ÌÈÍÈÑÒÅÑÒÂÎ ÎÁÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÀÖÈÈÔåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÎÌÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒèì. Ô.Ì. ÄÎÑÒÎÅÂÑÊÎÎÑÁÎÍÈÊ ÇÀÄÀ×ÏÎ ÒÅÎÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀHÈÊÅäëÿ ñòóäåíòîâ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà

2012

ÓÄÊ 530.1ÁÁÊ 22.21ÿ73Á 941 åêîìåíäîâàíî ê èçäàíèþðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì ÎìÓåöåíçåíòû:êàíä. èç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Â.Í. Èâàíîâ (ÎìÒÓ);êàíä. èç.-ìàò. íàóê, äîöåíò À.Í. Âàêèëîâ (ÎìÓ)Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå:ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå / ñîñò. .Ë. Áóõáèíäåð Îìñê:Èçä-âî Îì. ãîñ óí-òà, 2012. 60 ñ.ISBN 978-5-7779-1443-9Ïðåäñòàâëåíû çàäà÷è ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå, è ìåõàíèêåñïëîøíûõ ñðåä äëÿ ðåøåíèÿ íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ, à òàêæåäëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.Äëÿ ñòóäåíòîâ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà. ÓÄÊ 514.85ÁÁÊ 22.21ÿ73ISBN 978-5-7779-1443-9 © Áóõáèíäåð .Ë., ñîñòàâëåíèå, 2012 © îîðìëåíèå. ÔÁÎÓ ÂÏÎ ¾ÎìÓèì. Ô.Ì. Äîñòîåâñêîãî¿, 2012

Ñîäåðæàíèå1. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ . . . . . 42. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ . . . . . . . . 93. Ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö. Ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ . . . . . . 114. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåpíûõ ñèñòåì . . . . . . . . 125. Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìèñâîáîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ópàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè . . . . . . . . . . . . 20Ïåðåìåííûå äåéñòâèå óãîë . . . . . . . . . . . . . . 217. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . 228. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä . . . . . . . . . . . . . . . 29Îòâåòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ . . . . 352. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ . . . . . . . 403. Ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö . . . . . . . . . . . . . . . . . 444. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåðíûõ ñèñòåì . . . . . . . 455. Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿ-ìè ñâîáîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 477. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà . . . . . . . . . . . . . . . 518. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä . . . . . . . . . . . . . . 55Ëèòåpàòópà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Çàäà÷è1. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ1.1. Íàéòè óíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïëîñêî-ãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿìàëûõ îòêëîíåíèé îò ðàâíîâåñèÿ (ðèñ. 1).1.2. Íàéòè óíêöèþ Ëàãðàíæà äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà(ðèñ. 2).1.3*. Öèêëîèäàëüíûé ìàÿòíèê . ×àñòèöà ìàññû m ïðèêðåï-ëåíà ê òîíêîé, íåðàñòÿæèìîé íèòè (ðèñ. 3) äëèíû l = 4a, âòîðîéêîíåö êîòîðîé ïðèêðåïëåí ê òî÷êå A öèêëîèäû: x = a(ϕ+ sinϕ),

y = a(1 − cosϕ), 0 6 ϕ 6 2π. Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû â ïîëå ñèëûòÿæåñòè â ïëîñêîñòè xy ÷àñòü íèòè ïðèëåãàåò ê äóãàì öèêëîèäû.à) Ïîêàçàòü, ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî öèêëîèäåx = a(ϕ− sinφ) , y = a(cosϕ− 1).á) Çàïèñàòü óíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû è íàéòè çàêîí äâèæå-íèÿ.1.4. Ïîêàçàòü, ÷òî óíêöèè Ëàãðàíæà L = L(q, q, t) è L′ =

L + df(q, t)/dt, ãäå f(q, t) - ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îáîáùåííûõêîîðäèíàò è âðåìåíè, ïðèâîäÿò ê îäíèì è òåì æå óðàâíåíèÿìËàãðàíæàx

y

l

m

j

x

y

l

m

1

l21

2 2

m1

j

j

èñ. 1. Ê çàäà÷å 1.1 èñ. 2. Ê çàäà÷å 1.2

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 5

x

m

l

j = 2p

j= 0

j p=

M

A

a2

a2

y

Rq

m

A

èñ. 3. Ê çàäà÷å 1.3 èñ. 4. Ê çàäà÷å 1.51.5.Íåðàñòÿæèìàÿ íèòü äëèíû l, ê îäíîìó êîíöó êîòîðîé ïîä-âåøåí ãðóç ìàññû m, ïðèêðåïëåíà ê âåðõíåé òî÷êå A âåðòèêàëü-íîãî äèñêà ðàäèóñà R (R < l/π) (ðèñ. 4). Ïðè äâèæåíèè ãðóçà âïîëå ñèëû òÿæåñòè íèòü íàìàòûâàåòñÿ íà äèñê. Íàéòè óíêöèþËàãðàíæà è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ.1.6.Íàéòè óíêöèþ Ëàãðàíæà ïëîñ-

y

x

l

m

a

èñ. 5. Ê çàäà÷å 1.6

êîãî ìàÿòíèêà äëèíû l, ìàññû m, òî÷êàïîäâåñà êîòîðîãî:à) ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ ïî âåðòèêàëü-íîé îêðóæíîñòè ðàäèóñà a ñ ïîñòîÿí-íîé ÷àñòîòîé γ (ðèñ. 5);á) ñîâåðøàåò ãîðèçîíòàëüíûå êîëåáàíèÿïî çàêîíó a cos γt;â) ñîâåðøàåò âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿïî çàêîíó a cos γt.1.7.Íàéòè óíêöèþ Ëàãðàíæà ïëîñ-êîãî ìàÿòíèêà ñ ìàññîé m2, òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî ñ ìàññîé m1ìîæåò ñîâåðøàòü äâèæåíèå âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Äëèíà ìà-ÿòíèêà l.1.8. Äâå òî÷êè ñ ìàññàìè m1 è m2 ñîåäèíåíû ãëàäêîé íåpàñ-òÿæèìîé íèòüþ äëèíû l, ïåpåêèíóòîé ÷åpåç áëîê ïpåíåápåæèìîé6 Çàäà÷èìàññû. Hàéòè óíêöèþ Ëàãpàíæà è çàêîí äâèæåíèÿ ãpóçîâ â ïîëåñèëû òÿæåñòè. 1.9. Íàéòè óíêöèþ Ëàãpàíæà ñè-

W

mm

m

11

2èñ. 6. Ê çàäà÷å 1.9ñòåìû, èçîápàæåííîé íà (ðèñ. 6) è íà-õîäÿùåéñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè; òî÷êà

m2 äâèæåòñÿ ïî âåpòèêàëüíîé îñè, à âñÿñèñòåìà âpàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîéñêîpîñòüþ Ω âîêpóã ýòîé îñè.1.10. Äâå òî÷êè ñ ìàññàìè m1 è m2,ñîåäèíåííûå ñòåðæíåì äëèíû a ïðåíå-áðåæèìî ìàëîé ìàññû, ïåðåìåùàþòñÿ ïîãëàäêèì ñòîðîíàì íåïîäâèæíîãî ïðÿìî-ãî óãëà, ðàñïîëîæåííîãî â âåðòèêàëüíîéïëîñêîñòè (ñòîðîíû óãëà îáðàçóþò óãîë

14π ñ ãîðèçîíòîì)(ðèñ. 7). Hàéòè Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû .1.11.Óïðóãàÿ íèòü äëèíû 2a â íåíàïðàâëåííîì ñîñòîÿíèè ïå-ðåêèíóòà ÷åðåç äâà ãîðèçîíòàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ñòåðæíÿ, ðàñ-ïîëîæåííûõ íà îäíîì õîäîâ, íà ðàññòîÿíèè a äpóã îò äðóãà. Êîí-öû íèòè ïðèëåïëåíû ê øàðèêó ìàññû m, ñîâåðøàþùåìó êîëå-áàíèÿ ïî âåðòèêàëè (ðèñ. 8). Hàéòè Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû. Hèòüïîä÷èíåíà çàêîíó óêà ñ æåñòêîñòüþ κ.1.12. Òî÷êà ìàññû m, êîòîpàÿ ìîæåò

xy

m

m1

2 p/4èñ. 7. Ê çàäà÷å 1.10ïåpåäâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîé ãîpèçîíòàëü-íîé ïpÿìîé, ñîåäèíåíà ïpóæèíîé ñ íåïî-äâèæíîé òî÷êîé, íàõîäÿùåéñÿ íà pàññòî-ÿíèè h îò ïpÿìîé. Hàéòè óíêöèþ Ëà-ãpàíæà, ïpåäïîëàãàÿ, ÷òî ïpóæèíà ïîä-÷èíåíà çàêîíó óêà ñ æåñòêîñòüþ κ, à ååíåäåîpìèpîâàííàÿ äëèíà åñòü l0.1.13. Äâà øàðèêà ( ìàññû -m1 èm2),ñîåäèíåííûå ïðóæèíîé, ïîä÷èíÿþùåéñÿ çàêîíó óêà (æåñòêîñòü

κ), äâèæóòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé. Hàéòè Ëàãðàí-æèàí ñèñòåìû è èíòåãðàëû äâèæåíèÿ.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 71.14. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ëàãðàí-æèàíîì

L =1

2

q21a+ bq22

+1

2q22 − cq22 ,ãäå a > 0, b > 2, c > 0.1.15. Hàéòè ïpîåêöèè ñêîðîñòè ÷àñòèöû íà îñè öèëèíäðè÷å-ñêîé è ñåðè÷åñêîé ñèñòåì êîîpäèíàò.1.16.Hàéòè ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèÿ

mèñ. 8. Ê çàäà÷å 1.11

÷àñòèöû â îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîð-äèíàò qi, åñëè ýëåìåíò äëèíû çàäàí ñî-îòíîøåíèåì:

dl2 = h21dq21 + h22dq

22 + h23dq

23,ãäå hi(q1, q2, q3) - êîýèöèåíòû Ëÿìå.Çàïèñàòü óñêîðåíèå â öèëèíäðè÷åñêèõ èñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.1.17. Çàïèñàòü ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿ÷àñòèöû â ïpîèçâîëüíûõ êîîpäèíàòàõ qi, ñâÿçàííûõ ñ äåêàpòîâû-ìè êîîpäèíàòàìè xi ñîîòíîøåíèÿìè: xi = xi(q1, q2, q3), i = 1, 2, 3.1.18. Çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â åñòåñòâåííûõêîîðäèíàòàõ.1.19. Hàéòè äåéñòâèå ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â îòñóòñòâèå ïîëÿè ïpîõîäÿùåé ÷åpåç òî÷êè r1 = r(t1) è r2 = r(t2).1.20*. Âû÷èñëèòü äåéñòâèå äëÿ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â ïîëå

U = −Fx. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè x(t1) = x1, x(t2) = x2, òî äåéñòâèåS pàâíî:

S =m

2τ(x2 − x1)

2 +Fτ

2(x1 + x2)−

F 2τ3

24mτ = t2 − t11.21. Âû÷èñëèòü äåéñòâèå äëÿ ÷àñòèöû ñ ëàãpàíæèàíîì L =

12mx

2 − 12mω

2x2, ïpîõîäÿùåé ÷åpåç òî÷êè x1 = x(t1), x2 = x(t2).1.22. ×àñòèöà â ïîëå U = −Fx çà âpåìÿ τ ïåpåìåùàåòñÿ èçòî÷êè x = 0 â òî÷êó x = a. Hàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû,8 Çàäà÷èïpåäïîëàãàÿ, ÷òî îí èìååò âèä x(t) = At2 + Bt + C è ïîäáèpàÿïàpàìåòpû A,B,C òàê, ÷òîáû äåéñòâèå èìåëî íàèìåíüøåå çíà÷å-íèå.1.23. ×àñòèöà äâèæåòñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå

U(x) òàê, ÷òî x(t1) = x1, x(t2) = x2. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè t2 −t1 ìàëî, òî èíòåãpàë äåéñòâèÿ, äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî äâèæåíèÿ,ïpèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå.1.24. Hàéòè ïëîñêóþ êpèâóþ, ñîåäèíÿþùóþ äâå òî÷êè A è B,ïî êîòîpîé ÷àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, ñêàòèòñÿèç A â B â êpàò÷àéøåå âpåìÿ. Hà÷àëüíàÿ ñêîpîñòü ÷àñòèöû pàâíàíóëþ.1.25. ×àñòèöà ñ ìàññîé m, äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîpîñòüþ v1, ïå-påõîäèò èç ïîëóïëîñêîñòè, â êîòîpîé åe ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåpãèÿïîñòîÿííà è pàâíà U1, â ïîëóïëîñêîñòü, ãäå ýòà ýíåpãèÿ òîæå ïî-ñòîÿííà, íî pàâíà U2. Îïpåäåëèòü èçìåíåíèå íàïpàâëåíèÿ äâèæå-íèÿ ÷àñòèöû.1.26. Hàéòè âûpàæåíèå äëÿ äåêàpòîâûõ êîìïîíåíò è àáñîëþò-íîé âåëè÷èíû ìîìåíòà ÷àñòèöû â öèëèíäpè÷åñêèõ êîîpäèíàòàõ.1.27. Êàêèå êîìïîíåíòû èìïóëüñà è ìîìåíòà ñîõpàíÿþòñÿ ïpèäâèæåíèè ÷àñòèöû â ñëåäóþùèõ ïîëÿõ:a) ïîëå áåñêîíå÷íîãî îäíîpîäíîãî öèëèíäpà,á) ïîëå îäíîpîäíîé áåñêîíå÷íîé ïpèçìû,â) ïîëå äâóõ òî÷åê,ã) ïîëå áåñêîíå÷íîé îäíîpîäíîé ïîëóïëîñêîñòè,ä) ïîëå îäíîpîäíîãî êîíóñà,å) ïîëå îäíîpîäíîãî êpóãîâîãî òîpà,æ) ïîëå áåñêîíå÷íîé îäíîpîäíîé öèëèíäpè÷åñêîé âèíòîâîé ëè-íèè.1.28. Îäíîpîäíûé ñòåpæåíü äëèíû l â íà÷àëüíûé ìîìåíò âpå-ìåíè çàíèìàåò âåpòèêàëüíîå ïîëîæåíèå è îïèpàåòñÿ íà ãëàäêóþãîpèçîíòàüíóþ ïëîñêîñòü. Çàòåì ïîä î÷åíü ìàëûì ñëó÷àéíûì âîç-äåéñòâèåì ñòåpæåíü íà÷èíàåò ïàäàòü íà ïëîñêîñòü. Hàéòè òpàåê-òîpèþ âåpõíåãî êîíöà ñòåpæíÿ.

Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ 91.29. Ïpîèíòåãpèpîâàòü ópàâíåíèå äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷à-ñòèöû â öèëèíäpè÷åñêèõ êîîpäèíàòàõ.2. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ2.1*.×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå U(x) = −12kx

2 + 14λx

4 (k >

0 , λ > 0). Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ, åñëè x(0) = x0 =√

2k/λ, x(0) =0. 2.2. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì U = U0tg2(x/a).Hàéòè çàêîí äâèæåíèÿ è ïåpèîä êîëåáàíèé.2.3. Hàéòè ÷àñòîòó êîëåáàíèé ïpè äâèæåíèè ÷àñòèöû â ïîòåí-öèàëüíîì ïîëå U = −U0/ h2αx, −U0 < E < 0.2.4.Îïpåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå U = A(e−2αx−2e−αx), α > 0, A > 0 (ïîòåíöèàë Ìîpçà). Ïîëíàÿ ýíåpãèÿ E = 0.Hàéòè òî÷êè ïîâîpîòà.2.5 Ïëîñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíû l îòêëîíåí îòâåpòèêàëè íà óãîë ϕ0 è íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ áåç íà÷àëüíîé ñêîpî-ñòè. Ïîêàçàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü ïåpèîäà îò àìïëèòóäû êîëåáàíèéèìååò âèä:

T = 4√l/g

π/2∫

0

du√1− sin2 ϕ0

2 sinu, ÷èòàÿ, ÷òî ϕ0 ìàëî, íàéòè ïåpâûå äâà ÷ëåíà pàçëîæåíèÿ T â pÿä.2.6. ×àñòèöà äâèæåòñÿ ïî öèêëîèäå, ëåæàùåé â âåpòèêàëüíîéïëîñêîñòè, ópàâíåíèå êîòîpîé â ïàpàìåòpè÷åñêîé îpìå èìååòâèä:

x(s) = Rs+R sin s y(s) = −R cos sHàéòè çàêîí äâèæåíèÿ, åñëè ïpè ìàêñèìàëüíîì îòêëîíåíèè îòíèæíåé òî÷êè öèêëîèäû, êîãäà s = s0, ÷àñòèöà ñêàòûâàåòñÿ áåçíà÷àëüíîé ñêîpîñòè. Hàéòè ïîëíûé ïåpèîä äâèæåíèÿ ïî îäíîéâåòâè öèêëîèäû.2.7. Ïpîèíòåãpèpîâàòü ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñåpè÷åñêîãî ìà-ÿòíèêà - ìàòåpèàëüíîé òî÷êè ìàññû m, äâèæóùåéñÿ ïî âíóòpåí-10 Çàäà÷èíåé ïîâåpõíîñòè ãëàäêîé ñåpû pàäèóñà l â ïîëå òÿæåñòè. Hàéòèñèëó påàêöèè ñåpû.2.8. Ïpîèíòåãpèpîâàòü ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, äâèæó-ùåéñÿ ïî âíóòpåííåé ïîâåpõíîñòè ãëàäêîãî êîíóñà (ñ óãëîì 2α ïpèâåpøèíå), pàñïîëîæåííîãî âåpòèêàëüíî, âåpøèíîé âíèç, â ïîëåòÿæåñòè. Hàéòè ñèëó påàêöèè êîíóñà.2.9*. Íàéòè äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè r =

r(ϕ) ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå U(r).2.10. Íàéòè ñèëó F (r) = −∂U/∂r, äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó âöåíòðàëüíîì ïîëå U(r), äëÿ êîòîðîé òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé ëîãàðèìè÷åñêóþ ñïèðàëü r = keαϕ, ãäå k è α -êîíñòàíòû.2.11. Íàéòè r(t) è ϕ(t) ïðè äâèæåíèè ïî òðàåêòîðèè r = keαϕ,

k è α - êîíñòàíòû.2.12. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîéñèëû F (r) ïî êîíè÷åñêîìó ñå÷åíèþ, óðàâíåíèå êîòîðîãî â ïîëÿð-íûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä p

r= 1+ e cosϕ, ãäå p è e - ïàðàìåòð èýêñöåíòðèñèòåò òðàåêòîðèè. Íàéòè ñèëó F (r) è ïîòåíöèàë U(r).2.13. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè â öåíòðàëüíîì ïîëå U =

−α/r ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð Ëàïëàñà

l =1

α[v,M]− r

r,ëåæàùèé â ïëîñêîñòè òðàåêòîðèè. Íàéòè âåëè÷èíó âåêòîðà l èñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå l · r. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè óãîë ìåæäó âåê-òîðàìè l è r åñòü ϕ, òî óðàâíåíèå òðàåêòîðèè èìååò âèä

p

r= 1 + e cosϕ ,ãäå p =M2/mα, e = √

1 + 2M2E/mα2 è E - ýíåðãèÿ ÷àñòèöû.2.14. Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå p/r = 1 + e cosϕ, ãäå r, ϕ -ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû, p = onst, â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû e,îïèñûâàåò ýëëèïñ (0 < e < 1), ãèïåðáîëó (e > 1), ïàðàáîëó (e = 1)èëè îêðóæíîñòü (e = 0).

Ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö 112.15. Ñïóòíèê äâèæåòñÿ âîêðóã Çåìëè ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáè-òå ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì e. Íàéòè îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîãî è ìè-íèìàëüíîãî çíà÷åíèé óãëîâîé ñêîðîñòè ðàäèóñ-âåêòîðà ñïóòíèêà.2.16. Ïpîèíòåãpèpîâàòü ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â öåí-òpàëüíîì ïîëå U = −α/r2, α > 0 ïpè à) E > 0, M2/2m > α,á)E > 0,M2/2m < α, â) < 0,M2/2m < α .2.17. Hàéòè óãîë íà êîòîpûé îòêëîíÿåòñÿ ÷àñòèöà îò ñâîåãîïåpâîíà÷àëüíîãî íàïpàâëåíèÿ ïpè èíèíèòíîì äâèæåíèè â ïîëå

U = α/r + β/r2 (α > 0, β > 0).2.18. Îïpåäåëèòü òpàåêòîpèþ ÷àñòèöû â ïîëå U = α/r +β/r2 (α > 0, β > 0).2.19. Hàéòè çàâèñèìîñòü êîîpäèíàò ÷àñòèöû îò âpåìåíè ïpèäâèæåíèè ïî ýëèïòè÷åñêîé îpáèòå â ïîëå U = −α/r (α > 0, E <0). 2.20. Îïpåäåëèòü òpàåêòîpèþ ÷àñòèöû â ïîëå U = 1

2αr2, (α >

0, E > 0).2.21. Îïpåäåëèòü òpàåêòîpèþ èíèòíîãî äâèæåíèÿ äâóõ ÷à-ñòèö, ýíåpãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîpûõ åñòü:

U(r1, r2) = − α

|r1 − r2|, (α > 0, m1 < m2)3. Ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö. Ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ3.1. Âûpàçèòü ñêîpîñòè îáåèõ ÷àñòèö, ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ äâè-æóùåéñÿ ÷àñòèöû ìàññû m1 ñ íåïîäâèæíîé - ìàññû m2, ÷åpåç èõóãëû pàññåÿíèÿ θ1, θ2 â ë-ñèñòåìå.3.2.Îïpåäåëèòü èíòåpâàë çíà÷åíèé, êîòîpûå ìîæåò èìåòü óãîëìåæäó íàïpàâëåíèÿìè ñêîpîñòåé ÷àñòèö ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ äâè-æóùåéñÿ ÷àñòèöû (ìàññà m1) ñ ïåpâîíà÷àëüíî ïîêîèâøåéñÿ (ìàñ-ñà m2).3.3. ×àñòèöà ñ ìàññîé m1 ñòàëêèâàåòñÿ ñ ïåpâîíà÷àëüíî ïîêî-èâøåéñÿ ÷àñòèöîé ìàññû m2 < m1. Hà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîëìîæåò îòêëîíèòüñÿ íàëåòàþùàÿ ÷àñòèöà.3.4. Âûpàçèòü àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ñêîpîñòåé ÷àñòèö ïîñëåñòîëêíîâåíèÿ ÷åpåç óãîë pàññåÿíèÿ â ö-ñèñòåìå.

12 Çàäà÷è3.5. ×àñòèöà, ìàññà êîòîpîé m è íà÷àëüíàÿ ñêîpîñòü v1, ñòàë-êèâàåòñÿ ñ ïîêîèâøåéñÿ ÷àñòèöåé òîé æå ìàññû. Ñ÷èòàÿ, ÷òî óãîëpàññåÿíèÿ ÷àñòèö â ö-ñèñòåìå èçâåñòåí, íàéòè óãëû pàññåÿíèÿ èêîíå÷íûå èìïóëüñû êàæäîé ÷àñòèöû â ë-ñèñòåìå.3.6. Hàéòè ýåêòèâíîå ñå÷åíèå pàññåÿíèÿ â ïîëÿõ:a) U = α/r; á) U = α/r2 (α > 0).3.7. Hàéòè ýåêòèâíîå ñå÷åíèå pàññåÿíèÿ ÷àñòèö íà ãëàäêîéóïpóãîé ïîâåpõíîñòè âpàùåíèÿ ρ(z):ρ(z) = Azn, 0 < n < 1, A = onst4. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåpíûõ ñèñòåì4.1. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè ïî ãëàäêîé ïëîñ-êîé êðèâîé y = 2ax3 − 9bx2 + 12cx + d, (ac = b2, b > 0). Íàéòèìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû.4.2. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëå U = −Cxne−ax,ãäå C = onst, a > 0 è n > 0. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèéîêîëî óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.4.3. Hàéòè ÷àñòîòó ω ìàëûõ êîëåáàíèé ÷àñòèöû â ïîëå U =

V cosαx− Fx, α, V , F - ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.4.4. ×àñòèöà ìàññû m ñîåäèíåíà ñ

èñ. 9. Ê çàäà÷å 7.9äâóìÿ ïpóæèíàìè æåñòêîñòè k, èìåþ-ùèìè çàêpåïëåííûå êîíöû, è ìîæåò ïå-påìåùàòüñÿ âäîëü âåpòèêàëüíîé îñè. Hàé-òè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû âïîëå ñèëû òÿæåñòè.4.5. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèéñèñòåìû èç çàäà÷è 1.5 .4.6. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèéñèñòåìû èç çàäà÷è 1.9 ïðè m1 = m2.4.7. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó ìàëûõ êî-ëåáàíèé ñèñòåìû èç çàäà÷è 1.11.  ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ íèòüîápàçóåò pàâíîñòîpîííèé òpåóãîëüíèê.4.8. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû m ñîåäèíåíà ñ ïîìîùüþ íåâå-

Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåpíûõ ñèñòåì 13ñîìîãî ñòåðæíÿ äëèíû l (ðèñ.9) ñ øàðíèðîì O, âðàùàþùèìñÿ âî-êðóã âåðòèêàëè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω. Íàéòè ìàëûåêîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ îêîëî óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.4.9. ×àñòèöà ìàññû m ïðèêðåïëåíà ê äâóì îäèíàêîâûì ïðó-æèíàì æåñòêîñòè k, èìåþùèì çàêðåïëåííûå êîíöû.  íåäåîp-ìèpîâàííîì ñîñòîÿíèè ïpóæèíû íàõîäÿòñÿ âäîëü ãîpèçîíòàëüíîéïpÿìîé AB. Hàéòè ÷àñòîòó ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, åñëè÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ: à) âäîëü ïpÿìîé AB; á) ïåpïåíäèêó-ëÿpíî AB. Håäåîpìèpîâàííàÿ äëèíà ïpóæèí pàâíà l.4.10. Òÿæåëîå êîëå÷êî ìàññû m ìîæåò ñêîëüçèòü ïî ãëàäêîéïðîâîëî÷íîé ïàðàáîëå y = x2/(2l)(îñü Oy íàïðàâëåíà âåðòèêàëü-íî ââåðõ). Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ êîëå÷êà îêîëî óñòîé÷èâîãî ïî-ëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.4.11. Òÿæ¼ëîå êîëå÷êî ìàññû m ìîæåò ñêîëüçèòü ïî íåïî-äâèæíîìó ïðîâîëî÷íîìó ýëëèïñó, çàäàâàåìîìó óðàâíåíèåì x2

a2+

y2

b2= 1, îñü Oy êîòîðîãî âåðòèêàëüíà. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿêîëå÷êà îêîëî óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.4.12. ×àñòèöà ìàññû m, íåñóùàÿ çàpÿä q, ìîæåò äâèãàòüñÿ âïîëå òÿæåñòè ïî âåpòèêàëüíîé îêpóæíîñòè pàäèóñà R.  íèæíåé÷àñòè îêpóæíîñòè çàêpåïëeí çàpÿä q. Hàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëå-áàíèé ÷àñòèöû.4.13.Îïpåäåëèòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ãàpìîíè÷åñêîãî îñ-öèëëÿòîpà ñ ÷àñòîòîé ω ïîä âëèÿíèåì ñèëû F (t), åñëè â íà÷àëü-íûé ìîìåíò âpåìåíè t = 0 îñöèëëÿòîp ïîêîèòñÿ â ïîëîæåíèè pàâ-íîâåñèÿ (u = 0, u = 0), äëÿ ñëó÷àåâ: à) F = F0 = const , á)

F = at, â)F = F0e−αt, ã) F = F0e

−αt cos βt.

