Algebra de 4to de Secundaria

8/19/2019 Algebra de 4to de Secundaria

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1 1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”

BOLETÍN DEÁLGEBRAExponentes/Ecuaciones exponenciales/Polinomios/Productos notables.

I.E.P. “SANTA MARÍA”I.E.P. “SANTA MARÍA”


2/21

1 1

LEYES DE EXPONENTES ILEYES DE EXPONENTES I


Son definiciones y teoremas que estudian a los

exponentes a través de operaciones de potenciación

y radicación.

POTENCIACIÓN

an = P a: base, a ∈ R

n: exponente n ∈ Z

P: potencia P ∈ R

Ejm.:

• 2 = !", la base es ###########

$l exponente es #############

la potencia es ##############

DEFINICIONES1. Exponente Natura

vecesn

n x.................x.xx = % x ∈ R ∧

n ∈ Z!

Ejm.:

•

b& = b . b . b . b . b

• =

'

!

•

()*+* =

2. Exponente Cero

x" = ! % x ∈ R - /

Ejm.:

•

= ! )' =

•

()*+ = ! ()'+ =

#. Exponente Ne$at%&o

nn x!x = % % x ∈ R -/ ∧ n ∈ Z!

Ejm.:

• 0

!

*

!*

''

=

•

()+)* =

• =

'

!

TEO'E(AS

I) *ASES I+,ALES1. (ut%p%-a-%n

am . an = am!n

Ejm.:

•

'/ . '2 = '0

•

xn!/ = xn . x/

•

*/ . *# =

•

xa!- =

2. D%&%%n

nmn

m

aa

a

= % a ≠

Ejm.:

•

''

*

*

*=

• *

x*x

x

xx =

•=

*

&

&

&

•

x2x1 =

II) EXPONENTES I+,ALES#. (ut%p%-a-%n

an . bn = (ab+n

Ejm.:

•

x/ y/1/ = (xy1+/

•

('b+# = '# . b#

•m

2

n2

p2

=

•

(*x+/ =


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1 1


/. D%&%%n

n

n

n

b

a

b

a

= % b ≠

Ejm.:

•

*

*

*

y

x

y

x

=

• 0

*

'

*

''

''

=

•=

'

x

• =

*

&

*

III) EXPONENTE DE EXPONENTE

{ } mnp P nm aa =)]([

•

(*2+# = *0 = 2'0

•

x2.2.3 = -(x2+2/3

•

-('2+#// =

•

x2.#.3 =

!.

Reducir:''

'

&.*&

0.'&.!&3 =

a+*! b+

'! c+

0!

d+&

!e+ 4.5.

'.

Simplificar:n

*nn

'

''4

=

a+ ' b+ * c+ !6*

d+ !6' e+ 4.5.

*.

7alcular: !*8'&*'9

=

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ 4.5.

.

$fectuar:

*22&*

!8"

x.......x.x.x.x

x........x.x.x.x3 =

a+ x0" b+ x3/ c+ x34

d+ x0# e+ 4.5.

&.

Simplificar:

!!!

*!!

'!

!

*

!

'

!4

=

a+ '82 b+ '8! c+ '*&

d+ !'* e+ 4.5.

".

alle el exponente final de ;x


4/21

1 1


!.

Si: 'n = *m% reducir:

!m'*m

n'!nn'

*.'*

'.*''.&>

=

a+ *6 b+ 6* c+ "6&d+ '60 e+ 4.5.

!!.

Si:*

x

!x =

allar el valor de:

xx

!x

!

x

x

!x

x

!x?

a+ !8 b+ '! c+ !&d+ ' e+ 4.5.

!'.

7onociendo que: $@5A$@ $7%57

=

Reducir:$@7A5S =

a+ 5 b+ A c+ 7

d+ @ e+ 4.5.

!*.

Reducir:

mn'mnnm

n'm'mnnm

xx

xx$

=

a+ ! b+ x c+ x25m!nmn)

d+ xm!nmn e+ 4.5.

!.

Si: nn = !60. allar:

=

n'

&

n$

a+ '* b+ 8! c+ !68!

d+ ! e+ 4.5.

!&.

7alcular:'b'a

b'a'a

!".8

.'

P =

a+ ! b+ ' c+

d+ !6' e+ 4.5.

TA'EA DO(ICILIA'IA N6 1

!.

Reducir:

&."

'2.!.*"B

'=

a+ " b+ 0 c+ *d+ !& e+ 4.5.

'.

Simplificar:'n

!n'n*n

'

'''$

=

a+ !6' b+ *6' c+ &6'

d+ 6& e+ 4.5.

*. 7alcular:!

