Trabajo Transformada de Laplace

8/16/2019 Trabajo Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan

famoso en su tiempo que se le conocía como el Neton !e "rancia# $us principales

campos !e interés fueron la %ecánica &eleste' o moimiento planetario' la teoría !e

proaili!a!es' y el pro*reso personal#

+l méto!o !e la transforma!a !e ,aplace es un méto!o operacional que pue!e usarse

para resoler ecuaciones !iferenciales lineales' ya que su uso ace posile que

!iersas funciones sinusoi!ales' sinusoi!ales amorti*ua!as y e.ponenciales' se

pue!an conertir en funciones al*eraicas !e una ariale comple/a s ' y reempla0ar

operaciones como la !iferenciación y la inte*ración' por operaciones al*eraicas en !e

funciones comple/a equialentes# or tanto' una ecuación !iferencial lineal se pue!e

transformar en una ecuación al*eraica !e la ariale comple/a s # $i esa ecuación

al*eraica se resuele en s para la ariale !epen!iente' se otiene la solución !e la

ecuación !iferencial# +ste proce!imiento que implica la transforma!a inersa !e

,aplace !e la ariale !epen!iente' se reali0a emplean!o una tala !e transforma!as

!e ,aplace' o me!iante la técnica !e e.pansión en fracciones parciales#

+s característico !el méto!o !e la ransforma!a !e ,aplace' el uso !e técnicas

*ráficas para pre!ecir y3o anali0ar el funcionamiento !e un sistema sin tener que

resoler el sus ecuaciones !iferenciales# tra enta/a es que con este méto!o se

resuele la ecuación !iferencial otenien!o' simultáneamente' las componentes !el

esta!o transitorio y estacionario !e la solución#

VARIALE COMPLE!A "#$

,a ariale s es !e tipo comple/o con una componente ariale real y una ima*inaria5

,a notación emplea!a para s se in!ica en la si*uiente ecuación5

s jσ ω = +

6on!e σ es la parte real y w es la parte ima*inaria#



F%NCI&N COMPLE!A F'#(

na función comple/a ( ) F s ' tiene una parte real y una ima*inaria5

8 ) x y

F s F jF = + 6on!e x F y y

F son canti!a!es reales# ,a ma*nitu! !e ( ) F s es

2 2

x y F F + el án*ulo θ !e ( ) F s es

1tan x

y

F

F

− ÷ ÷

+l án*ulo se mi!e !e !ereca a i0quier!a a partir !el semie/e real positio# +l comple/o

con/u*a!o !e ( ) F s es

( ) x y

F s F jF = −

$e !ice que una función comple/a ( ) F s es analítica en una re*ión' si ( ) F s y to!as sus

!eria!as e.isten en esa re*ión#

0 0

( )( ) lim lim

s s

d G s s GG s

ds s s∆ − ∆ −

+ ∆ ∆= =

∆ ∆

,os puntos !el plano s en los que la función ( ) F s es analítica' recien el nomre !e

puntos or!inarios' mientras que los puntos !el plano s en los que la función ( ) F s no

es analítica' se !enominan puntos sin*ulares# !icos puntos tamién se les

!enomina polos# ,os puntos en los que la función ( ) F s es i*ual a cero' se !enominan

ceros

DEFINICI&N DE LA TRANSFORMADA

$ea f una función !efini!a para ' la transforma!a !e ,aplace !e f(t) se !efine

como

cuan!o tal inte*ral coner*e

Notas



1# ,a letra s representa una nuea ariale' que para el proceso !e inte*racion se

consi!era constante

2# ,a transforma!a !e ,aplace conierte una funcion en t en una funcion en la

ariale s

:# &on!iciones para la e.istencia !e la transforma!a !e una función5

1# 6e or!en e.ponencial

2# &ontinua a tro0os

:#

De)inici*n de la Tran#)ormada In+er#a

,a ransforma!a inersa !e una función en s' !i*amos F(s) es una función !e t cuya

transforma!a es precisamente F(s)' es !ecir

si es que acaso

+sta !efinición oli*a a que se cumpla5

y

TALA DE TRANSFORMADAS

1# tención

2# tención

:# tención

4# tención ara n entero

5



;# tención ara

<# tención ara s > a

7# tención

8# tención

9# tención

1=# tención

E,ISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

&on!iciones suficientes para la e.istencia !e la transforma!a !e ,aplace para

!e una función cualquiera51. +star !efini!a y ser continua a pe!a0os en el interalo

2. $er !e or!en e.ponencial

ropie!a!es !e la ransforma!a

+n las si*uientes propie!a!es se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que

poseen transforma!a !e ,aplace#

,as !emostraciones pue!en ser oteni!as en el liro !e >ill5 A first course in

Differential Equations with modelling applications



1# Linealidad

?!ea

,a transforma!a !e ,aplace se distribuye sore las sumas o restas y saca constantes

que multiplican#

@ersión para la inersa5

2# Primer Teorema de Tra#laci*n

!on!e

?!ea

,a transforma!a !e ,aplace se convierte un factor e.ponencial en una traslación en la

ariale s#

@ersión para la inersa5

:# Teorema de la -ran#)ormada de la deri+ada

?!ea

,a transforma!a !e ,aplace cancela la !eria!a multiplicando por la ariale s#

4# Teorema de la -ran#)ormada de la in-e.ral

;# Teorema de la in-e.ral de la -ran#)ormada



$iempre y cuan!o e.ista

<# Teorema de la deri+ada de la -ran#)ormada

/0 Tran#)ormada de la )unci*n e#cal*n

$i representa la función escalón unitario entonces

8# Se.undo -eorema de Tra#laci*n

10 Tran#)ormada de una )unci*n peri*dica

$i f(t) es una función perió!ica con perío!o 5

Teorema de la Con+oluci*n

$i f ! g representa la conolución entre las funciones f y g entonces

écnicas para la ransforma!a ?nersa

1# $eparación !e "racciones'

2# rimer eorema !e raslación'

:# "racciones arciales'

4# $e*un!o eorema !e raslación'

;# &onolución'



%éto!o !e $olución +6 asa!o en ,aplace

asos

1# plicar la transforma!a !e ,aplace en amos miemros !e la +6

2# sar las propie!a!es !e la transforma!a para tener una e.presión en "#y(t)$#

+sta e.presión se conoce como la +cuacion &aracterística

:# plicar la transforma!a inersa !e ,aplace para !espe/ar y(t)

DED%CCIONES DE F&RM%LA

,a ra0ón principal por la cual las !emostraciones !e las prueas son inclui!as es que

acen uso !el teorema !e la transforma!a !e la !eria!a' acién!olas sencillas y

rees#

6e!ucción !e 5

+n esta !e!ucción se utili0a el teorema !e la transforma!a !e la !eria!a usan!o la

función

y por consi*uiente

y al aplicar el teorema nos que!a5

!e !on!e 5

or tanto

6e!ucción !e 5


función



y por consi*uiente


!e !on!e y utili0an!o la otención 15

or tanto

6e!ucción !e 5


función

y por consi*uiente


!e !on!e y utili0an!o la otención 2 y la lineali!a! !e la transforma!a5

or tanto

6e!ucción !e 5




función

y por consi*uiente


!e !on!e y utili0an!o un ra0onamiento in!uctio5

or tanto

6e!ucción !e 5


función

y por consi*uiente


!e !on!e5

or tanto y !espe/an!o 5



6e!ucción !e 5


función

y por consi*uiente


!e !on!e5

or otro la!o' si aora utili0amos el mismo teorema !e la transforma!a !e la !eria!a

pero usan!o la función

y por consi*uiente


$i resolemos este sistema !e ecuaciones simultaneas en y

otenemos las fórmulas !esea!as#

F%NCI&N E,PONENCIAL

$ea la función e.ponencial

( ) 0 para t<0 f t =

para t 0t Ae α −= ≥

6on!e A y α son constantes# ,a transforma!a !e ,aplace !e esta funcióne.ponencial pue!e otenerse como si*ue5



&omo pue!e erse' la función e.ponencial pro!uce un polo en el plano comple/o#

ue!e !emostrarse' emplean!o al*unos postula!os !e la teoría !e ariale comple/a'

que esta solución resulta áli!a para cualquier alor comple/o !e s en el cual ( ) F s es

analítica' es !ecir' con e.cepción !e los polos !e ( ). F s

0

t t st Ae Ae e dt α α ∞

− = = ∫ l

( )

0

s t A e dt α ∞

− += =∫

A

s α =

+

F%NCI&N ESCAL&N

$ea la función5

( ) 0 f t = para 0t <

( ) f t A= para 0t >

6on!e A es una constante# sérese que se trata !e un caso especial !e la función

e.ponencial

t Ae α −

6on!e 0α = # ,a función escalón que!a in!efini!a en 0t = # $u transforma!a !e

,aplace está !a!a por la e.presión si*uiente' la transforma!a oteni!a' es áli!a en

to!o el plano s e.cepto en el polo 0 s = #

[ ]0

st A A Ae dt

s

∞

−= =∫ l



,a función escalón cuya altura es la uni!a!' recie el nomre !e función escalón

unitario# ,a función escalón unitario que se pro!uce en t to= ' se !enota a menu!o

como

0 0( ) o 1(t-t )u t t −

,a función escalón !e altura A ' tamién se pue!e escriir como

( ) 1( ) f t A t =

,a transforma!a !e ,aplace !e la función escalón unitario' !efini!a como

1( ) 0t = para 0t <

1( ) 1t = para 0t >

es

1

s o [ ]

