Transformada de Laplace.ppt

8/10/2019 Transformada de Laplace.ppt

1/116

La Transformada de Laplace

CAPTULO 4

Read Me First
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/read%20me%20first/read%20me.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/read%20me%20first/read%20me.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/read%20me%20first/read%20me.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/read%20me%20first/read%20me.htm


2/116

Contenidos

4.1 Definicin de la transformada de Laplace

4.2 Transformadas inversas y transformadasde derivadas

4.3 Propiedades operacionales

4.4 Propiedades operacionales adicionales

4.5 La funcin delta de Dirac 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales


3/116

4.1 Definicin de la Transformada deLaplace

Definicin bsica

Sif(t)est definida para t 0,entonces

(1)

b

b

dttftsKdttftsK00

)(),()(),( lim

Sif(t)est definida para t 0,entonces(2)

es la Transformada de Laplace def.

EDFINICIN 4.1

Transformada de Laplace

0 )()}({ dttfetf st

L


4/116

Evaluar L{1}

Solucin:Aqu tenemos en cuenta que los lmites deintegracin son 0 y .De la definicin

Como e-st0cuandot ,paras > 0.

Ejemplo 1

sse

se

dtedte

sb

b

bst

b

b st

b

st

11limlim

lim)1()1(

0

00

L


5/116

Evaluar L{t}

Solucin

Ejemplo 2

2

00

111}1{L

1

1}{

ssss

dte

ss

tet st

st

L


6/116

Evaluar L{e-3t}

Solucin

Ejemplo 3

3,3

1

3

}{

0

)3(

0

)3(

0

33

ss

s

e

dtetdeeets

tststtL


7/116

Evaluar L{sin2t}

Solucin

Ejemplo 4

00

0

2cos22sin

2sin}{sin2

dttess

te

dttet

stst

st

L

0

0,2cos2

sdttes

st


8/116


9/116

T.L. is Linear

Podemos comprobar fcilmente que

(3))()(

)}({)}({

)}()({

sGsFtgtf

tgtf

LL

L


10/116

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

TEOREMA 4.1

Transformadas de algunasFunciones bsicas

s

1}1{ L

,3,2,1,!}{

1 nsntn

nL

ase ta

1}{L

22

}{sin

ks

ktk

L 22}{cos

ks

stk

L

22){sin

ks

ktk

L 22

}{coshks

stk

L


11/116

Se dice quef(t)es de orden exponencial,

Si existen constantes c, M > 0, yT > 0,tales que

|f(t)|Mect para todo t >T. Fig 4.1, 4.2.

EDFINICIN 4.2

Orden Exponencial


12/116

Fig 4.1


13/116

Fig 4.2


14/116

Eejmplos Fig 4.3

tet || TtMetct

n

,tet 2|cos2|


15/116

Fig 4.4

Una funcin como no es de ordenexponencial, observe Fig 4.4

2te


16/116

Sif(t) una funcin continua por partes en [0, ) y de

orden exponencial c, entonces existe L{f(t)}para s > c.

TEOREMA 4.2

Condiciones Suficientespara la Existencia


17/116

Ejemplo 5

Hallar L{f(t)}para

Solucin

0,22

30)}({

3

3

3

3

0

sse

se

dtedtetf

sst

ststL

3,2

30,0)(

t

ttf


18/116

4.2 Transformadas inversas y Transformadas dederivadas

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

TEOREMA 4.3

Algunas transformadas inversas

s

11 1L

,3,2,1,

!

1

1

ns

n

t nn

L

ase

ta 11L

22

1sinks

ktk L

22

1cosks

stk L

22

1sinhks

ktk L

22

1coshks

stk L


19/116

Ejemplo 1

Hallar las transformadas inversas de

(a) (b)

Solucin

(a)

(b)

5

1 1

s

L

7

12

1

s

L

4

5

1

5

1

24

1!4

!4

11t

ss

LL

tss

7sin7

1

7

7

7

1

7

12

1

2

1

LL


20/116

L -1tambin es lineal

Podemso comprobar fcilmente que

(1))}({)}({

)}()({

11

1

sGsF

sGsF

LL

L


21/116

Hallar

Solucin

(2)

Ejemplo 2

4

622

1

s

sL

4

622

1

s

sL

4

2

2

6

42

4

6

4

2

2121

22

1

ss

s

ss

s

LL

L

tt 2sin32cos2


22/116

Ejemplo 3

Hallar

SolucinUsando fracciones parciales

Luego

(3)

