2.multimea_nr_nat.doc

7/23/2019 2.multimea_nr_nat.doc

1/28

2.MULTIMEA NUMERELOR NATURALE.

2.1.Relatia de echipotenta

2.2.Cardinalul unei multimi

Definiie.FieAsiBmultimi. Spunem ca multimileAsiBsuntechipotentedaca exista ofunctie bijectiva BAf : . Notam prin BA faptul caAsiBsunt echipotente.

Exemplu.Daca A={1,2,3},B={ a,b,c}, atunci BAf : definita prinf(1)=a,f(2)=b,f(3)=c este

bijectiva, deciAsiBsunt echipotente.

Teorem.Relatia "" este o relatie de echivalenta.

Demonstraie.Reflexivitatea: AA rezulta din faptul ca ( ) AxxxAA AA = ,1,:1 este bijectiva.Simetria: BA AB rezulta din faptul ca daca BAf : este bijectiva, atunci si

ABf :1 este bijectiva.Tranzitivitatea: ( BA si CB ) CA rezulta din faptul ca daca BAf : si

CBg : sunt functii bijective atunci si CAfg : este bijectiva.Relatia "" fiind reflexiva, simetrica si tranzitiva, inseamna ca este o relatie deechivalenta, deci mparte multimile n clase de echivalenta.

O clasa de echivalenta, definita de relatia de echipotenta, se noteaza prin simbolul

si se numeste numarcardinalsauputereafiecarei multimi din clasa respectiva.Daca multimileA,Bsunt echipotente, ele au aceeasi putere si li se asociaza acelaai

numar cardinal.Notam cardinalul multimiiAcu A .

Prin definitie, BABA = .

ObservatieO modalitate mai simpla de a intelege notiunea de cardinal al multimiiAeste de a

gandi A ca reprezentand numarul de elemente ale multimiiA.

2.3.Axiomele lui Peano

Multimea numerelor naturale constituie un sistem (N,0,f) format dintr-o multimeN, un element fixat N0 al sau si o functie NNf : (numita funcie de succesiune)pentru care sunt satisfacute urmatoarele axiome:P1) ( ) 0 nfNn (0 nu este succesorul nici unui numar natural)P2) daca ( ) ( )mfnfNmn = ,, , atunci mn =P3) daca NM si M0 si ( )( )MnfMn atunci NM=

Elementul 0 poarta numelezero.

17


2/28

ObservatieAxioma P3) sta la baza demonstratiei prin inductie.

Teorem.Fie (N,0,f) un sistem Peano. Atunci:1) NxyNy ,0, astfel ncty=f(x);2) Oricare ar fi tripletul( )gM ,0, format cu o multime nevidaM, un element

M0 si o functie MMg : , exista o unica functie MNh : , astfel nct( ) 00 =h sihof=goh, adicsh(f(x))=g(h(x)), Nx .3) Daca ( )gM ,0, este de asemenea un sistem Peano, atuncifeste functie

bijectiva.

Notam ( ) +=nnf .

Presupunem ndeplinite axiomele P1) P3) pentru o multimeNoarecare. Notam0+prin 1, 1+prin 2, 2+prin 3, . . . ceea ce conduce la:N={0,1,2,3, . . . ,n, . . . }

Elementele multimiiNse numescnumere naturale. Numerele 0, 1, 2, 3, . . . senumesc respectivzero,unu,doi,trei, . . .si sunt folosite pentru a exprima cantitatea deelemente pentru multimile fara nici un element, cu un element, cu un element si nca unelement, . . .

Axiomele P1)-P3) poarta numeleaxiomele lui Peanosi mai pot fi formulate astfel:

P1) 0 nu este succesorul nici unui numar natural;P2) numere naturale diferite au succesori diferiti;P3)dacaM este o submultime a luiNcare contine pe 0 si daca contine penvacontine si pen+ (succesorul sau), atunciM=N

Observatii Orice numar naturalnafara de 0 este succesorul unui alt numr natural numitprecedental luin.

n continuare notamN\{0} prinN*.

2.4.Sisteme de numeraie

Definie.Se numestesistem de numeraietotalitatea regulilor de reprezentare a numerelor

folosind un anumit set de simboluri diferite, numit alfabet.

Dupa felul de grupare si ordonare a semnelor, se deosebesc doua sisteme denumeratie:a) sisteme de numeratie nepozitionale.

b) sisteme de numeratie pozitionale.

a)Sisteme de numeratie nepozitionale.

Cel mai cunoscut sistem de numeratie nepozitional este sistemul de numeratieroman care foloseste urmatoarele semne (cifre romane):

I V X L C D M

18


3/28

1 5 10 50 100 500 1000

Reguli de scriere cu cifre romane.n cadrul unui numar scris n sistemul romannu pot s apar mai mult de trei semne

consecutive de acelai fel.De aceea

orice semn pus la stnga altuia de valoare mai mare dect a lui, se scade.Astfel, urmatoarele numere se scriu cu doua semne, primul reprezentnd un numr

care se scade din al doilea:

IV IX XL XC CD CM4 9 40 90 400 900

-orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egala dect a lui,se aduna.

Un numar oarecare pna la 4000 se scrie alaturnd numere scrise mai sus ncepndcu cel mai mare.

Exemple.LXXXIV=50+10+10+10+4=84;MMCDXXVIII=2428.

Pentru numere mai mari de 4000, indicam numarul miilor punnd deasupranumarului de mii o linie, deasupra numarului zecilor de mii doua linii s.a.m.d.Exemplu.