14 Çàäà÷èm m 2a aèñ. 10. Ê çàäà÷å 5.3 èñ. 11. Ê çàäà÷å 5.45. Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìèñòåïåíÿìè ñâîáîäû5.1. Hàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû, óíêöèÿ Ëàãpàíæà êî-òîpîé åñòü:

L =1

2(2x21 + 2x1x2 + 5x22)−

1

2(3x21 + 6x1x2 + 9x22)5.2 Hàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà â ïî-ëå ñèëû òÿæåñòè (ðèñ. 2), åñëè m1 = m2 è l1 = l2. Óñòàíîâèòü âèääâèæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî íîpìàëüíûì êîëåáàíèÿì.5.3.Äâå ÷àñòèöû ñ ìàññàìè m, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé è ñíåïîäâèæíûìè ñòåíêàìè îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòè k,ñîâåðøàþò ìàëûå êîëåáàíèÿ âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé îñè (ðèñ. 10).Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû.5.4. Äâå ÷àñòèöû ìàññû m, ñîåäèíåííûå ïpóæèíîé, äâèæóòñÿâäîëü ãîpèçîíòàëüíîé ïpÿìîé (ðèñ. 11). Îäíà èç ÷àñòèö ñîåäèíåíà

m

kk

k

m

èñ. 12. Ê çàäà÷å 5.5 èñ. 13. Ê çàäà÷å 5.6

Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû 15

m

m

k

k

m

m

jj1

2

èñ. 14. Ê çàäà÷å 5.7 èñ. 15. Ê çàäà÷å 5.8ñ äðóãîé ïðóæèíîé, èìåþùåé çàêðåïëåííûé êîíåö. Hàéòè ìàëûåêîëåáàíèÿ ñèñòåìû. Êàêîé âèä äâèæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò íîpìàëü-íûì êîëåáàíèÿì. Íåäåîpìèpîâàííàÿ äëèíà ïpóæèí - a.5.5. Hàéòè ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ñ óïpóãèì ïîä-âåñîì. Ïpóæèíà äåîpìèpóåòñÿ òîëüêî âäîëü ñâîåé îñè è åe íåäå-îpìèpîâàííàÿ äëèíà pàâíà pàâíà l0 (ðèñ. 12).5.6. ×àñòèöà ìàññû m ïðèêðåïëåíà ê òðåì ïðóæèíàì, êîíöûäâóõ èç êîòîðûõ ïðèêðåïëåíû ê óãëàì êâàäðàòà, à êîíåö òðå-òüåé ïðóæèíû ïðèêðåïëåí ê ñåðåäèíå ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû(ðèñ. 13). Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû, åñëè ÷àñòèöà äâèæåò-ñÿ â ïëîñêîñòè êâàäðàòà.5.7. Äâå ÷àñòèöû ìàññû m, ñîåäèíeííûå äâóìÿ ïpóæèíàìèæåñòêîñòè k, ìîãóò äâèãàòüñÿ ïî êîëüöó pàäèóñà R (ðèñ. 14). Êî-ãäà ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ íà âåpòèêàëüíîé ëèíèè, ïpóæèíû íåäå-îpìèpîâàííû. Hàéòè íîpìàëüíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû.5.8. Äâå ÷àñòèöû ìàññû m, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ïðóæèíîéæåñòêîñòè k, ìîãóò äâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîìó íåïîäâèæíîìó ãîðè-çîíòàëüíîìó êîëüöó ðàäèóñà R (ðèñ. 15); äëèíà ïðóæèíû â íåäå-îðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ðàâíà R√2. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿñèñòåìû. Îïðåäåëèòü âèä äâèæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé êàæäîéíîðìàëüíîé ìîäå.5.9. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ îáðàùåííîãî äâîéíîãî ìàÿòíèêà(ðèñ. 16), âáëèçè óñòîé÷èâîãî âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-16 Çàäà÷èñèÿ. 5.10. Hàéòè íîpìàëüíûå êîëåáàíèÿ

l

l

m

mj

j

1

2

k

k

èñ. 16. Ê çàäà÷å 5.9ñèñòåìû, óíêöèÿ Ëàãpàíæà êîòîpîé

L =x2

2+y2

2− 1

2(ω2

1x2 + ω2

2y2) + αxy ,èñïîëüçóÿ ïpåîápàçîâàíèå ê íîpìàëüíûìêîîpäèíàòàì.5.11.Håâåñîìàÿ ñòpóíà äëèíîé 4a íà-òÿíóòà ñèëîé P ìåæäó äâóìÿ èêñèpî-âàííûìè òî÷êàìè. Hà ñòpóíå çàêpåïëå-íû òî÷å÷íûå ìàññû m, 4

3m, m íà pàâíûõpàññòîÿíèÿõ äpóã îò äpóãà. Ñèñòåì ñîâåpøàåò ìàëûå ïîïåpå÷íûåêîëåáàíèÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Ïpåíåápåãàÿ èçìåíåíèåì íàïpÿæå-íèÿ P , íàéòè íîpìàëüíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû.Óêàçàíèå: íàéòè âíà÷àëå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöû.5.12. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàõîäÿ-ùåéñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè íà ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé óðàâíåíèåì

lz − x2 − xy − y2 = 0 .5.13. Hàéòè íîpìàëüíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû N ÷àñòèö ìàññû

m, äâèæóùèõñÿ âäîëü ïpÿìîé è ñîåäèíåííûõ ïpóæèíàìè æ¼ñò-êîñòè k. Êpàéíèå êîíöû ïpóæèí çàêpåïëåíû . Óêàçàíèå: óäîáíîèñêàòü íîpìàëüíûå êîëåáàíèÿ â âèäå ñóïåpïîçèöèè áåãóùèõ âîëí.6. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ6.1.Hàéòè óíêöèþ àìèëüòîíà è påøåíèå êàíîíè÷åñêèõ ópàâ-íåíèé äëÿ ãàpìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîpà ñ ÷àñòîòîé ω è ìàññîé m.6.2. Îïpåäåëèòü óíêöèþ àìèëüòîíà àíãàpìîíè÷åñêîãî îñ-öèëëÿòîpà, óíêöèÿ Ëàãpàíæà êîòîpîãî

L =x2

2− ω2x2

2− αx3 + βxx2

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 176.3.Íàéòè ãàìèëüòîíèàí è ñîñòàâèòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ëàãðàíæèàí êîòîðîé èìååò ñëå-äóþùèé âèä:à) L =1

2(2q21 + 2q1q2 + q22)− U(q1, q2);á) L =

3q212

+q222

− q21 −q222

− q1q2;â) L = aq21 + (c2b2 cos2 q1)q22 .6.4.Íàéòè ëàãðàíæèàí ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ãàìèëüòîíèàíêîòîðîé èìååò ñëåäóþùèé âèäa) H = p1p2 + q1q2;á) H =

1

2

p21 + p22q21 + q22

+ a(q21 + q22).6.5.Hàéòè óíêöèþ àìèëüòîíà è ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïàpà-áîëè÷åñêèõ êîîpäèíàòàõ ξ η ϕ, ñâÿçàííûõ ñ öèëèíäpè÷åñêèìèêîîpäèíàòàìè ñîîòíîøåíèÿìè

z =1

2(ξ − η), ρ =

√ξη.6.6. Hàéòè óíêöèþ àìèëüòîíà â ýëëèïòè÷åñêèõ êîîpäèíà-òàõ ξ, η, ϕ , ñâÿçàííûõ ñ öèëèíäpè÷åñêèìè êîîpäèíàòàìè ρ, ϕ, zñîîòíîøåíèÿìè

ρ = σ√

(ξ2 − 1)(1− η2) z = σξη,

1 ≤ ξ ≤ ∞, |η| < 1, σ - íåêîòîpîÿ ïîñòîÿííàÿ.6.7. Hàïèñàòü óíêöèþ àìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå ópàâíå-íèÿ äëÿ ñèñòåìû ñ Ëàãpàíæèàíîì:a) L = −mc2√

1− x2/c2á) L = −mc2√

1− v2/c2 , v2 = x2 + y2 + z26.8. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà,îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì x2+ y2 = R2. Íà ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñè-ëà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ðàññòîÿíèþ äî íà÷àëà êîîðäèíàò: F = −kr,ãäå r - ðàäèóñ âåêòîð ÷àñòèöû. Çàïèñàòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ.

18 Çàäà÷è6.9. Íàéòè óíêöèþ àìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ äëÿ ñåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàññû m è äëèíû l.6.10. Hàéòè óíêöèþ àìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå ópàâíåíèÿäëÿ ÷àñòèöû ñ çàpÿäîì e â ýëåêòpîìàãíèòíîì ïîëå ñ âåêòîpíûìA è ñêàëÿpíûì ϕ ïîòåíöèàëàìè.6.11. Ïîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ f = x− pt/m ÿâëÿåòñÿ èíòåãpà-ëîì äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.6.12. Âû÷èñëèòü ñêîáêè Ïóàññîíà1) Mi, pj, Mi, xj; 2) Mi, p

2, Mi, r2

3) Mi,Mj4) ap,br, Mi, rp, p, rnÇäåñü xi, pi, Mi, (i = 1, 2, 3) - äåêàpòîâû êîìïîíåíòû, ñîîòâåò-ñòâåííî pàäèóñ - âåêòîpà ÷àñòèöû r, èìïóëüñà p è ìîìåíòà M; a,

b - ïîñòîÿííûå âåêòîpû.6.13. Hàéòè êàíîíè÷åñêîå ïpåîápàçîâàíèå, ñîîòâåòñòâóþùååïpîèçâîäÿùåé óíêöèèF2(q,P, t) = qP + (bq − aP)t ,ãäå a, b - êîíñòàíòû. Çàïèñàòü â íîâûõ ïåpåìåííûõ êàíîíè÷åñêèåópàâíåíèÿ, åñëè

H =p2

2m+

1

2(q − at)2 .6.14. Ïpè êàêîì óñëîâèè ïpåîápàçîâàíèå

Q = αq + βp, P = γq + νpáóäåò êàíîíè÷åñêèì. Hàéòè ïpîèçâîäÿùóþ óíêöèþ.6.15. ßâëÿåòñÿ ëè êàíîíè÷åñêèì ïpåîápàçîâàíèå:a) Q = p cos q, P = p sin q;á) Q =√2p cos q, P = −√

2p sin q;â) Q = peq, P = q + e−q + ln p.Hàéòè ïpîèçâîäÿùóþ óíêöèþ.6.16. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå

q = Q cosωt+Pω

sinωt

p = −ωQ sinωt+ P cosωt

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 19ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì è íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ óíêöèþ F1. Çà-ïèñàòü â íîâûõ ïåðåìåííûõ êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, åñëè

H =p2

2m+ω2q2

2.6.17. Hàéòè ïpîèçâîäÿùóþ óíêöèþ âèäà F3(p,Q), ïpèâîäÿ-ùóþ ê òàêîìó æå êàíîíè÷åñêîìó ïpåîápàçîâàíèþ, ÷òî è F2(q,P) =

q2eP .6.18. Äîêàçàòü, ÷òî ïpåîápàçîâàíèå

Q = ln(sin p

q

)P = q ctg pÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì è íàéòè ïpîèçâîäÿùóþ óíêöèþ.6.19. àìèëüòîíèàí ÷àñòèöû H = p2/2m. Íàéòè íîâûé ãà-ìèëüòîíèàí è êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîðîæäàåìîå ïðîèç-âîäÿùåé óíêöèåéà) F1(q,Q, t) =

m

2t(q −Q)2á) F2(q,P, t) = qP − 1

2mP2t.6.20. Hàéòè ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è íîpìàëüíûå êîîpäèíàòûñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì

H =1

2[p21 + p22 + q21 + (q2 − q1)

2 + q22 ],èñïîëüçóÿ êàíîíè÷åñêîå ïpåîápàçîâàíèå ñ ïpîèçâîäÿùåé óíêöè-åé

F1 =1

4(q1 + q2)

2 ctg Q1 +

√3

4(q1 − q2)

2 ctg Q2.6.21. ßâëÿåòñÿ ëè óíêöèÿF (q,P) = q2 + P2ïpîèçâîäÿùåé óíêöèåé íåêîòîpîãî êàíîíè÷åñêîãî ïpåîápàçîâà-íèÿ.

20 Çàäà÷èÓpàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè6.22. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè r(0) = r0, p(0) = p0, èñïîëüçóÿ ópàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè.6.23. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â îäíîpîäíîì ãpàâè-òàöèîííîì ïîëå, èñïîëüçóÿ ópàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè, åñëèx(0) = y(0) = 0, z(0) = h, p(0) = 0.6.24. Íàéòè ïîëíûé èíòåãpàë ópàâíåíèÿ àìèëüòîíà ßêîáèäëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàññû m è äëèíû l è çàêîí åãîäâèæåíèÿ â êâàäpàòópå.6.25. Íàéòè ïîëíûé èíòåãpàë ópàâíåíèÿ àìèëüòîíà ßêîáèäëÿ òåëà, äâèæóùåãîñÿ ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâ-ëÿþùåé óãoë α ñ ãîpèçîíòîì.6.26.Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñåpè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàòåpè-àëüíîé òî÷êè ìàññû m, äâèæóùåéñÿ ïî ïîâåpõíîñòè ñåpû pàäè-óñà l â ïîëå òÿæåñòè, èñïîëüçóÿ ìåòîä àìèëüòîíà ßêîáè.6.27. Íàéòè ïîëíûé èíòåãpàë ópàâíåíèÿ àìèëüòîíà ßêî-áè äëÿ ýëåêòpîíà, äâèæóùåãîñÿ âî âçàèìíî ïåpïåíäèêóëÿpíûõïîñòîÿííûõ è îäíîpîäíûõ ýëåêòpè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ.6.28. Íàéòè òpàåêòîpèþ påëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â êóëîíîâ-ñêîì ïîëå U(r) = α/r , åñëè Mc = |α|, M ìîìåíò èìïóëüñà, c ñêîpîñòü ñâåòà.6.29. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà ßêîáèäëÿ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â ïîëå U(r) = ar/r3, ãäå a ïîñòîÿí-íûé âåêòîð.6.30*. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè è íàéòè åãîïîëíûé èíòåãðàë â êâàäðàòóðàõ äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì

H(q, p) =H1 +H2 + . . .+Hn

A1 +A2 + . . . +An,ãäå H1, A1 - çàâèñÿò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ q1, p1; H2, A2 - çàâèñÿòòîëüêî îò q2, p2 è.ò.ä.6.31. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè, îïðåäåëèòü åãîïîëíûé èíòåãðàë è íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû ñ ëàãðàí-

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 21æèàíîì.

L =1

2(q21 +

q21q22q22) ;6.32. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè, îïðåäåëèòü åãîïîëíûé èíòåãðàë è íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû ãàìèëü-òîíèàíîìa) H = (p1q2 + 2p1p2 + q21)/2 ;á) H =

1

2

[p21 + p22q1 − q2

+(p23 +

1

q23

)(q1 + q2)

].6.33. Íàéòè òpàåêòîpèþ è çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå

U(r) =mω2

1

2x2 +

mω22

2y2ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà ßêîáè.6.34. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ãàìèëüòîíèàíîì

H =1

2p2 − tx ,èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè.6.35. Âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì àìèëüòîíà ßêîáè, ïî-êàçàòü, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿãàìèëüòîíèàíîì

H =1

2(p21 + p22)(q

21 + q22)

−1 + (q21 + q22)−1,áóäåò êîíè÷åñêèì ñå÷åíèåì â ïëîñêîñòè q1q2 (ýíåðãèÿ ÷àñòèöû

E > 0). Ïåðåìåííûå äåéñòâèå óãîë6.36. Hàéòè ÷àñòîòó ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû,íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå

U(x) =

∞, åñëè x < 0Fx, åñëè x > 0.

22 Çàäà÷è6.37. Hàéòè ïåpåìåííûå äåéñòâèå óãîë è ÷àñòîòó ïåpèîäè-÷åñêîãî äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû â ïåpèîäè÷åñêîì ïîëåU(x) =

0 ïpè na < x < (n+ 1/2)aV ïpè (n+ 1/2)a < x < (n+ 1)a ,

n = 0,±1,±2, ...7. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà7.1. Êîíóñ, ñ çàêðåïëåííîé âåðøèíîé, êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿïî ïëîñêîñòè (ðèñ. 17). Âûñîòà êîíóñà - h, à óãîë ïðè âåðøèíå -

2α. Ñêîðîñòü òî÷êè P åñòü v. Íàéòè óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿêîíóñà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.

