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5 . 5 EXERC IC ES 25 9
des ( f (x )) soit relativement compact dans^; alors on peut extraire de( f n ) une suite convergeant uniformment dans x.
5.5 - E X E R C IC E S E T P R O B L E M ES
1- Pour tait en ti e r n20 , so i t g, l a fonction continue dfinie dans R par les conditions :g,(t) = O pur t ( O e t t>2 /n ,g , ( l /n ) = 1
1 1 2g,(t) es t de la f o m Pt +p dans chaque intervalle [O , --1 e t Ln , 1 o Y e t p sontchoisis de te l le sort e que g, s o i t continue.Mtrer que l a suite (g, )converge sinpl-t vers la fonction identiqu-t nuile dans W;mis que, dans tait intervalle contexn t O, l a convergence n'e st pas m i f o m .2- So it E : O,+co[CIR, e t pur tout n, soi t :
f (x) = sin J x m C x EM t r e r que l a s ui te ( f ) e s t &quicontinuedans E e t converge simpl-t vers O dans E;mis qu 'e il e ne f o m pas une partie relativaii-nt ccmpacte dans Cm (E,R). (Montrer- ques ' i l en t a i t ai ns i, e l l e convergwait uniformment dans E vers 0).3- Soit Y un espace &trique c a p l e t e t soi t X un espace topologique; Soit A C X te l l e queA = X. Soit (f ) une suite &quicontinue de fonctiwis de X dans Y. b n t r e r que :a ) S i pur tait x dans A, la limite LimMco fn(x) existe, (c 'es t dire ( f ) converge s bplanont dans A), a lo rs l a su it e (f ) c m er ge s i m p l m t dans X vers une fonction f : X+Yb) Si de p l u X es t ccmpact, al ors l a suite (fn) converge unifo&nt dans X vers f.4- Soit S une partie de C(E,R) qui spare l e s points de E, a lo rs taite fonction continueg :E -+ W est limite uniforme d'une suite de fonctiwis (g, ) e l l e que chaque fonction g,puisse s'exprimer carme un polynne coefficients rels par rapport aux fonctiwis de S.5 S p a r a b i l i t d e C o( E, 7 3 ) .Soit E un espace &triq ue local-t ccnpct sparable. (Par exenple R CU T?). Q1 note%(El (resp. Cc(E)), l'ensemble des fonctiwis continues de E dans R qui scnt nulles 1'infini (resp. support ccmpact). Q1nmit ces espaces de l a m m de convergence mifor-IIE pxr la qu el le Co(E) e s t un ccmplt6 de Cc(E). (Cf 2.3.5).
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6.2 APPL ICA TION S 27-tinue, avec llull = IIuII. D'aprs 4.3.5, le projecteur pF : E-F est con-tinu et uopF est un prolongement qui convient. (Vrifiez-le ! ) .Cette preuve reste valable si E est un espace de Banach et si E = Q G .avec F et G ferms (Cf 6.4.4).
6.2 - APPLICATIONS
Pour un espace norm E sur K, on note El= Y (E,K) le dual topologiquede E. (Cf 1.5.5 et 2.6.5).
6.2.1 Sparation des points de E par des formes linaires.a) Pour tout x dans E - {O}, il existe f dans E' avec f(x) = llxll et (If 1 = 1b) Pour y z dans E, iZ existe toujours f dans E' avec f(z) i f(y).Preuve.a) On prend F = < x > et g(Yx) = ~llx1, alors g est continue et de norme 1 ;et on prend pour f un prolongement de g avec 6.1.1.b) rsulte de a), en considrant x = y - z i O.+REMARQUE.Il existe des espaces vectoriels topologiques (1.1.6), non rduits 10)dont le dual topologique est rduit ( 0 1 . Ce qui montre que le thorme6.1.1 n'est pas vrai pour les espaces vectoriels topologiques. Par exem-ple, on peut montrer que e([O,l],K) muni de la distance
est un espace vectoriel topologique dont le dual est nul.
6.2.3 L'isomtrie d'un espace norm E dans son bidual.Soient E un espace non, E t son dual et Etl:Yc(Et,K) son bidual.a) Pour chaque x dans E, l'application
est une forme linaire continue sur E t , donc c (x) E Elt.Eb)-L'application x ~ cx) est une isorntrie linaire de E dans El1.E
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2 7 2 III - 6 QUELQUES GRAN DS CLASSIQUESPreuve.a) L'application c (x) est videmment linaire. De plus on aE
lcE(x)(u)( = Iu(x)( < J(ul/lxll pour tout x.Donc c (x) est continue avec ((cE(x)1 < llx(/.ESupposons x # O, d'aprs 6.2.1, il existe u dans E' avec Ilull = 1 etU(X) = ( ( ~ ( 1 ; donc (cE(x)(u)( = ( / x ( Jt ceci montre que l(cE(x)l( = I(xl(.b ) La linarit de c est vidente et on a ((cE(x)1 = / ( X I I pour tout x # OEd7aprs a). Pour x = , cette relation est triviale et la preuve est ter-mine.,Remarquons qu'on a donc (lx(1 supu, E l u(x) pour tout x dans E.
llull=l6.2.4 Remarque. Complt d'un espace norm.
Comme K est complet, Et' st de Banach (2.6.4); donc l'adhrence =cE(E)Ade c (El dans En est aussi un espace de Banach. Donc (E,c ) est un com-E Eplt de E au sens de 1.5.9. Ce qui donne une nouvelle preuve de l'exis-
tence du complt.6.2.5 Caractrisation de l'adhrence d'un sous-espace vectoriel.
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace norm E et XEE.Alors X E F ssi toute forme linaire continue, nulle sur F, s'annule en x.Preuve. Si f : E-K est continue et nulle sur F, alors f est aussi nullesur F . Rciproquement, soit x e F . On va montrer qu'il existe une formelinaire continue, nulle sur F mais pas en x, ce qui suffira. Comme x$Fla somme F @ K x est directe et pour y dans F et f ( dans K l'applicationu : y + p x p est linaire, nulle sur F, avec u(x) = 1. De plus u est con-tinue car 6 = d(x,F)>O et on a :
1U ( ~ + ~ X )= 8 ( p l 1 1 = ;l y x C.Q.F.D.D'aprs 6.1.1, u se prolonge en G E E T , ulle sur F, et qui vaut 1 en x.,
6.2.6 Caractrisation des familles totales.Une famille d'lments d'un espace norm E est totale dans E ssitoute forme linaire qui s'annule sur tout les x. estidentiquement nulle.
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![TOPOLOGIE - math.uni-konstanz.deplaumann/Topologie14/topologie.pdf · [Mu]J.R.Munkres.Topology:ašrstcourse.ZweiteAužage,PrenticeHall,óþþþ. [Mi]J.W.Milnor.Topologyfromthediıerentiableviewpoint.Univ.Pressof](https://static.documents.pub/doc/80x56/5b14468c7f8b9a397c8c3573/topologie-mathuni-plaumanntopologie14topologiepdf-mujrmunkrestopologyasrstcoursezweiteauzageprenticehallobbb.jpg)