4100=CIV

12410600=DCCDXXII

b)Sisteme de numeratie pozitionale.

n sistemele de numeratie pozitionale, un simbol din alcatuirea unui numar (cifra)are valoare intrinseca dar si o valoare prin pozitia pe care o ocupa un numar. Aceastaimplica existenta unui simbol cu valoare intrinseca nula (zero). n unele din sistemelepozitionale (spre exemplu babilonian) n care regulile o permit, este posibil sa se renuntela acest simbol. n continuare prezentam sistemul de numeratie indian care foloseste

urmatoarele semne (cifre arabe): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (de altfel fiind sistemul denumeratie folosit n prezent).

Principiul numeratiei de pozitie.

Fie un numar naturala, pe care l numim baza a sistemului de numeratie.

Teorem.Orice numr natural N poate fi scris sub forma0

01

1

1 ... axaxaxaxN nn

n

n ++++=

,

unde numerelekx

sunt numere naturale care verific relaiankaxk ,...,2,1,10 = i a>1.Demonstraie.

19


4/28

Admitnd ca expresia exista, vom nota0

01

1

1 ... axaxaxaxR

k

k

k

kk ++++=

11

1

1

1 ... ++

+

=+++= k

k

k

k

n

n

n

nk aQaxaxaxRN

kQ si kR sunt ctul si restul mpartirii luiNla 1+ka , fiindca avem

( ) ( ) ( ) ( ) 111...11 101

=++++ + kkk

k aaaaaaaaaR

Vom defini coeficientii kx din aproape n aproape, n ordinea descrescatoare aindicilor, lund drept nx ctul mpartirii luiNla na , drept 1+ nn xax ctul mpartirii

luiNla 1na , drept 212

++ nnn xaxax ctul mpartirii luiNla 2na , etc.Se obtine astfel singura solutie posibila daca aceasta exista. Or numerele kx

introduse sunt realmente mai mici dect a, dacana fost definit prin 1+


5/28

Numerele formate din cate o singura cifra sunt usor de obtinut. Daca este nevoiede un numar care sa fie superior lui 9, va mai aparea inca o cifra in cadrul numarului. 10unitati formeaza o zece si aceasta va implica folosirea a doua cifre in cadrul numarului. 10zeci formeaza o suta, 10 sute formeaza o mie. Procedeul poate continua.

Gruparea de cate 10 unitati de acelasi fel pentru obtinerea unei unitati superioarenu este intamplator. Alegem 10 unitati, tocmai pentru ca lucram in baza 10. Daca am lucrain baza 5, am alege cate 5 unitati in loc de 10.

Sa consideram, de exemplu, numarul 536 scris in baza 10. Acesta este format din 5sute, 3 zeci si 6 unitati. Rezulta de aici ca putem sa scriem numarul ca fiind suma dintrecele 5 sute, 3 zeci si 6 unitati care il alcatuiesc :

171031005536 ++=Putem sa scriem acest calcul folosind puterile lui 10. Avem 100 ca fiind de fapt 10

la puterea a doua, 10 este 10 la puterea intai si 1 este 10 la puterea 0. astfel, numarul alespoate fi scris in felul urmator :

012107103105536 ++=

Observam de aici ca un numar poate fi scris cu ajutorul cifrelor si al puterilor lui10.De exemplu, sa consideram numarul scris sub forma generala :abc. Acesta va

putea fi scris astfel :110102 ++= cbaabc

Daca numarul ar avea mai multe cifre in componenta sa, lucrurile ars ta exact lafel :

11010101010 2345 +++++= fedcbaabcdef

Scrierea de mai sus o numim descompunerea numaruluiabcdef.

Transformarea unui numar din baza 10 intr-o alta baza

Asa cum am spus mai sus, daca lucram intr-o alta baza, de exemplu baza 7, vatrebui ca, in loc sa grupam unitatile in grupuri de cate 10 sa le grupam in grupuri de cate7. Pentru aceasta vom folosi impartiri succesive ale numarului scris in baza 10 la numarulcorespunzator noii baze.

ExempluDorim sa transformam numarul 346 din baza 10 in baza 5.

Impartim numarul 346 la 5. Obtinem catul 69 si restul 1. Aceasta inseamna ca amobtinut 69 de unitati de cate 5 si 1 unitate simpla. Rezulta de aici ca cifra unitatilornumarului scris in baza 5 va fi 1 (ultima cifra a numarului). Reluam procedeul cu cele 69unitati ramase. Impartim 69 la 5 si obtinem catul 13 si restul 4. Penultima cifra anumarului scris in baza 5 va fi 4. Impartim 13 la 5 si obtinem catul 2 si restul 3.Antepenultima cifra a numarului va fi 3. Catul obtinut de aceasta data este dat de o cifracare apartine sistemului cu baza 5, deci oprim algoritmul si acest cat ne indica prima cifraa numarului. Rezulta ca, scris in baza 5, numarul 346 devine 2341.

Pentru a putea urmari mai usor acest algoritm, vom face impartirile succesive infelul urmator :

346 5

21


6/28

30 69 546 5 13 545 19 10 21 15 3

4

In aceasta modalitate de a scrie impartirile, se observa ca au fost puse in evidentaresturile obtinute pe parcurs si ultimul cat. Acestea, luate in ordinea inversa scrierii lor,adica de la dreapta spre stanga, vor indica numarul scris in baza 5 : 2341.

Pentru a indica faptul ca 2341 determinat de noi este scris in baza 5, folosimnotatia: ( )52341 . De obicei, daca nu este indicata baza, consideram ca numarul este scrisin baza 10. Putem deci scrie :

( )52341346=

ceea ce ne spune ca numarul 346 scris in baza 10 este egal cu numarul 2341 scris inbaza 5.

