2016년 9-10월호 GeoGebra · 2016-09-13 · GeoGebra Institute) 의 허가가 필요하다....

국제지오지브라연구소 공인

무료 수학 / 과학 소프트웨어

저널 지오지브라2016년 9-10월호

GeoGebra한국지오지브라연구소 소장

최 경 식 편저

한국지오지브라연구소

P r e f a c e

2008년에 지오지브라의 한글화가 이루어진 후 지오지브라는 점차적으로 우리나라의 수

학교육 현장에 확산되어 왔다. 지오지브라는 오픈소스 수학 소프트웨어로 수학을 탐구하

고자 하는 모든 사람에게 무료로 제공되고 있으며 다양한 기기1)에서 동일한 환경으로 사

용할 수 있다. 특히 우리나라에서 지오지브라의 확산은 학교 현장의 수학 교사에 의해 자발

적으로 이루어졌으며 2011년에 설립된 한국지오지브라연구소는 지오지브라의 사용법 연

수, 워크샵, 학회를 개최하여 수학 교사 및 수학교육 연구자에게 지오지브라에 대한 정보

를 제공해왔다.

특히 한국지오지브라연구소는 그 동안 지오지브라 관련 서적을 출판하여 지오지브라의

대중화를 위해 노력해 왔다. 지금까지 출판된 지오지브라 관련 서적은 지오지브라의 다양

한 기능에 대하여 설명하고 이를 수학 교수, 학습에 있어 어떻게 활용할 것인가에 대한 이

론적 배경을 제시하는 내용을 담고 있다. 하지만 지오지브라가 많은 사람들에게 보급되고

난 후부터 더 많은 지오지브라 자료의 보급에 대한 필요성이 제기되어 왔다.

저널 지오지브라는 그와 같은 필요를 채우기 위한 것이다. 저널 지오지브라는 지오지브

라를 사용하면서 새롭게 알게 되거나 느낀 점을 보여주고자 한다. 특히 이 저널은 지오지브

라의 모든 점, 장점과 단점 모두 상세하게 보여주고자 한다. 또한 이 저널은 충분한 근거가

제시되는 글이라면 누구나 기고할 수 있다.

이 저널이 지오지브라를 사용하면서 새로운 점을 발견하는 데 우리나라 지오지브라 사

용자들께 도움이 되기를 바란다.

2016년 9월 1일

한국지오지브라연구소 연구소장

최 경 식

1) Android, iOS, Windows, Linux, Chrome 등

머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말

C o n t e n t s

∙ 머리말_ⅲ

제Ⅰ장 지오지브라

1. 지오지브라의 소개 ······················································································· 3

2. 지오지브라의 역사 ······················································································· 3

3. 지오지브라의 설치 ······················································································· 5

4. 설치오류 해결방법 ······················································································· 6

5. 지오지브라의 실행화면 ················································································ 9

제Ⅱ장 저널 지오지브라(2016년 9, 10월호)

1. 지오지브라를 통한 변수가 포함된 함수의 그래프 문제 해결 ·················· 13

2. 도형의 방정식과 함수 : 해석기하학의 시작 ············································· 18

3. 지오지브라를 이용한 동적 문제 해결 ······················································· 21

4. 지오지브라에서 서식 적용하기 ·································································· 27

5. 지오지브라에서 파일 삽입하기 ·································································· 29

6. 직선으로 둘러싸인 부분 색칠하기 ····························································· 30

제Ⅲ장 부록

1. 지오지브라 연구소 ····················································································· 35

2. 지오지브라 도구 ························································································· 37

3. 지오지브라 단축키 ····················································································· 46

4. 찾아보기 ····································································································· 50

차례차례차례차례차례차례차례차례

1

Ⅰ

지오지브라

2

3

1. 지오지브라의 소개

1 지오지브라의 소개

지오지브라(GeoGebra)는 기하, 대수, 미적분, 통계, 이산수학, 3차원 기하를 다룰 수 있

으며 비영리적인 목적1)을 위해 무료로 사용할 수 있는 오픈소스 자유 소프트웨어이다.

지오지브라의 이름은 지오(Geometry; 기하)와 지브라(Algebra; 대수)의 합성어로 동적 기

하 소프트웨어(DGS; Dynamic Geometry Software)와 컴퓨터 대수 시스템(CAS;

Computer Algebra System)을 결합한 소프트웨어라는 의미를 담고 있다. 따라서 지오지브

라는 다양한 수학 영역의 대상을 다룰 수 있는 동적 수학 소프트웨어(DMS; Dynamic

Mathematics Software)라고 볼 수 있다.

