Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ

Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø

http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch

ÏÎÌÈ ÐÀÍ

23 ñåíòÿáðÿ 2010 ã.

1 / 6

Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå

Îïðåäåëåíèå

Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.

S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):

∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).

2 / 6

Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå

Îïðåäåëåíèå

Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.

S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):

∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).

S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .

Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).

2 / 6

Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå

Îïðåäåëåíèå

Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.

S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):

∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).

S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .

Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).

Îïðåäåëåíèå

p-ìîäåëèðîâàíèå (≤p) � êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:

çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü

W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S-äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p(w).

2 / 6

Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå

Îïðåäåëåíèå

Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.

S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):

∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).

S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .

Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).

Îïðåäåëåíèå

p-ìîäåëèðîâàíèå (≤p) � êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:

çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü

W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S-äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p(w).

Îïðåäåëåíèå

(p-)îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â � íàèìåíüøèé ýëåìåíò äëÿ ≤ (≤p). 2 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÎïðåäåëåíèå

Ñèñòåìîé Ôðåãå íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç êîððåêòíûõ ïðàâèë âèäà

F1 F2 . . . Fk

G,

I Fi ,G � ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé,

I â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû ñâûáðàííûì ìíîæåñòâîì îïåðàöèé (�áàçèñîì�),

I âûâîä íà÷èíàåòñÿ ñ àêñèîì (ãäå k = 0),

I íîâûå ôîðìóëû âûâîäÿòñÿ (`) ïðàâèëàìè èç ðàíåå âûâåäåííûõ.

Ïðèìåð

P ⊃ (Q ⊃ P),

(¬Q ⊃ ¬P) ⊃ ((¬Q ⊃ P) ⊃ Q),

P P ⊃ Q

Q,

(P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R)).

3 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∃ äîê-âî F .

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

Òåîðåìà

Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå

ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).

I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.

I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!

I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],

F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).

ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).

I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

Òåîðåìà

Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå

ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).

I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.

I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!

I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],

F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).

ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).

I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

Òåîðåìà

Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå

ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).

I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.

I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!

I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],

F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).

ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).

I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

Òåîðåìà

Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå

ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).

I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.

I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!

I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],

F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).

ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).

I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.

4 / 6

Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü

Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .

Òåîðåìà

Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå

ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).

I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.

I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!

I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],

F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).

ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).

I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.

4 / 6

Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå

I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl

I Ñìûñë:∧i

Fi ⊃∨j

Gj .

I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆

F , Γ→G ,∆.

I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆

Γ→F ∨ G ,∆,

F , Γ→∆ G , Γ→∆

F ∨ G , Γ→∆,

F , Γ→∆

Γ→¬F ,∆,

F , Γ→∆

F ∧ G , Γ→∆,

Γ→F ,∆

¬F , Γ→∆.

I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆

Γ→∆.

I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.

5 / 6

Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå

I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).

I Ñìûñë:∧i

Fi ⊃∨j

Gj .

I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆

F , Γ→G ,∆.

I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆

Γ→F ∨ G ,∆,

F , Γ→∆ G , Γ→∆

F ∨ G , Γ→∆,

F , Γ→∆

Γ→¬F ,∆,

F , Γ→∆

F ∧ G , Γ→∆,

Γ→F ,∆ Γ→G ,∆

Γ→F ∧ G ,∆,

Γ→F ,∆

¬F , Γ→∆.

I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆

Γ→∆.

I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.

5 / 6

Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå

I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).

I Ñìûñë:∧i

Fi ⊃∨j

Gj .

I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆

F , Γ→G ,∆.

I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆

Γ→F ∨ G ,∆,

F , Γ→∆ G , Γ→∆

F ∨ G , Γ→∆,

F , Γ→∆

Γ→¬F ,∆,

F , Γ→∆

F ∧ G , Γ→∆,

Γ→F ,∆ Γ→G ,∆

Γ→F ∧ G ,∆,

Γ→F ,∆

¬F , Γ→∆.

I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆

Γ→∆.

I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.

5 / 6

Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå

I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).

I Ñìûñë:∧i

Fi ⊃∨j

Gj .

I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆

F , Γ→G ,∆.

I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆

Γ→F ∨ G ,∆,

F , Γ→∆ G , Γ→∆

F ∨ G , Γ→∆,

F , Γ→∆

Γ→¬F ,∆,

F , Γ→∆

F ∧ G , Γ→∆,

Γ→F ,∆ Γ→G ,∆

Γ→F ∧ G ,∆,

Γ→F ,∆

¬F , Γ→∆.

I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆

Γ→∆.

I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.

I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.

5 / 6

Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå

I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).

I Ñìûñë:∧i

Fi ⊃∨j

Gj .

I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆

F , Γ→G ,∆.

I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆

Γ→F ∨ G ,∆,

F , Γ→∆ G , Γ→∆

F ∨ G , Γ→∆,

F , Γ→∆

Γ→¬F ,∆,

F , Γ→∆

F ∧ G , Γ→∆,

Γ→F ,∆ Γ→G ,∆

Γ→F ∧ G ,∆,

Γ→F ,∆

¬F , Γ→∆.

I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆

Γ→∆.

I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.5 / 6

Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ

Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .

Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!

(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)

6 / 6

Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ

Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .

Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!

(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)

Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:

äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1→ n→ . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,

î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;

òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j < m), îñòàâëÿåì;

â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:

6 / 6

Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ

Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .

Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!

(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)

Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:

äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1→ n→ . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,

î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;

òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j < m), îñòàâëÿåì;

â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:

q(m)i , j ≡ q

(m+1)i , j ∨ (q

(m+1)m+1, j ∧ q

(m+1)i ,m ),

q(n+1)i , j ≡ pi , j .

6 / 6