[5] Geom Comp2

Geometrie computationala II

Dorel Lucanu

Faculty of Computer ScienceAlexandru Ioan Cuza University, Iasi, Romania

[email protected]

PA 2014/2015

D. Lucanu (FII - UAIC) Geometrie computationala PA 2014/2015 1 / 47

Outline

1 Infasuratoarea convexaFrontiera lui Jarvis (Jarviss March)Scanarea GrahamAlgoritm divide-et-imperaInfasuratoarea convexa si Sortarea

2 Probleme de apropiere (Proximity problems)Cea mai ndepartata pereche


Infasuratoarea convexa

Plan





Definitia nfasuratorii convexe

Definition

O multime de puncte S din plan este convexa daca pentru orice douapuncte P,Q S , segmentul PQ este complet inclus n S .

Definition

Infasuratoarea convexa a unei multimi de puncte S este cea mai micamutime convexa care include S .

Theorem

Infasuratoarea convexa a unei multimi de puncte S este intersectia tuturormultimilor convexe care includ S .

CONVEX HULLInput O multime finita S de puncte din plan.Output Infasuratoarea convexa a lui S , CH(S).



Infasuratoarea convexa: proprietatiPresupunem S finita.

1 CH(S) este convexa.2 CH(S) este marginita.3 Daca P si Q sunt doua puncte din S astfel ncat toate celelalte puncte din S

se gasesc de aceeasi parte a dreptei ce trece prin P si Q, atunci segmentulPQ se afla pe frontiera lui CH(S).

4 Orice punct de frontiera lui CH(S) se gaseste pe un segment PQ cuP,Q S .

Theorem

Daca S este finita, atunci CH(S) este un poligon convex cu toate varfurileapartinand la S .

1 O raza care emana dintr-un punct interior al unui poligon convexintersecteaza poligonul o singura data.

2 Varfurile unui poligon convex apar sortate dupa componenta unghiulara acoordonatelor polare calculate relativ la o origine care se afla n interiorulpoligonului.



Exemplu de multime S



CH(S)


Infasuratoarea convexa Frontiera lui Jarvis (Jarviss March)

Plan





Descriere

Cunoscuta si sub numele de gift wrapping method.Idee:

Se baleiaza (matura) planul cu o dreapta d pana atinge un punctP0 S . P0 se afla pe frontiera lui CH(S).Se roteste d , sa zicem ca n sensul CCW, pana atinge al doilea punctP1. P1 se afla pe frontiera lui CH(S).

Se roteste dreapta P0P1, acelasi sens, pana atinge al treilea punct P2.P2 se afla pe frontiera lui CH(S).

Se roteste dreapta P1P2, acelasi sens, pana atinge al . . .

In final punctele atinse formeaza frontiera lui CH(S), care e unpoligon convex.

Observatie cheie: la pasul i , unghiul Pi1PiPi+1 este cel mai mare pe carel poate forma segmentul Pi1Pi cu un alt punct din S .



Primitive

Presupunem |S | = n.smallestY(S) - ntoarce punctul din S cu cel mai mic y ; daca exista maimulte, atunci cel mai din stanga.Timp: O(n).

smallestSlope(S, P) - ntoarce punctul Q din S a.. PQ are cea maimica panta n raport cu axa x .Timp: O(n)

largestAngle(S, P, Q) - ntoarce punctul R din S a.. PQR este celmai mare.Timp: O(n)

Exercitiu. Sa se descrie n Alk cele trei operatii de mai sus.