[ 전 세계의 지오지브라 연구소 ]

2 지오지브라의 역사

지오지브라는 오스트리아의 마르쿠스 호헨바터(Markus Hohenwarter)가 대학원생이었

던 2001년도에 개발되었다. 마르쿠스 호헨바터는 수학교육과 컴퓨터 공학을 전공하였으며

동적 기하 소프트웨어와 컴퓨터 대수 시스템을 결합한 소프트웨어를 개발하고자 하였다. 이

러한 작업의 결실로 2002년에 지오지브라는 인터넷을 통하여 소프트웨어의 초기 버전이 공

1) 만일 지오지브라와 연관되어 영리가 발생하는 경우에는 국제지오지브라연구소 (IGI; International GeoGebra Institute) 의 허가가 필요하다. [[email protected](영어), [email protected](한국어)]

4

저널 지오지브라(2016년 9, 10월호)

개되었고 오스트리아와 독일의 교사들에게 폭발적인 인기를 얻게 되었다. 같은 해 마르쿠스

호헨바터는 지오지브라의 개발로 EASA(European Academic Software Award) 상을 수

상하였으며 현재는 오스트리아를 중심으로 전 세계의 프로그래머들과 지오지브라를 개발하

고 있다.

2008년에 최경식2)은 지오지브라의 인터페이스 및 관련 문서를 한글화하였으며 한국지오

지브라연구소3)를 통해 지오지브라의 보급, 출판, 연수, 관련 연구 프로젝트를 담당하고 있

다.

[ 지오지브라의 개발자인 마르쿠스 호헨바터 교수 ]

2) [email protected]) http://www.geogebra.or.kr

5

3. 지오지브라의 설치

3 지오지브라의 설치

① 지오지브라의 공식 홈페이지인 http://www.geogebra.org에 접속하여 메인 화면의 다

운로드를 클릭 한다.

② Windows를 클릭 하면 설치파일을 다운로드 받을 수 있다.

6


4 설치오류 해결방법

지오지브라 설치파일을 다운로드 받은 후 실행하였으나 설치가 되지 않는 경우가 있다. 이

런 경우에는 다음 과정을 따라 실행한 다음 설치파일을 실행하면 지오지브라를 설치할 수 있

다.4)

① 제어판을 클릭 한다.

② 시계, 언어 및 국가별 옵션 - 키보드 또는 기타 입력 방법 변경을 클릭 한다.

4) Windows 7에서 이와 같은 설치오류가 종종 발생한다.

7

4. 설치오류 해결방법

③ 키보드 변경(C)... 을 클릭 한다.

④ 추가(D)... 를 클릭 한다.

8


⑤ 한국어(대한민국) 아래의 Microsoft 입력기를 선택한 후 확인 을 클릭 한다.

⑥ 콤보상자에서 한국어(대한민국) - Microsoft 입력기를 선택한 후 확인 을 클릭 한다.

9

5. 지오지브라의 실행화면

5 지오지브라의 실행화면

① 지오지브라의 실행화면은 기본적으로 대수창, 기하창, 입력창으로 구성되어 있다.

② 메뉴의 보기를 클릭 하면 스프레드시트 창, CAS 창, 기하창 2, 구성단계, 화면배치

등이 나타나게 할 수 있다.

10


대수창에서는 기하창에 나타나는 수학적 대상들의 정보를 보여준다. 예를 들어 기하창의

점, 직선, 함수 그래프 등의 대수적 표현(수식)은 대수창에 나타나게 된다. 또한 지오지브라

는 대수적 표현과 기하적 대상을 서로 연결하여 보여준다. 예를 들어 기하창에서 마우스로

점을 움직이면 대수창에서 점의 좌표가 동시에 변화하며 대수창에서 점의 좌표를 수정하면

기하창에서 점이 이동한다.

스프레드시트 창 CAS 창

구성단계 설정사항

[ 지오지브라의 실행화면 ]

11

Ⅱ

저널 지오지브라

(2016년 9, 10월호)

12

13

1. 지오지브라를 통한 변수가 포함된 함수의 그래프 문제 해결 – 박희정

1 지오지브라를 통한 변수가 포함된 함수의 그래프 문제 해결

수학에서 함수를 정의하고 이해하는 것을 기본 현상 및 원리를 이해하는 중요한 개념이면

서 수학적 사고를 확장시키고 현실적으로 모의고사 같은 문제 해결력을 향상시키기 위한 중

요한 단계라 할 수 있습니다. 그러나 실제 함수의 정확한 개념을 학생들이 인지하지 못하고

상수의 동적인 움직임에 대응하는 함수를 이해하는데 학교 현장에서도 많은 어려움을 겪고

있습니다. 실제 학생들에게 수업을 진행할 때는 함수의 그래프의 움직임에 초점을 맞추어 지

도하는데 어려움이 있어서 이를 만족시키는 상수들을 구하거나 전체적인 그래프의 움직임을

포기하고 수치적 계산에 의해 구하는 경우가 대부분입니다. 따라서 실제 함수를 이해하고 이

를 지오지브라로 구현하여 어느 함수의 일부이고 어떤 현상으로 나타나게 되는지를 이해하

는 것은 아주 중요한 과정이라 할 수 있습니다. 수많은 다양한 예시 중 실제 수업에서 이해

를 돕기 위해 사용되었던 예를 통해 같이 조금이나마 공유하고자 합니다.