11( )t

s=l

"ísicamente' una función escalón pro!uci!a en 0t = correspon!e a una seAal

constante aplica!a sBitamente al sistema en el instante en que el tiempo t es i*ual a

cero#

F%NCI&N RAMPA

$ea la función rampa si*uiente5

( ) 0 f t = para 0t <

( ) f t At = para 0t ≥

6on!e A es una constante# ,a transforma!a !e ,aplace !e esta función rampa'

resulta !a!a por

[ ]0

st At Ate dt

∞

−= =∫ l 0

0

st st e Ae At dt

s s

∞− −

∞= −− −∫

0

st Ae dt

s

∞

−= =∫ 2

A

s=

F%NCI&N SIN%SOIDAL



,a transforma!a !e ,aplace !e la función sinusoi!al

( ) 0 f t = para t ≤

( ) 0 f t Asen t ω = para 0t ≥

6on!e A y w son constantes' se otiene !el mo!o si*uiente# +l sen wt se pue!e

escriir

1( )

2

j t jomagat sen t e e j

ω ω −= −

por lo tanto

[ ]0

( )

2

j t j t st A Asen t e e e dt

j

ω ω ω ∞

−= −

∫ l

1 1

2 2

A A

j s j j s jω ω

= − =

− +

2 2

A

s

ω

ω

=+

+n forma similar' la transforma!a !e ,aplace !e cos wt A se pue!e otener !e la

si*uiente forma5

[ ] 2 2cos

As A t

sω

ω =

+l

,a transforma!a !e cualquier función ( ) f t transformale !e ,aplace' se pue!e

otener fácilmente multiplican!o ( ) f t por st e− e inte*ran!o el pro!ucto !es!e 0t =

asta .t = ∞ na e0 conoci!o el méto!o para otener la transforma!a !e ,aplace' no

es necesario !eriar la transforma!a !e ,aplace !e ( ) f t ca!a e0#

TRASLACI&N DE %NA F%NCI&N

$e requiere otener la transforma!a !e ,aplace !e una función trasla!a!a#

( )1( ) f t t α α − −

6on!e

0α ≥

+sta función es cero para t α < #

or !efinición' la transforma!a !e ,aplace !e



( )1( ) f t t α α − − es

[0

( )1( ) ( )1( ) st f t t f t t e dt α α α α ∞

−− − = − −∫ l

&amian!o la ariale in!epen!iente !e

at τ

6on!e

t τ α = −

$e otiene

( )

0 0

( ) ( )1( ) st s f t e dt f e dt τ α α τ τ ∞ ∞

− − +− =

∫ ∫ 0

( ) st s f e e d α τ τ ∞

− −=

∫ 0

( ) s st e f e d α τ τ ∞

−= =

∫ ( ) se F sα =

6on!e

[ ]0

( ) ( ) ( ) st F s f t f t e dt ∞

−= = ∫ l

y entonces

0

( )1( ) ( ) s f t t e F sα

α

α α −

≥

− − =

l

+sta Bltima ecuación estalece que la traslación !e la función ( )1( ) f t t por α (!on!e

0α ≥ ) correspon!e a la multiplicación !e la transforma!a

6 ( ) se

F sα −

por

F%NCI&N P%LSO

$ea la función pulso si*uiente5

0

( ) A

f t t

= para 00 t t < <

( ) 0 f t = para 00, tt t < <



6on!e A y 0t son constantes#

,a función pulso se pue!e consi!erar como una función escalón !e altura0

/ A t que

comien0a al tiempo 0t = y a la que se superpone una función escalón ne*atia !e

altura 0/ A t que comien0a al tiempo 0

t t = ' es !ecir'

0

0 0

( ) 1( ) 1( ) A A

f t t t t t t

= − −

+ntonces se otiene la transforma!a !e ,aplace !e( ) f t

comoo

[ ] 0

0 0

( ) 1( ) 1( ) A A

t t t t t t

= − − =

l l l

0

0 0

st A Ae

t s t s

−= − =

0

0(1 )

st A

et s

−

= −

F%NCI&N IMP%LSO

,a función impulso es un caso especial limitatio !e la función pulso# $ea la función

impulso

0 0

0

( ) limt

A f t

t −

= para 00 t t < <

( ) 0 f t = para 00, tt t < <

&omo la altura !e la función impulso es 0/ A t y la !uración es 0

t ' el área cuierta a/o

el impulso es i*ual a A # me!i!a que la !uración 0t tien!e a cero' la altura 0

/ A t

tien!e a infinito' pero el área cuierta por el impulso permanece i*ual a A # Nótese quela ma*nitu! !e un impulso iene !a!a por su área#



,a transforma!a !e ,aplace !e esta función impulso resulta ser5

[ ] 0

0 0

0

( ) lim (1 ) st

t

A f t e

t s

−

−

= −

l

0

0

00

0

0

(1 )lim

( )

st

t

d

A edt As A

d st s

dt

−

−

− = = =

or lo tanto la transforma!a !e ,aplace !e una función impulso es i*ual al área a/o el

impulso#

,a función impulso cuya área es i*ual a la uni!a!' recie el nomre !e impulso unitario

o 6elta !e 6irac# ,a función impulso unitario que se pro!uce en el tiempo 0t t = se

!esi*na *eneralmente por

0( )t t δ −

y satisface las si*uientes con!iciones5

0( ) 0t t δ − = para 0t t ≠

0( )t t δ − para 0

t t =

0

0

( ) 1t t dt δ ∞

− =∫

+s preciso seAalar que un impulso que tiene una ma*nitu! infinita y !uración cero es

una fracción matemática' y no ocurre en sistemas físicos# $in emar*o' si la ma*nitu!

!el impulso !e entra!a a un sistema es muy *ran!e' y su !uración es muy ree encomparación con las constantes !e tiempo !el sistema' el impulso !e entra!a se

pue!e apro.imar por una función impulso#

+l concepto !e función impulsia resulta muy Btil al !iferenciar funciones !iscontinuas#

,a función impulso unitario 0( )t t δ − pue!e consi!erarse como la !eria!a !e la

función escalón unitario 01( )t t − en el punto !e !iscontinui!a! 0

t t = ' o



0 0( ) 1( )

d t t t t

dt δ − = −

?nersamente' si se inte*ra la función impulso unitario 0( )t t δ − ' el resulta!o !e la

función escalón unitario 01( )t t = # &on el concepto !e la función impulsia se pue!e

!iferenciar una función que conten*a !iscontinui!a!es' !an!o impulsos cuyas

ma*nitu!es son i*uales a las !e la !iscontinui!a! correspon!iente#

M%LTIPLICACI&N DE ( ) f t

$i la función ( ) f t es transformale por ,aplace' y esa transforma!a es ( ) F s ' la

transforma!a !e

( )t e f t α −

se pue!e otener !el si*uiente mo!o5

0

( ) ( )t t st e f t e f t e dt α α ∞

− − − = = ∫ l

( ) F s α = +

ue!e erse que la multiplicación !e

( ) f t

por

t e α −

tiene el efecto !e reempla0ar s por ( ) s α + en la transforma!a !e ,aplace#

?nersamente' reempla0ar s por ( ) s α + es equialente a multiplicar#

( ) f t

por



t e α −

Nótese que α pue!e ser real o comple/a#

,a relación !a!a es Btil para allar la transforma!a !e ,aplace en funciones como

t e sen t α ω − y cost e t α ω −

TEOREMA DE DIFERENCIACI&N REAL

,a transforma!a !e ,aplace !e la !eria!a !e una función ( ) f t está !a!a por5

( ) ( ) (0)d

f t sF s f dt

= − l

6on!e (0) f es el alor inicial !e ( ) f t ealua!a en 0t = #

ara una función ( ) f t !a!a los alores !e (0 ) f + y (0 ) f − pue!en ser i*uales o

!iferentes# ,a !istinción entre (0 ) f + y (0 ) f − es importante cuan!o ( ) f t tiene una!iscontinui!a! en 0t = porque en ese caso ( ) /df t dt compren!e una función

impulsia en 0t = # $i

(0 ) (0 ) f f + ≠ −

,a ecuación que!aría5

( ) ( ) ( )d

f t sF s f odt

= − + l

( ) ( ) ( )d

f t sF s f odt

= − − l

ara proar el teorema !e !iferenciación real' se proce!e como si*ue# ?nte*ran!o la

inte*ral !e ,aplace por partes' se tiene



0

0 0

( ) ( ) ( ) st st

st e d e f t e dt f t f t dt

s dt s

∞ ∞− −

− ∞ = − − −

∫ ∫

por tanto

(0) 1( ) ( )

f d F s f t

s s dt

= + l

!e aí si*ue que

( ) ( ) (0)d

f t sF s f

dt

= −

l

+n forma similar' se otiene la si*uiente relación para la se*un!a !eria!a !e ( ) f t 5

