної академії ім. Ж уковського (Москва).

Після закінчення війни Олексій Васильович продовжив на­вчання і у 1947 р. захистив у Московському університеті кан­дидатську дисертацію, а потім перевівся до Харківського уні­верситету, де у 1948 р. захистив докторську дисертацію. Ця робота була відзначена Сталінською премією (1950 р.) - пер­шою з шести престижних премій, якими було відзначено його наукові досягнення.

Завдяки фундаментальним результатам О.В. Погорєлова вітчизняна школа з геометрії в цілому займала в другій по­ловині XX ст. провідне місце у світі. З 1960 р. Олексій Васи­льович став працювати в новозаснованому у Харкові Фізико- технічному інституті низьких температур Академії наук України та очолив відділ геометрії. Вже будучи вченим зі сві­товим ім ’ям, Олексій Васильович почав займатися створенням підручника для ш коли. Погорєлов побудував виклад матеріалу у своєму підручнику, поклавши в його основу строгу й прозору систему аксіом. Навчаючись за підручником геометрії О.В. По­горєлова, виросло не одне покоління ш колярів. З моменту ма­сового впровадження в школи (1982 р.) підручник більше двох десятиліть перевидавався багатомільйонними накладами різ­ними мовами. У школах України він використовується і тепер.

У Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.Є. Вєркіна Національної академії наук України Олексій Васильович пропрацював 40 років - до від’їзду до Москви в 2000 р., де помер 17 грудня 2002 р.

Першокласні підручники О.В. Погорєлова для вузів і се­редньої школи, як і вся його науково-педагогічна спадщина,

16-веотеїгі&а, 10 к) (Вдаліші) 241

Page 241: 10 geom bi_u

ввійшли в скарбницю світової науки і продовжують служити людям.

Погорєлов Олексій Васильович - заслужений діяч науки і техніки України, почесний громадянин міста Харкова, лауре­ат Державної премії СРСР (1950 р.), Міжнародної премії іме­ні Лобачевського (1959 р.), Ленінської премії (1962 р.), Дер­жавної премії УРСР (1974 р.), Премії АН УРСР ім. Крилова (1988 р.), Премії НАН України ім. Боголюбова (1998 р.).

М О Д У Л Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

• Частина 1Завдання 1—16 мають варіанти відповідей, з яких правиль­

на тільки ОДНА або конкретна кількість. Виберіть правильну відповідь.

1°. Через три точки простору проведено різні площини. Ви­беріть три можливі розміщення цих точок.

A) Лежать на двох паралельних прямих;Б) лежать на одній прямій;B) лежать на трьох прямих, як і не перетинаються;Г) лежать на двох площинах, як і перетинаються;Д) лежать на двох різних прямих, як і перетинаються.2°. Точка М не належить площині трикутника АВС. У кажіть

взаємне розміщення прямих МС ІА В .A) Збігаються;Б) мимобіжні;B) перпендикулярні;Г) паралельні;Д) перетинаються, але не перпендикулярні.3°. Дві прямі т і к площини а перетинаються в точці О, а дві

прямі а і Ь площини Р - в точці Визначте взаємне розміщення площин а і р, якщ о т\\ а, к || Ь.

А) Збігаються; Б) перетинаються; В) паралельні.4°. Укажіть мимобіжні прямі, що містять ребра куба

АВСДА1В1С1Г>1 (рис. 7.6).А) СХ> іА 1В1; В)А 1і ) 1іА В; Д )В В 1і і ) І ) 1.Б) В 1С1 і АО; Г)АА1 і СС^;

Page 242: 10 geom bi_u

Тест для самоконтролю

А /\11

о ,

в и -/

У г

С,

Рис. 7.6 Рис. 7.7

5) одна точка;6) три точки;7) відрізок;8 )чотирикутник.

Д) 2, 3, 5, 6 і 7.

5°. Укажіть для правильного трикутника його можливі проекції.

