universidad jose carlos mariategui

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2015

INDICE

TRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNCIONES

FUNCIN ESCALN

FUNCION RAMPA

FUNCION EXPONENCIAL

FUNCION SENO

FUNCION COSENO

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LINEALIDAD

PRIMER TEOREMA DE TRANSLACION

SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLACION

TRANSFORMADS DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCION

PROPIEDAD DE TRANSFORMACIN DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

LA TRANSFORMADA DE FOURIER

TRANSFORMADA DE LAPLACE

PIERRE SIMON MARQUZ DE LAPLACE (1749-1827) matemtico y astrnomo francs tan famoso en su tiempo que se le conoca como el Newton de Francia. Sus principales campos de inters fueron la Mecnica Celeste, o movimiento planetario, la teora de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son:

1. Mcanique Cleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitacin publicado en cinco volmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicacin reside en el desarrollo de la teora de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Fsica que van desde la gravitacin, la mecnica de fludos, el magnetismo y la fsica atmica.

2. Thorie Analytique des Probabilits que se considera la ms grande contribucin a esa parte de las matemticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que ms o menos dicen "En el fondo, la teora de probabilidades no es sino el sentido comn reducido a clculos", puede ser que s, pero las 700 pginas que le siguen a esas palabras son un anlisis intrincado, en el cual usa a discrecin la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras tcnicas no triviales.

3. Tras la Revolucin Francesa, el talento poltico y la ambicin de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fcilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monrquico emergiendo siempre con una mejor posicin y un nuevo ttulo.

4. La ayuda prestada a los jovenes talentos cientficos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el qumico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el fsico Poisson, y al joven Cauchy, que estara destinado a convertirse en uno de los artfices principales de las matemticas del siglo XIX.

DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales.

Sea f una funcin definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

Cuando tal integral converge

Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante

1. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s.

FUNCIONES

FUNCIN ESCALN

Sea la funcin:

para

para

Donde es una constante. Obsrvese que se trata de un caso especial de la funcin exponencial

Donde . La funcin escaln queda indefinida en . Su transformada de Laplace est dada por la expresin siguiente, la transformada obtenida, es vlida en todo el plano excepto en el polo .

EJEMPLO1: Hallemos la transformada de Laplace de una funcin constante, y = A.

Respuesta: Sin ms que utilizar la frmula [1] donde sustitumos f(x) por A e integramos:

EJEMPLO 2: Si f(t) es un escaln tal que s es real positivo, entonces la aplicacin de la transformada resulta una integral decreciente, se entiende que el escaln vale 1 para todo tiempo mayor que cero.

Luego = para

As el rea bajo la curva resulta ser finita , sin embargo si el parmetro s es un nmero real negativo el rea bajo la curva definida por la integral resulta ser una exponencial creciente con resultado infinito

Si el parmetro s es complejo con parte real la integral resulta ser finita.

si

Luego

Para Re(s) > 0

FUNCION RAMPA

Sea la funcin rampa siguiente:

para

para

Donde es una constante.

Demostracion:

FUNCION EXPONENCIAL

Sea la funcin exponencial

Donde y son constantes. La transformada de Laplace de esta funcin exponencial puede obtenerse como sigue:

Como puede verse, la funcin exponencial produce un polo en el plano complejo.

Puede demostrarse, empleando algunos postulados de la teora de variable compleja, que esta solucin resulta vlida para cualquier valor complejo de en el cual es analtica, es decir, con excepcin de los polos de

Demostracin:

Transformada de Laplace de:

Demostracin:

EJEPLO 1: Hallemos la transformada de Laplace de una funcin exponencial inversa, f(x) = e-ax.

Respuesta: Utilizamos la frmula [1] donde sustitumos f(x) por su valor e integramos:

EJEMPLO 2: Sea la exponencial donde a es un numero real o complejo su transformada de Laplace resulta ser

F(s) =

As

As para Re (s-a) > 0

FUNCION SENO

Demostracin:

Ejemplo 3: Hallemos la transformada de Laplace de la funcin f(x) = sen x, siendo una constante.