22

2( ) ( ) (0) (0)

d d t s F s sf f

dt

= − −

l

6on!e(0) f

es el alor !e( ) /df t dt

ealua!o como 0t =

# ara !e!ucir estaecuación' se !efine5

( ) ( )d

f t g t dt

=

+ntonces

[ ]2

2( ) ( ) ( ) (0)

d d f t g t s g t g

dt dt = = −

l l l

( ) (0)d

s f t f dt

= − l

2 ( ) (0) (0) s F s sf f = − −

+n forma similar' para n-ésima !eria!a !e ( ) f t ' se otiene



.1 2( ) ( ) (0) (0) .... (0) (0)n

n n n

n

d f t s F s s f s f sf f

dt

−

= − − − − −

l

TEOREMA DEL VALOR FINAL

+l teorema !el alor final relaciona el comportamiento en esta!o estacionario !e ( ) f t

con el !e ( ) sF s en la ecin!a! 0 s = # $in emar*o' el teorema se aplica si' y

solamente si' e.iste

lim ( )t

f t −∞

(lo que si*nifica que ( ) f t asume finalmente un alor !efini!o cuanto t )# $i to!os

los polos !e ( ) sF s que!an en el semiplano i0quier!o !el plano s ' e.iste el

lim ( )t

f t −∞

ero si ( ) sF s tiene polos sore el e/e ima*inario o en el semiplano positio !el plano s

'

( ) f t conten!rá funciones oscilatoria o e.ponencialmente creciente en el tiempo'

respectiamente' y el

lim ( )t

f t −∞

No e.istirá#

+n tales casos' no se aplica el teorema !el alor final#

+l teorema !el alor final pue!e enunciarse como si*ue# $i ( ) f t y ( ) / ( )df t d t son

transformales por ,aplace' si ( ) F s es la transforma!a !e ,aplace !e ( ) f t y si e.iste

lim ( )t f t −∞ +ntonces 0( ) lim ( ) lim ( )t s f f t sF s−∞ −∞ = =



+l teorema !el alor final estalece que el comportamiento !e ( ) f t en esta!o

estacionario' es i*ual al !e ( ) sF s en la ecin!a! !e 0 s = # sí' el alor !e ( ) f t en t

i*ual a infinito se pue!e otener !irectamente !e ( ) F s #TEOREMA DEL VALOR INICIAL

+l teorema !el alor inicial es la contraparte !el teorema !el alor final# tili0an!o este

teorema se pue!e allar el alor !e ( ) f t en 0t = + !irectamente !e la transforma!a

!e ,aplace !e ( ) f t # +l teorema !el alor inicial no !a el alor !e ( ) f t e.actamente en

0t = ' sino en un tiempo li*eramente mayor que cero#

+l alor inicial pue!e presentarse como si*ue5 si ( ) f t y ( ) /df t dt son transforma!as

por ,aplace' y si e.iste el

lim ( ) s

sF s−∞ entonces (0 ) lim ( )

s f sF s

−∞

+ =

l aplicar el teorema !el alor inicial' no se esta restrin*ien!o a las uicaciones !e los

polos !e ( ) sF s # sí el teorema !el alor inicial es ali!o para la función sinusoi!al#

&oniene notar que el teorema !el alor inicial y el !el alor final rin!an una

a!ecua!a erificación !e la solución' ya que permiten pre!ecir el comportamiento !el

sistema en el !ominio !el tiempo' sin tener que transformar !e nueo las funciones en

s a funciones !el tiempo

TEOREMA DE INTE2RACI&N REAL

$i ( ) f t es !e or!en e.ponencial' entonces e.iste la transforma!a !e ( ) f t y esta !a!a

por

1( ) (0)

( )

F s f

f t dt s s

−

= + ∫ l



!on!e

[ ]( ) ( ) F s f t = l y1(0) ( ) f f t dt − =

∫ +alua!a en 0t = # &omo emos' la inte*ración en el !ominio !el tiempo se conierte

en !iisión en el !ominio !e s # $i el alor inicial !e la inte*ral es cero' la transforma!a

!e ,aplace !e la inte*ral !e ( ) f t que!a !a!a por ( ) / F s s #

+l teorema !e inte*ración real !a!o por la ecuación se pue!e mo!ificar leemente'

para afrontar el caso !e la inte*ral !efini!a#

6e ( ) f t # $i ( ) f t es !e or!en e.ponencial' la transforma!a !e ,aplace !e la inte*ral

!efini!a

0

( )t

f t ∫ Cue!a !a!a por !on!e0

( )( )

t F s

f t dt s

=

∫ l [ ]( ) ( ) F s f t = l

+ste teorema tamién se !enomina !e inte*ración real#

TEOREMA DE DIFERENCIACI&N COMPLE!A

$i ( ) f t es transformale por ,aplace' entonces' e.cepto en los polos !e ( ) F s '

[ ]( ) ( )

d

tf t F sds−l

!on!e [ ]( ) ( ) F s f t =l

+sto se !enomina teorema !e !iferenciación comple/a# amién

22

2( ) ( )

d t f t F s

ds = − l +n *eneral' ( ) ( 1) ( )

nn n

n

d t f t F s

ds = − l

( 1, 2, 3,.....)n =



INTE2RACI&N DE CONVOL%CI&N

&onsi!ere la transforma!a !e ,aplace !e

1 2

0( ) ( )

t

f t f d τ τ τ −∫ +sta inte*ral a menu!o se e.presa como 1 2( )* ( ) f t f t

,a operación matemática anterior se !enomina conolución# Nótese que si se coloca

=t − ' entonces

0

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )t

t

f t f d f f t d τ τ τ ξ ξ ξ − = − −∫ ∫ 1 2

0

( ) ( )t

f f t d τ τ τ = −∫

or tanto'

1 2 1 2

0

( )* ( ) ( ) ( )t

f t f t f t f d τ τ τ = −∫ 1 2

0

( ) ( )t

f f t d τ τ τ = −∫ 2 1( )* ( ) f t f t =

$i 2( ) f t y 2

( ) f t son continuas por se*mentos y !e or!en e.ponencial' la transforma!a

!e ,aplace !e

1 2

0

( ) ( )t

f t f d τ τ τ −∫ pue!e otenerse como si*ue5

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )t

f t f d F s F sτ τ τ

− = ∫ l

6on!e [ ]1 1 10

( ) ( ) ( )

st

F s f t e dt f t

∞

−

= =∫ l [ ]2 2 20

( ) ( ) ( )

st

F s f t e dt f t

∞

−

= =∫ l

1 2 1 2

0 0

( ) ( ) (/ )1( ) ( )t

f t f d f t t f d τ τ τ τ τ τ τ ∞

− = − −∫ ∫

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE



+l proceso matemático !e pasar !e la e.presión en ariale comple/a a la e.presión

en función !el tiempo' se !enomina transformación inersa# &omo notación para la

transformación inersa' se utili0a

1,−l !e mo!o que [ ]1 ( ) ( ) F s f t − =l

l resoler prolemas usan!o el méto!o !e la transforma!a !e ,aplace' se enfrenta el

prolema !e cómo !eterminar ( ) f t parien!o !e ( ) F s # %atemáticamente se otiene

con la si*uiente inte*ral !e inersión5

1

( ) ( )2

c j

st

c j f t F s e ds jπ

+ ∞

− ∞= ∫ ( 0)t >

6on!e c ' la acisa !e coner*encia' es una constante real ele*i!a mayor que las

partes reales !e to!os los puntos sin*ulares !e ( ) F s # sí' el camino !e inte*ración es

paralelo al e/e jw y esta !espla0a!o !el mismo una !istancia c # +ste camino !e

inte*ración esta a la !ereca !e to!os los puntos sin*ulares#

fortuna!amente' para allar ( ) f t a partir !e ( ) F s ay proce!imientos más simples

que efectuar esta inte*ración !irectamente# n mo!o coneniente es utili0ar una tala

!e transforma!as !e ,aplace# +n este caso' en la tala la transforma!a !e ,aplace

!ee aparecer en forma inme!iatamente reconocile# "recuentemente la función

usca!a pue!e no aparecer en las talas !e transforma!as !e ,aplace# $i no se

encuentra en la tala una transforma!a ( ) F s !etermina!a' se pue!e !esarrollar en

fracciones parciales' y escriir ( ) F s en términos !e funciones simples !e s ' para las

cuales se conocen las transforma!as inersas !e ,aplace#

Nótese que estos méto!os simples para allar transforma!as inersas !e ,aplace' se

asan en el eco !e que la correspon!encia Bnica entre una función !el tiempo y su

transforma!a ,aplace inersa' se mantiene para cualquier función !el tiempo que sea

continua#

M3TODO DE E,PANSI&N EN FRACCIONES PARCIALES PARA 4ALLARTRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE0



( ) F s ' la transforma!a !e ,aplace !e ( ) f t ' frecuentemente es !e la forma

( )

( ) ( )

B S

F s A s=

6on!e ( ) B(s) A s y son polinomios en s ' y el *ra!o !e ( ) B S es menor que el !e