1) Правильний трикутник;2) рівнобедрений трикутник;3) прямокутний трикутник;4) різносторонній трикутник;

А) 1, 2, 4, 5 і 7; В) 1, 2 ,4 , 7 і 8;Б) 2, 3, 4, 5 і 8; Г) 1, 2, 3, 4 і 7;6°. Точка Я рівновіддалена від сторін трапеції АВСИ,

Я М ± АО, ЯР ± СО, ОС || АВ (рис. 7.7). Визначте два відрізки, як і будуть рівними при будь-якому виді трапеції.

1)0А ; 2) ЯМ ; 3 )(?0 ; 4) ЯР; 5)ЯС; 6) ЯВ.

А) 1 і 6; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г ) 3 і6 ; Д) 1 і 5.7°. Пряма РА перпендикулярна до площини ромба АВСО,

О - точка перетину його діагоналей. У кажіть відрізок, який є відстанню між мимобіжними прямими АР і ВО.

А) АС; Б )РС ; В) ВО; Г)РО ; Д)АО.8°. Пряма КО перпендикулярна до діагоналей АС і ВИ ква­

драта АВСІ), як і перетинаються в точці О. Визначте вид трикут­ника К О А.

А) Гострокутний; Б) прямокутний; В) тупокутний.9°°. Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої Ь, а пря­

ма Ь перпендикулярна до площини ф. У кажіть взаємне розмі­щення прямої а і площини ф.

А) Паралельні; В) перпендикулярні;Б) перетинаються; Г) пряма належить площині.10°°. Відомо, що площина а перпендикулярна до прямої Ь,

а пряма Ь паралельна прямій с. Укажіть взаємне розміщення прямої с і площини а.

243

Page 243: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

A) Паралельні;Б) перпендикулярні;B) пряма належить площині;Г) паралельні або пряма належить площині;Д) паралельні або перетинаються.11°°. Площина а , яка паралельна основі

ВС трапеції АВС.О, перетинає сторони А В і СИ в точках М і К відповідно. М - середина А В ,А В = 10 см, ВС = 4 см (рис. 7.8). Знайдіть довжину відрізка М К .

А) 8 см; В) 14 см; Д) 10,5 см.Б) 7 см; Г) 12 см;12°°. Кінці ребер куба, як і виходять з од­

нієї вершини, сполучено відрізками. Площа трикутника, який утворився при цьому, дорівнює \/Ї2 см2. Знайдіть довжину реб­ра куба.

А) 272 см; Б )4 \/2см ; В )2\/Зсм ; Г) 2 см; Д )3 см .13°°. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює

5 см, діагональ квадрата - 6 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата.

А) 3 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 5 см; Д) 8 см.14°°. Відрізок М К - середня лінія трикутника АВС (М є АС,

К є АВ ), у якому ZC = 90°. Відрізок РК - перпендикуляр до пло­щини (АВС). Визначте прямі кути.

1 )РК А; 3) РМС; 5)Р М В ; 7) РВМ;2) РСВ; 4) РВС; 6 )Р К М ; 8) РАС.

А) 1 ,4 і 7; Б) 3, 5 і 8; В) 2, 6 і 8; Г) 1 ,3 і 6; Д) 2, 4 і 7.15°°. Дано куб АБСДА1В 1С1І>1. Через ребра А1І>1 і ВС прове- і

дено площину. У кажіть лінійні кути, як і визначають кут між площинами (А1£>1СВ)і (ВСС1В 1).

1 )^ С 1І)1С; 2 ) / В 1А 10 1; 3 ) / Б 1СС1; 4) Z Б 1BA1; 5) ZB 1A 1B.

А) 1 і 2; Б) 2 ІЗ ; В) 3 і 4; Г) 4 і 5; Д) 1 і 5.16°°. З даної точки до площини проведено дві похилі, різни­

ця довжин яких дорівнює 6 см, їхні проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

А) 36 см; Б) 39 см; В) 33 см; Г) ЗО см; Д) 42 см.