'0'25

=

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ 4.5.

.

$fectuar:02&*

!8"'

x.x.x.x.x

x.x.x.x.x3 =

a+ x3 b+ x c+ 'x

d+ x1" e+ 4.5.

&.

Simplificar:

'*

!

'

!!

*

!

+!('

!

*

!5

=

a+ !& b+ ' c+ '&

d+ * e+ 4.5.

".Simplificar:

cbaacb

cba

+b(+a(

+ab(B

=

a+ !6ab b+ b6a c+ ab

d+ a6b e+ 4.5.

2.

Si: xx = *

7alcular: !xxxR

=

a+ * b+ 0 c+ '2d+ !6* e+ 4.5.

8.

Si:

'

!a&b ba

=

7alcular: !bab

=

a+ ! b+ ' c+ '&

d+ * e+ 4.5.

0.7alcular:

*"*

'&&'0.&.&>

a+ " b+ / c+


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1 1

EC,ACIONES EXPONENCIALESEC,ACIONES EXPONENCIALES


d+ e+ 4.5.

!.

Si: *x = 27% reducir:

yx y

x! y!x

2.**.22

*2*7

=

a+ b+ ! c+ '

d+ * e+ 4.5.

!!.

Si: ab = b8 = '

allar el equivalente de: ababab$ =

a+ !" b+ !"a c+

d+ a e+ 4.5.

!'.Si se cumple que: '22 C !' = !'a

7alcular: a++'(('3 &.''''

a+ ! b+ a c+ a2

d+ )!" e+ 4.5.

!*.

Si: !x *x =

entonces x!xx

es equivalente a:

a+ *x1

b+ '21

c+ *19#

d+ *1 e+ 4.5.

!.

7alcular:*x''x'!x'

!x'x*x

'''

5

=

a+ 0" b+ " c+ *6'

d+ 8 e+ 4.5.

!&.

Si: xx = ' entonces:'xx'x xxS

es iDual a:

a+ 8! b+ "x c+ !'

d+ +*('x e+ 4.5.

Son aquellas en las que la incóDnita esta

como exponente y también como base yexponente a la ve1.

Ejm.:

•

*x C *x!1 C *x!2 = *0

•

xx =

P'OPIEDAD

1. Si: am = an →

m = n % a≠

, !, )!

Ejempo:Resolver: '&x1 = !'&2x

@espués de expresar '& y !'& como

potencias de &, tenemos:

(&2+x1 = (+2x

$fectuando operaciones en losexponentes:

&2x2 = &0#x

Aases iDuales, exponentes iDuales:

'x ' = " *x

Resolvemos y obtenemos que:

&

8x =

2. Si: xx = aa → x = a

Ejempo:Resolver: xx =

$xpresar el exponente neDativo y el como potencia de ':

'x '

x

!=

$fectuando operaciones:

'x

'

!x =

$l '

2

también se puede expresar ()'+

2

:'

x

+'(

!x

=


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1 1


Por exponente neDativo:

xx = ()'+52)

Por analoDEa:

x = )'

#. ax = bx ⇒

a = b ⇔ a F ∧ b F

5demGs: Si: x = ⇒ a ≠ b

Ejempo:Resolver:

(&n+x = (n C '+x

@e la ecuación se deduce:&n = n C '

$fectuando operaciones:

'

!n =

!".

allar ;x< en: x'&*x& '' =

a+ ! b+ * c+ )*d+ e+ 4.5.

!2.

Resolver: 8!/x1 = 0x!3

a+ ! b+ ' c+ d+ & e+ 4.5.

!8.

allar ;x< en: * x0x* '8 =

a+ ' b+ c+ *d+ )! e+ 4.5.

!0. Resolver:

veces+'n(vecesn

........8........8.8.8

=

a+ b+ ' c+ 8d+ )8 e+ 4.5.

'.

Resolver: 'x . '#x3 . '3x = '3

a+ ! b+ ' c+ !060d+ * e+ 4.5.

'!.

Resolver: 'x!3 C 'x!/ C 'x!# = '8

a+ )' b+ )! c+ !d+ ' e+ 4.5.

''.

Resolver: *x1 C *x2 = !8

a+ * b+ & c+ 0d+ 2 e+ 4.5.

'*.

Resolver: *x0

x =

a+ '6* b+ ' c+ *6'd+ e+ 4.5.

'.

allar ;x< en: nnx n+nx( =

a+ nn1 b+ nn!1 c+ n

d+ nn e+ 4.5.

'&.

Resolver:x '

'

xx=

a+ ' b+ c+ '

d+ )' e+ 4.5.

'".