Si ponemos s = 1, 2, 4,entonces

)4)(2)(1(96

2

1

sssssL

)4)(2)(1(

962

sss

ss

)2)(1()4)(1()4)(2(

962

ssCssBssA

ss

421

s

C

s

B

s

A


23/116

(4)As

(5)

30/1,6/25,5/16 cBA

Ejemplo 3 (2)

)4)(2)(1(

9621

sss

ssL

ttt eee 42

30

1

6

25

5

16

4

1

30

1

2

1

6

25

1

1

5

16 111

sssLLL


24/116

Transformadas de Derivadas

(6)

(7)

(8)

)}({ tfL

000)()()( dttfestfedttfe ststst

)}({)0( tfsf L

)0()()}({ fssFtf L)}({ tf L

000)()()( dttfestfedttfe ststst

)}({)0( tfsf L)0()]0()([ ffssFs

)0()0()()}({ 2 fsfsFstf L

)0()0()0()()}({

23

ffsfssFstf L


25/116

Si son continuas en [0, ) y son de

orden exponencial y sif(n)(t) es continua por partes en

[0, ), entonces

donde

TEOREMA 4.4

Transformada de una derivada)1(,,', nfff

.)}({)( tfsF L

)0()0()0()(

)}({

)1(21

)(

nnnn

n

ffsfssFs

tf

L


26/116

Solucin de EDO lineales

Luego

(9)

(10)

)(01

1

1 tgyadt

ydadt

yda n

n

nn

n

n

1)1(

10 )0(,)0(,)0( n

n yyyyyy

)}({}{01

1

1 tgyadt

yda

dt

yda

n

n

nn

n

n LLLL

)]0()0()([)1(1

nnn

n yyssYsa

)(

)(

)]0()0()([

0

)2(211

sG

sYa

yyssYsa nnnn


27/116

Tenemos

(11)

donde

)()()()( sGsQsYsP

)(

)(

)(

)()(

sP

sG

sP

sQsY

01

1)( asasasP n

nn

n


28/116

Find unknown

that satisfies

aDE and Initial

condition

)(tyTransformed DE

becomes an

algebraic equation

In )(sY

Apply Laplace

transform L

Solve transformed

equation for )(sYSolution of

original IVP

)(ty Apply Inversetransform 1L


29/116

Resolver

Solucin

(12)

(13)

Ejemplo 4

6)0(,2sin133 ytydtdy

}2{sin13}{3 tydt

dyLLL

4

26)(36)(

2

ssYssY

4

26

6)()3( 2 ssYs

)4)(3(

506

)4)(3(

26

3

6)(

2

2

2

ss

s

ssssY


30/116

Podemos hallar A = 8,B = 2,C = 6As

43)4)(3(

50622

2

s

CBs

s

A

ss

s

)()4(506 22 CBssAs

4

62

3

8

)4)(3(

506)(

22

2

s

s

sss

ssY

4

234

23

18)(2

1

2

11

ss

ss

ty LLL

ttety t 2sin32cos28)( 3

Ejemplo 4 (2)


31/116

Ejemplo 5

ResolverSolucin

(14)

As

5)0(',1)0(,2'3"4 yyeyyy t

}{}{23 42

2tey

dt

dy

dt

yd

LLLL

4

1

)(2)]0()([3)0()0()(2

ssYyssYysysYs

4

12)()23( 2

s

ssYss

)4)(2)(1(96

)4)(23(1

232)(

2

22 sssss

sssssssY

ttt eeesYty 421

30

1

6

25

5

16)}({)( L


32/116

Sif continua por partes en [0, ) y deorden exponencial, entonces limsL{f} = 0.

TEOREMA 4.5

Comportamiento de F(s) cuando s

4.3 Propiedades operacionales

Demostracin

0

|)(|}{

0

)(

0

0

s

tcsctst

st

cs

M

cs

eMdteeM

dttfefL


33/116

Demostracin

L{eatf(t)} =e-steatf(t)dt

=e-(s-a)tf(t)dt= F(sa)

Si L{f} =F(s) y acualquier nmero real, entonces

L{eatf(t)} =F(sa),Fig 4.10.