244

Page 244: 10 geom bi_u

Тест для самоконтролю• Частина 2Розв’яжіть завдання 17—28 з коротким записом ходу мірку-

ВдНЬ»17*. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см.

Поза площиною трикутника дано точку, яка знаходиться на відстані 10 см від кожної його вершини. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

18*. Основа і висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка знаходиться на відстані 6 см від площини три­кутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.

19*. З деякої точки простору до даної площини проведено перпендикуляр, що дорівнює 12 см, і похила завдовжки 13 см. Обчисліть проекцію перпендикуляра на похилу.

20*. До площини прямокутника АВСО через його вершину І) проведено перпендикуляр Ьк, кінець якого К віддалений від сторони АВ на 2,4 см, від сторони ВС - на 2,8 см, від верши­ни В - на 3,6 см. Знайдіть довжину перпендикуляра ПК.

21*. У прямокутному трикутнику АВС кут А дорівнює 30°, більший катет - 6 см. З вершини гострого кута В проведено пер­пендикуляр ВК = 2\[ё см до площини трикутника. Знайдіть від­стань від точки К до катета АС.

22*. Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см і ЗО см. Точ­ка М віддалена від усіх сторін трикутника на 17 см і проекцію- ється у внутрішню точку трикутника. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

23*. Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см і 75 см. З вершини більшого кута трикутника до його площини прове­дено перпендикуляр, довжина якого 60 см. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника.

24*. Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона - 12 см. Точка М віддалена від усіх сторін ромба на 13 см. Знайдіть від­стань від точки М до площини ромба.

25*. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27\/з см2. Знайдіть відстань між площиною трикутника і точкою, яка від­далена від кожної з його вершин на 10 см.

26*. З точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі завдовжки 5 см і 4%/ІЗ см. Кут між проекціями цих похилих дорівнює 60°. Знайдіть від­стань між основами похилих.

27*. З кінців відрізка, що належать двом взаємно перпен­дикулярним площинам, до лінії перетину даних площин про­ведено перпендикуляри, відстань між основами яких дорів­нює 3 см. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють 3\[2 см і зТз см. Обчисліть кути, утворені відрізком з даними площинами.

245

Page 245: 10 geom bi_u

МОДУЛ Ь 7 УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО

28’. Відрізок завдовжки 25 см опирається кінцями на дві вза­ємно перпендикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площин дорівнюють 15 см і 16 см. Знайдіть проекції відрізка на кожну з площин.

• Частина ЗРозв’яжіть завдання 29—32 з повним обґрунтуванням.29**. У прямокутній трапеції АВСЬ бічні сторони дорівнюють

24 см і 25 см, а більша діагональ В Б є бісектрисою прямого кута. З вершини тупого кута С до площини трапеції проведено перпен­дикуляр СМ завдовжки 7\/Ї5 см. Знайдіть відстань від точки М до вершини А

30**. Вершина С рівностороннього трикутника АВС, сторона якого 8 см, віддалена від площини а на 2\[3 см. Обчисліть кут м іж площиною трикутника АВС і площиною а , якщ о сторона А В лежить на площині а .

31**. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128 см, а медіана, проведена до основи, 32 см. Відстані від точки про­стору до вершин трикутника дорівнюють по 65 см. Знайдіть від­стань від цієї точки до площини даного трикутника.

32**. Пряма а паралельна площині со. Через точки А і В пря­мої а проведено паралельні прямі, як і перетинають площину со в точках А х і В х відповідно. Знайдіть площу чотирикутника АА1Б 1В, якщо А ХВ Х = 13 см, А А Х = 14 см, А ХВ = 15 см.

