AULA 2 Representação de Sistemas a Dados Amostrados

A Transformada Z

Função de Transferência Discreta

Profa. Mariana Cavalca

1ºSem/2015

Breve Histórico

• Primeiros trabalhos – Década de 40 com Nyquist e

Shannon

• Transformada Z (Análogo da Transformada de Laplace) –

Ragazzini e Zadeh em 1952

Nyquist (1889-1976) Shannon (1916-2001) Ragazzini (1912-1988) Zadeh (1921)

Sinais de Tempo Contínuo x Tempo Discreto

Equação Diferencial Equação a Diferenças

Equação Discreta ou Equação a Diferenças

• y(k) = Número de Bactérias

• a = taxa de reprodução

• b = taxa de mortalidade

y(k+1) = (a-b)y(k)

y(k+1) + (b-a)y(k) = 0 ->

Equação Discreta (ou a

diferenças) de Primeira Ordem

Não-Forçada

Sistemas Digitais x Sistemas a Dados Amostrados

Sinais de Tempo Discreto

• Tais sinais são representados por sequências numéricas.

Por exemplo: x(k) = {..., x(-2), x(-1), x(0), x(1), x(2),...}

É importante notar que x(k) só é definida para k inteiro.

k

x(k)

Exemplos de Sequências

• Sequência Amostra Unitária ou Impulso Discreto

• δ(k) = 0, k ≠ 0

• δ(k) = 1, k = 0

k

δ(k)

1

Exemplos de Sequências

• Sequência Degrau Unitário

• u(k) = 1, k ≥ 0

• u(k) = 0, k < 0

k

u(k)

1

Exemplos de Sequências

• Temos a seguinte relação entre o impulso discreto e o

degrau discreto:

• u(k) = δ(k−i)∞i=0 , ou seja, um somatório de impulsos

deslocados,

• Ou ainda,

• δ(k) = u(k) – u(k-1), ou seja, uma subtração de sinais do

tipo degrau deslocados.

Exemplos de Sequências

• Sequência qualquer

• x = x(k)δ(k−i)∞i=0

k

x

Resposta ao Impulso de Sistemas Discretos

• Conceito similar ao caso contínuo; neste caso é uma

sequência de ponderação.

• Exemplo:

y(k) + a1y(k-1)+a2y(k-2) = b0u(k)

Considere ainda que tal sistema está inicialmente relaxado

(y(k)=0, k<0) e que u(k) seja a função Delta de Kronecker,

isto é,

k

δ(k)

1 δ(k) = 0, k ≠ 0

δ(k) = 1, k = 0

Resposta ao Impulso de Sistemas Discretos

Resulta,

• Para k=0

y(0) + a1y(-1)+a2y(-2) = b0u(0)

y(0) = b0

• Para k=1

y(1) + a1y(0)+a2y(-1) = b0u(1)

y(1)+a1y(0) = 0

y(1)=-a1b0

• E assim sucessivamente...

Resposta ao Impulso de Sistemas Discretos

• A resposta {g(k), k≥0}={y(k), k≥0} obtida por tal entrada

u(k) é denominada “sequência de ponderação” do

sistema considerado. Já que, neste caso, o sistema é dito

relaxado inicialmente, g(k)=0, k<0.

• Para uma entrada u(k) qualquer:

y(k) = g(k−i)u(i)∞𝐢=𝟎 , k = 0, 1, 2, 3, ...

Somatório de Convolução!

Resposta ao Impulso de Sistemas Discretos

• Para sistemas não antecipatórios, temos que:

y(k) = g(k−i)u(i)𝐤𝐢=𝟎 , k = 0, 1, 2, 3, ...

Sistemas Discretos Lineares Invariantes no Tempo

• Podemos definir que um dado processo, nada mais é

matematicamente do que uma transformação, ou um

operador, que mapeia uma sequência de entradas em

uma sequência de saídas:

• y(k) = T[u(k)]

u(k) y(k)

T

Sistemas Discretos Lineares Invariantes no Tempo

• Neste caso, a resposta ao impulso é dada por:

y(k) = g(k) = T[δ(k)]

• Para um sistema invariante no tempo:

y(k) = T[δ(k-n)] = g(k-n)

• Para um sistema linear:

T[a1u1(k)+a2u2(k)] = a1T[u1(k)] + a2T[u2(k)]

Sistemas Discretos Lineares Invariantes no Tempo

• Finalmente, para um dado sistema discreto linear,

invariante no tempo e inicialmente não-relaxado:

y(k) = g(i)u(k−i)∞𝑖=−∞ = g(k−i)u(k)∞

𝑖=−∞

• Para o caso realizável e inicialmente relaxado:

y(k) = g(i)u(k−i)𝑘𝑖=0 = g(k−i)u(k)𝑘

𝑖=0

Exemplo 1

• Seja a seguinte resposta ao impulso unitário: g(k) = ak. Determine a equação a diferenças (caso inicialmente relaxado).