Resolver: "!8x *x =

a+ ' b+ ' c+ *

d+ " * e+ 4.5.

'2.

Resolver: * &*'x &x =

EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN


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1 1


a+ !& & b+ & !& c+ & &d+ !& !& e+ 4.5.

'8.

Resolver:'x

x''=

7alcular: x x$ =

a+ !6 b+ )!6 c+ !6'd+ )!6' e+ 4.5.

'0.

Resolver: x C ' = "x/x

a+ b+ 26' c+ *6'

d+ ' e+ 4.5.

*.

Resolver:'xx

x

!*

x'

a+ !6 b+ !6* c+ !6'd+ !6!" e+ 4.5.

TA'EA DO(ICILIA'IA

!".

allar ;x< en:'x 0'2 =

a+ ' b+ c+ "d+ 8 e+ 4.5.

!2.

Resolver: !'&x# = '&2x!1

a+ )' b+ )* c+ )!d+ )!! e+ 4.5.

!8.

allar ;n< si:'2 nn bb.b =

a+ !' b+ ' c+ *"

d+ ! e+ 4.5.

!0.

allar ;x< en: !x'2x0*

!'&&

=

a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.

'.

Resolver: *2x1 . *x2 . *#x!4 = '2

a+ )!6' b+ )!6* c+ )!6"

d+ !6& e+ 4.5.

'!.Resolver: *

x!/

C *x!2

C *x

= '2*

a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.

''.

Resolver: ('x+x = '12

a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.

'*.

Si: x x1 = '

7alcular el valor de: 4 = ('x+2x

a+ & b+ &6' c+ (&6'+392

d+ &3 e+ 4.5.

'.

7alcular el valor de ;x< en:&,

x'&"=

a+ *6' b+ '6* c+ )'6*

d+ '6& e+ 4.5.

'&.

allar ;x< en: '"x 'x =

a+ ' b+ ' c+ ''

d+ '* e+ 4.5.

'".Si:

8!xx8!8!

=

allar: x x3 =

a+ * b+ !6* c+ !60d+ !68! e+ 4.5.

'2.

allar (x . y+0 si:!8'.*

' y y*xx

=

a+ * b+ 2' c+ *"d+ 8 e+ 4.5.


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1 1

LEYES DE EXPONENTES IILEYES DE EXPONENTES II


'8.

allar la suma de valores de ;n


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1 1


•'&#92 =

•"/9# =

TEO'E(AS

I) 'A;< DE ,NA (,LTIPLICACIÓNINDICADA

nnn y.xxy =

Ejm.:

•*** *.'*.' =

• =**'&.&

• =*'.8

II) 'A;< DE ,NA DI=ISIÓN

n

nn

y

x

y

x= % y ≠

Ejm.:

•*'2

*

8!

*

8! ***

*

=

•=

x'

!

•=

*

*

!"

'

III)'A;< DE 'A;<

p.n.mm n pxx =

Ejm.:

•!' & "

'' =

• =*

*

• =&

'!

CASOS ESPECIALES

p.n.m tp.sp.n.rm n p tsr 1. y.x1. y.x =

Ejm.:

• cbaS =

p.n.m cp+ban(m n p cba xxxx =

Ejm.:

• =* * *

''' xxx

• =xxx

mnp cp+ban(m n p cba xxxx =

Ejm.:

• =* & " 2' xxx

• xxx

1.Reducir: & ** ' a.a.a4

=

a+ !' 2a b+ a/0912c+

!' !!* aa

d+ a11

e+ 4.5.

'. Reducir:

8

2' *' *' '' *'*

2

22*22.'23

a+ b+ ! c+ '

d+ e+ 4.5.

3. Reducir: a aa

'!'!R

=

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ 4.5.

E>E'CICIOS DE APLICACIÓNE>E'CICIOS DE APLICACIÓN


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1 1


4.7alcular:

ba ba

ba b'ba a'

2

2'!2S

=

a+ ! b+ ! c+ *,&

d+ 2 e+ 4.5.

5.7alcular: *

!

&

*

*

!

+*'("B

a+ b+ ! c+ '

d+ * e+ 4.5.

6.7alcular: * * & 2*' ''''I

=

a+ * ' b+*8 c+

*

d+ * '' e+ 4.5.

7.$fectuar:

!

*

factores

factores&

***

x

x

x..........x.x

x..........x.x5

÷

a+ x0 b+ x c+ x

d+ x/ e+ 4.5.

8.7alcular: n

nn

nn

*2

*2S

=

a+ 2 b+ * c+ '!

d+ !62 e+ 4.5.

9.Simplificar: 'n

'n'n

'n'n

!&'&

"!B

=

a+ ,' b+ , c+ ,"

d+ ,8 e+ 4.5.