Page 246: 10 geom bi_u

АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК

ААксіома 7Аксіоми планіметрії 7

- стереометрії 54 Александров П. С. 238

ВВисота трикутника 21 Відрізка внутрішні точки 7

- кінці 7 Відрізок 7Відрізок, перпендикулярний до площини 157 Відстань від точки до площини 193

- від точки до прямої 13- між двома точками 193- між двома паралельними прямими 194- між мимобіжними прямими 195- між паралельними площинами 194

Властивості бісектриси кута трикутника 21- медіан трикутника 21- прямокутного трикутника 22- рівнобедреного трикутника 22- рівностороннього трикутника 22

ГГеометрія 6, 44, 54

- Евклідова 6, 45, 58 Гільберт Д. 212

ДДіаметр 14 Дотична до кола 15

ЕЕвклід 103

ККвадрат 24 Колмогоров А. М. 238 Коло 14 Круг 14Кути вертикальні 13

- суміжні 13- між прямими у просторі 184- між прямими на площині 13

Кут, вписаний у коло 15- двогранний 185- між двома площинами простору 185

Page 247: 10 geom bi_u

А.афавітний покажчик

- між мимобіжними прямими 184- між похилою і площиною 158- між прямою і площиною 185- описаний навколо кола 16- центральний 15

ЛЛеонардо даВінчі 136Леонардо Пізанський (Фібоначчі) 135Лобачевський М. 1. 175

ММатематична задача ЗО Медіана трикутника 21 Метод алгебраїчний 35

- аналітичний 32- векторів 39- від супротивного 33- геометричних перетворень 41- координат 40- площ 37- синтетичний 31

Многокутник 16Н

Наслідки з аксіом стереометрії 60 О

Ознаки паралельності прямих 13, 88- перпендикулярності прямої і площини 151- перпендикулярності двох площин 165

Означення 7Омар Хайям 175Основа перпендикуляра 13,158Остроградський М. В. 211

ППерерізи 66Перпендикуляр до площини 157 Піфагор 76 Планіметрія 6, 54 Площа ортогональної проекції 205 Площина 55Площини збігаються 114

- паралельні 114- перетинаються 114- перпендикулярні 165

Погорелое О. В. 241 Похила 158Проекціювання ортогональне 204

- паралельне 128

Page 248: 10 geom bi_u

Алфавітний покажчикПроекція похилої 158 Пряма 7, 55

- паралельна площині 96- перпендикулярна до площини 150

Прямі мимобіжні 86- паралельні 13, 86 -перпендикулярні 13, 86, 146

Прямокутник 23Р

Ромб 23 Ріман Г. Ф. 176

ССектор круговий 14 Середня лінія трикутника 22 Слід площини перерізу 67 Стереометрія 6, 54

ТТеорема 9, 31, 60

- про три перпендикуляри 157- Фалеса 14

Точка 7,55 Трапеція 24 Трикутник 20

ФФалес 75Фігури геометричні 6, 55

- неозначувані 7- основні 7

Формули радіусів, вписаного кола в правильний многокутник та описаного навколо нього 19

XХорда 14

Page 249: 10 geom bi_u

1.13.16 см. 1.14. 18 см і ЗО см. 1.15.1 см або 11 см. 1.16. 51° і 102°. 1.17. 20 см; 15 см; 40 см; 35 см; 55 см. 1.49. 13 см. 1.50. AB II CD.

1.51. 7— см; 8— см; 11— см. 1.52. см. 1.53. 14 см. 1.54. 8л/3 см. 3 3 3 2

1.55. 17 см. 1.56. 24 см. 1.57. 4,8 см. 1.58. 18 см. 1.59. 48>/з см. 1.60. 20 см і 25 см. 1.61. 10 см. 1.62. 2,5 см і 12,5 см. 1.63. 54 см2. 1.64. 66ч/3 см2. 1.65. 25 см. 1.66. 1) 150 см2; 2) 336 см2. 1.67. 96>/3 см2.1.68. ЮОясм2. 1.69. юТЗсм2. 1.81.15 см. 1.82.64л/3см2. 1.83.2^13 см. 1.84. 240 см2. 1.85. 20 см. 1.86. 1500 см2. 1.87. 72 см. 1.88. 60 см. 3.20. а + Ь. 3.34. 4 см. 3.36. 6 см. 3.37. 5 : 2. 3.53. 48 см. 3.54. 18 см.