P

a

hèñ. 17. Ê çàäà÷å 7.1 èñ. 18. Ê çàäà÷å 7.27.2*. Êîíóñ A ñ óãëîì 2α ïðè âåðøèíå êàòèòñÿ áåç ñêîëüæå-íèÿ ïî ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî êîíóñà B ñ óãëîì 2β (β > α)ïðè âåðøèíå (ðèñ. 18). Îñü ïîäâèæíîãî êîíóñà âðàùàåòñÿ ñ ïî-ñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè íåïîäâèæíîãî êîíóñàÎïðåäåëèòü óãëîâóþ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå êîíóñà A, àòàêæå ñêîðîñòü òî÷êè M , åñëè OM = a, MM0 = b.

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 237.3. Êîíóñ A óãëîì ðàñòâîðà ïðè âåðøèíå 2α êàòèòñÿ áåçñêîëüæåíèÿ ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî êîíóñà B óãëîì ðàñòâîðà 2β (ðèñ. 19). Îñü Ox3 ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè OZ. Íàéòè óã-ëîâóþ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå êîíóñà A, à òàêæå ñêîðîñòüòî÷êè M , åñëè OM0 = a, MM0 = b (îòðåçîê MM0⊥Ox3 è ëåæèòâ ïëîñêîñòè îñåé Ox3 è OZ).7.4. Âûápàâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîð-

Zx

3

A

MM

o B

O

aèñ. 19. Ê çàäà÷å 7.3

äèíàò â öåíòðå èíåðöèè, íàéòè ãëàâ-íûå ìîìåíòû èíåðöèè ñëåäóþùèõ ñè-ñòåì ñ ïîëíîé ìàññîé µ.1) Äâå ÷àñòèöû ñ ìàññàìè m1, m2 íàðàññòîÿíèè l äpóã îò äpóãà (äâóõàòîì-íàÿ ìîëåêóëà).2) Òpè ÷àñòèöû, äâå èç êîòîðûõ èìå-þò ìàññûm1, à òpåòüÿ ìàññóm2, ëå-æàò â âåðøèíàõ pàâíîáåäpåííîãî òðå-óãîëüíèêà ñ äëèíîé îñíîâàíèÿ a è âû-ñîòîé h. ×àñòèöû ñ pàâíûìè ìàññàìèëåæàò â îñíîâàíèè òðåóãîëüíèêà (òpåõàòîìíàÿ ìîëåêóëà).3) Òpè ÷àñòèöû ñ ìàññîé m1 è îäíà ñ ìàññîé m2 ðàñïîëîæåíûâ âåðøèíàõ ïëàâèëüíîé òpåõóãîëüíîé ïèðàìèäû. ×àñòèöû ñ pàâ-íûìè ìàññàìè íàõîäÿòñÿ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû íà ðàññòîÿíèè aäpóã îò äpóãà. Âûñîòà ïèðàìèäû h.7.5. Hàéòè ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè îäíîðîäíûõ ñïëîøíûõòåë ìàññû µ.1) Ñòåðæåíü äëèíû l.2) Øàð ðàäèóñà R.3) Êðóãîâîé öèëèíäð ðàäèóñà R, âûñîòîé h.4) Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ äëèíàìè påáåp a, b, c.5) Ïîëûé øàð ñ ðàäèóñàìè R1 > R2 (ïîëîñòü â öåíòpå øàpà).6) Êpóãîâîé êîíóñ ñ âûñîòîé h è pàäèóñîì îñíîâàíèÿ R.7.6. Hàéòè öåíòp ìàññ ìàòåpèàëüíîãî ñåêòîpà, âûpåçàííîãî èçîäíîpîäíîãî òîíêîãî äèñêà pàäèóñà R. Óãîë pàñòâîpà ñåêòîpà 24 Çàäà÷è

α. 7.7. Hàéòè ìîìåíò èíåpöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòpèè äóãèîêpóæíîñòè pàäèóñà R è ìàññû µ, ñòÿãèâàþùåé öåíòpàëüíûé óãîëα. 7.8. Hàéòè ãëàâíûå ìîìåíòû èíåpöèè îäíîpîäíîãî òîíêîãî ýë-ëèïñà ñ ïîëóîñÿìè a, b. 7.9. Äâå ÷àñòèöû ñ ìàññàìè m1 =

x

B

A

Oèñ. 20. Ê çàäà÷å 7.101 è m2 = 2 ðàñïîëîæåíû ñîîòâåòñòâåí-íî â òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè (0; 1/

√3; 0),(1/√3; 1/√3; 0). Íàéòè òåíçîð èíåðöèè,ãëàâíûå îñè è ãëàâíûå ìîìåíòû èíåð-öèè.7.10. Hàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåpãèþñèñòåìû, èçîápàæåííîé íà (ðèñ. 20). OAè AB òîíêèå îäíîpîäíûå ñòåpæíè äëè-íîé l è ìàññû µ, øàpíèpíî ñêpåïëeííûåâ òî÷êå A. Ñòåpæåíü OA âpàùàåòñÿ âîêpóã òî÷êè O, à òî÷êà Bñêîëüçèò âäîëü îñè.7.11.Hàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåpãèþ öèëèíäpà pàäèóñà R è ìàñ-ñû µ, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè (ðèñ. 21). Ìàññà öèëèíäpà pàñïpå-äåëåíà ïî åãî îáú¼ìó òàêèì îápàçîì, ÷òî îäíà èç åãî ãëàâíûõ îñåéèíåpöèè ïàpàëëåëüíà îñè öèëèíäpà è ïpîõîäèò íà pàññòîÿíèè a îòíåå. Ìîìåíò èíåpöèè îòíîñèòåëüíî ýòîé ãëàâíîé îñè åñòü I. Hàéòè÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé öèëèíäpà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.7.12.Hàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåpãèþ îä-

aO

Rjèñ. 21. Ê çàäà÷å 7.11

íîpîäíîãî öèëèíäpà ðàäèóñà a, êîòîðûéêàòèòñÿ ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè öè-ëèíäpà pàäèóñà R (ðèñ. 22). Ìàññà öè-ëèíäpà pàâíà µ. Hàéòè ÷àñòîòó ìàëûõêîëåáàíèé öèëèíäpà â ïîëå ñèëû òÿæå-ñòè.7.13.Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îä-íîðîäíîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà âðàùà-þùåãîñÿ âîêðóã îñè AB (ðèñ. 23), ïðè÷¼ì ïîñëåäíÿÿ ñàìà âðàùà-

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 25åòñÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ CD.7.14. Îäíîðîäíûé êðóãîâîé äèñê ðàäèóñà R ïîäâåøåí ê òî÷êåñ ïîìîùüþ íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíû l, çàêpåïëåííîéâ îäíîé èç òî÷åê ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äèñêà. Íàéòè ÷àñòîòóìàëûõ êîëåáàíèé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ââåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.7.15. Êîíöû òîíêîãî ñòåpæíÿ ìàññû

a

R

j

èñ. 22. Ê çàäà÷å 7.12

µ äëèíû l ñêîëüçÿò ïî ïàpàáîëå y = kx2ñ âåpòèêàëüíî pàñïîëîæåííîé îñüþ y.Hàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ñòåpæ-íÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.7.16. Äèñê pàäèóñà a è ìàññû m âïîëå ñèëû òÿæåñòè ñêàòûâàåòñÿ áåç ñêîëü-æåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Hàéòèñèëó påàêöèè ïëîñêîñòè. Óãîë íàêëîíàïëîñêîñòè ê ãîpèçîíòó pàâåí α.7.17. Äâà îäèíàêîâûõ ñòåðæíÿ äëèíû l è ìàññû m êàæäûé(ðèñ. 24) ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòè k. àññòîÿíèå ìåæäóòî÷êîé ïîäâåñà è òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ ïðóæèíû äëÿ êàæäîãî ìà-ÿòíèêà ðàâíà a, äëèíà ïðóæèíû â íåäåîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèèðàâíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó òî÷êàìè ïîäâåñà ìàÿòíèêîâ. Íàéòè ìà-ëûå êîëåáàíèÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Îïðåäåëèòü îðìû íîðìàëü-íûõ êîëåáàíèé.

aaèñ. 23. Ê çàäà÷å 7.13 èñ. 24. Ê çàäà÷å 7.1726 Çàäà÷è7.18. Îäíîðîäíàÿ áàëêà ìàññîé m è äëèíîé L ïîääåðæèâà-åòñÿ íà ñâîèõ êîíöàõ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòè

k (ðèñ. 25). Áàëêó ïðèâîäÿò â äâèæåíèå, íàæèìàÿ íà îäèí èç ååêîíöîâ, ñìåùàÿ åãî âíèç íà íåáîëüøîå ðàññòîÿíèå è çàòåì îñâî-áîæäàÿþ Äëèíà ïðóæèí â ïîêîå b. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ. Ñõå-ìàòè÷åñêè èçîáðàçèòü íîðìàëüíûå ìîäû.7.19. Îäíîðîäíûé äèñê ìàññû m,m

kkèñ. 25. Ê çàäà÷å 7.18öåíòð êîòîðîãî ñîåäèíåí ñ íåïîäâèæ-íûìè ñòåíêàìè äâóìÿ îäèíàêîâûìè ïðó-æèíàìè æåñòêîñòè k êàæäàÿ ìîæåò êà-òèòüñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïî ãîðè-çîíòàëüíîé ïðÿìîé (ðèñ. 26). Íàéòè ÷à-ñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé.7.20. Äâà îäèíàêîâûõ îäíîðîäíûõäèñêà ìàññû m êàæäûé (ðèñ. 27) ìîãóò êàòèòüñÿ áåç ïðîñêàëü-çûâàíèÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé íàïðàâëÿþùåé. Öåíòðû äèñêîâ ñî-åäèíåíû ìåæäó ñîáîé è ñ íåïîäâèæíûìè ñòåíêàìè îäèíàêîâûìèïðóæèíàìè æåñòêîñòè k. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû. Óêà-çàòü âèä äâèæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàëüíûì ìîäàì.7.21. Øàð ðàäèóñà a è ìàññû m äâèæåòñÿ áåç ïðîñêàëüçû-âàíèÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã âåð-òèêàëüíîé îñè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîpîñòüþ Ω0. Hàéòè çàêîíäâèæåíèÿ öåíòpà èíåðöèè øàðà R è óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ

Ω. 7.22. Hàéòè óñêîðåíèå öåíòpà èíåðöèè è óãëîâîå óñêîðåíèåøàðà ìàññû m è ðàäèóñà a, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâè-åì ïpèëîæåííûõ ê íåìó âíåøíåé ñèëû F è ìîìåíòà K (îòíîñè-

kk m kk km m

èñ. 26. Ê çàäà÷å 7.19 èñ. 27. Ê çàäà÷å 7.20

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 27

O

W

x

y

z

W

A BC

a

èñ. 28. Ê çàäà÷å 7.23 èñ. 29. Ê çàäà÷å 7.24òåëüíî öåíòðà øàðà). Hàéòè påàêöèþ ïëîñêîñòè.7.23*. Îäíîðîäíûé ïàðàëëåëåïèïåä ìàññû m ñ ðåáðàìè a, b, câðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω îòíîñèòåëüíî ñâîåé äèàãîíàëè

OB (ðèñ. 28). Íàéòè êîìïîíåíòû ìîìåíòà èìïóëüñà ïàðàëëåëåïè-ïåäà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ïðîñòðàíñòâà.7.24. Ïðÿìîé îäíîðîäíûé êðóãîâîé öèëèíäð (ðèñ. 29), èìåþ-ùèé ìàññó m, âûñîòó h è ðàäèóñ îñíîâàíèÿ R, âðàùàåòñÿ ñ ïî-ñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω âîêðóã îñè AB, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçåãî öåíòð ìàññ C è îáðàçóþùåé óãîë α ñ îñüþ ñèììåòðèè. Íàé-òè âåëè÷èíó ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî òî÷êè C è óãîë β,êîòîðûé îí îáðàçóåò ñ îñüþ ñèììåòðèè.7.25. Áðóñîê ìàññû m (ðèñ. 30),

m

kk

k2j

èñ. 30. Ê çàäà÷å 7.25

ñêîëüçÿùèé ïî ãëàäêîé ïëîñêîñòè, ñâÿ-çàí ñ íåïîäâèæíûìè ñòåíêàìè äâó-ìÿ îäèíàêîâûìè ïðóæèíàìè æåñò-êîñòè k êàæäàÿ. Ïî âåðõíåé ïîâåðõ-íîñòè áðóñêà êàòèòüñÿ áåç ïðîñêàëü-çûâàíèÿ äèñê ìàññû m/2 è ðàäèóñàr, öåíòð êîòîðîãî ñîåäèíåí ñ êðàåìäîñêè ïðóæèíîé æåñòêîñòè 2k. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû.7.26. Ñèììåòðè÷íûé âîë÷îê âðàùàåòñÿ â îòñóòñòâèè âíåøíèõñèë. Íàéòè óãîë α ìåæäó îñüþ ñèììåòðèè âîë÷êà è óãëîâîé ñêî-ðîñòüþ, åñëè ìîìåíòû èíåðöèè ðàâíû I1 = I2, I3.

28 Çàäà÷è7.27. Òîíêèé îäíîðîäíûé ñòåðæåíü OB ìàññû m è äëèíû lâðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω îêîëî íåïîäâèæíîéòî÷êè O, îïèñûâàÿ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü (ðèñ. 31). Âû÷èñëèòüóãîë α îòêëîíåíèÿ ñòåðæíÿ îò âåðòèêàëè, à òàêæå ñèëó ðåàêöèèâ òî÷êå O. Íàéòè ÷àñòîòó êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ïðè ìàëûõ èçìåíå-íèÿõ óãëà α.7.28. Íàéòè ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ÷à-ñòèö ìàññû m1 è m2, ñîåäèíåííûõ íåâåñîìûì æåñòêèì ñòåðæíåìäëèíû 2l (ðèñ. 32), âðàùàþùåéñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþΩ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ñòåðæíÿ,çàêðåïëåííóþ â òî÷êå O. Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, íàéòè ìî-ìåíò ñèë K, íåîáõîäèìûé äëÿ ïîääåðæàíèÿ òàêîãî äâèæåíèÿ.7.29. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü AB äëèíû l äâèæåòñÿ â ïîëå ñèëûòÿæåñòè â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè XY âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîéîñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñòåðæíÿ,èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è ñèëó ðåàêöèè N, äåéñòâóþùóþ ñîñòîðîíû îñè â òî÷êå A.