Solução:

y(k) = g(i)u(k−i)∞𝑖=0 = aiu(k−i)∞

𝑖=0

y(k) = aiu(k−i)∞𝑖=0 = a ai−1u(k−i)∞

𝑖=0

y(k) = a ai−1u(k−i)∞𝑖=0 = a ai−1u(k−i)∞

𝑖=1 + aa0−1u(k−0) = a ai−1u(k−i)∞𝑖=1 + u(k)

Exemplo 1

y(k) = a ai−1u(k−i)∞𝑖=0 = a ai−1u(k−i)∞

𝑖=1 + aa0−1u(k−0) =

a ai−1u(k−i)∞𝑖=1 + u(k)

Para j = i - 1 temos i = j + 1

y(k) = a ai−1u(k−i)∞𝑖=1 + u(k) = a aju(k−j−1)∞

j=0 + u(k)

y(k) = a aju(k−j−1)∞j=0 + u(k)

y(k) = a y(k-1) + u(k)

Exemplo 2

• Determine a resposta ao impulso dada a equação a

diferenças obtida no Exemplo 1.

Solução: Seja u(k) = δ(k),

Para k=0

y(0) = ay(-1) + u(0)

y(0) = 1 = g(0)

Para k=1

y(1) = ay(0) + u(1)

y(1) = a = g(1)

Exemplo 2

Para k=2

y(2) = ay(1) + u(2)

y(2) = a2 = g(2)

Para k=k

y(k) = ay(k) + u(k)

y(k) = ak = g(k)

Logo, g(k) = ak

A Transformada Z

• Trabalho Pioneiro: “The Analysis of

Sampled-Data Systems” - Ragazzini e

Zadeh em 1952;

• Análogo discreto da Transformada de

Laplace;

• Transforma uma sequência de números

em uma função da variável complexa z;

• Sugestão para Leitura: Artigo de

Tonidandel publicado no CBA 2010

intitulado: “Decifrando a Transformada Z”.

Ragazzini (1912-1988)

Zadeh (1921)

Definição

• A Transformada Z de um sinal discreto y(k) representada

por Z[y(k)] = Y(z) é definida como sendo:

Z[y(k)] = y(k)z−k∞k=−∞

Obs. Caso o sinal y(.) tenha sido obtido amostrando um

sinal contínuo com período de amostragem T, temos:

Z[y(k)] = y(kT)z−k∞k=−∞

Exemplos

• Sequência Amostra Unitária

Z[δ(k)] = δ(k)z−k∞k=−∞ = 1

• Sequência Degrau Unitário

Z[u(k)] = 1z−k∞k=−∞ = 1 + z−1 + z−2 + ...

Por progressão Geométrica

U(z) = 1

1−z−1 = 𝑧

𝑧−1

Propriedades da Transformada Z

Considere y(k) gerado por um sistema invariante no tempo

e relaxado (y(k) = 0 para k<0),

a) Linearidade

Z[ay(k) + bw(k)] = (ay(k)+bw(k))z−k∞k=0 = ay(k)z−k∞

k=0

+ bw(k)z−k∞k=0 = a y(k)z−k∞

k=0 + b w(k)z−k∞k=0 =

aZ[y(k)] + bZ[w(k)]

Propriedades da Transformada Z

b) Translação

Z[y(k+m)] = z−mZ[y(k)]

Tente provar! Dica: Livro do Prof. Elder!

c) Escalonamento no Plano z

Z[aky(k)] = aky(k)z−k∞k=0 = y(k)(a−1z)−k∞

k=0 = Y(a−1z)

Propriedades da Transformada Z

d) Multiplicação por k

Z[ky k ] =−zdZ[y k ]

dz

c) Divisão por k

Z[y k /k] = y(k)/kz−k∞

k=0

Tente provar! Dica: Livro do Prof. Elder!

Teorema dos Limites Temporais

• Teorema do Valor Inicial

Se a função y(k) possuir Y(z) como transformada e o limite

limz→∞Y(z) existir então y(0) = lim

z→∞Y(z) .

Prova:

Y(z) = y(k)z−k∞k=0 = y(0) + y(1) z−1 + ...

Logo, limz→∞Y(z) = lim

z→∞(y(0) + y(1) z−1 + ... ) = y(0)

Teorema dos Limites Temporais

• Teorema do Valor Final

Se a transformada z de y(k) for tal que (1- z−1)Y(z) seja

analítica em z ≥ 1, isto é, todos os polos de (1- z−1)Y(z)

estejam dentro do círculo unitário, com possível exceção

de um único polo em z=1, então:

y(∞) = limk→∞y(k) = lim

z→1((1− z−1)Y(z)).