Ⅰ. 정의역이 나누어져 있는 함수 그리기

1. 구간이 를 기준으로 나누어진 함수의 그래프

일 때, 함수 가 ≥

라고 합니

다.

이 때, 학생들에게 의 그래프를 그려준다고 하면 일반적으로 정의역을 나누어서

그래프와 그래프를 그린 다음 정의역의 구간을 구하고 의 그래프를 그릴 것

입니다. 하지만 지오지브라를 활용하여 학생들에게 다음과 같이 지도하면 효과적일 수 있습

니다.

의 그래프를 그리고 의 그래프를 그린다음 의 정의역 그대로 명령어

조건 ≥ 를 입력합니다. 그런 다음 세 개의 그래프를 비교할 수 있습니

다. 세 개의 그래프를 비교하면 그래프와 의 그래프 중 작은 값만을 취하는

함수라는 것을 시각적으로 파악할 수 있습니다. 이는 min 와

14


모두 같은 표현이라는 것을 알 수 있습니다.

그림 1: 구간이 나누어져 있는 함수의 그래프

이를 활용하면 일 때, 함수 가

≤

는

max 함수임을 쉽게 확장 시킬 수 있습니다.

2. 구간이 를 기준으로 나누어진 함수의 그래프

위의 내용을 확장하여 대신 라고 확장하여 생각해 봅시다.

함수 가 , 이고

함수 가 ≥

라고 합시다. 이 함수를 실제 계산을 해서

그리는 것보다 학생들에게 와 , 를 그린다음 비교할 수 있게 제공해 줍니다.

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그림 2: 함수를 기준으로 구간이 나누어져 있는 함수의 그래프

, 의 함수를 입력한 다음 조건 ≥ 를 입력하면 세 개

의 그래프를 비교할 수 있습니다. 세 개의 그래프를 비교해 보면 와 중 작은 값

만을 취한 함수라는 것을 알 수 있습니다. 이는 min 와

모두 같은 표현임을 알 수 있습니다. 이를 통

해 max 함수도 쉽게 유추할 수 있습니다.

Ⅱ. 새로 정의된 함수를 그래프로 그리기

임의의 라는 함수가 주어졌을 때, 를 만족시키는 해 중 가장 작은 근를

라 합니다. 이 때, 의 함수의 그래프의 개형을 그려봅시다.

지오지브라 창에 점 4개를 임의로 찍습니다.(점 A B C D ) 그 다음 다항식[A,B,C,D]

를 입력하면 네 점을 지나는 함수의 그래프가 그려집니다. 입력창에 라고 입력하면

를 슬라이더로 갖는 직선 함수가 하나 만들어 집니다. 입력창에 교점(는 두 함

수의 이름입니다.)를 입력하면 와 가 만나는 점들의 집합이 만들어 집니다. 입력

창에 원소리스트 (단 리스트1은 교점의 집합의 이름입니다.)를 입력하면 교점의

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해 중 가장 작은 값을 변수로 얻을 수 있습니다. 이제 입력창에 (는 교점의 해 중

가장 작은 값을 변수로 얻은 수 이름입니다.)를 입력하고 입력창에 자취그리기[](는

입력창에 점 의 이름이다.)를 입력하면 원하는 함수 의 그래프를 그릴 수 있습니

다. 이 그래프는 실제적으로 함수 를 축으로 선대칭한 그래프의 일부임을 시각적

으로 확인 할 수 있습니다. 따라서 다양한 함수의 그래프의 개형을 학생들에게 시각적으로

표현하여 이해시킬 수 있는 기회를 제공하는데 활용될 수 있습니다.

그림 2: 새로 정의된 함수를 그래프로 그리기

Ⅲ. 함수의 일부의 구간에서 정의된 함수의 그래프

임의의 함수 에 대하여

≤ ≥

라고 정의되어 있다고 합니다. 가 전 구간에서

미분 가능할 때, 의 값을 구한다고 합니다. 이를 수치적으로만 풀면 각 영역에서 좌

미분, 우미분계수와 연속성을 이용하여 문제를 풀 수 있습니다. 하지만 그래프의 개형이 전

체적으로 어떻게 움직이는지에 대해서 학생들은 이해하지 못하고 그저 수치적인 계산만 할

뿐입니다.

입력창에 를 입력하고

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조건[x < a, f, 조건[a ≤ x < b, -f(x) + c, f(x) + d]] 라고 입력하면 의 그래프를

얻을 수 있다. 이제 의 슬라이더를 움직이면서 함수의 미분 가능한 개형을 학생들과

같이 움직여보고 미분 가능한 조건을 찾아 본다면 학생들이 정의된 함수를 좀 더 이해할 수

있는 계기가 되지 않을까 생각합니다.