W

O

a

m

m

v

v

1

1

2

2

e3

èñ. 31. Ê çàäà÷å 7.27 èñ. 32. Ê çàäà÷å 7.287.30. Îäíîðîäíûé öèëèíäð A ðàäèóñà r è ìàññû m (ðèñ. 33)êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ïîëî-ãî öèëèíäðà B ðàäèóñà R è òîé æå ìàññû m, êîòîðûé ìîæåò

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä 29âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîåé ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé íåïîäâèæ-íîé îñè O. Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû â ïîëå ñèëû òÿæåñòè(ìîìåíò èíåðöèè ïîëîãî öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ñâîåé îñè ðàâåí

mR2).

R

A

B

j

q

O

r

èñ. 33. Ê çàäà÷å 7.30 èñ. 34. Ê çàäà÷å 7.317.31. Òîíêèé äèñê R êàòèòñÿ ïî ïëîñêîñòè (ðèñ. 34). Ìàññàäèñêà m ðàñïðåäåëåíà ïî åãî îáúåìó òàêèì îáðàçîì, ÷òî îäíà èçåãî ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè ïàðàëëåëüíà îñè äèñêà è ïðîõîäèò íàðàññòîÿíèè a = R/2 îò íåå. Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ýòîéãëàâíîé îñè ðàâåí I = 34mR

2. Ñòåðæåíü AC äëèíîé l = 6R èòîé æå ìàññû m ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà.Íàéòè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû è îðìû íîðìàëüíûõ êîëåáà-íèé. 8. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä8.1. Äàí çàêîí äâèæåíèÿ ñïëîøíîé ñåäû:x1 = ξ1, x2 =

1

2et(ξ1 + ξ2) +

1

2e−t(ξ2 − ξ3)

x3 =1

2et(ξ1 + ξ2)−

1

2e−t(ξ2 − ξ3),

30 Çàäà÷èãäå ξi, xi ëàãpàíæåâû è ýéëåpîâû êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâåííî. Îïðå-äåëèòü êîìïîíåíòû ñêîðîñòè â ëàãpàíæåâîé è ýéëåpîâîé îpìå.8.2. Âåêòîp ñìåùåíèÿ ui = xi − ξi çàäàí â âèäå :ui = ξi(e

kit − 1).Hàéòè ïîëå ñêîpîñòåé è ïîëå óñêîpåíèé.8.3. Äàíî ïîëå ñêîpîñòåé:vk =

kxk1 + t

k = 1, 2, 3.Hàéòè ïîëå óñêîpåíèé. Hàéòè ñêîpîñòü è óñêîpåíèå ñpåäû â ëà-ãpàíæåâîé îpìå.8.4. Ïîëå ñêîpîñòåé èìååò âèä:v1 = cx2 − bx3 v2 = ax3 − cx1 v3 = bx1 − ax2,ãäå a, b, c ïîñòîÿííûå. Ïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèö ñpåäûïpîèñõîäèò ïî îêpóæíîñòè.8.5. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëå ñêîðîñòåé çàäà÷è 8.4 ïðåäñòàâëÿåòâðàùåíèå àáñîëþòíî òâåpäîãî òåëà.8.6. Ïîëå ñêîðîñòåé çàäàíî â âèäå v(r) = [Ω, r], ãäå Ω - ïîñòî-ÿííûé âåêòîð. Âû÷èñëèòü

∂vi∂xk

+∂vk∂xi

divv .8.7. Çàäàí çàêîí äâèæåíèÿ ñïëîøíîé ñpåäû:

x1 = A+e−Bλ

λsin(ωt+A) x2 = −B − e−Bλ

λcos(ωt+A) x3 = ξ3,ãäå A, B ïîñòîÿííûå. Ïîêàçàòü, ÷òî òpàåêòîpèè îêpóæíîñòè,à âåëè÷èíà ñêîpîñòè ïîñòîÿííà.8.8. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîëå ñêîpîñòåé vi = Axi/r

3 (i = 1, 2, 3),ãäå r2 = x21 + x22 + x23 è A ïpîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà, óäîâëåòâîpÿåòópàâíåíèþ íåpàçpûâíîñòè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä 318.9. Äëÿ ïîëÿ ñêîpîñòåé:

vi =xi

1 + ti = 1, 2, 3 ,ïîêàçàòü, ÷òî ρx1x2x3 = ρoξ1ξ2ξ3, ãäå ïëîòíîñòü ÷àñòèöû ñpåäû

ρ óäîâëåòâîpÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ ρ(t = 0) = ρ0, è

ρJ = ρ0, J =∂(x1x2x3)

∂(ξ1ξ2ξ3).8.10.Ïîêàçàòü, ÷òî â ëàãpàíæåâîé îpìå ópàâíåíèå íåpàçpûâ-íîñòè èìååò âèä:

ρ0 = ρJ,ãäå ρ0, ρ ïëîòíîñòü ÷àñòèöû ñpåäû â íà÷àëüíûé è ïpîèçâîëüíûéìîìåíòû âpåìåíè. àññìîòpåòü îäíîìåpíûé ñëó÷àé.8.11. Òåíçîp íàïpÿæåíèé â òî÷êå M çàäàí â âèäå:

Pij =

7 0 −20 5 0

−2 0 4

Hàéòè ïîâåpõíîñòíóþ ñèëóPn â òî÷êåM íà ïëîùàäêå ñ íîpìàëüþ

n = (2/3,−2/3, 1/3) , êîìïîíåíòó ïåpïåíäèêóëÿpíóþ ïëîùàäêå,ìîäóëü Pn è óãîë ìåæäó Pn è n .8.12. Ïîëå íàïpÿæåíèé â ñïëîøíîé ñpåäå çàäàåòñÿ òåíçîpîì:Pij =

3x1x2 5x22 05x22 0 2x30 2x3 0

Îïpåäåëèòü ïîâåpõíîñòíóþ ñèëó â òî÷êå M(2, 1,

√3) íà ýëåìåí-òàpíîé ïëîùàäêå, êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå ê öèëèíäpè÷åñêîéïîâåpõíîñòè: x22 + x23 = 4.8.13. Ïîëå íàïpÿæåíèé â ñïëîøíîé ñpåäå çàäàíî òåíçîpîì:

Pij =

x21x2 (1− x22)x1 0(1− x22)x1

13(x

32 − 3x2) 0

0 0 2x23

32 Çàäà÷èÎïðåäåëèòü: à) ðàñïðåäåëåíèå ìàññîâûõ ñèë, åñëè ñðåäà íåïî-äâèæíà; á) ìàêñèìàëüíîå íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå â òî÷êå M(a,0, 2√a).8.14. Òåíçîp íàïpÿæåíèé â òî÷êå M çàäàí â âèäå:Pij =

0 1 21 P22 12 1 0

Îïpåäåëèòü P22 òàê, ÷òîáû ïîâåpõíîñòíàÿ ñèëà íà íåêîòîpîéïëîùàäêå â ýòîé òî÷êå îápàùàëàñü áû â íóëü. Hàéòè îpò n ê ýòîéïëîùàäêå.8.15. Håïîäâèæíàÿ íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â îäíî-pîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Hà âûñîòå h æèäêîñòü èìååò ñâîáîäíóþ ïî-âåpõíîñòü, ê êîòîpîé ïpèëîæåíî îäèíàêîâîå âî âñåõ òî÷êàõ âíåø-íåå äàâëåíèå p0. Hàéòè pàñïpåäåëåíèå äàâëåíèÿ â æèäêîñòè.

p0

p0

a a

h hèñ. 35. Ê çàäà÷å 8.168.16. Îïpåäåëèòü äàâëåíèå íà äíî ñîñóäîâ, çàïîëíåííûõ òÿæ¼-ëîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ (ðèñ. 35). Âíåøíåå äàâëåíèå ðàâíî

p0. 8.17. Hàéòè pàñïpåäåëåíèå ïëîòíîñòè ρ ïîêîÿùåãîñÿ èäåàëü-íîãî ãàçà, òåìïåpàòópà T êîòîpîãî ïîñòîÿííà, íàõîäÿùåãîñÿ â îä-íîpîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Ópàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ãàçà èìååò âèä :

p = ρkT/m, p äàâëåíèå, k ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, m ìàññà÷àñòèö.8.18. Îïpåäåëèòü ñèëó, ñ êîòîpîé òÿæåëàÿ, íåñæèìàåìàÿ, èäå-àëüíàÿ æèäêîñòü ïëîòíîñòè ρ äåéñòâóåò íà ïîãpóæåííîå â íåå

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä 33

n1

2

Z

жидкость

n

O

жидкость

1

2

S2

S1

V2

V

V

1

èñ. 36. Ê çàäà÷å 8.19íåïîäâèæíîå òåëî îáúåìà VT .8.19*. Äâå æèäêîñòè ñ ïëîòíîñòÿìè ρ1(z) è ρ2(z) íàõîäÿòñÿ âðàâíîâåñèè ñ äðóã äðóãîì è ðàçäåëåíû ïëîñêîé ãðàíèöåé ðàçäåëàïðè z = 0. Íàéòè ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà òåëî ÷àñòè÷íî ïîãðóæåí-íîå â æèäêîñòü 1, à ÷àñòè÷íî â â æèäêîñòü 2 (ðèñ. 36).8.20.Îïðåäåëèòü îðìó ïîâåðõíîñòè

h

a

W

2èñ. 37. Ê çàäà÷å 8.20

òÿæåëîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â öè-ëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñ ðàäèóñîì îñíîâà-íèÿ a, âðàùàþùåéñÿ êàê öåëîå âîêðóãîñè öèëèíäðà ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêî-ðîñòüþ Ω (ðèñ. 37). Ha ñâîáîäíîé ïîâåðõ-íîñòè äàâëåíèå p0 ïîñòîÿííî, à óðîâåíüæèäêîñòè â íåïîäâèæíîì ñîñòîÿíèè íà-õîäèòñÿ íà âûñîòå h îò äíà ñîñóäà.8.21.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷èíàéòè äàâëåíèå íà äíî ñîñóäà.8.22. Îäíîðîäíîå òåëî ïëîòíîñòè σ, èìåþùåå îpìó ïàpàáî-ëîèäà âpàùåíèÿ (x2 + y2 = 2az), óñå÷åííîãî ïëîñêîñòüþ, ïåðïåí-äèêóëÿðíîé ê îñè íà ðàññòîÿíèè h îò âåpøèíû, ïëàâàåò íà ïîâåðõ-íîñòè îäíîpîäíîé æèäêîñòè ïëîòíîñòè ρ òàê, ÷òî îñü ïàpàáîëîèäàâåpòèêàëüíà è âåðøèíà îápàùåíà âíèç. Îïpåäåëèòü ãëóáèíó z ïî-34 Çàäà÷èãpóæåíèÿ âåpøèíû.8.23. Îïpåäåëèòü âåëè÷èíó è íàïpàâëåíèå äåéñòâèÿ ñèëû äàâ-ëåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà ñåpè÷åñêóþ ÷àñòü ïîâåpõíîñòè ïîëóøàpàpàäèóñà a, ïîãðóæåííîãî â æèäêîñòü, ñ ïëîòíîñòüþ ρ. Îñíîâàíèåïîëóøàpà íàêëîíåíî ê ïîâåpõíîñòè æèäêîñòè ïîä óãëîì α, à åãîöåíòp íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå H. Äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåpõíî-ñòè æèäêîñòè p0.8.24. Håñæèìàåìàÿ âÿçêàÿ æèäêîñòü â îòñóòñòâèå âíåøíèõñèë ñòàöèîíàpíî äâèæåòñÿ ìåæäó äâóìÿ ïàpàëëåëüíûìè ïëîñêî-ñòÿìè, îäíà èç êîòîpûõ ïîêîèòñÿ , à äpóãàÿ äâèæåòñÿ ñ ïîñòî-ÿííîé ñêîpîñòüþ u. àññòîÿíèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè h . Hàéòèïîëÿ ñêîpîñòåé è äàâëåíèé. Hàéòè ñèëû, ñ êîòîpûìè æèäêîñòüäåéñòâóåò íà ïëîñêîñòè.8.25. Íåñæèìàåìàÿ âÿçêàÿ æèäêîñòü äâèæåòñÿ ìåæäó íåïî-äâèæíûìè ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ïpè íàëè÷èè ïîñòîÿííî-ãî ãpàäèåíòà äàâëåíèÿ. Hàéòè ïîëå ñêîpîñòåé è ñèëû, äåéñòâóþ-ùèå íà ïëîñêîñòè. àññòîÿíèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè pàâíî h.8.26. Ñëîé âÿçêîé, òÿæåëîé, íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (òîëùè-íîé h) îãpàíè÷åí ñíèçó íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòüþ, íàêëîíåííîéïîä óãëîì α ê ãîpèçîíòó, à ñâåpõó ñâîáîäíîé ïîâåpõíîñòüþ,ïàpàëëåëüíîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Îïpåäåëèòü ïîëÿ ñêîpîñòåé èäàâëåíèé â æèäêîñòè. Ê ñâîáîäíîé ïîâåpõíîñòè ïpèëîæåíî âíåø-íåå äàâëåíèå p0.8.27. Âÿçêàÿ, íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü ñòàöèîíàðíî äâèæåòñÿâ áåñêîíå÷íîé òðóáå êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñà R ñ ïîñòîÿííûìïåðåïàäîì äàâëåíèÿ íà ðàññòîÿíèè l ðàâíîì ∆p < 0. Îïðåäåëèòüïîëÿ ñêîðîñòåé è äàâëåíèè â æèäêîñòè. Hàéòè ïîòîê æèäêîñòè Q÷åðåç ñå÷åíèå òðóáû (òå÷åíèå Ïóàçåéëÿ).

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 35Îòâåòû1. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ1.1. L = 12ml

2ϕ2 +mgl cosϕ .1.2.

L =1

2(m1 +m2)l

21ϕ

21 +

1

2m2l22ϕ2

2 + 2l1l2 cos(ϕ1 − ϕ2)ϕ1ϕ2++(m1 +m2)gl1 cosϕ1 +m2gl2 cosϕ21.3. åøåíèå. a) Ïóñòü x y êîîðäèíàòû ÷àñòèöû, à x1 y1 êîîð-äèíàòû òî÷êè M , â êîòîðîé íèòü êàñàåòñÿ öèêëîèäû (ñì. ðèñ.3).Òîãäà, åñëè s äëèíà äóãè AM , à α - óãîë, êîòîðûé êàñàòåëüíàÿ êöèêëîèäå â òî÷êå M îáðàçóåò ñ îñüþ x, òî

x = x1 − (l − s) cosα y = y1 − (l − s) sinα . (1)Äëèíà äóãè öèêëîèäû ðàâíà

s =

π∫

ϕ

√x′2ϕ + y′2ϕdϕ = 4a

(1− sin

ϕ

2

),ãäå ϕ ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå M . Íàéäåì óãîë α: tgα = dy/dx =

y′ϕ/x′ϕ = tg(ϕ/2). Îòêóäà α = ϕ/2. Ïîäñòàâëÿÿ s è x1 = a(ϕ +

sinϕ), y1 = a(1−cosϕ) â (1), ïîëó÷èì óðàâíåíèå íèæíåé öèêëîèäûx = a(ϕ− sinϕ) y = −a(1− cosϕ) . (2)á)Âîçüìåì â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíàòû óãîë ϕ. Òîãäà, èñ-ïîëüçóÿ (2), áóäåì èìåòü

x = aϕ(1− cosϕ) y = −aϕ sinϕ .Äëÿ óíêöèè Ëàãðàíæà òîãäà ïîëó÷èìL =

m

2(x2 + y2) +mga(1 − cosϕ)

= ma2(1− cosϕ)ϕ2 +mga(1− cosϕ) .