TEOREMA 4.6

Primer teorema de traslacin

assat tfLtfe )}({)}({L


34/116

Fig 4.10


35/116

Hallar las T.L. de(a) (b)

Solucin

(a)

(b)

Ejemplo 1

}{ 35 te tL }4cos{ 2 te tL

45

45335

)5(

6!3}{}{

sstte

ssss

tLL

16)2(

2

16

}4{cos}4cos{

22

2

)2(2

s

s

s

s

tte

ss

sst LL


36/116

Forma inversa del Teorema 4.6

(1)

donde

)(})({)}({ 11 tfesFasF atass

LL

.)}({)( 1 sFtf L


37/116

Hallar la T.L. inversa de

(a) (b)

Solucin

(a)

teenmosA = 2,B = 11

(2)

Ejemplo 2

2

1

)3(

52

s

sL

64

3/52/2

1

ss

sL

22 )3(3)3(

52

s

B

s

A

s

s

BsAs )3(52

22 )3(

11

3

2

)3(

52

sss

s


38/116

Ejemplo 2 (2)

And

(3)

De (3), tenemos

(4)

2

11

2

1

)3(

111

3

12

)3(

52

sss

sLLL

tees

s tt 332

1

112)3(

52

L


39/116

Ejemplo 2 (3)

(b) (5)

(6)

(7)

2)2(

3/52/

64

3/52/22

s

s

ss

s

2)2(

1

3

2

2)2(

2

2

1

64

3/52/

2

1

2

1

2

1

ss

s

ss

s

LL

L

22

1

22

1

22

232

221

ssss sss LL

tete tt 2sin

3

22cos

2

1 22


40/116

Resolver

Solucin

Ejemplo 3

6)0(',2)0(,9'6" 32 yyetyyy t

)(9)]0()([6)0()0()(2 sYyssYysysYs3)3(

2

s

)()96( 2 sYss 3)3(252 s

s

)()3( 2 sYs3)3(

252

s

s

)(sY52 )3(

2

)3(

52

ss

s


41/116

Ejemplo 3 (2)

(8)

52 )3(

2

)3(

11

3

2)( ssssY

5

1

2

11

)3(

!4

!4

2

)3(

111

3

12

)(

sss

ty

LLL

,1 3

32

1 t

ss

tes

L

t

ss

ets

34

35

1 !4

L

ttt etteety 3433

12

1112)(


42/116

Ejemplo 4Resolver

Solucin

0)0(',0)0(,16'4" yyeyyy t

)(6)]0()([4)0()0()(2 sYyssYysysYs1

11

ss

)()64( 2 sYss )1( 12

sss

)(sY)64)(1(

122

ssss

s

64

3/52/

1

3/16/1)(

2

ss

s

sssY


43/116

Ejemplo 4 (2)

tetee ttt

2sin3

22cos

2

1

3

1

6

1 22

2)2(

2

23

2

2)2(

2

2

1

11

311

61)(

2

1

2

1

11

ss

s

sssY

LL

LL


44/116

Lafuncin escaln unitaria U(t a)se define como

EDFINICIN 4.3

Funcin escaln unitario

at

at

at ,1

0,0

)(U

Fig 4.11.


45/116

Fig 4.11


46/116

Fig 4.12 muestra la grfica de (2t3)U(t1).Considerando la Fig 4.13, es la misma que

f(t) = 23U(t2) +U(t3)

Fig 4.12 Fig 4.13


47/116

Tambin una funcin del tipo

(9)es la misma que

(10)

De manera similar, una funcin del tipo

(11)

puede escribirse como(12)

atth

attg

tf ),(

0),(

)(

)()()()()()( atthattgtgtf UU

bt

btatg

at

tf

,0

),(

0,0

)(

)]()()[()( btattgtf UU


48/116

Expresar

en trminos de U(t). Fig 4.14.