Algoritmul

@input: o multime S cu n puncte

@output: un poligon convex reprezentand frontiera lui CH(S)

CHJarvis(S, n) {

L[0] = smallestY(S);

L[1] = smmalestSlop(S, L[0]);

i = 1;

while (L[i] != L[0]) {

L[i+1] = largestAngle(S, L[i-1], L[i]);

i = i + 1;

}

return P;

}

Timp: O(n) + O(n) + O(n) O(n) = O(n2).D. Lucanu (FII - UAIC) Geometrie computationala PA 2014/2015 11 / 47


Corectitudine

Invarariantul instructiunii while: L[0],...,L[i] se afla pe frontiera luiCH(S). Validitatea acestui invariant este mentinuta de apelullargestAngle(S, L[i-1], L[i]) care asigura ca toate punctele lui Sse fala la intersectia semiplanelor (L[i 1]L[i ], L[i + 1]) si(L[i ]L[i + 1], L[i 1]).


Infasuratoarea convexa Scanarea Graham

Plan





Descriere

1 Se cauta un punct interior al lui CH(S). Poate fi centrul de greutateal unui triunghi format de trei puncte din S .

2 Se sorteaza lexicografic dupa coordonatele polare (, ). Listaobtinuta este L. Fie p pozitia primului element din L.

3 Daca ccw(L[p], L[p+1], L[p+2]) < 0 (ciclu n sensul arcelor deceasornic), atunci elimina L[p + 1] din L si continua procesarea cuL[p 1] (presupunem lista L circulara).

4 Daca ccw(L[p], L[p+1], L[p+2]) > 0 (ciclu n sensul contrararcelor de ceasornic), atunci continua procesarea cu L[p + 1].


TeaHighlight


Primitive

median(S,n) ntoarce centrul de greutate Q al lui S (Q.x si Q.y suntmediile coordonatelor respective ale punctelor din S). Timp: O(n).

polarSorted(S, n, Q) - ntoarce lista liniara continand elementele lui Ssortate lexicografic dupa coordonatele polare (, ), calculate cu originean Q. L[0] este cel mai din dreapta (y cel mai mare) si cel mai de jos (xcel mai mic) punct din S (astfel L[0] va fi pe frontiera lui CH(S)).Timp: O(n log n).



Liste cu iteratori

p este un iterator peste (asociat cu) lista L daca p refera un element al listei.Un iterator are cpabilitatea de a apela operatii peste liste sau sa se mute laelementele vecine din fata sau de dupa.

Peste iteratori counsideram o aritmetica simpla cu doua operatii, cu careiteratorul poate traversa lista:p + i un iterator care face referire la cel de-al i-lea element de dupa ip - i un iterator care face referire la cel de-al i-lea element din fata lui iL.first() ntoarce iteratorul care refera primul element din lista LL.last() ntoarce iteratorul care refera ultimul element din lista L


TeaHighlight


Liste cu iteratori (cont.)

Cu ajutorul iteratorilor se pot apela operatii peste liste:*p (sau, echivalent, p->current()) ntoarce valoarea elementuluireferit; timp O(1)p->delete() sterge elementul referit de p n lista asociata; timp O(1)p->insert(x) insereaza x imediat dupa elementul referit de p n listaasociata; timp O(1)

Daca p refera al i-lea element din lista, atunci p->delete() esteechivalent cu p[i ].delete() si p->insert(x) cu p[i ].insert(x).

Exercitiu: Sa se descrie o implementare n Alk pentru liste cu iteratori.



Liste circulare

precedentul primului element este ultimuldaca p refera primul element, atunci p - 1 refera ultimul element dinlista asociata

urmatorul ultimului element este primuldaca p refera ultimul element, atunci p + 1 refera primul element dinlista asociata

CH(S) va fi memorata de o lista circulara cu iteratori.



Algoritmul: versiunea 1



CHGraham(S, n) {

Q = median(S, n); L = polarSorted(S, n, Q);

p = L.first(); // punctul de plecare

while (conditia de terminare ) {

if (ccw(*p, *(p+1), *(p+2)) > 0) // convex

p = p + 1; // trece la urmatorul

else { // concav

(p+1)->delete();

p = p - 1; // se muta la precedentul

}

}

return L;

}


TeaHighlight


Conditia de terminare

P0

P1 P2

Pn

p

Se elimina P1.