36 ÎòâåòûÓðàâíåíèå Ëàãðàíæà èìååò âèäsin

ϕ

2ϕ+

1

2ϕ2 cos

ϕ

2=

g

2acos

ϕ

2

(3)Ñäåëàåì çàìåíó z = cos(ϕ/2), óðàâíåíèå (3) ïðèíèìàåò âèäz + ω2z = 0 ω2 =

g

4a=g

lÎòêóäàz = cos

ϕ

2= A cos(ωt+B)è

ϕ = 2arccos[A cos(ωt+B)] .Òàê êàê âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷å-ñêîé óíêöèåé, òî ϕ òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ ñ ïåðèîäîì

T = 2π√l/g, íåçàâèñÿùåì îò àìïëèòóäû êîëåáàíèé, ò.å. îò âåëè-÷èíû ϕ. Òàêèìè æå ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè ÿâëÿþòñÿ êîîð-äèíàòû ìàÿòíèêà (2). Öèêëîèäàëüíûé ìàÿòíèê ÿâëÿåòñÿ ñòðîãîèçîõðîííûì, ò.å. ïåðèîä åãî êîëåáàíèé íå çàâèñèò îò âåëè÷èíûàìïëèòóäû (Õðèñòèàí þéãåíñ, 1673).1.5.

L =1

2mθ2[l2 +R2θ2 − 2Rlθ]−mg[R cos θ − (l −Rθ) sin θ],

(l −Rθ)θ −Rθ2 − g cos θ = 0.1.6. a)L =

m

2l2ϕ2 +mlaγ2 sin(ϕ − γt) +mgl cosϕ;á)

L =m

2l2ϕ2 +mlaγ2 sinϕ cos γt+mgl cosϕ+

+maγ

1

2aγ sin2 γt− l

d

dt(sinϕ sin γt)

;

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 37Âûpàæåíèå â èãópíûõ ñêîáêàõ ìîæåò áûòü îòápîøåíî.â) L = m2 l

2ϕ2 +malγ2 cosϕ cos γt+mgl cosϕ .1.7.

L =1

2(m1 +m2)x

2 +m2

2(l2ϕ2 + 2lxϕ cosϕ) +m2gl cosϕ,

x êîîpäèíàòà òî÷êè m1, ϕ óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà.1.8. L = 12(m1 +m2)y

2 + g(m1 −m2)y, y, l − y êîîpäèíàòûòî÷åê.1.9.

L = m1a2(θ2 +Ω2 sin2 θ) + 2m2a

2θ2 sin2 θ + 2ga(m1 +m2) cos θ;1.10.

L =a2ϕ2

2(m1 sin

2 ϕ+m2 cos2 ϕ)− ag√

2(m1 cosϕ+m2 sinϕ).1.11.

L =ma2θ2

8 sin4 θ− κa2

2

(1

sin θ− 1

)2

+mga

2ctg θ.1.12. L = 1

2mx2 − 1

2κ(√h2 + x2 − l0)

2.1.13.

L =1

2(m1 +m2)x

2c +

µ

2x2 +

κ

2(x− l)2 µ =

m1m2

m1 +m2,

E = const, (m1+m2)xc = const, xc, x ñîòâåòñòâåííî ñîîpäèíàòàöåíòpà èíåpöèè è pàññòîÿíèå ìåæäó øàpèêàìè, l pàâíîâåñíàÿäëèíà ïpóæèíû.1.14.

q1 = C1(a+1

2bC2

2 )t+1

4C1bC

22ω

−1 sin(2ωt+ C3) + C4,

q2 = C2 cos(ωt+ C3), ω2 = bC22 + 2c.

38 Îòâåòû1.15. v = (ρ, ρϕ, z); v = (r, rθ, r sin θϕ).1.16.

wj = hj qj +3∑

k=1

2∂hj∂qk

qkqj − q2khkhj

∂hk∂qj

.1.17. Ôóíêöèÿ Ëàãpàíæà:

L =m

2

3∑

i,k=1

gik qiqk − U(q1, q2, q3),ãäågik =

3∑

l=1

∂xl∂qi

∂xl∂qkÓpàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:

m

3∑

k=1

gik qk +m

3∑

kl=1

Γi,klqkql = −∂U∂qi

,ãäåΓi,kl =

1

2

(∂gik∂ql

+∂gil∂qk

− ∂gkl∂qi

).1.18. ms = −∂U/∂s, s äëèíà ïpîéäåííîãî âäîëü òpàåêòîpèèïóòè.1.19.

S =m

2

|r2 − r1|2t2 − t1

.1.20. åøåíèå. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä

L =mx2

2+ Fx,êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò çàêîí äâèæåíèÿ

x(t) =Ft2

2m+ ct+ c0, x(t) =

Ft

m+ c . (4)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 39Âû÷èñëÿÿ ñ (4) äåéñòâèå

S =

t2∫

t1

L(x(t), x, (t), t)dt =

t2∫

t1

[mx2(t)2

+ Fx(t)]dt ,ïîëó÷èì

S =F 2(t32 − t31)

3m+ Fc(t22 − t21) +

(mc22

+ Fc0

)(t2 − t1) .Íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, áóäåì èìåòü

S =m

2τ(x2 − x1)

2 +Fτ

2(x1 + x2)−

F 2τ3

24m, τ = t2 − t11.21. S = (mω/2 sinωτ)[(x21 + x22) cos ωτ − 2x1x2].1.22.

x(t) =Ft2

2m+

(a

τ− Fτ

2m

)t.1.24. Öèêëîèäà: x = 1

2C(t− sin t), y = 12C(1− cos t), t - ïàðàìåòð,

C - êîíñòàíòà.1.25.

sin θ1sin θ2

=

√1 +

2

mv21(U1 − U2) ,

θ1, θ2 óãëû ìåæäó ñêîpîñòüþ ÷àñòèöû â pàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõè ãîpèçîíòàëüþ.1.26.Mx = m sinϕ(rz−zr)−mrzϕ cosϕ, My = −m cosϕ(rz−zr)−mrzϕ sinϕ, Mz = mr2ϕ, M2 = m2r2ϕ2(r2 + z2) +m2(rz − zr)2.1.27. a) Mz, Pz (îñü öèëèíäpà îñü z) á) Pz (påápà ïpèçìûïàpàëëåëüíû îñè z), â) Mz (òî÷êè íàõîäÿòñÿ íà îñè z), ã) Py(áåñêîíå÷íàÿ ïîëóïëîñêîñòü ÷àñòü ïëîñêîñòè x, y, îãpàíè÷åííàÿîñüþ y), ä) Mz (îñü êîíóñà îñü z), å) Mz (îñü òîpà îñü z),æ) Mz + (h/2π)Pz (îñü âèíòà îñü z, h øàã âèíòà).1.28. x2 + y2/4 = l2/4 , ñòåpæåíü äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè (xy) .1.29. ρ = ρ0/ cosϕ, ρ =

[ρ20 +2Em−1(t+C)2

]1/2, E ýíåpãèÿ, M ìîìåíò, ρ0 =M/√2mE, C = const, −π/2 < ϕ < π/2.

40 Îòâåòû2. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ2.1. åøåíèå. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E = E(0) = 12mx

2(0) + U(x0) = 0.Íàéäåì òî÷êè îñòàíîâêè. åøàÿ óðàâíåíèå U(x) = E, ïîëó÷èìx1,2 = ±x0 = ±

√2k/λ (ðèñ. 38). Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî â íà-÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ãðàíè÷íîé òî÷êå

x1 = x0 > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî â íà-ïðàâëåíèè íà÷àëà êîîðäèíàò ñ x < 0. Èìåÿ ââèäó ýòî îáñòîÿòåëü-ñòâî, âû÷èñëèì èíòåãðàët = −

√m

2

x∫

x0

dx√E − U(x)

= −√

2m

λ

x∫

x0

dx

x√x20 − x

=

1

2x0

√2m

λln

[x0 +√x20 − x2

x0 −√x20 − x2

].àçðåøàÿ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî x, ïîëó÷èì x(t) =√

2k/λ h−1(√

k/m t). Ïðè t→ ∞ x(t) äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ x = 0.

èñ. 38. Ê çàäà÷å 2.1

Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ 412.2.

x = ±a arcsin

1√1 + U0/E

sin

√2

m(E + U0)

t− t0a

T = πa

√2m

E + U0, E > 02.3. ω = α

√2m−1|E|.2.4. x1 = −α−1 ln 2,

x(t) =1

αln

1

2+α2A

m(t+ C)2

.2.5. T = 2π

√(l/g)1 + ϕ2

0/16.2.6.

sin s/2

sin s0/2= sin[

1

2

√Rg−1(t+C)],ãäå cos s0 = −E/mgR, T = 4π

√(g/R).2.7. Òðàåêòîðèÿ íà ñåpå îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì:

ϕ− ϕ0 = ± Mz

l√2m

∫dθ

sin2 θ√E − Uý ,ãäå

Uý(θ) = M2z

2ml2 sin2 θ−mgl cos θ.ðàíèöû èçìåíåíèÿ θ íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ Uý(θ) = E . Ïðî-åêöèè ñèëû ðåàêöèè íà îðòû ñåpè÷åñêîé ñèñòåìû êîîpäèíàò pàâ-íû: Rr = −2l−1E − 3mg cos θ, Rz = Rr cos θ, ñ óìåíüøåíèåì θ Rzâîçpàñòàåò (îñü z íàïpàâëåíà âåpòèêàëüíî âíèç).2.8.  ñåpè÷åñêèõ êîîpäèíàòàõ òpàåêòîpèÿ îïpåäåëÿåòñÿ ópàâ-íåíèåì:

ϕ− ϕ0 =Mz

sin2 α√2m

∫dr

r2√E − Uý ,ãäå

Uý =M2

z

2mr2 sin2 α+mgr cosα.

42 ÎòâåòûÑèëà påàêöèè pàâíà:

R = − M2z cosα

mr3 sin3 α+mg sinα.Hà÷àëî ñåpè÷åñêîé ñèñòåìû êîîpäèíàò íàõîäèòñÿ â âåpøèíå êî-íóñà, îñü z âäîëü îñè êîíóñà.2.9. åøåíèå. Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ êîîðäèíàòû r èìååò âèä

m(r − rϕ2) = −∂U∂r

= F (r) . (5)Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîéu =

1

rè íàéäåì ïðîèçâîäíûå du/dϕ è d2u/dϕ2,du

dϕ= − 1

r2dr

dϕ= − 1

r2dr

dt

dt

dϕ= − 1

r2r

ϕ.Âûðàæàÿ çàòåì ϕ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà, ϕ =M/mr2,ïîëó÷èì

du

dϕ= −m

Mr . (6)Äàëåå, çàïèøåì

d2u

dϕ2=

d

dϕ

(−m

Mr)=

dt

dϕ

d

dt

(−m

Mr)= − m

Mϕr . (7)Âûðàæàÿ èç (7) r, à èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà rϕ2, íàéäåì

r = −M2

m2u2d2u

dϕ2, rϕ2 =

M2

m2u3 . (8)Ïîäñòàâëÿÿ ðàâåíñòâà (8) â (5), ïîëó÷èì óðàâíåíèå

d2u

dϕ2+ u = − m

M2

1

u2F (1/u) ,

Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ 43êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

d2

dϕ2

(1r

)+

1

r= − m

M2r2F (r) . (9)Ýòî óðàâíåíèå îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ñèëó

F (r), äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó, ñîâåðøàþùóþ äâèæåíèå ïî çà-äàííîé òðàåêòîðèè r = r(ϕ).2.10. F (r) = −(M2/mr3)(1 + α2).2.11. ϕ(t) = 1

2αln(2αMmk2

t+ C), r(t) = (2αM

mt+ k2C

)1/2.2.12. F (r) = − α

r2

, U(r) = −αr

, α =M2

mp

.2.13. |l| = e, rl = p− r.2.15. ϕmax/ϕmin = (1 + e)2/(1 − e)2.2.16. Óãîë ϕ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò íàïpàâëåíèÿ íà ìàêñèìàëüíî óäà-ëåííóþ îò öåíòpà òî÷êó îpáèòû.a)

1

r=

√2mE

M2 − 2mαcos

[ϕ

√1− 2mα

M2

],á)

1

r=

√2mE

2mα−M2sh

[ϕ

√2mα

M2− 1

],â)

1

r=

√2m|E|

2mα−M2ch

[ϕ

√2mα

M2− 1

].2.17.

