คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 5)
พชคณตของฟงกชน
โดย
อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจานวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ
- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ
3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ
4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน
5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน
- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B
- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง
6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน
7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส
8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
- โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ
9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรอง พชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรอง การเลอนแกน
คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจ ดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 5 (5/7) หวขอยอย 1. พชคณตของฟงกชน 2. ตวอยางของฟงกชนพนฐาน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน
1. เขาใจบทนยามของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน 2. คานวณผลของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนทกาหนดมาใหได 3. เขาใจบทนยามของฟงกชนลดและฟงกชนเพม 4. ไดเหนตวอยางฟงกชนพนฐานชนดตางๆ
ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. คานวณผลของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนทกาหนดมาใหได 2. ระบไดวาชวงใดในโดเมนของฟงกชนทกาหนดทาใหฟงกชนนนเปนฟงกชนลด และชวงใดใน
โดเมนของฟงกชนทกาหนดทาใหฟงกชนนนเปนฟงกชนเพม 3. สามารถยกตวอยางฟงกชนพนฐานตางๆ และวาดกราฟของฟงกชนพนฐานเหลานนได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
เนอหาในสอ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1. พชคณตของฟงกชน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในตอนนไดยกตวอยางพชคณตของฟงกชนทนกเรยนอาจไดใชในชวตประจาวนโดยไมรตว จากนนพยายามยกตวอยางเพอชกจงใหนกเรยนเหนเงอนไขทจาเปนในการนยามการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน โดยในทนกาลงพจารณาการบวก
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
หลงจากทนกเรยนไดขอสงเกตเกยวกบเงอนไขในการนยามการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนแลว ในตอนนไดใหบทนยามของการดาเนนการทางพชคณตตางๆ ของฟงกชน กลาวคอ การบวก การลบ การคณ และการหาร
เมอมาถงตอนนครควรย าอกครงวาฟงกชนคอความสมพนธแบบหนง ดงนนแทจรงแลวฟงกชนคอเซตของคอนดบ ดงนนการนาฟงกชนสองฟงกชนขนไปมาดาเนนการทางพชคณต เชน นามาบวกกนนน จะดาเนนการกนเฉพาะสมาชกตวหลงของคอนดบทอยในความสมพนธเทานน ในขณะทสมาชกตวหนาของความสมพนธมหนาทบงบอกวาจะหาผลการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนนนๆ ไดหรอไมเทานน ไมตองนามาเกยวของกบการดาเนนการแตอยางใด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในตอนนไดใหตวอยางในการคานวณผลการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน ทงในกรณทกาหนดฟงกชนมาใหแบบแจกแจงสมาชก และแบบบอกเงอนไข
สาหรบปญหาชวนคดททงไวในตวอยางทกาหนดให {(0,2), (1,4), (2,6), (3,8)}f = และ
{(0,1), (1,0), (2,3), (5,7)}g = นน จะไดวา 1 0 3 1 10, , 1, , 2, 0, , (1, 0), 2,
2 4 6 2 2
g
f
ì ü ì üæ ö æ ö æ ö æ ö æ öï ï ï ï÷ ÷ ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= =ç ç ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ïç ç ç ï ïç ç ïè ø è ø è ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ
นอกจากนยงมปญหาชวนคดททงไวในตวอยางอกขอหนงทกาหนดให 2
2( )
9f x
x=
- ในขณะทเปลยน
ฟงกชน g เปน ( ) 5g x x= - จะไดวา 2
2( )
( 9) 5
