7.1-7.2 Basic Trigonometric Identities

In this powerpoint, we will use trig identities to verify and prove equations

cos

sin1

2 2sin cos 1

1 1 sin cossec csc tan cot

cos sin cos sin

1cot

tan

2 2sin cos 1

2 2

2 2 2

sin cos 1

cos cos cos

2 2

2 2 2

sin cos 1

sin sin sin

2 2tan 1 sec

2 21 cot csc

1 1 sin cos 1sec csc tan cot cot

cos sin cos sin tan

2 2sin cos 1 2 2tan 1 sec 2 21 cot csc

sin cot tan sec

cos sinsin sin sec

sin cos

2sin

cos seccos

2 2cos sin

seccos cos

1

seccos

sec sec

€

cosθ

cosθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟•

1 1 sin cos 1sec csc tan cot cot

cos sin cos sin tan

2 2sin cos 1 2 2tan 1 sec 2 21 cot csc

2 21 cos 1 cot 1 2 2sin csc 1

22

1sin 1

sin

1 1

1 1 sin cos 1sec csc tan cot cot

cos sin cos sin tan

2 2sin cos 1 2 2tan 1 sec 2 21 cot csc

sincsc cot

1 cos

1 cos sin

sin sin 1 cos

1 cos

1 co

1 cos sin

sin 1 coss

21 cos sin

sin 1 cos 1 cos

2sin sin

sin 1 cos 1 cos

sin sin

1 cos 1 cos

1 1 sin cos 1sec csc tan cot cot

cos sin cos sin tan

2 2sin cos 1 2 2tan 1 sec 2 21 cot csc

csc 1 1 sin

csc 1 1 sin

sin

sin

csc 1 1 sin

csc 1 1 sin

1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

See what you get

1 1 sin cos 1sec csc tan cot cot

cos sin cos sin tan

2 2sin cos 1 2 2tan 1 sec 2 21 cot csc

cos 1 sin2sec

1 sin cos

22cos 1 sin2sec

cos 1 sin

2 2cos 1 2sin sin

2seccos 1 sin

2 1 sin2sec

cos 1 sin

2

2seccos

2sec 2sec

21 coscsc cot

1 cos

21 cos 1 coscsc cot

1 cos 1 cos

2

2

2

1 coscsc cot

sin

2

21 coscsc cot

sin

2 2csc cot csc cot

€

(1

sin x−

cos x

sin x)2

2 2 2

sin cos tan

cos sin 1 tan

2

2

2 2

2 sin cos ta1

cos1

c

n

cos sin 1 tanos

2 2

2

sintancos

sin 1 tan1

cos

2 2

tan tan

1 tan 1 tan

22

2

1 cot2cos 1

1 cot

2

22

1 cot2cos 1

csc

2

22 2

1 cot2cos 1

csc csc

2 2 2sin cos 2cos 1

2 2sin cos 1 1 1

1 sin 1 sin4 tan sec

1 sin 1 sin

2 2

2

1 sin 1 sin4 tan sec

1 sin

2 2

2

1 2sin sin 1 2sin sin4 tan sec

cos

4sin

4 tan seccos cos

4 tan sec 4 tan sec

3 3

2

sin cos sec sin

tan 11 2cos

2 2

2

sin cos sin sin cos cos sec sin

tan 11 2cos

2

sin cos 1 sin cos sec sin

tan 11 2cos

2 2 2

sin cos 1 sin cos sec sin

tan 1sin cos 2cos

2 2

sin cos 1 sin cos sec sin

tan 1sin cos

sin cos 1 sin cos sec sin

sin cos sin cos tan 1

11 sin cos sec sincos

1 tan 1sin coscos

Etc.

5.4.8

Proving an Identity

Prove the following:

a) sec x(1 + cos x) = 1 + sec x

= sec x + sec x cos x= sec x + 1

1 + sec x

L.S. = R.S.

b) sec x = tan x csc x

=sinxcosx

×1

sinx

=1

cosx

=secx

secx

L.S. = R.S.

c) tan x sin x + cos x = sec x

=sinxcosx

×sinx

1+cosx

=sin2x+cos2x

cosx

=1

cosx=secx

secx

L.S. = R.S.

d) sin4x - cos4x = 1 - 2cos2 x

= (sin2x - cos2x)(sin2x + cos2x)= (1 - cos2x - cos2x)= 1 - 2cos2x

L.S. = R.S.

1 - 2cos2x

e)

11+cosx

+1

1−cosx = 2csc2x

=(1−cosx)+(1+cosx)(1+cosx)(1−cosx)

=2

(1−cos2x)

=2

sin2x

=2csc2x

2csc2x

L.S. = R.S.

Proving an Identity

5.4.9

Proving an Identity

5.4.10

f)

cosA1+sinA

+1+sinAcosA

= 2secA

=cos2A+(1+sinA)(1+sinA)

(1+sinA)(cosA)

=cos2A+(1+2sinA+sin2A)

(1+sinA)(cosA)

=cos2A+sin2A+1+2sinA

(1+sinA)(cosA)

=2+2sinA

(1+sinA)(cosA)

=2(1+sinA)

(1+sinA)(cosA)

=2

(cosA)=2secA

2secA

L.S. = R.S.