Respuesta: Como siempre, sustitumos f(x)=sen x en la frmula [1] e integramos:

FUNCION COSENO

Deduccin:En esta deduccin se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la funcin y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde: Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la funcin y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en y obtenemos las frmulas deseadas.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LINEALIDAD

Esta propiedad reviste gran importancia en el concepto que la transformada de Laplace es una funcin lineal, la propiedad de linealidad puede probarse aplicando las propiedades de homogeneidad y aditividad que satisfacen una funcin lineal

Sean y dos funciones en el tiempo y C1 y C2 dos constantes arbitrarias

Y sea

Aplicando transformada de Laplace

Como C1 y C2 son constantes

Con lo que queda demostrada la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace.

EJEMPLO:

Obtener la Transformada de Laplace de la funcin coseno

Sea

Se sabe que

Entonces aplicando linealidad se cumple

= =

PRIMER TEOREMA DE TRANSLACION

Si ya es cualquier nmero real, entonces:

Este primer teorema de traslacion se conoce tambien como con el nombre de primer teorema de desplazamiento.

Ejemplo:

SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLACION

Esta propiedad de la Transformada de Laplace tiene que ver con la relacin que tiene la transformada de La place de una funcin desplazada respecto de una no desplazada

Sea f(t) una funcin en el tiempo que se inicia en t = 0. Mientras que la

misma funcin f(t) que se inicia en

As la

Sea ; ;

si entonces

mientras que si ; entonces sin embargo la integral de Laplace se define solo para y no tiene sentido para de esta forma el lmite inferior de la integral se define para , dentro de los lmite de integracin el escaln siempre es uno y la exponencial se puede descomponer en el producto de dos exponenciales

Este segundo teorema de translacin se conoce tambin con el nombre de segundo teorema de desplazamiento.

FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Usando la definicin de la transformada de Laplace y haciendo la sustitucin , se obtiene la formula siguiente:

Ejemplo:

Evaluar la siguiente transformada:

Solucin:

Entonces:

TRANSFORMADS DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCION

La transformada de Laplace de la derivada de una funcin est dada por:

Resolviendo la integral por partes:

L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0)

Propiedades de las transformadas de Laplace.

Expresaremos aqu las propiedades ms importantes de la transformada de Laplace de funciones:

Clculo de transformadas mediante tabla.

Para el clculo de transformadas de Laplace de funciones es conveniente tener disponible una tabla con las transformadas de las funciones ms importantes (aqu tiene una tabla de transformadas). Con la ayuda de esta tabla, y mediante las propiedades, podemos hallar la transformada de cualquier funcin que se nos presente.

Ejemplo 4: Con la ayuda de la tabla hallemos la transformada de Laplace de la funcin:

f(x) = 3 + 2 x

Respuesta: Utilizando la propiedad 1, de linealidad de la transformadas, y con ayuda de la tabla tenemos:

Ejemplo 5: Con la ayuda de la tabla hallemos F(s) para la funcin f(x) = 2 sen x + 3 cos 2x.

Respuesta: Utilizando la linealidad, y mediante la tabla tenemos:

Ejemplo 6:Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la funcin f(x) = x e4x .

Respuesta: Teniendo en cuenta (1) que la transformada de f(x) = x es , y (2) la propiedad 2 de las transformadas, tenemos:

Ejemplo 7: Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la funcin f(x) = x cos ax .

Respuesta: Segn la tabla, la transformada para f(x) = x cos ax es:

entonces, teniendo en cuenta la propiedad 3 de las transformadas, tenemos:

Ejemplo 8: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la funcin f(x) = e- 2x sen 5x.

Respuesta: Segn la tabla, la transformada de la funcin f(x) = sen 5x es:

y ahora, segn la propiedad 2, con a = -2, tenemos:

Ejemplo 9: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la funcin: f(x) = e-x x cos 2x.

Respuesta: Primeramente hallamos la transformada de la funcin f(x) = x cos 2x, de forma idntica al ejemplo 7, con a=2, tenemos:

a continuacin, tenemos en cuenta la propiedad 2 con a=-1,

Ejemplo 10: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la funcin: .

Respuesta: Segn la tabla, la transformada de la funcin f(x) = sen 3x es:

ahora utilizando la propiedad 4 tenemos:

Ejemplo 11: Con la ayuda de la tabla hallar la transformada de Laplace para la onda cuadrada de la figura.