fx
g x x
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - - แตโดเมนของ f
g จะเปลยนเปน
(5, )¥
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
เมอมาถงจดนครอาจยกตวอยางโดยใชฟงกชนจากสอตอนทผานๆ มาเพอใหนกเรยนฝกหาผลการดาเนนการเชงพชคณตของฟงกชนนนๆ พรอมทงระบโดเมนของผลการดาเนนการเหลานนได นอกจากนครยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตมเพอใหนกเรยนชานาญยงขน ตวอยาง 1 กาหนดให {(1, 0), (2,1), (3,5), (4, 3), (5,2)}f = และ
{( 1, 2), (0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 4)}g = - - - - จงหา , , ,f
f g f g fgg
+ - และ gf
วธทา {(1, 0 2), (2,1 ( 3)), (3,5 4)} {(1,2), (2, 2), (3,9)}f g+ = + + - + = -
{(1,0 2), (2,1 ( 3)), (3,5 4)} {(1, 2), (2, 4), (3,1)}f g- = - - - - = -
{(1,(0)(2)), (2,(1)( 3)), (3,(5)(4)} {(1, 0), (2, 3), (3,20)}fg = - = -
0 1 5 1 51, , 2, , 3, (1, 0), 2, , 3,
2 3 4 3 4
f
g
ì ü ì üæ ö æ ö æ ö æ ö æ öï ï ï ï÷ ÷ ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= = -ç ç ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ïç ç ç ï ï ç ç ï-è ø è ø è ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ
3 4 42, , 3, (2, 3), 3,
1 5 5
g
f
ì ü ì üæ ö æ ö æ öï ï ï ï- ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç÷ ÷ ÷= = -ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ïç ç ï ï ç ïè ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ
ตวอยาง 2 กาหนดให ( ) 3f x x= - และ ( ) 2 | 4 |g x x=- + - จงหา
( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )f
f g x f g x fg x xg
æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø และ ( )
gx
f
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหามาได วธทา จากโจทยจะไดวา ( , 3]
fD = -¥ และ
gD = นอกจากน { | ( ) 0} {3}x f x = = และ
{ | ( ) 0} {2, 6}x g x = = ดงนนจะไดวา
( )( ) 3 2 | 4 |f g x x x+ = - - + - โดยท ( , 3]f g
D+
= -¥
( )( ) 3 2 | 4 |f g x x x- = - + - - โดยท ( ,3]f g
D-
= -¥
( )( ) 3 ( 2 | 4 |)fg x x x= - - + - โดยท ( ,3]fg
D = -¥
3( )
2 | 4 |
f xx
g x
æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç - + -è ø โดยท ( ,2) (2, 3]
f
g
D = -¥ È
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2 | 4 |( )
3
g xx
f x
æ ö - + -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - โดยท ( , 3)
g
f
D = -¥
แบบฝกหดเพมเตมเรองพชคณตของฟงกชน
1. กาหนดให {( 3,2), ( 2, 1), ( 1, 0), (2,1), (4, 3)}f = - - - - และ ( ) | 1 |g x x= + จงหา
, , ,f
f g f g fgg
+ - และ gf
2. กาหนดให 2( ) ( 1)f x x= + และ ( ) 1g x x= - จงหา ( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )f
f g x f g x fg x xg
æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø
และ ( )g
xf
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหามาได
3. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป จงรางกราฟของ f g+ และ f g-
4. จงรางกราฟของ fg เมอกาหนดให ( ) 1f x =- และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป
5. กาหนดให ( )f x x= และ ( ) | | 1g x x= + จงหาโดเมนและเรนจของ f
g
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f g
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-3
-2
-1
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2. ตวอยางของฟงกชนพนฐาน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในชวงแรกนยงไมไดยกตวอยางฟงกชนพนฐานตางๆ ทนกเรยนควรรจก แตไดกลาวถงบทนยามของฟงกชนเพม และฟงกชนลด ซงมความสาคญอยางยงในการแกอสมการตางๆ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
หลงจากทเขาใจบทนยามของฟงกชนเพม และฟงกชนลดแลว ในตอนนไดยกตวอยางตางๆ เกยวกบฟงกชนเพม และฟงกชนลด โดยใหนกเรยนไดฝกพจารณาโดยวธเชงพชคณต และโดยการวาดกราฟ