Solucin

De (9) y (10), con a = 5,g(t) =20t, h(t) = 0

f(t) =20t20tU(t5)

Ejemplo 5

5,050,20)(

ttttf


49/116

Fig 4.14


50/116

Cosidere la funcin

(13)

Fig 4.15.

atatf

atatatf

),(

0,0)()( U


51/116

Ch4_51

Fig 4.15


52/116

Demostracin

Si F(s) =L{f}, y a> 0, entoncesL{f(ta)U(ta)} =e-asF(s)

TEOREMA 4.7

Segundo teorema de traslacin

dtatatfedtatatfe a sta

st

)()()()(0 UU

)}()({ atatf UL

0

)( dtatfe st


53/116

Sea v = t a, dv = dt, entonces

Sif(t) = 1,entoncesf(ta) = 1,F(s) =1/s,

(14)por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es

)}()({ atatf UL

0

)( )( dvvfe avs )}({)(0

tfedvvfee assvas L

s

eat

as

)}({UL

s

e

s

e

s

tttfss 32

31

2

)}3({)}2({3}1{2)}({

ULULLL


54/116


(15))()()}({1 atatfsFe as UL

Ej l 6


55/116

Ejemplo 6

Hallar la T.L. inversa de

(a) (b)

Solucin

(a)luego

(b)luego

se

s

21

41L

2/

2

1

9

ses

s L

tesFssFa 41 )}({),4/(1)(,2

L

)2(4

1 )2(421

tee

s

tsUL

tsFsssFa 3cos)}({),9/()(,2/ 12 L

223cos

9

2/

2

1 ttes

s sUL


56/116

Forma alternativa del Teorema 4.7 Como , entonces

Lo anterior se puede resolver. Sin embargo,lo enfocamos de otra manera.Sea u = t a,

Esto es,(16)

4)2(4)2(

22 ttt

)}2(4)2()2(4)2()2{(

)}2({

2

2

ttttt

tt

UUUL

UL

0)(

)()()}()({ duaugedttgeattg aus

a

st

UL

)}({)}()({ atgeattg as LUL


57/116

Hallar

Solucin

Con g(t) =cos t, a = , entoncesg(t + ) =cos(t + )= cost

Por (16),

Ejemplo 7

)}({cos ttUL

ss e

s

stett

1

}{cos)}({cos2

LUL


58/116

Resolver

Solucin

Hallamosf(t) = 3 cost U(t ), luego

(17)

Ejemplo 8

tt

ttf

,sin3

0,0)(

5)0(,)(' ytfyy

)()0()( sYyssY ses

s

13

2

)()1( sYs ses

s

1

35

2

sss es

se

se

sssY

11

1

1

1

2

3

1

5)(

22


59/116

Ejemplo 8 (2)Se sigue desde (15) con a = , entonces

As

(18)

Fig 4.16

)()sin(1

1,)(

1

12

1)(1

tte

stee

s

stsULUL

)()cos(

1

2

1

tte

s

s sUL

)()cos(2

3)()sin(

2

3)(

2

35)(

)( ttttteety tt UUU

)(]cossin[2

3

5

)(

tttee

ttU

tttee

tett

t

,cos2/3sin2/32/35

0,5)(


60/116

Fig 4.16


61/116

Recuerde que la ED de una viga es

(19)

Fig 4.17.

Vigas

)(4

4

xwdx

ydEI


62/116

Fig 4.17


63/116

Una viga de longitud Lse empotra en ambos extremoscomo se ilustra en la Fig 4.17. Determine la deflexinde la viga cuando la carga est dada por:

Solucin

Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) =y(L) = 0,y(0)=y(L) = 0.Por (10),

Ejemplo 9

LxL

Lxx

L

wxw

2/,0

2/0,2

1)( 0

22121)( 00 LxxL

wxL

wxw U

222

2 0 LxL

xxL

L

wU


64/116

Ejemplo 9 (2)Transformando (19) en

donde c1 = y(0),c3= y(3)(0)

222

0 1122 Lsesss

L

L

w

2

665

0

4

3

3

1

2

220)3(4

1122)(

1122)0()0(")(

Ls

Ls

esss

L

EIL

w

s

c

s

csY

esss

L

EIL

wysysYs

)0()0()0()0()( 234 yysysyssYsEI

Ejemplo 9 (3)


65/116

As

4

123

11 !3

!3

!2

!2

)(

s

c

s

c

xy

LL

2/

6

1

6

1

5

10 !5

!5

1!5

!5

1!4

!4

2/2 Lse

sss

L

EIL

wLLL

222

5

6062

55403221 L

x

L

xxx

L

EIL

w

x

c

x

c

U

Ejemplo 9 (3)