Transformarea unui numar dintr-o baza oarecare in baza 10

Pentru a transforma un numar dintr-o baza oarecare in baza 10 vom procedafacand inmultiri.

Mai exact, vom descompune numarul considerat in baza corespunzatoare, asa cumam vazut mai sus, pentru numerele din baza 10. De aceasta data, insa, vom descompunenumarul cu ajutorul puterilor numarului care ne indica baza.

Sa consideram numarul ( )52341 . Vom descompune acest numar cu ajutorulputerilor lui 5 si, numarul rezultat dupa efectuarea calculelor va fi numarul consideratscris insa in baza 10.

( ) 34612075250515453522341 023

5 =+++=+++=

Daca dorim sa trecem un numar dintr-o bazaiintr-o bazaj, putem face acest lucruprin intermediul bazei 10 : vom transforma din bazaIin baza 10 si apoi in bazaj.

2.6.Operatii inN

Adunarea numerelor naturale

Numerele care se aduna se numesc termenii adunarii iar rezultatul adunarii senumeste suma.

Proprietati:1.adunarea este comutativa: a+b=b+a, oricare ar fi numerele naturale a si b;2.adunarea este asociativa: a+(b+c)=(a+b)+c, oricare ar fi numerele naturale a, b si c;3.numarul natural 0 este element neutru la adunare: a+0=a, oricare ar fi numarul

natural a.

Scaderea numerelor naturale

22


7/28

Scaderea este operatia inversa adunarii. Vorbim de scadere atunci cand se cunoastesuma a doua numere si unul dintre ele si dorim sa aflam celalalt numar.

In relatiaa-b=c,

ase numeste descazut,b scazator, iar c=a-b se numeste diferenta numerelor a si b.

Inmultirea numerelor naturale

Inmultirea numerelor naturale se defineste ca o adunare repetata de termeni egali:

oriade

..... bbbba +++=

Numereleasibse numesc factorii inmultirii iar numarul ba se numesteprodusul numerelorasib.

Daca unul dintre factori este 0, produsul este 0.

Proprietati:1.asociativitate2.comutativitate3.numarul natural 1 este element neutru4.inmultirea este distributiva fata de adunare

Impartirea numerelor naturale

Cunoscand produsul a doua numere naturale si unul dintre ele, dorim sa aflamcelalalt numar.

Impartirea este operatia inversa a inmultirii si poate fi definita si ca o scadererepetata a aceluiasi termeni.

Catul impartiriia:beste numarul care arata de cate ori este posibil sa scadembdina, iar restul este primul descazut mai mic decatbin acest sir de scaderi.

Impartirea numerelor naturale nu este posibila decat dacabeste nenul.

Teorema impartirii cu rest:Oricare ar fi numerele naturaleasib,b nenul, exista doua numere naturaleqsir,

numite cat, respectiv rest astfel incat:brrqba


8/28

1.Sa se scrie in baza 10 numerele : ( )6254 , ( )85673 , ( )21100001 , ( )41100001 .2.Sa se scrie in bazele 2, 5, 7, 9 urmatoarele numere scrise in baza 10 : 258, 429, 3312.3.Sa se transforme :a. ( )85673 in baza 3

b. ( )54234 in baza 7c. ( )21010101 in baza 4

4.Determinati numerele de doua cifre de forma abstiind ca 55=+baab5.Determinati numerele de trei cifre de formqabastiind ca 333=+bababa6.Determinati numarul de trei cifre ba6 scris in baza 10 stiind ca in baza 7 este deforma 6ba .

4.DIVIZIBILITATE INN

24


9/28

Numere prime.

Prim este numarul care se divide numai cu el nsusi si cu 1. Numarul 1, avndnumai un divizor nu face parte din numerele prime.

Putem recunoaste daca un numarneste prim ncercnd ca divizori numereleprime inferioare primului numar primpal carui patrat este mai mare dect numarul datn(p2>n).

Exemplu.Pentru a stabili ca 167 este numar prim, avnd 167132 , va fi suficient sa

verificam ca el se divide cu numerele 2, 3, 5, 7, 11.

Teorem.(Teorema fundamental a aritmeticii)Orice numr natural se scrie n mod unic ca produs de numere prime.

Teorem.Exist o infinitate de numere prime.

Teorema mprtirii cu rest

Oricare ar fi numerele Nba , , (b0), exist i sunt unice dou numere naturaleqirastfel nct

a=bq+rir


10/28

Definiie.O regula pe baza careia putem spune caaeste divizibil cubfara a face mpartirea

se numestecriteriu de divizibilitate.

Teorem.(Criteriul de divizibilitate cu 2ki cu 5k)Un numr naturalmeste divizibil cu 2k(sau cu 5k) dac i numai dac numrul

format de ultimelekcifre din scrierea sa n baza zece este divizibil cu2k(sau cu 5k)

Exemple. numerele 3724 si 18760 sunt divizibile cu 22(pentru ca 24 si 60 suntmultiplii de 4).

numerele 6900; 4925; 3250; 1475; 5000 sunt divizibile cu 25 (52).

Teorem.(Criteriul de divizibilitate cu 3 i cu 9)Un numr naturalmeste divizibil cu 3 (respectiv cu 9) dac i numai dac suma

cifrelor sale este divizibil cu 3 (respectiv cu 9).

Teorem.(Criteriul de divizibilitate cu 11)Un numr naturalneste divizibil cu 11 dac i numai dac diferena dintre sumele

alternante ale cifrelor sale este divizibil cu 11.