3.55. 1) 20 см; 2) 6,4 см; 3) ЗО см; 4) С(а +- - \ 3.58. 1) 12 см; 2) 10 см іа

12 см. 4.19.2 м. 4.22.3)18^2 см2. 4.33. о.4.34. Так. 4.40.32 см. 4.41.6 см.2 [о

4.42. 20 см. 4.46. 17,5 см, 21 см. 4.64. 3) 18 см2. 5.9.ЗаУ2 см; —-— см2.

5.10. 1) 15>/2 см; 2) (5V2 + 2V61) см; 3) (б + Т з і + ТІТ) см;4) аЬ/б+л/ЇО + ТЇ3) см. 5.12. Ja2 + Ь2 + Va2 + с2 + sjb2 +c2; (5 + Зл/5 + 2ТІЗ) см. 5.13. (б-Уб + 2\/Ї7) см. 5.47. 13 см і 4>Я0 см. 5.48. 13 см. 5.49. 5 см і 9 см. 5.50. 9 см. 5.51. 24 см і 20\І2 см.5.52.12 см. 5.53.2\/б см. 5.54. 26 см. 5.55. 24 см. 5.56. З см. 5.57. 9,6 см. 5.58. 12 см. 5.59. 3,5 дм2. 5.60. 15 см. 5.61. 12>/3 см. 5.62. ЗО см. 5.63. 6 см. 5.75.2%/з см. 5.82. 20 см і 24 см. 5.83. 7 см і 15 см. 6.21. 60°. 6.22. 60°. 6.23. 12 см. 6.27. 5л/з см. 6.29. З см. 6.30. З см. 6.31. 9 см. 6.32. 5 см. 6.33. 30°. 6.34. 60°. 6.35. 30°. 6.36. 15 см; 30°. 6.37. 24 см. 6.38.4 см або 8 см. 6.40. о; 45°. 6.61.6,2 см. 6.62. ^68,5;8. 6.63. 12 см. 6.64. 30 см. 6.65. ^18,75 см. 6.66. 8 см. 6.67. 6 см.6.68. 4 см. 6.69. 17 см. 6.70. 9 см. 6.71. 29 см. 6.72. 35 см. 6.76. 8 см. 6.77. 6,4 см. 6.78. бТз см. 6.79.15 см. 6.80. 8 см. 6.81. 8 см. 6.82.13 см. 6.83.36 см. 6.84.12 см. 6.85. 8 см. 6.101.6 см. 6.102.12 см. 6.103. 36 см2.

/06.104. 60°. 6.107. 18 см. 6.108. arccos— . 6.110. 36 см2.

41 ЗО 2 032

6.111. а = arccos— ; S = — см2. 6.112. а = arccos— ; S = ——— см2.14 7 21 7

6.113. а = arccos— ; S = ЗО см2. 6.114. а = arccos— ; S = см2.14 21 21

7.56.12 см. 7.57. 7 : 1. 7.58. 6,4 см. 7.59. 5,2 см. 7.60. 6 см. 7.61. 20 см.

7.62. Hh/® см. 7.63. 20 см. 7.64. 20 см. 7.65. 25 см. 7.66. 15 см і 20 см. З

7.67. ЗуіЇЇ с м і л/433 см. 7.68. 4ч/з см. 7.69. Збч/З см. 7.70. 30°. 7.71.168 см2. 7.72.13 см. 7.73. 60°. 7.74. 45° і 30°. 7.75. 45° і 30°.

