Transformada de Laplace

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

Calculo II | 2018-2019 TL 1 / 21

Transformada de Laplace

Definicao

Seja f uma funcao real de variavel real definida em [0,+∞[. Chama-setransformada de Laplace de f (se existir) a funcao, de variavel independente s(s ∈ R),

F (s) :=

∫ +∞

0

e−st f (t) dt, (1)

cujo domınio e constituıdo pelos valores de s para os quais o integral improprioconverge (isto e, para todo o b ∈ R+ para o qual existe o integral definido∫ b

0

e−st f (t) dt e, alem disso, existe limb→+∞

∫ b

0

e−st f (t) dt).

A transformada de Laplace de f (t) e usualmente representada por

L {f (t)}.

O integral que define a TL e um integral improprio (de primeira especie). Assim, o integral

pode ser convergente ou divergente, dependendo da funcao integranda. Quando o integral em

(1) e convergente, dizemos que L {f } e a TL da funcao f .Calculo II | 2018-2019 TL 2 / 21

Recorde integrais improprios de 1a especie

Dada uma funcao f : [a, ,+∞[→ R integravel em [a, b], b ≥ a, entao∫ +∞

a

f (t) dt = limb→+∞

∫ b

a

f (t) dt se existe.

Considere o exemplo f (t) = eat , a ∈ R.

Ora

∫f (t) dt =

{ 1aeat , a 6= 0,

t, a = 0,pelo que

∫ b

0

f (t) dt =

{ 1a

(eab − 1), a 6= 0,b, a = 0.

Portanto, para

a = 0,

∫ +∞

0

f (t) dt(= +∞) nao existe,

a > 0,

∫ +∞

0

f (t) dt(= +∞) nao existe,

a < 0,

∫ +∞

0

f (t) dt = limb→+∞

1

a(eab − 1) = −

1

a.

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Transformada de Laplace

Exemplo

Averigue se f , nos exemplos seguintes, admite transformada de Laplace.

1 f (t) = 1, t ∈ [0,+∞[.

2 f (t) = t, t ∈ [0,+∞[.

3 f (t) = tn, n ∈ N, t ∈ [0,+∞[.

4 f (t) = eat , t ∈ [0,+∞[, a ∈ R.

5 f (t) = sen(at), t ∈ [0,+∞[, a ∈ R.

6 f (t) = et2, t ∈ [0,+∞[.

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Transformada de Laplace

Anote que as funcoes f (t), t ∈ [0,+∞[, admitem Transformada deLaplace L {f (t)}(s)

1 L {1}(s) = 1s , s > 0.

2 L {t}(s) = 1s2 , s > 0.

3 L {tn}(s) = n!sn+1 , n ∈ N, s > 0.

4 L {eat}(s) = 1s−a , s > a, a ∈ R.

5 L {sen(at)}(s) = aa2+s2 , s > 0, a ∈ R.

6 L {cos(at)}(s) = sa2+s2 , s > 0, a ∈ R.

mas f (t) = et2, t ∈ [0,+∞[, nao admite TL.

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Condicoes suficientes para a existencia de TL

funcao seccionalmente contınua

Uma funcao real de variavel real, f , diz-se seccionalmente contınua em [a, b] se existe umnumero finito de pontos t0, t1, · · · , tn, n ∈ N, com a = t0 < t1 < · · · < tn = b, tais que f econtınua em cada um dos subintervalos ]ti−1, ti [, i = 1, · · · , n, e existem (e sao finitos) oslimites laterais

limt→t−

i

f (t), i = 1, · · · , n e limt→t+

i

f (t), i = 0, · · · , n − 1.

Diz-se que f e seccionalmente contınua em [0,+∞[ se f e seccionalmente contınua em [0, b],para todo o b ∈ R+.

Funcao seccionalmente contınua em [a, b] Funcao que nao e seccionalmente contınua em [a, b]

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Condicoes suficientes para a existencia de TL

funcao de ordem exponencial

Uma funcao f , real de variavel real, diz-se de ordem exponencial (quando t →∞) seexistem T > 0 e M, c ∈ R+

0 , tais que

|f (t)| ≤ M ect , para todo o t ≥ T .

