Aplicaciones de la Transformada de Laplace

Dr. Raúl Santiesteban Cos

Culiacán, Sinaloa.

Departamento de Mecatrónica

Instituto Tecnológico de Culiacán

Principales Acciones de Control

P Proporcional, I Integral, D Derivativa, PI Proporcional Integral, PD Proporcional Derivativa, PID Proporcional Integral Derivativo

m

b

k

y(t)

r(t)

dtrtkydt

tdyb

dt

tydm )()(

)()(2

2

Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,

k es la constante del resorte, )(ty es el desplazamiento y )(tres la fuerza aplicada y d es el término de incertidumbre.

Sistema masa-amortiguador-resorte

s

dsRskYyssYbysysYsm )()()0()()0()0()( '2

,0)0(,0)0(' yy

s

dsRskYsbsYsYms )()()()(2

s

d

kbsmssR

sY

2

1

)(

)(

Su transformada de Laplace es:

considerando:

La función de transferencia es:

Objetivo Control: regulación

)()( tyyte ref

usando la derivada se obtiene la dinámica de error (grado relativo del sistema)

)()( tyte )()( tyte

dtrtky

dt

tdyb

mdt

tydte )()(

)(1)()(

2

2

dtrtky

dt

tdyb

mdt

tydte )()(

)(1)()(

2

2

dtrteyktebm

te ref )())(()(1

)(

dtrkytketebm

te ref )()()(1

)(

Control Proporcional

)()( temkkytr pref

El objetivo de control: hacer que la variable e(t) tienda a cero

m

dtekte

m

kte

m

bte p )()()()(

dtrkytketebm

te ref )()()(1

)(

,0)0(,0)0(' yy

ms

d

km

ks

m

bs

sE

p

2

1)(

considerando:

La función de transferencia es:

ms

dsEksE

m

kssE

m

bsEs p )()()()(2

02

pk

m

k

m

b

Polinomio característico

Análisis de estabilidad del sistema en lazo cerrado

condición suficiente y necesaria para estabilidad

0;0 m

kk

m

bp

Si b/m < 0, kp no puede garantizar estabilidad.Si b/m > 0, kp puede garantizar estabilidad!

Resolviendo para λ

02

pk

m

k

m

b

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

2,1

pk

m

k

m

b4

2

m

b

22,1

m

k

m

bk p

2

4

1

Caso I

pk

m

k

m

b4

2

m

k

m

bk p

2

4

1

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

2,1

Caso 2

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

1

Ambos elementos de la raíz son negativos, por lo que el polo es real negativo

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

2

Y la segunda raíz? …

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1??

2

2

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

?¿

pk

m

k

m

b4

2

m

k

m

bk p

2

4

1

Caso 3

pk

m

k

m

b

m

b4

2

1

2

2

2,1

raíces complejas

Ubicación de polos

02 pkm

k

m

b

Polinomio característico

021

2 cc

Polinomio deseado

Igualando

m

bc 1 pk

m

kc 2

Utilizando un controlador proporcionalsólo se puede establecer la constantedel polinomio característico. no sepuede modificar ya que es unparámetro de planta. Por lo tanto, no sepueden ubicar los polos en cualquierlugar.

2c

1c

El error en estado permanente se define como

Respuesta en estado permanente

Teorema del valor final

Aumentando kp es posible ajustar el error

pp

ss

km

k

d

km

ks

m

bs

dssYy

200

lim)(lim)(

pkm

k

d

)()(322

2

trtydt

dy

dt

yd

Ejemplo

Sea m=1, b=2, k=-3 y

)(2.1)( tyte

2.1refy

dtrtetete )(6.3)(3)(2)(

6.3)()( tektr p

s

d

ksssE

p )3(2

1)(

2

,0)0(,0)0(' yy

Utilizando

Y la transformada de Laplace

dtrtetete )(6.3)(3)(2)(

dtektetete p )()(3)(2)(

Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad

Polinomio característico en lazo cerrado

0)3(22 pk

)3(442

112,1 pk

0)3(44 pkCaso 1 4pk

12,1 0d

5.0d

0)3(44 pkCaso 2 4pk

1 , 2-2,1 1pk

0d

Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad

43 pk

Si se desean tener polos diferentes,reales y negativos, se debesatisfacer la siguiente desigualdad

0d

0)3(44 pkCaso 3 4pk

i -12,1 5pk

Comportamiento de los polos modificandola ganancia Kp

Respuesta en estado permanente

Teorema del valor final

3)3(2lim)(lim)(

200

pp

ss k

d

kss

dssYy

El error en estado permanente se define como

3

pk

d

1.03

pk

d

1.0

3.0

dk p

Dado un porcentaje de error

Caso perturbado6pk 5.0d

dtrtydt

dy

dt

yd )()(32

2

2

s

d

ksssY

p )3(2

1)(

2

6

1

36

5.0

21 nd

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

forma estándar del sistema

de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina

atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento

dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los

parámetros y .n

n

Efectos de control proporcional

,tan1 1

d

d

d

rt

d1tan

1.- Tiempo de crecimiento

2.- Tiempo pico.

d

ppd tt

444

n

s Tt

3.- Tiempo de establecimiento.

El control proporcional,aplicado a un sistemadinámico, afecta a elsobre-paso?