ВІДПОВІДІ

Page 250: 10 geom bi_u

ВідповідіМОДУЛЬ 1. Тест для самоконтролю

Ч а с т и н и 2 і ЗЗавдання 17 18 19 20 21 22Відповідь 50% 90°і 270° 8,5 см 5 см 8%/2 7ісм 9 смЗавдання 23 24 25 26 27 28

Відповідь 28 см і 36 см 4 см 34 см 9 см 52 см 4 см

Завдання 29 30 31 32

Відповідь 2,6 см і 33,8 см 120 см ООсо 2187см2

МОДУЛЬ 3. Тест для самоконтролю Ч а с т и н и 2 і З

Завдання 17 18 19 20 21 22Відповідь 31,5 см 4,9 см 2 см 22 см 10 см 21 смЗавдання 23 24 25 26 27 28

Відповідь 8 смЬс

>8сма + с 21 см 21 см 2 см 6 см

Завдання 29 ЗО

Відповідь 27 см 7 см; 12 см; 13 см

МОДУЛЬ 4. Тест для самоконтролю Ч а с т и н и 2 і З

Завдання 17 18 19 20 21 22Відповідь 3,2 см 3 см 4,5 см 14 см 20 см 9-\/з см2Завдання 23 24 25 26 27 28Відповідь 10 см 1,5 см 6 см2 6 см 9 см і

15 см 128 см2

Завдання 29(4) 30(2)

Відповідь 4.5 см;13.5 см 12 см

МОДУЛЬ 5. Тест для самоконтролю Ч а с т и н и 2 і З

Завдання 17 18 19 20 21 22Відповідь 5 см 12 см 3 см 4\/43 см 26 см 15 смЗавдання 23 24 25 26 27 28Відповідь 8 см 45 см 36 см VI5 см 8 см 24 см

Page 251: 10 geom bi_u

МОДУЛЬ 6. Тест для самоконтролюЧ а с т и н и 2 і З

Завдання 17 18 19 20 21 22Відповідь 17 см

ООСО 4 Vö см 20 см 8 см 6 смЗавдання 23 24 25 26 27 28

Відповідь 2\ІЗа 1arccos—5

18 см і ЗО см 1,75 см 7б см2 6 см

з смЗавдання 29 ЗО 31

Відповідь a j 6 3

6 см СО о 0

МОДУЛЬ 7. Тест для самоконтролюЧ а с т и н и 2 і З

Завдання 17 18 19 20

Відповідь 8 см 6,5 см 11 111— см13 0,8 см

Завдання 21 22 23 24

Відповідь 6 см 15 см 16 см І4%/241 см 12 см

Завдання 25 26 27 28

Відповідь 8 см 7 см 7з45° і arccos— 3

4 .arccos— і5

3\І41arccos-------25

Завдання 29 30 31 32

Відповідь 2%/б10 см7зarcsin—

2уі560 см 168 см2

Page 252: 10 geom bi_u

З М І С Т

Ш ановний старшокласнику! ....................................................... ЗМ одуль 1. Систематизація та узагальнення фактів

і методів планіметрії ................................................ 4§1.1. Про логічну побудову планіметрії.Основні поняття. Аксіоми план ім етрії..................................... 6§1.2. Опорні факти курсу план ім етр ії...................................... 12§ 1.3. Задачі і методи їх розв’язування ..................................... ЗОЗ літопису геом етрії........................................................................ 44Запит ання для самоконтролю .................................................. 46Тест для самоконтролю .............................................................. 47М одуль 2. Вступ до стереометрії ............................................... 52§2.1. Основні поняття стереометрії. Аксіомистереометрії........................................................................................ 54§ 2.2. Наслідки з аксіом стереометрії ........................................ 60§ 2.3. П ерерізи ................................................................................... 66Прикладні задачі ............................................................................ 74З літопису геом етрії........................................................................ 75Запит ання для самоконтролю ................................................. 78Тест для самоконтролю .............................................................. 79

М одуль 3. Взаємне розміщення прямих у просторі,прямої і площ ин и ....................................................... 84