Funcao de ordem exponencial

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Condicoes suficientes para a existencia de TL

Teorema [Existencia da Transformada de Laplace]

Seja f uma funcao real de variavel real seccionalmente contınua em[0,+∞[ e de ordem exponencial quando t →∞, i.e.

∃ T > 0, M, c ∈ R+0 : |f (t)| ≤ M ect , ∀ t ≥ T .

Entao existe a transformada de Laplace de f definida, pelo menos, em]c,+∞[.

Nota: Duas funcoes podem ter a mesma TL. Por exemplo, f (t) = 1 e

g(t) =

1, t 6= 1 e t 6= 2;2, t = 1;0, t = 2.

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Propriedades

Proposicao [Linearidade]

Sejam f e g duas funcoes para as quais existe TL. Suponhamos queL {f (t)} esta definida para s > a e que L {g(t)} esta definida paras > c. Entao, para quaisquer α, β ∈ R, a funcao αf + βg admitetransformada de Laplace para s > max(a, c) e

L {(αf + βg)(t)} = αL {f (t)}+ βL {g(t)}.

Exemplo

1 sinh(at) = 12 (eat − e−at) seno hiperbolico

2 cosh(at) = 12 (eat + e−at) coseno hiperbolico

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Propriedades

Na proposicao seguinte sao apresentadas as transformadas de Laplace, e os respectivosdomınios, de algumas funcoes.

Proposicao

1 Para a ∈ R, L {a}(s) =a

s, s > 0;

2 Para n ∈ N, L {tn}(s) =n!

sn+1, s > 0;

3 L {t−1/2}(s) =

√π

s, s > 0;

4 Para a ∈ R, L {eat}(s) =1

s − a, s > a;

5 Para a ∈ R, L {sin at}(s) =a

s2 + a2, s > 0;

6 Para a ∈ R, L {cos at}(s) =s

s2 + a2, s > 0;

7 Para a ∈ R, L {sinh at}(s) =a

s2 − a2, s > |a|;

8 Para a ∈ R, L {cosh at}(s) =s

s2 − a2, s > |a|.

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Propriedades

Exercıcio

1 L {−e2t + 3 cos(5t)}

2 f (t) = 2 sen(3t) + t − 5e−t .

3 f (t) = t10 + sen( t5 ) + 5 cos2(t).

4 f (t) = 2 sinh(3t) + 5t2.

5 f (t) = 2 sen(2t) + 3 cosh(3t).

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Propriedades

Proposicao [da primeira translacao - deslocamento na transformada]

Seja f uma funcao real definida em [0,+∞[ que admite transformada deLaplace, F (s), definida para s ∈ DF . Entao, para a ∈ R,

L {eat f (t)} = F (s − a),

definida para s tal que s − a ∈ DF .

Exercıcio

1 L {e2t sin t + 4 sin2 t}

2 f (t) = e−2t sinh(−√

3 t)

3 f (t) = e2t cos(5t)

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Propriedades

Proposicao [da segunda translacao - transformada do deslocamento]

Seja f uma funcao real definida em [0,+∞[ que admite transformada deLaplace, F (s), definida para s ∈ DF . Entao, para a ∈ R,

L {Ha(t) f (t − a)} = e−asF (s), s ∈ DF ,

onde Ha e a funcao de Heaviside associada ao no real a:

Ha(t) =

{0, t < a,1, t ≥ a.

Exercıcio

1 f (t) =

{0, t < 2,2(t − 2)2, t ≥ 2.

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Propriedades

Proposicao

Sejam a ∈ R e f uma funcao definida em [0,+∞[ e integravel em [0, b],para b > 0, que admite transformada de Laplace, F (s), definida paras > sf . Entao, para s > sf ,

L {f (at)}(s) =1

aF (

s

a).

Exercıcio

L {sin(2√

7 t)}.

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Propriedades

No resultado seguinte veremos como calcular derivadas de transformadasde Laplace.

Proposicao [derivada da transformada]

Sejam n ∈ N, f uma funcao contınua em [0,+∞[ e de ordem exponencial,que admite transformada de Laplace, F (s), definida para s > sf . Entao,para s > sf ,

L {tn f (t)} = (−1)nF (n)(s).