그림 3: 함수의 일부의 구간에서 정의된 함수의 그래프

저자

박희정

대전지오지브라팀장

[email protected]

18


2 도형의 방정식과 함수 : 해석기하학의 시작

본 활동은 데카르트가 발견한 좌표계가 기하학에 미친 영향에 대해 학생들이 지오지브라

를 이용하여 직접 탐구해보게 함으로써 유클리드 기하와 좌표기하의 차이점을 학생들이 이

해할 수 있도록 하는데 그 목적이 있다. 이 활동은 2014년 대구 중등수학교육연구회가 주최

하는 대구수학페스티벌에서 대구 학생들을 대상으로 실시되었으며, 참여한 학생들은 데카르

트의 아이디어에 흥미를 느꼈으며 유클리드 기하와 좌표기하에 대해 생각해보게 되는 계기

가 되었다고 소감을 밝혔다. 다음은 학생들에게 나눠준 활동지에 제시된 읽을 거리, 질문 문

항과 활동에 사용된 지오지브라 파일이다.

Ⅰ. 읽을거리 : 데카르트에 의해 시작된 해석기하학

17세기 초반의 수학은 우리가 중학교에서 배우는 유클리드 기하학이 주를 이루었고, 문자

와 식을 다루는 대수는 부속물이었다. 유클리드 기하학은 직선과 원으로 형성되는 모양에만

제한되어 있었는데, 17세기 과학과 기술이 발전하면서 타원, 포물선, 쌍곡선 등 새로운 여러

형태들에 대해서도 연구할 필요성이 발생하였다. 하지만 유클리드 기하학은 이러한 수많은

실용적인 곡선에 대한 정보를 전혀 주지 못하였다. 유클리드 기하학에서는 수를 선분으로,

두 수의 곱을 면적으로, 세 수의 곱을 부피로 생각했다. 길이·면적·부피는 물리세계가 갖는

유일한 3가지 기하 측정량이므로 과 같은 대수관계식과 동등한 기하 표현을 생각할

수 없었다.

근대 철학의 아버지로 불리는 데카르트(Rene Descartes, 1596∼1650)는 기하학에 대수

적 해법을 적용한 해석기하학의 창시자로 알려졌다. 데카르트의 해석기하학은 '대수적인 기

하학'이라고 할 수 있다. 일반적으로 기하학의 증명 방법은 이미 알려져 있는 성질들을 결합

해서 새로운 정리를 유도하는 종합적인 방법에 의존한다. 그는 그리스의 수학을 검토하는 과

정에서 유클리드의 기하학은 논리 정연하지만 우연히 발견하는 기하학적인 요소를 사용하는

등 비체계적인 증명을 따르고 있다는 것을 깨달았다. 그리하여 분석적이고 해석적인 대수학

의 장점을 기하학에 응용시킨 것이다.

그는 수학은 기하나 대수로 분리하지 않고, 종합적인 관점에서 다루어져야 한다고 생각하

고, 계산 기호만을 결합한 형식적인 대수학을 만들어서 그 응용을 기하학에 적용시켰다. 그

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2. 도형의 방정식과 함수 : 해석기하학의 시작 - 전수경

의 해석기하학은 2차 공간, 즉 좌표평면에서 다룬다. 즉 평면상의 모든 점은 좌표에 의해 x

축과 y축에 관련된 2개의 숫자로 나타낼 수 있는데, 이 때, 변수 x의 값에 의해 정해지는 변

수 y의 값은 대수방정식으로 표현할 수 있다. 그는 이런 방법으로 기하학적 도형인 직선, 원,

타원, 포물선, 쌍곡선 등을 대수방정식으로 나타내었던 것이다. 이렇게 기하학과 대수학을

하나로 묶고, 종합과 분석의 방법을 구사한 데카르트는 해석기하학이라는 수학의 새로운 장

을 열었고, 나아가 뉴턴의 미적분학을 발전시키는 중요한 계기가 되었다.

Ⅱ. 데카르트의 발견에 관한 학생 활동

데카르트의 발견

그리스인들은 한 변수는 임의의 선분의 길이에, 두 변수의 곱은 직사각형의 넓이에, 세 변수

의 곱은 직육면체의 부피에 대응시켰다. 그리스 시대에서는 그 이상의 발전은 없었다. 반면에 데

카르트는 을 넓이라기보다는 의 비례에서 네 번째 항으로 생각하고, 를 알

때 쉽게 계산될 수 있는 적당한 선분의 길이를 표시하는 것으로 제안했다. 이 방법으로 우리는 단

위선분을 이용하여 한 변수의 몇 제곱이나 몇 개의 변수의 곱을 선분의 길이로 나타낼 수 있고,

변수값이 정해지면 유클리드 도구를 사용하여 실제로 선분의 길이를 그릴 수 있다.

1. 위의 글을 읽고 지오지브라를 활용하여 임의의 에 대하여 를 길이로 나타내어

보자.

비례식을 나타내기 위해서 필요한 도형이 무엇인지 생각해 보자.

GeoGebra의 슬라이드 도구를 이용하여 를 길이로 가지는 선분을 작도하여 보자.

20


2. 1의 결과를 이용하여 의 그래프를 자취로 나타내어 보자.