66/116

Ejemplo 9 (4)Aplicamos y(L) =y(L) = 0,entonces

As

01920

49

62

40

3

2

2

1 EI

LwLc

Lc

0960

85

2

302

21

EI

LwL

cLc

EILwcEILwc 40/9,960/23 022

01

222

5

60

80

3

1920

23)(

5540

3022

0

Lx

Lxxx

L

EIL

w

xEI

LwxEI

Lwxy

U


67/116

4.4 Propiedades Operacionales Adicionales

Multiplicando una funcin por tn

esto es,De manera similar,

)}({)()]([

)(

00

0

ttfdtttfedttfes

dttfeds

d

ds

dF

stst

st

L

)}({)}({ tfds

dttf LL

)}({)}({

)}({)}({)}({

2

2

2

tfds

dtf

ds

d

ds

d

ttfttfttft

LL

LLL


68/116

Si F(s) =L{f(t)}y n = 1, 2, 3, ,entonces

TEOREMA 4.8

Derivadas de una transformada

)()1()}({tn

sF

ds

dtf

n

nnL


69/116

Ejemplo 1

Hallar L{t senkt}

Solucin

Conf(t) = senkt, F(s) =k/(s2+k2), luego

22222

)(

2

}{sin}sin{

ks

ks

ks

k

ds

d

ktdsdktt

LL


70/116

Enfoques diferentes

Teorema 4.6:

Teorema 4.8:

23

233

)3(

11}{}{

sstte

tsts

tLL

2

233

)3(

1)3(

3

1}{}{

ss

sds

de

ds

dte tt LL

Ejemplo 2


71/116

Resolver

Solucin

Del ejemplo 1,

As

Ejemplo 2

1)0(',0)0(,4cos16" xxtxx

222

2

2

)16(16

1

)(

161)()16(

s

s

ssX

s

ssXs

kttks

kssin

)(

2222

1

L

ttst

s

s

stx

4sin

8

1sin

4

1

)16(

8

8

1

16

4

4

1)(

22

1

2

1

LL


72/116

Convolucin

Un producto especial, f * g se define mediante alintegral

y se llama convolucin def y g.La convolucin es una funcin de t, por ejemplo:

Observacin: f * g = g * f

(2))()(*0

tdtgfgf

(3))cossin(2

1

)sin(sin0

t

tt

ett

dtete


73/116

Demostracin

Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y

de orden exponencial, entonces

TEOREMA 4.9 Teorema de convolucin

)()()}({)}({}{ sGsFtgtfgf LLL

0

)(

0

0 0

)(

00

)()(

})()(

)()()()(

dgedf

ddgfe

dgedfesGsF

s

ss


74/116

manteniendo fija, let t = +, dt = d

Se realiza al integracin en la regin sombreadade la Fig 4.32.Cambiando el orden de integracin:

dttgedfsGsF s )()()()(0

}{

)()(

)()()()(

00

00

gf

dtdtgfe

dtgfdtesGsF

tst

tst

L


75/116

Fig 4.32


76/116

Ejemplo 3

Hallar

Solucin

Original statement

= L{et* sin t}

t dte0

)sin( L

)1)(1(

1

1

1

1

122

ssss


77/116


L-1{F(s)G(s)} =f * g (4)

Mire en la tabla del Apndice III,

(5)2223

)(

2}cos{sin

ks

kktktkt

L

Ejemplo 4


78/116

Ejemplo 4Hallar

Solucin

Sea

entonces

2

2

2

1

)(

1

ks

L

22

1)()(

kssGsF

ktkks

kk

tgtf sin11)()( 221 L

(6))(sinsin1)(

102222

1

t dtkk

kksL

l ( )


79/116

Ejemplo 4 (2)

Ahora recordamos quesenA senB = (1/2)[cos(A B)cos(A+B)]

Si ponemosA = k, B= k(t ), entonces

3

02

02222

1

2

cossin

cos)2(sin

2

1

2

1

]cos)2([cos2

1

)(

1

k

ktktkt

kttk

kk

dkttkkks

t

t

L

f d d l


80/116

Transformada de una Integral

Cuando g(t) = 1,G(s) =1/s, entonces

(7))(

)(0

s

sFdf

t L

(8))(

)( 10

s

sFdf

tL


81/116

Ch4_81

Eejmplos:

ttdss

ttdss

tdss

t

t

t

cos12

1

)sin()1(

1

sin)cos1()1(

1

cos1sin)1(

1

2

023

1

022

1

02

1

L

L

L

E i I l d V l


82/116

Ecuacin Integral de Volterra

(9))()()()(0

tdthftgtf

Ejemplo 5


83/116

Ejemplo 5

Resolver

Solucin

Primero, h(t-) =e(t-), h(t) =et.De (9)

Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales

)(for)(3)(0

2 tfdefettft tt

1

1)(

1

123)(

3

s

sF

ss

sF

1

2166)(

43

sssssF

tett

sssstf

213

1

121!3!23)(

32

11

4

1

3

1LLLL

Ci i S i


84/116

Circuitos en Serie

De la Fig 4.33, tenemos

la cual se llama ecuacin integrodiferencial.