(ONO(IO$s un término alDebraico de exponentes enteros y

positivos para todas sus variables.Ejm.: x* y 3onomio

x& y*1& 3onomio

x y*1" 3onomio

x'6y* 4o es

x y!6' 4o es

*'" 1 yx 4o

es

Ejm.:) x& y"

POLINO(IO

$s una suma limitada de monomios no emejante.Ejm.: "x y' &x' C *xy* C y

Polinomio de monomios *x' y*1 &x* y& C *y

Polinomio de * monomios

'xy &xy'

1

Polinomio de ' monomios

Nota: $l Drado es una caracterEstica de lospolinomios y monomios y esta relacionado con los

exponentes de las variables.

+'ADOS

+ra?o 'eat%&o ?e un (onom%o: $sta dado por elexponente de la variable indicada.

3(x, y, 1+ = x' y1&

JR(x+ = 'JR(y+ = JR(1+ = &

4(x, y, 1+ = '*x* y'1

JR(x+ =###############

JR(y+ =###############

JR(1+ =###############

+ra?o A8outo ?e un (onom%o 5+.A.): $stadado por la suma de los exponentes de lasvariables.

3(x, y, 1+ = *'x y&12

J.5. = C & C 2 = !"

4(x, y, 1+ = "x& y"18

J.5. =################

+ra?o 'eat%&o ?e un Po%nom%o: $stado dadopor el mayor exponente de la variable referida.

Ejm.:

P(x, y+ = 'x y' C "x* y& C 2x2

JR(x+ = 2 % JR(y+ = &

K(x, y+ = "x y& 'x& y* y"

JR(x+ = % JR(y+ =

Sabias que un

trmino

al!ebraico consta

Parte Parte


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1 1


+ra?o A8outo ?e un Po%nom%o: $sta dado porel monomio de mayor Drado.

P(x, y+ = !

"

2

&'

&

'* yx" yx' yx

J. 5. (P+ = !

K(x, y+ = 8"*' y yx" yx

J. 5. (K+ = #########

Nota: Ln polinomio mónico esaquel donde su coeficiente

principal es uno.

I+,ALDAD DE POLINO(IOS

Se dice que ' polinomios son iDuales o idénticos (≡

+cuando ambos resultan con el mismo valor asumidos

por sus variables.

Ejm.:x* ' ≡ (x ) !+(x' C x C !+ ) !

5mbos polinomios son idénticos porque siempre

tendrGn los mismos valores numéricos.

x = '

Reempla1ando:'* ' = (' ) !+('' C ' C !+ !

" = "

POLINO(IOS ESPECIALESSon aquellos que presentan ciertas caracterEsticasparticulares relacionadas a los exponentes de las

variables o a los coeficientes de las mismas. >os mGs

importantes son:1. Po%nom%o Or?ena?o

$s aquel donde los exponentes de la variable van

aumentando o disminuyendo.

Ejm.:P(x, y+ = x!" 'x! C x' C !

Polinomio Mrdenado @escendente

K(x, y+ = ' C x

C &x2

C x!

Polinomio Mrdenado 5scendente

2. Po%nom%o Competo$s aquel donde aparecen todos los exponentes de

la variable, desde el mayor, Nasta el término

independiente.

Ejm.:

P(x+ = "x

'

C 'x C *x

*

C & términos

K(x+ = ' C x C *x' C &x* C x

& términos

Prop%e?a?: $n todo polinomio completo secumple:

O Bérminos = Jrado C !

Sea:P(x+ = 'x' C &x C !

Biene * términos

* = ' C !

Nota: $l término independiente esun término de Drado cero asE:

= x

#. Po%nom%o @omo$neo$s aquel donde todos sus términos tienen el

mismo Drado absoluto.

Ejm.:

P(x, y+ = '

'

''

' yxyx"

K(x, y+ =

"

"

"

**

"

'

y yx* yx'

/. Po%nom%o I?nt%-amente Nuo$s aquel donde para cualquier valor asiDnado a su

variable, el resultado es siempre cero.

P(x+ ≡ x* C x' C x C

P(x+ ≡

parte constante.

Sabias que la

palabra !rado

pro"iene del

matem&tico

%iete # que este

era militar.


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1 1


*!.

$l valor de ;n< si:

n!'

!n n+x(

x

xP

=

$s de to Jrado.

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ &

*'.

7alcular el valor de ;n


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1 1


.

Si el polinomio se anula para mas de ' valores

asiDnados a su variable.