Respuesta: Se puede apreciar por la figura que la funcin f(x) es peridica (de periodo T=2), en concreto, la funcin puede ser expresada en un periodo en la forma:

Por lo tanto, segn la propiedad 6 para funciones peridicas tenemos:

para realizar la integral del numerador debemos partir el intervalo (0,2) en los dos, (0,1) -en que la funcin es f(x) =1- y (1,2) -con la funcin f(x) = -1-:

Por lo tanto:

Resolucin de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes mediante la transformada de Laplace.

Considrese una ecuacin lineal con coeficientes constantes en la forma:

junto con n "condiciones iniciales" en la forma:

Llamemos Entonces, como se ha visto en 14.4, podemos expresar la transformada de la derivada de y(x) as:

resultado que vamos a llamar provisionalmente F1(s). Y ahora vamos aplicando de manera recursiva esta misma frmula de la transformada de la derivada:

Ahora bien, todas estas derivadas de y(x), en el punto origen son las condiciones iniciales.

La forma de resolver una ecuacin diferencial tal como la que hemos expresado anteriormente, con ciertas condiciones iniciales conocidas, es la siguiente:

1) Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuacin, con lo cual obtenemos una expresin en la forma:

f(s, F(s) )= 0

2) En esta expresin, despejamos F(s) y finalmente tomamos transformadas de Laplace inversas, lo cual nos conduce directamente a la solucin buscada.

* Ejemplos:

Ejemplo 1: Resolver la ecuacin diferencial y - 5 y = 0, con la condicin inicial y(0)=2.

Solucin: Comenzamos por hacer las transformadas de Laplace de ambos miembros:

La transformada de 0 es 0, la de "y" es F(s), y la de y' es "s F(s) - y(0)", entonces podemos poner:

(s F(s) - 2) - 5 F(s) = 0

Ahora despejamos F(s) en esta ecuacin:

Y finalmente tomamos transformadas inversas en ambos miembros:

con lo que llegamos a la solucin pedida: y(x) = 2 e5x.

* * *

Ejemplo 2: Resolver la ecuacin diferencial y + y = sen x; con la condicin y(0)=1.

Solucin: Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

Finalmente tomamos transformadas inversas:

* * *

Ejemplo 3: Resolver la ecuacin diferencial y" + 4 y + 8 y = sen x, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y(0) = 0.

Solucin: Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

es decir,

Ahora despejamos F(s) y hallamos transformadas inversas:

PROPIEDAD DE TRANSFORMACIN DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

Las redes elctricas estn formada principalmente por tres elementos Resistencia, Capacitares, Inductores y al menos una fuente, ellos pueden ser expresados en el dominio de Laplace de acuerdo a una funcin de la frecuencia compleja, s

Un resistor lineal e invariante en el dominio del tiempo tiene la forma

V(t) = R * i(t)

Al aplicar la transformada de Laplace se cumple

V(s) = R * I(s) de modo que se puede definir

En el caso de un Capacitor Lineal e invariante, sin condicin inicial, en el dominio del tiempo se cumple la siguiente expresin

Al aplicar la transformada de Laplace se cumple

de modo que se puede definir

En el caso de un Inductor Lineal e invariante, sin condicin inicial, en el dominio del tiempo se cumple la siguiente expresin

Al aplicar la transformada de Laplace se cumple:

de modo que se puede definir

La fuente tendr una forma especfica en el dominio de Laplace segn sea la forma que tiene la funcin en el tiempo que la representa.

As si f(t) es la funcin que define la fuente entonces

Para convertir un red elctrica que originalmente se encuentra en el dominio del tiempo basta con cambiar en cada elemento la representacin en el tiempo por su representacin en Laplace, la fuente por su transformada las variables por su transformada y aplicar las leyes generales de circuitos para obtener la ecuacin algebraica que resuelve la situacin especfica.

Sea una red lineal e invariante formada por un condensador, una resistencia y una inductancia conectadas en serie y alimentadas por una fuente f(t) se define la corriente i(t) como la corriente de malla.

As se cumple:

Ejemplo 4: En el circuito RCL de la figura, se tiene R = 2 , L = 1 H, C = 0,5 F, V = 50 volt. Las condiciones iniciales con el circuito abierto son : q(0) = 0, i(0) =0. Hallar la intensidad de corriente i(t) cuando se cierra el circuito.