(10))()(1

)(0

tEdiC

tRidt

diL

t

Fig 4.33

Ej l 6


85/116

Ejemplo 6

Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1h,R =2 ,C = 0.1f, i(0) = 0,y

E(t) =120t120tU(t1)

SolucinUsando los datos, (10) se convierte

Y entonces

)1(120120)(10)(21.00

ttditidtdi t

U

ss es

esss

sIsIssI

111120

)(10)(2)(0.1

22

Ej l 6 (2)


86/116

Ejemplo 6 (2)

s

ss

s

ss

ese

se

s

essss

esesssssI

22

2

222

)10(

1

)10(

10/1

10

100/1

100/1

)10(

10/1

10

100/11/1001200

)10(

1

)10(

1

)10(

1

1200)(

)1()1(1080120)]1([12)]1(1[12)(

)1(1010

)1(10

tettetetti

tt

t

U

UU

Ej l 6 (3)


87/116

Ejemplo 6 (3)

Escrita como una funcin definida por partes:

(11)

1,)1(10801201212

10,1201212)(

)1(1010)1(1010

1010

tetteee

tteeti

tttt

tt

Fi 4 34


88/116

Fig 4.34

P i di F ti


89/116

Periodic Function

f(t +T) =f(t)

Sif(t) is una funcin peridica con perodo T, entonces

TEOREMA 4.10Transformada de una funcin peridoca

T st

sT dttfe

etf

0)(

1

1)}({L


90/116

Demostracin

Use el mismo mtodo de transformacin

T

stT st dttfedttfetf )()()}({0

L

T st

sT

sTT st

sT

T

st

dttfee

tf

tfedttfetf

tfedttfe

0

0

)(1

1)}({

)}({)()}({

)}({)(

L

LL

L

Ej l 7


91/116

Halle la T. L. de la funcin en Fig 4.35.Solucin

Hallamos T = 2 y

Del Teorema 4.10,

Ejemplo 7

21,0

10,1)(

t

tTE

(12))1(

11

1

1

01

1

1)}({

2

1

02

s

s

s

st

s

ess

e

e

dte

e

tE

L

Fig 4 35


92/116

Fig 4.35

Ejemplo 8


93/116

Ejemplo 8La ED

(13)Hallar i(t)donde i(0) = 0,E(t) es como ilustar la Fig4.35.

Solucin

(14)

Porquey

)(tERi

dt

diL

s

s

eLRss

LsI

essRIsLsI

1

1

)/(

/1)(

)1(

1)()(

sss-s

eeee

3211

1

LRs

RL

s

RL

LRss /

//

)/(

1


94/116

Ch4_94

Luego i(t)se esribe de la siguiente manera y seilustra en la Fig 4.36:

(15)

...1111)( 2

ss ee

LRssRsI

43,

32,1

21,

10,1

)(

)3()2()1(

)2()1(

)1(

teeee

teee

tee

te

ti

ttty

ttt

tt

t

Fig 4 36


95/116

Fig 4.36

4 5 La funcin delta de Dirac


96/116

4.5 La funcin delta de Dirac

Impulso UnitarioObserve la Fig 4.43(a). Est funcin se define por

(1)

donde a > 0,t0> 0. Para un valor pequeo de a, a(t t0)es una

funcin constante de gran magnitud. El

comportamiento de a(t

t0)cuando a 0, sellama impulso unitario, porque posee lapropiedad .Fig 4.43(b).1)(0 0

dttt

att

attat

a

att

tta

0

00

0

0

,0

,

2

1

0,0

)(


97/116

La funcin delta de Dirac


98/116

La funcin delta de Dirac

Esta funcin se define como(t t0) = lima0a(t t0) (2)

Las dos propiedades importantes son:

(1)