Exercıcio

L {t e−4t sin t}

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Propriedades

Vejamos agora como sao as transformadas de Laplace de derivadas.

Proposicao [transformada da derivada]

Sejam n ∈ N e f uma funcao real de classe Cn−1 em [0,+∞[.Suponhamos que as funcoes f , f ′, · · · , f (n−1) sao de ordem exponencial(|f (i)(t)| ≤ Mect , t ≥ T para alguns c,M e T > 0; i = 0, · · · , n − 1) eque a derivada f (n) de ordem n de f e seccionalmente contınua em[0,+∞[. Entao existe a transformada de Laplace de f (n) e, para s > c,

L {f (n)(t)} = snL {f (t)} − sn−1f (0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0).

Em particular

L {f ′(t)} = sL {f (t)} − f (0),

L {f ′′(t)} = s2L {f (t)} − sf (0)− f ′(0).

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Propriedades

Exercıcio

1 Sabendo que f ′′(t) + f (t) = sen(2t), f (0) = 2, f ′(0) = 1, determineF (s) = L {f (t)}(s).

2 Determine F (s) = L {cos2(t)}(s).

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Propriedades

Veremos de seguida como se calculam transformadas de Laplace de certo tipo de integrais.

Sejam f e g funcoes reais seccionalmente contınuas em [0,+∞[. O produto de convolucao de f e g e a funcao real definida por

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f (τ)g(t − τ) dτ, t ≥ 0.

Teorema

Sejam f e g funcoes reais seccionalmente contınuas em [0,+∞[, de ordem exponencial. Entao

L{f ∗ g} = F (s) G(s)

onde F (s) = L{f (t)} e G(s) = L{g(t)}.

Corolario

Seja f uma funcao real seccionalmente contınua em [0,+∞[ e de ordem exponencial, admitindo transformada de Laplace F (s),definida em DF . Entao

L

{∫ t

0

f (τ) dτ

}=

F (s)

s, s > 0 e s ∈ DF .

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Transformada de Laplace inversa

Recordemos que: dada uma funcao f : [0,+∞]→ R a sua transformada deLaplace, se existir, e uma funcao de variavel s definida por

F (s) =

∫ +∞

0

e−st f (t) dt,

para os valores de s para os quais este integral improprio converge. Vimos que sef for seccionalmente contınua e de ordem exponencial entao existe atransformada de Laplace de f , F (s) = L {f (t)}.

Transformada de Laplace inversa

Consideremos agora o problema inverso: dada uma funcao F , na variavel s,existira uma funcao f (t) tal que F (s) = L {f (t)}? Pode existir ou nao. A funcaof , se existir, diz-se a transformada de Laplace inversa de F e escreve-sef (t) = L −1{F (s)}.

Notemos que a transformads de Laplace inversa de uma funcao F (s) pode nao serunica. Pode acontecer que L {f1(t)} = L {f2(t)} com f1 6= f2. No entanto, se f1e f2 forem contınuas em [0,+∞[ e L {f1(t)} = L {f2(t)}, entao f1 = f2 em[0,+∞[.

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Propriedades

Proposicao

Sejam f e g duas funcoes seccionalmente contınuas em [0,+∞[ tais queL {f (t)} = F (s) = L {g(t)} para s > α, α ∈ R. Se f e g sao contınuasno ponto t ∈ R+, entao f (t) = g(t).

No calculo de transformadas de Laplace inversas e util o seguinte resultado.

Proposicao

Sejam F e G funcoes que admitem transformadas de Laplace inversas esejam α, β ∈ R. Entao

L −1{αF (s) + βG (s)} = αL −1{F (s)}+ βL −1{G (s)}.

E tambem o resultado.

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Propriedades

Proposicao

Se F admite transformada de Laplace inversa, entao F (s − a) tambemadmite transformada de Laplace inversa para todo a ∈ R e

L −1{F (s − a)} = eatL −1{F (s)}.

Exercıcio

1 L −1

{3

s2 + 3s − 10

}.

2

y ′′ + y = ty(0) = 1y ′(0) = 2

, t ≥ 0.

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