Exemplu.Numarul 18326 este divizibil cu 11 deoarece suma alternanta a cifrelor sale este1-8+3-2+6=0, divizibila cu 11 .

In forma lor cea mai folosita, criteriile pot fi exprimate mai simplu astfel :

- un numar este divizibil cu 2 sau cu 5 daca numarul format de cifra unitatiolracelui numar este divizibila cu 2 sau cu 5;

- un numar este divizibil cu 4 sau cu 25 daca numarul format din ultimele douacifre este divizibil cu 4 sau cu 25;

- un numar este divizibil cu 8 sau cu 125 daca numarul format din ultimele treicifre este divizibil cu 8 sau cu 125;

- un numar se divide cu 3 sau cu 9 daca suma cifrelor sale se divide cu 3 sau cu9.

Exercitii propuse1.Fie sirul 1, 4, 7, 10, 13, .a.Completati sirul cu nca doi termeni;

b.Gasiti al o suta-lea termen al sirului.2.Calculati : 12...222 202122 3.Sa se nlocuiasca literele prin cifre, stiind ca :

a. numarul a306 este divizibil prin 6;b. numarul cb2871 este divizibil prin 45, dar nu prin 2.

4.Determinati numerele de trei cifre care au suma cifrelor 13 si sunt divizibile cu 11.5.Fieabsicdnumere in baza 10. Stiind ca 10= cdab si ca abcd25 , determinatia,b,c,d.

26


11/28

6.ntr-un anumit moment, planetele Mercur si Venus ocupa o anumita pozitie. Dupa cttimp se vor afla n aceeasi pozitie, stiind ca Mercur face ocolul Soarelui n timp de 88de zile, iar Venus n 225 de zile? (Indicatie : pentru a fi in exact aceeasi pozitie, Mercurtrebuie sa efectueze un numar oarecare de rotatii complete, si Venus la fel. Cumambele planete trebuie sa se gaseasca in aceasi pozitie, acest lucru se va intampla incazul in care ambele au un anumit numar de rotatii realizate. Rezulta ca trebuie sacalculam c.m.m.m.c intre cele doua numere, 88 si 225)

7.Sa se scrie in baza 10 numerele : ( )6254 , ( )85673 , ( )21100001 , ( )41100001 .8.Sa se scrie in bazele 2, 5, 7, 9 urmatoarele numere scrise in baza 10 : 258, 429, 3312.9.Sa se transforme :

a. ( )85673 in baza 3

b. ( )54234 in baza 7

c. ( )21010101 in baza 410.Determinati numerele de doua cifre de forma abstiind ca 55=+baab11.Determinati numerele de trei cifre de formqaba stiind ca 333=+bababa

12.Determinati numarul de trei cifre ba6 scris in baza 10 stiind ca in baza 7 este deforma 6ba .

13.Determinatia, b, c, d, e, f N astfel nct: fedcab 60195987324 =

27


12/28

5.MULTIMILEZ,Q,R

5.1.Definitii

5.2.Operatii

Multimea numerelor intregi

DefinitieNumim multimea numerelor intregi, multimea ( ) NNZ = , unde

{ }NnnN = .

Astfel:Z={,-n, ,-1,0,+1,+2,+3,,+n,}

Teorem. (mprirea numerelor ntregi).Oricare ar fi Zba , ,b0, exist Zrq , astfel ncta = bq + ri 0r


13/28

Avem sirul de incluziuni QZN .Definiie.

Numarul ntregnse numestenumitoriar numarul ntregmse numetenumrtor.Linia orizontala " - " se numestelinie de fracie.

Dacmnfractia se numestesupraunitar.n cazulm=nfractia se numesteechiunitar.

Operaii fundamentale cu fracii.

Adunarea fractiilor

Fie fractiilen

msi

q

p. Definim adunarea celor doua fractii ca fiind fractia

nq

npmq

q

p

n

m +=+ .

Observatie.Daca fractiile pe care le adunam au acelasi numitor atunci, din definitia de mai

sus, rezulta :n

pm

n

p

n

m +=+ .

Pentru a aduna doua fractii, cel mai simplu este sa amplificam / simplificamfractiile pentru a le aduce la acelasi numitor si apoi sa le adunam.

Proprietile adunrii fraciilor.

a. Adunarea este comutativa:n

m

q

p

q

p

n

m+=+

b. Adunarea este asociativa:

++=+

+

s

r

q

p

n

m

s

r

q

p

n

m

c. Existenta elementului neutru: exista Qb0 astfel incat Q

b

a sa avem

b

a

bb

a

b

a

b=+=+

00. Numarul Q

b0 il consideram, mai simplu 0.

d. Opusul unui numar rational: Qb

a , Qb

a

astfel incat

0=+

=

+

b

a

b

a

b

a

b

a

Inmulirea fractiilor

Fie fractiilen

msi

q

p. Definim inmultirea celor doua fractii ca fiind fractia

qn

pm

q

p

n

m

= .

29


14/28


15/28

3. nm

n

m

aa

a = , 0>a ;

4. ( ) nmmn aa = , 0>a ;5. ( ) mmm baab = , 0>a , 0>b ;

6.n

nn

b

a

b

a=

, 0>a , 0>b .

Radacina patrata (radicalul)

Prin radacina patrata ax= , din numarul nenegativantelegem numarulnenegativx, care nmultit cu el nsusi da o valoare egala cua.

2xaax ==

Proprieti

1. baba = , 0>a , 0>b ;

2.b

a

b

a= , 0>a , 0>b .

Multimea numerelor reale

DefinitieNumimnumr iraional(pozitiv sau negativ) un numar care poate fi reprezentat cu

ajutorul unei fractii zecimale neperiodice, cu partea zecimala formata din numere carenuse repet periodic.