Solucin: Aplicando la ley de Ohm al circuito RCL cerrado, se tiene:

En este caso podemos expresar , con lo que la ley de Ohm nos queda:

Si la transformada de i(t) la denotamos como I(s), y recordando por 14.4 II) que la transformada de la integral de i(t) es:

podemos tomar transformadas en ambos miembros:

y la solucin se obtiene de obtener las transformadas inversas:

Transformada inversa.

La transformada inversa de Laplace de una funcin F(s), es otra funcin f(x) , designada por , tal que cumple: .

Un teorema asegura que si la transformada inversa de Laplace de una funcin F(s) es continua, entonces tambin es nica (no depende de ningn parmetro).

Al igual que en el caso de la transformada, tambin se cumple la linealidad:

El mtodo ms comn para hallar la transformada inversa de una funcin F(s) es mediante la tabla, fijndonos ahora en la segunda columna para hallar la funcin f(x) de la primera columna, como veremos a continuacin en los ejemplos.

Van a ser muy utilizados dos recursos que pasamos a comentar.

* El mtodo del cuadrado.

Se trata de expresar un polinomio de segundo grado, a s2 + b s + c, en la forma: a(s + k)2 + h2. El proceso es muy simple:

* El mtodo de las fracciones parciales.

Es el mismo mtodo usado en las integrales indefinidas. Toda funcin en la forma fraccionaria p(s)/q(s), -siendo p(s) y q(s) polinomios tales que el grado de p(s) sea menor que el del q(s)- puede expresarse como una suma de otras fracciones en cuyos denominadores vienen polinomios de grado 1 o cuadrticos elevados a una potencia. Es decir, la suma de:

para cada raz real del polinomio q(s), s = a, de orden de multiplicidad m, ms la suma de:

para cada raz compleja del tipo s2 + bs + c=0, de orden de multiplicidad p.Finalmente ponemos el mismo denominador en el miembro de la derecha e identificamos los coeficientes de ambos numeradores, lo que nos conduce a un sistema simple que nos permite hallar el valor de todas estas constantes A1, A2, ..., B1, B2, ..., C1, C2, ...

Como ejemplo vamos a realizar esta descomposicin para la funcin:

Tenemos tres races reales: s = 0 (orden de mult. 3), s = 2 (orden 1) y s = -1 (orden 1), entonces:

El denominador comn del miembro de la derecha es s3 (s2 - s - 2), que obviamente coincide con el de la izquierda. Ponemos este denominador comn a la derecha, y cancelamos ambos denominadores, lo que nos lleva a:

Ahora en esta identidad vamos haciendo sucesivamente s =0, s=2, s=1, ... lo que nos va conduciendo a la determinacin de los coeficientes. Finalmente tenemos:

* Ejemplos de transformadas inversas:

Solucin: Si nos fijamos en la tabla de transformadas, comprobamos que nos conviene que haya un 2 en el numerador de la fraccin, por lo tanto podemos poner:

* * *

Solucin: Podemos utilizar el mtodo de los cuadrados para expresar:

* * *

Solucin: El numerador, s + 4, lo podemos expresar como la suma (s + 2) + 2. Entonces tenemos,

* * *

Solucin: Hacemos la descomposicin en fracciones simples,

A continuacin determinamos A y B, en este caso obtenemos: A = 5/3, B = -2/3. Y por lo tanto:

* * *

Solucin: Realizamos la descomposicin en fracciones simples,

cuyos coeficientes son es este caso: A=1/4, B= -1/4 y C =0. Por lo tanto, tenemos:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea f(t) una funcin localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R.

Se define su transformada de Fourier como:

Siendo la anti-transformada o transformada inversa

Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Notacin: A la funcin F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o f , es decir:

En forma similar, a la expresin que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F 1 , es decir

ALGUNAS FUNCIONES NO POSEEN TRANSFORMADA DE FOURIER

La condicin de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:

es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintticamente a cero cuando x tiende a + y en general no tienen transformadas de Fourier.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

LINEALIDAD

La transformada de Fourier de la combinacin lineal de dos funciones

EJEMPLO: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

Luego:

ESCALADO

TRANSLACION EN EL DOMINIO DE TIEMPOS

PRODUCTO POR EXPONENCIAL COMPLEJA

PRODUCTO DE COS(AT) O SIN(AT)

PRODUCTO POR T

INTENSIDAD DE PARSEVAL

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

FISICA III

40

)

(

1

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