저자

전수경

대구지오지브라팀장

[email protected]

21

3. 지오지브라를 이용한 동적 문제 해결 - 전수경

3 지오지브라를 이용한 동적 문제 해결

고등학교에서 학생을 지도하면서 학생들이 미적분이나 기하와 벡터를 공부할 때 수학 기

호나 문제 상황이 표현하는 의미를 파악하지 않은 채 대수적인 식의 조작으로 문제를 해결하

는 과정을 많이 볼 수 있었습니다. 이것은 교과서나 문제집에서 문제 풀이 과정을 대수적인

방법으로 대부분 접근하고 있기 때문에 나타난 결과라 할 수 있습니다. 교과서나 문제집은

변수 또는 각 기호들이 내포하고 있는 역동적인 속성을 지면의 텍스트로 구현하기 어려운 제

약을 가지고 있어 이러한 현상이 나타나고 있다고 생각합니다. 그래서 저는 수업시간에 최대

한 지오지브라를 이용하여 기호가 담고 있는 역동적인 속성이나 변화의 현상을 표현해주려

고 노력합니다. 지오지브라는 변수를 슬라이드 도구를 이용하여 변화하는 동적인 속성을 구

현할 수 있어 수학적 기호를 좀 더 유의미한 동적인 현상으로 바꾸어 제시할 수 있습니다.

다음은 실제 수업시간에 학생들에게 지오지브라를 이용한 문제해결 과정을 제시한 예제입

니다. 이 예제는 3학년 수학 가형 모의고사에 출제된 문제로 자연과학계열 학생을 대상으로

수업한 것입니다. 각 문제별로 해설집에서 제시한 대수적 문제 해결 과정과 지오지브라를 이

용한 동적 문제해결 과정을 비교하여 제시하였습니다.

Ⅰ. 전라북도 5월 3학년 모의고사 수학 가형 20번

위 문제는 정적분의 기본 정의를 사용하여 해결하는 문제지만 교과서에서 제시한 정적분

의 기본 정의의 형태와 다른 점이 많아 대부분의 학생들이 문제를 어려워하여 해결하지 못하

거나 해결하더라도 오류를 많이 범한 문제입니다. 학생들은

이 있어야 할 자리에

가

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있어 혼란스러워 했고 을 조작하는 방법을 알지 못해 지도하는 학생들 중 상위권

학생들도 이 문제를 어려워하였습니다. 모의고사 해설집에서는 이 문제의 풀이 과정을 다음

과 같이 대수적으로 제시하였습니다.

그러나 정적분은 무수히 많은 직사각형 넓이의 합이라는 기하적 현상을 내포하는 개념이

므로 이 문제 역시 기하적 현상으로 이해할 수 있고 기하적 현상을 이해하면 문제해결 전략

이 구체적으로 드러날 수 있으므로 저는 지오지브라로 문제에서 제시한 기호를 구현해 보았

습니다.

23


지오지브라로 구현하기 위해 먼저 슬라이드 도구를 이용하여 을 만들고 축 위의 점과

함수위의 점을 리스트 명령어를 이용하여 직사각형을 만들었습니다. 그리고 문제에서 나타

내는 부분을 색칠하여 나타내면 다음과 같습니다.

그런 다음 을 점점 더 크게 만들면 문제에서 요구하는 부분이 함수의 그래프와 축으로

둘러싸인 부분의 넓이임을 알 수 있습니다. 이것을 본 학생들은 직사각형의 넓이에서 축으

로 둘러싸인 부분의 넓이를 빼서 구할 수 있다는 것은 쉽게 파악하였고 이후 문제해결 과정

은 어려워하지 않았습니다.

24


여기에서 사용된 리스트 명령어는 다음과 같습니다.

리스트1=수열[(k / n, 0), k, 0, n]

리스트2=수열[(k / n, f(k / n)), k, 0, n]

리스트3=수열[선분[(k / n, 0), (k / n, f(k / n))], k, 0, n]

리스트4=수열[(k / n, f((k - 1) / n)), k, 0, n]

리스트5=수열[선분[(k / n, f((k - 1) / n)), (k / n, f(k / n))], k, 0, n]

리스트6=수열[(0, f(k / n)), k, 0, n]

리스트7=수열[다각형[(0, f((k - 1) / n)), (k / n, f((k - 1) / n)), (k / n, f(k / n)), (0, f(k / n))], k,

0, n]

Ⅱ. 2016학년도 3학년 6월 모의평가 20번

위 그림은 2016학년도 3학년 6월 모의평가 20번 문항으로 난이도가 높은 문제 중 하나였

25


습니다. 이 문제는 함수식과 그래프를 모두 제시하고 있지만 여러 곳에서 제시한 풀이과정이

나 학생들의 풀이를 살펴보면 그래프는 거의 사용하지 않거나 교점을 찾을 때만 사용하였습

니다. 또한 문제는 정적분을 제시하는 과정에서 곡선 아래의 넓이 개념을 포함하고 있지만

문제해결 과정에 넓이 개념이 포함되지 않고 대수식을 이용한 문제풀이 과정을 제시하고 있

었습니다. 다음은 EBS에서 제시한 문제해결 과정입니다.