P(x+ = (ab C ac ) *+x' C (ac C bc ) "+x C (ab C bc ) 0+

allar: 4 = abc(a C b+(a C c+(b C c+

a+ !" b+ !"* c+ !"!

d+ !"' e+ !"

&.

Si 9(x+ es completo y ordenado. allar: ;a C n< si

tiene ('n C 8+ términos.

9(x+ = xn)* C xn)' C xn)! C C xaC

a+ !' b+ ! c+ !"

d+ !8 e+ '

TA'EA DO(ICILIA'IA N6 /

*!.

Si el monomio:

* 'm

'm

x

xxP

=

$s de tercer Drado, entonces el valor de ;m< es:

a+ !' b+ !& c+ ''

d+ ' e+ '&

*'.

Si:

n'

n*'n

+x(

x+x(

$s de to Jrado. allar: ;n<

a+ " b+ ) c+

d+ * e+ '

**.

$n el siDuiente polinomio:

P(x, y+ = mx*m C x*m)! y&mC' C y&m)"

Se cumple que: J.R.(y+ = '(J. R(x++

7alcular el Drado absoluto del polinomio.

a+ !* b+ !2 c+ !

d+ ! e+ 8

*.

@el polinomio:

P(x, y+ = *&xnC* ym)'1")n C xnC' ym)*

Se cumple: J.5. (P+ = !!

J.R.(x+ J.R.(+ = &

>ueDo: ;'m C n< es:

a+ & b+ ! c+ !&d+ '& e+ !'

*&.

Indicar el Drado del polinomio:

a!!!

aa!'

a&a

+ y,x( x yx yxP

a+ " b+ 8 c+ 2d+ * e+

*".

@ado el monomio:

3(x, y, 1+ = &xa yb1c

7alcular abc, si al sumar los J.R. de ' en ' seobtiene !, 2 y !! respectivamente.

a+ '" b+ &' c+ !8

d+ 8 e+ !

*2.

$n el polinomio completo y ordenado en forma

descendente:

P(x+ = xaCb)" C (a ) b+x C *xa)b

7alcular: ;ab<

a+ !" b+ 8 c+ !'

d+ ! e+

*8.

Si el polinomio:

8''ab2ba+1, y,x( +1 y( yxxP

$s NomoDéneo. 7alcular:

ba

"ba ''

a+ 2!60 b+ && c+ !

d+ & e+ 8

*0.

Si el polinomio:

P(x+ = (a)'bC*+x& C (b)'c)!+x C (c)'aC'+x2

Se anula para cualquier valor de las variables.7alcular: (a C b C c+'

a+ b+ 8! c+ !"

d+ '! e+ *"

.

Si los polinomios:

P(x, y+ = xa ybC! C xc yd)*

K(x, y+ = xaC! yb C x)a y*)b

Son idénticas, calcular: (a C b C c C d+

a+ 8 b+ 0 c+ !d+ !! e+ !'

!.

$n el polinomio NomoDéneo:

P(x, y, 1+ = &xmCn 2xn y'm)* C 8xm y'n1n)! C !!1*n)2


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1 1

P'OD,CTOS NOTA*LESP'OD,CTOS NOTA*LES


7alcular: (m ) n+m

a+ !" b+ )!" c+ 0

d+ )8 e+ )

'.

$n el polinomio completo y ordenado en forma

creciente. 7alcular la suma de coeficientes.P(x+ = mymCn C nym)! pyp)t C tyt

a+ )' b+ * c+

d+ & e+ 2

*.

allar: (a C b+c

xx'

*"cx+*b(x+'a( *&

'*b&a

≡

a+ !6 b+ c+ !

d+ ' e+ ''

.

allar el Drado de NomoDeneidad de :

P(x, y+ = 8xaCb yb C *bxaCb ybC

Si: JR(x+ es menor en ' unidades que J.R.(y+a+ !8 b+ ' c+ ''

d+ ' e+ '"

&.

$n un polinomio completo y ordenado de Drado n

y de una sola variable se suprimen los términos

que contienen exponentes impares. T7uGl es el

nHmero de términos que tiene el polinomio

resultanteU

a+ 'n C ' b+ 'n ' c+ 'n C !

d+ 'n ! e+ 'n

Son los resultados de multiplicar dos o mGs polinomios,en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad

distributiva.