(2) ,x > t01)(0 0

x

dttt

0

0

0,0

,)(

tt

tttt


99/116

Demostracin

La Transformada de Laplace es

Para t0> 0,

TEOREMA 4.11

Transformacin de la funcin delta de Dirac

0)}({ 0st

ett L

))](()(([2

1)( 000 attatt

atta UU

(4)

2

21)}({

0

00 )()(

0

sa

eee

s

e

s

e

a

tt

sasa

st

atsats

aL


100/116

Cuando a 0,(4) es 0/0. Use la regla de LHopital,entonces (4) tiende a 1 cuando a 0.As ,

Ahora cuando t0= 0,tenemos

00

2lim

)(lim)(

0

00

0

stsasa

a

st

aa

esa

eee

tttt

LL

1)( tL

Ejemplo 1


101/116

Ejemplo 1Resolver sujeta a

(a) y(0) = 1,y(0) = 0(b) y(0) = 0,y(0) = 0Solucin(a) s2Y s + Y = 4e-2s

Asy(t) = cost + 4sen(t2)U(t2)

Como sen(t2) = sent, enonces

(5)Fig 4.44.

),2(4" tyy

1

4

1)(

2

2

2

s

e

s

ssYs

2,sin4cos

20,cos)(

ttt

ttty

Fig 4 44


102/116

Fig 4.44

Ejemplo 1 (2)


103/116

Ejemplo 1 (2)

(b)

As y(t) =4sen(t2)U(t2)

y

(6)

14)( 2

2

sesY

s

ttt

t

ttty

,sin4

20,0

)2()2sin(4)(

U

Fig 4 45


104/116

Fig 4.45

4 6 Sistemas Eds Lineales


105/116

4.6 Sistemas Eds Lineales

Resortes acopladosEn el ejemplo 1 trabajaremos con

(1))(

)(

12222

1221111

xxkxm

xxkxkxm

Ejemplo 1


106/116

Ejemplo 1Use T.L. para resolver

(2)dondex1(0)= 0,x1(0) = 1,x2(0) = 0,x2(0) = 1.

Solucins2X1sx1(0)x1(0) +10X14X2= 04X1+ s

2X2sx2(0)x2(0) +4X2= 0Recolocando:

(s2+ 10)X1 4X2= 14X1+ (s

2+ 4)X2= 1 (3)

0440410

221

211

xxxxxx

Ejemplo 1 (2)


107/116

Ejemplo 1 (2)

Resolviendo (3) paraX1:

UsamosX1(s)para obtenerX2(s)

tttx

ssss

sX

32sin532sin

102)(

12

5/6

2

5/1

)12)(2(

1

2222

2

1

tttx

ssss

sX

32sin10

32sin

5

2)(

12

5/3

2

5/2

)12)(2(

6

2

2222

2

2

Ejemplo 1 (3)


108/116

Ejemplo 1 (3)

Luego

(4)tttx

tttx

32sin10

3

2sin5

2

)(

32sin5

32sin

10

2)(

2

1

Redes


109/116

Redes


(5)0

)(

122

2

uidtdiRC

tERidt

diL

Fig 4 47


110/116

Fig 4.47

Ejemplo 2


111/116

Resolver (5) donde E(t) = 60V, L = 1 h,R = 50 ohm,C = 10-4f, i1(0) =i2(0) = 0.

Solucin

Tenemos

EntoncessI1(s) + 50I2(s)= 60/s200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

Ejemplo 2

0)10(50

6050

1224

21

iidt

di

idtdi

Ejemplo 2 (2)


112/116

Ejemplo 2 (2)

Resolviendo lo anterior:

As

222

221

)100(120

1005/65/6

)100(12000

)100(

60

100

5/65/6

)100(

1200060

sssssI

sssss

sI

tt

tt

teeti

teeti

1001002

1001001

1205

6

5

6)(

60

5

6

5

6)(

Pndulo Doble


113/116

Pndulo Doble


(6)0)()( 112122121

2121 glmmllmlmm

022212122

2

22

glmllmlm


114/116

Ejemplo 3


115/116

Compruebe que cuando

la solucin de (6) es

(7)

Fig 4.49

Ejemplo 3

,1)0(,1)0(,16,1,3 212121 llmm

0)0(',0)0(' 21

ttt

ttt

2cos2

3

3

2cos

2

1)(

2cos4

3

3

2cos

4

1)(

2

1

Fig 4.49


116/116

Fig 4.49

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