이 문제를 지오지브라의 슬라이드 도구를 이용하여 구현하면 다음과 같습니다.

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여기에서 를 움직여 보면 더해지는 의 넓이와 감해지는 의 넓이들이 이 문제를 구성

하는 요소임을 알 수 있습니다. 이 과정을 학생들에게 보여주면서 구하고자 하는 값의 변화

를 관찰하였더니 학생들은 주어진 의 값과 의 값의 차이에 따라 주어진 식의 증

감과 극대, 극소가 되는 위치를 찾아내는 것을 알 수 있었습니다.

이와 같이 지필환경은 주어진 수학적 개념이 포함하고 있는 기하학적 의미 또는 동적인

현상은 나타내는데 제한적임을 알 수 있습니다. 지오지브라는 이러한 제약에서 벗어나게 해

주었으며 학생들에게 원래 수학적 개념이 가지고 있는 의미를 구현하게 해주는 강력한 역할

을 해 줄 수 있다고 생각합니다.

저자

전수경

대구지오지브라팀장

[email protected]

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4. 지오지브라에서 서식 적용하기 - 권태률

4 지오지브라에서 서식 적용하기

GeoGebra Desktop Version 에서 양식파일을 만들 수 있는데 양식파일을 불러서 현재

작업파일 안의 하나 또는 여러 대상에 같은 스타일(색상, 점 모양, 선 굵기 등)을 적용할 수

있다.

서식파일 만드는 방법

① 지오지브라 양식을 지정할 대상(점, 선, 다각형 등)을 포함하는 파일을 하나 만든다.5)

② 설정사항 대화창이나 스타일 바를 사용하여 초기설정양식에서 색상이나 크기를 바꾼다.

③ 설정사항 대화창의 기본탭의 캡션입력란에 %style=스타일이름 이라고 입력한다.6)

다음 그림에서는 스타일이름을 %style=오랜지 세모 라고 입력했다. 다른 점이나 대상에

다른 스타일을 정의했다면 캡션 입력창에 스타일 이름을 다르게 입력하면 된다

5) 양식.ggb 같은 이름으로 저장한다.6) 스타일이름은 임의로 입력해도 된다.

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동일한 유형의 모든 대상에 적용할 수 있는 정의된 스타일을 원하면 정의하는 대상의 캡

션 입력란에 %style=defaultStyle 라고 입력한다.

이제 사용자 지정 스타일 서식을 포함하는 파일을 저장한다.7)

서식 파일을 ggb파일에 적용하는 방법

스타일 서식을 적용하기를 원하는 파일을 불러오거나 새로운 파일를 만든다. 그러면 특별

한 스타일을 적용할 대상의 캡션 입력란에 %style=스타일이름 을 입력한다.

위의 그림을 예를 들면, 템플릿 파일을 적용하고자 하는 모든 점의 캡션 입력란에

%style=세모오랜지 라고 입력한다. 만약 %style=defaultStyle 을 원한다면 이 단계를 할 필

요가 없다.

파일에서 어떤 대상도 선택하지 않은 상태에서 파일을 저장하고 메뉴바에서 열기 …

드롭다운리스트에서 서식 적용(.ggb) 를 선택하고 스타일.ggb 파일을 불러오면 현재 파일의

점들중에서 캡션입력란에 %style=세모오랜지 라고 입력한 모든 점들의 스타일이 바뀐다.8)

저자

권태률

포항지오지브라팀장

[email protected]

7) 스타일.ggb8) 만약 어떤 대상들을 선택하고 서식을 적용했으면 선택한 대상들만 스타일이 적용될 것이다.

29

5. 지오지브라에서 파일 삽입하기 - 권태률

5 지오지브라에서 파일 삽입하기

GeoGebra Desktop Version 에서 현재 작업 중인 파일에 기존 대상들을 유지한 채로

다른 지오지브라 파일을 삽입할 수 있다. 메뉴 – 열기 – 드롭다운 리스트-파일 삽입(.ggb)을 클

릭하고 원하는 파일을 삽입한다.

삽입된 파일의 일부 대상은 현재 구성의 모든 개체에 고유한 이름이 있는지 확인하기 위

해 이름을 바꿀 수 있다.

저자

권태률


[email protected]

30


6 곡선으로 둘러싸인 부분 색칠하기

번호 이름도구

아이콘값 정의(명령) 설명

1 점 A A = (0.44, 1.36) 임의의 점

2 점 B B = (6.2, 1.36) 임의의 점

3다각형 다각형1

다각형1 = 33.18 다각형[A, B, 4] 정사각형

4 호 c c = 9.05 원호[A, B, D] 1/4원

5 호 d d = 9.05 원호[B, C, A] 1/4원

6 호 e e = 9.05 원호[D, A, C] 1/4원

7 호 k k = 9.05 원호[C, D, B] 1/4원

8 점 E E = (3.32, 6.35) 교점[c, d, 1]

9 점 F F = (1.21, 4.24) 교점[d, k, 1]

10 점 G G = (3.32, 2.13) 교점[e, k, 1]

11 점 H H = (5.43, 4.24) 교점[c, e, 1]

12 호 p p = 3.02 원호[A, H, E] 색칠할 부분의 호

31

6. 곡선으로 둘러싸인 부분 색칠하기 - 권태률

참고사항

① 구성단계를 표로 불러오는 방법 : 구성단계 보기에서 웹페이지 저장을 한후 html 상태에

서 영역을 선택해서 복사한 후 한글이나 워드에 붙여넣기 하면 됨.