§ 3.1. Взаємне розміщення прямих у просторі ....................... 86§ 3.2. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі ... 91§ 3.3. Паралельність прямої і площини .................................... 96Прикладні задачі ............................................................................ 102З літопису геом етрії........................................................................ 103Запит ання для самоконтролю ................................................. 106Тест для самоконтролю .............................................................. 107М одуль 4. Взаємне розміщ ення площин у п ростор і 112§ 4.1. Взаємне розміщення двох площин у просторі.Паралельні площини ..................................................................... 114§ 4.2. Властивості паралельних площин .................................. 121§4.3. Паралельне проекціювання. Зображенняплоских і просторових фігур на площині ............................... 128Прикладні задачі ............................................................................ 134З літопису геом етрії........................................................................ 135

253

Page 253: 10 geom bi_u

Запит ання для самоконтролю .................................................. 137Тест для самоконтролю .............................................................. 138М одуль 5. Перпендикулярність прямих і площин

у просторі ..................................................................... 144§ 5.1. Перпендикулярність прямих у просторі ..................... 146§ 5.2. Перпендикулярність прямої та площиниу просторі............................................................................................ 150§ 5.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про триперпендикуляри .............................................................................. 157§ 5.4. Перпендикулярність площин ........................................... 164Прикладні задачі ............................................................................ 171З літопису геом етрії........................................................................ 175Запит ання для самоконтролю .................................................. 177Тест для самоконтролю .............................................................. 178М одуль 6. Кути і відстані у просторі ........................................ 182§ 6.1. Кути у просторі ..................................................................... 184§ 6.2. Відстані у просторі .......................................... 193§ 6.3. Ортогональне проекціювання ......................................... 204Прикладні задачі ............................................................................ 211З літопису геом етрії........................................................................ 211Запит ання для самоконтролю .................................................. 213Тест для самоконтролю .............................................................. 215М одуль 7. У загальнення і систематизація вивченого ...... 220§7.1. Основні фігури геометрії та їхнє розміщенняу просторі............................................................................................ 222§ 7.2. Перпендикуляр і похила до площини, відстаніта кути у просторі............................................................................ 229Прикладні задачі ............................................................................ 237З літопису геом етрії........................................................................ 238Тест для самоконтролю .............................................................. 242Алфавітний покажчик .................................................................. 247В ідповід і............................................................................................. 250

Page 254: 10 geom bi_u

Навчальне видання

Б ІЛ Я Н ІН А Ольга Ярославівна Б ІЛ Я Н ІН Григорій Іванович

Ш ВЕЦ Ь Василь Олександрович

ГЕОМЕТРІЯ 10 клас

А к а д е м і ч н и й р і в е н ь

Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Видано за рахунок державних коштів.Продаж заборонено

Редактор Н.Даиіко Художній редактор В. Марущинець

Технічний редактор В. Олійник Коректор І. Іванюсь

Комп’ютерна верстка і технічні малюнки Ю. Лебедева

Page 255: 10 geom bi_u

ЗаТеМ і

§ 5 § 5 У в § 5 пе § 5 Пі 3 j За ТеМ і

§6 §6 §6 Пї З j За ТеМ і

§ 7Уі§7тащ Формат 60х90/іб .g Умови, друк. арк. 16.

Обл.-вид. арк. 14,87. д Наклад 93922 прим.

Вид. № 1053. Зам№ 315.ЩВидавництво «Генеза»,

вул. Тимошенка, 2-л, м. Київ, 04212. Свідоцтво про внесення суб’єкта

видавничої справи до Державного реєстру видавців серія ДК № 25 від 31.03.2000 р.

Віддруковано з готових позитивів на ДП «Видавництво і друкарня “Таврида”»,

вул. Генерала Васильєва, 44, м. Сімферополь, АРК, 95000

E-mail: [email protected] Свідоцтво серія ДК № 1174 від 25.12.2002 р.

Page 256: 10 geom bi_u
Page 257: 10 geom bi_u

Recommended