P0

P1 P2

Pn

p

Se elimina P0. (fwd = false)

P0

P1 P2

Pn

p

P0

P1 P2

Pn p

fwd = true



Algoritmul



CHGraham(S, n) {

Q = median(S, n); L = polarSorted(S, n, Q);

fwd = false; // fwd = true inseamna ca P0 este atins ...

p = L.first(); // ... mergand inainte (forward)

while (*(p + 1) != L.first() or ! fwd) {

if (*(p + 1) == L.last()) fwd = true;

if (ccw(*p, *(p+1), *(p+2)) > 0)

p = p + 1; // trece la urmatorul

else {

(p+1)->delete();

p = p - 1; // se muta la precedentul

}

}

return L;

}



Analiza

Corectitudinea: Multimea de puncte parcurse, L.first(), L.first()+1, . . . , p,formeaza o multime convexa (detalii pe tabla).

Timp: O(n log n) dat de sortare. Scanarea se face n timpul O(n).


Infasuratoarea convexa Algoritm divide-et-impera

Plan





Paradigma divide-et-impera

procedure divideEtImpera(P, n, S)

if (n n0)then rezolva subproblema P prin tehnici elementareelse mparte P in P1, . . . , Pa de dimensiuni n1, . . . , na

divideEtImpera(P1, n1, S1)...

divideEtImpera(Pa, na, Sa)combina S1, . . . , Sa pentru a obtine S

end



Teorema de master

T (n) =

{O(1) , daca n n0a T (n

b) + O(nk) , daca n > n0

(1)

Teorema

Daca n > n0 atunci:

T (n) =

O(nlogb a) , daca a > bk

O(nk logb n) , daca a = bk

O(nk) , daca a < bk(2)


TeaHighlight


Descriere

Ideea de baza: CH(S1 S2) = CH(CH(S1) CH(S2))divizarea: partajeaza S n S1 si S2, cu n/2 si n n/2 puncte, respectivapelurile recursive: L1 = CH(S1), L2 = CH(S2)asamblarea: interclaseaza L1 si L2:

1 determina P n interiorul lui L12 daca P nu este interior lui L2: determina varfurile extreme din L2 ce

pot fi vazute din P si elimina din L2 varfurile apropiate de P dintrecele doua extreme (exclusiv) (detalii pe tabla);

3 acum L1 si L2 sunt sortate dupa unghiul polar calculat cu originea nP; se interclaseaza L1 si L2 pentru a forma o lista ordonata

4 determina CH(L1 L2) printr-o scanare Graham.Timp: O(n log n) (a = 2, b = 2, k = 1 n teorema de master)

Exercitiu. Descrierea n Alk a algoritmului de mai sus.


Infasuratoarea convexa Infasuratoarea convexa si Sortarea

Plan





Modelul de calcul al arborilor de decizie algebrici

Sunt generalizari ale arborilor de decizie pentru sortare si arborilor dedecizie pentru cautare.

Ideea de baza: n loc de comparatii s[i ]?s[j ] sau x?s[m] se consideracomparatii f (x1, . . . , xn)?0, unde f este o functie polinomiala cu nargumente.

Exemple de polinoame F : ccw(A,B,C ), dist(A,B), dist(d ,P)NB. dist(A,B) si dist(d ,P) nu sunt chiar polinoame, dar se poate luapa tratul functiilor distanta, care nu schimba comparatia cu zero si suntpolinoame.

Ca si n cazul sortarii, se pot considera doar arbori binari.

Algoritmii de geometrie computationala pot fi reprezentati ca arbori dedecizie algebrici. Reducerile de pe slide-urile urmatoare se refera la acestmodel de calcul.



SORT CONVEX HULL

Teorema

SORT n CONVEX HULL.S = {x0, . . . , xn}Presupunem xi > 0, i = 1, . . . , n (n caz contrar se face o translatare).

Se face transformarea: S 7 S = {(x , x2) | x S}Graficul lui y = x2 este o parabola. CH(S ) listeaza punctele din S

ordonate dupa coordonata x .