Exemplu : 2 , 7 , 31

Multimea tuturor numerelor irationale se noteaza prinI. Reunind multimeaQanumerelor rationale cu multimeaIa numerelor irationale, obtinem o noua multime care onotam prinRsi o numimmultimea numerelor reale. Elementele acestei multimi se numescnumere reale.

ntre multimileN,Z,Q,Rexista relatia de incluziune:RQZN

Adunarea i nmulirea numerelor reale.

ProprietatiFiex,ydoua numere reale.

1.Adunareaeste asociativa si comutativa.2.Exista numarul real 0 (zero) astfel nctx+0=x, pentru orice Rx

3.Pentru orice Rx exista numarul Rx astfel nctx+(-x)=0.4.nmulireaeste asociativa si comutativa.5.Exista numarul real 1 (10) astfel nctx1=xpentru orice Rx .

31


16/28

6.Pentru orice Rx,x0 exista numarulx-1 R (notat six

1) astfel incat 01 = xx

7.nmultirea este distributiva n raport cu adunarea, adicax(y+z)=xy+xz, pentruorice Ryx ,, .

Modulul unui numar real

Modulul numarului realxil notam cu x si il definim astfel :


17/28

exemplu, in cazul expresiei de mai sus, am avea doua cazuri : cazul cand 3x si cazulcand 3>x . In fiecare caz, expresia modulului va fi alta, si se vor obtine diferite solutii.Solutia finala va fi data de reuniunea solutiilor din cele doua (sau mai multe) cazuri (nude intersectia lor, ca la sistemele de inecuatii !!!)

ExempluSa se rezolve ecuatia : 43 =+ x .

SolutiePentru a putea rezolva aceasta ecuatie, este nevoie, mai intai, sa se expliciteze

modulul.In exemplul anterior am explicitat modulul care apare, obtinand:

>

+=+

3,3

3,33

xdacax

xdacaxx

Vom avea, deci, doua cazuri:- cazul I: daca 3x- cazul II : daca 3>x .Vom lua fiecare caz pe rand.

Cazul I.Daca 3x , din explicitarea de mai sus, rezulta ca 33 +=+ xx . Inseamna ca,

in ecuatia data, in loc de modul vom scrie expresia obtinuta. Ecuatia va deveni :43 =+x

Rezulta de aici solutia 1=x . Mai trebuie insa sa ne asiguram ca solutia obtinutade noi face parte din intervalul pe care lucram, anume 3x . Cum 31=x , inseamnaca solutia din primul caz este, intr-adevar, 1=x .

Observatie.Daca, de exemplu, am fi obtinut solutia 5=x , aceasta nu ar fi fost o solutie reala,

deoarece 5 nu face parte din intervalul cazului I, interval care ne spune ca 3x . In acestcaz am fi spus ca nu avem solutie in cazul I.

Cazul II.Daca 3>x , avem 33 =+ xx . Ecuatia va deveni, in acest caz : 43 =x , cu

solutia 7=x , care convine, deoarece se incadreaaz in intervalul pe care lucram:37>=x .Solutia finala a ecuatiei va fi data de reuniunea solutiilor gasite in fiecare caz, deci

vom avea { }7,1x .

ExempluSa se rezolve ecuatia: 431 =++ xx .

Solutie

Observam ca in acest caz avem doua module. Va trebui sa le explicitam pe fiecaredintre ele, apoi vom vedea ce cazuri distincte vor fi de rezolvat.Vom incepe cu primul modul :

33


18/28


19/28

x -1 3 1+x 11 =+ xx 0 11 +=+ xx3x

Observam ca, in momentul in care am completat in tabel linia corespunzatoare lui1+x , nu ne-a interesat valoarea 3, deoarece aceasta nu are nici o importanta pentru1+x . Ea va conta pentru 3x , reprezentand valoarea in care acest al doilea modul se

anuleaza. Vom proceda ca mai inainet si pentru 3x , iar tabelul va arata in final astfel :

x -1 3 1+x 11 =+ xx 0 11 +=+ xx3x 33 += xx 0 33 = xx

Acum, dupa ce tabelul a fost completat, vom putea vedea care sunt cazurile penrtuecuatia considerata.

Se vad astfel urmatoarele cazuri :- daca 1


20/28

2. Tabelul poate fi folosit si in cazul in care exista in ecuatie mai multe module (3, 4,5, ), adaugand pentru fiecare modul cate o linie in tabel.

Exerciii propuse

1.Suma mai multor numere ntregi consecutive este 23. Aflati cte numere sunt dacanumerele pozitive sunt cu doua mai multe dect numerele negative.

2.Sa se afle cel mai mare numar ntreg negativxpentru care 3441 nx= .3.Determinati perechile de numere ntregi (x,y) cux0,y0, pentru care 2x2+y213

4.Sa se simplifice fractia:n

n

++++++++

3...963

4...1284

5.Aratati ca S=n+1+2(1+2+3++n) este patrat perfect. (Indicatie: se tine cont de

formula:( )2

1...21

+=+++

nnn ).

6.Calculati : ( )nnnn

33

1

3

1

3

121

2

+

++

+

, Nn .