( ) A s # $i ( ) F s se !escompone en sus componentes

1 2( ) ( ) ( ) .... ( )

n F S F s F s F s= + + +

y si las transforma!as inersas !e ,aplace !e la se*un!a parte !e la i*ual!a! son

oteni!as fácilmente' entonces

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )

n F s F s F s F s− − − −= + + +l l l l

6on!e 1 2( ), ( ),......, ( )

n f t f t f t son las transforma!as

?nersas !e ,aplace !e 1 2( ), ( ),......, ( )

n F s F s F s ' respectiamente

,a transforma!a inersa !e ,aplace así oteni!a ( ) F s ' es Bnica' e.cepto

posilemente en puntos !on!e la función !e tiempo es !iscontinua#

,a enta/a !el proce!imiento !e e.pansión es que los términos in!ii!uales son

funciones muy simples' en consecuencia' no es necesario recurrir a una tala !e

transforma!as !e ,aplace' si se memori0an al*unos pares !e transforma!as simples#

&oniene seAalar' sin emar*o' que al aplicar la técnica !e e.pansionó en fracciones

parciales en Bsque!a !e la transforma!a inersa !e ,aplace' !een conocersepreiamente las raíces !el polinomio !enomina!or ( ) A s 5

+n la e.pansionó ( ) ( ) / ( ) F s B s A s= en forma !e fracciones parciales' es importante

que la potencia más elea!a !e s en ( ) A s sea mayor que la potencia !e s en ( ) B s #

$i ese no es el caso' el numera!or ( ) B s !ee !ii!irse entre el !enomina!or ( ) A s

para pro!ucir un polinomio en s más un resto (una relación !e polinomios en s cuyo

numera!or sea *ra!o menor que el !el !enomina!or)#



E,PANSI&N EN FRACCIONES PARCIALES C%ANDO ( ) F s CONTIENE

5NICAMENTE POLOS DISTINTOS0

$ea ( ) F s escrita en su forma factori0a!a#

1 2

1 2

( )( )....( )( )( ) (m<n)

( ) ( )( )....( )

m

n

K s z s z s z B s F s

A s s p s p s p

+ + += =

+ + +

6on!e los factores p y z son canti!a!es reales o comple/as' pero para ca!a

comple/o 1 p ' o i

z ' !ee aparecer el respectio con/u*a!o# $i ( ) F s contiene

solamente polos !istintos' pue!e e.pan!irse en una suma !e fracciones parciales

simples' es !ecir5

1 2

1 2

( )( ) ...

( )

n

n

aa a B s F s

A s s p s p s p= = + + +

+ + +

6on!e (k=1, 2,.....,n)k

a son constantes# +l coeficiente k a se !enomina resi!uo en

el polo !e k -p s = # +l alor !e k

a pue!e allarse multiplican!o amos miemros !e

la ecuación por ( )k

s p+ y acien!o k -p s = ' lo que !a

&omo pue!e erse' to!os los términos e.pan!i!os !esaparecen' e.cepto a # +ntonces

se alla que el resi!uo es

1 2

1 2

( )( ) ( ) ( )

( )k

k k k

s p

a a B s s p s p s p

A s s p s p=

+ = + + + + +

... ( ) ... ( )

k

k nk k

k n s p

a a s p s p

s p s p=

+ + + + + + + +

k a=

( )( )

( )k

k k

s p

B sa s p

A s=

= +



Nótese que' como ( ) f t es una función real !el tiempo' si 1 2 y p p son comple/os

con/u*a!os' los resi!uos 1 2 y aa tamién son comple/os con/u*a!os' por lo que solo

uno !e los !os !ee ealuarse' ya que el otro se conoce automáticamente#

&omo

1 k p t k k

k

aa e

s p

−−

= + l se otiene ( ) f t como

[ ] 1 21

1 2( ) ( ) ... (t 0)n p t p t p t

n f t F s a e a e a e−− −−= = + + + ≥l

E,PANSI&N EN FRACCIONES PARCIALES C%ANDO ( ) F s TIENE POLOS

M5LTIPLES

+n lu*ar !e tratar el caso *eneral' se utili0a un e/emplo para mostrar como otener la

e.pansión en fracciones parciales !e ( ) F s #

$ea la si*uiente ( ) F s 5

2

3

2 3( )

( 1)

s s F s

s

+ +=

+

,a e.pansión en fracciones parciales !e esta ( ) F s cure tres términos

3 2 1

3 2

( )( )

( ) ( 1) ( 1) 1

b b b B s F s

A s s s s= = + +

+ + +

6on!e 3 2 1, y b se !eterminan como si*ue# %ultiplican!o amos miemros !e esta

Bltima ecuación por ( 1) 3 s ∧+ ' se otiene

3 2

3 2 1

( )( 1) ( 1) ( 1)

( )

B s s b b s b s

A s+ = + + + +

Dacien!o entones 1 s = − ' la ecuación anterior !a

3

3

1

( )( 1)

( ) s

B s s b

A s=−

+ =



amién !iferencian!o aora amos miemros !e la ecuación con respecto a s se

otiene

3

2 1

( )

( 1) 2 ( 1)( )

d B s

s b b sds A s

+ + + $i se ace 1 s = − ' en la ecuación anterior'

entonces

3

2

1

( )( 1)

( ) s

d B s s b

ds A s=−

+ =

6iferencian!o aora amos miemros !e la ecuación respecto a s ' el resulta!o es

23

12

( )( 1) 2

( )

d B s s b

ds A s

+ =

6el análisis prece!ente se pue!e er que los alores 1 2 3, y b pue!e !eterminarse

sistemáticamente !el si*uiente méto!o5

33

1

( )( 1)( )

s

B sb s A s

=−

= +

21( 2 3) s s s

=−= + + 32

1

( )(( 1) )( )

s

d B sb sds A s

=−

= +

2

1

( 2 3) s

d s s

ds=−

= + + 1

(2 2) s

s=−

= + 0=

23

1 12

1 ( )( ( 1) )

2! ( ) s

d B sb s

ds A s =−

= +

22

2

1

1( 2 3)

2! s

d s s

ds=−

= + +

1(2) 1

2= =

sí' se otiene

[ ].1( ) ( ) f t F s= l 1 1 1

3 2

2 0 1

( 1) ( 1) 1 s s s

− − − = + + + + +

l l l

2 0t t t e e− −= + + 2( 1) (t 0)t t e−= + ≥



APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE AL

AN6LISIS DIN6MICO DE ESTR%CT%RAS

70 TRANSFORMADA DE LAPLACE A RESOL%CI&N DE SISTEMA MASA8

RESORTE

,os méto!os !e la transforma!a !e ,aplace tienen un papel clae en el enfoque

mo!erno !el análisis y !iseAo en los sistemas !e in*eniería# +n el si*uiente informe se

!etallará cómo utili0ar !ica transforma!a para la resolución !e las ecuaciones

!iferenciales que mo!elan el moimiento armónico simple !e un sistema %asa-

Eesorte#



a) ?NE6&&?FN

$e !efine la transforma!a !e ,aplace (,) como5

[ ] [ ]0 0

( ) ( ) ( ) ( ) st st f t F s e dt f t f t e dt ∞ ∞

− −= = =∫ ∫ l GGG##GGGGGGGGGGGGG##(1)

6on!e ( ) es la función ori*inal' () es la transforma!a' s es una ariale comple/a y

H es llama!o el nBcleo !e la transformación#

,as propie!a!es que se utili0arán en este traa/o !e aplicación serán' consi!eran!o el

si*uiente par !e transforma!as !e ,aplace con sus correspon!ientes re*iones !econer*encia5

( ) I () ()J

( ) I() ()J

ropie!a! !e lineali!a!5 para K' L ∁5

( ) M ( ) I () M L (s) () J á ( ')

ropie!a! !e !eria!as5

() ( ) I ()H O1 (=)H⋯H (H1) (=) () J

(H1) ( ) I () () () J

,a transforma!a !e ,aplace proee un méto!o para resoler ecuaciones !iferenciales

lineales con coeficientes constantes al transformarlas' a traés !e las propie!a!es

antes !escriptas' en el prolema sencillo !e resoler una ecuación al*eraica lineal'

otenién!ose así una solución !e la forma ()P ()3() !on!e y C son polinomios

en s# na e0 eca la transformación' se !esarrollan manipulaciones al*eraicas y

finalmente se aplica la transformación !e ,aplace inersa ( )P H1 Q ()R para otener

el resulta!o !el prolema plantea!o# +ste proce!imiento se conoce como !esarrollo !e

Deaisi!e#

) @?SE&?N+$ %+&TN?&$



,os sistemas mecánicos !e traslación pue!en ser usa!os para mo!elar mucas

situaciones e inolucran tres elementos ásicos5 masas' resortes y amorti*ua!ores'

cuyas uni!a!es !e me!i!a son' respectiamente' U* (Vilo*ramos)' N3m (Neton por

metro) y Ns3m (Netons y se*un!os por metro)# +n este caso sólo ten!remos en

nuestro sistema masas y resortes#

,as ariales asocia!as son el !espla0amiento .(t) (me!i!o en metros) y la fuer0a "(t)