T'INO(IO C,AD'ADO PE'FECTO

(a C b+' ≡ a' C 'ab C b'

(a ) b+' ≡ a' ) 'ab C b'

CO'OLA'IO:

IDENTIDADES DE LE+END'E

(a C b+' C (a ) b+' = '(a' C b'+

(a C b'+ (a ) b+' = ab

Ejm.:

(x C *+' C (x ) *+' =

(x C '+'

(x ) '+'

=

('x C y+' C ('x ) y+' =

='' +'*(+'*(

Importante:(x ) y+' ≡ (y ) x+'

@esarrollando:

x' 'xy C y' ≡ y' 'yx C x'

'e?u-%r:

r+qp(

+rqp(+rqp(4

''

=

So.Por >eDendre:

(p C q C r+'

(p C q ) r+'

= (p C q+r

r+qp(

r+qp(4 =

=

4 = '

DIFE'ENCIA DE C,AD'ADOS

(a C b+ (a ) b+ = a' b'

(x C *+ (x ) *+ =

(x C + ( ) x+ =

(x' C &+ (x' ) &+ =

(m C n C p+ (m C n ) p+ =

O8er&a-%n:

(x C y+'

≠ x'

C y'

Siendo x, y no nulos.


15/21

1 1


Ca-uar:" . 2 . *

So.

aciendo: x = &

>a operación se convierte en:

(x C !+(x ) !+ (x C '+(x ) '+

5plicando productos notables:

x' ! (x' ) +

Reduciendo términos semeVantes:

)! C = *

P'OD,CTOS DE DOS *INO(IOS CON TB'(INOCO(N

(x C a+(x C b+ ≡ x' C (a C b+x C ab

(x C *+ (x C + ≡

(x ) + (x &+ ≡

(x C '+ (x ) + ≡

(x' C &+ (x' ) *+ ≡

Si:x' C x * = . 7alcule:

(x' ) !+ (x C '+ (x ) *+ (x' C x+

So.:@e: x' C x * = ⇒ x' C x = *

$ntonces :

(x' ) !+ (x C'+ (x ) *+ (x' C x+

(x C !+ (x ) !+ (x C '+ (x ) *+ (x C + x

(,LTIPLICANDO EN FO'(A CON=ENIENTE(x' C x+(x' C x ) '+(x' C x ) !'+

Reempla1ando:

(*+ (* ) '+ (* ) !'+ = )'2

DESA''OLLO DE ,N T'INO(IO AL C,AD'ADO

(a C b C c+' = a' C b' C c' C 'ab C 'ac C 'bc

(x C y C *+' ≡ ##########################

####################################

(a C b ) '+' ≡ ##########################

####################################

".

$fectuar:

$ = (x C 'y+' (x 'y+' xy

a+ xy b+ *xy c+ xy

d+ "xy e+ 0xy

2.

Reducir:

R = (a C b+' (b ) a+' C (a 'b+' a' b'

a+ b+ a c+ b

d+ 'ab e+ ab

8.

$l valor de:

'

+'&'&(4

a+ " b+ 8 c+ !

d+ !' e+ !

0.

$fectuar:

+!'+(!'(

+!*+(!*(+!&+(!&(P

=

a+ * b+ c+ &

d+ " e+ 2

&.

$fectuar:

R = (x C n+(x ) n+(x' C n'+(x C n+(x8 C n8+ C n!"

a+ x!' b+ n!" c+ x!"

d+ x!" C n!"e+ !

&!.

Si: yx

y

!

x

!

7alcular:'

'''

x

+ yx(

yx

xy

xy

yx$

=



16/21

1 1


a+'

8x

b+'

x

c+'

yx

d+'

y*x e+ !

&'.>ueDo de efectuar:

$ = (x C !+(x C '+ C (x C *+(x C + 'x(x C &+

Se obtiene:

a+ !& b+ ! c+ !*

d+ !' e+ !!

&*.

>ueDo de efectuar:

5 = (x'

C x C +(x'

C x C &+ (x'

C x C *+(x'

C x C "+Indicar lo correcto:

a+ *!5 =

d+ 5' C ! = &

b+ !5 < e+ 5 es impar

c+ *25*

=

&.

Si: m = 'a C 'b C 'c

7alcular:

''''

''''

cbam

+cm(+bm(+am(m$

=

a+ a C b C c b+ ! c+ a' C b' C c'

d+ abc e+ )!

&&.

allar el valor numérico de:

!+'x+(x($

Para: x = '

a+ '! b+ '' c+ '*

d+ ' e+ '&

&".

Si: (x C y+' = xy

7alcular el valor de:

yx

xy yx4 '...'...

a+ x6' b+ x c+ 'x

d+ x6* e+ & C x6'

&2.Reducir:

(x C !+(x ) '+(x C *+(x C "+ W(x' C x+' 0x(x C +X

a+ *" b+ )*" c+ *

d+ )* e+ )8

&8.

$fectuar:

* "** "* nmmm.nmmmP

a+ m b+ n c+ m'

d+ n' e+ !

