Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ
Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ÏÎÌÈ ÐÀÍ
23 ñåíòÿáðÿ 2010 ã.
1 / 6
Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
2 / 6
Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
2 / 6
Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
Îïðåäåëåíèå
p-ìîäåëèðîâàíèå (≤p) � êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:
çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü
W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S-äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p(w).
2 / 6
Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S ,W � ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S≤W ) ⇐⇒S-äîê-âà � íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S-äîê-âî äëÿ F | ≤ p(|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S<W ), åñëè åù¼ è W 6≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) < Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
Îïðåäåëåíèå
p-ìîäåëèðîâàíèå (≤p) � êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:
çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü
W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S-äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p(w).
Îïðåäåëåíèå
(p-)îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â � íàèìåíüøèé ýëåìåíò äëÿ ≤ (≤p). 2 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÎïðåäåëåíèå
Ñèñòåìîé Ôðåãå íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç êîððåêòíûõ ïðàâèë âèäà
F1 F2 . . . Fk
G,
I Fi ,G � ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé,
I â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû ñâûáðàííûì ìíîæåñòâîì îïåðàöèé (�áàçèñîì�),
I âûâîä íà÷èíàåòñÿ ñ àêñèîì (ãäå k = 0),
I íîâûå ôîðìóëû âûâîäÿòñÿ (`) ïðàâèëàìè èç ðàíåå âûâåäåííûõ.
Ïðèìåð
P ⊃ (Q ⊃ P),
(¬Q ⊃ ¬P) ⊃ ((¬Q ⊃ P) ⊃ Q),
P P ⊃ Q
Q,
(P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R)).
3 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∃ äîê-âî F .
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).
I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).
I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).
I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).
I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4 / 6
Ñèñòåìû ÔðåãåÝêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ `∗ F .Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
I Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
I Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
I Íåïðÿìîé ïåðåâîä:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O(log . . .).
I Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4 / 6
Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl
I Ñìûñë:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.
5 / 6
Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
I Ñìûñë:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.
5 / 6
Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
I Ñìûñë:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.
5 / 6
Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
I Ñìûñë:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.
I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.
5 / 6
Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
I Ñåêâåíöèÿ F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
I Ñìûñë:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Àêñèîìû F →F , îñëàáëåíèåΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.I Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.I Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.5 / 6
Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
6 / 6
Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:
äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1→ n→ . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,
î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;
òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j < m), îñòàâëÿåì;
â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:
6 / 6
Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) è (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:
äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1→ n→ . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,
î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;
òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j < m), îñòàâëÿåì;
â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:
q(m)i , j ≡ q
(m+1)i , j ∨ (q
(m+1)m+1, j ∧ q
(m+1)i ,m ),
q(n+1)i , j ≡ pi , j .
6 / 6