② 도구아이콘은 붙여넣기가 안 됨

저자

권태률


[email protected]

13 호 q q = 3.02 원호[B, E, F] 색칠할 부분의 호

14 호 r r = 3.02 원호[C, F, G] 색칠할 부분의 호

15 호 s s = 3.02 원호[D, G, H] 색칠할 부분의 호

16리스트 리스트1

리스트1 = {3.02, 3.02, 3.02, 3.02}

{p, q, r, s}

대수창에서p, q, r, s를 동시에 선택한 후 끌어서 입력창에 가져가면 쉽게 만들 수 있다.

17 점 I I = (2.42, 2.78) 점[리스트1]

18 점 J J = (2.42, 2.78) I=J

19자취 자취1

자취1 = 자취그리기[J, I] 자취그리기[J, I]투명도를 조절해서 색을 채운다.

32


33

Ⅲ

부록

34

35

1. 지오지브라 연구소

1 지오지브라 연구소

한국지오지브라연구소9)는 2011년에 설립되었다. 한국지오지브라연구소는 국제지오지브라

연구소 (IGI; International GeoGebra Institute)의 비전과 목표를 따라 우리나라 지오지

브라 사용자를 위하여 다음과 같은 지원을 하는 공식 기관이다.

․ 예비 및 현직 교사를 위한 연수

․ 각종 지오지브라 관련 문서 출판

․ 지오지브라 관련 연구 수행

․ 국내외 지오지브라 관련 행사 개최

․ 그 외 지오지브라와 관련된 여러 지원 활동

학회와 연수

한국지오지브라연구소는 매년 수천 명의 수학 교사에게 지오지브라 관련 연수를 통하여 도

움을 제공하고 있다. 또한 한국지오지브라연구소는 국제지오지브라연구소와 협력하여 국제

학회를 개최하고 있다.10)

온라인 지원 활동

한국지오지브라연구소는 공식 웹사이트11)를 통해 다음과 같은 지원 활동을 하고 있다.

9) http://www.geogebra.or.kr10) 2012년에 개최된 GeoGebra ICME Pre-conference 2012 국제학회의 경우 25개국에서 약

160여명이 참여하였으며 각국에서 이루어지고 있는 지오지브라 관련 연구가 발표되었다. 현재 이 학회를 모델로 각국에서도 동일하게 국제학회가 진행되고 있다 (http://wiki.geogebra.org/en/GGB_Korea_2012).

11) http://www.geogebra.or.kr

․ 질문답변/자료 : 이 책에 관련된 질문은 질문답변/자료 – 지오지브라 고급예제 모

델링 게시판에 올릴 수 있다.

36


․ 페이스북 페이지 : 지오지브라 공식 페이스북 페이지12)에서는 지오지브라와 관련된

다양한 정보를 얻을 수 있다.

12) https://www.facebook.com/geogebrakorea

․ 도움말 문서 : 지오지브라 자료 - 도움말 문서 게시판에서 지오지브라 연구소의

공식 매뉴얼을 다운로드 받을 수 있다.

․ 동영상 강좌 : 지오지브라 자료 - 동영상 강좌 게시판에서 지오지브라 강의 동

영상을 볼 수 있다.

․ 수학그림 자료 : 지오지브라 자료 - 수학그림 자료 게시판에서 지오지브라로 작성

된 수학그림 자료와 지오지브라 파일을 다운로드 받을 수 있다.

37

2. 지오지브라 도구

2 지오지브라 도구

기하와 그래프 도구

이동 도구상자

1 이동

2 점 주위에서 이동

점 도구상자

1 점

2 대상 위의 점

3 점을 대상에 붙이기/떼기

4 교점

5 중점 또는 중심

6 복소수

7 최댓값

8 근

선 도구상자

1 직선

2 선분

3 주어진 길이의 선분

4 반직선

38


특별한 선 도구상자

1 수직선

2 평행선

3 수직 이등분선

4 각의 이등분선

5 접선

6 극선 또는 지름

7 적합선

8 자취 그리기

다각형 도구상자

1 다각형

2 정다각형

3 고정된 다각형

4 벡터 다각형

5 다각선

6 벡터

7 점으로부터의 벡터

39


원 도구상자

1 중심이 있고 한 점을 지나는 원

2 중심과 반지름이 있는 원

3 컴퍼스

4 세 점을 지나는 원

5 두 점을 지나는 반원

6 원호

7 세 점을 지나는 원호

8 부채꼴

9 세 점을 지나는 부채꼴

원뿔곡선(이차곡선) 도구상자

1 타원

2 쌍곡선

3 포물선

4 다섯 점을 지나는 원뿔곡선(이차곡선)