&0.

Si: (a C b C c C d+' = (a C b+(c C d+

7alcular: +ba(* dc'2S

=

a+ ! b+ ' c+ * *

d+ * e+ * '

".

Si: !xCy C !x)y = m

!'x = n

7alcular: B = !xCy C !x)y

a+ m' C 'n b+ m' ) 'n c+ m' ) n

d+ m' C n e+ m ) n


".

$fectuar:

R = (*x' 'y*+' C (*y* C 'x'+' !*(x y"+

a+ !'x* y* b+ )!'x' y* c+

d+ '"y

"

e+ !

2.

$fectuar:

$ = (x C y ) '+' C (x C y C *+' '(x C y+' ) !*

a+ )(x C y+ b+ "(x C y+ c+ '(x C y+

d+ ) e+ x'

8.

$fectuar:

*&'**

'**'&*'*&

yx'+''(

+''(+x' y*(+ y*x'(S


17/21

1 1


a+ 'x& y* b+ !" c+ 'x& y* C !"

d+ !" 'x& y* e+ !'x' y* C 8

0.

Si: x C y = &% xy = '% x F y

allar:

!2 yx yxB ''

a+ !2 b+ * c+ !2

d+ '! e+ )'!

&.

Si: x C y = '% x' C y' = *% x F y

allar:

P = x y C x C y ) 8

a+ 8 b+ '' c+

'

d+ ) e+ 4.5.

&!.

allar ;m< m ∈


18/21

1 1


C,*O DE ,N *INO(IO

(a C b+* ≡ a* C *a'b C *ab' C b*

∨ 9orma @esarrollada

(a C b+* ≡ a* C b'b C *ab' C b*

∨ 9orma 5breviada

(a ) b+* ≡ a* ) *a'b C *ab' C b*

∨ 9orma @esarrollada

(a ) b+* ≡ a* b* *ab(a b+

9orma 5breviada

Ejm.:• Si: x C y = "

xy = 2

allar: 4 = x* C y *

So.:Recordando el producto notable.

(x C y+* = x* C y* C *xy(x C y+

Reempla1ando:

"* = x* C y* C *(2+("+

@espeVando:

x* C y* = "* *(2+("+

x* C y* = 0

Ejm.:

• Si: x

!x

**

=

7alcular:x

!xP

So.:Recordando:

x

!x

x

!+x(*

x

!x

x

!x

**

*

Reempla1ando:

P* = *(P+

@espeVando:

P* C *P =

P(P' C *+ =

P = !

S,(A Y DIFE'ENCIA DE C,*OS

(a C b+ (a' ab C b'+ = a* C b*

(a ) b+ (a' C ab C b'+ = a* b*

• (x C !+ (x' x C !+ ≡

• (x C *+ (x' *x C 0+ ≡

•≡

+!*0(+!*( ***

• ('x ) *+ (x' C "x C 0+ ≡

IDENTIDAD DE A'+AND

(x' C xy C y'+ (x' xy C y'+ ≡ x C x' y' C y

7aso Particular:

(x' C x C !+ (x' x C !+ ≡ x C x' C !

C,*O DE ,N T'INO(IO• (a C b C c+* ≡ a* C b* C c* C *(a C b+ (a C c+(b C c+

• (a C b C c+* ≡ a* C b* C c* C *(a C b C c+

(ab C bc C ac+ *abc

I+,ALDADES CONDICIONALESSi: a C b C c = Se cumple:

a' C b' C c' ≡ )'(ab C ac C bc+

a* C b* C c* ≡ *abc

Si quieres saber mGs

entonces aplica tu

inDenio.

• Si: a' C b' C c' ≡ ab C ac C bc

@onde: a, b, c ∈ 'Se demuestra que:

a = b = c


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1 1


Cao Epe-%a:

Si:

a' C b' C c' C .. n' =

SerG posible si:

a = b = c = = n =

"!.

Si: a C b = &

ab = '

7alcular: a* C b*

a+ 8* b+ " c+ 28

d+ 8! e+ 0&

"'.

Si:&

x

!x =

7alcular:

*''*

x

!

x

!xx$

a+ !** b+ !'! c+ 80

d+ 2" e+ 08

"*.

$fectuar:

P = (x C !+(x' x C !+ (x ) !+(x' C x C !+

a+ x* b+ ' c+ 'x*

d+ & e+ '2

".

Reducir:

(x C *+(x' *x C 0+ C (x' C *x C 0+(x ) *+

a+ x* b+ !8 c+ 'x*

d+ & e+ '2

"&.