7.Sa se determine numarul naturalnpentru care numarul2

6

+

=n

np este numar

natural.8.Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, ecuatiile :a. 42 =x

b. 42 = x

c. 1623 =x

d. 12341 =+ x

9.Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, ecuatiile :

a. 61 =++ xxb. 321 =++ xx

c. 14321 =++++ xxx

d. 84321 =+++ xxxx

10.Demonstrati ca daca Rba , sunt numere reale strict pozitive, atunci :

211

2 baab

ba

+

+ (media armonicamedia geometricamedia aritmetica)

6.ECUATII SI INECUATII DE GRADUL I, SISTEME DE ECUATII SI INECUATII

DE GRADUL I

36


21/28

Ecuatii si inecuatii

O expresie de forma ( ) 0,..., =yx! se numeste ecuatie cu necunoscutelex,y, In cazul in care expresia contine o singura necunoscuta, atunci ecuatia va fi de forma :

( ) 0=x! .Numim solutie sau radacina a ecuatiei ( ) 0=x! o valoarea, daca inlocuind in

locul necunoscuteixdin ecuatia considerata, vom obtine o identitate (o propozitieadevarata, 0=0).

In continuare ne vom ocupa numai de ecuatii cu coeficienti reali.In functie de forma expresiei ( )x! , ecuatia poate fi de gradul I, de gradul II, etc.O ecuatie de gradul I cu coeficienti reali are forma generala :

0=+ bax , unde 0a , Rba ,Pentru a rezolva o astfel de ecuatie se procedeaza in felul urmator :- se scade in ambii termeni valoareab: bbbax =+-

rezulta astfel : bax =- cum 0a , putem imparti ambii termeni la numarul reala: abaax :: =

- rezulta : abx := , adicaa

bx =

Putem concluziona ca solutia ecuatiei 0=+ bax , unde 0a , Rba , este

a

bx = .

In unele cazuri, coeficientiiasib, sau unul dintre ei, nu au valori exacte, cunoscute,ci parametri reali care pot lua orice valori din multimea numerelor reale.

Cum din definitia ecuatiei se observa ca trebuie sa avem 0a , rezulta ca, in cazulunei ecuatii cu parametru, va fi nevoie sa punem o conditie : coeficientul luixsa fie diferitde 0. In urma acestei conditii, vor rezulta diferite cazuri pentru ecuatia noastra, cazuri pecare trebuie sa le analizam unul cate unul. Este vorba despre ceea ce numim discutie.

Exemplu :Sa se rezolve ecuatia( ) 031 =+ xm , undemeste un parametru real.

SolutieInainte de a trece la rezolvarea propriu-zisa a ecuatiei si determinarea solutiei

acesteia, trebuie sa punem conditia 01 m , adica 1m . Deci, pentru ca ecuatia sa fiede gradul I, este nevoie ca 1m . Darmeste un parametru real, si poate luaoricevaloarereala, adica si 1=m . Va trebui sa vedem astfel ce se intampla cu ecuatia si cu solutiile eiin ambele situatii : 1m si 1=m .

Cazul 1. Daca 1=m , ecuatia devine 030 =+x , care nu este adevarata pentru nicio valoarexreala. Spunem ca in cazul 1=m , ecuatia nu are solutie.

Cazul 2. Daca 1m , ecuatia este o ecuatie de gradul I pe care o rezolvam ca incazul general prezentat mai sus :

Din ( ) 031 =+ xm rezulta( ) 31 = xm . Cum 1m , inseamna ca 01 m ,

deci putem imparti si in stanga si in dreapta prin 1m . Obtinem1

3

=m

x .

Sisteme de ecuatii

37


22/28

Un sistem de ecuatii este format din mai multe ecuatii care admit aceeasi solutie.Ecuatiile sistemului pot avea un numar oarecare de necunoscute si pot avea diferite forme.

Ne intereseaza numai sistemele de ecuatii de gradul I, adica acele sisteme in alecaror ecuatii toate necunoscutele apar la puterea I.

Pentru a rezolva astfel de sisteme (numite si liniare) putem folosi metoda reduceriisau metoda substitutiei. Vom prezenta aceste metode in exemplele care urmeaza.

Exemplu.Sa se rezolve sistemul :

=

=+

13

42

yx

yx.

SolutieMetoda reducerii

Aceasta metoda consta in reducerea sistemului de ecuatii la o ecuatie cu o singuranecunoscuta. Dupa rezolvarea acesteia, se inlocuieste valoarea obtinuta intr-una dinecuatiile sistemului si se obtine astfel si a doua necunoscuta.

Pentru a reduce sistemul, se pot folosi urmatoarele operatii : adunarea (scaderea)ecuatiilor, inmultirea unei ecuatii cu un numar real diferit de 0 si adunarea ei la altaecuatie (eventual inmultita si ea cu un numar real diferit de 0).

In cazul sistemului de mai sus, observam ca daca adunam cele doua ecuatii,necunoscutayse va reduce, obtinand astfel o ecuatie de gradul I inx:

55 =xde unde rezulta 1=x .

Cum stim valoarea luix, putem sa inlcouim intr-una din ecuatii aceasta valoare siil vom afla si pey. Sa inlocuim in prima ecuatia.

Avem 42 =+ yx . Dar 1=x , deci ecuatia devine 412 =+ y , de unde obtinem2=y .Solutia sistemului va fi : 1=x , 2=y .

Metoda substitutieiAceasta metoda consta in determinarea unei necunoscute in functie de cealalta din

una din cele doua ecuatii si inlocuirea ei in cealalta ecuatie.In cazul sistemului de mai sus, din prima ecuatie il scoatem pey: xy 24 = si il

inlocuim in cea de-a doua relatie : 13 = yx , obtinand : 1)24(3 = xx . Facemcalculele in aceasta ecuatie si obtinem 1=x . Cum xy 24 = , rezulta 2=y .

Solutia sistemului va fi : 1=x , 2=y .