เมอมาถงตอนนครควรเนนย าวา ฟงกชนหนงๆ นนไมจาเปนจะตองเปนฟงกชนเพม หรอฟงกชนลดเพยงอยางเดยวตลอดทงโดเมน แตอาจมบางชวงทฟงกชนนนเปนฟงกชนเพม และบางชวงทฟงกชนนนเปนฟงกชนลด สาหรบฟงกชนทไมเพมและไมลดเลยนนจะเรยกวาเปนฟงกชนคงท ยงไปกวานนการกากบวาฟงกชนนนๆ เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตใด มความสาคญเชนกน ใหนกเรยนพจารณาฟงกชน f ทมกราฟดงรป
-1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
จะเหนวา f เปนฟงกชนเพมบนเซต ( ,1)-¥ และ บนเซต (1, )¥ แต f ไมเปนฟงกชนเพมบน (ทาไม) ซงคอโดเมนของ f (สงเกตวา f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง) ในกรณท f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) บนโดเมนของฟงกชน f อาจกลาวสนๆ วา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) เทานน นอกจากนในบางตาราอาจกาหนดนยามในลกษณะดงน สาหรบฟงกชน f ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ
fA DÌ จะไดวา
1. f เปนฟงกชนเพม บน A กตอเมอ สาหรบ 1
x และ 2
x AÎ ถา 1 2
x x< แลว 1 2
( ) ( )f x f x£ 2. f เปนฟงกชนลด บน A กตอเมอ สาหรบ
1x และ
2x AÎ ถา
1 2x x< แลว
1 2( ) ( )f x f x³
ในขณะทสอชดน แทจรงแลวกาหนดนยามไวดงน สาหรบฟงกชน f ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ
fA DÌ จะไดวา
1. f เปนฟงกชนไมลด (nondecreasing function) บน A กตอเมอ สาหรบ 1
x และ 2
x AÎ ถา 1 2
x x< แลว
1 2( ) ( )f x f x£
2. ฟงกชนไมเพม (nondecreasing function) บน A กตอเมอ สาหรบ 1
x และ 2
x AÎ ถา 1 2
x x< แลว
1 2( ) ( )f x f x³
3. ฟงกชนเพม หรอฟงกชนเพมโดยแท (increasing function หรอ strictly increasing) บน A กตอเมอ สาหรบ 1
x และ
2x AÎ ถา
1 2x x< แลว
1 2( ) ( )f x f x<
4. ฟงกชนลด หรอฟงกชนลดโดยแท (decreasing function หรอ strictly decreasing) บน A กตอเมอ สาหรบ 1
x และ
2x AÎ ถา
1 2x x< แลว
1 2( ) ( )f x f x>
อกทงในการตอบวาชวงใดเปนชวงทฟงกชนเพม หรอชวงใดเปนชวงทฟงกชนลด บางตาราอาจรวมจดปลายชวง (หากจดปลายชวงนนอยในโดเมนของฟงกชน) ในขณะทบางตาราจะตอบเปนชวงเปดโดยไมสนใจจดปลายชวงดงเชนทนกเรยนเหนในสอชดนนนเอง ในชวงนครควรถามคาถามนาเพอใหนกเรยนชวยกนอภปรายในประเดนเหลาน 1. สมมตวา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) และ
1 2( ) ( )f x f x< แลวสรปไดหรอไมวา
1 2x x< (หรอ
1 2x x> ) โดยใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางประกอบ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2. เมอนกเรยนอภปรายและยกตวอยางกนไปพอสมควรแลวนาจะนามาสขอสรปวา ถา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) แลวสาหรบ
1 fx DÎ และ
2 fx DÎ (
1 2x x< กตอเมอ
1 2( ) ( )f x f x< (หรอ
1 2( ) ( )f x f x> ))
สมบตนนาไปใชในการแกอสมการของฟงกชนอนๆ ทเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน ฟงกชนเลขชกาลง และฟงกชนลอการทม ซงนกเรยนจะไดศกษารายละเอยดในสอเรองฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม โดย อาจารยเพญพรรณ และอาจารยจณดษฐ นอกจากนนกเรยนทมความสนใจเปนพเศษอาจสงเกตไดอกวา ถา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) แลว f เปนฟงกชนหนงตอหนง ซงบทพสจนจะขอใหไวสาหรบนกเรยนทสนใจ พสจน กาหนดให f เปนฟงกชนเพม ให
1 fx DÎ และ
2 fx DÎ สมมตวา
1 2x x¹ โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา
1 2x x< เนองจาก f เปนฟงกชนเพม ทาใหไดวา
1 2( ) ( )f x f x< นนคอ
1 2( ) ( )f x f x¹ เพราะวาขอความ ถา
1 2x x¹ แลว
1 2( ) ( )f x f x¹ สมมลกบขอความ ถา
1 2( ) ( )f x f x= แลว
1 2x x= จงสรปไดวา f เปนฟงกชน
หนงตอหนง เมอมาถงตอนนครควรยกตวอยางเหลานประกอบ
ตวอยาง 3 กาหนดให 2
( )4
xf x
x=
- จงหาชวงท f เปนฟงกชนเพม และชวงท f เปนฟงกชนลด
วธทา ให 1
x และ 2
x เปนสมาชกของโดเมน f สมมตวา 1 2
( ) ( )f x f x< นนคอ 1 22 2
1 24 4
x x
x x<
- - ซงเมอยาย