χ = π − 2M√2mβ +M2

arccos1√

1 + 4Eα2

(β + M2

2m

) .2.18. p/r = −1 + e cos γϕ, ãäåe =

√1 +

4E

α2

(β +

M2

2m

), p =

2

α

(β +

M2

2m

), γ =

√1 +

2mβ

M2,

44 Îòâåòûçíà÷åíèå ϕ = 0 îòâå÷àåò ïåpåãåëèþ.2.19. r = a(1 − e cos ξ), t =√

(ma3/α)(ξ − e sin ξ), a ïîëóîñüýëëèïñà, e ýêñöåíòpèñèòåò; x = a(cos ξ − e), y = a√1− e2 sin ξ.2.20. Ýëëèïñ, âûòÿíóòûé âäîëü îñè y , ópàâíåíèå êîòîpîãî åñòü

p

1− e

1

r2= 1 +

2e

1− ecos2 ϕ,

p =M2

mE, e =

√1− αM2

mE2,mE2

αM2≥ 1.Hà÷àëî êîîpäèíàò â öåíòpå ýëëèïñà, äëèíû ïîëóîñåé pàâíû

p

1− e= b2,

2e

1− e=b2

a2− 1, b > a.Óãîë ϕ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò îñè y.2.21.  ö ñèñòåìå òpàåêòîpèè ÷àñòèö ïpåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëëèï-ñû, îäèí èç îêóñîâ êîòîpûõ îáùèé.3. Ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö3.1. v′2/v = (2m/m2) cos θ2,

v′1v

=m1

m1 +m2cos θ1 ±

1

m1 +m2

√m2

2 −m21 sin

2 θ1.Ïpè m1 > m2 ïåpåä êîpíåì âîçìîæíû îáà çíàêà, ïpè m1 < m2 çíàê + (v îòíîñèòåëüíàÿ ñêîpîñòü).3.2. 1) π/2 ≤ θ1 + θ2 ≤ π, (m1< m2), 2) 0 ≤ θ1 + θ2 ≤ π/2, (m1 >m2), 3) θ1 + θ2 = π/2, (m1 = m2).3.3. sin θmax = m2/m1.3.4.

v′1 =

√m2

1 +m22 + 2m1m2 cosχ

m1 +m2v v′2 =

2m1v

m1 +m2sin

χ

2.3.5. θ1 = χ/2, θ2 = π/2− χ/2, p′1 = p1 cos

χ2 , p′2 = p1 sin

χ2 .3.6. a)

dσ =

(α

2mv2∞

)2 dΩ

sin4 χ2

Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåðíûõ ñèñòåì 45á)

dσ =2π2α

mv2∞

π − χ

χ2(2π − χ)2dΩ

sinχ.3.7.

dσ = A2

1−n

(n ctg

χ

2

) 1+n

1−n dΩ

2(1 − n) sinχ cos2 χ2

.4. Ìàëûå êîëåáàíèÿ îäíîìåðíûõ ñèñòåì4.1. x = 2b/a+A cos(√

(6gb t+B)4.2. ω =

√Ce−nnn−1/man−24.3. ω2 = α2V m−1

√1− (F/αV )2 .4.4. ω2 = 2k/m.4.5. ω2 = 2g/(2l −Rπ).4.6. Ïpè Ω2 > Ω2

0 = 2g/a ,

ω2 = Ω2 Ω4 −Ω40

3Ω4 − 2Ω40

,ïpè Ω2 < Ω20,

ω2 = Ω20 − Ω2 .4.7. ω2 = 7g/(2

√3 a).4.8. ϕ = ϕ0 + A cos(Ωt + B), ãäå ϕ0, - ïîëîæåíèå óñòîé÷èâîãîðàâíîâåñèÿ,

Ω =

√g/l − ω2 ïpè ω <√

g/l,

ω√

1− g2/(ω4l2) ïpè ω >√g/l .4.9. à) ω2 = 2k/má) Êîëåáàíèÿ íåëèíåéíû, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåpãèÿ ñèñòåìû U =

ky4/4l2, ÷àñòîòà

ω =√πΓ(3/4)

Γ(1/4)

√2k

m

y0l

y0 =

(4l2E

k

)1/4

46 Îòâåòûãäå E ýíåpãèÿ ñèñòåìû.4.10.4.11.4.12. ω2 = 3gR−1(1 − x20), ïpè x0 = 3√q2/8mgR2 < 1; ω2 =

gR−1(x20 − 1), ïpè x0 > 1.4.13. a) u = (F0/mω2)(1− cosωt); á) u = a/(mω3)(ωt− sinωt) ;â)

u =F0

m(ω2 + α2)e−αt − cosωt+

α

ωsinωtã)

u = C[−(ω2 + α2 − β2) cos ωt+

α

ω(ω2 + α2 + β2) sinωt+

+ e−αt[(ω2 + α2 − β2) cos βt− 2αβ sin βt]],

C =F0

m[(ω2 + α2 − β2)2 + 4α2β2].5. Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ñòåïå-íÿìè ñâîáîäû5.1. x1 = θ1 − 2θ2, x2 = θ1 + θ2, θ1 = b1 cos(

√2t + β1), θ2 =

b2 cos(t+ β2), b1, b2, β1, β2 = onst.5.2. ω21,2 = gl−1(2±

√2), ϕ1 = θ1 + θ2, ϕ2 =

√2(θ2 − θ1).5.3. u1,2 = θ1 ± θ2, θi = ai cos(ωit+ βi), ω2

1 = k/m,ω22 = 3k/m.5.4. u1 = θ1 + θ2, u2 = 1−

√5

2 θ1 +1+

√5

2 θ2, ω21,2 =

3±√5

2 (k/m).5.5. ω21 = k/m, ω2

2 = gl0−1(1−mg/kl0)

−1.5.6. x = A1 cos(√

(k/m) t+B1), y = A2 cos(√

(2k/m) t+B2), (x, y)- êîîðäèíàòû ÷àñòèöû, íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå êâàäðàòà.5.7. ϕ1,2 = θ1 ± θ2, θ1 = at+ b, θ2 = A cos(2√

(k/m) t+ B), ω1 = 0(pàâíîìåpíîå äâèæåíèå âäîëü êîëüöà), ω2 = 2√k/m (äâèæåíèå÷àñòèö íàâñòpå÷ó äpóã äðóãó); ϕi îïðåäåëÿþò óãëû îòêëîíåíèÿ÷àñòèö îò âåðòèêàëè.5.8. u1,2 = ±A cos(

√k/m t+ α) + (Bt+B0).5.9.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 475.10. x = Q1 cosϕ − Q2 sinϕ, y = Q1 sinϕ + Q2 cosϕ, ctg 2ϕ =(ω2

2 − ω21)/2α.5.11. ω21 = ω2

0, ω22 = 4ω2

0 , ω23 = 6ω2

0 , ω20 = P

2ma .5.12. x = θ1 + θ2, y = − θ1 + θ2, θ1 = A1 cos(√

(g/l) t + β1

),

θ1 = A2 cos(√

(3g/l) t+ β2

).5.13. ω2n = 4 k

m sin2 πn2(N+1) , àìïëèòóäû: A(l)

n = A sin πnlN+1 , A =

const. n, l = 1, ..., N .6. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ6.1.H = p2/2m+ 12mω

2x2, x = A cos(ωt+α), p = −Amω sin(ωt+α),

α,A = onst.6.2. H = 12p

2(1 + 2βx)−1 + 12ω

2x2+αx3;6.3.à)H = 12 (p

21 − 2p1p2 + 2p22) + U ;á)H =

p216

+p222

+ q21 +q222

+ q1q2;â)H =p212a

+p22

4(c2 + b2 cos q1)

.6.4. à) L = q1q2 − q1q2; á) L = 12(q

21 + q22)(q

21 + q22 − 2a).6.5. H = 2m−1(ξp2ξ + ηp2η)(ξ + η)−1 + (p2ϕ/2mξη) + U(ξ, η, ϕ).6.6.

H =1

2mσ2(ξ2 − η2)

[(ξ2 − 1)p2ξ +

(1− η2)p2η +( 1

ξ2 − 1+

1

1− η2

)p2ϕ

]+ U(ξ, η, ϕ)6.7. ) H = c

√p2 +m2c2, r = cp/

√p2 +m2c2, p = 0.6.8. mR2θ = onst, z + ω2z = 0, ω2 = k/m, (R, θ, z) - öèëèíäðè÷å-ñêèå êîîðäèíàòû.6.9. H =

1

2ml2

(p2θ +

p2ϕ

sin2 θ

)+mgl cos θ .6.10. H = 1

2m−1[p − (e/c)A]2 + eϕ, mv = eE + (e/c)[v,H],

E = −c−1∂A/∂t−∇ϕ, H = rot A.

48 Îòâåòû6.12. 1)−eijkpk, −eijkxk; 2) 0, 0; 3)−eijkMk ; 4) ab, 0, nrn−2r,eijk pàâíû íóëþ, åñëè ñpåäè èíäåêñîâ ijk åñòü õîòÿ áû äâà îäè-íàêîâûõ, èëè ±1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ijk ÷eòíîéèëè íå÷åòíîé ïåpåñòàíîâêîé 1,2,3; ïî ïîâòîpÿþùèìñÿ èíäåêñàìïpåäïîëàãàåòñÿ ñóììèpîâàíèå îò 1 äî 3.6.13. P = p− bt, Q = q − at.6.14. F1 = −(1/2β)(αq2 − 2qQ+ νQ2), αν − γβ = 1.6.15. à) íåò, á) F1 = (Q2/2)tg q, â) F1 = Qe−q

[eq ln eQ−1 − 1

].6.16. F1 =ω

2(q2 +Q2) ctg ωt− ωqQ

sinωt.6.17. F3 = −Q ln(ep2/4Q);6.18. F4 = P ln(e cos p/P);6.19. à), á) q = Q+ (P/m)t, p = P, H ′ = 0.6.20. q1 = θ1 + θ2, q2 = θ1 − θ2, ω1 = 1, ω2 =

√3;6.22. S = −α1t+ αxx+ αyy + αzz , α2

x + α2y + α2

2 = 2mα1 .6.23.S = −α1t+ αxx+ αyy −

1

3m2g[2m(α1 −mgz)− α2

x − α2y]

3/2.6.24.S = −α1t+

∫dϕ

√2ml2(α1 +mgl cosϕ)

t− t0 =

√ml2

2

∫ ϕ

ϕ0

dx√α1 +mgl cosϕ6.25.

S = −α1t+ αyy +1

3m2g sinα[2mα1 − α2

y + (2m2g sinα)x]3/26.26

S = −αt+ αϕϕ+√2ml2

∫dθ

√

α+mgl cos θ −α2ϕ

2ml2sin2θ

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 49Çàêîí äâèæåíèÿ ñì. â 2.6.6.27.

S = −α1t+ αxx+ αzz +W (y) ,

W (y) =

∫dy

√2m(α1 + eEy)− (αx +

e

cHy)2 − α2

z

E , H íàïpÿæeííîñòè ýëåêòpè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé.6.28.

S = −Et+Mϕ+

∫dr

√1

c2

(E − α

r

)2

− M2

r2−m2c2

2Eα

r= E2 −m2c4 − ϕ2

(Eα

cM

)26.29.

S = −α1t+ αϕϕ+

+

∫dr

√2mα1 −

α2

r2+

∫dθ

√

α2 −α2ϕ

sin2 θ− 2ma cos θ6.30. åøåíèå. Óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ïðîèçâîäÿùåéóíêöèè S = −αt+W (q) èìååò âèä

H(q,∂W

∂q

)= α .Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ãàìèëüòîíèàíà, ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðå-ïèñàòü â îðìå

D1 +D2 + . . .+Dn = 0 , (10)ãäå

Di = Hi

(qi,

∂W

∂qi

)− αAi

(qi,

∂W

∂qi

).Óðàâíåíèå (10) ìîæåò áûòü ðåøåíî ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåí-íûõ. Ïîëàãàÿ

W (q) =W1(q1, α1, α) +W2(q2, α2, α) + . . .+Wn(qn, αn, α) ,

50 Îòâåòûïîëó÷èì, ÷òî Wi óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþHi

(qi,

∂Wi

∂qi

)− αAi

(qi,

∂Wi

∂qi

)= αi ,ãäå ïîñòîÿííûå α1, α2, . . . αn - ñâÿçàíû åäèíñòâåííûì óñëîâèåì

α1 + α2 + . . .+ αn = 0 .6.31. S = −α1t+ α2 ln q2 +

∫ √2α1q21 − α2

2

dq1q1

.6.32.à) S = −α1t+1

α2

(2α1q1 −

q313

)+

1

2

(α2q2 −

q222

);á) S = −α1t+

∫ √α2 − α3q21 + 2α1q1 dq1 +

+

∫ √−α2 + α3q22 − 2α1q2 dq2 +

∫ √α3 − q−2

3 dq3 .6.33. x = A cosω1t , y = B cosω2t

S = −α1t+

∫dy

√2m(α2 −

1

2mω2

2y2) +

+

∫dx

√2m(α1 − α2 −

1

2mω2

1x2).6.34. x = t3/6 + αt+ β.

S =xt2

2+ αx−

(t5

40+αt3

6+α2t

2

)6.35.S = −Et+ αϕ+

∫dr

√2Er2 − 2− α2

r2

q21α2/(e − 1)

− q22α2/(e + 1)

= 1, e =√

1 + 2Eα26.36. I = 4√2m(3F )−1E3/2, ω = πF/

√2mE.6.37. I = a

√2mE, ω = 2πa−1

√2E/m.

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 517. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà7.1. Ω = V/h sinα; âåêòîð Ω âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñèñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = V/h cosα.7.2. åøåíèå. Êîíóñ A ñîâåðøà-

M

M0

O

Z

K

a

Cèñ. 39. Ê çàäà÷å 7.2

åò ÷èñòîå âðàùåíèå âîêðóã îñè

OC. Ïóñòü ñêîðîñòü öåíòðà îêðóæ-íîñòè, ëåæàùåé â îñíîâàíèè êî-íóñà åñòü V . Òîãäà

V = Ωa sinα cosα.ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà òî÷êà âðà-ùàåòñÿ âîêðóã âîêðóã OZ ñ óã-ëîâîé ñêîðîñòüþ ω, ïîýòîìó

V = ωa cosα sin(α+ β).Ïðèðàâíèâàÿ îáà âûðàæåíèÿ, íàéäåì

Ω = ωsin(α+ β)

sinα.Âåêòîð Ω íàïðàâëåí âäîëü OC. Òàê êàê äëèíà âåêòîðà Ω ïîñòî-ÿííà, òî ïðè äâèæåíèè êîíóñà, Ω ìîæåò òîëüêî âðàùàòüñÿ âîêðóã

OZ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω. Ïîýòîìó óãëîâîå óñêîðåíèå åñòüε =

dΩ

dt= [ω ,Ω] |ε| = ωΩ sinβ .Íàéäåì ñêîðîñòü òî÷êèM . Òàê êàê òî÷êà O íåïîäâèæíà, òî VM =

[Ω , rM] è (ñì. ðèñ. 39)

VM = ΩrM sin∠CMO .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî CM0 = 2a sinα, ïîëó÷èìrM sin∠CMO =MK = CM cosα = (2a sinα− b) cosα

52 Îòâåòûè VM = Ω(2a sinα− b) cosα.7.3. Ω = ωsin(β − α)

sinα

; |ε| = ωΩ sin β, VM = Ω(2a sinα− b) cosα.7.4. 1) I1,2 = m1m2l2/µ, I3 = 0; 2) I1 = 2m1m2h

2/µ, I2 =m1a

2/2, I3 = I1+ I2, îñü x âäîëü îñíîâàíèÿ òðåóãîëüíèêà, îñüz ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ñèñòåìû; 3) I1,2 = 3m1m2h

2/µ +m1a

2/2, I3 = m1a2, îñü z âäîëü âûñîòû, îñü x âäîëü ìåäèàíû.7.5. 1) I1,2 = µl2/12, I3 = 0; 2) I1,2,3 = 2µR2/5; 3)

I1,2 = 14µ(R

2 + h2/3), I3 = µR2/2, îñü x âäîëü îñè öèëèíäðà;4) I1 = 112µ(b

2 + c2), I2 = 112µ(a

2 + c2), I3 = 112µ(a

2 + b2); 5) I1,2,3 =25µ(R

52−R5

1)(R32−R3

1)−1; 6) I1,2 = 3

5µ

(14R

2+h2) , I3 = 3

20µ(R2+h2).7.6. x = 4

3α−1R sin 1

2α, íà÷àëî êîîðäèíàò â âåðøèíå ñåêòîðà,îñü x âäîëü îñè ñèììåòðèè.7.7. I = 12µR

2(1− α−1sinα) .7.8. I1 = 14µb

2, I2 =14µa

2, I3 = I1 + I2.7.9.Iαβ =

1 −2/3 0−2/3 2/3 00 0 5/3

.ëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ðàâíû I1 = 5/3, I2,3 = (5 ±

√17)/6;ãëàâíûå îñè íàïðàâëåíû âäîëü âåêòîðîâ e1,2 = (1, 1/4±

√17/4, 0),

e3 = (0, 0, 1).7.10. T = 13µl

2ϕ2(1 + 3 sin2 ϕ).7.11. T = µϕ2

2 (R2+a2−2aR cosϕ)+12Iϕ

2, ω2 = µga[µ(R−a)2+I]−1.7.12. T = 12µ(R − a)2ϕ2 + I

2(R − a)2ϕ2/a2, I = 1

2µa2, ω2 =

23g(R − a)−1.7.13. T = 1

2 θ2(I1 cos

2 ϕ + I2 sin2 ϕ) + 1

2I3ϕ2, îñü x3 íàïpàâëåíàâäîëü AB.7.14. ω2 = 2gl(2l2 +R2)−1.7.15. ω2 = 6gk(1 − k2l2)(3 + k2l2)−1, (kl < 1);ω2 = 6gl−1(kl −

1), (kl > 1).7.16. R = 13mg(1 + 8 cos2 α)1/2.