(me!i!a en Netons)# continuación se muestra una representación *ráfica !el

sistema menciona!o#

"i*ura 1# &omponentes !el sistema mecánico !e traslación

$uponien!o que estamos tratan!o con resortes i!eales (esto es' suponien!o que se

comportan linealmente)' las relaciones entre las fuer0as y los !espla0amientos en el

tiempo t son

%asa5 P W( 23)XP (,ey !e Neton) GGGGGGGGGGGGG##(2) ̈

Eesorte5 P ( 2H 1) (,ey !e DooVe) GGGGGGGGGGGGG#GGG(:)

san!o estas relaciones lle*amos a las ecuaciones !el sistema' las que pue!en ser

anali0a!as utili0an!o las técnicas !e la transforma!a !e ,aplace#

c) +Y+%,

&onsi!eremos el sistema mostra!o en la "i*ura 1# $ean las masas 1P1 y 2P2 '

ca!a una ata!a a una ase fi/a por un resorte' con constantes 1P1 y :P2 y ata!as

entre sí por un tercer resorte con constante 2P2# +l sistema es solta!o !es!e el

reposo en el tiempo tP= en una posición en la cual 1 esta !espla0a!a 1 uni!a! acia

la i0quier!a !e su posición !e equilirio y 2 está !espla0a!a 2 uni!a!es a la !ereca



!e su posición !e equilirio# 6esprecian!o los efectos !e fricción' !eterminaremos la

posición 1( ) !e 1 y 2( ) !e 2 en un tiempo t#

plican!o la ,ey !e Neton a 1 y 2 se otiene5

1 ̈ 1P 2H 1P 2( 2H 1)H 1 1

2 ̈2P H :H 2PH : 2H 2( 2H 1)

Cue' sustituyen!o por los alores !a!os en el enuncia!o !el prolema !a

̈1M: 1H2 2P=

2 ̈2M4 2H2 1P=

l aplicarles la transforma!a !e ,aplace' lle*amos a las ecuaciones

( 2M:) 1()H2 2()P1(=)M ̇1(=)

H 1()M( 2M:) 2()P 2(=)M ̇2(=)

?ncorporan!o las con!iciones iniciales !e moimiento (posición y eloci!a! en tP=) las

ecuaciones transforma!as son

( 2M:) 1()H2 2()PH

H 1()M( 2M:) 2()P2

6e !on!e se !espe/a

2()P(22M; )/ (2M4)(2M1)PH / 2M1)M / 2M4 )

Cue' al aplicar la transforma!a inersa !e ,aplace' !a como resulta!o

2( )P&$ M&$2

,ue*o' como

1( )P2 2( )M ̈2( )P2&$ M2&$2 H&$ H4&$2

+sto es

1( )P&$ H2&$2



sí' las posiciones !e las masas en el tiempo t son

7' (9COS :;COS;

;' (9COS <COS;

!) &N&,$?N+$ +Y+%, $?$+% %$-E+$E+#

+s posile oserar' !el e/emplo anterior' que la utili0ación !e la transforma!a !e

,aplace facilita notalemente la resolución !e ecuaciones !iferenciales !e cualquier

or!en (en este caso !e or!en uno)' posiilitan!o un análisis rápi!o y certero !e

cualquier sistema físico que se presente en el estu!io !e !iersas ramas !e la

?n*eniería#

;0 TRANSFORMADA DE LAPLACE APLICADO A OSCILADORES

ARM&NICOS AMORTI2%ADOS

n oscila!or armónico' ya sea mecánico o eléctrico' es un sistema que aparecerepeti!as eces en prolemas !e in*eniería y ciencias# +stos sistemas físicos pue!en

representarse matemáticamente por me!io !e la se*un!a ley !e Neton' !an!o lu*ar

a una ecuación !iferencial or!inaria (+#6#) lineal !e se*un!o or!en con coeficientes

constantes# +l informe usca resoler la ecuación !iferencial !e un oscila!or armónico

amorti*ua!o aplican!o la ransforma!a !e ,aplace y acien!o uso !e sus

propie!a!es#

a) ?NE6&&?FN

,a transforma!a !e ,aplace es un tipo !e transforma!a inte*ral# ,a transforma!a !e

,aplace !e una función f(t) !efini!a para to!os los nBmeros positios t Z =' es la

función

[ ] [ ]0 0


− −= = =∫ ∫ l

,a función ori*inal f(t) se conoce como transforma!a inersa' es !ecir

( )P,H1Q ()R



+ntre to!as las propie!a!es !e la ransforma!a !e ,aplace' se utili0arán' en esta Nota

!e plicación' las si*uientes

Linealidad5 para

' ∈ ( )M ( )I ()M ()

Tra#laci*n= para

∈! ! ( )I (H!)

Deri+ada=

() ( )I ()HH1 (=)HH2 [(=)H⋯H (H1)(=)

+sta Bltima propie!a! permite resoler fácilmente ecuaciones !iferenciales or!inarias

lineales con coeficientes constantes' ya que transforma el prolema comple/o !e

resoler una ecuación !iferencial (o un sistema !e ecuaciones !iferenciales) en un

prolema más sencillo como es la resolución !e una ecuación al*eraica (o un

sistema !e ecuaciones lineales)# ,ue*o !e manipulaciones al*eraicas' para otener

la e.presión !e "(s) en función !e s' se aplica la transforma!a inersa !e ,aplace para

lle*ar a la solución !e la ecuación !iferencial ori*inal#

) %@?%?+N 6+ N $&?,6E E%FN?& %E?6

n sistema es un oscila!or armónico amorti*ua!o si' cuan!o se !e/a en lierta! fuera

!e su posición !e equilirio' uele acia ella !escriien!o oscilaciones sinusoi!ales

amorti*ua!as en torno a !ica posición estale# +l sistema masa-resorte-

amorti*ua!or' como el !e la fi*ura 1' es el e/emplo más comBn !e este tipo !e

oscila!ores' sin emar*o' no es el Bnico#

"i*ura 15 %asa uni!a a un resorte !e constante elástica y a un amorti*ua!or !e constante iscosa "

plican!o la se*un!a ,ey !e Neton a este sistema' lle*amos a la si*uiente ecuación



⃗M " ⃗M #$ M P ! GGGGGGGGGGGGGGGGG#(1)

&on

⃗P H % GG#G#"uer0a elástica (,ey !e DooVe) & " ⃗P H " ̇ % GG#G## "uer0a iscosa (morti*ua!or) & #$ P # ' GG GGGG"uer0a normal & P H ' GGGG##GGceleración !e la *rae!a! terrestre & ! P ̈ % GGGGGGGGceleración !e la masa &

,ue*o' tenien!o en cuenta que el moimiento es solo ori0ontal' !esprecian!o elro0amiento entre la masa y la superficie ori0ontal y tenien!o en cuenta la notación\=

2 P Ve3m' lle*amos a una ecuación !iferencial or!inaria lineal' !e se*un!o or!en ycon coeficientes constantes#

M (V( 3m) M \ =2. P = GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG#(2)

,a solución !e esta ecuación !iferencial será una .(t)' que correspon!e a la posición!e la masa en función !el tiempo# ara resolerla' le aplicamos la transforma!a !e,aplace !e la si*uiente manera

,Q R M ̈ "3 ,Q R M ̇ *=2 Q R P =

,laman!o ](s) a ,Q ( )R ' usan!o las propie!a!es anteriormente menciona!as y!espe/an!o' lle*amos a

() P W=M ̇=M" =X3W2M*=2M( "3)X GGGGGGGGGGGGG##(:)

,ue*o' separan!o por fracciones simples y consi!eran!o que ( "3)2J 4*=2

plicamos la transforma!a inersa para lle*ar a la solución

( ) P ,H1 Q /[ + M(( "3 H^((" )2H4*=2)) 32 R M ,H1 Q B/[ M(( "3 H^((" )

2H4*=2)) 32 R

( ) P + ,1 M - ,2 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG###(4)

6on!e y S !epen!en !e las con!iciones iniciales !e la si*uiente manera

+ P QWH "3 M (^(( " )2 H 4*=2 ))32 X = M ̇= M ( "3 ) = R3W^( /" )2 H 4*=

2X

B P QWH "3 - (^(( " )2 H 4*=2 ))32 X = M ̇= M ( "3 ) = R3W^( /" )2 H 4*=

2X

_1 y _2 !e las constantes !el resorte y !el amorti*ua!or

,1 P H "3 M W^(( " )

2

H 4*=

2

)X32 ,2 P H "3 ` W^(( " )2 H 4*=

2 )X32



!emás' (4) es áli!a si _1' _2' y S son nBmeros comple/os# +sto ocurre cuan!o

(V3m )2 4\=2' que aplican!o la teoría !e funciones !e ariale comple/a' resulta

.( ) P +H /" 2 % ^(*=2H( "32)2) M /H / 2 - % ^(*=

2H( "32)2)

.( ) P H"32 W +(01Q* R M % %Q* R) M -(01QH* R M % %QH* R)X

$in emar*o' como la parte ima*inaria !e la función no tiene senti!o en este

prolema' tomamos solo la parte real como solución#

Q .( )R P ( ) P 2H /" 2 01Q* M 3R GGGGGGGGGGGGGGG##(;)