Corollary

CONVEX HULL are complexitatea timp n cazul cel mai nefavorabil(n log n).



CONVEX HULL SORT

Teorema

CONVEX HULL n SORT .Scanarea Graham.


Probleme de apropiere (Proximity problems)

Plan





Un mic catalog al problemelor apropiere

CLOSEST PAIRIntrare: O multime S cu n puncte n plan.Iesire: Doua puncte din S aflate la cea mai mica distanta.

DIAMETER SETIntrare: O multime S cu n puncte n plan.Iesire: Doua puncte din S aflate la cea mai mare distanta.

ALL NEAREST NEIGHBORIntrare: O multime S cu n puncte n plan.Iesire: Cel mai apropiat vecin din S pentru fiecare punct din S .



Un mic catalog al problemelor apropiere

NEAREST NEIGHBORIntrare: O multime S cu n puncte, un punct P, toate n plan.Iesire: Cel mai apropiat punct de P din S .

(E posibila o preprocesare a lui S .)

TRIANGULATIONIntrare: O multime S cu n puncte n plan.Iesire: O multime de segmente care unesc puncte din S astfel ncat

orice regiune interna nfasuratorii convexe este triunghi.

VORONOI DIAGRAMIntrare: O multime S cu n puncte n plan.Iesire: Pentru fiecare punct P din S , locul geometric la celor mai

appropiate puncte, adica multimea punctelor mai apropiate deP decat de orice alt punct din S .



Reduceri

Teorema

ALL NEAREST NEIGHBOR n VORONOI DIAGRAM.

Teorema

NEAREST NEIGHBOR n ALL NEAREST NEIGHBOR.

Teorema

DIVIDE-ET-IMPERA SEARCH NEAREST NEIGHBOR SEARCH



Reduceri

Teorema

SORT n TRIANGULATION.

Corolar

TRIANGULATION are complexitatea timp n cazul cel mai nefavorabil (n log n).

Teorema

TRIANGULATION nVORONOI DIAGRAM.

Corolar

VORONOI DIAGRAM are complexitatea timp n cazul cel mai nefavorabil(n log n).


Probleme de apropiere (Proximity problems) Cea mai ndepartata pereche

Plan





Proprietati

Reamintim problema:

DIAMETER SETInput O multime S cu n puncte n plan.Output Doua puncte din S aflate la cea mai mare distanta.

Definitie

Un segment care uneste doua cele mai ndepartate puncte se numestediametru.

Teorema

Fie [PQ] un diametru al lui S , LP si LQ doua perpendiculare pe PQ caretrec prin P respectiv Q. Atunci toate punctele din S se afla ntre LP si LQ .

Demonstratie. Pe tabla. sfdem

Corolar

Daca [PQ] este un diametru al lui S , atunci P,Q CH(S).D. Lucanu (FII - UAIC) Geometrie computationala PA 2014/2015 37 / 47


Proprietati

Definitie

Doua puncte P,Q CH(S) se numesc antipodale (un fel de diametralopuse) daca exista doua drepte paralele dP s dQ , care trec prin P respectivQ, astfel ncat toate punctele din S se afla ntre dP si dQ .

Corolar

Daca [PQ] este un diametru al lui S , atunci P,Q sunt antipodale.

Reciproca nu este adevarata.

Deci cele mai ndepartate puncte se afla printre cele antipodale, de aceeaconsideram urmatoarea problema:

ANTIPODAL PAIRSIntrare: Un poligon convex L cu n puncte n plan.Iesire: Multimea perechilor de varfuri antipodale.



ANTIPODAL PAIRS: proprietati

Lema

Fie [Lk1Lk ] o latura a poligonului convex L si Li primul cel maindepartat punct fata de [Lk1Lk ] ntalnit prin parcurgerea n sens CCW alui L ncepand din Lk . Atunci niciunul dintre varfurile ntre Lk si Li (nsensul CCW) nu este antipodal lui Lk .