ขางและรวมเศษสวนจะได 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2
1 2 1 2
4 4 (4 )( )0
(4 )(4 ) (4 )(4 )
x x x x x x x x x x
x x x x
- - + + -= <
- - - -
กรณ 1
2x <- และ 2
2x <- จะไดวา 21
4x > และ 22
4x > และ 1 2
0x x > ดงนน 1 2
x x<
กรณ 1 2
2 , 2x x- < < จะไดวา 2
14x < และ 2
24x < และ
1 24 4x x- < < ดงนน
1 2x x<
กรณ 1
2x > และ 2
2x > ไดวา 2
14x > และ 2
24x > และ
1 20x x > ดงนน
1 2x x<
ทาใหไดวา f เปนฟงกชนเพมบนชวง ( , 2), ( 2,2)-¥ - - และ (2, )¥ และไมมชวงท f เปนฟงกชนลด
ตวอยาง 4 สมมตวา f และ g เปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) บนชวง
f gA D DÌ Ç ทไมใชเซตวาง
แลว f g+ จะเปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) บนชวง A หรอไม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
วธทา ให 1
x AÎ และ 2
x AÎ สมมตวา 1 2
x x< จะไดวา 1 2
( ) ( )f x f x< และ 1 2
( ) ( )g x g x< ทาให
1 1 1 2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x+ = + < + = + นนคอ f g+ เปนฟงกชนเพมทงคบนชวง A หมายเหต ในทนแสดงใหดเฉพาะกรณท f และ g เปนฟงกชนเพมทงค สวนในกรณท f และ g เปนฟงกชนลดทงค ขอใหนกเรยนชวยกนทาเปนแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในตอนนไดกลาวถงนยามของฟงกชนเชงเสนในรป ( )f x ax b= + เมอ a และ b เปนจานวนจรงใดๆ
สาหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนน จะเหนวาแบงออกเปนสามกรณไดดงน กรณ 0a > ให
1x และ
2x เปนจานวนจรงใดๆ ท
1 2x x< เนองจาก 0a > จะไดวา
1 1 2 2( ) ( )f x ax b ax b f x= + < + = ทาใหไดวา เมอ 0a > ฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + เปนฟงกชนเพม
กรณ 0a < ให 1
x และ 2
x เปนจานวนจรงใดๆ ท 1 2
x x< เนองจาก 0a < จะไดวา
1 1 2 2( ) ( )f x ax b ax b f x= + > + = ทาใหไดวา เมอ 0a < ฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + เปนฟงกชนลด
กรณ 0a = จะไดวาฟงกชนเชงเสนอยในรป ( )f x b= ซงเปนฟงกชนคงท สาหรบฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + จะเรยก a วาความชนของกราฟ (ทเปนเสนตรง) ของฟงกชนน และเรยก b วาระยะตดแกน y
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
เมอถงตอนนครอาจใหนกเรยนรางกราฟของฟงกชนเชงเสนเมอ a และ b มเงอนไขตางๆ กน กลาวคอ
1. 0a > และ 0b >
2. 0a > และ 0b <
3. 0a < และ 0b <
4. 0a = และ 0b <
นอกจากนยงอาจถามในทานองกลบกน กลาวคอกาหนดกราฟเสนตรงมาใหแลวใหนกเรยนชวยกนระบเครองหมายของ a และ b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนกาลงสองในรป 2( )f x ax bx c= + + เมอ ,a b และ c เปนจานวนจรงท 0a ¹
แมวานกเรยนจะไดเรยนเกยวกบพาราโบลาซงเปนกราฟของสมการกาลงสองมาแลวในระดบมธยมศกษาตอนตนแลวครควรย าอกครงวา เนองจาก
2 2 2 22 2
2 2 2 2 4
b b c b b ba x x a x c
a a a a a a
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ + + - = + + -ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷è ø è ø è ø è øç ÷çè ø
ทาใหไดวาจดยอดของพาราโบลาคอ 2
,2 4
b bc
a a
æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø จดยอดนอาจเรยกวา จดวกกลบของพาราโบลา ซงใน
กรณท 0a > จะไดวาจดวกกลบนเปนจดตาสดของฟงกชน และคาตาสดของฟงกชนคอ 2
2 4
b bf c
a a
æ ö÷ç ÷- = -ç ÷ç ÷çè ø
ในขณะทเมอ 0a < จะไดวาจดวกกลบนเปนจดสงสดของฟงกชน และคาสงสดของฟงกชนคอ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
2 4
b bf c
a a
æ ö÷ç ÷- = -ç ÷ç ÷çè ø เชนกน นอกจากนกราฟของพาราโบลายงมเสนตรง
2
bx
a= - เปนแกนสมมาตรอก
ดวย สาหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนนจะไดวา
กรณ 0a > ฟงกชนกาลงสองจะเปนฟงกชนลดบนชวง ,2
b
a
æ ö÷ç ÷-¥ -ç ÷ç ÷çè ø และเปนฟงกชนเพมบนชวง
,2
b
a
æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø
กรณ 0a < ฟงกชนกาลงสองจะเปนฟงกชนเพมบนชวง ,2
b
a
æ ö÷ç ÷-¥ -ç ÷ç ÷çè ø และเปนฟงกชนลดบนชวง