&on las constantes & y b ' que !epen!en nueamente !e las con!iciones iniciales y

* P ^W*=2 H ( "/2)2 X

or otro la!o' si ( "4)2 P 4\=2 ' al separar (:) por fracciones simples y aplicarle la

transforma!a inersa' se otiene

( ) P ,H1 Q /[ + M ( "32 )] R M ,H1 Q B/[ (M ( "32 )) 2]R

' ( 9 : / ;

< : / ;

GGGGGGGGGGGGGGGGG##(<)

6on!e

+ P =

- P ( "32) = M ̇=

,ue*o' si se quiere encontrar la e.presión para la eloci!a! y aceleración en función

!el tiempo' se proce!e a !eriar (4)' (;) o (<) (se*Bn sea el caso) en función !el

tiempo t#

>0 TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA RESOL%CI&N DE

EC%ACIONES DE DIN6MICA DE RESORTES

+l si*uiente informe muestra una !e las aplicaciones !e la transforma!a !e ,aplace en

prolemas físicos# +n este caso se empleara para resoler las ecuaciones !e fuer0a

!e 2 loques conti*uos uni!os por resortes y así po!er !escriir los moimientos !e

amos loques# ara esto el lector !eerá tener conocimientos !e los conceptos

ásicos !e !inámica' los cuales serán intro!uci!os' así como tamién !e ecuaciones!iferenciales !e se*un!o or!en#



alaras clae5 ransforma!a !e ,aplace' ecuaciones !e fuer0a' !escripción !e

moimiento

a) ?NE6&&?FN

,a ransforma!a !e ,aplace es una erramienta matemática muy Btil en física ya que

*racias a ella po!emos representar el comportamiento !e sistemas físicos comple/os

!e forma más sencilla# +s necesario tener en cuenta que amos a !esarrollar en

si*uiente !ocumento partien!o !e la si*uiente ecuación#

"Pma GGGGGG(1)

+sta e.presión es una ecuación ectorial' ya que tanto la fuer0a como la aceleración

llean !irección y senti!o# or otra parte' cae !estacar que la aceleración no es la

ariación !e la posición' sino que es la ariación con la que aría la eloci!a!#

&ae !estacar que en cualquier sistema físico' en el cual' el comportamiento que!a

!efini!o a traés !e un con/unto !e ecuaciones !iferenciales' son posiles !e aplicar

las transformaciones !e ,aplace para estu!iar su comportamiento y así po!er

a*re*arlos a otros susistemas' para conse*uir un fin !etermina!o#

+n el si*uiente informe se !esarrollara un sistema físico que que!ara representa!o por

el si*uiente *ráfico5

+n el *ráfico se en amos cuerpos apoya!os sore rue!as ya que se consi!erara unsistema i!eal sin ro0amiento' a su e0' anali0aremos un caso en el que la fuer0a

aplica!a fue comprimien!o el sistema# &ae !esatacar que amas masa (m1 y m2)'

como las !os constantes !e los resortes (V1 y V2 ) son !atos que tenemos#

ara resoler el sistema !e ecuaciones !e fuer0a utili0aremos la transforma!a !e

,aplace que !efini!a !e la si*uiente manera5



[ ] [ ]0 0


− −= = =∫ ∫ l

) 6+$EE,, 6+, E&,

6e la ecuación (i) po!emos !e!ucir que si actBan fuer0as sore los cuerpos' el camio

que se prooca en su aceleración es proporcional a la fuer0a aplica!a y !ico camio

se pro!uce en la !irección sore la que se apliquen !icas fuer0as#

ora ien ca!a cuerpo que!a e.presan!o !e la si*uiente manera5

• ara el cuerpo 15

GGGGGGGGG# (:)

• ara el cuerpo 25

GGGGGGGGG(4)

Nota5 llamamos a d. !os puntos como la aceleración' y ](t) como la posición' amos

me!i!os respecto !el tiempo#

ora para anali0ar el prolema lo que aremos será !ar las con!iciones iniciales !e

los prolemas' las cuales an a ser5

ara el loque uno se le !ará una eloci!a! con senti!o positia en el ersor #

ara el loque !os se le !ará una eloci!a! con senti!o ne*atio en el ersor #

&onsi!eraremos amas eloci!a!es !e ma*nitu!es i*uales

,a masa !el loque uno será mayor que la masa !el loque 2#

,as ecuaciones !e fuer0a aora que!aran5

Sloque 15

]1P-1=.1-4.1 GGGGGG#(;)

Sloque 25 ]2P4.1-4.2 GGGGGG(<)

,as con!iciones iniciales son

plican!o la transforma!a !e ,aplace a (<) y (;) y acomo!án!olas nos que!an

respectiamente5

Sloque 15

GGGG##(7)Sloque 25



GGGGGGG(8)

6e la ecuación (8) !espe/amos a ]1 en función !e ]2 otenemos que5

GGGGGGGG##(9)

ora olemos a la ecuación !el loque 1 y reempla0amos para lle*ar a la si*uienteecuación5

GGGG#(1=)

como!amos la ecuación !espe/an!o a ]2 en función !el parámetro $

GGGGGGGG(11)

,ue*o !e acomo!ar (11)' aplicamos la trasforma!a inersa !e ,aplace y otenemos

GGGGGGGG#(12)

nien!o (11) con (9) y atitransforman!o utili0an!o propie!a!es' otenemos que

GGGGG#(1:)

mas ecuaciones ((11) y (12)) representan la ariación !e la posición !e ca!a loque

respecto !el tiempo y po!emos oserar que nunca tien!en asintóticamente a nin*Bn

alor !ei!o a que en el caso anali0a!o no se consi!era ro0amiento' por lo cual' una

e0 inicia!o el moimiento no se !eten!ría nunca#

+s necesario tener en cuenta las con!iciones iniciales para po!er simplificar los

cálculos' !e to!as maneras si no las tuiéramos' con un !esarrollo astante más

e.tenso' lle*aríamos a una solución *enerali0a!a que tuiera como resulta!o el mismo

comportamiento#

&omo primera conclusión po!emos !ecir que las e.presiones !e los cuerpos que!an

!escriptas con funciones senoi!a!es o cosenoi!ales' lo que implica que en al*Bn

tiempo t lle*aran a su amplitu! má.ima' !on!e su eloci!a! será nula y su aceleración

má.ima' para así retornar a su posición !e equilirio' en la cual la aceleración es nula

y su eloci!a! es má.ima#

,a e.presión !e la posición será senoi!al cuan!o partan !e su posición en equilirio y

se ean someti!as a una fuer0a e.terna' y será cosenoi!al cuan!o sean !espla0a!os

!e su posición !e equilirio y se los suelte para que interactBen con los resortes#

&omo se*un!a conclusión' !ei!o a la falta !e ro0amiento po!emos notar que las

ecuaciones per!uran a lo lar*o !el tiempo' acién!olo !e la misma manera lue*o !e

un perio!o t' repetirán su moimiento in!efini!amente asta que al*una fuer0a e.terna

!eten*a el sistema#



?0 TRANSFORMADA DE LAPLACE= DEFORMACI&N DE

VI2AS

+n el presente informe se e.plicará cómo utili0ar la transforma!a !e ,aplace y sus

propie!a!es para !eterminar la !eformación !e una i*a uniforme efectua!a por una

car*a' intentan!o interpretar matemáticamente !ico fenómeno físico#

a) ?NE6&&?FN

,os méto!os !e la transforma!a !e ,aplace pue!en ser utili0a!os para resoler

prolemas con alores en la frontera y' para mostrar esto' se consi!eran los méto!os

!e !ica transforma!a para !eterminar la !eformación transersal !e una i*a !el*a!a

uniforme !ei!o a una car*a#

) EN$"E%6 6+ ,,&+ +N 6+"E%&?FN 6+ @?$

&onsi!eremos una i*a !el*a!a uniforme !e lon*itu! l y sea y(.) su !espla0amiento

transersal' a una !istancia . me!i!a !es!e uno !e los e.tremos' !e la posiciónori*inal !ei!o a la car*a (fi*ura 1)# +ntonces' !e la teoría elemental !e las i*as'

tenemos

GGGGGG#(1)

6on!e g(.) es la fuer0a transersal por uni!a! !e lon*itu!' consi!eran!o la !irección

positia acia aa/o y +? es la ri*i!e0 !e fle.ión !e la i*a (+ es el mó!ulo !e

elastici!a! !e oun* e ? es el momento !e inercia !e la i*a alre!e!or !e su e/e

central)# &omo suponemos que la i*a tiene propie!a!es uniformes !e elastici!a! yuna sección transersal uniforme en to!a si lon*itu!' tanto + como ? se toman como

constantes# ,a ecuación (1) al*unas eces se escrie como

GGGGGG##(2)

6on!e y(.) es su !espla0amiento transersal me!i!o acia aa/o y no acia arria

como en (1)#



"i*ura 1 5 6efle.ión transersal !e una i*a 5 (a) posición inicial h () posición !espla0a!a

