República bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la educación superior

I.U.T.A.J.S

Construcción civil ¨73¨

Mención: Matemática IV

 Transformada de Laplace

Profesora: Bachiller:

Ranielina Rondón Mejías Víctor Navarro

V-27.652.664

Puerto la cruz 06 de julio del 2016

Definición de Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sea una función definida para . Entonces la integral se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polifónicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simón Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de\ mathcal {Z} es al discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de

Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s>a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t). Es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable Integrales

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante, La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s

Aplicación de Transformada de Laplace

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral

Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales. El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED

Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L {y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.

Aplicar la transformada inversa para despejar y (t)

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología.

Índice de Ejemplos

Un problema tradicional

Un problema donde las condiciones no son en t=0

Un problema con coeficientes variables

Una ecuación integral

Resuelva el problema:

que satisface:

SoluciónAplicando la transformada en ambos miembros tenemos:

por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro

Ec 1

por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:

y que:

sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:

Agrupando y solo dejando en el primer miembro los términos que contienen L{y(t)}:

Así la ecuación subsidiaria o algebraica queda:

Ec 2 Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo miembro:

para A; su denominador se hace cero para s=0 así:

para B; su denominador se hace cero para s=3 así:

para C; su denominador se hace cero para s=-1 así:

Así la Ec 2 queda:

aplicando la transformada inversa:

Por tanto:

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término, Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada función de Heavies

de o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

http://www.uaz.edu.mx/gmiram/TablaLaplace.png

Ejemplo 1

Evalúe . Usando los teoremas de las

transformadas

Ejemplo 2

Evalúe . . Usando los

teoremas de las transformadas

Ejemplo 3

Determinar Dado el 1er teorema de traslación obtenemos que

restamos el corrimiento.

Ejemplo 4

Determine la transformada de Laplace Forzamos el seno para que tenga la forma

Aplicamos la transformada

Ejemplo 5

Aplicar la transformada de Laplace de Aplicamos la

Transformada de Laplace y obtenemos

Ejemplo 6

TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:

1)

L

2)

L

Definición de transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace se define por medio de una integral de inversión compleja que puede aplicarse a una función F(s) para generar una función f(t):

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f (t) que cumple con la propiedad

Donde es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Transformada Inversa de Laplace:

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Diferencial Equations with modelling aplicaciones

Linealidad

.

Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación

donde

IdeaLa transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada

IdeaLa transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de la transformada

Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces

Segundo teorema de Traslación

Transformada de una función periódica

Si f (t) es una función periódica con período T:

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Ejemplos Calcule

Solución Puesto que

Tenemos que

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede

no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para

nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de

orden exponencial en y , entonces ; pero, si y

son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede

demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo

Calcule , donde está dada por

¿Qué se puede concluir?

Solución

Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

Con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

No es única.

Aplicación de la transformada inversa de Laplace

En muchos procesos de la vida diaria está involucrada la Transformada de Laplace, ya que, es una forma precisa y directa utilizada en el control de dichos procesos, como por ejemplo: en el ámbito doméstico para controlar la temperatura y humedad de las casas y edificios; en la transportación para controlar que un automóvil o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta y en la industria para controlar múltiples variables en los procesos de manufactura. Sea una función de excitación dada por:

La cual, junto con la expresión para la transformada inversa, establece una correspondencia uno a uno entre v (t) & V(s). Es decir, para toda v (t) para la cual V(s) existe, esta V(s) es única.

De esta manera se establece una poderosa herramienta para la solución de circuitos.

Propiedades de la Transformada

Linealidad

IdeaLa transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostración, Ir a índice )

donde

IdeaLa transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostración, Ir a índice )

IdeaLa transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos, Ir)

Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos, Ir)

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos, Ir)

Transformada de la función escalón (Ejemplos, Ir)

Si representa la función escalón unitario entonces

Segundo teorema de Traslación (Ejemplos, Ir)

Transformada de una función periódica (Ejemplos, Ir)

Si f (t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución (Ejemplos, I)

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Tabla de transformada inversa de Laplace

Las transformadas de Laplace de las funciones que hemos estudiado en esta página se resumen en la tabla siguiente:

f(t)[Math Processing Error]F(s)=∫0∞e−stf(t)dt

c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)

exp(a·t) [Math Processing Error]1s−a

cos(ωt) [Math Processing Error]ss2+ω2

sin(ωt) [Math Processing Error]ωs2+ω2

tn [Math Processing Error]n!sn+1

exp(at)·f(t)

exp(at)·cos(ωt)

F(s-a)

[Math Processing Error]s−a(s−a)2+ω2

u(t-a) exp(-as)/s

u(t-a)·f(t-a) exp(-as)·F(s)

δ(t-a) exp(-as)

f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)

f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)

[Math Processing Error]g(t)=∫0tf(τ)dτ(integral)

F(s)/s

f(t)=f(t+p), (función periódica)[Math Processing Error]11−e−sp∫0pe−stf(t)dt

f(at) [Math Processing Error]1aF(sa)

tnf(t)[Math Processing Error](−1)ndndsnF(s)

La función residuo nos permite descomponer una fracción polinómica en suma de fracciones más simples. Modificaremos cada fracción para buscar en la tabla la función f (t), es decir su correspondiente transformada inversa de Laplace, comprobaremos el resultado hecho a mano con la llamada a la función Laplace.

Tabla de transformadas más usadas

Ejemplos

Calcular la Anti transformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:

Ejemplo 2

Determinar

Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos:

Ejemplo 3

Determinar

Ejemplo 4

Determinar

Por fracciones parciales.....                     

                    

Ejemplo 5

Determinar

Ejemplo 6

Determinar

Dado que

Obtenemos que