,2
b
a
æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø
ครควรใหนกเรยนสงเกตตอวาจดตดแกน X ของฟงกชนกาลงสองคอคาตอบทเปนจานวนจรงของสมการ
2 0ax bx c+ + = นนเอง กลาวคอถา ( ,0)A และ ( ,0)B เปนจดตดแกน X ทงสองจดของฟงกชนกาลงสองแลวจะไดวา 2 ( )( )ax bx c a x A x B+ + = - - ในขณะทถามจดตดแกน X เพยงจดเดยว หรอกราฟของฟงกชนกาลงสองแตะแกน X ทจด ( ,0)A แลวจะไดวา 2 2( )ax bx c a x A+ + = - และสาหรบกราฟของฟงกชนกาลงสองทไมตดแกน X จะไดวาสาหรบจานวนจรง x ใดๆ 2 0ax bx c+ + > หรอ
2 0ax bx c+ + < อยางใดอยางหนงอยางเดยวเทานน นนหมายความวาสมการ 2 0ax bx c+ + = ไมมคาตอบทเปนจานวนจรง หรอ 2 4 0b ac- < นนเอง ประเดนอกประเดนหนงทสาคญคอถา ( ,0)A และ ( , 0)B เปนจดตดแกน X ทงสองจดของฟงกชนกาลงสองแลวจะไดวาจดยอดหรอจดวกกลบ (ซงอาจเปน
จดสงสดหรอจดตาสด) นนจะอยทจดซง 2
A Bx
+= ซงอยตรงกลางระหวาง x A= และ x B=
เมอมาถงตรงนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม
ตวอยาง 5 กาหนดให 2( ) 4 10f x x x= - + - สรปไดหรอไมวา 106
3fæ ö÷ç ÷ç <-÷ç ÷ç ÷çè ø
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
วธทา เนองจาก 1 0a =- < ดงนนฟงกชนนมจดสงสดอยท 42
2( 1)x = - =
- และคาสงสดของฟงกชน
คอ 24
10 64( 1)
- - = --
และเพราะวา 102
3¹ ทาใหไดวา 10
63
fæ ö÷ç ÷ç <-÷ç ÷ç ÷çè ø
หมายเหต สาหรบตวอยางขอน ถานกเรยนแทนคา x ลงในสตรของ ( )f x โดยตรงอาจเปรยบเทยบลาบาก ตวอยาง 6 กาหนดใหกราฟของฟงกชน 2( ) 2 8f x x x= - + + เปนรปพาราโบลาทตดแกน X ทจด A และ B จงหาพนทของสามเหลยม ABC เมอ C คอจดวกกลบของพาราโบลาน วธทา เนองจาก 2( ) 2 8 ( 4)( 2)f x x x x x= - + + = - - + ดงนนจดตดแกน X คอ ( 2, 0)A = - และ
(4, 0)B = ตามลาดบ สาหรบจดวกกลบคอ 22 2
,8 (1,9)2( 1) 4( 1)
Cæ ö÷ç ÷= - - =ç ÷ç ÷ç - -è ø
ดงนนพนทรป
สามเหลยม ABC 1(4 ( 2))(9) 27
2= - - = ตารางหนวย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในชวงนไดกลาวถงฟงกชนคาสมบรณในรป ( ) | |f x a x b c= - + เมอ ,a b และ c เปนจานวนจรงท 0a ¹
จากรปของกราฟฟงกชนคาสมบรณจะเหนวา กราฟนมเสนตรง x b= เปนแกนสมมาตร และในกรณท 0a > จะไดวากราฟของฟงกชนคาสมบรณมจดตาสดอยทจด ( , )b c และคาตาสดของฟงกชนคอ ( )f b c= ในขณะทถา 0a < จะไดวากราฟของฟงกชนคาสมบรณมจดสงสดอยทจด ( , )b c และคาสงสดของฟงกชนคอ ( )f b c=
สาหรบประเดนททงไวใหนกเรยนชวยกนอภปรายในสอนนคอคาของจานวนจรง a มผลอยางไรกบลกษณะกราฟของฟงกชนน นกเรยนอาจทาไดโดยลงรอยทางเดนของจดของฟงกชนเหลาน
1 2( ) | |, ( ) 2 | |f x x f x x= = และ
3
1( ) | |
2f x x= บนระนาบ XY เดยวกน ซงนกเรยนจะไดกราฟดงรป
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
จากกราฟทไดพอจะสรปไดวา ถา 1a = แขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามม 45 กบแกน X ในขณะทถา 1a > มมระหวางแขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามมมากกวา 45 กบแกน X ขนไปเรอยๆ สาหรบกรณท 0 1a< < มมระหวางแขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามมนอยกวา 45 กบแกน X ลงมาเรอยๆ ดงนนสมประสทธ a จะมผลตอความกวางและความแคบของขาของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนนนเอง สวนในกรณท 0a < นน จะสามารถพจารณาไดในทานองเดยวกน กลาวคอแยกเปนกรณท 1 0a- < < และ กรณท 1a <- อนทจรงแลว ถาให q เปนมมทแขนของตว V ทากบแกน X จะไดวา tan aq =
ปญหาชวนคดททงไวในสอนนจะไดวา กรณ 0a > ฟงกชนคาสมบรณจะเปนฟงกชนลดบนชวง ( , )b-¥ แลวเปนฟงกชนเพมบนชวง ( , )b ¥ กรณ 0a < ฟงกชนคาสมบรณจะเปนฟงกชนเพมบนชวง ( , )b-¥ แลวเปนฟงกชนลดบนชวง ( , )b ¥ เมอถงตอนนครอาจใหนกเรยนรางกราฟของฟงกชนคาสมบรณเมอ ,a b และ c มเงอนไขตางๆ กน เชน
1. 0, 0a b> > และ 0c >
2. 0, 0a b> > และ 0c <
3. 0, 0a b> < และ 0c >
4. 0, 0a b> < และ 0c <
เปนตน
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f1
f2
f3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