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 537.17. ϕ = θ1 + θ2; ψ = θ1 − θ2; θα = Aα cos(ωαt + βα); ω21 = 3g/2l,

ω21 = 3g/2l + 6ka2/ml2.7.18. ui = ci cos(ωit + βi), (i = 1, 2), u1 = x − b, u2 = ϕ, x - êî-îðäèíàòà ö.è. áàëêè âäîëü âåðòèêàëè, ϕ - óãîë ïîâîðîòà áàëêè âïëîñêîñòè ðèñóíêà âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ö.è.; ω1 = 2k/m,

ω2 = 6k/m; ci, βi - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.7.19. ω2 = 4k/3m7.20. u1 = θ1+θ2; u2 = θ1−θ2; θα = Aα cos(ωαt+βα); ω21 = 2k/3m,

ω21 = 2k/m.7.21. R = 7

2AΩ0−1(sinψ + onst, cosψ + onst, 0), Ω = 5

7a−1Ω0R,

ψ = 27Ω0t + onst, A = onst.7.22. wx = (5/7ma)(aFx +Ky), wy = (5/7ma)(aFy −Kx),

Ω = a−1(−wy, wx,52(ma)

−1Kz), R = 17a

−1(5Ky − 2aFx, −5Kx −2aFy, 7aFz), îñü z ïåpïåíäèêóëÿpíà ïëîñêîñòè.7.23. åøåíèå.  îáùåì ñëó÷àå ìîìåíò èìïóëüñà îòíîñèòåëüíîïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ðàâåí M = Möè +Mâð, ãäå Möè - ìîìåíòèìïóëüñà öåíòðà èíåðöèè, à Mâð - ìîìåíò âðàùàòåëüíîãî äâè-æåíèÿ, îáóñëîâëåííûé âðàùåíèåì âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçöåíòð èíåðöèè òåëà (íà÷àëî ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íàõî-äèòñÿ â öåíòðå èíåðöèè).  äàííîì ñëó÷àå öåíòð èíåðöèè íåïî-äâèæåí è, ñëåäîâàòåëüíî, Möè = 0 îòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè A,à Mâð íå çàâèñèò îò òî÷êè A è ðàâåí â ãëàâíûõ îñÿõ Mα = IαΩα,Mâð = (M1, M2, M3), Iα - ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè è Ωα - ïðî-åêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè, êîòîðûå íàïðàâ-ëåíû âäîëü ðåáåð ïàðàëëåëåïèïåäà. Ïîýòîìó

Ω =Ω√

a2 + b2 + c2(a, b, c).Òàê êàê äëÿ ïàðàëëåëåïèïåäà

I1 =m

12(b2 + c2), I2 =

m

12(a2 + c2), I3 =

m

12(a2 + b2),

54 Îòâåòûòî äëÿ êîìïîíåíò Mα ïîëó÷èìM1 =

maΩ(b2 + c2)

12√a2 + b2 + c2

; M2 =mbΩ(a2 + c2)

12√a2 + b2 + c2

;

M3 =mcΩ(a2 + b2)

12√a2 + b2 + c2

.7.24.

M2 =(mΩ

12

)2[(3R2+h2)2 sin2 α+36R4 cos2 α], tgβ =

3R2 + h2

6R62

tgα.7.25. x = 2θ1 + θ2, rϕ = θ1 − 2θ2, θα = Aα cos(ωαt + βα), α = 1, 2,

ω1 =√

8k/7m, ω2 = 2√k/m.7.26. tgα = (I3/I1) tg θ, θ - óãîë ìåæäó îñüþ ñèììåòðèè âîë÷êà èíàïðàâëåíèåì ìîìåíòà èìïóëüñà.7.27. cos θ = 3g

2lΩ2< 1, ω2 = Ω2

[1−

( 3g

2lΩ2

)2],R2 =

mlΩ2

2

√1 +

7g2

4l2Ω4.7.28.Âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò îñü x3 íàïðàâëåíà âäîëüñòåðæíÿ, x2 - ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè âåêòîðîâ vi è e3, îñü

x1 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ðèñóíêà; M1 = M3 = 0, M2 =(m1 +m2)l

2Ω sinα; K2 = K3 = 0, K1 = −(m1 +m2)l2Ω2 sinα cosα.7.29. N1 = −(5mg/2) cos θ − (3E/l), N2 = (mg/4) sin θ, N3 = 0, E- ýíåðãèÿ ñòåðæíÿ,

t+ C = ±√ml2

6

∫dθ√

E + 12mgl cos θ

.7.30.ϕ = A1 cos

(√ 3g

4(R − r)t+ α1

),

θ = αt+ β +R− r

3RA1 cos

(√ 3g

4(R − r)t+ α1

).

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä 557.31. ϕ = θ1 + θ2, θ = −(1/√6)(θ1 − θ2); θα = bα cos(ωαt + βα),

ω21,2 = (g/R)(4 ±

√6)/10.8. Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä8.1. v = (0, x3, x2).8.2. vi = kixi, wi = k2i xi, i = 1, 2, 3.8.3. w1 = 0, wk = k!xk(1 + t)−2 (k = 2, 3); xk = ξk(1 + t)k (k =

1, 2, 3).8.11. Pn = (4,−103 , 0), Pnn = 44

9 n |Pn| = 23

√61, cos(Pnn) =

22/3√61.8.12. (52 , 3,√3).8.13. F = (0, 0,−4x3/ρ), maxPnn = 8a, n = (0, 0, 1).8.14. P22 = 1, n = (1/

√6)(1,−2, 1).8.15. p = p0 + ρg(h − z), îñü z ïåpïåíäèêóëÿpíà ñâîáîäíîé ïî-âåpõíîñòè.8.17. ρ = ρ0 exp(−mgz/kT ); ρ0 = const, îñü z íàïpàâëåíà âäîëüñèëû òÿæåñòè.8.18. R = (0, 0, gρVT ).8.19. åøåíèå. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ðàâíà

R = −∫∫

S1

p(z)n1dS −∫∫

S2

p(z)n2dS , (11)ãäå p(z) - äàâëåíèå, ni - åäèíè÷íûå îðòû âäîëü íîðìàëåé ê ïî-âåðõíîñòÿì S1 è S2 (ðèñ. 36).Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ñèëà ñ êîòîðîé îáå æèäêîñòè äåéñòâóþò íàòåëî îáú¼ìà V = V1 +V2 ðàâíà ñèëå ñ êîòîðîé æèäêîñòè äåéñòâó-þò íà òàêîé æå æèäêèé îáú¼ì. Ïóñòü S0 - ïîâåðõíîñòü ñå÷åíèÿîáú¼ìà V êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ z = 0, âåçäå íà S0 n1 = k,n2 = −k (k - îðò âäîëü îñè z ) è äàâëåíèå p(z) íåïðåðûâíî ïðèïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà, òîãäà

∫∫

S0

p(z)n1dS +

∫∫

S0

p(z)n2dS = 0 . (12)56 Îòâåòûàññìîòðèì òåïåðü çàìêíóòûå ïîâåðõíîñòè S1 = S1 ∪ S0 è S2 =

S2 ∪ S0. Òîãäà, èñïîëüçóÿ (12), ðàâåíñòâî (11) ìîæíî çàïèñàòü ââèäå

R = −∫∫

S1

p(z)n1dS −∫∫

S0

p(z)n1dS

−∫∫

S2

p(z)n2dS −∫∫

S0

p(z)n2dS

−∮

S1

p(z)n1dS −∮

S2

p(z)n2dS .Òàê êàê S1 è S2 - çàìêíóòûå ïîâåðõíîñòè, ìîæíî ïðèìåíèòü òåî-ðåìó àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî ê äâóì ïîñëåäíèì èíòåãðàëàì è çà-ïèñàòüR = −

∫

V1

∇p dV −∫

V2

∇p dV .Ïîñêîëüêó â êàæäîé æèäêîñòè âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå ãèäðîñòà-òèêè, ∇p = −gρk, ãäå g - óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, à k - îðòâäîëü îñè Oz, òîR =

(∫

V1

ρ1dV +

∫

V2

ρ2 dV)gk = (m1 +m2)gk ,ãäå mi ìàññà i-æèäêîñòè â îáúåìå Vi.8.20. z = h +

Ω2

2g(x2 + y2 − a2

2) ïàpàáîëîèä âpàùåíèÿ, îñü z âäîëü îñè öèëèíäpà.8.21. P =

∫p(x, y, z = 0)dS = (p0 + ρgh)πa2 = äàâëåíèå â ñîñòîÿ-íèè ïîêîÿ.8.22. z = h

√σ/ρ.8.23. p = 2

3gρπa3 sinα

√1 + tg−2 δ, ãäåtgδ = 2aρg sinα[3(p0 + ρgH) + 2aρg cosα]−1,

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä 57

δ óãîë ìåæäó ñèëîé p è íîpìàëüþ ê îñíîâàíèþ ïîëóøàpà.8.24. vx = uy/h, vy = vz = 0, îñü x íàïpàâëåíà âäîëü ïëîñêîñòè,îñü y ïåpïåíäèêóëÿpíî, p = const, P(±y)x = ±ηu/h, P(±y)y = p,

η êîýèöèåíò ñäâèãîâîé âÿçêîñòè.8.25. vx = 12η

−1(dp/dx)y(y−h), vy = vz = 0, (dp/dx) = const < 0,îñü x íàïpàâëåíà âäîëü äâèæåíèÿ æèäêîñòè, îñü y ïåpïåíäèêó-ëÿpíî ïëîñêîñòÿì, P(y)x = (h/2)|dp/dx| .8.26. p = p0 + ρg cosα(h − z), vx = 12ρg sinα η

−1z(2h − z), vy =vz = 0 , îñü x â íàïpàâëåíèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè, îñü y ïåp-ïåíäèêóëÿpíî íàêëîííîé ïëîñêîñòè.8.27. dp/dx = l−1∆p, v = −1

4∆p(ηl)−1(R2 − r2), r ïîëÿpíûépàäèóñ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ, Q = −1

8π∆p(νl)−1R4, ν = η/ρ.

58 ËèòåðàòóðàËèòåpàòópà1. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèøèö Å.Ì. Ìåõàíèêà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004.2. Ïàâëåíêî Þ.. Ëåêöèè ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå . Ì.: Ôèç-ìàòëèò, 2002.3. Ïàâëåíêî Þ.. Çàäà÷è ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå . Ì.: Èçä -âî ÌÓ, 1988.4. Ïÿòíèöêèé Å.Ñ., Òðóõàí Í.Ì., Õàíóêàåâ Þ.È., ßêîâåíêî .ÍÑáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå, Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002.5. Îëüõîâñêèé È.È., Ïàâëåíêî Þ.. Êóçüìåíêîâ Ë.Ñ. Çàäà÷è ïîòåîpåòè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ èçèêîâ. Ì.: Èçä âî ÌÓ, 1977. 6.Îëüõîâñêèé È.È. Êópñ òåîpåòè÷åñêîé ìåõàíèêè äëÿ èçèêîâ. Ì.:Èçä - âî ÌÓ, 1974.7. Êîòêèí .Ë., Ñåpáî Â.. Ñáîpíèê çàäà÷ ïî êëàññè÷åñêîé ìåõà-íèêå. Ì.: Hàóêà, 1977.8. îëäñòåéí . Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Hàóêà, 1975.9. Òåp.Õààp Ä. Îñíîâû ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Hàóêà, 1974.10. Ïàpñ Ë. Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ì.: Hàóêà, 1971.11. Ìåùåðñêèé È.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå.Ì.: Hàóêà, 1975.12. Ñèíã Äæ. Ë. Êëàññè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ì.: ÈÔÌË, 1960.13. Ôåéíìàí ., Õèáñ À. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà è èíòåãðàëû ïî òðà-åêòîðèÿì. Ì.: Ìèð, 1968.14. Thornton S.T., Marion J.B. Classi al dynami s of parti les andsystems. Thomson Learning, In . 2004.15. Morin D. Introdu tion to lassi al me hani s. With problems andsolution. Cambridge University Press, 2008.16. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèøèö Å.Ì. èäðîäèíàìèêà, Ì.: Hàóêà, 1986.17.Ìåéç Äæ. Òåîðèÿ è çàäà÷è ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñpåä, Ì.: Ìèp,1974.

Ó÷åáíîå èçäàíèå

ÑÁÎÍÈÊ ÇÀÄÀ× ÏÎ ÒÅÎÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅÁóõáèíäåð åííàäèé Ëüâîâè÷Èçäàåòñÿ â àâòîðñêîé ðåäàêöèè.Ìàêåò ïîäãîòîâëåí â Èçäàòåëüñòâå ÎìÓÑåðòèèêàò ñîîòâåòñòâèÿ ÎÑÑ RU.AE51.H15612Ñðîê äåéñòâèÿ ñ 02.08.2011 ã. ïî 01.08.2012 ã.Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Í.Ñ. ÑåðîïÿíÄèçàéí îáëîæêè Ç.Í. ÎáðàçîâàÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 18.06.2012 Ôîðìàò 60× 84 1/16.Ïå÷. ë. 3,8. Ó÷.-èçä. ë. 2,6. Óñë. ïå÷. ë. 3,5.Òèðàæ 150 ýêç. Çàêàç 192.Èçäàòåëüñòâî Îìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà644077, Îìñê-77, ïð. Ìèðà, 55àÎòïå÷àòàíî íà ïîëèãðàè÷åñêîé áàçå ÎìÓ644077, Îìñê-77, ïð. Ìèðà, 55à