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Transformada Laplace(Repaso)2.3
OBJETIVOSModelado en el dominio de la frecuenciaUtilizar la transformada Laplace para representar ecuaciones diferenciales lineales
CONTENIDOSTransformada de Laplace
Transformadas útiles; Tabla de transformadasPropiedadesEjemplos
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
T2.3 Laplace 1314 SR
DOMINIO DEL TIEMPO
Ecuación diferencial lineal en el tiempo
Relación entre las entradas y salidas de un sistema
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Ecuaciones algebraicas sencillas en la variable compleja s
Relación entre la entradas y salidas de un sistema
Transformada de Laplace
T2.3 Laplace 1314 SR
La transformada de Laplace es una herramientamatemática que nos permite pasar del dominiotemporal al frecuencial.
En donde F(s) es una función compleja de variable compleja:
ωσ js +=
3
L
L-1
( )f t ( )F s
( ) 0, 0f t t= ≤
T2.3 Laplace 1314 SR
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La transformada inversa o anti‐transformada de Laplacees una herramienta matemática que nos permite pasardel dominio frecuencial al temporal
Las expresiones anteriores no se suelen aplicar.Trabajaremos con tablas y usando las propiedades
,abcisa de convergencia. Incluye valores singulares de F(s) c R∈
T2.3 Laplace 1314 SR
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ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Variable t
SOLUCIÓN EN EL
DOMINIO TEMPORAL
ECUACIÓNEN EL
DOMINIO DE LAPLACE
Variable
SOLUCIÓN DE
LAPLACE
Transformada de
Laplace
Manipulación algebraica
Integración
s jσ ω= +
∫
L L-1Anti
Transformada de
Laplace
T2.3 Laplace 1314 SR
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Transformadas típicas (1/5)
T2.3 Laplace 1314 SR
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Transformadas típicas (2/5)
T2.3 Laplace 1314 SR
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Transformadas típicas (3/5)
T2.3 Laplace 1314 SR
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Transformadas típicas (4/5)
Es especialmente útil para elestudio de la respuesta enfrecuencia que estudiaremos másadelante.
2 2( ) ( ) ( )
2 2 /
wf t sen wt F ss w
w f Tπ π
= → =+
= =
seno
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Transformadas típicas (5/5)
T2.3 Laplace 1314 SR
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Tabla de transformadas típicas
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Propiedades
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Para aplicar el teorema los límites deben existir
T2.3 Laplace 1314 SR
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( ) ( ) ( )2
2
2
10 2 30 lim lim
2 5
2 3
lim 10 02 51
s s
s
sy sY s
s s
s s
s s
+
→∞ →∞
→∞
+⎡ ⎤= = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )( )52
32102 ++
+=
sssssY
Ejemplo: teorema del valor inicial
Sólo puede aplicarse cuando el límite
existe
Dada una señal y(s), se quiere conocer elvalor de y(t) para t=0, es decir, el valor enel origen.
T2.3 Laplace 1314 SR
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Ejemplo: teorema del valor final
( ) ( )( )52
32102 ++
+=
sssssY
( ) ( ) ( )20 0
10 2 3 30lim ( ) lim lim 62 5 5t s s
sy y t sY s
s s→∞ → →
+⎡ ⎤∞ = = = = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + +⎣ ⎦
Dado y(s), se quiere conocer el valorque alcanza y(t) para t muy grande,es decir, su valor final.
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Ejemplo: teorema del valor final
¿Puede aplicarse? Sólo si cumplen los criterios de existencia del límite
T2.3 Laplace 1314 SR
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Ejemplo: Teorema del valor final
( ) ( )( )
( ) ( )( )4
5104510
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1
+
+=
−+
=
ss
ssY
sssY No se cumplen los criterios
de existencia del límite
¿Puede aplicarse?
T2.3 Laplace 1314 SR
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Resolver la ecuación diferencial:
( )5 4 2, 0 1dy y ydt
+ = =
1.- Tomar Transformada de Laplace de ambos lados de la igualdad ( )( ) ( ) 25 1 4sY s Y s
s− + =
2.-Despejar la función
( ) ( )5 25 4sY s
s s+
=+
3.- Hallar la transformada inversa ayudándose de las tablas
( ) [ ] ( ) ( )1 1 0.85 2( ) 0.5 0.55 4
tsy t y t y t es s
− − −⎡ ⎤+= ⇒ = +⎢ ⎥+⎣ ⎦
L = L
Ecuaciones diferenciales
T2.3 Laplace 1314 SR
2.4PALABRAS CLAVE Y TEMAS
OBJETIVOS
• ¿Qué es la Función de Transferencia?• Utilidad• Respuesta impulsional
Función de TransferenciaRespuesta Impulsional
T2.4 Función de Transferencia19
Función de Transferencia
Para un sistema lineal de parámetros constantes, la Función de Transferencia se define como el cociente entre la Transformada Laplace de la señal de salida Y(s) y la Transformada de Laplace de la señal de entrada U(s), suponiendo todas las condiciones iniciales nulas.
O sea, si el sistema viene dado por la ecuación diferencial:
1 1
1 1 0 1 1 0( ) ( ) .. ( ) ( ) ( ) ( ) .. ( ) ( )n n m mn n m ma y t a y t a y t a y t b u t b u t b u t b u t− −
− −+ + + + = + + + +& & en donde u(t) es la entrada e y(t) es la salida.
la Función de Transferencia del sistema, G(s), será:
11 1 0 0
11 1 0
0
...( ) ( )( )( ) ... ( )
mi
m m im m
nn njn n
j
b sb s b s b s bY s N sG s
U s a s a s a s a D s a s
−−
−−
+ + + += = = = =
+ + + +
∑
∑
Función de Transferencia
T2.4 Función de Transferencia20
Utilidades
Ventajas de la Función de Transferencia:
• Es una representación compacta de un sistema lineal como cociente de polinomios en s.
• Permite predecir la forma de las señales sin necesidad de resolver la ecuación diferencial
• Tiene una interpretación inmediata en la frecuencia: s=jw • Es una propiedad del sistema: independiente de la magnitud y la
naturaleza de la señal de entrada.
• Si se desconoce la ecuación diferencial que describe el sistema, se puede obtener su Función de Transferencia de forma experimental, excitando al sistema con entradas conocidas y estudiando su respuesta.
T2.4 Función de Transferencia21
Polos y Ceros
Las raíces del polinomio del numerador N(s) son los ceros del sistema (zi). Las raíces del polinomio del denominador D(s) son los polos del sistema (pj). El orden del sistema se corresponde con el grado del polinomio del
denominador D(s)
Ejemplo 1: sistema de primer orden
( )1
KG ssτ
=+
Ejemplo 2: sistema de segundo orden
2
2 2( )2
n
n n
G ss s
ωξω ω
=+ +
T2.4 Función de Transferencia22
Respuesta impulsional
La respuesta impulsional de un sistema es la salida que se obtiene al aplicarle como entrada un impulso. Puede obtenerse fácilmente a partir de la Función de Transferencia: Si la entrada del sistema es el impulso unitario: 1)( =sX
( ) ( ) 1 ( ) ( )Y s G s y t g t= × → = • Es decir, la respuesta impulsional del sistema es la
equivalencia en el tiempo de la Función de Transferencia (T. de Laplace inversa).
• g(t) se denomina Función Ponderatriz.T2.4 Función de Transferencia
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