Inecuatii

Ne vor interesa numai inecuatiile de gradul I. Acestea au una din urmatoareleforme generale :

0+ bax , sau 0>+ bax , sau 0+ bax sau 0


23/28

Pentru a rezolva o inecuatie de gradul I se procedeaza asemanator cu ecuatia degradul I, numai ca de aceasta data solutia nu este unica, ci ea va fi un interval dinmultimea numerelor reale.

ObservatieDaca se inmultesc ambii termeni ai unei inecuatii cu un numar, trebuie sa se aiba

in vedere semnul numarului cu care se inmulteste precum si semnul inecuatiei. Dacanumarul este pozitiv, nu se modifica semnul inecuatiei, daca insa acesta este negativ, se vaschimba si semnul inecuatiei (daca inmultim ecuatia 012 >x cu numarul 2, ea vadeveni 024 >x ; daca o inmultim cu -2, se va modifica si semnul inecuatiei : 024 + x .SolutieScadem 4 din ambii termeni si rezulta 42 > x . Vom inmulti inecuatia cu -1,

care, fiind un numar negativ, va duce la schimbarea semnului inecuatiei : 42 + 213

042

x

x .

SolutiePrima inecuatie a sistemului am rezlvat-o mai sus, obtinand solutia 2x . Adunam in ambii membri 1, si rezulta :33 >x . Impartind prin 3, obtinem solutia celei de-a doua inecuatii, anume : 1>x . Cum

solutia sistemului trebuie sa indeplineasca ambele conditii, adica sa fie solutie si a primeiinecuatii si a celei de-a doua, rezulta ca trebuie sa intersectam cele doua intervale desolutii, adica trebuie sa gasim elementele care verifica atat solutia primei inecuatii, 2x . Obtinem solutia sistemului : 21


24/28

1.Sa se rezolve ecuatiile :a. 632 =x

b. 0644 =xc. 6315 = x

2.Sa se rezolve inecuatiile :a. 84 +423

512

x

xc.

+

332

35

x

x d.

+


25/28

7.UNITATI DE MASURA

1.Uniti de msur pentru lungime.

Stramosii babilonienilor si ai altor popoare din antichitate si-au framntat minteaca sa stabileasca o metoda demsurarea lungimilor de care se foloseau n viata de toatezilele. La acest rezultat s-a putut ajunge abia dupa ce a fost stabilit un sistem de numeratiesi dupa ce oamenii s-au familiarizat cu linia dreapta si proprietatile ei. Dupa ce au stiut cao parte din linia dreapta se asaza exact peste alta parte a ei, au nteles ca lungimile liniilorputeau fi comparate, stabilindu-se care este mai mare si chiarde cate ori.

Pentru aceasta operatie era de ajuns sa stabileasca o unitate de lungime, iar aceastaunitate nu era greu de gasit : putea fipalma, degetul, cotul, braul ntreg, piciorul, pasul,unitatea aleasa fiind indicata de nsasi marimea ce trebuia masurata. Numai ca aceste

unitati de masura desi aveau numiri asemanatoare n majoritatea zonelor, nu erau fixe sinici aceleasi peste tot. Tocmai aceste deosebiri care ngreunau operatiile comerciale dintrediferite state au condus la introducerea unei unitati interna.ionale de masurare alungimilor, unitate care a fost numitametru. Aceasta noua unitate de lungime, cu multiplisi submultipli exprimati n sistemul de numeratie zecimal, a fost introdusa mai nti nFranta, n 1795, adica dupa Revolutia franceza. Tara noastra a fost una dintre primele taricare au adoptat sistemul metric, anume prin legea din 1864, care urma sa se aplice

ncepnd din anul 1866. Dar chiar nainte de aceasta data, legaturile noastre culturale cuFranta au facut ca, n cartile tiparite la noi n tara, sa fie explicata odata cu unitatile demasura folosite din stramosi si notiunea, foarte moderna pe atunci, de metru. Astfel n

cartea deGeometrietiparita de Gheorghe Asachi la Iasi n 1838 gasim : Unitatea legiuta amasurei pentru lungimi este stnjenul, deci a masura o linie este a cauta cti stnjenicuprinde, sau fractii ale stnjenului. nsa, desi guvernurile se ngrijesc de a pastra purureaaceeasi lungime a stnjenului, totusi aceasta masura, neatrnnd de vreo baza statornica,se schimba de la loc ai epoca, de aceea urmeaza sminteli ntre numaratoarea msurilorvechi si celor noi. Pentru a se feri de asemenea sminteli vatama.toare, n epoca reformelor,

n Franta s-a determinat o masura neschimbatoare, n urma unor mari operatiiastronomice prin care s-a hotart mprejmurimea Pamntului, mpartind departarea de lapol la ecuator, sau patrariul de cerc, n zece milioane de parti din care una au luat-o dreptmetru .

DefinitieMetrul este lungimea drumului parcurs de lumin n vid n timp de 1/299.792.458

dintr-o secund.

Vom nota prin literammetrul. Masuratorile efectuate au urmat sa se extinda siasupra lungimilor mai mici sau mai mari dect metrul dnd nastere la noi categorii deunitati de masura numitesubmultipliimetrului respectivmultipliimetrului.

Submultiplii metrului:-decimetrul (dm) = 0,1 m (1m=10dm)-centimetrul (cm) = 0,1 dm = 0,01 m (1m=100cm)

41


26/28

-milimetrul (mm) = 0,1 cm =0,01 dm = 0,001m (1m=1000mm)

Multiplii metrului:-decametrul (dam) = 10 m-hectometrul (hm) = 10 dam = 100 m-kilometrul (km) = 10 hm = 100 dam = 1000 m

2.Uniti de msur pentru arie.