+n los casos cuan!o la car*a es uniforme a lo lar*o !e to!a la lon*itu! !e la i*a' esto

es' g(.)Pcte' (1) se pue!e resoler fácilmente con las técnicas !el cálculo inte*ral#

%ientras que' si la car*a no es uniforme' los méto!os !e la transforma!a !e ,aplace

tienen una enta/a importante' ya que acien!o uso !e las funciones unitarias !e

Deaisi!e y !e las funciones impulso' el prolema !e resoler (1) in!epen!ientemente

para arias secciones pue!e eitarse# plican!o la transforma!a !e ,aplace a amos

miemros en (1) se tiene5

GGGGGGGG(:)

6on!e5

?nterpretación física5

+?y: (=) +s la fuer0a cortante en .P=#

+?y2 (=) +s el momento !e torsión en .P=#

1 (=) +s la pen!iente en .P=#

(=) +s la !efle.ión en .P=#

Eesolien!o (:) para (s) lle*amos a

GGGG##(4)

sí' se necesita encontrar cuatro con!iciones !e frontera e i!ealmente !eer ser la

fuer0a cortante' el momento !e torsión' la pen!iente y la !efle.ión en .P=# $in

emar*o' en la práctica estas con!iciones !e frontera no siempre están !isponiles#

l*unas !e ellas son conoci!as' pero otras están especifica!as en puntos !istintos !e

.P= a lo lar*o !e la i*a#

,as con!iciones !e frontera usualmente están in!ica!as en con!iciones físicas tales

como la si*uiente5



a) ,a i*a está lire' o simplemente' sosteni!a en amos e.tremos' in!ican!o que

tanto el momento !e torsión como la !efle.ión son cero en amos e.tremos' asi que

en .P= y .Pl#

) +n amos e.tremos la i*a está su/eta o construi!a en una pare!# 6e esta manera'

la i*a está ori0ontal en amos e.tremos' así que en .P= y .Pl#

c) ,a i*a está ola!a con un e.tremo lire (esto es' fi/a ori0ontalmente en un

e.tremo' con el otro e.tremo lire)# +n el e.tremo fi/o (.P=)' y en el

e.tremo lire (.Pl)' como tanto la fuer0a cortante y el momento !e torsión son cero

$i la car*a no es uniforme a lo lar*o !e to!a la i*a' se ace uso !e las funciones

escalón !e Deaisi!e y !e las funciones !e impulso para especificar g(.) en (1)#

c) +Y+%,1 6+ ,?&&?FN

+n el si*uiente e/ercicio se !eterminará la !efle.ión transersal y(.) !e una i*a !e

lon*itu! l' la cual esta soporta!a en amos e.tremos y se !ola a/o su propio peso g

uniformemente !istriui!o y una car*a concentra!a en ' como se in!ica en la

fi*ura 25

"i#$ra 2.

+l ori*en se coloca en el e.tremo i0quier!o !e la i*a y la !efle.ión y(.) se mi!e acia

arria !es!e la ori0ontal en el niel !e los soportes# ,a !efle.ión y(.) está !a!a por

(1)' tenien!o en cuenta el peso g' la car*a y las reacciones !el soporte E1 y E2#



$uponien!o que g está concentra!o en el centro !e la i*a5

ransforman!o a amos la!os5

&omo la i*a está sosteni!a liremente en los e.tremos' la !efle.ión y el momento !e

torsión son cero en amos e.tremosh

+ntonces (4) se conierte en5

plican!o la transforma!a inersa' se otiene5

ara otener los alores !e las constantes in!etermina!as' utili0aremos las

con!iciones en la frontera .Pl' a saer y(l)P= y y2(l)P=# ara .J13:l5

+ntonces5

$ustituyen!o acia atrás se otiene y(.)5

para las !os secciones !e la i*a

!) &N&,$?FN +Y+%, 1



+s ei!ente que' al momento !e aplicar la trasnforma!a !e ,aplace' resulta más

simple y sencillo el proce!imiento para calcular la !eformacion !e la i*a# !emás' si

se mo!ifica la uicacíon !e la car*a sore la i*a es posile utili0ar la misma

meto!olo*ía ista en este informe# sto in!ica claramente que la aplicación !e la

transforma!a !e ,aplace en estos prolemas' es una enta/a y una opción muy iale

al momento !e resolerlos#

@0 APLICACI&N DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE EN LA

DEFORMACI&N DE VI2AS

+n este informe se mostrará una !e las aplicaciones !e la transforma!a !e ,aplace'

en este caso' se intentara mostrar como se utili0an este tipo !e operaciones en el

cálculo !e la !eformación !e una i*a#

%alabras clave& i*a' car*a' frontera#

a) ?NE6&&?FN

,os méto!os !e la transforma!a !e ,aplace pue!en ser utili0a!os para resoler

prolemas con alores en la frontera y' para mostrar esto' consi!eremos los méto!os

!e !ica transforma!a para !eterminar la !eformación transersal !e una i*a !el*a!a

uniforme !ei!o a una car*a# +n este !ocumento' se intentara mostrar como son

aplica!as las transforma!as !e ,aplace para otener !eformaciones !e i*as al

aplicarle una car*a en !iferentes posiciones#

) E$"E%6 6+ ,,&+ +N 6+"E%&?N+$ 6+ @?

&onsi!eremos una i*a !el*a!a !e lon*itu! , y sea y(.) su !espla0amiento

transersal' a una !istancia . me!i!a !es!e uno !e los e.tremos' !e la posición

ori*inal !ei!o a la car*a# +n la fi*ura 1 esta ilustra!a esta situación' con el!espla0amiento me!i!o acia arria# +ntonces' !e la teoría elemental !e las i*as'

tenemos

+? !4y !.4 P Hg(.) GGGG##(1)

6on!e g(.) es la fuer0a transersal por uni!a! !e lon*itu!' consi!eran!o la !irección

positia acia aa/o y +? es la ri*i!e0 !e fle.ión !e la i*a (+ es el mo!ulo !e

elastici!a! !e oun* e ? es el momento !e inercia !e a i*a alre!e!or !e su e/e

central)# $e supone que la i*a tiene propie!a!es uniformes !e elastici!a! y una

sección transersal uniforme en to!a si lon*itu!' asi que tanto + como ? se tomancomo constantes#



,a ecuación 1) se escrie al*unas eces como

+? !4y !.4 P g(.) GGGGGGGGGG#(2)

6on!e y(.) es su !espla0amiento transersal me!i!o acia aa/o y no acia arria

como en (1)#

+n los casos cuan!o la car*a es uniforme a lo lar*o !e to!a la lon*itu! !e la i*a' esto

es' g(.)P constante'

(1) se pue!e resoler fácilmente con las técnicas normales !el cálculo inte*ral# $in

emar*o' cuan!o la car*a no es uniforme' los méto!os !e la transforma!a !e ,aplace

tienen una enta/a importante' ya que acien!o uso !e las funciones unitarias

Deaisi!e y !e las funciones impulso' el prolema !e resoler (1) in!epen!ientementepara arias secciones !e la i*a pue!e eitarse#

plican!o la transforma!a !e ,aplace en to!o (1) se tiene

+?jWs4(s) H s:y(o) H s2y1(=) H sy2(=) H y:(=)X P Hg(s) (:)

6on!e

y1 (=)P !y3!.

y2 (=)P !2y3!.2

y: (=)P !:y3!.:

pue!en interpretarse físicamente como si*ue5+?y: (=) +s la fuer0a cortante en .P=

+? y2 (=)+s el momento !e torsión en .P=

y1 (=) +s la pen!iente en .P=

y (=) +s la !efle.ión en .P=

Eesolien!o :) para y(s) lle*amos a

(s) P Hg(s)3 +?s4 M y(=) 3s M y1(=)3 s2 M y2(=)3 s: M y:(=)3 s4 GG##(4)

si' se necesita encontrar cuatro con!iciones !e frontera e i!ealmente !een ser la

fuer0a cortante' el momento !e torsión' la pen!iente y la !efle.ión en . P =# $ienemar*o' estas con!iciones !e frontera no siempre están !isponiles#



+stas con!iciones !e frontera usualmente están in!ica!as en con!iciones físicas !e la

si*uiente manera5

a# ,a i*a esta lire' o simplemente' sosteni!a en amos e.tremos' in!ican!o que

tanto el momento !e torsión como la !efle.ión son cero en amos e.tremos# si

y P !2y3!.2 P = en amos . P = y . P 5 (!on!e 5 es la lon*itu! !e la i*a)#

# +n amos e.tremos la i*a esta su/eta o construi!a en una pare!# 6e esta manera'

la i*a esta ori0ontal en amos e.tremos' asi que y P !y3!. P = en amos . P = e . P

5#

c# ,a i*a esta ola!a con un e.tremo lire (esto es fi/a ori0ontalmente en u e.tremo'

con el otro e.tremo lire)# +n el e.tremo fi/o (supon*amos . P =)

yP !y3!. P = en . P =' y el e.tremo lire (. P 5)' como tanto la fuer0a cortante y el

momento !e torsión son cero'