Tente provar! Dica: Livro do Prof. Elder!

Função de Transferência Discreta

• Para sistemas discretos lineares invariantes no tempo

com entrada unilateral à direita, ou seja,

u(k) = 0 para k<0

• Temos:

y(k) = u(n)h(k − n) ∞n=0

onde h(.) é a resposta ao impulso de um dado processo.

Função de Transferência Discreta

• Logo,

Y(z) = y(k)z−k∞k=0 = u(n)h(k − n) ∞

n=0 z−k∞k=0

• Para sistemas causais, pode-se escrever:

Y(z) = h(k − n)z−(k−n) u(n) ∞n=0 z−n∞

k=n

Y(z) = h(j)z−j u(n) ∞n=0 z−n∞

j=0

Função de Transferência Discreta

Y(z) = h(j)z−j u(n) ∞n=0 z−n∞

j=0

Portanto: Y(z) = H z U(z) (convolução)

• H(z), a transformada z da resposta ao impulso é

chamada de função de transferência discreta.

H(z) U(z) Y(z)

Operador Atraso

• Por definição, a função de transferência (contínua e

discreta) considera que as condições iniciais são nulas.

• Em tal situação, é possível se definir o operador atraso,

tal que:

Z[x(k)] = z−nZ[x(k+n)]

• Tal operador será muito útil futuramente.

Resolução de Equações a Diferenças

• Podem ser resolvidas por meio de recursões. Exemplo:

com e

...

Questão: para calcular para k=1000, temos que calcular

todos os x(k) anteriores...

x(k 2) 3x(k 1) 2x(k ) 0 x(0 ) 0 x(1) 1

k 0 x(2) 3x(1) 2x(0) 0 x(2) 3

k 1 x(3) 3x(2) 2x(1) 0 x(3) 7

Resolução de Equações a Diferenças

• A Transformada Z permite obter uma solução não-

recursiva:

[ x(k 2) 3x(k 1) 2x(k ) 0 ]

2 2z X(z) z x(0 ) zx(1) 3zX(z) 3zx(0 ) 2X(z) 0

2 2(z 3z 2) X(z) z x(0 ) zx(1) 3zx(0 )

2(z 3z 2)X(z) z

Resolução de Equações a Diferenças

• A Transformada Z permite obter uma solução não-

recursiva:

por frações parciais:

2(z 3z 2)X(z) z

2

zX(z)

z 3z 2

z zX(z)

z 1 z 2

Resolução de Equações a Diferenças

Resolução de Equações a Diferenças

• Pela tabela de transformada Z (ver site professor):

• Ou simplificando: para k>0,

(Solução Recursiva!!)

z zX(z)

z 1 z 2

k kx(k ) ( 1) u(k ) ( 2 ) u(k ),

k kx(k ) ( 1) ( 2 )

Função de Transferência Discreta

• Seja um sistema linear invariante no tempo da forma:

• Para condições iniciais nulas, resultará na Função de

Transferência Discreta:

1 n 0 1 my(k ) a y(k 1) a y(k n) b u(k ) b u(k 1) b u(k m)

1 m0 1 m

1 n1 n

b b z b zY(z)

U(z) 1 a z a z

Função de Transferência Discreta

• Tal função de transferência pode ser reescrita como:

Ou,

• Nas quais, a ordem do sistema é o grau do denominador;

• Note que o grau do numerador deve ser menor ou igual

ao grau do denominador para sistemas causais.

n m m m 10 1 m

n n 11 n

z (b z b z b )Y(z),n m

U(z) z a z a

m m 10 1 m

m n n n 11 n

b z b z bY(z),n m

U(z) z (z a z a )

A Transformada Z inversa

• Exemplo:

, para

Logo,

Y(z) 10

U(z) z 2

zU(z)

z 1

10zY(z)

(z 1)(z 2 )

A Transformada Z inversa

1) Método de recorrência temporal

1

1

10 zG(z) *

z 2 z

1

1

Y(z) 10zG(z)

X(z) 1 2z

1 1Y(z)(1 2z ) 10 z X(z)

y(k ) 2y(k 1) 10x(k 1) Para FT as

ci são

nulas!

A Transformada Z inversa

2) Método da expansão em frações parciais

Pela tabela de transformada Z:

10z 10zY(z)

z 1 z 2

ky(k ) 10( 1 2 )

A Transformada Z inversa

3) Método da expansão em séries de potência

• Definição de transformada z:

• Expandindo Y(z) em séries de potência , os valores de

y(k) serão dados pelos coeficientes de cada termo:

k 1 2

0 1 2k 0

Y(z) y(k )z y y z y z

1z

1 2 310zY(z) 10z 30z 70z

(z 1)(z 2 )

AULA 2 Bom estudo!!!!

Profa. Mariana Cavalca

1ºSem/2015