นอกจากนยงอาจถามในทานองกลบกน กลาวคอกาหนดกราฟของฟงกชนคาสมบรณมาใหแลวใหนกเรยนชวยกนระบเครองหมายของ ,a b และ c
ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนพหนามดกร n ทอยในรป 1 2 2
1 2 2 1 0( ) ...n n n
n n nf x a x a x a x a x a x a- -
- -= + + + + + +
เมอ i
a Î ทก {0}i Î È และ 0n
a ¹
ในระดบนนกเรยนควรจะวาดกราฟของฟงกชนพหนามดกรสามรปแบบหนงคอ 3( )f x ax= เมอ a เปนจานวนจรงทไมใช 0 เหมอนเชนทยกตวอยางไวในสอนได สาหรบประเดนททงไวใหนกเรยนชวยกนอภปรายนนจะเหนวา ในกรณท 0a > ฟงกชน 3( )f x ax= จะเปนฟงกชนเพมบนเซตของจานวนจรง แตในกรณท
0a < ฟงกชน 3( )f x ax= จะเปนฟงกชนลดบนเซตของจานวนจรง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในชวงนไดแนะนาใหนกเรยนรจกฟงกชนขนบนได ซงเปนฟงกชนทมคาคงทเปนชวงๆ ทงนความยาวของแตละชวงทคาของฟงกชนแตกตางกนนนไมจาเปนตองยาวเทากน ตลอดจนคาของฟงกชนในชวงทอยตดกนอาจมคาเพมขนหรอลดลงกได
จากกราฟในสอนจะไดวา
0; 0 1
4; 1 2( )
6; 2 3
8; 3 4
x
xf x
x
x
ìï £ £ïïï < £ïï= íï < £ïïï < £ïïî
ในบางครงจานวนขนบนไดอาจมมากมายไมจากด เชน ตวอยาง 7 กาหนดให ( )f x = จานวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x จะไดวาสาหรบจานวนเตม n ใดๆ ถา
1n x n£ < + แลว ( )f x n= ซงสามารถเขยนไดในรป 1; 1 0
0; 0 1( )
1; 1 2
x
xf x
x
ìïïïï- - £ £ïïïï £ <= íïï £ <ïïïïïïî
ฟงกชนขนบนไดทสาคญฟงกชนหนงซงไดกลาวถงไวในบทนาเรองความสมพนธและฟงกชนโดยอาจารยจณดษฐนน คอฟงกชนขนบนไดหนงหนวย (unit-step function) หรอฟงกชนเฮวไซด (Heaviside function) ทกาหนดโดย
1;( )
0;
x cu x c
x c
ìï >ï- = íï <ïî ซงบางครงอาจใชสญลกษณ ( )
cu x และทจด x c= ในตาราบางเลมอาจกาหนดให
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
( ) 0u c = หรอ ( ) 1u c = หรออาจไมไดกาหนดคาของฟงกชนทจดนไวเลย และโดยสวนใหญจะมเงอนไขวา 0c ³
ผลการดาเนนการเชงพชคณตระหวางฟงกชนขนบนไดหนงหนวยโดยเฉพาะการบวกและการลบ มความสาคญในการประยกตทางคณตศาสตรชนสงตอไป ตวอยาง 8 จงหา
1 3( ) ( )u x u x- พรอมทงวาดกราฟของผลลบทได
วธทา 1 3
1 1; 3 0; 31; 1 1; 3
( ) ( ) 1 0; 1 3 1; 1 30; 1 0; 3
0 0; 1 0; 1
x xx x
u x u x x xx x
x x
ì ìï ï- > >ï ïì ìï ï ï ï> >ï ï ï ï- = - = - < < = < <í í í íï ï ï ï< <ï ï ï ïî î - < <ï ïï ïî î
ซงมกราฟดงรป
-1 1 2 3 4 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนทนยามเปนชวงๆ กลาวคอคาของฟงกชนกาหนดดวยสตรทตางกนบนชวงทเปนสบเซตของโดเมนตางๆ กน ในบางครงอาจเรยกวาฟงกชนแยกตอน นกเรยนนาจะพอสงเกตไดวาฟงกชนขนบนไดเปนฟงกชนทนยามเปนชวงๆ แบบหนงโดยคาของฟงกชนเปนคาคงททตางกนไปในแตละชวง
สาหรบตวอยางของฟงกชนทยกไวในสอคอ 2
3
2 3 1; 2
( ) 4 1; 2 4
1; 4
x x x
f x x x
x x x
ìï + + <-ïïï= + - £ <íïïï + + ³ïî
นนจะมกราฟเปนดงรป
สงเกตวาจดปลายของกราฟในแตละชวงอาจเปนจดทบหรอจดโปรงขนอยกบวาชวงนนๆ รวมจดปลายหรอไมนนเอง สาหรบฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนนกเรยนอาจลมไปวาไดคนเคยกบฟงกชนลกษณะนมากอนแลว นนคอฟงกชนท
มคาสมบรณมาเกยวของ เชน ; 0
( ) | |; 0
x xf x x
x x
ìï ³ï= = íï- <ïî
-4 -2 2 4 6
50
100
150
200
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ในทานองเดยวกบฟงกชนขนบนใด เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเพมเตม เนองจากฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนในบางครงนกเรยนมกจะมความสบสนในการหาคาของฟงกชนทจดตางๆ บนโดเมน
ตวอยาง กาหนดใหฟงกชน
1; 0 1
3 1
1; 1( )
2 5; 1
1
xx
xf x
xx
x
ìïï < <ïï +ïïïïïï =ïï= íïïïïï - -ï >ïï -ïïïïî
จงหา 1, , (1)
3fD f f
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø และ (3)f
วธทา จากโจทยจะไดวาฟงกชนทกาหนดใหนยามมาบนเซต (0,1) {1} (1, )È È ¥ แตในชวง (1, )¥ นน
2 5
1
x
x
- --
เปนจานวนจรงกตอเมอ 5x £ ดงนน (0,5]f
D =
เนองจาก 10 1
3< < ทาใหไดวา 1 1 1
3 3(1 / 3) 1 2fæ ö÷ç ÷ = =ç ÷ç ÷ç +è ø
ตอมา (1) 1f = และเนองจาก 3 1> ทาให