Lema

Fie [Lk1Lk ] o latura a poligonului convex L si Lp ultimul cel maindepartat punct fata de [Lk1Lk ] ntalnit prin parcurgerea n sens CCW alui L ncepand din Lk . Atunci niciunul dintre varfurile ntre Lp si Lk1 (nsensul CCW) nu este antipodal lui Lk1.

Demonstratie. Similar lemei precedente. sfdem



ANTIPODAL PAIRS: descriere algoritm

Cele doua leme conduc la urmatorul algoritm pentru determinareapunctelor antipodale

1 Initial se determina Lj cel mai ndepartat punct fata de [Ln1L0].2 Multimea APP, care va memora varfurile antipodale, este initializata

cu multimea vida.3 Pentru fiecare Lk [L0, . . . , Li ],

a) adauga la APP perechea (Lk , Lj) pentru fiecare Lj antipodal lui Lk ;



ANTIPODAL PAIRS: primitive

dist(P, Q, R) - ntoarce distanta de la R la dreapta PQ. Timp: O(1)

M.insert(i,j) - insereaza perechea (i , j) n multimea de perechi deindici M. Timp: O(1)

Poligonul L este memorat de o lista (e.g., tablou) astfel ncat operatia L[i ]este realizata n timpul O(1).



De la descriere n limbajul problemei la descriere n limbajalgoritmic

1 Initial se determina Lj cel mai ndepartat punct fata de [Ln1L0].

Lema

Cele mai ndepartate puncte fata de un Lk sunt consecutive.


i = 1;

while (dist(L[n-1], L[0], L[i+1]) > dist(L[n-1], L[0], L[i]))

i = i+1;

j = i-1;




1 . . .2 Pentru fiecare Lk [L0, . . . , Li ],

a) adauga la APP perechea (Lk , Lj) pentru fiecare Lj antipodal lui Lk ;

In iteratia initiala primul Lj antipodal lui Lk se cunoaste deja si vommentine aceasta proprietate pentru celelalte iteratii.

k = 0;

while (k



Dupa ultimul Lj cel mai ndepartat fata de [LkLk+1] nu vor mai exista varfuriantipodale lui Lk (conform unei leme precedente).Cand se determina ultimul Lj , se poate determina si primul Lj1 cel mai ndepartatfata de [LkLk+1], care la iteratia urmatoare va fi primul Lj cel mai ndepartat fatade [Lk1Lk ].

k = 0; j = i-1;

while (k


ANTIPODAL PAIRS: algoritm

@input: un poligon convex L

@output: multimea va^rfurilor antipodale APP

antipodalPairs(L, n) {

i = 1;

while (dist(L[n-1], L[0], L[i+1]) > dist(L[n-1], L[0], L[i]))

i = i+1;

k = 0; j = i-1;

while (k


ANTIPODAL PAIRS: analiza algoritmului

Corectitudine:prima bucla while determina primul varf diamteral opus al lui L0;invariantul celui de-al doilea while: Lj este primul varf antipodal al lui Lk ;invariantul lui do-until: Lj este varf antipodal al lui Lk ;

Complexitatea timp: O(n) (APP are cel mult n/2 perechi).



DIAMETER SET: descriere algoritm

1 determina CH(S)

2 calculeaza varfurile antipodale ale lui CH(S)

3 determina perechea de varfuri antipodale aflate la distanta maxima

Complexitate timp: O(n log n).

Exrecitiu. Sa se descrie algoritmul n Alk.


nfasuratoarea convexaFrontiera lui Jarvis (Jarvis's March)Scanarea GrahamAlgoritm divide-et-imperanfasuratoarea convexa si Sortarea

Probleme de apropiere (Proximity problems)Cea mai ndepartata pereche

Date post:	09-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	eirdnocotim
View:	60 times
Download:	0 times

[5] Geom Comp2

Documents