$fectuar:

3)253549()57(

33333+++−=

RIndique lo correcto:

a+ R C ! = b+ ' R Y * c+ R ∈ N

d+ R' C ! = * e+ R ! = 2

"".

Si: **!'!'x

allar: 3 = x* C *x C 8

a+ ! b+ !' c+ !

d+ !" e+ !8

"2.

7alcular el valor numérico de:

5 = (a ) b+W(a C b+' C 'ab C (a ) b+'X C 'b*

Si: * ** !'b yK

a+ ' b+ c+ 8

d+ !" e+ !'

"8.

Si:cba

***=

$ntonces el valor de*

*

cba>

=

es:

a+ (abc+' b+ * abc c+ (abc+*

d+ abc* e+ abc

"0.

Si: x = a b

y = b ) c

1 = c ) a

7alcular:

=

y1x1xy

xy1

1 yx

1 yx3

***

'''

a+ )" b+ *6 c+ )'6*d+ *6' e+ !

2.

Sabiendo que: a% b% c ∈ '

(a ) b+' C (b ) c+' C (a ) c+' =

7alcular:

&

&&&

+cba(

cba3

=

a+ ! b+ * c+ !6*

d+ ' e+ !6'



20/21

1 1


2!.

Simplificar:

+1x+(1 y+( yx(

+x1(+1 y(+ yx($

***

=

a+ )* b+ * c+ !d+ )! e+

2'.

Si: x* = ! y ademGs x ≠ !

7alcular:

!x

xx$

"

8

=

a+ ! b+ ' c+ !6'

d+ )!6' e+ )'

2*.

Siendo x% y ∈ ' que verifican:

x' C y' C ! = "x C 'y

7alcular: xy

a+ ' b+ * c+

d+ & e+ "

2.

Sabiendo que: x* C y* = xy

7alcular:* "" +xy'( yx'+ yx(xyP

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ &

2&.

Reducir:

9 = (a C b ) c+* C (a b C c+* C "a(a C b ) c+(a b C c+

a+ 8a* b+ 8b* c+ 8c*

d+ *abc e+


"!.

Si: x y = *

xy = &

allar: $ = x* y*

a+ !8 b+ )!8 c+ )2'

d+ 2' e+ '2

"'.

Si: x C y = '

x' C y' = * % x F y

allar: $ = x* y*

a+ & b+ * c+ )&

d+ )* e+'

'2

"*.

Simplificar:

3 = (a C b C c+*

*(a C b+(a C b C c+c (a C b+*

a+ a* b+ b* c+ c*

d+ e+ *abc

".

7alcular:

+!&'&+(!&(4 ***

a+ b+ ! c+ '

d+ * e+

"&.3ultiplicar:

P = (x" 'x* C !+('x* C !+

a+ 8x* C ! b+ 8x* ! c+ 8x0 C !

d+ 0x0 )! e+ 4.5.

"".

Si: x C y = )1

Simplificar:

xy1

1 yxZ

***

=

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ &

"2.

Siendo:!!!xy

**

*'' !! yx


S = (x ) y+ (x C y+

a+ b+ 88 c+ &


21/21


d+ )! e+ )88

"8.

allar el valor numérico de:

!'

+ca(+cb(+ba(3

'''

=

Si se sabe que:

*cbba =

a+ b+ !6& c+ *6'

d+ *6& e+ 6*

"0.

Si: ab = !. $l valor de:

!b

!ab

!a

!baS

'

'

'

'

=

a, b ∈ '

a+ b+ ! c+ '

d+ * e+

2.

Si se sabe que:

x' C y' C 1' = xy C x1 C y1


0!!!

!

1 yx

+1 yx(3

=

a+ b+ * c+ !

d+ & e+ '

2!.

Siendo: x C y C 01 =

SeDHn ello reducir:

x1

+x1*(

y1

+1* y'(

xy

+ y'x(4

'''

=

a+ ' b+ )*" c+abc

''

d+ *! e+ '*abc

2'.

Si: ***'*'x

7alcular:

x*xR *

a+ ! b+ ' c+ *

d+ e+ &

2*.

Si: (a C b+' C ! = (a C !+ (b C !+

7alcular:

'*

'*

bb

aa$

=

a+ !6' b+ ' c+ )!

d+ * e+ !

2.Si: 'x)! = ' x

7alcular:

4 = x0 (x C x' C !+(x" C x* C !+

a+ )! b+ ! c+ '

d+ )' e+ *

2&.

Si: a C b C c = !

a' C b' C c' = 'a* C b* C c* = *

7alcular: a C b C c

a+ *6 b+ &6' c+ '6&

d+ !26 e+ '&6"

Date post:	08-Jul-2018
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Algebra de 4to de Secundaria

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