ไดวา 2 5 3 2 2(3)
3 1 2f
- - -= =
-
หมายเหต สาหรบตวอยางนเมอ 1x > ครอาจชใหนกเรยนเหนวา สามารถเขยนสตรของฟงกชนในชวงนใหม
ไดโดย 2 5 (2 5 )(2 5 ) 4 (5 ) 1
1 ( 1)(2 5 ) ( 1)(2 5 ) 2 5
x x x x
x x x x x x
- - - - + - - -= = =
- - + - - + - + - ซงสตร
ใหมทไดนเมอตองการทราบคาของฟงกชนทจด x ใดๆ ในโดเมน จะแทนคา x ในสตรใหมเพอคานวณเพยงทเดยวเทานน ฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนสามารถเขยนอยในรปของผลการดาเนนการเชงพชคณตของฟงกชนทนยามปกตกบฟงกชนขนบนไดหนงหนวยหลายๆ ฟงกชนได ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง กาหนดให 2; 2 5
( )2 1; 5 6
x xf x
x x
ìï < <ïï= íï + < <ïïî จะไดวา
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
0; 2 0; 5; 2 5
( ) 1; 2 5 (2 1) 1; 5 62 1; 5 6
0; 5 0; 6
x xx x
f x x x x xx x
x x
æ ö æ öì ìï ï< <÷ ÷ç çï ï÷ ÷ì ç çï ï ï< < ÷ ÷ç çï ï ïï ÷ ÷ç ç= = ´ < < ÷+ + ´ < < ÷í í íç ç÷ ÷ï ï ïç ç÷ ÷+ < < ç ç÷ ÷ï ï ïïî ÷ ÷ç > ç >ï ï÷ ÷ç çè ø è øï ïî î
เนองจาก 2 5
0; 2
( ) ( ) 1; 2 5
0; 5
x
u x u x x
x
ìï <ïïï- = < <íïï >ïïî
และ 5 6
0; 5
( ) ( ) 1; 5 6
0; 6
x
u x u x x
x
ìï <ïïï- = < <íïï >ïïî
ทาใหไดวา
22
2 5 5 6
2 22 5 6
; 2 5( ) ( ( ) ( )) (2 1)( ( ) ( ))
2 1; 5 6
( ) ( 2 1) ( ) (2 1) ( )
x xf x x u x u x x u x u x
x x
x u x x x u x x u x
ìï < <ïï= = - + + -íï + < <ïïî= + - + + - +
นอกจากนยงมการนยามฟงกชนโดยใชสตรตางกน ขนอยกบเงอนไขของสมาชกตวหนาทตองการนามาหา
สมาชกตวหลงของฟงกชนทคกนซงคอคาของฟงกชนนนเอง เชน 1;
( )0;
xf x
x
ìï Îï= íï Ïïî
ซงเรยกวาฟงกชน
ลกษณะเฉพาะของเซต เมอ คอเซตของจานวนตรรกยะ หรอฟงกชนจากเซตของจานวนนบไปยงเซตของ
จานวนเตม ;
2( )
1;
2
nn E
f n
nn O
ìïï Îïïïï= íïï -ïï Îïïî
เมอ E คอเซตของจานวนนบทเปนจานวนค และ O คอเซตของจานวน
นบทเปนจานวนค จะเหนวาฟงกชนนเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงจากเซตของจานวนนบไปยงเซตของจานวนเตมดวย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
แบบฝกหดเพมเตมเรองตวอยางของฟงกชนพนฐาน
1. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา 2( ) 12 44f x x x= - - - แลวจงหาระยะทางระหวางจด P และจดกาเนด 2. กาหนด f เปนฟงกชนกาลงสองทมคาสงสดอยทจด ( , )a b ถากราฟของฟงกชนนตดแกน X ทจด ( 5,0)- และ (1,0) แลว จงหาคา a 3. จงหาชวงทงหมดททาใหกราฟของฟงกชน 2( ) 4 5 6f x x x= - - + อยเหนอแกน X และ ชวงทงหมดททาใหกราฟของฟงกชน 2( ) 4 5 6f x x x= - - + อยใตแกน X
4. สาหรบจานวนจรง k กาหนดใหเสนตรง 3x = เปนแกนสมมาตรของกราฟของฟงกชน 2 2( ) ( 5) 10f x x k x k= - + - + จงหาคาตาสดของฟงกชนน
5. จงหา ,a b และ c ททาใหใหฟงกชน ( ) | |f x a x b c= - + มกราฟดงรป
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
สรปสาระสาคญประจาตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
แบบฝกหดระคน สาหรบฟงกชนทกาหนดใหตอไปนจงระบวาเปนฟงกชนลดหรอฟงกชนเพม 1. 2. 3. กาหนดใหฟงกชน 2( ) 2 3f x x x= - + + จงหาแกนสมมาตรและจดวกกลบของกราฟของฟงกชนน
4. กาหนดใหฟงกชน 2
3; 1
2
2 1; 1 1
( ) 2( 1)
1; 1
1
x
x xx
f x x
xx
x
ìïï- £-ïïïïïïïï + -ï - < £ïï= +íïïïïïï -ïï >ï -ïïïïî
จงหา , ( 2), (0), (1),f
D f f f- และ (2)f นอกจากนในกรณท 1 1x- < £ และ 1x > จงทาใหสตรของ
ฟงกชน ( )f x ทกาหนดใหอยในรปอยางงาย
5. กาหนดให 2
1; 0 1( )
; 1
x xf x
x x
ìï - < £ïï= íï >ïïî จงหา ( 1)f x -
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5
-3
-2
-1
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6. กาหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟเปน จงเขยนสตรทกแบบทเปนไปไดของฟงกชน f ในรปทมคาสมบรณมาเกยวของ และเขยนสตรของฟงกชน f ในรปฟงกชนทนยามเปนชวงๆ โดยไมมคาสมบรณมาเกยวของ
7. สาหรบจานวนจรง 0x ¹ จงเขยนฟงกชน 3
( )| |
xf x
x= ในรปฟงกชนทนยามเปนชวงๆ โดยไมมคา