!2y 3!.2 P !:y !.: P = en . P 5

$i la car*a no es uniforme a lo lar*o !e to!a la i*a' se ace uso !e las funciones

escalón Deaisi!e y !e las funciones !e impulso para especificar g(.) en (1)#

or e/emplo' un peso uniforme por uni!a! !e lon*itu! sore la porción !e la i*a . P

.1a . P . ' .2 se especifica como D (.- .1) ` D (.- .2)' y un peso puntual en .P

.1 se especifica como k (.- .1)#

c) +Y+%,2 6+ ,?&&?FN

continuación trataremos !e encontrar la !efle.ión !e una i*a sosteni!a

simplemente en sus e.tremos . P = y . P l ' con un momento !e torsión a/o su propio

peso % uniformemente !istriui!o y una car*a g concentra!a en . P 132 l#

"i*ura 2

&ar*an!o g(.) P %l D(.) Mgk . H l2 H E1k(.)66666666666

6on!e E1 P 12 (% Mg)



or lo que la función !e la fuer0a es g(.) P %l D(.) Mgk . H l2 H66666666666

k(.) (% Mg) 2

&on la transforma!a !e ,aplace g(s) P %ls MgeHls32 H (% Mg) 2

a que el a0 es !e lire apoya!o en amos e.tremos

y(=) P y2(=) P y(l) P y2(l) P =

la ecuación transforma!a (4) se conierte en

(s) P 1 +? %ls; Mgs4 eHls 2 H % Mg 2 1 s4 M y1(=) s2 M y:(=) s4

oman!o transforma!as inersas !a

y(.) P 1 +? % 24l .4 M 1<g(. H l2):D . H l2 H7676767676767676767676

1 12 (% Mg).: M y1(=). M 1< y:(=).:88888888888

ara . J l 2 y(.) P 1 +? % 24l .4 M 1<g(. H l2): H 1 12 (% Mg).:88888888888

M y1(=). M 1< y:(=).:

y2(.) P 1 +? % 24l .2 Mg(. H l2) H 12 (% Mg). M y:(=).99999999999

y(l) P = +ntonces tenemos y:(=) P = y y(l) P = nos !a

= P 1 +? %l: 24 M gl: 24 H 1 12%l: H 12gl: M y1(=)l88888888888

y1(=) P 1 +? 1 24%l2 M 1 1<gl266666666666

+ntonces como resulta!o

'B( 9 7?EI'; l(MB? < 'B G l;(> 4'B G l;( : ?'M <(B> < ';M < >(l;BH

!) &N&,$?FN +Y+%,#

+n este informe se aplica el méto!o !e la transforma!a !e laplace en áreas que en un

principio no es fácil notar su aplicación' como lo es la !eformación !e i*as#

6e esta manera nos po!emos !ar una i!ea !el po!er que tienen estas

transformaciones' ya que nos simplifica muco al momento !e calcular los

moimientos inme!iatamente !espués !e aplicar car*as en !iferentes posiciones'como en este e/emplo a una i*a' en la cual po!emos calcular sus !espla0amientos

respecto !el tiempo' lo que nos !a una i!ea !e la !eformación que posee la misma a

consecuencia !e la car*a aplica!a# ' me!iante la intro!ucción !e funciones

impulsias' po!emos mo!elar este instante' en el que se aplica la car*a !e una

manera más simple' sin consi!erar situaciones anteriores#



0 TRANSFORMADA DE LAPLACE J S%S APLICACIONES A

VIRACIONES MEC6NICAS

6entro !e las aplicaciones !e los conteni!os !e "unciones !e @ariale &omple/a en

los prolemas !e ?n*eniería se pue!e oserar el uso !e la ransforma!a !e ,aplace

en la resolución !e sistemas mecánicos !e iraciones' tamién llama!os @iraciones

%ecánicas# +l si*uiente informe !etallará las principales cuestiones acerca !e la

resolución !e ecuaciones !iferenciales *enera!as para resoler los sistemas !e

traslación' en los cuales se en inolucra!os resortes y amorti*ua!ores#

a) INE6&&?FN

,a transforma!a !e ,aplace posee la propie!a! !e la !eria!a' que proee a los

in*enieros !e una erramienta muy Btil a la ora !e resoler ecuaciones !iferenciales#

l transformar to!a una ecuación !iferencial si*uien!o estos lineamientos' es posile

otener un resulta!o !e la transforma!a' (siempre y cuan!o las con!iciones inicialesestén pauta!as' ya que la propie!a! e.i*e conocer !icos alores para po!er

transformar a!ecua!amente una !eria!a !e una función) al !espe/ar "(s) en función

!e s#

"inalmente' para po!er lle*ar a la ecuación !esea!a' f(t)' el Bltimo paso a llear a cao

es aplicar la transforma!a inersa a la e.presión que se !esarrolló preiamente#

) @?SE&?N+$ %+&TN?&$

ara estu!iar el sistema se traa/a con ariales asocia!as al !espla0amiento (me!i!o

en m)' al tiempo (me!i!as en s) y la fuer0a (me!i!a en N)#

n sistema conencional !e este tipo posee !istintos elementos característicos5

,a masa !el elemento (%)' la cual es me!i!a en U*h los resortes asocia!os a la

misma' cuya ri*i!e0 es me!i!a con una constante U (e.presa!a en N3m)h y los

amorti*ua!ores' con coeficientes constantes !e amorti*uamiento S' me!i!os en Ns3m#

+s necesario suponer que los resortes y amorti*ua!ores se comportan linealmente (es

!ecir' que son di!eales)# 6e este mo!o' las relaciones entre la fuer0a y el!espla0amiento que!arán e.presa!as !e la si*uiente manera5



"uer0a total en el sistema5

GGG(1)

"uer0a e/erci!a por el resorte5 GGGGGGGGGGGGGGGGG(2)

"uer0a e/erci!a por el amorti*ua!or5

GGGGGGGGGG(:)

na e0 que tenemos estas relaciones' se !esarrolla la ecuación *eneral por me!io !e

la ,ey !e Neton' suman!o a las mismas para otener la ecuación !iferencial a

transformar#

,a transforma!a !e ,aplace nos ayu!a a resoler el prolema al*eraico linealme!iante su propie!a! !e la !eria!a5 al transformar amos miemros !e la ecuación'

otenemos una nuea i*ual!a! e.presa!a' !on!e es posile !espe/ar la función

transforma!a en términos !e s#

&on la transformación !e la ecuación ya reali0a!a' se opera al*eraicamente y se

otiene una e.presión !e la función en términos !e s' para' finalmente' reali0ar la

transformación inersa !e ,aplace y a!quirir una e.presión !e la posición con respecto

al tiempo#

o!emos !esarrollar un e/emplo como para !emostrar la utili!a! !e la ransforma!a!e ,aplace en este tipo !e situaciones5

c) 6+%$E&?FN +N+E,

enien!o un sistema como el que se muestra en la fi*ura' la masa % está someti!a a

una fuer0a perió!ica e.terna cuya ariación !epen!e !el tiempo tal que

GGGGGGGGG#(4)enien!o como constantes da y d#



su e0' la ariación !e la posición !e la masa con respecto al ori*en (que en este

caso es el punto !e equilirio !el sistema) *enera una fuer0a elástica fV que aría con

respecto a la posición !e la masa5

GGGGGGGGG#(;)

"inalmente' la eloci!a! que a!quiera el sistema pro!uce una fuer0a resistia

*enera!a por el pistón !e la forma

GGGGGGGG##(<)

enien!o to!as las fuer0as' me!iante la ,ey !e Neton es posile armar una ecuación

!iferencial !e la forma5

GGGGGGGGG#(7)Cue' en función !e .(t) tenemos que5

GGGGGGGGG(8)

plican!o la ransforma!a !e ,aplace en amos la!os otenemos

+ntonces

na e0 reali0a!a la separación por fracciones' se proce!e a aplicar la transforma!a

inersa !e ,aplace' lle*an!o finalmente a la e.presión !e .(t) !esea!a# ,ue*o' si se

!esea calcular la eloci!a! o aceleración con respecto al tiempo el Bnico paso

pen!iente será !eriar el resulta!o anterior con respecto a t#



REFERENCIAS ILIO2RAFICAS=

1# # &alan!rini' duía !e 6efiniciones y eoremas estu!ia!os en el curso !e

"unciones !e @ariale &omple/a# 2!o# &uatrimestre 2=12' pá*inas ;7-<4#

2# # Yames' %atemáticas aan0a!as para in*eniería' earson +!ucación'

se*un!a e!ición 2==2' pa*inas 1:;-1:9#

:# %lyn &am's, at'mticas +anaas para n#'ni'ra, s'#$na 'icin,

'arson 4$cacin, 2002, p#inas 153-155.

4# %. alanrini, %$a ' 7'inicion's y 9'or'mas 'st$iaos 'n 'l c$rso '

"$ncion's ' :arial' ompl';a. 1'r. $atrim'str' 2012, p#ina 61.

;# 7ynamics o tr$ct$r's, 9'ory an +pplications to 4art>$ak' 4n#in''rin#.

+nil ?. opra. r'ntic' @all.

<# ,uis coa d6inámica &lásica @ol# 1' r'ntic' @all.

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Trabajo Transformada de Laplace

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