각 도구상자

1 각

2 주어진 크기의 각

3 거리 또는 길이

40


대칭 도구상자

1 직선에 대하여 대칭

2 점에 대하여 대칭

3 원에 대하여 대칭

4 점 주위로 회전

5 벡터에 의하여 평행이동

6 점으로부터 대상을 확대

텍스트 도구상자

1 텍스트

2 그림

3 펜

4 프리핸드 그래프

5 관계

6 함수 관리자

4 넓이

5 기울기

6 리스트

41


슬라이더 도구상자

1 슬라이더

2 대상을 보이거나 감추기 위한 체크 상자

3 버튼

4 입력상자

기하창 이동 도구상자

1 기하창 이동

2 크게보기

3 작게보기

4 대상 보이기/감추기

5 레이블 보이기/감추기

6 스타일 복사

7 삭제

스프레드시트 창 도구

통계분석 도구상자

1 일변량 분석

2 이변량 회귀분석

3 다변량 분석

4 확률 계산기

42


리스트 도구상자

1 리스트

2 점의 리스트

3 행렬

4 표

5 다각선

계산 도구상자

1 합계

2 평균

3 개수

4 최댓값

5 최솟값

CAS 창 도구

일반 CAS 도구

1 연산

2 수치연산

3 입력 유지

4 인수분해

5 전개

6 치환

43


미적분 도구상자

1 미분

2 적분

함수 도구상자

1 확률 계산기

2 함수 관리자

3차원 기하창 도구

3차원 기하창 도구

1 수직선

2 점을 지나고 축이 있는 원

3 중심, 반지름, 방향이 있는 원

4 교선

5 부피

6 3차원 기하창 회전

7 선택방향으로 보기

7 풀기

8 수치해석으로 풀기

9 삭제

44


평면 도구상자

1 세 점을 지나는 평면

2 평면

3 수직평면

4 평행한 평면

뿔,기둥 도구상자

1 각뿔

2 각기둥

3 각뿔이나 원뿔로 끌어내기

4 각기둥이나 원기둥으로 끌어내기

5 원뿔

6 원기둥

7 정4면체

8 정6면체

9 전개도

구 도구상자

1 중심이 있고 한 점을 지나는 구

2 중심과 반지름이 있는 구

45


대칭 도구상자

1 평면에 대하여 대칭

2 직선 주위로 회전

46


3 지오지브라 단축키

특수문자

단축키 키값 단축키 키값 단축키 키값

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + ∞

+ + +

+ + + ≤

+ + + ≥

+ + +

+ +

+ + ⊗ + + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + + ∞

+ + + +

+ + + + ≤

+ + + + ≥

+ + + +

+ + + + ≠

47

3. 지오지브라 단축키

48


49

3. 지오지브라 단축키

기능 단축키

단축키 기능

이동모드

+ 입력창 포커스

+ 복사

+ 설정사항(기하창)

+ 새로고침

+ 새 윈도우

+ 열기

+ 인쇄 미리보기

+ 모든 대상 재계산

+ 저장하기

+ 붙이기

+ 되돌리기

+ + 기하창

+ + 기하창 2

+ + 3차원 기하창

+ + 대수창

+ + 기하창을 클립보드로 저장

+ + CAS

+ + 구성단계

+ + 그림으로 내보내기

+ + 스프레드시트 창

+ + 지오지브라튜브에 올리기

+ + 기하창을 PSTricks로 저장

50


4 찾아보기

(2)

2016학년도 3학년 6월 모의평가 24

(C)

CAS 3

CAS 창 9

Computer Algebra System 3

(D)

DGS 3

DMS 3

Dynamic Geometry Software 3

Dynamic Mathematics Software 3

(I)

IGI 3, 34

International GeoGebra Institute 3 ,

34

(ᄀ)

구성단계 9, 31

국제지오지브라연구소 3, 34

기능 단축키 48

기하창 9

기하창 2 9

(ᄃ)

다른 지오지브라 파일을 삽입 29

다운로드 5

단축키 45

대수창 9

데카르트 18

데카르트의 발견 19

동적 기하 소프트웨어 3

동적 수학 소프트웨어 3

(ᄉ)

새로 정의된 함수 15

서식 파일을 ggb파일에 적용28

서식파일 27

설치 5

설치오류 6

스타일 27

스프레드시트 창 9

실행화면 9

(ᄋ)

일부의 구간에서 정의된 함수 16

입력창 9

(ᄌ)

전라북도 5월 3학년 모의고사 21

정의역이 나누어져 있는 함수 13

지오지브라 3

51

4. 찾아보기

(ᄏ)

컴퓨터 대수 시스템 3

(ᄐ)

특수문자 45

(ᄒ)

한국지오지브라연구소 34

해석기하학 18

Date post:	24-Jul-2020
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2016년 9-10월호 GeoGebra · 2016-09-13 · GeoGebra Institute) 의 허가가 필요하다....

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