สมบรณมาเกยวของ 8. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแลว จรงหรอไมท f จะเปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) หากไมจรงใหยกตวอยางประกอบทแสดงวาขอความนไมเปนจรง 9. จงยกตวอยางฟงกชน f และ g ทเปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) แต f g- เปนฟงกชนลด (หรอฟงกชนเพม)
10. กาหนดให 2
1; 0 1( )
; 1
x xf x
x x
ìï - < £ïï= íï >ïïî และ 2
1; 0 2( )
; 2 3
x xg x
x x
ìï - £ £ïï= íï < £ïïî จงหา ( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )
ff g x f g x fg x x
g
æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø และ ( )
gx
f
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหา
มาได
-3 -2 -1 1 2 3
0.5
1.0
1.5
2.0
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
เฉลยแบบฝกหดเรองพชคณตของฟงกชน 1. {( 3,4), ( 2,0), ( 1,0), (2,4), (4,8)}f g+ = - - -
{( 3,0), ( 2, 2), ( 1,0), (2, 2), (4, 2)}f g- = - - - - - -
{( 3,4), ( 2, 1), ( 1,0), (2,3), (4,15)}fg = - - - -
1 3( 3,1), ( 2, 1), 2, , 4,
3 5
f
g
ì üæ ö æ öï ï÷ ÷ï ïç ç÷ ÷= - - - ç çí ý÷ ÷ç ç÷ ÷ï ç ç ïè ø è øï ïî þ
5( 3,1), ( 2, 1), (2,3), 4,
3
g
f
ì üæ öï ï÷ï ïç ÷= - - - çí ý÷ç ÷ï ç ïè øï ïî þ
2. 2( )( ) ( 1) 1f g x x x+ = + + - เมอ [0, )f g
D+
= ¥
2( )( ) ( 1) 1f g x x x- = + - + เมอ [0, )f g
D-
= ¥
2( )( ) ( 1) ( 1)fg x x x= + - เมอ [0, )fg
D = ¥
2( 1)
( )1
f xx
g x
æ ö +÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - เมอ [0,1) (1, )
f
g
D = È ¥
2
1( )
( 1)
g xx
f x
æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç +è ø เมอ [0, )
g
f
D = ¥
3.
4.
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-2
-1
1
2
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
1
2
3
4
5
6
f + g f – g
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5. ( )| | 1
f xx
g x
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç +è ø เมอ
f
g
D = และ ( 1,1)f
g
R = -
เฉลยแบบฝกหดเรองตวอยางของฟงกชนพนฐาน
1. 10 หนวย 2. 2-
3. ชวงทกราฟอยเหนอแกน X คอ 32,
4
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø; ชวงทกราฟอยใตแกน X คอ ( , 2)-¥ - และ 3
,4
æ ö÷ç ÷¥ç ÷ç ÷çè ø
4. 0 5. 1, 1a b=- = และ 0c =
เฉลยแบบฝกหดระคน
1. ฟงกชนลดบนชวง ( 2,0)-
2. ฟงกชนเพมบนชวง ( 2, 1)- - และ ( 1,1)- และ (1,2) 3. แกนสมมาตรคอ เสนตรง 1x = และจดวกกลบ คอ (1,4)
4. 3 1 1; ( 2) ; (0) ; (1) ; (2) 2 1;
2 2 2fD f f f f= - = - = - = = -
2 1( )
2
xf x
-= เมอ 1 1x- < £ และ 1
( )1
f xx
=+
เมอ 1x >
5. 2
2; 1 2( )
( 1) ; 2
x xf x
x x
ìï - < £ïï= íï - >ïïî
6.
1; 1
1; 1 0( ) | | 1 | | 1
1; 0 1
1; 1
x x
x xf x x x
x x
x x
ìï- - £-ïïï + - < £ïï= - = - + = íï- + < £ïïï - >ïïî
7. 2
2
; 0( )
; 0
x xf x
x x
ìï >ïï= íï- <ïïî
8. ไมจรง เชน f เปนฟงกชนหนงตอหนงทมกราฟดงรป แต f ไมเปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) บนโดเมนของ f
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9. ตวอยางเชนให ( )f x x= และ ( ) 2g x x= เปนฟงกชนเพมทงค แต ( )( )f g x x- = - เปนฟงกชนลด
10. 2
2
2 2; 0 1
( )( ) 1; 1 2
2 ; 2 3
x x
f g x x x x
x x
ìï - < £ïïï+ = + - < £íïïï < £ïî
เมอ (0, 3]f g
D+
=
2
0; 0 1
( )( ) 1; 1 2
0; 2 3
x
f g x x x x
x
ìï < £ïïï- = - + < £íïï < £ïïî
เมอ (0, 3]f g
D-
=
2
2
4
( 1) ; 0 1
( )( ) ( 1); 1 2
; 2 3
x x
fg x x x x
x x
ìï - < £ïïï= - < £íïïï < £ïî
เมอ (0, 3]fg
D =
2
1; 0 1
( ) ; 1 21
1; 2 3
x
f xx x
g xx
ìï < <ïïïæ ö ï÷ ïç ÷ = < £ç í÷ç ÷ç ï -è ø ïï < £ïïïî
เมอ (0,1) (1,3]f
g
D = È
2
1; 0 1
1( ) ; 1 2
1; 2 3
x
g xx x
f xx
ìï < <ïïïæ ö -ï÷ ïç ÷ = < £ç í÷ç ÷ç ïè ø ïï < £ïïïî
เมอ (0,1) (1,3]g
f
D = È