Unitatea de msur pentru ariieste aria unui patrat cu latura de 1 m, arie numitaunmetru ptrat(se noteaza 1m2).

Deoarece s-a stabilit ca unitatea de masura a ariei sa fie aleasa ca fiind aria unuipatrat de latura egala cu o unitate de lungime, spunem ca aria este o marime derivata,avnd la baza lungimea.

Multiplii sunt:1 dam2=100 m2

1 hm2=100 dam2= 10000 m2

1 km2=100 hm2= 10000 hm2= 1000000 m2

Submultiplii sunt:1 dm2= 0,01 m2

1 cm2= 0,01 dm2= 0,0001 m2

1 mm2= 0,01 cm2= 0,0001 dm2= 0,000001 m2

3.Uniti de msur pentru volum.

Unitatea de msur pentru volumeste volumul unui cub cu muchia de 1 m, volumnumit unmetru cub(se noteaza 1m3)

Analog definim multiplii si submultiplii metrului cub, adica:

Multiplii sunt:1dam3=1000m3

1hm3= 1000dam3= 1 000 000 m3

1km3= 1000hm3= 1 000 000 dam3= 1 000 000 000 m3

Submultiplii sunt:1dm3=0,001 m3

1cm3=0,001 dm3= 0,000001 m3

1mm3=0,001 cm3= 0,000001 dm3= 0,000000001 m3

Cum determinam volumul unui corp solid, cu aproximatie?

Se scufunda corpul ntr-un vas gradat cu lichid, astfel nct sa fie acoperit complet.Se citeste pe gradatia de nivel volumul lichidului nainte si dupa scufundare ; diferentadintre aceste volume este chiar volumul corpului respectiv.

4.Uniti de msur pentru capacitate

42


27/28

Unitatea de msur pentru capacitateestelitrulsi esteechivalentul unui dm3de ap.Prin notatia 1lntelegem un litru. Avem deci egalitatea 1l=1dm3.

Multiplii sunt:1decalitru(1dal) = 10l1hectolitru(1hl) = 100l1kilolitru(1kl) = 1000l

Submultiplii sunt:1decilitru(1dl) = 0,1l1centilitru(1cl) = 0,1dl= 0,01l1mililitru(1ml) = 0,1cl =0,01dl =0,001l

5.Uniti de msur pentru mas.

Masa unui centimetru cub de apa distilata, la temperatura de 40 Celsius s-aconsiderat ca fiind 1gram si s-a notat prin 1g. S-a stiut ca la aceasta temperaturadensitatea apei este maxima. Cantitatile mai mari dect gramul dau nastere urmatoarelorcategorii:

Multiplii gramului:10 g=1decagram(se noteaza 1dag)100 g= 1hectogram(se noteaza 1hg)1000 g=1kilogram(se noteaza 1kg)

100000 g=1chintal(se noteaza 1q)1000000 g=1 ton. (se noteaza 1t)

Submultiplii gramului:1 g=10decigrame(se noteaz. 10dg)1g=100centigrame(se noteaz. 100cg)1g=1000miligrame(se noteaz. 1000mg)

6.Uniti de msur pentru timp.

Ziua solareste intervalul de timp care trece din momentul cnd soarele trece la

meridianul locului (cnd are naltimea deasupra orizontului maxima, ceea ce popular sezice amiaza) pna a doua zi cnd trece din nou la meridianul locului.

Ziua sideraleste intervalul de timp scurs ntre doua treceri consecutive ale uneistele fixe la meridianul locului si este egala cu timpul unei rotatii complete a Pamntului

n jurul axei polilor .

ntre ziua solara si cea siderala este o diferenta de aproximativ 4 minute. Aceastadiferenta, cu trecerea mai multor zile, se acumuleaza si se ajunge la situatia ca ntr-o zisoarele sa treaca la meridian (sa fie miezul zilei) la ora siderala 12, pentru ca dupa saseluni, tot la ora siderala 12, soarele sa fie la meridian n partea cealalta, adica sa fie miezulnoptii.

43


28/28

Ziua solar mijlociese poate defini ca fiind intervalul de timp n care un mobil semisca uniform (miscarea unui mobil este uniforma daca ntre diferite intervale de timpegale parcurge distante egale) astfel nct este cnd naintea, cnd n urma soarelui (nintervale de timp nu prea mari).

O zi solara mijlocie se mparte n24 de ore; ora n60 de minute; minutul n60 desecunde; intervalele mai mici ca o secunda se masoara cu zecimea, sutimea etc., desecunda. Aceasta mpartire pentru unitatile de timp, pastreaza mpartirea sexagesimala,ramasa de la babilonieni.

Sapte zile alcatuiescsptmna, 4 saptamni alcatuiescluna,12 luni alcatuiescanul,care este intervalul de timp n care Pamntul face o rotatie completa n jurul Soarelui. Elare 365,2422 zile. Deoarece nu are un numar ntreg de zile s-a stabilit ca anul calendaristicsa aiba 365 de zile iar din 4 n 4 ani sa aiba 366 de zile. Anul cu 366 de zile se mai numese sanbisect. Lunile : ianuarie, martie, mai, iulie, august, octombrie si decembrie au cte 31 de

zile ; lunile : aprilie, iunie, septembrie si noiembrie au cte 30 zile, iar luna februarie are 28de zile (n anul bisect 29 zile).Globul Pamntesc se mparte n 24 de fusuri orare, un fus fiind cuprins ntre doua

meridiane ale caror longitudine difera prin 150.

Date post:	13-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	radu-daniel
View:	212 times
Download:	0 times

2.multimea_nr_nat.doc

Documents